Gabarito da Lista 2 Geometria Analítica e Álgebra Linear II

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GABARITO DA 2ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR II 
 
1. ( ){ } .RV,xy|y,xS)a 2=−== 
S é um subespaço vetorial de V. De fato: 
Se ( ) ( ) Sx,xu,Sx,xu 222111 ∈−=∈−= e R∈α , então 
( ) ( ) ( ) ( )( ) Sxx,xxxx,xxx,xx,xuu 21212121221121 ∈+−+=−−+=−+−=+ e 
se R∈α e ( ) Sx,xu ∈−= , então ( ) ( ) Sx,xx,xu ∈α−α=−⋅α=⋅α . 
( ){ } 2RV,|x|y|y,xS)b === . 
S não é subespaço vetorial de V. De fato, por exemplo, ( ) ( ) S1,1ueS1,1u 21 ∈−=∈= e, no entanto, 
( ) ( ) ( ) S2,01,11,1uu 21 ∉=−+=+ 
ou ( )1,1ue1 =−=α e, no entanto, ( ) ( ) ( ) S1,11,11u ∉−−=⋅−=⋅α . 
( ){ } .RV,0x|y,xS)c 2=>= 
S não é subespaço vetorial de V. De fato, por exemplo, ( )1,1ue1 =−=α e, no entanto, 
( ) ( ) ( ) S1,11,11u ∉−−=⋅−=⋅α 
ou basta observar que ( ) .S0,00 ∉= 
( ){ } ( ){ } .RV,Ry|y,y30y3x|y,xS)d 2=∈−==+= 
S é um subespaço vetorial de V. De fato: 
Se ( ) Sy,y3u 111 ∈−= e ( ) Sy,y3u 222 ∈−= , então 
( ) ( ) ( ) ( )( ) Syy,yy3yy,y3y3y,y3y,y3uu 21212121221121 ∈++−=+−−=−+−=+ e 
se R∈α e ( ) Sy,y3u ∈−= , então ( ) ( ) Sy,y3y,y3u ∈αα−=−⋅α=⋅α . 
( ){ } ( ){ } .RV,Ry|0,y,y40zey4x|z,y,xS)e 3=∈==== 
S é um subespaço vetorial de V. De fato, se ( ) S0,y,y4u 111 ∈= e ( ) S0,y,y4u 222 ∈= , então 
( ) ( ) ( ) ( )( ) S0,yy,yy40,yy,y4y40,y,y40,y,y4uu 21212121221121 ∈++=++=+=+ e 
se R∈α e ( ) S0,y,y4u ∈= , então ( ) ( ) S0,y,y40,y,y4u ∈αα=⋅α=⋅α . 
( ){ } ( ){ } .RV,Rz,y|z,y,zzx|z,y,xS)f 322 =∈=== 
S não é subespaço vetorial de V. De fato, por exemplo, ( ) S1,0,1ueR1 ∈=∈−=α e, no entanto, 
( ) ( ) ( ) S1,0,11,0,11u ∉−−=⋅−=⋅α . 
( ){ } 3RV,irracionaléy|z,y,xS)g == . 
S não é subespaço vetorial de V. De fato, por exemplo, ( ) S0,2,0ueR2 ∈=∈=α e, no entanto, 
( ) ( ) S0,2,00,2,02u ∉=⋅=⋅α (2 não é irracional!) 
ou basta observar que ( ) S0,0,00 ∉= . 
( ){ } 3RV,Rx|0,x,xS)h =∈= . 
S é um subespaço vetorial de V. De fato, se ( ) S0,x,xu 111 ∈= e ( ) S0,x,xu 222 ∈= , então 
( ) ( ) ( ) S0,xx,xx0,x,x0,x,xuu 2121221121 ∈++=+=+ e 
se R∈α e ( ) S0,x,xu ∈= , então ( ) ( ) S0,x,x0,x,xu ∈αα=⋅α=⋅α . 
 
2 
( )RMV,Rc,b,a;
cb
baS)i 2=








∈





= . 
S é subespaço vetorial de V. De fato: 
Se S
cb
ba
u
11
11
1 ∈





= e S
cb
ba
u
22
22
2 ∈





= , então S
ccbb
bbaa
uu
2121
2121
21 ∈





++
++
=+ e 
se R∈α e S
cb
ba
u ∈





= , então S
cb
ba
u ∈





αα
αα
=⋅α . 
( )RMV,Rb,a;
ba
1aS)j 2=








∈





= . 
S não é subespaço vetorial de V. De fato, por exemplo, 
,S
20
10
ueS
10
10
u 21 ∈





=∈





= mas S
30
20
20
10
10
10
uu 21 ∉





=





+





=+ 
ou basta observar que S
00
000 ∉





= . 
{ } ( )RMV,0Adet|AS)k 2=== . 
S não é subespaço vetorial de V. De fato, por exemplo, 
( ) ( ),0AdetS
42
21
Ae0AdetS
11
11
A 2211 =∈





