Notas de Aula Calculo 3

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Cálculo III Professora: Renata Gomes 1o Semestre/2015
Aluno: Matrícula:
EMENTA DO CURSO:
1. Funções Vetoriais
2. Integrais Múltiplas
3. Integrais Curvilíneas
4. Integrais de Superfície
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
[1] FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B. São Paulo: Makron Books,
2007.
[2] STEWART, J. Cálculo.São Paulo: Cenage Leatning, 2013. V. 2.
AVALIAÇÕES:
1a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:
2a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:
3a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:
4a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:
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1 Funções Vetoriais
1.1 Definição
Chamamos de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, a
função que a cada t ∈ I associa um vetor ~f do espaço. Denotamos
~f = ~f(t)
O vetor ~f(t) pode ser escrito como
~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k
Assim, podemos dizer que a função vetorial ~f determina três funções reais de t:
f1(t), f2(t) e f3(t). Reciprocamente, as três funções reais f1, f2 e f3 determinam a função
real ~f(t).
Observamos que, dado um ponto P (x, y, z) do espaço, o vetor
~r = x~i+ y~j + z~k
é chamado vetor posição do ponto P.
A cada ponto P (x, y, z) corresponde um único vetor posição e vice-versa. Dessa forma,
podemos usar a notação (v1, v2, v3) para representar um vetor ~v e também para representar
as funções vetoriais.
1.2 Operações com funções vetoriais
Dadas as funções vetoriais
~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k e ~g(t) = g1(t)~i+ g2(t)~j + g3(t)~k
definidas para t ∈ I, podemos definir novas funções vetoriais como segue:
a) ~h(t) = ~f(t)± ~g(t) = (f1(t)± g1(t))~i+ (f2(t)± g2(t))~j + (f3(t)± g3(t))~k.
b) ~w(t) = ~f(t)× ~g(t)
=
 ~i ~j ~kf1(t) f2(t) f1(t)
g1(t) g2(t) g3(t)

= (f2(t) ·g3(t)−f3(t) ·g2(t))~i+(f3(t) ·g1(t)−f1(t) ·g3(t))~j+(f1(t) ·g2(t)−f2(t) ·g1(t))~k
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c) ~v(t) = p(t) · ~f(t) = p(t) · f1(t)~i+ p(t) · f2(t)~j + p(t) · f3(t)~k
onde p(t) é uma função definida em I.
Também podemos definir uma função real
h(t) = ~f(t) · ~g(t) = f1(t) · g2(t) + f2(t) · g2(t) + f3(t) · g3(t)
1.2.1 Exemplos
1. Podemos expressar o movimento de uma partícula P , sobre uma circunferência de
raio 1, pela função vetorial ~f(t) = cos t~i + sen t~j. Nesse caso, a variável t representa o
tempo e P (f1)(t), f2(t)) nos dá a posição da partícula em movimento.
2. Dadas as funções vetoriais
~f(t) = t~i+ t2~j + ~k e ~g(t) = t3~i+~j
e a função real h(t) = r2 − 1, determinar:
a) ~f(t) + ~g(t)
b) 2~f(t)− ~g(t)
c) ~f(t)× ~g(t)
d) [h(t)~f(t)] · ~g(t)
e)~f( 1
a
) + ~g( 1
a
) para a 6= 0.
1.3 Limite e Continuidade
1.3.0.1 Definição
Seja ~f = ~f(t) uma função vetorial definida em um intervalo aberto I, contendo t0,
exceto possivelmente no próprio t0. Dizemos que o limite de ~f(t) quando t aproxima-se de
t0 é ~a e escrevemos
lim
t→t0
~f(t) = ~a,
se para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que |~f(t) = ~a| < δ.
Geometricamente, podemos afirmar que a direção, o sentido e o comprimento do vetor
~f(t) tendem para os de ~a, quanto t→ t0.
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1.3.1 Proposição
Sejam ~f(t) = f1(t)~j+ f2(t)~i+ f3(t)~k e a1~j+ a2~i+ a3~k. O lim
t→t0
~f(t) = ~a se, e somente se,
lim
t→t0
fi(t) = ai, i = 1, 2, 3.
