Modelo apresentacao otimizacao

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Otimização de Processos 
Otimização de um fermentador contínuo 
CSTF pelo método quasi-newton e análise 
simulada.
Grupo: João Guilherme Breciani, Kevyn Rodrigues, 
Wenderson Penido, Gabriel Carvalho, Pablo Alberto, 
Matheus Ventura da Silva e Gabriel Pellanda.
Otimização de Processos 
INTRODUÇÃO
Com o objetivo de determinar a melhor configuração para um 
sistema, a otimização objetiva a melhoria de algo já existente. 
Nessa forma de trabalho não é necessário testar todas as 
possibilidades, sendo assim fatores importantes, como o 
tempo por exemplo, são reduzidos. O tratamento simultâneo 
de inúmeras variáveis e restrições complexas para a 
obtenção de soluções simplificadas é o objetivo de uma 
operação de otimização. (SILVA, 2005).
Otimização de Processos 
INTRODUÇÃO
É muito comum em problemas de otimização, a utilização de 
softwares matemáticos que possuem recursos mais 
sofisticados a fim de eliminar problemas muito complexos, 
como EDOs, EDPs, sistemas de inúmeras variáveis e 
interações, entre outros.
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Um reator de fermentação contínua possui como 
característica uma alimentação de meio de cultura a uma 
vazão constante, sendo o volume de reação no fermentador 
mantido constante e a retirada contínua do caldo fermentado 
também. 
O sistema deve ser mantido no estado estacionário, onde a 
concentração celular de substrato e produto, permanece 
constante durante todo tempo de operação dos sistema. 
(FERMENTAÇÃO, s.d.)
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Método Quasi-Newton: são métodos usados na programação 
nao linear para encontrar mínimos de funções que são duas 
vezes diferenciáveis quando o Método de Newton é 
demasiado demorado ou difícil de usar, sendo assim uma 
alternativa. (CERICOLA, 2015; SHANNO 1970)
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Método de Newton Método Quasi-Newton
Custo alto computacional Baixo custo computacional
Computação lenta Computação rápida
Necessita calcular iterativamente a 
segunda derivada
Não há necessidade de segunda 
derivada
Necessita calcular iterativamente o 
sistema linear de equações
Não há necessidade de resolver o 
sistema linear de equações
Menos etapas de convergência Mais etapas de convergência
Caminho de convergência mais preciso Caminho de convergência menos 
preciso
Diferenças entre os métodos de Newton
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Analisando as diferenças entre os métodos pode-se concluir 
que o metodo de newton aparenta ser melhor, entretanto o 
tempo de computação sendo mais rápido acaba equilibrando 
estas diferençãs, quando trabalhando com problemas 
grandes e complicados este equilíbrio se torna uma 
vantragem para o metodo de Quasi-Newton sobre o de 
Newton, assim gerando um tempo de solução geral mais 
rápido. (CERICOLA, 2015; SHANNO 1970).
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Mas a falta de precisão no cálculo da matriz Hessiana, pode 
causar uma convergência mais lenta quando estamos 
falando de etapas, nestes caso o metodo de Quasi-Newton 
pode se tornar mais lento em comparação com o método de 
Newton, exigindo assim uma grande quantidade de memoria, 
portanto, podendo ser prejudicial quando tratando de casos 
de grandes sistemas complicados. (CERICOLA, 2015; 
SHANNO 1970).
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O algoritmo é praticamente o mesmo que o metodo de Newton, 
existe somene uma modificação no passo da calculo da matriz.
Dada uma f(x) diferenciavel duas vezes:
1. Escolher um ponto de partida x0
2. Calcule a direção de pesquisa estimando a matriz inversa
3. Calcule a variação de x utilizando : 
x ^ {k + 1} = x ^ k - [H ^ {- 1}] _k * grad (x ^ k)
4. Determinar o novo valor de x, x1.
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5. Analisar se o método convergiu usando os criterios de 
convergencia, no caso o gradiente.
6. Repetir a partir do 2 passo, caso nao seja o melhor valor 
de convergência.
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Análise Simulada: é um algoritmo probabilístico que busca 
aproximar o ótimo global de uma determinada função, sendo 
assim um algoritmo de busca meta heurístico de grande 
escala para a aproximar o otimo global para uma f(x). 
(HENDERSON; JACOBSON; JOHNSON, 2003).
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A inspiração e o nome deste método provém do recozimento 
na metalurgia, uma tecnica que necessita de aquecimento e 
resfriamento controlado de um material para aumentar o 
tamanho dos seus cristais e reduzir seus defeitos, assim a 
análise simulada pode ser utilizada para encontrar uma 
aproximação de um mínimo global para um função com um 
grande número de variáveis.