==∈





= mas 
( )( )1AAdetS
53
32
42
21
11
11
AA 2121 =+∉





=





+





=+ . 
2. Queremos obter, se possível, escalares 321 aea,a tais que 
⇔




 −
+




−
+





=





⇔++=
12
10
a
10
21
a
11
01
a
50
81
vavavav 321332211 
 







=++
=+
=−
=−
⇔





+++
−−
=





⇔
5aaa
0a2a
8aa2
1aa
aaaa2a
aa2aa
50
81
321
31
32
21
32131
3221
 . 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
144
133
211
12
144
133
L2LL
L2LL
LLL
4120
8120
1210
1011
L
4120
1210
8120
1011
LLL
LLL
5111
0201
8120
1011
−←
−←
+←












−
−
−












−
−
−
−←
−←












−
−
 












−
+←
−←
−←












−
−
−
−












−
−
−
0000
2100
3010
4001
L5LL
L2LL
L2LL
6300
2100
1210
0201
L
5
1
6300
10500
1210
0201
144
322
311
2
 . 
Voltando ao sistema, temos 







=
−=
=
=
0a0
2a
3a
4a
3
3
2
1
. 
 
3 
2º método: substituição. 
( )



=
=
⇒



=−+++
=−++
⇒







=++
=+
−=
+=
⇒







=++
=+
=−
=−
12a4
15a5
58a2aa1
08a22a1
5aaa
0a2a
8a2a
a1a
5aaa
0a2a
8aa2
1aa
2
2
222
22
321
31
23
21
321
31
32
21
 
2ae4a3a 312 −==⇒=⇒ . 
Portanto, 321 v2v3v4v −+= , ou seja, .12
10
2
10
213
11
01
4
50
81





 −
−




−
+





=





 
3. a) Queremos obter, se possível, escalares 21 aea tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6aaa,a6,61,0a0,1a6,6vavav 2121212211 −==⇔=−−⇔+=−−⇔+= . Portanto, 21 v6v6v −−= . 
b) Queremos obter, se possível, escalares 21 aea tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔+−=−−⇔−+=−−⇔+= 2121212211 aa2,aa6,61,1a2,1a6,6vavav 
.2ae4a
6aa2
6aa
21
21
21
=−=⇔



−=+
−=−
⇔ 
Portanto, 21 v2v4v +−= . 
c) Queremos obter, se possível, escalares 21 aea tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−−=−−⇔−−+=−−⇔+= 2121212211 a2a4,aa26,62,1a4,2a6,6vavav .6a2a4
6aa2
21
21



−=−
−=−
 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
.
600
3
2
11
L4LL624
3
2
11L
2
1
624
612
122
1








−−
−←







−−
−−






−−
−−
 
Voltando ao sistema, temos 
.
6a0
3a
2
1
a
2
21




=⋅
−=−
 
2º método: substituição. 
( ) 6a066a22a4
6a2a4
6a2a
6a2a4
6aa2
111
21
12
21
21
=⋅⇒−=+−⇒



−=−
+=
⇒



−=−
−=−
. 
Logo, o sistema é impossível e, portanto, o vetor v não se escreve como combinação linear dos vetores 21 vev 
(note que 21 vev são paralelos). 
4. a) Queremos obter, se possível, escalares 321 aea,a tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−−++−=−⇔++= 0,1,2a2,0,1a1,2,1a1,4,8vavavau 321332211 
 
( ) ( )





=+
=−
−=−+−
⇔+−−+−=−⇔
1a2a
4aa2
8a2aa
a2a,aa2,a2aa1,4,8
21
31
321
2131321 . 
Vamos resolver por substituição: 
( )
⇒



=+
−=−−+−
⇒





=+
−=⇒=−
−=−+−
1a2a
84a22aa
1a2a
4a2a4aa2
8a2aa
21
121
21
1331
321
 
 
4 
( ){ 2ae1a3a116a52a
1a2a
16a5a16aa5
32111
21
1221
=−=⇒=⇒=−+⇒



=+
−=⇒−=+−
⇒ . 
Poderíamos resolver pelo método de Gauss-Jordan. A matriz ampliada associada ao sistema é 
2
133
122
1
L
2
1
7230
12520
8211
LLL
L2LL
1021
4102
8211L
1021
4102
8211










−−
−−
−
−←
−←










−
−−










−
−−−
233
211
L3LL
LLL
7230
62/510
8211
−←
+←










−−
−−
−
 
3L11
2112/1100
62/510
22/101










−−
−
.
2100
1010
3001
L
2
5LL
L
2
1LL
2100
62/510
22/101
322
311










−+←
+←










−−
−Voltando ao sistema, temos 





=
−=
=
2a
1a
3a
3
2
1
 
Portanto, 321 v2vv3v +−= . 
b) Queremos obter, se possível, escalares 321 aea,a tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−−++−=⇔++= 0,1,2a2,0,1a1,2,1a3,2,0vavavaw 321332211 
 
( ) ( )





=+
=−
=−+−
⇔+−−+−=⇔
3a2a
2aa2
0a2aa
a2a,aa2,a2aa3,2,0
21
31
321
2131321





=+
=−
−=⇒=−+−
⇒
3a2a
2aa2
a2aa0a2aa
21
31
321321
. 
Substituindo nas duas últimas equações, temos 
( )



