CADERNO DE EXERCICIOS CALCULOI 20182

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Caderno de 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Al
un
o 
(a
):_
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
 
Pr
of
es
so
r 
(a
):_
__
__
__
__
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__
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Cu
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__
__
__
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__
 S
em
es
tr
e:
__
__
__
__
 
2018.2 
 
2 
 
Sumário 
 
 
 
Aula 1 Revisão de Funções .............................................................................................................................. 3 
Aula 2 Conceito de Limites ............................................................................................................................. 7 
Aula 3 Propriedades de Limites e Limites 0/0 ....................................................................................... 10 
Aula 4 Limite Infinito e No Infinito ............................................................................................................... 15 
Aula 5 Derivada: Noções Iniciais ................................................................................................................ 22 
Aula 6 Derivadas: Regras de Derivação .................................................................................................. 26 
Aula 7 Regra da Cadeia ................................................................................................................................ 28 
Aula 8 Regras de L’Hospital ........................................................................................................................ 33 
Aula 9 Problemas de Taxas Relacionadas............................................................................................... 36 
Aula 10 Teoria da Otimização – Parte I ................................................................................................... 39 
Aula 11 Teoria da Otimização – Parte II ...................................................................................................... 41 
Aula 12 Problemas de Otimização .............................................................................................................. 43 
Aula 13 Conceito de Integral ........................................................................................................................ 45 
Aula 14 Integrais Definidas e Cálculo de Áreas ..................................................................................... 50 
Aula 15 Regra de Substituição ................................................................................................................... 58 
 
 
 
3 
 
 
Escola de Arquitetura, Engenharia e TI 
Cálculo I 
 
Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ 
 
Revisão de Funções 
 
1. Em cada caso a seguir, identifique se o gráfico representa uma relação de função. Para o caso positivo, 
identifique o domínio e a imagem da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2. Esboce o gráfico de cada função a seguir. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2 
b) 𝑓(𝑥) = 𝜋 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 3 
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
f) 𝑓(𝑥) = √𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = √−𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔0,01𝑥 
i) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
j) 𝑓(𝑥) = |𝑥| 
l) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
 
3. Esboce o gráfico de cada função a seguir. 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
2, 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 2
2𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 b) 𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑒 𝑥 < −3 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 3
|𝑥2 − 4|, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ 2
𝑙𝑜𝑔3𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
4. Usando movimentação gráfica, esboce o gráfico de cada função dada a seguir. 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 − 3 
d) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 
e) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 − 2) 
f) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 + 1 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) 
h) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) + 3 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 1 
 
 
 
5. (UNICAMP) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10 2𝑥+43𝑥 , encontre: 
a) O valor de x para o qual 𝑓(𝑥) = 1 
b) Os valores de 𝑥 ∈ ℛ para os quais 𝑓(𝑥) é um número real menor que 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
6. (UNICAMP) 
 
a) Encontre as constantes a, b e c de modo que o gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 passe pelos (1, 
10), (-2, -8) e (3, 12). 
b) Faça o gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (Faap) Analistas de produção verificaram que numa determinada montadora, o número de peças 
produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: 
𝑓(𝑡) = {
50(𝑡2 + 𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 < 4
200(𝑡 + 1), 𝑝𝑎𝑟𝑎 4 ≤ 𝑡 ≤ 8
 
 
O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é: 
 
a) 1.000 
b) 800 
c) 200 
d) 400 
e) 600 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Conceito de Limites 
 
As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos. 
 
1. a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine: 
 i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1) 
b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1. 
c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas. 
 
Função y=f(x) 
 
 Função y=g(x) 
 
 Função y=h(x) 
 
 
 
 
 
 
2. Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas. 
 
















)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
 
 
f tem limite em xo=-1? 
 
f é contínua nesse ponto? 
 
















)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
 
 
f tem limite em xo=1? 
 
f é contínua nesse ponto? 
 
        








x
y
        








x
y
        








x
y
        








x
y
 
8 
 
As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são dados. 
Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites. 
3. a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam 
de sentenças: 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2− 1; 𝑠𝑒 𝑥 < 2
3; 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−𝑥 + 5; 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 𝑔(𝑥) = {
𝑥2 − 1; 𝑠𝑒 𝑥 < 2
4; 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−𝑥 + 5; 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 ℎ(𝑥) = {
𝑥 + 2; 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
2; 𝑠𝑒 𝑥 = −1
𝑥2; 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1
−𝑥 + 2; 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
 
 
 
 
b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas. 
 
