FISICA EXPERIMENTAL 1: ESTUDO DO MRUV COM O TRILHO DE AR

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C�pia de Exerc�cio fisexp.xlsx
Ponto móvel
		X		Y		X		Y
		0		0		cont		0
		1		0.1		incre		0.1
		2		0.4
		3		0.9		X		Y
		4		1.6		0		0
		5		2.5
		6		3.6
		7		4.9000000000000004
		8		6.4
		9		8.1
		10		10
		11		12.100000000000001
		12		14.4
		13		16.900000000000002
		14		19.600000000000001
		15		22.5
Derivada
		x		f(x)=4x²-2x³		f'(x)=8x-6x²
		x		f*(x)
		cont		11
		-3		90		-78		inc		0.1
		-2.9		82.418		-73.66
		-2.8		75.264		-69.44		-1.9		28.158
		-2.7		68.526		-65.34
		-2.6		62.192		-61.36		x		f'(x)
		-2.5		56.25		-57.5		cont		60
		-2.4		50.688		-53.76		inc		0.1
		-2.3		45.494		-50.14
		-2.2		40.656		-46.64		3		-30
		-2.1		36.162		-43.26
		-2		32		-40		Tangente
		-1.9		28.158		-36.86		cont		14
		-1.8		24.624		-33.84		dx		0.1
		-1.7		21.386		-30.94
		-1.6		18.432		-28.16		x		y
		-1.5		15.75		-25.5		-1.6		18.432
		-1.4		13.328		-22.96
		-1.3		11.154		-20.54		coef. da reta tg
		-1.2		9.216		-18.24		y = a + bx
		-1.1		7.502		-16.06		Ponto máximo		Ponto mínimo
		-1		6		-14		a		-26.624		(0, 0)		(1,33 , 2,37)
		-0.9		4.698		-12.06		b		-28.16
		-0.8		3.584		-10.24
		-0.7		2.646		-8.54		Pontos da reta tg
		-0.6		1.872		-6.96
		-0.5		1.25		-5.5		-2.1		32.512
		-0.4		0.768		-4.16		-1.6		18.432
		-0.3		0.414		-2.94		-1.1		4.352
		-0.2		0.176		-1.84
		-0.1		0.042		-0.86
		0		0		0
		0.1		0.038		0.74
		0.2		0.144		1.36
		0.3		0.306		1.86
		0.4		0.512		2.24
		0.5		0.75		2.5
		0.6		1.008		2.64
		0.7		1.274		2.66
		0.8		1.536		2.56
		0.9		1.782		2.34
		1		2		2
		1.1		2.178		1.54
		1.2		2.304		0.96
		1.3		2.366		0.26
		1.4		2.352		-0.56
		1.5		2.25		-1.5
		1.6		2.048		-2.56
		1.7		1.734		-3.74
		1.8		1.296		-5.04
		1.9		0.722		-6.46
		2		0		-8
		2.1		-0.882		-9.66
		2.2		-1.936		-11.44
		2.3		-3.174		-13.34
		2.4		-4.608		-15.36
		2.5		-6.25		-17.5
		2.6		-8.112		-19.76
		2.7		-10.206		-22.14
		2.8		-12.544		-24.64
		2.9		-15.138		-27.26
		3		-18		-30
Alcance
		Nº		Alcance (cm)		Frequência		Probabilidade		%		Desvio da Média		Desvio Quadrático		Alcance		Frequência		Distribuição de Gauss
		1		46.2		46		4		0.08		8		-0.184		0.033856		45.95		0		45.95		1.4351345661
		2		46.3		46.1		4		0.08		8		-0.084		0.007056		45.95		4		46		2.1242988694
		3		46.6		46.2		6		0.12		12		0.216		0.046656		46.05		4		46.05		2.9972069384
		4		46.3		46.3		10		0.2		20		-0.084		0.007056		46.05		0		46.1		4.0308437053
		5		46		46.4		8		0.16		16		-0.384		0.147456		46.05		4		46.15		5.1671766213
		6		46.9		46.5		6		0.12		12		0.516		0.266256		46.15		4		46.2		6.3137702224
		7		46.2		46.6		5		0.1		10		-0.184		0.033856		46.15		0		46.25		7.3536398586
		8		46.4		46.7		4		0.08		8		0.016		0.000256		46.15		6		46.3		8.1638320004
		9		46.1		46.8		1		0.02		2		-0.284		0.080656		46.25		6		46.35		8.6390080666