=−
−=+−
⇒



=−
−=−
6a4a6
6a15a6
2x3a2a3
3x2a5a2
32
32
32
32
. Somando as equações, temos 0a3 = . 
Voltando às equações, obtemos 1ae1a 12 == . Portanto, .vvw 21 += 
c) Queremos obter, se possível, escalares 321 aea,a tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−−++−=⇔++= 0,1,2a2,0,1a1,2,1a0,0,0vavavaz 321332211 
 
( ) ( )





=+
=−
=−+−
⇔+−−+−=⇔
0a2a
0aa2
0a2aa
a2a,aa2,a2aa0,0,0
21
31
321
2131321 . 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
011281
021
102
211
≠−=−−−=−
−−
=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado. Como o sistema é homogêneo, a 
única solução é a trivial. Portanto, .v0v0v0z 321 ++= 
5. Queremos obter, se possível, escalares 21 aea tais que 
( ) ( ) ⇔−+−+=−−⇔+= 1ta1t2ta1t4tpapap 222122211 ( ) ( ) 3ae2a1ta1t2ta1t4t 2122212 =−=⇔−+−+=−− . 
Portanto, ,p3p2p 21 +−= ou seja, ( ) ( ).1t31t2t21t4t 222 −+−+−=−− 
6. Queremos obter, se possível, escalares 321 aea,a tais que 
 
5 ( ) ( ) ( ) ⇔++−++−=−+⇔++= 3tat3t2a5t2ta3t4tpapapap 322212332211
 
( ) ( ) ( )





−=+
=+−−
=+
⇔+++−−++=−+⇔
3a3a5
4aa3a2
1a2a
a3a5taa3a2ta2a3t4t
31
321
21
31321
2
21
2
. 
Resolvendo o sistema, concluímos que 321 p4p2p3p ++−= . 
7. Queremos obter, se possível, escalares a, b e c tais que 






−+
+
=





−
⇔





−
+





+





=





−
⇔++=
cbba
c2aa
11
13
10
20
c
11
00b
01
11
a
11
13CcBbAaD 





−=
−=
=
⇒







−=−
=+
=+
=
⇔
1c
2b
3a
1cb
1ba
1c2a
3a
. 
Portanto, CB2A3D −−= . 
8. a) Temos [ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }.1,1a2,1ay,x|Ry,xv,v 21221 −+=∈= 
Logo, ( ) ( ) ( ) .
yaa2
xaa
1,1a2,1ay,x
21
21
21



=+
=−
⇒−+= 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
211
2122
LLL
3
yx210
x11
L
3
1
yx230
x11
L2LLy12
x11 +←








+−
−






+−
−
−←



 −
.
3
yx210
3
yx01










+−
+
 
Voltando ao sistema, temos 
.
3
yx2
a
3
yx
a
2
1





+−
=
+
=
 
2º método: substituição. 
( )
3
yx
3
yx2
xae
3
yx2
ayaax2
yaa2
axa
yaa2
xaa
1222
21
21
21
21 +
=
+−
+=
+−
=⇒=++⇒



=+
+=
⇒



=+
=−
 
Logo, para qualquer ( ) 2Ry,x ∈ temos ( ) ( ) ( ).1,1
3
yx22,1
3
yxy,x −+−++= 
Portanto, [ ] .Rv,v 221 = 
b) Temos [ ] { }3322112321 vavavav|Rvv,v,v ++=∈= . 
Logo, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy
a2ay
a2ax
a2a,a2ay,x2,2a1,1a0,0ay,x
32
32
3232321 =⇒



−=
−=
⇒−−=⇒−−++= . 
Portanto, [ ] ( ){ }xy|Ry,xv,v,v 2321 =∈= (geometricamente, o subespaço gerado é uma reta). 
9. a) Temos ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }.1,2,2a2,3,1az,y,x|Rz,y,x1,2,2,2,3,1AG 213 −+−=∈=−−= 
 
6 
Logo, ( ) ( )





=+
=−
=+−
⇒+−+−=
zaa2
ya2a3
xa2a
aa2,a2a3,a2az,y,x
21
21
21
212121 . 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
2
133
122
1
L
4
1
zx250
yx340
x21
L2LL
L3LL
z12
y23
x21L
z12
y23
x21










+
+
−−
−←
−←










−
−−−










−
−
.
4
z4y5x700
4
yx310
2
yx01
L5LL
L2LL
zx250
4
yx310
x21
233
211
















+−−
+
+
−←
+←












+
+
−−
 
Voltando para o sistema, temos .
4
z4y5x7
a0
4
yx3
a
2
yx
a
2
2
1









+−−
=⋅
+
=
+
=
 
Para que o sistema tenha solução, é necessário que 0z4y5x70
4
z4y5x7
=−+⇒=
+−−
. 
2º método: substituição. 
( )
( ) 

+=
+=
⇒



=++−
=−+−
⇒





=+
=−
+−=
⇒





=+
=−
=+−
zx2a5
yx3a4
zaa2x2
ya2a2x3
zaa2
ya2a3
a2xa
zaa2
ya2a3
xa2a
2
2
22
22
21
21
21
21
21
21
 
