Series Fourier

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2	
  
Funções	
  periódicas	
  
Funções periódicas 
Uma função f(x) é chamada de função periódica, se existir algum 
número p positivo, denominado período de f(x), tal que f(x+p) = f(x) 
Funções periódicas conhecidas são as funções do seno e cosseno. 
Exemplos de funções que não são periódicas são x, x2, x3, ex, 
cosh(x), e ln(x) 
3	
  
Funções	
  periódicas	
  
Propriedades das Funções periódicas 
Se f(x) tem período p, ela também tem o período 2p. 
f (x + 2p) = f ([x + p]+ p) = f (x + p) = f (p)
O mesmo é válido para qualque n inteiro, de modo que 
f (x + np) = f (x)
Outra propriedade da função periódica é a linearidade, sejam ƒ(x) e 
g(x) funções periódicas e a e b constantes reais temos: 
h(x + p) = af (x + p)+ bg(x + p) = h(x)
4	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Séries de Fourier 
Aprendemos anteriormente a expressar funções por intermédio de 
séries de potências de x (séries de Taylor), no entanto muitas 
funções periódicas descontínuas de interesse prático não podem ser 
desenvolvidas nestas séries. Nosso objetivo aqui é apresentar um 
tipo de série no qual seja possível desenvolver estas funções. 
Vamos apresentar essas funções como uma série trigonométrica. 
f (x) = a0 + a1 cos(x)+ b1sen(x)+ a2 cos(2x)+ b2sen(2x)+...
Se os coeficientes convergirem esta série é denominada Série de 
Fourier 
Percebam que esta série apresenta período p = 2π 
5	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Ortogonalidade do Sistema trigonométrico 
Prova: 
6	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Fórmulas de Euler 
Os coeficientes da série de Fourier são denominados de Formulas 
de Euler 
Prova: 
Para n = 1, 2, 3,... 
f (x)dx =
−π
π
∫ [a0 +
−π
π
∫ an cos(nx)+ bnsen(nx)]dx
n=1
∞
∑
f (x)dx =
−π
π
∫ a0.2π + [an cos(nx)dx
−π
π
∫ + bn sen(nx)dx
−π
π
∫
n=1
∞
∑ ]
a0 =
1
2π f (x)dx−π
π
∫
7	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01: 
Encontre os coeficientes de Fourier da função periódica f(x): 
Solução: 
8	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Sem precisar resolver a integral podemos perceber que a0 = 0 
Vamos calcular an 
Vamos calcular bn 
9	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Podemos perceber que: 
De modo que a série fica 
f (x) = 4k
π
(senx + 13 sen3x +
1
5 sen5x +...)
10	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01 (cont.) 
11	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Convergência de uma série de Fourier 
Consideremos que f(x) seja periódica, tenha o período 2π e seja 
contínua por intervalos no intervalo –p ≤ x ≤ p. Além disso, 
consideremos que f(x) possua derivadas tanto à esquerda quanto à 
direita de cada ponto desse intervalo. Então, a série de Fourier de 
f(x) converge. Sua soma é f(x), excetuando-se nos pontos x0, onde 
f(x) é descontínua. Nesses pontos, a soma da série é a média dos 
limites de f(x) à esquerda e à direita de x0 . 
Função contínua por partes 
A função f é contínua por partes em um intervalo [a, b] se este 
intervalo puder ser dividido por um número finito de pontos a = x0 < 
x1 < …< xn = b tal que: 
f seja contínua em cada intervalo (xk, xk+1) 
Os limites laterais de f em xk e xk+1 existam e não sejam infinito 
12	
  
Séries	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 02 
Qual é o valor da série de Fourier no ponto x = 1, para a função 
f (x) = x
2
x / 2
!
"
#
se x < 1 
se x > 1 
Resposta: 
Calculando os limites laterais temos 
lim
x→1−
f (x) =1 lim
x→1+
f (x) =1/ 2
logo 
f (1) = 34
13	
  
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Funções de um Período Qualquer p = 2L 
Analisamos até agora funções que apresentavam período 2π, no 
entanto as funções periódicas em geral apresentam períodos 
diferentes. 
Para obter estas séries a ideia é simplesmente encontrar e usar uma 
mudança de escala, que forneça, a partir de uma função g(ν) de 
período 2π, uma função de período 2L. 
Com coeficientes: 
14	
  
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Funções de um Período Qualquer p = 2L 
Para efetuar esta mudança de escala o processo é simples. 
Devemos fazer: v = kx com k tal que o período anterior ν = 2p fornece 
para a nova variável x o novo período x = 2L. Portanto, 2p = k2L. 
Logo, k = p/L e 	
  v = kx = px/L, de modo que ficamos com dv = pdx/L 
Fazendo g(ν) = f(x) a série de Fourier pode ser reescrita como: 
Com coeficientes: 
15	
  
