Lista 18 - sequências, somatórios e inducao

Prévia do material em texto

Sequeˆncias, Somato´rios, Induc¸a˜o - Sec¸o˜es 2.4, 4.1, 4.2, 4.3
1) Encontre uma fo´rmula fechada, ou uma definic¸a˜o recursiva, ou ambas, para as sequeˆncias abaixo:
(a) 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
(b) 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(c) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...
(d) 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...
(e) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
(f) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
(g) 1, 1, 1, 2, 3, 5, 16, 63, 395, ...
(h) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
(i) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...
2) Demonstre por induc¸a˜o:
(a)
∑n
k=1 1 = n
(b)
∑n
k=1 k =
n(n+1)
2
(c)
∑n
k=1 n = n
2
(d)
∑n
k=1 k
2 = n(n+1)(2n+1)6
(e)
n∑
k=1
k(k!) = (n + 1)! − 1
(f)
n∑
k=1
1
(2k − 1)(2k + 1) =
n
2n + 1
3) Sobre a equac¸a˜o x + y + z + w = 2n, determine, em func¸a˜o de n, quantas soluc¸o˜es inteiras na˜o
negativas teˆm x = y.
4) Todo nu´mero ı´mpar e´ a diferenc¸a de dois quadrados?
5) Considere um tabuleiro de xadrez com 2n quadradinhos de lado, do qual foi removido um qua-
dradinho. Considere pec¸as em formato de “L”que cobrem 3 quadradinhos. Prove que existe uma
forma de ladrilhar todo o tabuleiro.
6) Calcule
∑n
k=1
∑n
j=1 jk
7) Calcule
∑n
k=1
∑n
j=k jk
8) Calcule
∑100
k=0
∑2k
j=k j
9) Calcule
∑35
k=1 k
(
35
k
)
10) Demonstre que
(
n
k
)
=
(
n−1
k
)
+
(
n−1
k−1
)
.
11) Demonstre que
∑n
k=0
(
n
k
)
= 2n.
12) Demonstre que
∑n
k=0
(
n
k
) · (−1)n = 0.
13) Mostre que:
(a)
∑n
j=1 j(j + 1)(j + 2) =
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
(b)
∑n
k=0(2k + 1)
2 = (n+1)(2n+1)(2n+3)3
1