APOSTILA DE FINANCEIRA- UNIFRA

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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA
PROFESSORA: Adriane Guarienti
Disciplina: Matemática Financeira
Curso: Administração
APOSTILA DE
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar uma operação financeira. Ela tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.
    	 Capital( O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.
  Juros (Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste período estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Pode ser dito que o juro é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.
Taxa de Juros (	é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.
Ex.: 
Capital Inicial :	$ 100
Juros :		$ 150 - $ 100 = $ 50
Taxa de Juros:	$ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período
a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.
Taxa de Juros unitária: 	a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100:
 5 % / 100 = 0.05
Montante (	 denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). 
Capital Inicial	=	$ 100
+ Juros		=	$ 50
= Montante		=	$ 150
Regimes de Capitalização (	quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:
capitalização simples;
capitalização composta;
Capitalização Simples (	somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros
Capitalização Composta (	os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.
comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;
salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.
No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.
Fluxo de Caixa (	o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.
	 Diferença entre juro e taxa de juro
O juro entendido como uma remuneração do capital é sempre expresso em valor numa determinada moeda. Ex: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dólares), etc.
A taxa de juro, normalmente representada pela letra ( i ), é um índice que aplicado sobre o capital determina sua remuneração num determinado período de tempo (dias, meses, anos) que é representado pela letra ( T ). Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano)
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês) 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas será usada a forma unitária, assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o ( i ) na fórmula será substituído por 0,05.
Juro Comercial (	para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.
Juro Exato (	no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias.
sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial
Taxa Nominal (	é a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização.
Taxa Proporcional (	duas taxas são denominadas proporcionais quando existe entre elas a mesma relação verificada para os períodos de tempo a que se referem.
					i1	 =	t1
i2 		t2
Taxa Equivalente (	duas taxas são equivalentes se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo montante no fim do mesmo prazo de aplicação.
no regime de juros simples, duas taxas equivalentes também são proporcionais;
	 Tipos de Juros 
Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
a) JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. 
b) JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
 Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
CAPÍTULO 1 - JUROS SIMPLES
Como vimos, o regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
1. Cálculo do juro simples
No sistema de juro simples o mesmo não incide sobreo juro de períodos anteriores. Ou seja, não há cálculo de juros sobre juros.
Fórmula para o cálculo do juro simples
 
 
Onde:
J = juros
C = capital
i = taxa
T= número de período (tempo).�
   Exemplos de juros simples:
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 2 anos.
    Temos: 
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).
Capital: C = R$ 40.000,00
Taxa: i = 0,36 a.a
Período: T= 2 anos
Logo: J = 40.000,00 . 0,36 . 2
 Juros = R$ 28.800,00
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
    Temos: 
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).
Capital: C = R$ 40.000,00
Taxa: i = 0,36 a.a ( como 1 ano tem 360 dias, logo a taxa i = 0,36/360 = 0,001 a.d.
Período: T= 125 dias 
Logo: J = 40.000,00 . 0,001 . 125
 Juros = R$ 5.000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: 
 
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).
Juros: J = R$ 3.500,00
Taxa: i = 1,2 % a.m = 0,012 a.m ( como 1 mês tem 30 dias, logo a taxa i = 0,012/30 = 0,0004 a.d.
Período: T= 75 dias 
Logo: 3500,00 = C . 0,0004 . 75
 C . 0,03 = 3500,00 
 C = R$ 116.666,67
4 - Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
    Temos: 
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).
Capital: C = R$ 1.200,00
Taxa: i = 0,13 a.t ( como 1 trimestre tem 90 dias, logo a taxa i = 0,13/90 = 0,00144 a.d.
Período: T= 4 meses e 15 dias ( 135 dias
Logo: J = 1.200,00 . 0,00144 . 135
 Juros = R$ 234,00
Exercícios de juros simples:
01)A que taxa anual um investimento renderá em 5 anos juros equivalentes a 4/5 desse mesmo investimento? R.16% a.a
2) Durante quanto tempo R$ 22.500,00 a 4% a.m. renderá R$ 27.000,00 de juros? R. 2 anos e 6 meses
3) Calcular o capital que, aplicado durante 3 anos e 9 meses a 4% a.m., produz R$ 8.062,50 de juros. R. R$ 4.479,16
4) Achar o capital que rende R$ 6.696,40 de juros em 2 anos, 7 meses e 24 dias a 36% a.a. R. 7019,29
5) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 180.000,00 a 36% a.a., pelo prazo de um trimestre. R. R$ 16.200,00
6) Calcular a taxa de R$ 5.000,00 em 1 ano e 6 meses, que tenha produzido juros de R$ 675,00. R. 9% a.a
7) A que taxa um capital de R$ 2.500,00 em 2 anos e 6 meses para produz juros de R$ 1.250,00? R. 20% a.a
8) Quanto tempo devo aplicar o capital de R$ 10.053,40 para obter o montante de R$ 11.561,40 a 4,5% a.m.? R. 3 meses e 10 dias
9) Se aplicarmos R$ 15.877,50 a 5,5% a.m., quanto tempo será necessário para obtermos o capital mais os juros de R$ 28.539,80? R. 1 ano, 2meses e 15 dias
10) O capital de R$ 42.600,00 para produzir juros de R$ 46.008,00 a 6% a.m., qual é o tempo necessário? R. 1 ano e 6 meses
11) Em que prazo um capital aplicado a 20% a.a., tem um aumento que corresponde a 1 / 4 de seu valor? R. 1 ano e 3 meses.
12) Em que prazo um capital de R$ 100.000,00 a 2% a.m. obtém um montante de R$ 164.000,0? R. 2 anos e 8 meses
13) Qual o montante que dá um capital de R$ 7.000,00 em 6 meses, à taxa de 6% a.a.? R. R$ 7.210,00
14) Em quanto tempo, um determinado capital, rendendo juros de 5% a.a., duplica de valor? R. 20 anos 
15) Um certo capital, foi duplicado em 10 anos a juros simples. A que taxa foi empregado? R. 10% a.a 
2. Cálculo do Montante
Ao somarmos os juros ao valor principal (Capital) temos o montante. 
Montante = Capital + Juros
 M = C + J 
Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos)
 M = C + C. i. T
Logo, colocando C em evidência, temos:
Onde:
M= valor do montante 
J = juros
C = valor do capital
 i = taxa
T= número de período (tempo). �
   Exemplos de juros simples e montante:
1 - Assim para calcularmos o Montante de R$ 100,00 ao final do terceiro período a uma taxa de juros de 10% ao período, temos:
M = 100,00 [1 + ( 0,10. 3) ]
M = 100,00 [1 + ( 0,30)]
M = 100,00 (1,30) 
M = 130,00 (R$)
2 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
    Objetivo: M = 2.C
    Dados: i = 150 % a.a = 1,5 a.a
    Fórmula: M = C (1 + i.T)
    Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 T)
			 2 = 1 + 1,5 T
 T = 2/3 ano = 8 meses
3 - Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
    M = R$ 72.960,42
   