Exemplo 01 
Encontre a série de Fourier da função 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
16	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Solução 
Calculando an temos: 
a0 =
1
2L f (x)dx−L
L
∫ = 14 k dx =
2k
4 =
k
2−1
1
∫
Calculando a0 temos: 
Ou seja se n for par an=0 e se n for impar temos: 
17	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Calculando bn temos: 
bn =
1
L f (x)sen
nπ x
L dx−L
L
∫ = 12 ksen
nπ x
L dx = 0−1
1
∫
E a série de Fourier será: 
18	
  
Exemplo 02 
Encontre a série de Fourier da função 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
19	
  
Exemplo 02 
Calculado a0, temos: 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Solução 
a0 =
1
2L f (x)dx−L
L
∫ = 14[ (−k)dx + k dx]=
1
4[−2k + 2k]= 00
2
∫
−2
0
∫
Calculado an, ficamos com: 
20	
  
Exemplo 02 (cont.) 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Calculado bn, ficamos com: 
Desta forma a série de Fourier ficará: 
21	
  
Exemplo 03 
Uma tensão senoidal Esen(ωt), onde t é o tempo, atravessa um 
retificador de meia-onda que absorve a porção negativa da onda. 
Encontre a série de Fourier da função periódica resultante 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
22	
  
Exemplo 03 (cont.) 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Calculado a0, temos: 
Solução 
Calculado an, ficamos com: 
Se n = 1, podemos ver que a1 = 0 
23	
  
Exemplo 03 (cont.) 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
para n > 1, temos: 
Então chegamos que se n for impar an = 0, e para n par temos: 
24	
  
Exemplo 03 (cont.) 
Funções	
  de	
  um	
  Período	
  Qualquer	
  p	
  =	
  2L	
  
Para bn temos que pelo mesmo argumento apresentado na calculo 
do an, o único bn ≠ 0 é b1= E/2 
Assim a série de Fourier será 
25	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Funções Pares e Ímpares 
Funções pares: Uma função g(x) é par quando que se g(–x) = g(x), 
de modo que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical. 
Funções pares: Uma função h(x) é par quando que se h(–x) = h(x), 
de modo que seu gráfico seja simétrico em relação à origem. 
26	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Numa série de Fourier, os termos em cossenos são pares e os 
termos em senos são ímpares. Assim, não deve constituir uma 
surpresa o fato de que uma função par seja representada por uma 
série de termos em cossenos, e uma função ímpar, por uma série de 
termos em senos. 
Series de Fourier de senos eCosseno 
27	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Os coeficientes de Fourier de uma soma f1 + f2 são as somas dos 
correspondentes coeficientes de Fourier de f1 e f2. 
 
 
 
 
Os coeficientes de Fourier de cf são o produto de c pelos 
correspondentes coeficientes de Fourier de f. 
Linearidade da Expansão em séries de Fourier 
28	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 01 
Encontre a série de Fourier da função 
29	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Solução 
Temos que f = f1+f2, onde f1 = x e f2 = p. Os coeficientes de Fourier 
de f2 são nulos, à exceção do primeiro (o termo constante), que é 
igual a p. A partir do Teorema 2 temos que, os coeficientes de 
Fourier an, bn são os de f1, à exceção de a0, que é igual a p. Como 
f1 é ímpar, an = 0 para n = 1, 2,..., e 
30	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Logo temos que: !! = 2, !! = −2/2, !! != !!2/3, !!! = !−2/4,…!!!!!A série de Fourier ficará: 
31	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Expansão em meia escala. 
Seja uma função ƒ(x) definida no intervalo 0 < x < L, poderíamos 
expandir esta função como uma função de período L, no entanto 
surgiriam termos de senos e cossenos nessa expansão, com o 
intuito de facilitar este procedimento vamos expandir ƒ(x) como uma 
função par ƒ1(x) ou uma função impar ƒ2(x), conforme: 
f1(x) = a0 + an cos
nπ
Ln=1
∞
∑ x
f2 (x) = bnsen
nπ
Ln=1
∞
∑ x
32	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Expansão em meia escala. 
Este processo recebe o nome de expansão de Meia-Escala 
33	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 02 
Encontre as duas expansões de meia-escala da função: 
34	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 02 (cont.) 
Fazendo a extensão periódica par temos: 
Calculando as Integrais de an ficamos com: 
35	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 02 (cont.) 
Temos que an será igual a: 
Assim a primeira expansão ficará 
36	
  
Funções	
  Pares	
  e	
  Ímpares.	
  Expansões	
  de	
  Meia-­‐escala	
  
Exemplo 02 (cont.) 
Para a extensão periódica impar ficamos com: 
bn =
2
L [
2k
L xsen(
nπ x
L )dx +0
L/2
∫ 2kL (L − x)sen(
nπ x
L )dx]L/2
L
∫
Assim a primeira expansão ficará