( ) ( ) 0z4y5x7zx24yx35
5
zx2
4
yx3
5
zx2
a
4
yx3
a
2
2
=−+⇒+=+⇒
+
=
+
⇒





+
=
+
=
⇒ . 
Portanto, ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }0z4y5x7|Rz,y,x1,2,2,2,3,1AG 3 =+−−∈=−−= . 
A equação 0z4y5x7 =−+ é a equação de um plano (lembrando, a equação geral de um plano é 
0dzcybxa =+++ ), representado no sistema cartesiano abaixo: 
 
b) Temos ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.0,1,1a1,1,0a1,0,1az,y,x|Rz,y,x0,1,1,1,1,0,1,0,1 3213 −++=∈=− 
 
7 
Logo, ( ) ( ) .
zaa
yaa
xaa
aa,aa,aaz,y,x
21
32
31
213231





=+
=+
=−
⇒++−= 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 










+−−
−
−←









+−
−
−←








 −
zyx000
y110
x101
LLLzx110
y110
x101
LLLz011
y110
x101
233133
 
Voltando ao sistema, temos .
zyxa0
yaa
xaa
3
32
31





+−−=⋅
=+
=−
 
Para que o sistema tenha solução, é necessário que 0zyxou0zyx =−+=+−− . 
2º método: 
0zyxzayax
zaa
aya
axa
zaa
yaa
xaa
33
21
32
31
21
32
31
=−+⇒=−++⇒





=+
−=
+=
⇒





=+
=+
=−
. 
Portanto, ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }0zyx|Rz,y,x0,1,1,1,1,0,1,0,1AG 3 =−+∈=−= . 
A equação 0zyx =−+ é a equação de um plano, representado no sistema cartesiano abaixo: 
 
c) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.1,1,2a1,0,3a0,1,1a1,2,1az,y,x|Rz,y,xAG 43213 −−+−+−+−=∈= 
Logo, ( ) ( ) ⇒++−−+−−−= 4314214321 aaa,aaa2,a2a3aaz,y,x .
zaaa
yaaa2
xa2a3aa
431
421
4321





=++−
=−+
=−−−
 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
2
133
122 L3
1
zx1210
yx23630
x2311
LLL
L2LL
z1101
y1012
x2311










+−−−
+−
−−−
+←
−←










−
−
−−−
 
( )
( )
( )
( ) 








++
+−
+−−
+←
+←










+−−−
+−
−−−
3z3yx0000
3yx21210
3yx1101
LLL
LLL
zx1210
3yx21210
x2311
233
211
 
 
8 
Voltando ao sistema, temos 
.
3
z3yx
a0
3
yx2
aa2a
3
yx
aaa
4
432
431









++
=⋅
+−
=++
+
=−−
 
Para que o sistema tenha solução, é necessário que .0z3yx =++ 
2º método: substituição. 





=++−
=−+
+++=
⇒





=++−
=−+
=−−−
zaaa
yaaa2
a2a3axa
zaaa
yaaa2
xa2a3aa
431
421
4321
431
421
4321
 
( )
( ) 

+=−−−
+−=++
⇒



=+++++−
=−++++
⇒
zxaa2a
yx2a3a6a3
zaaa2a3ax
yaaa2a3ax2432
432
43432
42432
 
( ) yx2a3a6aa2zx3
aa2zxa
yx2a3a6a3
4343
432
432 +−=++−−−−⇒



−−−−=
+−=++
⇒ 
0z3yxyx2z3x3 =++⇒+−=−−⇒ . 
Portanto, ( ) ( ){ }.0z3yx|Rz,y,xAG 3 =++∈= 
A equação 0z3yx =++ é a equação de um plano, representado no sistema cartesiano abaixo: 
 
d) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.0,1,2a2,0,0a0,1,1a1,2,1az,y,x|Rz,y,xAG 43213 −++−+−=∈= 
Logo, ( ) ( )





=+−
=++
=−−
⇒+−++−−=
za2a
yaaa2
xa2aa
a2a,aaa2,a2aaz,y,x
31
421
421
31421421 . 
Vamos resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. A matriz ampliada associada ao sistema é 
23
133
122 L
zx2210
yx25030
x2011
LLL
L2LL
z0201
y1012
x2011










+−−
+−
−−
+←
−←










−
−−
 
233
211
2
L3LL
LLL
yx25030
zx2210
x2011
L
yx25030
zx2210
x2011
−←
+←










+−
−−−
−−
−










+−
+−−
−−
 
 
9 
( )
322
311
3
L2LL
L2LL
6/z3yx6/1100
zx2210
z0201
6
Lz3yx1600
zx2210
z0201
+←
+←










++−
−−−
−−










++−
−−−
−− ( )
( )
( )
.
6/z3yx6/1100
3/yx23/5010
3/yx3/1001










++−
+−
+−
 
Voltando ao sistema, temos 
.
6
z3yx
a
6
1
a
3
yx2
a
3
5
a
3
yx
a
3
1
a
43
42
41









++
=−
+−
=+
+
=−
 
Para cada valor de 4a , obtenho os outros escalares .aea,a 321 Assim, os vetores 
( ) ( ) ( ) ( )0,1,2e2,0,0,0,1,1,1,2,1 −−− geram o 3R , pois todo vetor do 3R é combinação linear dos vetores dados. 
10. a) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
0a6a3
0a2a
0,0a6a3,a2a0,06,2a3,1a
21
21
212121