Exercícios:
01- Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$130,00 em três meses com taxa de juro de 10% ao mês?
02- Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses?
03- Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao mês? 
04- Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao mês?(350,00)
05- Qual o juro e o montante acumulado em um ano a uma taxa de 10% ao mês a partir de uma aplicação de R$ 325,00?(j = 390,00 e M = 715,00)
06- Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um principal de R$ 1.000,00?(1.540,00)
07- Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um principal de R$ 5.000,00?(5.400,00)
08- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a três semestres a uma taxa de 5% ao mês?(510,52) 
09- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a três anos a uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63)
10- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a uma taxa de 7,5% ao ano?(1.797,75)
11- Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês pelo período de 15 dias?(50,00)
12- Foi efetuado um único deposito de R$ 570,00 em uma aplicação financeira. Após dois anos seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am) 
 
13- A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses?(5% ao mês)
14- Fizemos uma dívida de R$ 10.000,00 para aquisição de um automóvel. Não foi efetuado nenhum pagamento e após 5 meses ela estava em R$15.000,00. Qual a taxa de juro cobrada? (10% am)
15- Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para que ele quadruplique de valor a uma taxa de 10% a.m?(30 meses) 
16- Uma pessoa emprega seu capital a 8% a.a. e, no fim de 3 anos e 8 meses, recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 38.800. Qual o capital empregado? R. R$ 30.000,00
17- Qual o capital que depois de 8 meses, à taxa de 11 1/2%a.a. , dá um montante de R$ 12.920,00? R. R$ 12.000,00
18- No fim de 3 anos, à 9% a.a., o capital acumulado foi de R$ 2.540,00. Qual foi o juro e qual era o capital inicial? R R$ 2.000,00 e R$ 540,00 
19- Achar o capital que, empregado a juros simples, à taxa de 2/5% a.m., produz, no fim de um ano, 3 meses e 5 dias, o montante de R$ 159.100,00. R. 150.000
20- Uma pessoa empregou certo capital a 6% a.a. . Depois de um ano e meio, retirou capital e juros e empregou tudo a 8% a.a., retirando no final de dois anos e meio, o montante de R$ 26.160,00. Determinar o capital inicial. 	R. R$ 20.000,00
21- Por quanto tempo se deve empregar um capital para que, à taxa de 10% a.a., o montante seja igual ao triplo deste capital? R. 20 anos
22- A que taxa se deve colocar R$ 800,00, em 2 anos, para render 88,00 de juros? R. 5,5%
CAPÍTULO 2 - DESCONTOS SIMPLES
Desconto é o abatimento queum título de crédito (cheque, duplicata, nota promissória) recebe por ser liquidado antes de seu vencimento.
Um título possui um valor, chamado Valor Nominal, a ele declarado, que corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Antes disso, o titulo pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, sendo denominado Valor Atual ou Valor Presente.
Então, para cálculo do desconto é importante saber:
Valor Nominal (N) é o Valor impresso no título. É o que ele valerá no vencimento.
Valor atual (A) é o valor pelo qual o título pode ser pago antecipadamente. Naturalmente é um valor menor que o (N), pois se o mesmo for liquidado antecipadamente, ele terá um desconto (d).
Dessa forma o Desconto (d) é igual ao Valor Nominal (N) menos o Valor atual (A) pelo qual o título pode ser pago antecipadamente.
	 d = N - A
Chama-se Desconto Simples o calculado sobre um único valor do título (nominal ou atual). Se for calculado sobre:
Valor Nominal ................ temos ................. Desconto Comercial (“Por fora”)
Valor Atual ..................... temos ................. Desconto Racional (“Por dentro”)
2.1 Cálculo dos Descontos Simples
2.1.1 Desconto Comercial (“Por fora”)
Esse é o tipo de desconto normalmente utilizado pelos bancos e pelo comércio em geral. Neste tipo de desconto a base de cálculo é o valor Nominal (N). 
d = N . i . T
Onde: d = desconto Comercial (“Por fora”)
N = Valor Nominal 
i = taxa 
 T= número de período (tempo).
Exemplos de desconto Comercial (“Por fora”):
1 - Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada três meses antes do vencimento com taxa 
de desconto comercial simples de 10% ao mês. Pergunta-se:
a) qual o valor do desconto?
b) por quanto ela foi quitada?
	Dados: Valor Nominal: N = R$ 100,00
 Taxa: i = 0,10 a.m
 Período: T= 3meses
a) qual o valor do desconto?
Temos: d = N . i . T
 d = 100,00 . 0,10 . 3
 d = R$ 30,00 ............ Valor do desconto
b) por quanto ela foi quitada?
Logo, o Valor Atual: Temos: d = N – A
 30,00 = 100,00 – A
 A = R$ 70,00 ............ Valor atual (valor com desconto)
Podemos resolver o exercício acima utilizando o seguinte conceito: 
d = N – A ............... A = N – d
 A = N – N . i . T
 A = N ( 1 – i . T)
b) por quanto ela foi quitada?
A = N . (1 – i . T)
A = 100. (1 – 0,10. 3)
A = 100 . (1 – 0,30)
A = 100 . (0,70) = R$ 70,00 ............... Valor atual (valor com desconto)
a) qual o valor do desconto?
E, o Valor do desconto: d = N – A = 100,00 – 70,00 = R$ 30,00
 2.1.2 Desconto Racional (“Por dentro”)
O desconto racional ou “por dentro” equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do título. É denominado d´ e neste tipo de desconto a base de cálculo é o valor Atual (A):
d´ = A . i . T como d = N – A logo, A = N – d`
d`= (N – d`) .i . T
d` = N.i.T – d`.i.T
d`+ d`.i.T = N.i.T
d`(1 + i.T) = N.i.T
Onde: d` = desconto Racional (“Por dentro”)
N = Valor Nominal 
i = taxa 
 T= número de período (tempo).
�
Exemplos de desconto Racional (“Por dentro”):
1 – Determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 135 u.m., pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao mês.
Dados: Valor Nominal: N = 135
 Taxa: i = 0,01 a.m
 Período: T= 2meses
Temos: 
Logo: 
d`= 2,65 u.m
EXERCÍCIOS:
1) Um título de R$ 7.300,00 é descontado por fora, em 60 dias, a 5,5% a.m., quanto sofre de desconto? Resp. 803
2) Qual é o desconto comercial de um título de R$ 8.000,00, a 6% a.m., em 1 ano e 3 meses? Resp. R$ 7.200
3) A que taxa anual foi descontado um título de R$ 2.000,00 em 75 dias, sabendo que houve desconto por fora de R$ 325,00? Resp. 78% a.a.
4) Um título de R$ 2.000,00, descontado por fora, a 6% a.m., que valor líquido produz em 3 meses? Resp. R$ 1.640,
5) Qual é o líquido de uma duplicata que, descontada por fora, a 5% a.m., em 120 dias, sofreu o desconto de R$ 700,00? Resp. R$ 2.800
6) A que taxa anual um título de R$ 30.000,00, descontado 4 meses antes do vencimento, pode produzir R$ 1.000,00 de desconto comercial? Resp. 10% a.a.
7) Em que prazo um título de R$ 9.000,00, descontado por fora, apresenta o líquido de R$ 8.280,00 à taxa de 6% a.m.? Resp. 1 mês e 10 dias
8) Qual é o nominal de uma promissória descontada por dentro, a 6% a.a., 90 dias antes do vencimento sabendo que produziu o desconto de R$ 450,00? R: R$ 30.450
9) Um título de R$ 165.000,00 sofreu o desconto racional à taxa de 12% a.a. e ficou reduzido a R$ 150.000,00. Determinar o tempo de antecipação. Resp. 10 meses
10) Um título de R$ 2.250,00 sofreu o desconto racional, à taxa de 10% a.a., ficando reduzido a R$ 2.000,00. Qual foi o prazo? Resp. 1 ano e 3 meses
11) Certo título de R$ 63.600,00 sofreu um desconto por dentro ao prazo de 6 meses e foi pago com R$ 60.000,00. Qual foi a taxa anual da operação? Resp. 12% ao ano.
12) Uma duplicata de R$ 37.200,00 sofreu um desconto por dentro de R$ 1.200,00. Sabendo-se que o tempo foi de 5 meses, que taxa anual foi utilizada para o desconto? Resp. 8% ao ano.
13) Um título descontado 27 dias antes do vencimento a 4,5% a.m., produz R$ 583,85 de desconto racional. Determinar o valor nominal. Resp. R$ 15.000
2.2 Relações entre a Taxa do Juro e a Taxa do Desconto Comercial
2.2.1 Cálculo da Taxa do juro em função da taxa de desconto e do prazo do vencimento do título
Onde: ij = Taxa de Juros
 id = Taxa de descontos
Exemplo: 1 – Qual a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 2% ao mês, pelo prazo de 5 meses?
Dados: Taxa de descontos: id = 0,02 a.m
 Período: T= 5meses
Temos: 
Logo: 
 ou ij = 2,22 % a.m
2.2.2 Cálculo da Taxa do desconto em função da taxa do juro e do prazo do vencimento do título
De forma inversa, quando se sabe a taxa de juros simples pode ser calculada a taxa de desconto comercial simples equivalente a essa taxa de juros com a seguinte fórmula:
Onde: ij = Taxa de Juros
 id = Taxa de descontos
Exemplo: Qual a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% a.m. num período de 9 meses?
Dados: Taxa de juros: ij = 0,05 a.m
 Período: T= 9 meses
Temos: 
Logo: 
 
