Segunda Lista de Exercícios

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Universidade Federal do Ceara´
Campus de Sobral
Segunda Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I
Professor: Francisco Pereira Chaves
Aluno:
1. Determine os valores da varia´vel independente nos quais a func¸a˜o e´ descont´ınua.
(a) f(x) =
x2 + x− 6
x + 3
(b) g(x) =
x2 − 3x− 4
x− 4
(c) f(x) =
5
x− 4
(d) g(x) =
x4 − 16
x2 − 4
(e) h(x) =
x2 − 5x + 4
(x− 1)(x2 − x− 12)
(f) g(x) =
|x|
x
(g) f(x) =

5
x− 4 se x 6= 4
2 se x = 4
(h) g(x) =

1 + x se x ≤ −2
2− x se − 2 < x ≤ 2
2x− 1 se x > 2
(i) h(x) =

√−x se x < 0
3
√
x + 1 se x ≥ 0
(j) f(x) =
 |x + 2| se x 6= −23 se x = 2
2. Prove que a func¸a˜o e´ descont´ınua no nu´mero a e determine se a descontinuidade e´
remov´ıvel ou essencial. Se a descontinuidade for remov´ıvel, redefina f(a) de modo
que a descontinuidade seja removida.
(a) a = −5; f(x) =

1
x + 5
se x 6= −5
0 se x = −5
(b) a = 2; f(x) =
 9− x2 se x ≤ 23x + 2 se x > 2
(c) a = −3; f(x) = x
2 − x− 12
x2 + 2x− 3
(d) a = 3; f(x) =
 |x− 3| se x 6= 32 se x = 3
(e) a = 3; f(x) =

x2 − 4x + 3
x− 3 se x 6= 3
5 se x = 3
1
(f) a = 2; f(x) =
 x2 − 4 se x 6= 2x se x > 2
(g) a = 0; f(x) =
3−√x + 9
x
3. Defina f ◦ g e determine os nu´meros nos quais f ◦ g e´ cont´ınua.
(a) f(x) =
√
x; g(x) = x2 + 4
(b) f(x) = x3; g(x) =
√
x
(c) f(x) =
1
x
; g(x) = x− 2
(d) f(x) =
1
x2
; g(x) = x + 3
(e) f(x) =
√
x; g(x) =
1
x− 2
(f) f(x) =
1
x− 2; g(x) =
√
x
(g) f(x) =
√
x + 1; g(x) = 3
√
x
(h) f(x) =
√
4− x2√
x− 1 ; g(x) = |x|
4. Um terreno retangular deve ser fechado com 240 metros de cerca. Se x metros for
o seu comprimento, expresse a a´rea do terreno em metros quadrados como uma
func¸a˜o de x. Determine o domı´nio da func¸a˜o. Prove que a func¸a˜o e´ cont´ınua em
seu domı´nio.
5. Usando o teorema do valor intermedia´rio, mostre que a equac¸a˜o x3− 4x+x+ 3 = 0
tem raiz entre 1 e 2.
6. Encontre a derivada indicada.
(a)
d
dx
(8− x3)
(b)
d
dx
(
2x + 3
3x− 2
)
(c) Dx(
√
3x + 5)
(d) Dx
(
3
1 + x2
− x
)
(e)
d
dx
(
1√
x− 1
)
(f)
d
dx
(
1
3
√
x
− x
)
(g)
d
dx
(tgx + cotgx)
(h) Dx(4 secx− 2 cosecx)
(i)
d
dx
(4x2 cosx)
(j)
d
dx
(
senx
1− cosx
)
7. Encontre a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = (2x + 1)3
(b) g(x) = (10− 5x)4
(c) h(x) = (2x4 + 8x2 + 1)5
(d) g(x) = (x3 − 3x2 + 1)−3
(e) f(x) = senx2
(f) h(x) = 4 cos 3x− 3 sen4x
(g) g(x) =
1
3
sec3 2x− sec 2x
(h) f(x) = cos(3x2 + 1)
8. Encontre
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(a) x2 + y2 = 16
(b) x3 + y3 = 18xy
(c) (2x + 3)4 = 3y4
(d) y = cos(x− y)
(e) x seny + y cosx = 1
(f) sec2 y + cotg(x− y) = tg 2x
2
9. Considere y como a varia´vel independente e encontre
dx
dy
.
(a) x4 + y4 = 12x2y
(b) y = 2x3 − 5x
(c) x3y + 2y4 − x4 = 0
(d) y
√
x− x√y = 9
10. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto indicado. Fac¸a um
esboc¸o da curva com a reta tangente e a reta normal.
(a) y = x2 − x + 2; (2, 4)
(b) y =
1
8
x3; (4, 8)
(c) y =
6
x
; (3, 2)
(d) y = x4 − 4x; (0, 0)
11. Encontre as derivadas primeira e segunda da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = x5 − 2x3 + x
(b) g(x) = 7x3 − 8x2
(c) h(x) = x2
√
x− 5x
(d) f(x) =
√
x +
1√
x
(e) g(x) =
√
x2 + 1
(f) f(x) = 3
√
2x3 + 5
(g) h(x) = 4 cosx2
(h) g(x) = 2 sen3x
3