Memorial de Cálculo

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Faculdade Meridional - IMED 
Escola de Engenharia 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Iágo Tobias 
 
 
 
 
 
 
Memorial de Cálculo 
 Dimensionamento de Viga de Transição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo Fundo, junho de 2018. 
 
 
Iágo Tobias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Memorial de Cálculo – Dimensionamento de Viga de Transição 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia 
Civil da Faculdade Meridional - IMED, como 
requisito parcial para a aprovação na disciplina de 
Concreto Armado I, ministrada pelo Profº Jackson 
Deliz Ditz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo Fundo, junho de 2018. 
 
 
Sumário 
 
1.0 Roteiro de Projeto ........................................................................................................ 4 
2.0 Pré Dimensionamento ................................................................................................. 6 
3.0 Carregamentos da Laje ................................................................................................ 6 
 3.1 Distribuição de Carga na Viga – Método das Charneiras ........................................ 6 
4.0 Carregamentos da Viga ............................................................................................... 7 
5.0 Diagramas de Cortante e Momento ............................................................................. 8 
6.0 Cálculo da Armadura Positiva ..................................................................................... 8 
 6.1 Decalagem ................................................................................................................ 9 
 6.2 Ancoragem ............................................................................................................. 10 
7.0 Cálculo da Armadura Negativa ................................................................................. 10 
 7.1 Decalagem .............................................................................................................. 11 
 7.2 Ancoragem ............................................................................................................. 12 
8.0 Armadura Mínima, Máxima e de Pele....................................................................... 12 
9.0 Altura Vertical e Espaçamento Entre Barras ............................................................. 13 
10.0 Verificações Mínimas .............................................................................................. 13 
11.0 Estribagem ............................................................................................................... 13 
 11.1 Esmagamento de Bielas ....................................................................................... 14 
 11.2 Estribos ............................................................................................................... 14 
 11.3 Estribagem Mínima ............................................................................................. 14 
 11.4 Espaçamento Máximo Longitudinal .................................................................... 15 
 11.5 Espaçamento Máximo Transversal ...................................................................... 15 
12.0 Cálculo dos Trechos Retos ...................................................................................... 15 
13.0 Cálculo do Ganchos ................................................................................................. 15 
14.0 Tabela de Quantitativos ........................................................................................... 16 
15.0 Projeto DWG Completo .......................................................................................... 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
2.0 Pré-Dimensionamento 
 
 Cobrimento 30 MM, conforme tabela 6.1 da NBR 6118:2014 (Classe II – Urbano 
– Passo Fundo); 
 
 FCK 25 Mpa, de acordo com a tabela 7.1 da NBR 6118:2014, fazendo a relação 
do FCK com a classe de agressividade II; 
 
 Agregado adotado para o concreto: Brita 1; 
 
 Diâmetro máximo do agregado: 19 mm; 
 
 Espessura da laje 8 cm para laje não em balanço conforme a NBR 6118:2014, 
porém adotado 10 cm para cálculo em razão de segurança. 
 
 Dimensão adotada do pilar: 20 x 40 cm. 
 
 Dimensões estimadas da viga: 80 x 30 cm. 
 
3.0 Carregamentos da Laje 
 
Peso Próprio: (25 KN/m³ x 0,1 m) = 2,5 KN/m² 
Revestimento: 1 KN/m² 
Sobrecarga: 1,5 KN/m² 
 
Qdlaje = [1,4 x (2,5 KN/m² + 1 KN/m²) + 1,5 x (1,5 KN/m²)] 
Qdlaje = 7,15 KN/m² 
 
3.1 Distribuição de Carga da Laje na Viga – Método das Charneiras 
 
Li = 15 6,8 m L1 = 6,0 m 
 L1 ≥ L2 
Lii = 05 6,0 m L2 = 6,8 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Por semelhança de triângulos, temos as seguintes equações e respostas: 
 
 
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐶3 =
3 𝑚 × 3 𝑚
2
 
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐶3 = 9 𝑚ଶ 
𝐴𝐶1 = 𝐴𝐶4 =
[(6,8 𝑚 × 6 𝑚) − (2 × 9 𝑚)]
2
 