id = 0,03448 ou 3,448% a m
Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale à taxa de desconto comercial simples de 3,448% a.m. com antecipação de 9 meses.
EXERCÍCIOS: 
1) Calcular a taxa mensal que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 90 dias. Resp. 5,88% ao mês
2) Determinar a taxa trimestral que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 12% ao trimestre, durante 6 meses. Resp. 15,79% ao trimestre
3) Qual é a taxa mensal de juros equivalentes ao desconto comercial de 5% a.m., pelo prazo de 60 dias? Resp. 5,55% ao mês
4) Calcular a taxa semestral de desconto comercial equivalente aos juros de 14% a.s., pelo prazo de 1 ano. Resp. 10,94% a.s.
5) Encontrar a taxa mensal de desconto equivalente ao juro de 6% a.m., pelo período de 120 dias. Resp. 4,839% a.m
6) Que taxa mensal de juros se torna equivalente ao desconto comercial de 5% a.m., durante 4 meses. Resp. 6,25% a.m.
7) Calcular a taxa mensal de juro equivalente a 3,85% a.m., correspondente ao desconto por fora durante 8 meses. Resp. 5,563% a.m.
8) Certa pessoa emprega metade de seu capital a juros, durante 2 anos, à taxa de 5% a.a., e metade durante 3 anos, à taxa de 8% a. a. obtendo assim, rendimento total de R$2.040. Qual o seu capital? Resp. 12.000
Capital,Taxa e Prazo Médios
(	em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo.
Capital Médio (juros de diversos Capitais)(	é o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentes por prazos diferentes que produzem a mesma quantia de juros.
Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn 
Taxa Média (	é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo período de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais.
Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn 
C1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nn
Prazo Médio (	é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais.
Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn 
C1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn in
Montante (	é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.
M = C ( 1 + i x n )
a fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária;
a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;
Desconto Simples (	quando um título de crédito (letra de cambio, promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira é resgatada antes de seu vencimento, o título sofre um ABATIMENTO, que é chamado de Desconto.
Valor Nominal:	valor que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor este denominado de valor Atual ou valor de Resgate.
Desconto Comercial (	também conhecido como Desconto Bancário ou “por fora”, é quando o desconto é calculado sobre o valor nominal de um título.
pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do título;
Dc = N x i x n
Onde:
Dc	= Desconto Comercial
N	= Valor Nominal
i	= Taxa de juros
n	= Período considerado
Ex.:	Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?
N = $ 500
i = 8 % a.a. = 0.08			Dc = N . i . n
n = 4 meses = 4/12 			Dc = 500 . 0.08 . 4/12
Dc = ?				Dc = $ 13,33
Valor Atual (	o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.
Vc = N - Dc
Ex.:	 Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.
N = $ 2000				Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360
n = 65 dias	= 65/360		Dc = $ 469,44
i = 130 a.a. = 1.30
Dc = ?				Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44
Vc = ?				Vc = $ 1.530,56
Desconto Racional (	o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título.
Dr = N x i x n
 ( 1 + i x n )
Ex.:	 Qual o desconto racional de um título com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ?
N = $ 270				Dr = N . i . n / (1 + i . n) 
n = 2 meses 			Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)
i = 3 a.m. = 0.03 a.m.		Dr = $ 16,20 / 1.06
Dr = ?				Dr = $ 15,28
Valor Atual Racional (	é determinado pela diferença entre o valor nominal N e o desconto racional Dr
Vr = N - Dr
Equivalência de Capitais
Capitais Diferidos (	quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados de empréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes, estes capitais são denominados DIFERIDOS.
Capitais Equivalentes (	por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão equivalentes, em uma certa data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais.
Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial (	
Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instante n’ e de V’c o de outro título no instante n’, o valor atual destes títulos pode ser expresso como segue:
Vc = N ( 1 – i.n ) 	e	V’c = N’ ( 1 – i . n’ )
	Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então:
N’ = N ( 1 – i x n)
 1 – i x n’
onde:
N’ = Capital Equivalente
N = Valor Nominal
n = período inicial
n’ = período subseqüente
i = taxa de juros
Ex.: 	uma promissória de valor nominal $ 2000, vencível em 2 meses, vai ser substituída por outra, com vencimento para 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem ser descontados à taxa de 2 % a.m., qual o valor de face da nova promissória ?
						 $ 2.000							N’
N’ = ?			 ]		]		]		]		]		]
N = $ 2.000		 0		1		2		3		4		 5
n’ = 5 meses
n = 2 meses 
I = 2 % a.m. = 0,02 a.m.
		N’ = N (1 – i . n) / 1 – i . n’ = 2.000 (1 – 0.02 . 2) / (1 – 0.02 . 5)
	N’ = $ 2.133
Equivalência de Capitais p/ Desconto Racional (	
Para se estabelecer a equivalência de capitais diferidos em se tratando de desconto racional, basta lembrar que os valores atuais racionais dos respectivos capitais devem ser iguais numa certa data.
Chamando-se de Vr o valor atual do desconto comercial de um título na data n’ e de N o valor nominal deste título na data n, e de V’r o valor racional atual de outro título na data n’, e de N’ o valor nominal do outro título na data n’, temos:
Vr = N / ( 1 + i.n ) 	e	V’r = N’ / ( 1 + i . n’ )
	Para que se estabeleça a equivalência de capitais devemos ter Vr = V’r, logo:
N’ = N ( 1 + i x n’ )
 1 + i x n
onde:
N’ = Capital Equivalente
N = Valor Nominal
n = período inicial
n’ = período subseqüente
i = taxa de juros
Ex.: 	qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600, disponível em 75 dias, `a taxa de 80 % a.a. de desconto racional simples ?
						N $ 600 			N’ = ?
			 	 ]		]		]		]	
				 0		 75			 120
			Vr 75
Vr 120
Vr 75 = ?
Vr 120 = ?
n = 75 dias
n’ = 120 dias
i = 80 % a.a. = 0.80 a.a. = 0.80/360 a.d.
Como Vr 75 = Vr 120, temos ( N’ = 600 . ( 1 + 0.80/360 . 120) / (1 + 0.80/360 . 75)
					N’ = $ 651,28
JUROS COMPOSTOS
Conceito:	No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no período seguinte.
Juros Compostos (	são aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anterior
Cálculo do Montante (	vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses.
	
