CalculoII lista resumo

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cálculo II
RoteiRo de estudos
formador autor Cláudio Possani
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cálculo II
RoteiRo de estudos
Funções contínuas
Uma função f é contínua em (a, b) se ela está defini-
da em (a, b), tem limite quando (x, y) → (a, b) e vale 
(x, y) → (a, b)
lim f(x, y) = f(a, b).
Regra da Cadeia para funções de várias variáveis
 → 1º Caso: Suponha z = f(x, y) seja uma função C1, 
x = g(t) e y = h(t) são funções deriváveis de t.
Então z é uma função derivável em t e:
dz 
dt
 = ∂f 
∂x
 . dx 
dt
 + ∂f 
∂y
 . dy 
dt
 → 2º Caso: Suponha z = f(x, y) seja uma função 
C1, x = g(s, t) e y = h(s, t) são funções de classe C1 
então z é uma função derivável de s e t e temos:
∂z 
∂s
 (s, t) = ∂z 
∂x
 (x, y). ∂x 
∂s
 (s, t) + ∂z 
∂y
 (x, y). ∂y 
∂s
 (s, t)
∂z 
∂t
 (s, t) = ∂z 
∂x
 (x, y). ∂x 
∂t
 (s, t) + ∂z 
∂y
 (x, y). ∂y 
∂t
 (s, t)
Cálculo II / Roteiro de Estudos 3
Polinômio de Taylor Ordem 2
Q(x, y) = f(a, b) + ∂f
∂x
 (a, b)(x - a) + ∂f
∂y
 (a, b)(y - b) + 
1
2
 ∂
2f
∂x2
 (a, b) (x - a)2 + 2 ∂
2f
∂x∂y
 (a, b) (x - a)(y - b) + ∂
2f
∂y2
 (a, b) (y - b)2
Pontos de máximo/mínimo
(a, b) ponto crítico de z = f(x, y).
D = 
 ∂
2f 
∂x2
 ∂
2f 
∂x∂y
 ∂
2f 
∂y∂x
 
∂2f 
∂y2
 
 = ∂
2f 
∂x2
 . ∂
2f 
∂y2
 - 
∂2f 
∂x∂y
 . ∂
2f 
∂y∂x
D > 0 e  ∂
2f 
∂x2
 > 0 então (a, b) é ponto de mínimo (local);
D > 0 e  ∂
2f 
∂x2
 < 0 então (a, b) é ponto de máximo (local);
D < 0 então (a, b) não é ponto de máximo nem de mínimo.
Teorema de Fubini em 2 variáveis (caso geral)
D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, e g(x) ≤ y ≤ h(x)}
∬
D 
f(x, y) dxdy = ∫
b
a 
∫
h(x)
g(x) f(x, y) dydx
Teorema de Fubini em 3 variáveis.
Domínio paralelepípedo reto retângulo
∭D f(x, y, z)dzdydx = ∫
b
a 
∫
d
c 
∫
f
e 
 f(x, y, z)dzdydx
Em 3 variáveis, caso geral:
∭D f(x, y, z) dV = ∫
b
a 
∫
h(x)
g(x)
∫
v 
u 
(x,y)
(x,y) f(x, y, z) dzdydx
Significado físico da integral tripla: massa de um sólido calculada a partir 
da distribuição de massa (densidade).
Volume de um sólido espacial: D = ∭D1dzdydx
Cálculo II / Roteiro de Estudos 4
Coordenadas polares no plano
 x = rcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
 y = rsenθ 0 ≤ r
 Jacobiano = r x2 + y2 = r2
	 �Dxy f(x, y)dxdy = �Drθ f(r, θ).r.drdθ
Coordenadas Cilíndricas no espaço tridimensional
 x = rcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
 y = rsenθ 0 ≤ r
 z = z z ∈ ℝ Jacobiano = r
 x2 + y2 = r2
Coordenadas Esféricas no espaço tridimensional
 x = ρsenφcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
 y = ρsenφsenθ 0 ≤ ρ
 z = ρcosφ 0 ≤ φ ≤ π Jacobiano = ρ2senφ
 x2 + y2 + z2 = ρ2
Integral de linha de campo escalar
∫γ f(x, y, z)ds = ∫
b
a
 f(γ(t)). ‖γ’→(t)‖|dt
Significado: massa de um fio a partir da densidade linear.
Na geometria o comprimento de uma curva é:
∫γ 1ds = ∫
b
a
 1.‖γ’→(t)‖|dt
Integral de linha de campo vetorial
τ = ∫γ F
→
dr
→
 = ∫b
a
 F→(γ(s)).γ’→ (s)ds
Significado: trabalho realizado pelo campo de forças F
→
, sobre a trajetória γ.
Outra notação: �γ F
→
dr
→
 = �γ Pdx + Qdy + Rdz
Cálculo II / Roteiro de Estudos 5
Gradiente; Divergente; Rotacional
Gradiente: ∇
→
f(x, y, z) = ∂f
∂x
, ∂f
∂y
, ∂f
∂z
 
Divergente: divF
→
 = ∇. F
→
 = ∂P
∂x
 + ∂Q
∂y
 + ∂R
∂z
Rotacional no plano: RotF
→
 = ∂Q
∂x
 - ∂P
∂y
 k
→
Rotacional no Espaço: RotF
→
 = 
 
 i
→
 j
→
 k
→
 ∂ 
∂x
 
∂
∂y
 
∂
∂z
 P Q R
Campos conservativos
(I) ∇
→ 
φ = F
→ 
 ⇔ (II) �γ F
→
dr = φ(γ(b)) - φ(γ(a))
 
 ⇔ (III) ∮F
→
dr
→
 = 0
Conservativo ⇒ Rot (F
→
) = 0
→ 
Rot (F
→
) = 0
→
 e domínio simplesmente conexo ⇒ conservativo
Integral de superfície de campo escalar
∬S φ(x, y, z)dA = ∬D φ(u, v).� XU
⟶
∧ XV
⟶	
�dudv
Significado: massa de uma região a partir da densidade superficial.
Na geometria a área de uma superfície é:
A = ∬S 1dA = ∬D� XU
⟶
∧ XV
⟶	
�.dudv
Integral de superfície de campo vetorial
∬S 〈F
→
n
→
〉 dA = ±∬D 〈F
→
 XU
⟶
∧ XV
⟶	
〉dudv
Significado: fluxo de um campo de vetores através de uma superfície.
Outra notação: ∬S 〈F
→
n
→
〉 dA = ∬S Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
Cálculo II / Roteiro de Estudos 6
Superfície de um tronco de Cilindro no espaço tridimensional
 x2 + y2 = a2 (o raio está fixado)
 x = acosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
 y = asenθ b ≤ z ≤ c
 z = z Elemento de área = adzdθ
Superfície Esférica no espaço tridimensional
 x2 + y2 + z2 = a2 (o raio está fixado)
 x = asenφcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
 y = asenφsenθ 0 ≤ φ ≤ π
 z = acosθ Elemento de área = a2senφdφdθ
Teorema de Green
∬D Rot F
→
. k
→
dA = ∫∂D F
→
dr
→
∬D 
∂Q
∂x
 - ∂P
∂y
 dA = ∫∂D Pdx + Qdy
Teorema de Gauss
∬S F
→
. n
→
dA = ∭V Div F
→
dV
∬S Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ∭V 
∂P 
∂x
 + 
∂Q
∂y
 + 
∂R
∂z
Teorema de Stokes
∫∂S F
→
dr
→
 = ∬S rotF
→
. n
→
dA