		10		46.5		46.9		2		0.04		4		0.116		0.013456		46.25		0		46.4		8.7138848824
		11		46.7		0.316		0.099856		46.25		10		46.45		8.3779521418
		12		46.1		Média ponderada das frequências		-0.284		0.080656		46.35		10		46.5		7.6778929088
		13		46.5		4.9928955867		0.116		0.013456		46.35		0		46.55		6.706938802
		14		46.7		0.316		0.099856		46.35		8		46.6		5.584505913
		15		46.4		Média ponderada das distâncias		0.016		0.000256		46.45		8		46.65		4.4322401631
		16		46.3		46.384		-0.084		0.007056		46.45		0		46.7		3.3530492521
		17		46.3		-0.084		0.007056		46.45		6		46.75		2.4178797545
		18		46.8		0.416		0.173056		46.55		6		46.8		1.661910314
		19		46.7		0.316		0.099856		46.55		0		46.85		1.0888262578
		20		46.9		0.516		0.266256		46.55		5		46.9		0.6799667967
		21		46.2		-0.184		0.033856		46.65		5		46.95		0.4047575376
		22		46.3		-0.084		0.007056		46.65		0
		23		46.5		0.116		0.013456		46.65		4
		24		46.6		0.216		0.046656		46.75		4
		25		46.6		0.216		0.046656		46.75		0
		26		46.6		0.216		0.046656		46.75		1
		27		46.3		-0.084		0.007056		46.85		1
		28		46.4		0.016		0.000256		46.85		0
		29		46.5		0.116		0.013456		46.85		2
		30		46.4		0.016		0.000256		46.95		2
		31		46.1		-0.284		0.080656		46.95		0
		32		46.2		-0.184		0.033856
		33		46		-0.384		0.147456
		34		46.6		0.216		0.046656
		35		46.2		-0.184		0.033856
		36		46.7		0.316		0.099856
		37		46.4		0.016		0.000256
		38		46.2		-0.184		0.033856
		39		46.1		-0.284		0.080656
		40		46.4		0.016		0.000256
		41		46.3		-0.084		0.007056
		42		46.3		-0.084		0.007056
		43		46.5		0.116		0.013456
		44		46		-0.384		0.147456
		45		46.4		0.016		0.000256
		46		46		-0.384		0.147456
		47		46.3		-0.084		0.007056
		48		46.5		0.116		0.013456
		49		46.3		-0.084		0.007056
		50		46.4		0.016		0.000256
		Desvio Padrão
		0.2283506076
Idade
		32		51		64		76		Subgrupos		Frequência		Total		Alcance		Frequência		Probabilidade		%		Desvio da média		Desvio Quadrático		Idade		Frequência
		37		53		64		77		30-39		||		2		30		0		0.0625		6.25		-31.46875		990.2822265625		32		1
		41		55		68		78		40-49		||||		4		30		2		0.125		12.5		-26.46875		700.5947265625		37		1
		43		57		69		82		50-59		|||||||		7		40		2		0.21875		21.875		-22.46875		504.8447265625		41		1
		43		57		69		88		60-69		||||||||		8		40		0		0.25		25		-20.46875		418.9697265625		43		1
		48		60		71		88		70-79		||||||		6		40		4		0.1875		18.75		-20.46875		418.9697265625		48		1
		50		61		75		91		80-89		|||		3		50		4		0.09375		9.375		-15.46875		239.2822265625		50		1
		51		63		75		94		90-99		||		2		50		0		0.0625		6.25		-13.46875		181.4072265625		51		2
		50		7		-12.46875		155.4697265625		53		1
		60		7		Média Ponderada		-12.46875		155.4697265625		55		1
		60		0		63.46875		-10.46875		109.5947265625		57		2
		60		8		-8.46875		71.7197265625		60		1
		70		8		-6.46875		41.8447265625		61		1
		70		0		-6.46875		41.8447265625		63		1