 
 
 
c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas. 
 
 
 
4. Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde 
estas funções mudam de sentenças. 
a) 






1 xse ; 2x
1 xse ;x
 f(x)
2
 b) 







 0 xse ;x
0 xse 1;x
 f(x)
2 
 
9 
 
c) 









2 xse ; 1
2 x e 1 xse ; 1x
1 x se ;1x-
 f(x) 2
 
 
d) 












5 x 1 se ;1x
1 x se ;2
1 x1 se ; 1x
1 x se ; 1x
 )f(x 
2
 
 
 
 
e) 








1 x se ;
x
1
1 xse ; 2
 f(x)
x 
 
 
 
f) 









 0 x se ; xln
0 xse ;2
0 xse ;x
 f(x)
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Determine as constantes a e b de modo que   
2x se ;ax3
2x se ;4bx
2x se ;
4-2x
4x
xf
2












 seja contínua no ponto x=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Propriedades de Limites e Limites 0/0 
 
As questões a seguir se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras. 
1. Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração) 
a)
3x4x
2x3x
 lim
2
2
1x 


 b) 
x2x
8x2
 lim
2
2
2x 


 c)
4x
8x
 lim
2
3
2x 


 d)
18x3x
27x
 lim
2
3
3x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
2. Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado) 
a)
3x
18x2
lim
9x 


 b)
 
2x
16x
lim
2
4x 


 c)
 
1x
25x
1x
lim



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
4x
31x4
lim
22x 


 
 
 
 
 
 
12 
 
e) 
 
22x
31x5
2x
lim



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule os seguintes limites: 
a) 
x2x
4x
 lim
2
2
2x 


 b) 
1x
1x2x
 lim
3
2
1x 


 c) 
4t4t3
4t
 lim
2
2
2t 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
d) 
1
lim
x
 
1x3x2
2xx4x3
23
23


 e) 
x
16)x4(
lim
2
0x


 f) 
 
3x8x
9x6x
lim
3
3
3x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
1x8
2x3x2
 lim
3
2
21x 


 h) 
2x
8x
 lim
3
2x 


 i) 
3
2
2
2x 2x5x3
4x
 lim



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
j) 
 
2x
16x
lim
2
4x 


 k) 
 
x
2 2x
lim
0x


 l) 
1x
1x
 lim
1x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Limite Infinito e No Infinito 
 
Limites NO infinito: Às vezes é importante saber o comportamento futuro de uma função, e também o seu 
passado. Matematicamente isso se expressa pela seguinte sentença: quando x     f(x)  ? 
Exemplos desse tipo são: 
0
x
1x2
 m i l
2 x



, 


 x2
4x3
 m i l
2
 x
 e 
4
3
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x




. 
Visualização de limites no infinito: Quando x ∞, os valores de algumas funções se aproximam de um certo 
valor L. Dizemos neste caso que 
L(x)f lim
x


. 
1. (Visualização de limites) Dê o valor dos seguintes limites: 
 
......(x)f lim
x


 
......(x)f lim
x


 
 
.....(x) lim 

g
x
 
.....(x) lim 

g
x
 
 
.....(x)h lim
x


 
.....(x)h lim
x


 
Cálculo de limites no infinito: O cálculo de limites no infinito utiliza como base alguns limites básicos, que se 
encontram mencionados abaixo: 
  







x
y
y =2
x x
y






x
y
y=3











x
y
 
16 
 
 
O gráfico acima mostra pontos x cada vez maiores e suas imagens 
f(x)/=1/x cada vez mais próximas de zero. 
Limites básicos: Como se vê no 
gráfico ao lado, a função f(x)=1/x 
tem limite zero quando x  +∞. 
De modo análogo, temos: 
0
x
3
 m i l
 x


, 
0
x
1
 m i l
2 x


 
0
x
5
 m i l
2 x


, 
0
x
1
 m i l
3 x


. 
Por outro lado, 
1)1
x
1
( m i l
x
x1
 m i l
 x x



. 
 