	CAPITAL ( C )
	Juros ( J )
	Montante ( M )
	1º Mês
	1.000
	100
	1.100
	2º Mês
	1.100
	110
	1.210
	3º Mês
	1.210
	121
	1.331
	4º Mês
	1.331
	133
	1.464
Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente.
 S = P ( 1 + i ) n
Onde:
S 	=	Soma dos Montantes
P	=	Principal ou Capital Iniciali	=	taxa de juros
n	=	nº de períodos considerados
a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;
Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá retirar ?
									S = ?
				0		i = 8 % a.m.
				 $ 800				n = 3	
Dados:				Pede-se: S = ?
P = $ 800
n = 3 meses
i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.
				S = P (1 + i ) n = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3
				S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08 
				S = $ 1.007,79
Valor Atual (	Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve ser investida à taxa de juros i para que se tenha o montante S, após n períodos, ou seja, calcular o valor atual de S.
	- Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual
 P = S / ( 1 + i ) n
Onde:
S 	=	Soma dos Montantes
P	=	Principal ( VALOR ATUAL )
i	=	taxa de juros
 n	 =	nº de períodos considerados
Interpolação Linear (	é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i ) n , quando o valor de n ou de i não constam da tabela financeira disponível para resolver o problema.
a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros “quebradas” ou períodos de tempo “quebrados”. Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias
Como a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i ) n para números “quebrados”, devemos procurar os valores mais próximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra de três, deste modo: 
Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 % a.m., após 10 meses, a juros compostos.
A tabela não fornece o fator ( 1 + i ) n correspondente a 3.7 %, mas seu valor aproximado pode ser calculado por interpolação linear de valores fornecidos na tabela.
Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na linha correspondente a 10 períodos (n), obtêm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) n que são, respectivamente, 1.343916 e 1.480244. Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referente a 3.7 %:
para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0.136328 (1.480244 – 1.343916);
para 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) n terá um acréscimo de x. Portanto:
1 % --------------- 0.136328
0.7 % ------------- x
x = 0.09543
- Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i ) n correspondente à taxa de 3 % (1.343916), teremos o fator (1.439346) correspondente à taxa de 3.7 %.
- Voltando à solução do problema, temos: S = 1.000 x 1.439346 (	S = $ 1.439,34
Taxas Proporcionais
Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente, trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando se refere a período de capitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:
juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;
juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;
juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;
Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) n é feito com a taxa proporcional. Dessa forma:
Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é 15% a.s.
1 ano = 2 semestres ( 30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.
Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é 5 % a.t.
1 ano = 4 trimestres ( 20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.
Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é 1 % a.m.
1 ano = 12 meses 	( 12 % a.a. = 12 x 1 % a.m.
Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com juros de 16 %, capitalizados trimestralmente ?
Dados:
P = 1.000
i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04 a.t.
n = 3 anos = 12 trimestres
			S = P . (1 + i ) n
			S = 1.000 . (1 + 0.04 ) 12
			S = 1.000 x (1.601032) (	S = $ 1.601,03
TAXAS EQUIVALENTES
São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que levam um capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período de tempo.
Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de tempo.
Temos, então:
		C = ( 1 + ie ) n		, onde: ie = taxa de juros equivalente 
		Ck = ( 1 + ik ) nk	, onde: ik = taxa de juros aplicada
- Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um mesmo capital, temos:
			C = Ck ( ( 1 + ie ) n = ( 1 + ik ) nk
	Então:			ie = ( 1 + ik ) k - 1
	- Esta fórmula é utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia, mês, trimestre), obter a taxa maior equivalente (ex.: semestre, ano).
	Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m. ?
	ik = 10 % a.m. = 0.1 a.m. 	ie = ?
	k = 1 ano = 12 meses 
 ( ie = ( 1 + ik ) k – 1 = (1 + 0.1) 12 - 1 = 2.138428 	
ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentual ( ie = 213,84 %
TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)
No regime de juros simples, as taxas são sempre EFETIVAS. Para melhor compreensão dos conceitos de Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema de juros compostos, vamos considerar os seguintes enunciados:
1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos à taxa de 10 % a.a., com capitalização anual, durante 2 anos ?
Solução:	Tal enunciado contém uma redundância, pois em se tratando de uma taxa anual de juros compostos, está implícito que a capitalização (adição de juros ao Capital), é feita ao fim de cada ano, ou seja, é anual. Elaborado visando o aspecto didático, este enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada é a de 10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % é uma taxa efetiva.
2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos, à taxa de 10 % a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos ?
Solução:	Este segundo enunciado também apresenta uma incoerência, pois sendo uma taxa anual, os juros só são formados ao fim de cada ano e, portanto, decorridos apenas 1 semestre, não se terão formados ainda nenhum juros e, por conseguinte, não poderá haver capitalização semestral.
Portanto, na prática costuma-se associar o conceito de taxa nominal ao de taxa proporcional
Assim, se a taxa de juros por período de capitalização for i e se houver N períodos de capitalização, então a taxa nominal iN será:
					IN = N x i
O conceito de taxa efetiva está associado ao de taxa equivalente. Assim, a taxa efetiva ie pode ser determinada por equivalência, isto é, o principal P, aplicado a uma taxa ie, durante um ano, deve produzir o mesmo montante quando aplicado à taxa i durante n períodos.
					i = ( 1 + ie) 1/n - 1
Ex.: Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados mensalmente, pelo prazo de 1 ano. Qual a taxa nominal e a taxa efetiva.
Taxa Nominal
IN = N x i ( 12 x 0.04 = 0.48 ( IN = 48 % a.a. ( Taxa Nominal
b) Taxa Efetiva
P = $ 100					S = P (1 + i) n
S = ?
i = 4 % a.m. = 0.04 a.m.			S = 100 x ( 1 + 0.04) 12
n = 12 meses				S = 100 x 1.60103
						S = $ 160,10
Logo, J = 160,10 – 100 ( J = $ 60,10, que foi produzido por $ 100; então:
ie = 60,10 % a.a.
	A taxa equivalente também poderia ser determinada pela fórmula:
i = ( 1 + ie) 1/n - 1
ie = ( 1 + i)n - 1 = (1 + 0.04)12 – 1 = 1.60103 – 1 = 0.60103
			ie = 0.6010 ( transformando-se para a forma percentual, temos:
					ie = 60,10 % a.a.
CAPITALIZAÇÃO EM PERÍODOS FRACIONÁRIOS
No regime de capitalização composta, os juros são capitalizados ao final de um período inteiro de capitalização (mês, ano, bimestre, semestre, etc). Dentro deste conceito, qual o tratamento a ser dado para os períodos não inteiros de uma operação?Nestas situações pode ser adotada a convenção linear ou a exponencial.
CONVENÇÃO LINEAR
Por esta convenção, calcula-se o montante a juros compostos do número de períodos inteiros. Ao montante obtido, adicionam-se os juros simples a ele correspondente no período fracionário.
Denominando-se de t + p / q o prazo total; de t, o número de períodos inteiros, e de p / q uma fração desse período, para calcular o montante S, atingido pelo capital P, na taxa i, ao fim de t + p / q períodos, temos:
S = P . ( 1 + i )n + P ( 1 + i )n . i . p / q
				Juros compostos		juros simples nas frações de períodos
			 Nos períodos inteiros		(taxa proporcional)
S = P ( 1 + i ) n . ( 1 + i . ( p / q ) )
	Ex.: Dado um capital de $ 100.000, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, à taxa de 12 % a.a., capitalizados anualmente, calcular S, pela conversão linear.
	Dados:
	P = $ 100.000					Pede-se: S = ?
	i = 12 % a.a. = 0.12 a.a.
	n = 3 anos						S = P (1 + i)n . (1 + i . p/q)
	p / q = 2 meses = 1 / 6 ano			S = 100.000 (1+0.12)3 (1+0.12 . 1/6)
					