𝐴𝐶1 = 𝐴𝐶4 = 11,4 𝑚ଶ 
𝑅𝑉 = 7,15 ௄ே
௠మ
× ଵଵ,ସ ௠²
଺,଼ ௠
 
𝑅𝑉 = 11,98
𝐾𝑁
𝑚
 
 
Onde: 
AC – Área da Charneira 
RV – Reação na Viga 
 
4.0 Carregamentos da Viga 
 
 
 
Peso Próprio: [25 KN/m³ x (0,3 m x 0,1 m)] = 6 KN/m 
Alvenaria: [18 KN/m³ x (2,7 m x 0,2 m)] = 9,72 KN/m 
 
 
Qdviga = 1,4 x (6 + 9,72) 
 Qdviga = 22,01 KN/m 
8 
 
5.0 Diagramas de Cortante e de Momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.0 Cálculo da Armadura Positiva 
 𝑑 = 80 𝑐𝑚 − 3 𝑐𝑚 − 0,5 𝑐𝑚 −
1,6
2
= 75,7 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 235,5 
𝐾𝑁
𝑚
 (× 100) = 23550
𝐾𝑁
𝑐𝑚
 
𝐹𝑐𝑑 =
25
1,4
 (÷ 10) = 1,78 
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 
𝑥 =
0,68 × 75,7 ± ට(0,68 ∗ 75,7)ଶ − 4 × 0,272 × ( 2355030 ∗ 1,78)
0,544
 
𝑋ᇱ = 180,29 𝑐𝑚 𝑋ᇱᇱ = 8,96𝑐𝑚 
 
 Descartado por esta fora Adotado. Dentro da dimensão 
 das dimensões da viga da viga 
9 
 
X2,3 = 0,259 * 75,7 cm 
 X < X2,3 Domínio 2 
X2,3 = 19,61 cm 
 
𝐴𝑠 =
23550
43,5 × [75,7 − (0,4 × 8,96)]
 
 
𝑨𝒔 = 𝟕, 𝟓𝟏 𝒄𝒎² 
 
𝑛 =
7,51
2,00
 
 
𝑛 = 3,76 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝒏 = 𝟒 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 × ඨ
23550
30 × 1,78
 
 
𝒅𝒎𝒊𝒏 = 𝟒𝟐, 𝟎𝟏 𝒄𝒎 
 
dmín = 42,01 cm 
 dmín < dcalc Armadura Simples 
dcalc = 75,7 cm 
 
6.1 Decalagem (Modelo I – Estribos Verticais) 
Vsdmáx= 215,6 𝐾𝑁 (Conforme Diagrama de Cortante) 
Fctd = = 0,15 × ඥ25²య (÷ 10) = 0,128 ௄ே
௖௠²
 
𝑑 = 80 𝑐𝑚 − 3 𝑐𝑚 − 0,5 𝑐𝑚 −
1,6
2
= 75,7 𝑐𝑚 
𝑉𝑐 = 0,6 × 0,128
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 × 30 𝑐𝑚 × 75,7 𝑐𝑚 = 174,72 𝐾𝑁 
𝐴𝑙 = 75,7 × [ ଶଵହ,଺
ଶ ×(ଶଵହ,଺ିଵ଻ସ,଻ଶ)
] = 198,16 cm 
Al = 198,16 cm 
 Al ≤ d Al = 75,7 cm 
d = 75,7 cm 
 
 
10 
 
6.2 Ancoragem 
N1 = 2,25 (Aço CA-50) 
N2 = 1,00 (Boa Aderência, armadura na borda inferior) 
N3 = 1,00 (Ø16 mm) 
𝐴𝑠𝑒𝑓 = 2,0 𝑐𝑚ଶ × 4 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = 8 𝑐𝑚ଶ 
𝐹𝑏𝑑 = 2,25 × 1,00 × 1,00 × 0,128
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
= 0,288 
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 
𝐿𝑏 = ଵ,଺ ௖௠²
ସ
 × ସଷ,ହ 
௄ே ௖௠ൗ 
଴,ଶ଼଼ ௄ே ௖௠²ൗ
 = 60,41 cm 
𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑐/𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 0,7 × ଻,ହଵ ௖௠
మ
଼ ௖௠మ
× 60,41 𝑐𝑚 = 39,69 cm 
𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑠/𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 = 1 × ଻,ହଵ ௖௠²
଼ ௖௠²
× 60,41 𝑐𝑚 = 56,70 cm 
Al + 𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑐/𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 75,7 𝑐𝑚 + 39,69 𝑐𝑚 = 115,39 cm Adotado 116 cm 
Al + 𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑠/𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 75,7 𝑐𝑚 + 56,70 𝑐𝑚 = 132,40 cmAdotado 133 cm 
 