2. Considerando os resultados acima, calcule o valor dos seguintes limites no infinito: 
a) 
x
1x2
 m i l
 x


 
 
 
 
 
 
 
b) 
x2
3x
 m i l
- x


 c) 
2 x x
4x3
 m i l


 d)
3
3
- x x2
1x2x4
 m i l



 e) 
4
3
- x x2
1x2x4
 m i l


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
y = 1/x
x x x
V ( x ) = ( 1 2 – 2 x )
2
. x 
 
17 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o valor dos seguintes limites: 
a) 
3x2
1x6
 m i l
 x 


 b)
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x 


 c)
2x93x3
25x22x4
x
m i l



 d) 
1x3x2
4x5x4
 m i l
2
2
 x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 3x3x
1x2x
 m i l
24
25
 x 

 f) )x x6x(lim 2x  g) )x2xcos(limx  h) 
32x3x
12x23x2
 x
 e m i l 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites Infinitos: As figuras abaixo mostram o comportamento de uma função y=f(x) próximo do ponto x=3. 
Como f(3) não existe, só podemos dizer o seguinte: 
a) Quando x  3 pela esquerda, os valores f(x)  -∞, ou seja, 


(x)f lim
3x
 
b) Quando x  3 pela direita, os valores f(x) +∞, ou seja, 


(x)f lim
3x
 
 
19 
 
 
Neste caso temos


(x)f lim
3x
 
 
Neste caso temos


(x)f lim
3x
 
4. (Visualização de limites infinitos) A função cujo gráfico é mostrado abaixo tem domínio D(f) = IR - {-2, 2,4}. 
Determine os limites laterais de f(x) nos pontos x = -2, x = 2 e x = 4. 
 
5. Calcule os seguintes limites, observando os valores dos limites laterais, quando for o caso. 
a) 
2x
1x
 
0x
lim


 b) 
 25x
32x2
 
5x
lim



 c) 
senx
12x
 
0x
lim


 d) 
4x
4x5
 lim
22x 


 
e) 
4x52x
5x
 
1x
lim



 f) 
x
x3cos
 
0x
lim

 g) 
x
x3cos
 
0x
lim

 h) 
3x
11x3
 
3x
lim



 
     






x
y
y = 2x/(x-3)
x
y
x
    





x
y
y = 2x/(x-3)
x
x=3
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. O número de bactérias numa cultura em placa de Petri após t horas é dada pela função exponencial 
𝐵 = 10𝑒2/3𝑡, cujo gráfico é dado ao lado. Julgue os itens a seguir: 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
I. A função é contínua em t=0. 
 
II. Os limites no infinito são infinitos. 
 
III. O limite 𝐵 = 10𝑒2/3𝑡, é igual a zero e, portanto, y = 0 é assíntota horizontal. 
 
IV. A reta 𝑥 = 0 é uma assíntota vertical. 
 
É correto o que se afirma apenas na alternativa: 
 
a) I, II e III 
b) I, III e IV 
c) II 
d) I e III 
e) II, III e IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Derivada: Noções Iniciais 
 
1. Para cada uma das funções a seguir calcule f´(xo), usando a definição, caso exista. 
 
a) 
2;3)( 0
2  xxxxf
 
 
 
 
 
 
 
b) 
0);()( 0  xxsenxf
 
 
 
 
 
 
 
c) 
0;)( 0
3  xxxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) 
2;
1
3
0 

 x
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
e) 
132)( 2  xxxf
 
 
 
 
 
 
 
f) 
2)( xf
 
 
 
 
 
 
 
g) 
x)x(f 
 
 
 
 
 
 
 
2. Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Mostre, usando a definição, que 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2. 
 
 
 
 
 
-6 -3 3
-4
-2
2
x
y
tangente
 
24 
 
 
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto em que 𝑥0 = 2 
 
 
 
 
 
 
c) Determine o ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) destacurva onde a reta tangente é horizontal. 
 
 
 
 
 
 
d) Para que pontos desta curva a reta tangente forma um ângulo agudo? 
 