=+
=+
⇒=++⇒=+ 
Vamos resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. A matriz ampliada associada ao sistema é 
.
000
021
L3LL063
021
122






−←




 
Voltando ao sistema, temos 



=
=+
0a0
0a2a
2
21
. 
O sistema acima é possível indeterminado, com conjunto solução dado por ( ){ }.R|,2 ∈ααα− 
Portanto, existem infinitas maneiras do vetor nulo ser escrito como combinação linear de 21 vev (por exemplo, 
212121 v3v60,vv20,vv20 +−=−=+−= ). Portanto, os vetores dados são linearmente dependentes. 
b) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2121212211 a5a,a3a20,05,3a1,2a0,0vava0,0 +−+=⇒+−=⇒+= .0a5a
0a3a2
21
21



=+−
=+
⇒ 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
1122
112
L
13
1
0130
051
L2LL032
051L1
032
051L
051
032





 −
−←



 −−





−






−
.
010
001L5LL
010
051 211





+←





 −
 
Voltando ao sistema, temos 



=
=
0a
0a
2
1
 
2º método: regra de Cramer. 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
013310
51
32
≠=+=
−
=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado e, como o sistema é homogêneo, a única 
solução é a trivial. 
Portanto, ( ) ( ) ( ) 0aa5,3a1,2a0,0 2121 ==⇒+−= e, então, os vetores dados são linearmente independentes. 
11. a) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=++−++⇒=+++− 0ata2ataa0t2ta1tta 1212212221 
.0aa
0a
0a2a
0aa
21
1
21
21
==⇒





=
=+−
=+
 
 
10 
Portanto, os vetores são linearmente independentes. 
b) Temos ( ) ( ) ( ) ⇒=+++−−+−+ 0t2tat4x4att2a 232221 
( ) ( )





=−
=+−
=++−
⇒=−++−+++−⇒
0a4a2
0aaa
0a2a4a
0a4a2taaata2a4a
21
321
321
21321
2
321 . 
Vamos resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. A matriz ampliada associada ao sistema é 
3
L
0440
0330
0241
L2LL
LLL
0042
0111
0241L
0042
0111
0241
2
133
122
1









 −−
−←
−←










−
−
−−−










−
−
−
 
.
0000
0110
0201
L4LL
L4LL
0440
0110
0241
133
211










−←
+←









 −−
 
Voltando ao sistema, temos .
0a0
0aa
0a2a
3
32
31





=⋅
=+
=+
 
Portanto, os vetores são linearmente dependentes. 
12. a) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+++ 0,0,05,3,2a1,0,0a0,1,0a0,0,1a 4321 
( ) ( )





=+
=+
=+
⇒=+++
0a5a
0a3a
0a2a
0,0,0a5a,a3a,a2a
43
42
41
434241 . 
Portanto, os vetores são linearmente dependentes. De fato, se, por exemplo, ,1a4 −= então 
2ae3a,5a 123 === e, assim, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,05,3,21,0,050,1,030,0,12 =−++ . 
b) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−++ 0,0,02,0,1a1,0,1a1,1,1a 321 
( ) ( )





=−+
=
=++
⇒=−+++
0a2aa
0a
0aaa
0,0,0a2aa,a,aaa
321
1
321
3211321 . 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
233133
122
12
LLL0210
0110
0001
LLL
LLL
0211
0111
0001L
0211
0001
0111
−←









−−←
−←










−










−
 
.
0100
0010
0001
LLL
0100
0110
0001
L
3
10300
0110
0001
322
3










−←










−










−
 
Voltando ao sistema, temos 





=
=
=
0a
0a
0a
3
2
1
. 
2º método: regra de Cramer. 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
 
11 
0321
211
001
111
≠=+=
−
=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado e, como o sistema é homogêneo, a única 
solução é a trivial. Logo, 0aaa 321 === . 
Portanto, os vetores são linearmente independentes. 
c) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−++ 0,0,02,1,4a3,2,1a0,0,0a 321 
( ) ( ) .
0a2a3
0aa2
0a4a
0,0,0a2a3,aa2,a4a
32
32
32
323232





=−
=+
=+
⇒=−++ 
Vamos resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. A matriz ampliada associada ao sistema é 
3233
21112
L
14
101400
0410
0300
L3LL
L2LL
0230
0410
0120L
0230
0120
0410
−










−
−
−←
−←










−










−
.
0100
0010
0000
L4LL
L3LL
0100
0410
0300
322
311










−←
+←









 −
 
Voltando ao sistema, temos .
0a
0a
3
2



=
=
 
Portanto, os vetores são linearmente dependentes. De fato, por exemplo, temos 
( ) ( ) ( ) ( ).0,0,02,1,403,2,100,0,02 =−⋅+⋅+ Aliás, sempre que um dos vetores for o vetor nulo, os vetores são 
linearmente dependentes! 
d) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−++ 0,0,01,2,3a1,2,1a1,1,1a 321 
( ) ( ) .
0aaa
0a2a2a
0a3aa
0,0,0aaa,a2a2a,a3aa
321
321
321
321321321





=−+
=++
=++
⇒=−+++++ 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
3
211
133
122
L
4
10400
0110
0401LLL
0400
0110
0311
LLL
LLL
0111
0221
0311
−