					S = $ 143.302,66
CONVENÇÃO EXPONENCIAL
Na convenção exponencial, o capital renderá juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notar que, nos períodos fracionários, o cálculo é efetuado pela taxa equivalente. Assim, temos:
S = P ( 1 + i ) n( + p / q)
	Ex.: Um capital de $ 135.000 foi aplicado a juros compostos de 12.6825 % a.a. , capitalizados anualmente, durante um prazo de 2 anos e 3 meses. Calcular S pela convenção exponencial.
	Dados:
	P = $ 135.000				Pede-se: S = ?
	n = 2 anos = 24 meses
	p / q = 3 meses
	n + p/q = 24 + 3 = 27 meses
	i = 12.6825 % a.a. = ? a.m.
Antes de resolver a questão, devemos ter a taxa e o período de capitalização numa única unidade de tempo, isto é, homogeneizados. Como temos a taxa anual, vamos determinar a taxa mensal equivalente. Temos:
Dados:
P = $ 100					Pede-se: i = ?
S = $ 112,6825
n = 12 meses			S = P ( 1 + i )n (
				112,6825 = 100 ( 1 + i )12
				( 1 + i )12 = 1.126825
consultando a tabela de ( 1 + i )n, a taxa correspondente ao fator 1.1268, para n = 12, obtém-se i = 1 %. Como n está expresso em meses, a taxa será de 1 % a.m. Voltando ao problema, temos:
S = P ( 1 + i ) n ( + p / q) = 135.000 ( 1 + 0.01) 27 
- Como a tabela de ( 1 + i ) n para i = 1 e n = 18, obtém-se 1.196147 e para n = 9, obtém-se 1.093685, logo:
		S = 135.000 x (1.196147) x (1.093685) =>	S = $ 176.608,13
ATENÇÃO:	Ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Definido que será a linear, deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Caso definido que será empregada a exponencial, será utilizada a taxa equivalente.
DESCONTOS COMPOSTOS
Corresponde à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada período de capitalização.
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
O desconto racional composto é calculado sobre o valor atual (presente) de um título, utilizando-se do regime de capitalização composta. Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou racional, ou “por dentro”) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valor presente (ou atual) de um título. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o valor atual, resulta no valor futuro( ou nominal ) do título.
Dr = S . ( 1 + i ) n - 1
 ( 1 + i ) n
	Ex.: O valor do desconto real de uma nota promissória, que vence em 36 meses, é de $ 11.318,19. Admitindo-se que é utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional, qual o valor nominal do título ?
	Dados:
	D = $ 11.318,19			Pede-se: S = ?
	i = 2 % a.m. = 0.02 a.m. 
	n = 36 meses
	- Aplicando-se a fórmula, encontramos: 
( 11.318,19 = S x (1 + 0.02)36 – 1 / ( 1 + 0.02) 36 (	S = $ 22.202,19
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Trabalhando-se no regime de capitalização simples, a equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data “zero”.
No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racional composto), a equivalência de capitais pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.
Ex.: Considere uma dívida de $ 2.000 no final de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 10 % a.m. Quanto seria o valor do capital da data de hoje?
Capital A = ?
Capital B = $ 2.000	 	(		capital B = Capital A
 i = 10 % a.m. = 0.10 a.m.		2.000 = capital A ( 1 + 0.10) 3 
n = 3 meses					2.000 = capital A ( 1.1 x 1.1 x 1.1)
				Capital A = 2.000 / 1.331 ( C = $ 1.502,63
RENDAS CERTAS
(	Denomina-se Renda o conjunto de 2 ou mais pagamentos, ocorridos em épocas distintas, objetivando a formação de um capital ou o pagamento de uma dívida.
Termos (	os pagamentos (prestações ou depósitos) são os termos da Renda.
Montante da Renda (	quando a renda for destinada à formação de um capital, este capital será denominado de Montante da Renda.
Valor Atual da Renda (	se o objetivo da renda for o pagamento de uma dívida, o valor da dívida será designada por Valor Atual da Renda.
Graficamente, temos:
										S
	0			1		2		3		 4
		|							
				 R		 R		 R
Onde:		S = Montante de uma Renda com 3 termos (depósitos)
		P
		 0		1		2		3		 
		|							
				 R		 R		 R
Onde:		P = Valor Atual ou presente de uma Renda com 3 termos (Pagamentos)
As Rendas podem ser classificadas em função de:
possibilidade de se estabelecer previamente o número de termos de uma renda, seus vencimentos e respectivos valores.
Nas Rendas Certas, o número de termos, seus vencimentos e respectivos valores podem ser previamente calculados.
Ex.: as prestações necessárias para pagar uma compra a prazo.
As rendas aleatórias são aquelas em que pelo menos um dos elementos da renda (número de termos, vencimentos, valores) não pode ser previamente estabelecido.
Ex.: pagamento de uma pensão vitalícia.
Duração, periodicidade e valores dos termos.
Por este critério as rendas podem ser classificadas em:
Temporárias - são as rendas em que o número de termos é finito e a renda tem um termo final.
Ex.: venda de um carro financiado em 15 parcelas;
Perpétuas – são as rendas em que o número de termos é infinito.
Ex.: direitos autorais
Periódicas – são aquelas em que a freqüência entre pagamentos é constante.
Ex.: Aluguéis mensais; 
Não – Periódicas – são aquelas em que a freqüência entre os pagamentos não é constante.
Ex.: venda de um bem a prazo, com pagamento de uma parcela no ato, a 2ª com 30 dias e 3ª com 50 dias.
Constantes - são aquelas em que todos os pagamentos são de um mesmo valor
Ex.: financiamento de um veículo em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas;
Variáveis – são aquelas em que os pagamentos não são do mesmo valor.
Ex.: parcelas de um consórcio.
Vencimento dos termos
quanto ao vencimento dos termos as Rendas podem se classificar em:
rendas imediatas – (ou postecipadas) - quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período (convenção de fim de período do fluxo de caixa)
rendas antecipadas - quando os pagamentos ocorrem no início de cada período;
rendas diferidas – quando o pagamento (ou recebimento) dos termos passa a ocorrer após determinado período de tempo (prazo de carência)
1. RENDAS IMEDIATAS
Valor Atual de uma Renda Imediata (	o valor atual (ou presente) de uma rendaequivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de um bem) que será pago em prestações.
					1	2	3	4	.....	n
Renda imediata (	 0	
					 R	 R R R R
P = R x ( 1 + i )n - 1
i x ( 1 + i )n 
Onde:
P =	Capital
R = 	Renda ou Prestação
i =	Taxa de juros
n = 	Períodos
Ex.:	Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de $ 250,000, em 5 parcelas, à uma taxa de 5 % a.m. ?
	Dados:
	P = $ 250.000				Pede-se: R = ?
	n =	5 meses				
	i =	5 % a.m. = 0,05 a.m.		P = R .( (1 + i)n - 1) / i . (1 + i) n
			250,000 = R . ((1 + 0,05)5 – 1) / 0,05 . (1 + 0,05)5 .
			250,000 = R . (1,276281 – 1) / (0,05 . 1,276281)
R = (250,000 x 0,063814) / 0,276281 ( R = $ 57.743,70
Montante de Rendas Imediatas (	O montante de uma renda imediata corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, durante n períodos, a uma taxa i de juros.
devemos lembrar que o valor presente da série de n termos da renda, no instante zero, deve ser equivalente ao montante S no instante zero.
S = R x ( 1 + i )n - 1
 i 
Onde:
S =	Montante
R = 	Renda ou Prestação
i =	Taxa de juros
n = 	Períodos
Ex.:	Se quisermos ter $ 2,000,000 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 15 % a.m. ?
	Dados:
	S = $ 2,000,000				Pede-se: R = ?
	n = 12 meses
	i = 15 % a.m. = 0,15 a.m.		S = R . ((1 + i)n - 1) / i
	2,000,000 = R . ((1 + 0,15) 12 - 1 ) / 0,15 ( 2,000,000 = R . 4,35025 / 0,15
	R = 2,000,000 x 0,15 / 4,35025	(	R = $ 68,961.55
2. RENDAS ANTECIPADAS
Valor Atual de uma Renda Antecipada (	Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período e dos demais no final dos respectivos períodos. Nas Rendas antecipadas, o 1º pagamento ocorre no instante zero e os demais pagamentos ocorrem no início de cada período.
					1	2	3	4	.....	n
Renda imediata (	 0	
					 R	 R R R R
					 	1	2	3		n
Renda ANTECIPADA (		 0	
					 R	 R R R R
( 	Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única diferença é que o primeiro termo, na renda imediata, ocorre no fim do 1º período, enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero.
Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período, automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).
Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 ( e os demais para o final dos respectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por ( 1 + i )n , “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta “transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma renda postecipada.
Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas, basta dividirmos o valor encontrado para as rendas imediatas por ( 1 + i ) .
 R antecipada = R imediata / ( 1 + i ) 
Ex.:	Um apartamento é vendido à vista por $ 100,000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor da Prestação ?
Dados:
P = $ 100,000				Pede-se: R = ? (antecipada)
n = 19 meses
i = 2 % a m. = 0,02 a m.
Solução:	Primeiramente, calculemos o valor das prestações caso o produto fosse vendido sem entrada, com a 1ª prestação somente no final do 1º período.
P = R . ((1 + i)n – 1) / (i . ( 1 + i)n (	100,000 = R . ((1,02)19 – 1) / (0,02 . (1,02)19 )
100,000 = R . 0,456811 / (0,02 . 1,456811) (	100,000 = R . 0,456811 / 0,029136
R = 100,000 x 0,029136 / 0,456811	(	R = $ 6.378,13 (imediata)
R (antecipada) = $ 6.378,13 / (1 + 0,02) (	R = $ 6.253,07 (antecipada)
Montante de Rendas Antecipadas (		A exemplo dos valores atuais de rendas imediatas e antecipadas, o montante de uma renda antecipada irá diferir do montante de uma renda imediata (ou postecipada) no tocante à ocorrência do 1º depósito.
Portanto, para encontrarmos o valor do montante antecipado, basta dividirmos o valor encontrado para o montante imediato por ( 1 + i ) .
S antecipada = S imediata / ( 1 + i ) 
Ex.:	Quanto devo depositar mensalmente num fundo de investimento que paga 4 % a m., para que, no fim de 10 meses, não ocorrendo nenhum resgate, possa dispor de $ 150,000, supondo o 1º depósito na data zero, e o total de 10 depósitos ?
Dados:
S = $ 150,000				Pede-se:	R = ?
n = 10 meses
i = 4 $ a m. = 0,04 a.m.
Solução:	Primeiramente, calculemos o valor dos depósitos caso o primeiro fosse feito não na data zero, mas 30 dias após, ou seja, no final do 1º período.
S = R . ((1 + i)n - 1) / i	(	150,000 = R . ((1 + 0,04)10 – 1) / 0,04
150,000 = R . (1,04)10 – 1) / 0,04	(	150,000 = R . (1,480244 – 1) / 0,04
150,000 = R . 0,480244 / 0,04	(	R = 150,000 x 0,04 / 0,480244
R = $ 12.493,65 (imediata)	( 	R antecipada = R imediata / 1 + i
R antecipada = 12.493,65 / 1,04	(	R = $ 12.013,12 (antecipada)
3. RENDAS DIFERIDAS
Valor Atual de Rendas Diferidas (	As rendas diferidas são aquelas em que os pagamentos ou depósitos passam a ocorrer após um certo prazo, prazo este denominado prazo ou período de carência.
 P					renda de 5 termos, c/ 3 períodos de
									Carência.
		 0		1	2	3	4	5	6	7	8
									R
o cálculo do valor atual de uma renda diferida pode ser decomposto em 2 etapas:
1ª etapa:	cálculo do valor presente da renda até o final do período de carência;
2ª etapa:	cálculo do valor presente, na data zero, do valor obtido no final do período de carência.
 cálculo da renda após a carência
P = 1 x R x ( 1 + i )n - 1
 ( 1 + i )n i x ( 1 + i )n
Ex.:	Qual o valor atual de uma renda de $ 100, de 3 termos mensais, com 2 meses de carência, à taxa de 6 % a m. ?
	