 
 
 
3. Determine a equação das retas tangente ao gráfico da função 𝑓, em cada caso a seguir: 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 no ponto onde a reta tangente é paralela à reta 𝑟: 𝑦 =
𝑥
2
+ 1 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 no ponto do 3º quadrante onde a reta tangente é perpendicular à 1ª bissetriz. 
 
 
 
 
 
 
25 
 
4. Determine a equação da reta normal ao gráfico da função definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 no ponto de 
abscissa 𝑥0 = 2. 
 
 
 
 
 
 
5. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros) após t segundos 
é dada por 𝑓(𝑡) = 40𝑡 − 16𝑡2. 
 
a) Determine a velocidade instantânea quando 𝑡 = 2. 
 
 
 
b) Determine o instante 𝑡0, onde a velocidade é igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Derivadas: Regras de Derivação 
1. Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) 
3
x
5
3
x
x2y
2
3 
 
 
 
 
 
 
b) 
)3ln(x6
2
x
3
x
tgx3y
23

 
 
 
 
 
c) 
3x4 e2xln34xy 
 
 
 
 
 
 
d) 
tgx3xcos)3x(y 2 
 
 
 
 
 
 
e) 
senxexlnxy x2 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
f) 
4x3
1x
y
2



 
 
 
 
 
 
 
g) 
1x4
senx
y


 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
Regra da Cadeia 
1. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: 
a) 








 x3
5
senxy
 
 
 
 
 
b) 
   lnx3xy 52
 
 
 
 
 
 
c) 
2
2
)2x(
x3x
y



 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
3
2
3
x
5
x3xlogy 
 
 
 
 
 
 
e) 
arctgxx3y 3x
 
 
 
 
 
 
29 
 
f) 
)x2(arcsen1)x(f 3
 
 
 
 
 
 
g) 








 x
5
cosy 2
 
 
 
 
 
 
h) 2
x
5
cosy 








 
 
 
 
 
 
i) 
)1xcos( arc( ln)x(f 3 
 
 
 
 
 
 
2. Determine a expressão da derivada indicada e o seu valor no ponto dado: 
a) 
 







ox
dy
dx
dy
xsenxy
dx
 e ),( 22
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
b) 
)1(' )( , 
1
1
=g(x) , )())((
2
3 2 gf
x
x+
xgxgf 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
4);( , 1 )( 0  xxf 'xxf
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine 𝑓′(3), 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓(5 + 2𝑥) + 𝑓(2𝑥2 + 1) = 4𝑥2 + 4𝑥 + 2. 
 
 
 
 
 
 
4. Determine a derivada indicada, 𝑓′(0), sendo 𝑥. 𝑓(𝑥2 − 9𝑥 + 8) + √𝑥23 e 𝑓(0) = − 8
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
5. (Derivada na forma implícita) Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: 
a) 
)3P(1, ponto no 
dx
dy
 , 4yx 22 
 e 
dy
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
1x5x4y3y 24 
 ; 
dx
dy
 no ponto P (–1,0) 
 
 
 
 
 
 
c) 
2
π
 ordenada de ponto no ,
dx
dy
 , 0sen(y) 
4
1
 xy 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
1 ordenada de ponto no , y , exyey 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
6. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de √𝑦 − √𝑥3 = 1 + 𝑥 no ponto de abscissa xo=1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Regras de L’Hospital 
 
1. Calcule os seguintes limites, usando L´Hospital: 
a) lim
x→1
2x3−x−1
x4−1
 b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
 c) lim
𝑥→+∞
(1 −
1
𝑥
)
2𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[3𝑥(1 − 𝑒1/𝑥)] e) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
[
1
𝑙𝑛𝑥
−
1
𝑥−1
] 
 
 
 
 
 
 
 
34f) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
(𝑥. 𝑙𝑥) g) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑥(1/𝑙𝑛𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥−1
𝑙𝑛 (1+𝑥)
 i) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
√1+2𝑥
3
+1
𝑥+√2+𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Problemas de Taxas Relacionadas 
 