−
−
−←










−
−
−←
−←










−
.
0100
0010
0001
LLL
L4LL
0100
0110
0401
322
311










+←
−←










−Voltando ao sistema, temos 





=
=
=
0a
0a
0a
3
2
1
. 
2º método: regra de Cramer. 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
05126222
111
221
311
≠−=+−−++−=
−
=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado e, como o sistema é 
homogêneo, a única solução é a trivial. Logo, 0aaa 321 === . 
Portanto, os vetores são linearmente independentes. 
13. Temos 





=





+
+++
⇔





=





+





+





⇔=++
00
00
baa
cacba
00
00
00
11
c
10
01b
11
11
a0CcBbAa 
 
12 





=
=
=
⇒







=+
=
=+
=++
⇔
0c
0b
0a
0ba
0a
0ca
0cba
. 
Portanto, as matrizes são linearmente independentes. 
14. a) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
0a3a2
0aa
0,0a3a2,aa0,03,1a2,1a
21
21
212121



=+
=−
⇒=+−⇒=−+ 
1º método: Gauss-Jordan. 
Temos 2112
122
LLL
010
011
5
L
050
011
L2LL032
011 +←





 −





 −
−←



 −
.
010
001






 
Voltando ao sistema, temos .
0a
0a
2
1



=
=
 
2º método: regra de Cramer. 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
0523
32
11
≠=+=
−
=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado e, como o sistema é homogêneo, a única 
solução é a trivial. Logo, 0aa 21 == . 
Portanto, os vetores são l.i. 
Seja ( ) 2Ry,x ∈ um vetor qualquer. Então, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
ya3a2
xaay,xa3a2,aay,x3,1a2,1a
21
21
212121



=+
=−
⇒=+−⇒=−+ 
1º método: Gauss-Jordan. 
Temos 2112
122
LLL
5
yx210
x11
5
L
yx250
x11
L2LLy32
x11 +←








+−
−






+−
−
−←



 −












+−
+
5
yx210
5
yx301
. 
Logo, o sistema tem solução 
5
yx2
ae
5
yx3
a 21
+−
=
+
= . 
2º método: substituição. 
( )
5
yx3
ae
5
yx2
aya3ax2
ya3a2
axa
ya3a2
xaa
1222
21
21
21
21 +
=
+−
=⇒=++⇒



=+
+=
⇒



=+
=−
. 
Então, os vetores dados geram o 2R , pois qualquer vetor ( ) 2Ry,x ∈ se escreve como combinação linear dos 
vetores dados como ( ) ( ) ( )3,1
5
yx22,1
5
yx3y,x −+−++= . 
Portanto, os vetores dados formam uma base do 2R . 
b) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
0a8a6
0a4a3
0,0a8a6,a4a30,08,4a6,3a
21
21
212121



=+−
=−
⇒=+−−⇒=−+− 
1º método: Gauss-Jordan. 
A matriz ampliada associada ao sistema é 
.
000
03/41
L6LL086
03/41
3
L
086
043
122
1





 −
+←




−
−






−
−
 
 
13 
Voltando ao sistema, temos .
0a0
0a
3
4
a
2
21




=⋅
=−
 
2º método: 
0a00a8
3
a46
0a8a6
3
a4
a
0a8a6
0a4a3
22
2
21
2
1
21
21
=⋅⇒=+⋅−⇒




=+−
=
⇒



=+−
=−
. 
Portanto, os vetores são l.d., pois existem infinitas maneiras de se escrever o vetor ( )0,0 como combinação linear 
dos vetores ( ) ( )8,4e6,3 −− (por exemplo, no último sistema, se ,3a2 = então 4a1 = ). Aliás, já sabemos (?) que 
se dois vetores do plano são paralelos (é o caso), eles são l.d. Portanto, o conjunto dado não é uma base do 2R . 
c) Faz-se de maneira análoga aos anteriores. Os vetores dados formam uma base do 2R . 
15. a) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+−+− 0,0,00,2,3a0,1,2a1,1,1a 321 
( ) ( ) .
0a
0a2aa
0a3a2a
0,0,0a,a2aa,a3a2a
1
321
321
1321321





=−
=+−
=++
⇒=−+−++ 
1º método: Gauss-Jordan. 
Temos 
133
122
113
LLL
LLL
0321
0211
0001L
0321
0211
0001L
0001
0211
0321
−←
−←










−
−










−
−










−
−
233
2
L2LL0320
0210
0001
L
0320
0210
0001
−←









−−










− 
7
L0700
0210
0001
3









− .
0100
0010
0001
L2LL
0100
0210
0001
322










+←










− 
Voltando ao sistema, temos 





=
=
=
0a
0a
0a
3
2
1
. 
2º método: regra de Cramer. 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
0734
001
211
321
≠−=−−=
−
−=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado e, como o sistema é homogêneo, a 
única solução é a trivial. Logo, 0aaa 321 === . 
Portanto, os vetores são linearmente independentes. 
Seja ( ) 3Rz,y,x ∈ um vetor qualquer. Então, ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+−+− z,y,x0,2,3a0,1,2a1,1,1a 321 
( ) ( ) .
za
ya2aa
xa3a2a
z,y,xa,a2aa,a3a2a
1
321
321
1321321