1.3.2 Propriedades
Sejam ~f(t) e ~g(t) duas funções vetoeriais e h(t) uma função real, definidas em um
mesmo intervalo. Se
lim
t→t0
~f(t) = ~a, lim
t→t0
~g(t) = ~b e lim
t→t0
h(t) = m,
então:
a) lim
t→t0
[~f(t)± ~g(t)] = ~a±~b;
b) lim
t→t0
[~f(t) · ~g(t)] = ~a ·~b;
c) lim
t→t0
[~f(t)× ~g(t)] = ~a×~b;
d) lim
t→t0
[h(t)~f(t)] = m~a.
1.3.3 Exemplos
1. Calcular lim
t→√2
(t2~i+ (t2 − 1)~j + 2~k
2. Calcular lim
t→0
~f(t), onde ~f(t) = sent
t
~i+ t~j
3. Seja ~f(t) = ~a+2~b
t−2 , onde ~a =~i e ~b = 2~j − ~k. Calcular:
a) lim
t→0
~f(t);
b) lim
t→2
[(t2 − 4t+ 4)~f(t)].
4. Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 3t~i− 2~j + 4t2~k. Calcular:
a) lim
t→1
[~f(t) + ~g(t)];
b) lim
t→1
[~f(t) · ~g(t)];
c) lim
t→1
[~f(t)× ~g(t)].
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1.3.4 Definição
Uma função vetorial ~f = ~f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t0 ∈ I, se
lim
t→t0
[~f(t) = ~f(t0)].
Da prposição 1.4.1 segue que ~f(t) é contínua emt0 se, e somente se, suas componentes
são funções contínuas em t0.
1.3.5 Exemplos
1. Verificar se a função ~f(t) = sen t~i+ cos t~j + ~k é contínua em t0 = pi.
2. Verificar se a função
~g(t) =

sen t
t
~i+~j, t 6= 0
2~i+~j, t = 0
é contínua em t0 = 0.
3. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções:
a) ~g(t) = 1
t
~i+ t2~j;
b) ~h(t) = ln t~j + 2~k.
1.4 Curvas
1.4.1 Definição
Dada uma função vetorial contínua ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k, t ∈ I, chamamos
curva o lugar geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição ~f(t), t ∈ I.
Figura 1 –
Se ~f(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, a curva C coincide com a
trajetória da partícula.
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1.4.2 Exemplo
Descrever a trajetória L de um ponto móvel P , cujo deslocamento é expresso por
~f(t) = t~i+ t~j + 3~k.
1.5 Representação paramétrica de curvas
Sejam
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
funções contínuas de uma variáel t, definidas para t ∈ [a, b].
Figura 2 –
As equações acima são chamadas equções paramétricas de uma curva e t é o parâmetro.
Dadas as equações paramétricas de uma curva, podemos obter uma equação vetorial
para ela. Basta considerar o vetor posição ~r(t) de cada ponto da curva. As componentes
de ~r(t) são precisamente as coordenadas do ponto.
Escrevemos:
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, a ≤ t ≤ b.
Se as funções x = x(t), y = y(t) e z = z(t) são constantes, a curva degenera-se num
ponto.
1.5.1 Exemplos
1. A equaçõa vetorial ~r(t) = t~i+t~j+t~k representa uma reta, cujas equações paramétricas
são
x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t
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2. As equações paramétricas
x = 2 cos t
y = 2sent
z = 3t
representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial corres-
pondente é?
1.5.2 Definição
Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva
que não é plana chama-se curva reversa. A curva do exemplo 1 é plana e a curva do
exemplo 2 é reversa.
1.5.3 Definição
a) Uma curva parametrizada ~r(t), t ∈ [a, b], é dita fechada se ~r(a) = ~r(b).
b) Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto quanto
t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.
1.5.4 Parametrização de uma reta
A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser dada por ~r(t) = ~a+ t~b, sendo ~a e ~b
vetores constantes e t um parâmetro real.
Considerando as coordenadas de A(a1, a2, a3) que coincidem com as componentes do
vetro ~a e considerando também as componentes do vetor ~b = (b1, b2, b3), reescrevemos a
equação como
~r(t) = (a1 + tb1)~i+ (a2 + tb2)~j + (a3 + tb3)~k
E assim podemos dizer que as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
(a1, a2, a3) e tem direção b1~i+ b2~j + b3~k são
x(t) = a1 + tb1
y(t) = a2 + tb2
z(t) = a3 + tb3
1.5.5 Exemplo
1. Determinar a representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A(2, 1,−1)
na direção do vetor ~b = 2~i− 3~j + ~k.
2. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa por A(2, 0, 1) e
B(−1, 12 , 0).
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1.5.6 Parametrização de uma circunferência
Uma equação vetorial da circunferência de raio a, com centro na origem, no plano xy, é
~r(t) = a cos t~i+ a sent~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Figura 3 –
Assim, obtemos:
x(t) = a cos t
y(t) = a sent
Quando a circunferência não está centrada na origem, a equação vetorial é dada por:
~r(t) = ~r0 + ~r1(t)
onde ~r0 = x0~i+ y0~j e ~r1 = a cos t~i+ a sent~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Figura 4 –
Portanto, nesse caso, a equação vetorial é dada por
~r(t) = (x0 + a cos t)~i+ (yo + a sent)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
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De forma análogaobtemos uma equação vetorial para uma circunferência contida no
plano xz ou yz.Também podemos obter uma equação vetorial para uma circunferência
contida em um plano paralelo a um dos planos coordenados.
1.5.7 Exemplo
1. Obter equações paramétricas da circunferência x2 + y2 − 6x− 4y + 4 = 0 no plano
z = 3.
2. A equação vetorial ~r(t) = 2~i + 3 cos t~j + 3 sent~k representa uma circunferência.
Determinear a correspondente equação cartesiana.
1.5.8 Parametrização de uma elipse
Uma equação vetorial de uma elipse, no plano xy, com centro na origem e eixos nas
direções x e y é
~r(t) = a cos t~i+ b sent~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Se a elipse estiver centrada em (x − 0, y0) e seus eixos forem paralelos aos eixos
coordenados, sua equação vetorial é
~r(t) = ~r0 + ~r1(t),
onde ~r0 = x0~i+ y0~j e ~r1(t) = a cos t~i+ b sent~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Assim,
~r0(t) = (x0 + a cos t)~i+ (y0 + b sent)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
1.5.9 Exemplo
1. Escrever uma equação vetorial da elipse 9x2 + 4y2 = 36, no plano xy.
2. Escrever uma equação vetorial da elipse da figura abaixo.
Figura 5 –
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1.5.10 Parametrização de uma hélice circular
A hélice circular é uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a superfície cilíndrica
x2 + y2 = a2.
Figura 6 –
As equações paramétricas da hélice circular são:
x(t) = a cos t
y(t) = a sent
z(t) = at tgθ
onde θ é o ângulo BAˆC.
Fazendo tgθ = m, temos que a equação vetorial da hélice circular é:
~r(t) = a cos t~i+ a sent~j + amt~k
1.5.11 Exemplo
Representar graficamente a hélice circular ~r(t) = cos t~i+ sent~j + t~k para 0 ≤ t ≤ 3pi.
1.5.12 Parametrização de uma ciclóide
A ciclóide pode ser descrita pelo movimento do ponto P (0, 0) de um círculo de raio a,
centrado em (0, a), quando o círculo gira sobre o eixo dos x.
As equações paramétricas da ciclóide são:
x(t) = a(t− sent)
y(t) = a(1− cos t)
A equação vetorial da ciclóide é:
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Figura 7 –
~r(t) = a(t− sent)~i+ a(1− cos t)~j.
Quando t varia de 0 a 2pi obtemos o primeiro arco da ciclóide.
1.5.13 Exemplo
Escrever a equação vetorial da curva desrita pelo movimento de uma cabeça de prego
em um pneu de um carro que se move em linha reta, se o raio do pneu é de 25cm.
1.5.14 Parametrização de uma hipociclóide
Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto fixo P , de um círculo
de raio b, que gira dentro de um círculo de raio a, a > b.
Figura 8 –
As equações paramétricas da hipociclóide são
x(t) = (a− b) cos t+ b cos (a−b)
b
t
y(t) = (a− b) sent− b sen (a−b)
b
t
A equação vetorial correspondente é
~r(t) = [(a− b) cos t+ b cos (a−b)
b
t]~i− [(a− b) sent− b sen (a−b)
b
t]~j.
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Os cúspides ocorrem nos pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto
P . Portanto, ocorrem quando
at = n · 2pib, n = 1, 2, 3...
ou
t = n · 2pi b
a
, n = 1, 2, 3, ...
Um caso particular muito usado é o da hepiciclóide de quatro cúspides que é obtida
fazendo b = a4 .