1. Certo estudo ambiental em uma comunidade suburbana indicou que o nível médio diário de CO no ar será 
de 𝐶(𝑝) = √0,5𝑝2 + 17 partes por milhão quando a população for de p milhares de habitantes. Calcula-se 
que daqui a t anos a população será de 𝑝(𝑡) = 3,1 + 0,1𝑡² milhares de habitantes. Qual será a taxa de variação 
em relação ao tempo do CO daqui a três anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um recipiente cilíndrico fechado, em que a altura é o triplo do raio, está aumentando de tamanho, 
provocando uma variação no raio do mesmo em função do tempo de acordo com a expressão 𝑟 =
𝑡
3
2
+ 2𝑡, o 
raio dado em centímetros. Determine a taxa de variação da área total do cilindro em função do tempo, no 
instante 𝑡 = 2𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma bexiga esférica está sendo preenchida com ar, provocando uma variação no raio da mesma em função 
do tempo de acordo com a expressão 𝑟 = 𝑡2 − 𝑡, o raio dado em centímetros. Determine a taxa de variação 
do volume da esfera, em função do tempo, no instante 𝑡 = 2𝑠. Expressão do volume da esfera 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟³. 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
4. Um garoto empina uma pipa que está a uma altura de 40m. Se a linha está esticada, com que velocidade 
deve o garoto soltar a linha para que a pipa permaneça a uma altura constante com velocidade de 3m/s, 
quando a mesma está a 50m do garoto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um automóvel que viaja à razão de 30m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel está a 
120m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o 
caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que velocidade afastam-se 
o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento? 
 
 
 
 
 
 
6. Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado 
instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da parede 
a uma velocidade de 2m/s. Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste momento? 
 
 
 
 
 
 
7. Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de 17cm/min e o outro lado está decrescendo a uma 
taxa de 5 cm/min, num certo instante, os comprimentos desses lados são 10cm e 7cm, respectivamente. A 
área do retângulo está crescendo ou decrescendo neste instante? A que velocidade? 
 
38 
 
 
 
 
 
 
8. Dois resistores são ligados em paralelo, 𝑅1 é 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑅2 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Se 𝑅1 está aumentando 
à taxa de 0,03 ohm/s, a que taxa varia a resistência total do circuito no instante em que 𝑅1 =
30 𝑜ℎ𝑚𝑠 𝑒 𝑅2 = 90 𝑜ℎ𝑚𝑠 . 
A equação para calcular a resistência total do circuito é dada por: 𝑅𝑇 =
𝑅1 𝑅2 
𝑅1 +𝑅2 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Teoria da Otimização – Parte I 
1. Dadas as funções a baixo, determine, se existirem, os pares ordenados correspondentes aos pontos 
de máximos e de mínimos. 
 
 𝑎) 𝑦 = 𝑥4 − 6𝑥2 + 4 
 
 
 
 
 
 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 
 
 
 
 
 
2. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que: 
 a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tenha pontos críticos em x =  2 e x = 3. Qual é o de máximo? E o de 
mínimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tenha um extremo no ponto x = 4 e um ponto de inflexão no ponto x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
3. Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, os pontos de 
máximos e mínimos, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de 
concavidade e o esboço gráfico. 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 +
4
3
𝑥3 − 4𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Teoria da Otimização – Parte II 
 
1. Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, 
os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os pontos de inflexão, o esboço 
gráfico. 
 
 (a) 
2
2
x
3x4x
)x(f


 (b)
2)1x(
x
)x(f

42 
 
c) 
2
2
)1x(
2x5x2
)x(f



 d) 
x
8x4
y


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Problemas de Otimização 
1. Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos: 
a) Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um operário 
médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado 𝑄(𝑡) = −𝑡3 + 9𝑡2 + 15𝑡 unidades “t” horas depois. 
A que horas da manhã o operário trabalha com maior eficiência? Considere o intervalo [0,4] para t, que 
corresponde das 8 às 12 da manhã. 
 (Dica: A eficiência é dada pela “velocidade” 𝐸(𝑡) = 𝑄′(𝑡) = −3𝑡² + 18𝑡 + 15 ) 
 
 
 
 
 
 
b) O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia normal da 
semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente 
𝑉(𝑡) = 2𝑡3 − 27𝑡2 + 108𝑡 − 35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o 
meio dia. A que horas no intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais 
lentamente? 
 
