Aula 11 e 12 Tensão nos solos e Critérios de Ruptura Circulo de Mohr

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Mecânica dos Solos II
Aula 08 – Tensões de Ruptura
Prof. Thiago Martins
Definição de tensão em meios contínuos
𝐹1
𝐹2 𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6 B
A
z
x
y
𝐹𝑅
∆𝐹
∆𝐴
‘∆A
∆𝐹 𝑛
∆𝐹
∆𝐹 𝑐
n
Corpo em equilíbrio sob a 
atuação de um sistema de 
forças.
n representa a direção normal ao plano analisado
Definição de tensão em meios contínuos
∆A
∆𝐹 𝑛
∆𝐹
∆𝐹 𝑐
∆A
σ 𝑛
𝑝𝑛
τ 𝑛𝑧
𝑝𝑛 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹
∆𝐴
𝜎𝑛 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑛
∆𝐴
𝜏𝑛 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑐
∆𝐴
Tensão total no ponto
n n
τ 𝑛𝑦
Pela Lei de Equilíbrio de Newton, o estado de tensão em
qualquer plano passando por um ponto, em um meio contínuo,
é totalmente especificado pelas tensões atuantes em três
planos mutuamente ortogonais, que passam por este mesmo
ponto.











zyzxz
zyyxy
zxyxx
zyxxyz tttT



] [][
τxy
Em coordenadas cartesianas o
estado de tensão em um
elemento 3D é determinado
por nove componentes de
tensão
τxy − 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙
a tensão atua, e o segundo a direção da componente tangencial
σx
τxz
σy
σz
τyz
τyx
τzyτzx
x
z
y
𝜎𝑦 − 𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
Estado triaxial de tensões
Estado plano de tensões
 Muitas obras de engenharia geotécnica, podem ser tratadas em termos
bidimensionais, nesses casos faz-se necessário o conhecimento das tensões em
apenas 2 planos ortogonais. Sendo os casos mais comuns o de deformação plana (a
deformação em um dos eixos é nula) e axissimétrica (as deformações no plano
horizontal são iguais, e a análise pode ser feita considerando exclusivamente os
eixos horizontal e radial).
(Gerscovich, 2012)
Determinação das tensões em um 
plano inclinado qualquer, A-A’.
σx
τyx
τxy
σy
n
θt
A
A’
wordpress
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
α
τα
σα
Sendo de particular
interesse os denominados
planos de ruptura.
α
σατα
τα
σα
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
σx
τyx
τxy
σy
n
θt
Tensões no plano de 
interesse
Tensões nas direções 
de aplicação
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
 Estas componentes podem ser
calculadas a partir de um estado
plano. As equações que correlacionam
as tensões nas direções de aplicação,
com as tensões no plano inclinado,
partem da análise de equilíbrio de
força nas direções normal e
tangencial a este plano.
σx
τyx
τxy
σy
n
α
θ
dS
dS cosθ
d
S
 s
e
n
θ
θ
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
 Considere um elemento, de espessura unitária, pelo qual passa um plano de 
ruptura de largura dS e cuja inclinação vale θ: 
σx
τyx
τxy
σy
n
α
θ
dS
dS cosθ
d
S
 s
e
n
θ
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
 O produto das tensões
que atuam nas faces
vertical e horizontal deste
elemento pelas respectivas
áreas de atuação,
representa as forças
atuantes em cada face.
σx
τxy
τxy
σy
n
α
θ
dS
dS cosθ
d
S
 s
e
n
θ
σxdS senθ
τxydScosθ
τxydS senθ
σydS cosθ
σdS
θ
τdS
Forças atuantes em diferentes
direções
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
τxydS sen²θ
τxydS senθcosθ
τdS
θ
θ
τxydS cosθsenθ
τxydS cos²θ
θ
Componentes advindas das
tensões cisalhantes
σxdS sen²θ
σydS cosθsenθ
σdS
θ
θ
σxdS senθcosθ
σydS cos²θ
Componentes advindas das tensões
normais
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
 cosdSsen2²cosdS²dSsendS xyyx
 cos2²cos² sensen xyyx 
Aplicando as relações 
trigonométricas
 2cos2 sensen 
2/)2cos1(²cos 
2/)2cos1(²sen 
Tem-se:
 22cos)(
2
1
)(
2
1
senxyxyyx 
 A partir desta decomposição, pode-se fazer o somatório de forças nas
direções normal e tangencial, para a condição de equilíbrio, isto é,∑F=0:
0Fn 
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
0Ft 
 ²dSsen²cosdScosdSsensencosdSdS xyxyyx
Aplicando as 
relações 
trigonométricas
 2sencossen2
 2cos²sen²cos
Tem-se:
 ²sen²coscossensencos xyxyyx
 2cos2)(
2
1
xyxy sen 
 Da mesma forma, para a direção tangencial ao plano:
 22cos)(
2
1
)(
2
1
senxyxyyx 1
xyxy sen 
Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
 Desta forma, as equações:
 Permitem determinar as tensões normais (σθ) e tangencias (τθ), para um 
plano com uma inclinação qualquer (θ), a partir das tensões atuantes sobre 
o elemento considerado (σx, σy, τxy).
 (  ) 2  cos 2
2
x
y
z
Estado plano de tensões
 Por qualquer ponto tensionado,
passam três planos ortogonais entre si,
para os quais a tensão cisalhante é
nula. Estes planos são chamados de
planos principais.
 As tensões normais que atuam sobre
estes planos são ditas tensões
principais, sendo convencionalmente:
 σ1 = Tensão principal maior;
 σ2 = Tensão principal intermediaria;
 σ3 = Tensão principal menor.
  2cos2
2
xy
xy
sen 