(HENDERSON; JACOBSON; JOHNSON, 2003). 
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Uma de sua aplicação é para resolver o problema de 
combinações, onde um dos exemplos mais conhecidos o do 
vendedor ambulante onde a seguinte pergunta tem que ser 
respondidade: "Dada uma lista de cidades e as distâncias 
entre cada par de cidades, qual é a rota mais curta possível 
que visita cada cidade e retorna à cidade de origem?"
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Assim, a análise simulada 
é utilizada para minimizar 
o comprimento da rota do 
vendedor ambulante que 
conecta os 125 pontos.
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MATERIAIS E MÉTODOS
Modelo de fermentador contínuo (CSTF) utilizado:
X - Concentração de Células no Reator (g/L).
X0 - Concentração de Células no meio de 
alimentação (g/L).
Yx/s - Fator de Conversão de Substrato em 
Células (ex: gx/gs ). 
S - Concentração de Substrato Limitante no 
Reator (g/L). 
So - Concentração de Substrato Limitante no 
meio de alimentação (g/L).
D - Vazão Específica de Alimentação – (F/V) 
µx - Velocidades Específicas de Crescimento 
Celular.
Ks - Constante Cinética.
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MATERIAIS E MÉTODOS
A função objetiva em questão compara informações do modelo com 
os dados experimentais, assim em função dos parâmetros a 
ajustar:
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MATERIAIS E MÉTODOS
Suponha as condições operacionais: 
D = 0,1 h^-1
XA = 0 g/L 
SA = 20 g/L 
e as condições iniciais 
t0 = 0 
X0 = 2 g/L 
S0 = 0,5 g/L
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RESULTADOS
Método Quasi-Newton: 
Mi max = 0.3717
Ks = 2.7039
Yxs = 0.1997
Fobj = 0.7019
Tempo percorrido: aproximadamente 1 minuto
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RESULTADOS
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RESULTADOS
Análise Simulada: 
Fobj = 0,7518 
Iterações = 1900; 
Não retornou o valor das variáveis.
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RESULTADOS
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CONCLUSÕES
Logo, concluímos que a partir do método de 
quasi-newton para o nosso problema com as condições 
iniciais citadas, o método foi eficiente mostrando os 
valores das variáveis desejadas e a partir do gráfico 
podemos observar que os resultados experimentais 
condizem com os do modelo gerado, entretanto para o 
método de análise simulada o teste foi inconclusivo 
devido ao não retorno dos valores das variáveis 
desejadas.
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REFERÊNCIAS
CERICOLA, Vincent; YUE, Dajun; YOU, Fengqi. Quasi-Newton methods. 2015. ChE 345. Disponível em: 
<https://optimization.mccormick.northwestern.edu/index.php/Quasi-Newton_methods>. Acesso em: 30 nov. 2018.
SHANNO, D. F.. Conditioning of quasi-Newton methods for function minimization. Mathematics Of Computation, [s.l.], v. 
24, n. 111, p.647-647, 1 set. 1970. American Mathematical Society (AMS). 
http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-1970-0274029-x. Disponível em 
<http://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-111/S0025-5718-1970-0274029-X/S0025-5718-1970-0274029-X.pdf>.Acesso em: 30 nov. 2018.
Khachaturyan, A.; Semenovskaya, S.; Vainshtein, B. (1979). "Statistical-Thermodynamic Approach to Determination of 
Structure Amplitude Phases". Sov.Phys. Crystallography. 24 (5): 519–524.
HENDERSON, Darrall; JACOBSON, Sheldon H.; JOHNSON, Alan W.. THE THEORY AND PRACTICE OF SIMULATED 
ANNEALING. West Point, Ny: Kluwer Academic Publishers, 2003. 33 p. Disponível em: 
<https://link.springer.com/chapter/10.1007/0-306-48056-5_10>. Acesso em: 28 nov. 2018.
SILVA, Wesley Alves. Otimização de Parâmetros da Gestão Baseada em Atividades Aplicada em uma Célula de 
Manufatura. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção). UNIFEI. Itajubá-MG. 2005.
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REFERÊNCIAS
FERMENTAÇÃO Contínua: Biorreator Ideal Contínua. s.d.. Disponível em: 
<http://www.debiq.eel.usp.br/~joaobatista/AULA9FERMENTACAOCONTINUA.pdf>. Acesso em: 02 dez. 2018.