		70		6		-3.46875		12.0322265625		64		2
		80		6		-2.46875		6.0947265625		68		1
		80		0		-0.46875		0.2197265625		69		2
		80		3		0.53125		0.2822265625		71		1
		90		3		0.53125		0.2822265625		75		2
		90		0		4.53125		20.5322265625		76		1
		90		2		5.53125		30.5947265625		77		1
		100		2		5.53125		30.5947265625		78		1
		100		0		7.53125		56.7197265625		82		1
		11.53125		132.9697265625		88		2
		11.53125		132.9697265625		91		1
		Gráfico 2		12.53125		157.0322265625		94		1
		Alcance		Frequência		13.53125		183.0947265625
		14.53125		211.1572265625
		18.53125		343.4072265625
		24.53125		601.7822265625
		24.53125		601.7822265625
		27.53125		757.9697265625
		30.53125		932.1572265625
Períodos
		Nº		Período (s)		Arred.		Máximo		Média ponderada das frequências		Desvio da Média		Desvio Quadrático		Alcance		Frequência		Distribuição de Gauss
		1		4.0		4.0		4.28		3.7609147609		0.4		0.178084		3.05		0		3.05		0.9905676729
		2		3.7		3.7		0.044		0.001936		3.05		2		3.1		1.3741547681
		3		3.6		3.6		Mínimo		Média ponderada dos períodos		-0.035		0.001225		3.15		2		3.15		1.8496846437
		4		3.6		3.6		3.093		3.618		-0.039		0.001521		3.15		0		3.2		2.4158517291
		5		4.0		4.0		0.387		0.149769		3.15		4		3.25		3.0616349366
		6		3.7		3.7		Frequência		Probabilidade		%		0.044		0.001936		3.25		4		3.3		3.7648447945
		7		3.1		3.1		3.1		2		0.04		4		-0.498		0.248004		3.25		0		3.35		4.4921194151
		8		3.3		3.3		3.2		4		0.08		8		-0.294		0.086436		3.25		6		3.4		5.2007508853
		9		3.3		3.3		3.3		6		0.12		12		-0.334		0.111556		3.35		6		3.45		5.8424008937
		10		3.5		3.5		3.4		4		0.08		8		-0.074		0.005476		3.35		0		3.5		6.3683540468
		11		3.4		3.4		3.5		5		0.1		10		-0.203		0.041209		3.35		4		3.55		6.7355581382
		12		3.6		3.6		3.6		7		0.14		14		-0.029		0.000841		3.45		4		3.6		6.9124264252
		13		3.9		3.9		3.7		3		0.06		6		0.287		0.082369		3.45		0		3.65		6.8833205996
		14		4.0		4.0		3.8		8		0.16		16		0.347		0.120409		3.45		5		3.7		6.6508326073
		15		3.6		3.6		3.9		2		0.04
4		-0.054		0.002916		3.55		5		3.75		6.2354037565
		16		3.2		3.2		4		7		0.14		14		-0.379		0.143641		3.55		0		3.8		5.6723587042
		17		3.6		3.6		4.1		0		0		0		-0.029		0.000841		3.55		7		3.85		5.0069509439
		18		3.8		3.8		4.2		1		0.02		2		0.172		0.029584		3.65		7		3.9		4.2883826431
		19		3.1		3.1		4.3		1		0.02		2		-0.525		0.275625		3.65		0		3.95		3.5638897962
		20		3.2		3.2		-0.395		0.156025		3.65		3		4		2.8738595932
		21		3.3		3.3		-0.269		0.072361		3.75		3		4.05		2.2486267337
		22		4.0		4.0		0.43		0.1849		3.75		0		4.1		1.7071816599
		23		3.3		3.3		-0.339		0.114921		3.75		8		4.15		1.2576292997
		24		3.8		3.8		0.199		0.039601		3.85		8		4.2		0.8989511669
		25		3.4		3.4		-0.178		0.031684		3.85		0		4.25		0.623490869
		26		3.8		3.8		0.137		0.018769		3.85		2		4.3		0.4195991871
		27		3.6		3.6		-0.023		0.000529		3.95		2
		28		3.5		3.5		-0.083		0.006889		3.95		0