7.0 Cálculo da Armadura Negativa 
𝑑 = 80 𝑐𝑚 − 3 𝑐𝑚 − 0,5 𝑐𝑚 −
1,6
2
= 75,7 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 301 
𝐾𝑁
𝑚
 (× 100) = 30100
𝐾𝑁
𝑐𝑚
 
𝐹𝑐𝑑 =
25
1,4
 (÷ 10) = 1,78 
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 
𝑥 =
0,68 × 75,7 ± ට(0,68 ∗ 75,7)ଶ − 4 × 0,272 × ( 3010030 ∗ 1,78)
0,544
 
𝑋ᇱ = 177,62 𝑐𝑚 𝑋ᇱᇱ = 11,63𝑐𝑚 
 
 Descartado por esta fora Adotado. Dentro da dimensão 
 das dimensões da viga da viga 
 
X2,3 = 0,259 * 75,7 cm 
 X < X2,3 Domínio 2 
X2,3 = 19,61 cm 
 
11 
 
𝐴𝑠 =
30100
43,5 × [75,7 − (0,4 × 11,63)]
 
 
𝑨𝒔 = 𝟗, 𝟕𝟒 𝒄𝒎² 
 
𝑛 =
9,74
2,00
 
 
𝑛 = 4,87 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝒏 = 𝟓 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 × ඨ
30100
30 × 1,78
 
 
𝒅𝒎𝒊𝒏 = 𝟒𝟕, 𝟒𝟖 𝒄𝒎 
 
dmín = 47,48 cm 
 dmín < dcalc Armadura Simples 
dcalc = 75,7 cm 
 
7.1 Decalagem (Modelo I – Estribos Verticais) 
 
Vsdmáx= 215,6 𝐾𝑁 (Conforme Diagrama de Cortante) 
Fctd = = 0,15 × ඥ25²య (÷ 10) = 0,128 ௄ே
௖௠²
 
𝑑 = 80 𝑐𝑚 − 3 𝑐𝑚 − 0,5 𝑐𝑚 −
1,6
2
= 75,7 𝑐𝑚 
𝑉𝑐 = 0,6 × 0,128
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 × 30 𝑐𝑚 × 75,7 𝑐𝑚 = 174,72 𝐾𝑁 
𝐴𝑙 = 75,7 × [ ଶଵହ,଺
ଶ ×(ଶଵହ,଺ିଵ଻ସ,଻ଶ)
] = 198,16 cm 
Al = 198,16 cm 
 Al ≤ d Al = 75,7 cm 
d = 75,7 cm 
 
 
 
 
12 
 
7.2 Ancoragem 
N1 = 2,25 (Aço CA-50) 
N2 = 0,70 (Má Aderência, armadura na borda superior) 
N3 = 1,00 (Ø16 mm) 
𝐴𝑠𝑒𝑓 = 2,0 𝑐𝑚ଶ × 5 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = 10 𝑐𝑚ଶ 
𝐹𝑏𝑑 = 2,25 × 0,70 × 1,00 × 0,128
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
= 0,2016 
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 
𝐿𝑏 = ଵ,଺ ௖௠²
ସ
 × ସଷ,ହ 
௄ே ௖௠ൗ 
଴,ଶ଴ଵ଺ ௄ே ௖௠²ൗ
 = 86,31 cm 
𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑐/𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 0,7 × ଽ,଻ସ ௖௠
మ
ଵ଴ ௖௠మ
× 86,31 𝑐𝑚 = 58,84 cm 
𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑠/𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 = 1 × ଽ,଻ସ ௖௠
మ
ଵ଴ ௖௠మ
× 86,31 𝑐𝑚 = 84,06 cm 
Al + 𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑐/𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 75,7 𝑐𝑚 + 58,84 𝑐𝑚 = 134,54 cm Adotado 135 cm 
Al + 𝐿𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑠/𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 75,7 𝑐𝑚 + 84,06 𝑐𝑚 = 159,76 cm Adotado 160 cm 
 