 
 
 
 
 
c) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir 
uma área 300 m2, qual o comprimento da menor cerca necessária? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b b b 
 
 
 
44 
 
d) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por centímetro quadrado, para a 
base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Usando uma folha de cartolina, de lado igual a 60 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando 
seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos 
quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Em um dia numa estrada, a taxa de fluxo de carros por hora é dada por 
202,022 v
v
F


, onde v é a 
velocidade de tráfego em milhas por hora. Que velocidade vai maximizar a taxa de fluxo na estrada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Conceito de Integral 
 
1. Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas. 
𝑎) ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = − ln(cos(𝑥)) + 𝐶 = ln(sec(𝑥)) + 𝐶 
 
 
 
 
 
𝑏) ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = − ln(cos(𝑥)) + 𝐶 = ln(sec(𝑥)) + 𝐶 
 
 
 
 
 
𝑐) ∫ cos(7𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(7𝑥) + 𝐶 
 
 
 
 
 
𝑑) ∫ 𝑒𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒𝑘𝑥
𝑘
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
𝑒) ∫
𝑒√𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑒√𝑥 + 𝐶 
 
 
 
 
 
46 
 
𝑓) ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)) + 𝐶 
 
 
 
 
 
𝑔) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) −
1
2
 ln (1 + 𝑥2) + 𝐶 
 
 
 
 
 
2. Calcule as seguintes integrais imediatas e menos imediatas tomando-se como base as propriedades de 
integrais e a tabela de integrais imediatas. 
 
𝑎) ∫
𝑥3 + 2𝑥 − 1
𝑥2
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
𝑏) ∫ [𝑥√𝑥 + 6 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) −
2𝑥
3
] 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
𝑐) ∫ [𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 3𝑒2𝑥 − 
2
1 + 𝑥2
] 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
47 
 
𝑑) ∫
𝑥2 − 1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
𝑒) ∫ 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
𝑓) ∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2(7𝑥)
 
 
 
 
 
 
𝑔) ∫ 𝑡𝑔2(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
ℎ) ∫
𝑥
𝑥 + 2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
48 
 
𝑖) ∫
3𝑥
𝑥 − 1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
3. Uma a partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a função-posição 
da partícula. 
(a) 𝑣(𝑡) = 𝑡3 − 2𝑡2 + 1 𝑒 𝑠(0) = 1 
 
 
 
 
 
 
(b) 𝑎(𝑡) = 4 cos(2𝑡) ; 𝑣(0) = −1; 𝑠(0) = −3 
 
 
 
 
 
 
4. Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento S em metros, t em 
segundos, velocidade instantânea V e aceleração 𝒂. Determine: 
(a) Calcule S em termos de t sabendo que 𝑉 = √2𝑡 + 4 e 𝑠 = 0 quando 𝑡 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
(b) Calcule S e V em termos de t, sabendo que a aceleração é dada por 𝑎 = 5 − 2𝑡 e 𝑆 = 0 quando 𝑡 = 0.50 
 
Integrais Definidas e Cálculo de Áreas 
 
1. Calcule as seguintes integrais definidas: 
𝑎) ∫
2𝑥3 − 4𝑥2 + 5
𝑥2
3
1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
𝑏) ∫ 𝑡2
1
0
(√𝑡
3 − √𝑡)𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
𝑐) ∫ |𝑥 − 4| 𝑑𝑥
6
−3
 
 
 
 
 
 
2. Verifique a região limitada pela reta 𝑦 = 𝑥 e o eixo Ox, em que 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 , mostrada na figura a seguir. 
Determine: 
 
51 
 
 
(a) a área da região limitada, indicada na figura, usando conteúdo de integração. 
 
 
 
 
 
 
(b) Confira o resultado obtido no item (a) calculando a área indicada, usando conteúdo estudados no ensino 
médio. 
 