Dessa forma as equações paramétricas são
x(t) = a cos3 t
y(t) = a sen3t
Assim, uma equação vetorial da hipociclóide é dada por
~r(t) = a cos3 t~i+ a sen3t~j, t ∈ [0, 2pi].
Eliminando o parâmetro t das equações x(t) = a cos3 t
y(t) = a sen3t, obtemos a equação cartesiana dessa hipociclóide, que é dada por
x
2
3 + y 23 = a 23 .
1.5.15 Exemplo
Dada x 23 + y 23 = 2, encontrar uma equação vetorial dessa hipociclóide.
1.5.16 Parametrização de outras curvas
Uma curva pode ser representada por equções paramétricas ou por uma equação
vetorial. Existem outras formas de representação de uma curva. A intersecção de duas
superfícies representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço.
1.5.17 Exemplos
1. Escrever a equação vetorial para y = 5x+ 3 no plano z = 2.
2. A interseção entre superfícies z = x2 + y2 e z = 2.
3. Representar parametricamente a curva dada pela intersecção das superfícies x+y = 2
e x2 + y2 + z2 = 2(x+ y).
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1.6 Exercícios
1. A posição de uma partćula no plano xy, no tempo t, é dada por x(t) = et, y(t) = tet.
a) Escrever a função vetorial ~f(t) que descreve o movimento dessa partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em t = 0 e em t = 2?
2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser
expresso pela função vetorial
~r(t) = 1−cos t
m
~i+ (2t+ t− sent
m
~j),
onde m é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante t = 0 e
t = pi.
3. Sejam ~f(t) = ~at + ~bt2 e ~g(t) = t~i + sent~j + cos t~k, com ~a = ~i + ~j e ~b = 2~i − ~j;
0 ≤ t ≤ 2pi. Calcular:
a) ~f(t) + ~g(t)
b) ~f(t) · ~g(t)
c) ~f(t)× ~g(t)
d) ~a · ~f(t) +~b · ~g(t)
e) ~f(t− 1) + ~g(t+ 1)
4. Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado
por
~r(t) = t~i+ 1
t−2~j + ~k.
a) Determinar a posição da partícula no instante t = 0 e t = 1.
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b)Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?
5. Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 2t~i+~j − 3t2~k, t ≥ 0. Calcular:
a) lim
t→1
[~f(t) + ~g(t)]
b) lim
t→1
[~f(t)− ~g(t)]
c) lim
t→1
[3~f(t)− 12~g(t)]
d) lim
t→1
[~f(t) · ~g(t)]
e) lim
t→1
[~f(t)× ~g(t)]
f) lim
t→1
[(t+ 1)~f(t)]
6. Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável:
a) lim
t→pi
[cos t~i+ t2~j − 5~k]
b) lim
t→−2
[ t
3 + 4t2 + 4t
(t− 2)(t− 3)
~i+~j]
7. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
a) ~f(t) = ~a sent+~b cos t em [0, 2pi] onde ~a =~i e ~b =~i+~j
b) ~g(t) = 1
t
~i+ (t2 − 1)~j + et~k
c) ~h(t) = e−t~i+ ln t~j cos 2t~k
8. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
a) x = 2 cos t e y = 2 sent, 0 ≤ t ≤ 2pi
b) x = 4 cos t, y = 4 sent e z = 2, 0 ≤ t ≤ 2pi
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c) x = 2 + 4 sent e y = 3− 2 cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi
9. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:
a) ~r(t) = (12t, 3t+ 5)
b) ~r(t) = (t− 1, t2 − 2t+ 2)
10. Identifique as curvas a seguir e dê sua equação paramétrica:
a) 2x2 + 2y2 + 5x+ 2y − 3 = 0
b) 2x2 + 5y2 − 6x− 2y + 4 = 0
11. Determinar uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto A, na direção
do vetor ~b, onde
a) A(1, 12 , 2) e ~b = 2~i−~j
b) A(0, 2) e ~b = 52~i−~j
12. Determine uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B,
sendo:
a) A(2, 0, 1) e B(−3, 4, 0)
b) A(5,−1,−2) e B(0, 0, 2)
13. Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:
a) x2 + y2 = 4, z = 4
b) y = 2x2, z = x3
c) 2(x+ 1)2 + y2 = 10, z = 2
d) x = ey, z = ex
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