1ª lista de exercícios 2015.1

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Lista Exercı´cios n.1
(1.) Sejam ~f(t) = ti+ 2t2j+ 3t3k e ~g(t) = 2ti+ j− 3t2k. Calcular:
(a) ~f(t) + ~g(t). Rpta.: 3ti+ (2t2 + 1)j+ 3(t3 − t2)k
(b) 3~f(t)− 12~g(t). Rpta.: 2ti+ (6t2 − 1/2)j+ 3(3t3 + 1/2t2)k
(c) ~f(t)× ~g(t). Rpta.: −3t3(2t+ 1)i+ 6t3(t+ 1)j+ (t− 4t3)k
(2.) Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites, sendo ~f(t) = sin(t)i + cos(t)j + 3k e
p(t) = 1t :
(a) limt→0 ~f . Rpta.: 0i+ j+ 3k
(b) limt→0[ p(t)~f ]. Rpta.: i+ 0j+∞k
(c) limt→3 1t−3 [ (t− 3)i+ (t2 − 9)j]. Rpta.: i+ 6j
(d) limt→3[ i+
√
t−√3
t−3 j+ (t+ 3)k]. Rpta.: i+
1
2
√
3
)j+ 6k
(e) limt→0[ i+ 1−5
t
t j+ (1− 5t)k]. Rpta.: i− ln(5)j+ 0k
(f) limt→0[ e−3ti+ t
2
sin2(t)
j+ cos(2t)k]. Rpta. : i+ j+ k
(g) limt→0[ ti+
√
t+3−√3√
t+11−√11 j]. Rpta. : 0i+
√
11√
3
j
(3.) Calcular o limite e analisar a continuidade das seguintes func¸o˜es vetoriais nos pontos indi-
cados
(a) ~f =
{
ti+ |t−5|√
t+5
j, t 6= 5
0, t = 5
em t = 5.
(b) ~g =
{
sin2(t)
t2
i+ cos(t)j, t 6= 0
0, t = 0
em t = 0.
Rpta. ~f e` discontinua en t = 5. ~g e` discontinua en t = 0
(4.) Determinar uma representac¸a˜o parame´trica da reta que pasa pelos pontos A e B, na direc¸a˜o
do vetor~b
(a) A(−1, 2, 0) e~b = 5i−2j+5k. Rpta.: (x(t) = −1+5t, y(t) = 2−2t, z(t) = 0+5t)
(b) A(
√
2, 2, 3) e~b = 5i+ 0j+ 5k. Rpta.: (x(t) =
√
2 + 5t, y(t) = 2, z(t) = 3 + 5t)
(c) A(
√
2, 2, 3) e B(−7, 2, 3). Rpta.: (x(t) = √2 + (−7−√2)t, y(t) = 2, z(t) = 3)
(d) A(pi, pi/2, 3) e B(pi,−1, 2). Rpta.: (x(t) = pi, y(t) = pi+(−1− pi/2)t, z(t) = 3− t)
(5.) Determinar uma representac¸a˜o parame´trica da reta representada por
(a) y = 5x− 1, z = 2. Rpta.: (x(t) = t, y(t) = 5t− 1, z(t) = 2)
(b) 2x− 5y + 4z = 2, x− 2y − 5z = 1. Rpta.: (x(t) = 1 + 13t, y(t) = 6t, z(t) = t)
1
(6.) Encontrar uma equac¸a˜o vetorial para as seguintes curvas
(a) x2 + y2 = 5, z = 2. Rpta.: ~r(t) = (
√
5 cos(t),
√
5 sin(t), 2)
(b) y = x3, z = 1− x. Rpta.: ~r(t) = (t), t3, 1− t)
(c) x2 + y2 = 1, z = x− y. Rpta.: ~r(t) = (cos(t), sin(t), cos(t)− sin(t))
(d) 2(x− 2)2 + y2 = 5, z = 1. Rpta.: ~r(t) = (2 +√5/2 cos(t),√5 sin(t), 1)
(7.) Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas
(a) ~r(t) = (
√
3 cos(t),
√
3 sin(t)), t ∈ [0, 2pi]. Rpta.: (√3 cos( s√
3
),
√
3 sin( s√
3
))
(b) ~r(t) = (5 cos(t), 3t, 5 sin(t)), t ∈ [0, 2pi]. Rpta.: (5 cos( s√
34
), 3s√
34
, 5 sin( s√
34
))
(c) ~r(t) = (t− 2, 5t+ 1). Rpta.: ( s√
26
− 2, 5s√
26
+ 1)
(d) ~r(t) = (1 + t, 2 + 3t, 3t). Rpta.: (1 + s√
163
, 2 + 3s√
163
, 3s√
163
)
2