 
 
 
 
 
3. Verifique, na figura indicada a seguir, a região limitada pelas retas 
𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥 + 5, e os eixos coordenados OX e OY. Determine: 
 
 
(a) a área da região limitada, indicada na figura, usando conteúdo de integração. 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Confira o resultado obtido no item (a) calculando a área indicada, usando conteúdo estudados no ensino 
médio. 
         









x
y
x
y
-4 4
-4
-2
2
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcule a área determinada pelo gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 1 
(parábola) pela reta 𝑦 = 2𝑥 + 4 , e os eixos coordenados Ox e Oy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Para cada região abaixo, indique a expressão que resulte na área indicada. 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
y = 1+x^2
y = -2x+4
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
6. Calcule a área da região indicada abaixo. Dê a resposta usando uma precisão de 3 casas decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Esboce, no plano cartesiano abaixo, as curvas 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = √𝑥. Hachure a área delimitada pelas curvas 
e utilize integração para calcular a área obtida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível verifique suas respostas usando 
áreas conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
9. Visualize os gráficos abaixo e determine a área da região do plano limitada por essas curvas. 
 
a) 𝑥𝑦 = 4 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = 2x, y = 2x − x2, x = 0 e x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 1 𝑒 𝑦 = 2 𝑥⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
d) y = x3 e y = x2 + 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝑦 = 9 𝑥⁄ , 𝑦 = 9𝑥, 𝑦 = 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Encontre a área da região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 e 𝑦 = 2𝑥2 sem a construção do gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Regra de Substituição 
 
1. Resolva as integrais a seguir, usando o método por substituição de variáveis. 
 
1) ∫(7𝑥 − 2)5 𝑑𝑥 
 
 
 
 
2) ∫ 2𝑥 √𝑥2 − 1 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
3) ∫ 25𝑥𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
4) ∫ 𝑥2𝑒𝑥
3
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
5) ∫(𝑥2 + 3𝑥 + 5)2 ∙ (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
6) ∫
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
7) ∫
𝑑𝑥
2 + 𝑥2
 
 
 
 
 
 
 
8) ∫
𝑑𝑥
5 + 3𝑥2
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
9) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)𝑑𝑥 (𝑎 ≠ 0)10) ∫ cos(5𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
11)∫
𝑥𝑑𝑥
√2𝑥2+3
 
 
 
 
 
 
 
12) ∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)√𝑡𝑔(𝑥) − 1
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
13) ∫
ln (𝑥 + 1)
𝑥 + 1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
14) ∫
cos(𝑥) 𝑑𝑥
√2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1
 
 
 
 
 
 
 
15) ∫
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2(𝑥)
1 + 𝑥2
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
16)∫
𝑑𝑥
𝑥 𝑙𝑛(𝑥)
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
17)∫ 3𝑥
2+4𝑥+3(𝑥 + 2)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
18)∫
𝑑𝑥
1+2𝑥2
 
 
 
 
 
 
 
19) ∫
𝑑𝑥
√16 − 9𝑥2
 
 
 
 
 
 
 
20) ∫
𝑑𝑥
4 − 9𝑥2
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
21) ∫
(2𝑥 + 10)
(𝑥 + 2)2 + 9
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
22) ∫ cos(𝑙𝑛(𝑥))
𝑑𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
23) ∫
𝑑𝑥
 √𝑥 (√𝑥 + 1)
 
 
 
 
 
 
 
 
24) ∫
𝑙𝑛3(𝑥)
𝑥
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
64 
 
25) ∫
𝑑𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 
 
 
 
 
 
26) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
 
 
 
 
 
 
 
 
27) ∫
𝑥 
𝑥2 + 2𝑥 + 2
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
28) ∫
𝑥 
𝑥2 + 𝑥 + 1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
65 
 
29) ∫
(2𝑥 + 3) 
𝑥2 + 4𝑥 + 6
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
30) ∫
2𝑥 + 3 
9𝑥2 − 12𝑥 + 8
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva as seguintes integrais trigonométricas: 
1) ∫ 𝑠𝑒𝑛5(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
2) ∫ 𝑐𝑜𝑠3(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) ∫ 𝑐𝑜𝑠5 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
4) ∫ 15 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠3(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5)∫ 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
6) ∫ 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7)∫ 𝑐𝑜𝑠4 (𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
3. Resolva as seguintes integrais definidas por substituição de variáveis. 
𝑎) ∫
𝑥
𝑥2 + 1
1
0
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏) ∫ 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥
2+1
2
1
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑐) ∫
𝑥2
√𝑥3 + 9
1
−1
𝑑𝑥