		29		3.8		3.8		0.17		0.0289		3.95		7
		30		3.9		3.9		0.32		0.1024		4.05		7
		31		3.5		3.5		-0.114		0.012996		4.05		0
		32		3.5		3.5		-0.141		0.019881		4.05		0
		33		3.3		3.3		-0.293		0.085849		4.15		0
		34		3.8		3.8		0.185		0.034225		4.15		0
		35		4.3		4.3		0.662		0.438244		4.15		1
		36		3.4		3.4		-0.24		0.0576		4.25		1
		37		3.3		3.3		-0.29		0.0841		4.25		0
		38		3.8		3.8		0.186		0.034596		4.25		1
		39		3.6		3.6		-0.008		0.000064		4.35		1
		40		3.4		3.4		-0.181		0.032761		4.35		0
		41		3.7		3.7		0.038		0.001444
		42		3.8		3.8		0.192		0.036864
		43		4.2		4.2		0.536		0.287296
		44		3.5		3.5		-0.104		0.010816
		45		3.2		3.2		-0.405		0.164025
		46		4.0		4.0		0.337		0.113569
		47		4.0		4.0		0.4073		0.16589329
		48		3.2		3.2		-0.436		0.190096
		49		3.8		3.8		0.138		0.019044
		50		4.0		4.0		0.343		0.117649
		Desvio Padrão
		0.2880058781
Cramer 1
		x		y		x²		xy		y = A + Bx
		T (ºC)		Cp(Cal/gºC)		X		Y
		200		0.122		40000		24.4		200		0.121924026
		210		1.124		44100		236.04		220		0.1247854978
		220		0.1259		48400		27.698		230		0.1262162338
		230		0.1268		52900		29.164		240		0.1276469697
		240		0.1279		57600		30.696		250		0.1290777056
		250		0.1255		62500		31.375		260		0.1305084416
		260		0.1302		67600		33.852		270		0.1319391775
		270		0.1322		72900		35.694		280		0.1333699134
		280		0.1346		78400		37.688		290		0.1348006494
		290		0.1354		84100		39.266		300		0.1362313853
		300		0.136		90000		40.8
		200		0.122		40000		24.4		Soma		2540		1.2965		654400		330.633
		220		0.1259		48400		27.698		Média		254		0.12965
		230		0.1268		52900		29.164		Soma²		6451600
		240		0.1279		57600		30.696		Delta		92400
		250		0.1255		62500		31.375
		260		0.1302		67600		33.852		A		0.0933093074
		270		0.1322		72900		35.694		B		0.0001430736
		280		0.1346		78400		37.688
		290		0.1354		84100		39.266
		300		0.136		90000		40.8
Cramer 2
		Nº		Tempo (s)		Posição (cm)		t²		t*p
		1		0.2		2.5		0.04		0.5		Y = A + Bx
		2		0.4		4.7		0.16		1.88		X		Y
		3		0.6		6.9		0.36		4.14		0.2		2.5
		4		0.8		9.1		0.64		7.28		0.4		4.7
		5		1		11.3		1		11.3		0.6		6.9
		6		1.2		13.5		1.44		16.2		0.8		9.1
		7		1.4		15.7		1.96		21.98		1		11.3
		8		1.6		17.9		2.56		28.64		1.2		13.5
		9		1.8		20.1		3.24		36.18		1.4		15.7
		10		2		22.3		4		44.6		1.6		17.9
		1.8		20.1
		Soma		11		124		15.4		172.7		2		22.3
		Média		1.1		12.4
		Soma²		121
		Delta		33
		A		0.3
		B		11
Triste
		X		Y		σ		σ²		y*e^(-x/σ²)		e^(-2x/σ²)		y*e^(4x/σ²)		e^(8x/σ²)		(e^(-x)*e(^4x))/σ²		a1e^-x +a2^4x
		0.1		3.11		0.1		0.01		281.4044370092		81.8730753078		463.9574809664		222.5540928492		134.9858807576		2.9355287677
		0.2		2.67		0.1		0.01		218.6011110718		67.0320046036		594.2194279075		495.3032424395		182.2118800391		2.7447498471
		0.3		2.65		0.12		0.0144		136.3311308893		38.1119191732		610.9937392536		765.4983597668		170.8057716081		2.6156886135
