Avaliação Matemática P04

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Computação/ Produção bimestre: 1º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P4 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
disciplina: MMB501 - Matemática 
• É proibido o uso de calculadoras, celulares e qualquer outro tipo de consulta a materiais impressos 
e eletrônicos. 
 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Considere as seguintes afirmações: 
I. 𝑥𝑥2 = 25 ⇒ 𝑥𝑥 = 5 
II. 0,257999 … = 0,258 
III. 1,321321 … = 440
333
 
IV. 1𝑥𝑥2 = 14 ⇒ 𝑥𝑥 = ±2 
V. 2756,3𝑋𝑋10−20 = 2,7563𝑋𝑋10−17 
 
São verdadeiras as afirmações: 
a) I, III e IV. 
b) I e V. 
c) I, III, IV e V. 
d) III, IV e V. 
e) Nenhuma das alternativas. 
 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Para que valores reais de 𝑚𝑚 a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑚𝑚2 − 15) 3𝑥𝑥−7 − 7𝑚𝑚 + 2 é crescente? 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Sabendo que 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −4 e 3𝜋𝜋
2
≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋, determine o valor de 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡. 
 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Para que valor(es) de 𝑚𝑚 ∈ ℝ, a matriz 𝐴𝐴 = �𝑚𝑚 19 𝑚𝑚� é invertível? Obtenha a inversa de 𝐴𝐴 para 𝑚𝑚 = 0. 
 
 
 
 
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GABARITO 
curso: Engenharia de Computação/ Produção bimestre: 1º bimestre P4 
 
Questão 1 
Alternativa E. 
 
 
Questão 2 
A função exponencial é crescente se a base é maior do que 1. Assim 𝑚𝑚2 − 15 > 1 ⇔ 𝑚𝑚2 − 16 > 0. 
Para resolver esta inequação, fazemos o estudo do sinal da função do segundo 𝑓𝑓(𝑚𝑚) = 𝑚𝑚2 − 16, cujo 
gráfico é uma parábola com concavidade para cima e raízes ±4: 
 
 + 0 -- 0 + 
 ______|__________|__________ 
 -4 4 
 
Portanto, 𝑚𝑚 < −4 ou 𝑚𝑚 > 4. 
 
 
Questão 3 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −4 ⇒ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
= −4 ⇒ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 = −4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 
 
Vamos substituir esta expressão na Relação Fundamental da Trigonometria: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡 = 1. 
 
E obtemos: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡 + (−4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡)2 = 1 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡 + 16𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡 = 1 ⇒ 17𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡 = 1 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡 = 1
17
⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 = ± 1
√17
=± √17
17
. 
 
Como 3𝜋𝜋
2
≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋 (4º quadrante), segue que 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 ≥ 0, logo 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 = √17
17
, e finalmente 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 = −4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 =
−
4√17
17
. 
 
 
Questão 4 
A matriz A é invertível somente se det (𝐴𝐴) ≠ 0. det(𝐴𝐴) = �𝑚𝑚 19 𝑚𝑚� = 𝑚𝑚2 − 9. 
Logo devemos ter: 
𝑚𝑚2 − 9 ≠ 0 ⇔𝑚𝑚2 ≠ 9 ⇔𝑚𝑚 ≠ ±3. 
Para 𝑚𝑚 = 0, temos 𝐴𝐴 = �0 19 0� . 
Cálculo da inversa: �0 19 0� ∙ �𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑧𝑧 𝑡𝑡� = �1 00 1� ⇒ � 𝑧𝑧 𝑡𝑡9𝑥𝑥 9𝑦𝑦� = �1 00 1� ⇒ 
𝑧𝑧 = 1 ⇒ 𝑧𝑧 = 1 
𝑡𝑡 = 0 ⇒ 𝑡𝑡 = 0 9𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0 9𝑦𝑦 = 1 ⇒ 𝑦𝑦 = 1
9
 
 𝐴𝐴−1 = �0 191 0� 
disciplina: MMB501 - Matemática