Estado plano de tensões 
Tensões em um plano qualquer
 22cos
22
senxy
xyxy





0
0
 2cos
22
3131 


 2
2
31 sen


σy = σ1
σx = σ3
As equações anteriores podem ser reescritas em função das tensões 
principais, neste caso:
Lembrando que,
σy = σ3
σx = σ1
Se, K < 1
v
hK



Se, K > 1, portanto:
Coeficiente de empuxo lateral:
Estado plano de tensões
Para τθ = 0 (planos principais) xy
xy
tg





2
2:.
02cos2sen
2
xy
xy


Como um plano principal não possui tensões cisalhantes, a equação
definida anteriormente, para o cálculo da tensão em um plano inclinado
qualquer, permite determinar a direção das tensões principais.
 2cos2)(
2
1
xyxy sen 
Estado plano de tensões
As tensões normais atuantes nos planos principais são definidas a partir da 
substituição da equação de tg2θ em σθ.
As expressões resultantes estão apresentadas abaixo:
 
2
xy
2
xyxy
1n
22





 



 
2
xy
2
xyxy
3n
22





 



Tensão principal maior:
Tensão principal menor:
Círculo de Mohr
Raio do Círculo de Mohr.:
 
2
xy
2
xy
2
 




 
σ (kPa)
τ
(k
P
a)
Círculo de Mohr
O Círculo de Mohr é a
representação gráfica de um
estado de tensões em um ponto.
Este Círculo é obtido trançando-se
um gráfico de tensões normais
versus tensões cisalhantes para
cada valor de inclinação (θ), no
espaço (σ, τ).
θτ(θ)
σ(θ)
σ (kPa)
τ
(k
P
a)
0
2θ
θ
τ(θ)
σ(θ)
C
Qualquer ponto na circunferência,
tal como o ponto C, representa o
estado de tensão em um plano cuja
normal está orientada em um
ângulo θ em relação à direção da
tensão principal maior.
Te
n
sã
o
 C
is
al
h
an
te
Tensão Normal
(σx,τxy)
(σn,τn)
(σy,-τxy)
σ3 σ1N ≡
M
Q
R
S ≡
O
2θ
Q
Círculo de Mohr
Para traçar um Círculo de Mohr
basta conhecer as tensões principais
(σ1e σ3) ou dois pares de tensõesatuantes em dois planos ortogonais
quaisquer, por exemplo (A e B).
σ (kPa)
τ
(k
P
a)
0
θ
τ(θ)
σ(θ)
A
τ m
á
x
σ3 σ1
B
Círculo de Mohr
Convenção de sinais:
Tensões normais de compressão:
positivas; 
Tensões cisalhantes que provocam 
rotação anti-horária do elemento: 
positivas. 
τ -
σ +σ +
σ +
σ +
τ +
τ +
τ -
Círculo de Mohr
Convenção de sinais
Círculo de Mohr
Conceito de Pólo ou Origem dos Planos
 Um outro elemento fundamental
para a interpretação do estado de
tensões em um ponto a partir do
Círculo de Mohr é o Polo.
 Polo é, por definição, a origem dos
planos. Representado no Círculo de
Mohr pelo ponto de interseção
entre dois planos ortogonais, sendo
único para um mesmo estado de
tensão.
 A título de ilustração considere o
exemplo onde R = tensões atuantes
em um plano vertical; e M = tensões
atuantes em um plano horizontal.
T
en
sã
o
 C
is
al
h
an
te
(σx,τxy)
(σy,-τxy)
σ3 σ1N ≡
M
R
S ≡
O
P
1º.: Passa por R um plano paralelo ao plano no
qual atuam suas tensões (neste caso plano
vertical)
2º.: Passa por M um plano paralelo ao plano no
qual atuam suas tensões (neste caso plano
horizontal)
3º.: 1º ∩ 2º = P (Polo)
Tensão Normal (kPa)
250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
Te
n
sã
o
 T
o
ta
l 
C
is
al
h
an
te
 (
k
P
a)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
316.03
-41.722
279.79
252.42343.4
Polo 
Círculo de Mohr
Conceito de Pólo ou Origem dos Planos
Uma linha que une o Polo a um
ponto Q (qualquer) será paralela
ao plano no qual as tensões
representadas pelo ponto Q
atuam.
Portanto, conhecida a posição do
Polo é possível determinar a
inclinação em qualquer plano para
um dado estado de tensões.
R – tensões atuantes em um plano vertical.
M – tensões atuantes em um plano horizontal.
T
en
sã
o
 C
is
al
h
an
te
Tensão 
Normal
(σx,τxy)
(σn,τn)
(σy,-τxy)
σ3 σ1
M
Q
R
O
θ
P
Círculo de Mohr
Conceito de Pólo ou Origem dos Planos
Valores em unidade de 
tensão.
Exemplo 1
 Determine graficamente as tensões principais para o 
elemento apresentado abaixo e compare com os 
resultados obtidos a partir de uma solução analítica.
30º
Exemplo 2
 Determine graficamente as tensões atuantes no plano de
ruptura do elemento apresentado abaixo e compare com os
resultados obtidos a partir de uma solução analítica.