 P = ?		i = 6 % a m.				
		 0		1	2	3	4	5	
									
--- carência ------- R = 100
1ª etapa:	
Dados:
R = 100					Pede-se: P2 = ?
n = 3 meses
i = 6 % a m. = 0,06 a m.		P = R . ((1 + i)n - 1) / i .(1 + i)n (
P = 100 . ((1 + 0,06)3 – 1) / (1 + 0,06)3 (	P = 100 . (1,191016 – 1) / 1,191016 x 0,06
P = 100 . 0,191016 / 1,191016 x 0,06		(	P2 = $ 267,30
2ª etapa:	
Dados:					Pede-se: P = ?
P2 = 267,30				P = P2 / (1 + i)n (	P = $ 267,30 / (1 + 0,06)2
n = 2 meses
i = 6 % a m. = 0,06 a m.		P = 267,30 / 1,1236 ( 	P = $ 237,90
Valor Atual de Rendas Perpétuas Imediatas (	Rendas Perpétuas são aquelas em que o número de termos é infinito. O valor atual de uma renda perpétua imediata é dado pela fórmula:
P = R / i
Onde:
P = Valor do Capital
R =	Renda ou pagamento
I = taxa de juros
Ex.:	Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétua de $ 2,000 por mês. Considere a convenção de fim de período e juros de 1 % a m.
							