=−
=+−
=++
⇒=−+−++ 
1º método: Gauss-Jordan. 
Temos 
133
122
113
LLL
LLL
x321
y211
z001L
x321
y211
z001L
z001
y211
x321
−←
−←










−
−−










−
−










−
− 2L
zx320
zy210
z001
−










+
+−
−
 
 
14 
7
Lz3y2x700
zy210
z001
L2LLzx320
zy210
z001
3233 









++
−−−
−
−←









+
−−−
−
.
7
z3y2x100
7
zy3x2010
z001
L2LL
7
z3y2x100
zy210
z001
322
















++
−−
−
+←














++
−−−
−
 
Voltando ao sistema, temos 








++
=
−−
=
−=
7
z3y2x
a
7
zy3x2
a
za
3
2
1
 
2º método: substituição. 



+−−=
+=+
⇒



+=+−
+=+
⇒





−=
=+−
=++
⇒





=−
=+−
=++
32
32
32
32
1
321
321
1
321
321
a2zya
zxa3a2
zya2a
zxa3a2
za
ya2aa
xa3a2a
za
ya2aa
xa3a2a
 
( ) zae
7
zy3x2
a
7
z3y2x
azxa3a2zy2 12333 −=
−−
=⇒
++
=⇒+=++−−⇒ . 
Então, os vetores dados geram o 3R pois qualquer vetor ( ) 3Rz,y,x ∈ se escreve como combinação linear dos 
vetores dados da seguinte forma: 
( ) ( ) ( ) ( ).0,2,3
7
z3y2x0,1,2
7
zy3x21,1,1zz,y,x +++−−−+−−= 
Portanto, os vetores dados formam uma base do 3R . 
b) Temos ( ) ( ) ( ) ( )⇒=−−+−+ 0,0,04,1,2a2,1,0a1,0,1a 321 
( ) ( ) .
0a4a2a
0aa
0a2a
0,0,0a4a2a,aa,a2a
321
32
31
3213231





=−+
=+−
=−
⇒=−++−− 
Vamos resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. Temos 
233
1
133 L2LL0220
0110
0201
L
0220
0110
0201
LLL0421
0110
0201
−←









−
−−










−
−
−
−←









−
−
−
.
0000
0110
0201










− 
Voltando ao sistema, temos .
0a0
0aa
0a2a
3
32
31





=⋅
=−
=+
 
Logo, os vetores são l.d., pois existem infinitas maneiras de se escrever o vetor ( )0,0,0 como combinação linear 
dos vetores ( ) ( ) ( )4,1,2e2,1,0,1,0,1 −−− (por exemplo, no último sistema, se ,1a3 = então 1ae2a 21 =−= ). 
Portanto, os vetores dados não formam uma base do 3R . 
c) Temos ( ) ( ) ( ) ( )⇒=+−+− 0,0,01,0,0a1,0,1a1,1,2a 321 ( ) ( ) .
0aaa
0a
0aa2
0,0,0aaa,a,aa2
321
121
321121





=++−
=
=−
⇒=++−− 
1º método: Gauss-Jordan. 
 
15 
Temos 
2
133
122
12
L
0110
0010
0001
LLL
L2LL
0111
0012
0001L
0111
0001
0012
−










−
+←
−←










−
−










−
−
.
0100
0010
0001
LLL0110
0010
0001
233 









−←









 
Voltando ao sistema, temos .
0a
0a
0a
3
2
1





=
=
=
 
2º método: regra de Cramer. 
O determinante ∆ da matriz dos coeficientes é dado por 
01
111
001
012
≠=
−
−
=∆ . Assim, o sistema é possível e determinado e, como o sistema é homogêneo, a única 
solução é a trivial. Logo, 0aaa 321 === . 
Portanto, os vetores são linearmente independentes. 
Seja ( ) 3Rz,y,x ∈ um vetor qualquer. Então, ( ) ( ) ( ) ( )⇒=+−+− z,y,x1,0,0a1,0,1a1,1,2a 321 
( ) ( ) .
zaaa
ya
xaa2
z,y,xaaa,a,aa2
321
1
21
321121





=++−
=
=−
⇒=++−− 
1º método: Gauss-Jordan. 
Temos 2
133
122
12
L
zy110
y2x010
y001
LLL
L2LL
z111
x012
y001L
z111
y001
x012
−










+
−−
+←
−←










−
−










−
−
 
.
zyx100
y2x010
y001
LLLzy110
y2x010
y001
233 









+−
+−
−←









+
+− 
Voltando ao sistema, temos .
zyxa
y2xa
ya
3
2
1





+−=
+−=
=
 
2º método: substituição. 
zyay2x
zyaa
y2xa
zaay
xay2
zaaa
ya
xaa2
3
32
2
32
2
321
1
21
+=++−⇒



+=+
+−=
⇒



=++−
=−
⇒





=++−
=
=−
 
yaey2xa,zyxa 123 =+−=+−=⇒ . 
Então, os vetores dados geram o 3R pois qualquer vetor ( ) 3Rz,y,x ∈ se escreve como combinação linear dos 
vetores dados como ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).1,0,0zyx1,0,1y2x1,1,2yz,y,x +−+−+−+−= 
Portanto, os vetores dados formam uma base do 3R . 
16. a) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+−+−++⇒=+−+−+ 0aa4ta3ataa201t3ta4tt2a 21212212221





=+−
=−
=+
0aa4
0a3a
0aa2
21
21
21
. 
1º método: Gauss-Jordan. 
 