8.0 Armadura Mínima, Máxima e de Pele 
 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 = ൬
0,15
100
൰ × 30 𝑐𝑚 × 80 𝑐𝑚 = 3,6 𝑐𝑚ଶ 
𝐴𝑠𝑚á𝑥 = ൬
4
100
൰ × 30 𝑐𝑚 × 80 𝑐𝑚 = 96 𝑐𝑚ଶ 
Ascalc (+) = 7,51 cm² 
 Ascalc > Asmín OK 
Ascalc (-) = 9,74 cm² 
 
Ascalc (+) = 7,51 cm² 
 Ascal < Asmáx OK 
Ascalc (-) = 9,74 cm² 
 Øpele = 6,3 mm 
𝐴𝑠𝑝𝑒𝑙𝑒 = ቀ ଴,ଵ
ଵ଴଴
ቁ × 30 𝑐𝑚 × 80 𝑐𝑚 = 2,4 𝑐𝑚ଶ npele = ଶ,ସ ௖௠²
଴,ଷଵହ ௖௠మ
 ≅ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
1,0 m ------- 5 cm² 
0,8 m ------- Aspelemáx 
Aspelemáx = 4 𝑐𝑚² 𝑓𝑎𝑐𝑒ൗ 
ଶ,ସ ௖௠²
ଶ ௙௔௖௘௦
 1,2 𝑐𝑚² 𝑓𝑎𝑐𝑒ൗ OK 
13 
 
9.0 Altura Vertical e Espaçamento Entre Barras 
 
𝐴𝑣 =
[h − (2 × c) − (2 × Øt) − ൫Øl(−)൯ − ൫Øt(+)൯ − (4 × Øpele)
5 espaços
 
𝐴𝑣 = [଼଴ି(ଶ ×ଷ)ି(ଶ×଴,ହ)ିଵ,଺ିଵ,଺ି(ସ×଴,଺ଷ)
ହ 
 = 13,45 cm 
 20 cm OK 
Av = 13,45 cm < 
 ௛
ଷ
= ଼଴
ଷ
= 26,6 𝑐𝑚 OK 
 
𝐴ℎ =
[𝑏𝑤 − (2 × c) − (2 × Øt) − (5 × Øl)]
2
 
 
𝐴ℎ = [ଷ଴ (ଶ ×ଷ)ି(ଶ×଴,ହ)ି(ହ ×ଵ,଺)]
ଶ
 = 7,5 cm 
 
10.0 Verificações Mínimas 
 20 mm = 2cm Av > Avmín 
Avmín ≥ 1,6 cm OK 
 0,5 × 1,9 cm = 0,95 cm 13,45 cm > Avmín 
 
 20 mm = 2cm Ah > Ahmín 
Ahmín ≥ 1,6 cm OK 
 1,2 × 1,9 cm = 2,3 cm 7,5 cm > Ahmín 
 
11.0 Estribagem (Modelo I de Cálculo) 
α= 90° 
Vsd = 215,6 𝐾𝑁 
𝑏𝑤 = 30 𝑐𝑚 
h = 80 cm 
fck = Mpa 
c = 3 cm 
𝐹𝑐𝑑 =
25
1,4
 (× 10) = 1,78
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 
𝑑 = 80 𝑐𝑚 − 3 𝑐𝑚 − 0,5 𝑐𝑚 −
1,6
2
= 75,7 𝑐𝑚 
𝛼𝑣2 = 1 − ଶହ
ଶହ଴
 = 0,9 
14 
 
11.1 Esmagamento das Bielas 
VRD2 = 0,27 × 0,9 × 1,78 × 30 × 75,7 = 982,29 KN 
VRD2 = 982,29 KN 
 VRD2 > Vsd OK 
VSD = 215,6 KN 
 