			 				 S
			0		1		120	 R	00		
						 R
1ª etapa:	vamos, inicialmente, calcular o valor que proporciona uma renda mensal vitalícia de $ 2,000
P = R / i	(		P = 2000 / 0,01	(	P = $ 200,000
2ª etapa:	agora o problema se resume a, dado o Montante S, achar a Renda N:
Dados:
S = $ 200,000				Pede-se: R = ?
i = 1 % a m. = 0,01 a m.			S = R . ((1 + i)n - 1) / i
n = 120 meses 				200,000 = R . ((1 + 0,01)120 – 1) / 0,01
200,000 = R . (1,01120 – 1) / 0,01	(	200,000 = R . (1,01120 –1)/ 0,01
R = 200,000 x 0,01 / (1,01120– 1) (		R = 2000 / 2,3003841
						R = $ 869,42
Valor Atual de Rendas Perpétuas antecipadas (	Para calcular o valor atual de rendas perpétuas antecipadas, basta adicionar o termo que ocorreu no instante zero à fórmula das rendas perpétuas imediatas. Assim, temos:
P = R + R / i
Ex.:	Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado para receber $ 2,000 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1 % a. m.. Considerar série infinita de pagamentos antecipados.
P = R + R / i	(	P = 2000 + 2000 / 0,01	(	P = $ 102,000
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Quando se contrai uma dívida, o devedor se compromete a devolver o capital emprestado acrescido dos juros, que é a remuneração do capital. Como a remuneração do capital depende do regime de juros adotados, geralmente este regime é determinado pelo prazo em que o empréstimo é efetuado.
Sistemas de Amortização de Curto Prazo (	Para os casos de empréstimos de curto prazo (inferior a 1 ano) costuma-se utilizar o sistema de juros simples, sendo que as formas mais freqüentes de se quitar o débito são:
O principal e os juros são pagos somente no final do período do empréstimo ( P + E), ou comumente chamado de “principal mais encargos no final”. 
Supondo um empréstimo de $ 100,000, por 4 meses, à taxa de 10% am., temos:
M = C ( 1 + in)					 100,000		
M = 100,000 ( 1+ 0,1 . 4)			 0		 4		
M = 140,000								 140,000
Os juros devidos ao principal, pelo período total do empréstimo, são cobrados antecipadamente, ou seja, no próprio momento em que se contrai a dívida. Isto é conhecido como encargos antecipados, principal no final, e é, praticamente, a única forma de financiamento a juros simples que existe no mercado, atualmente. É o que ocorre no Desconto de Duplicatas. O comerciante entrega duplicatas com valor de face de $ 100,000, mas recebe somente $ 92.455,62. No vencimento das duplicatas, o banco recebe o seu valor de face.
				 100,000
				0					4
				 7.544,38				100,000
 Um terceiro mecanismo de amortização de empréstimo a curto prazo, é aquele em que o débito é saldado com os juros sendo pagos mensalmente e o principal no final do prazo do financiamento (encargos mensais, principal no final).
				 0		1	 2 	3		4
 				 4,000	 4,000 	4,000		104,000
Sistemas de Amortização a Longo Prazo ( O regime estipulado para a remuneração de capitais emprestados a longo prazo (mais de 1 ano), costuma ser o de juros compostos. O método mais utilizado para o resgate de empréstimos de longo prazo é chamado de Prestações Periódicas Constantes, ou Tabela Price.
O SISTEMA PRICE
O empréstimo é amortizado em prestações iguais e consecutivas, a partir do momento em que começam as amortizações
Como as prestações são iguais e consecutivas, durante um certo número de períodos, tais pagamentos podem ser calculados da seguinte maneira:
P = R x ( 1 + i )n - 1
 i x ( 1 + i )n 
Ex.:	( AFRF–2002) - Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento.
a) R$ 136.982,00
b) R$ 147.375,00
c) R$ 151.342,00
d) R$ 165.917,00
e) R$ 182.435,00
Solução do Prof. Francisco Velter (Site Ponto dos Concursos):
A principal característica do sistema price é a de que o mutuário é obrigado a devolver os juros mais o principal em prestações periódicas e constantes.
Estamos, portanto, diante de três problemas para construir a planilha financeira: como obter o valor das prestações, o valor dos juros e o valor da amortização em cada prestação.
Partindo do pressuposto de que a prestação é a soma do valor da amortização e dos juros, temos as três relações a seguir:
P = A + J             A = P – J              J = P – A
(	A prestação pode ser calculada pela aplicação da fórmula seguinte: 
	P =
	Va (
	(1 + i)n - 1
	
	
	 i (1 + i)n
(	O valor dos juros é obtido pela multiplicação da taxa de juros unitária (i) do período (n) pelo saldo devedor (SD) do período anterior (n-1).
 					J = SDn-1 x I
(	O valor da amortização é obtido pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros.
A = P – J
(	O saldo devedor do período é obtido pela subtração da amortização do período (n) do saldo devedor do período anterior (n-1).
SDn = SDn-1 - An
Atenção!!!
(	Nas provas de concursos, as questões sobre prestações normalmente versam sobre este tipo de amortização. Por isso vamos aprofundar o assunto com um exemplo completo e analisá-lo sob todos os aspectos possíveis, inclusive dando alguns macetes que você nunca viu antes!!!!!!!
(	Suponha que você queira adquirir um veículo, cujo preço à vista é de R$ 20.441,07, em 12 prestações trimestrais. A financeira propõe uma taxa de juros de 40% ao ano, com capitalização trimestral. Você não dá entrada. Nessas condições, após calcular o valor de cada prestação, podemos montar a planilha financeira.  
	P =
	Va (
	(1 + i)n - 1
	