16 
Temos 
7
L
0110
070
031
L4LL
L2LL
014
012
031L
014
031
012
2
133
122
12










−
−
+←
−←










−
−










−
− .
000
010
001
L11LL
L3LL
0110
010
031
233
211










+←
+←










−
−
 
Voltando ao sistema, temos .
0a0
0a
0a
2
2
1





=⋅
=
=
 
2º método: substituição. 
0a0a
0aa12
0aa6
0aa4
a3a
0aa2
0aa4
0a3a
0aa2
12
22
22
21
21
21
21
21
21
=⇒=⇒



=+−
=+
⇒





=+−
=
=+
⇒





=+−
=−
=+
. 
Então, a única solução é a trivial e, portanto, os vetores dados são l.i. 
Seja, agora, um vetor qualquer do 2P , ctbta 2 ++ . Para verificar se os vetores dados geram 2P , temos que obter 
escalares 21 aea tais que ( ) ( ).1t3ta4tt2actbta 22212 +−+−+=++ 
Temos ( ) ( ) ⇒++=+−+−+ ctbta1t3ta4tt2a 22221 ( ) ( ) ( ) ⇒++=+−+−++ ctbtaaa4ta3ataa2 22121221 
 





=+−
=−
=+
⇒ .
caa4
ba3a
aaa2
21
21
21
 
1º método: Gauss-Jordan. 
Temos 
7
L
cb4110
b2a70
b31
L4LL
L2LL
c14
a12
b31L
c14
b31
a12
2
133
122
12










+−
−
−
+←
−←










−
−










−
− 
.
7
c7b6a1100
7
b2a10
7
ba301
L11LL
L3LL
cb4110
7
b2a10
b31
233
211
















++
−
+
+←
+←












+−
−
−
 
Assim, o sistema só tem solução se .0c7b6a11 =++ 
2º método: substituição. 
( )
( ) 




−−
=
−
=
⇒



=++−
=++
⇒





=+−
+=
=+
⇒





=+−
=−
=+
11
cb4
a
7
b2a
a
caa3b4
aaa3b2
caa4
a3ba
aaa2
caa4
ba3a
aaa2
2
2
22
22
21
21
21
21
21
21
 
0c7b6a11
11
cb4
7
b2a
=++⇒
−−
=
−
⇒ . 
Portanto, os vetores dados não geram 2P e, portanto, { }1t3t,4tt2 22 +−−+ não é uma base de 2P . 
b) Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+++−⇒=++−+ 0aaa2tata0t1at1a2a 3212232321 .
0aaa2
0a
0a
321
2
3





=++
=−
=
 
 
Então, a única solução é a trivial e, portanto, os vetores dados são l.i. 
Seja, agora, um vetor qualquer do 2P , .ctbta 2 ++ Para verificar se os vetores dados geram 2P , temos que obter 
escalares 321 aea,a tais que 
 
17 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒++=+++−⇒++−+=++ ctbtaaaa2tatat1at1a2actbta 232122323212 
 .
2
cba
a
ba
aa
caaa2
ba
aa
1
2
3
321
2
3







++−
=
−=
=
⇒





=++
=−
=
⇒ 
Então, os vetores dados geram o 2P pois qualquer vetor 22 Pctbta ∈++ se escreve como combinação linear dos 
vetores dados como ( ) ( ) ( ).t1at1b2
2
cba
ctbta 22 ++−−++−=++ 
Portanto, os vetores dados formam uma base do 2P . 
c) Resolve-se de maneira semelhante aos anteriores. O conjunto de vetores { }222 t,tt,tt1 +++ é uma base de 2P . 
17. O conjunto dado é formado por vetores l.i. De fato, 
⇒





=





+





+





+





00
00
20
00
a
01
10
a
00
12
a
00
11
a 4321







=
=
=++
=+
⇒





=




 +++
0a2
0a
0aaa
0a2a
00
00
a2a
aaaa2a
4
3
321
21
43
32121
. 
Resolvendo o sistema acima, concluímos que 0aaaa 4321 ==== , ou seja, que os vetores dados são l.i. 
Os vetores dados geram o espaço vetorial ( )RM2 . De fato, 
⇒





=





+





+





+





zw
yx
20
00
a
01
10
a
00
12
a
00
11
a 4321







=
=
=++
=+
⇒





=




 +++
za2
wa
yaaa
xa2a
zw
yx
a2a
aaaa2a
4
3
321
21
43
32121
 
Resolvendo o sistema acima, temos 
2
z
aewa,wyxa,w2y2xa 4321 ==+−=−+−= . 
Logo, todo vetor 





zw
yx do espaço vetorial ( )RM2 se escreve como combinação linear dos vetores dados como 
( ) ( ) 





+





+





+−+





−+−=





20
00
2
z
01
10
w
00
12
wyx
00
11
w2y2x
zw
yx
. 
Portanto, o conjunto de matrizes apresentado é, de fato, uma base do espaço vetorial ( )RM2 .