11.2 Estribos 
Fctd = = 0,15 × ඥ25²య (÷ 10) = 0,128 ௄ே
௖௠²
 
𝑉𝑐 = 0,6 × 0,128
𝐾𝑁
𝑐𝑚²
 × 30 𝑐𝑚 × 75,7 𝑐𝑚 = 174,72 𝐾𝑁 
𝑉𝑠𝑤 = 215,6 − 174,72 = 40,88 𝐾𝑁 
40,5 =
𝐴𝑠𝑤
𝑆
 × 0,9 × 75,7 × 43,5 × (sin 90 + cos 90) 
𝐴𝑠𝑤
𝑆
= 0,0136 
𝑐𝑚²
𝑐𝑚
 
0,2 𝑐𝑚ଶ × 2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑆
= 0,0136 
𝑐𝑚²
𝑐𝑚
 
𝑆 = 29,38 𝑐𝑚 
 
11.3 Estribagem Mínima 
Fctm = 0,3 × ඥ25²య × 2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 (÷ 10) = 0,256 ௄ே
௖௠²
 
Fywk = 50 ௄ே
௖௠²
 
𝑝𝑠𝑤𝑚𝑚 = 0,2 ×
0,256
50
= 0,001024 
𝐴𝑠𝑤
𝑆
mín = 0,001024 × 30 cm = 0,03072
𝑐𝑚²
𝑐𝑚
 
஺௦௪
ௌ
calc < ஺௦௪
ௌ
mín ஺௦௪
ௌ
adotado = 0003072 ௖௠²
௖௠
 
0,0136 < 0,03072 
 
଴,ଶ ௖௠మ×ଶ ௥௔௠௢௦
ௌ
= 0,03072 ௖௠²
௖௠
 S = 13,02 cm 
𝑆 = 13,02 𝑐𝑚 Ø 5 c/ 13 cm 
 
15 
 
11.4 Espaçamento Máximo Longitudinal 
Espmáx = 0,67 × 982,29 = 658,13 KN Espmáx > Vsd 
 
 0,6 × 𝑑 = 0,6 × 75,7 𝑐𝑚 = 45,42 𝑐𝑚 Smáx > Scalc 
Smáx < OK 
 30 cm 30 cm > 13 cm 
 
11.5 Espaçamento Máximo Transversal 
Espmáx = 0,2 × 982,29 = 196,46 KN Espmáx < Vsd 
 
𝑆𝑡𝑟 = 30 𝑐𝑚 − (2 × 3 𝑐𝑚) = 24 𝑐𝑚 
 0,6 × 𝑑 = 0,6 × 75,7 𝑐𝑚 = 45,42 𝑐𝑚 Smáx > Str 
Smáx < OK 
 35 cm 35 cm > 24 cm 
 
12.0 Cálculo dos Trechos Retos 
537,5 KN/m ------- 3,4 m 
301,0 KN/m ------- Trecho Reto Negativo 
Trecho Reto Negativo = 1,90 m 
Trecho Reto Positivo = 6,80 m − (1,90 m × 2) = 3 m 
 
13.0 Cálculo dos Ganchos 
L = 7,20 m − (2 × 0,3) = 7,14 m 
Ø = 1,6 cm 
Trecho Reto = 8 × Ø = 8 ∗ 1,6 = 12,8 cm ≅ 13 cm 
Ødobra = 5 × Ø = 5 ∗ 1,6 = 8 cm 
hganho = 13 + ଼
ଶ
+ 13 = 30 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
14.0 Tabela de Quantitativos 
Aço CA-60 (Kg)
6,3 mm 16 mm 5mm
Área > 0,25 1,570 0,186
1,63 12,92 151,45 13,49 117,84 20,12
Viga 04 1,00 6,80 0,30 0,80 1,63 12,92 151,45 13,49 117,84 20,12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Viga
Aço CA-50 (Kg)Total Aço 
(Kg)Formas 
(m²)Quantidade
Totais >
Comprimento 
( C )
Largura 
(L)
Altura 
(H)
Concreto 
(m³)