	
	i (1 + i)n
Procurando na tabela o valor de an¬ i , com n = 12 e i = 10%, encontramos o valor: 
6,813692. Dessa forma, o valor de P será:
P = R$ 20.441,07 /  6,813692
P = R$ 3.000,00
Planilha financeira do sistema de amortização Francês ou Price. I = 10% a. t. 
	n
	Saldo devedor (SD)
	Amortização (A)
	Juros (J)
	Prestação (P)
	m
	0
	20441,07
	0
	0
	0
	12
	1
	19485,18
	955,89
	2044,11
	3.000,00
	11
	2
	18433,71
	1051,47
	1948,53
	3.000,00
	10
	3
	17277,09
	1156,62
	1843,38
	3.000,00
	9
	4
	16004,80
	1272,29
	1727,71
	3.000,00
	8
	5
	14605,29
	1399,51
	1600,49
	3.000,00
	7
	6
	13065,82
	1539,47
	1460,53
	3.000,00
	6
	7
	11372,41
	1693,41
	1306,59
	3.000,00
	5
	8
	9509,66
	1862,75
	1137,25
	3.000,00
	4
	9
	7460,63
	2049,03
	950,97
	3.000,00
	3
	10
	5206,70
	2253,93
	746,07
	3.000,00
	2
	11
	2727,37
	2479,33
	520,67
	3.000,00
	1
	12
	0,10
	2727,26
	272,74
	3.000,00
	0
Conclusões:
1 - O Saldo devedor de R$ 0,10 não significa que você ficará devendo após ter pago todas as prestações e tampouco que a financeira não receberá o inicialmente pactuado, pois o valor do principal e os juros estão calculados na prestação. Esse saldo decorre apenas do processo de arredondamento das cálculos.
2 – O saldo devedor teórico, imediatamente, após o pagamento da penúltima prestação é igual a amortização relativa a última prestação. Isso decorre do raciocínio natural de que quando pagamos a última prestação, estamos liquidando a nossa dívida.
3 – As prestações são, sempre, fixas.
4 – A amortização é crescente de forma não linear, isto é, cresce de forma exponencial. Com isso, ocorre uma menor amortização na fase inicial e uma maior amortização mais no final do período do empréstimo.
5 – O valor dos juros é decrescente de forma não linear, isto é, de forma exponencial.
6 – O valor da última amortização pode ser obtido da seguinte expressão:
P = A + J
(	Como os juros incidem sobre o valor do saldo devedor do período anterior, e como o valor da última amortização é, teoricamente, idêntico ao saldo devedor anterior, então os juros incidem sobre a própria última amortização. 
 Cuidado! Esse raciocínio só é aplicável após o pagamento da penúltima prestação, isto é, vale para valores da última amortização, prestação, juros ou saldo devedor.Nessas condições, temos que:
P = An + ( An x i )
Conferindo com o nosso exemplo, temos que:
P = R$ 3.000,00
A12 = ?
i = 10% ao trimestre, logo
3.000,00 = A12+ (A12 80,1)	(	3.000,00 = A12 + 0,1 A12	(	1,1 A12 = 3.000,00
A12 = 3.000,00  / 1,1 (	A12 = R$ 2.727,27
7 – Agora, uma das grandes novidades. Você sabia que o valor A12 ou outro An qualquer, pode ser obtido pela aplicação da fórmula do montante de juros compostos?
Então veja:
A12 = A1 x (1+ i)n-1	(	A12= A1 x (1,1)11	(	A12 = 955,89 x 2,853117
A12 = 2.727,27
Assim, se você se deparar diante de uma questão de prova, em que seja solicitado o valor originário de um financiamento e a banca examinadora apresentar uma planilha financeira com somente os seguintes elementos, não se apavore, pois o trem tem solução, senão vejamos:
Planilha financeira do sistema de amortização Francês ou Price. 
	n
	Saldo devedor SD)
	Amortização (A)
	Juros (J)
	Prestação (P)
	m
	0
	
	0
	0
	0
	12
	1
	
	
	
	
	11
	2
	
	
	
	
	10
	3
	
	1.156,62
	
	
	9
	4
	
	
	
	
	8
	5
	
	
	
	
	7
	6
	
	
	1.460,53
	
	6
	7
	
	
	
	
	5
	8
	
	
	
	
	4
	9
	
	2.049,03
	
	
	3
	10
	
	
	
	
	2
	11
	
	
	
	
	1
	12
	
	
	
	
	0
(	Como foi visto antes, o valor de An pode ser obtido pela fórmula do montante. 
(	Assim, o valor de A9 representa o montante de A3, com n sendo igual a 6 períodos.
(	O primeiro passo a executar é calcular a taxa de juros que está embutida nessa planilha. Para isso basta dividir o valor de A9 pelo valor de A3 e obteremos o valor de (1+i)6.
(	Uma vez obtido o valor de (1+i)6 , procuramos na tabela, na linha de 6 períodos, até encontrarmos o valor.
Então:
 (1+i)6 = A9 ( A3	(	 (1+i)6 = 2049,03 ( 1156,62 (	  (1+i)6 = 1,77156, 
valor encontrado na coluna de 10%, logo a taxa utilizada é de 10% ao período.
(	Sabido a taxa, agora é só achar o valor da 6ª amortização, para somá-la aos juros e obter o valor da prestação. Assim:
A6 = A3 x (1 + 0,1)3	(	A6 = 1156,62 x 1,331	(	A6 = 1539,46
 Dessa forma o valor da prestação será:
P = A6 + J6		(		P = 1.539,47 + 1460,53	(	P = R$ 3.000,00
(	Mas, ainda não encontramos o valor do financiamento. Para isso, preciso saber o valor dos juros embutidos na 1ª prestação e esse valor obtenho pela diferença entre a prestação e o valor da amortização. Então teremos que calcular o valor da 1ª amortização:
A3 = A1 x (1,1)2	(		1156,62 = A1 x 1,21	(	A1 = 1.156,62 ( 1,21
A1 = 955,89
Logo, os juros da 1ª prestação são:	 J = P – A
J = 3000 – 955,89
J = 2.044,11
(	Finalmente podemos achar o valor do financiamento, pois sabemos que esse valor dos juros representa 10% do valor do saldo devedor anterior, ou seja, do valor do financiamento.
Dessa forma, o valor financiado é:
2.044,11 ................> 10
 X	......................> 100
 X = 2.044,10 x 100 ( 10	(	X = R$ 20.441,00
Dessa vocês não sabiam, sabiam???!!!!!
Também, já era hora de aparecer algo de novo que compensasse o tempo investido.
no sistema de amortização Francês ou Price, as prestações são constantes, os juros são decrescentes de forma exponencial, a amortização é crescente de forma exponencial e o saldo devedor é decrescente. 
Após este pequeno “intróito”, podemos finalmente resolver a questão da prova:
O primeiro passo é calcularmos o valor financiado, pois temos o valor das prestações, a taxa de juros e o número de períodos, não se esquecendo que o valor financiado é o próprio valor atual.
Va = P x an¬i 	(	Va = 200.000 x 6,259331		(	Va = 1.251.866,20
Podemos, agora, calcular o juro embutido na 1ª prestação:
J1 = 0,15 x 1.251.866,20		(		J1 = 187.779,93
Uma vez calculado o juro, temos condições de saber o valor da amortização da 1ª prestação:
P = A + J (	A = P – J = 200.000,00 – 187.779,93 = 12.220,07
Agora, podemos calcular o valor da 10ª amortização:
A10 = A1 ( 1 + 0.15)9 	(	A10 = 12.220,07 x 3,517876 = 42.988,69
Como P = A + J, o juro embutido nessa 10ª prestação é:
200.000,00 – 42.988,69 = 157.011,31
Esse juro representa 15% do Saldo Devedor do período anterior, então, o SDn-1 é:
157.011,31 	................>	15%
 X		................>	100%		(	 X = 1.046.742,06
Assim, o Saldo Devedor antes de pagar a 10ª prestação era de 1.046.742,06.
Após o pagamento da 10ª prestação, o SD será:
SDn = SDn-1 – An 		(		SD10 = 1.946.742,06 – 42.988,69 = 1.003.753,37
Esse valor será o novo valor atual para calcularmos o valor da prestação renegociada.
n = 15
i = 12
Va = 1.003.753,37 P = ?
P = Va ( an¬I	(P = 1.003.753,37 ( 6,810864 ( P = 147.375,33
Portanto, a resposta correta é a letra “b”
período de carência
Professora Adriane Guarienti
 e-mail: adrig.sm@terra.com.br
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_1216710444.unknown
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_1215429350.unknown