		0.4		2.43		0.12		0.0144		113.1165077685		31.2034002859		835.8242216167		1703.6479303548		230.56367519		2.5638970507
		0.5		2.45		0.15		0.0225		66.0444496132		16.3501973854		804.5861085502		2426.5844459175		199.1861809039		2.6139846171
		0.6		2.62		0.15		0.0225		63.9060660696		13.3864094183		1283.5876496569		5400.4630008327		268.8732206406		2.8039388871
		0.7		3.22		0.15		0.0225		71.066874587		10.9598650641		2353.4116712414		12018.9514411623		362.940885003		3.1915839472
		0.8		4.05		0.2		0.04		45.4945576169		5.0474129499		2483.9186824573		15046.125946802		275.579409516		3.8642267327
		0.9		5.12		0.2		0.04		52.0409164468		4.1324722055		4684.5740087908		33485.7691098604		371.9932931218		4.9530581152
		1		6.59		0.2		0.04		60.608137933		3.3833820809		8995.0452179605		74523.9496760431		502.1384230797		6.654646252
		1.1		9.25		0.2		0.04		76.9764381052		2.7700789591		18835.5133787739		165856.100156947		677.8159730164		9.2630094441
		Soma		6.6		44.16		0.2763		0.2763		1185.5906271105		274.2502174336		41945.6315871753		311944.9474029754		3377.0945928763
		f(x)=a1*EXP(-x)+a2*EXP(4*x)
		A1		3.0774960114
		A2		0.1011480927
Experimento 2.xlsx
Plan1
		tempo de queda (s)		altura (cm)		Aceleração (cm/s²)		Desvio da Aceleração		Velocidade		média do tempo (s)		Variância		Variância Média		Aceleração Média (m/s²)		Desvio Padrão Médio		Erro padrão da Média		Frequência Absoluta		Frequência Relativa		Desvio Quadrático		Dist. Normal/Gauss
		t1		0.71		215.9		856.576		0.1988727101		0.55		0.02444		0.01042		1408.594		0.3621469203		0,21-0,30		0		0
		t2		0.65		1022.012		0.2371858635		0.00928		0,31-0,40		1		0.0333333333
		t3		0.45		2132.346		0.4943269076		0.01075		0,41-0,50		8		0.2666666667
		t4		0.73		810.283		0.1881518033		0.03109		0,51-0,60		14		0.4666666667
		t5		0.56		1376.913		0.3193771596		0.00004		0,61-0,70		2		0.0666666667
		t6		0.65		1022.012		0.2371858635		0.00928		0,71-0,80		5		0.1666666667
		t7		0.73		810.283		0.1881518033		0.03109		0,81-0,90		0		0
		t8		0.48		1874.132		0.4345274901		0.00543
		t9		0.35		3524.898		0.8168263776		0.04148
		t10		0.53		1537.202		0.3564982254		0.00056
		t11		0.44		2230.372		0.5170286839		0.01292
		t12		0.44		2230.372		0.5170286839		0.01292
		t13		0.58		1283.591		0.2977647407		0.00069
		t14		0.53		1537.202		0.3564982254		0.00056
		t15		0.53		1537.202		0.3564982254		0.00056
		t16		0.75		767.644		0.1782770766		0.03855
		t17		0.57		1329.024		0.3082866059		0.00027
		t18		0.72		832.948		0.1934005882		0.02767
		t19		0.44		2230.372		0.5170286839		0.01292
		t20		0.44		2230.372		0.5170286839		0.01292
		t21		0.53		1537.202		0.3564982254		0.00056
		t22		0.58		1283.591		0.2977647407		0.00069
		t23		0.57		1329.024		0.3082866059		0.00027
		t24		0.53		1537.202		0.3564982254		0.00056
		t25		0.53		1537.202		0.3564982254		0.00056
		t26		0.57		1329.024		0.3082866059		0.00027
		t27		0.44		2230.372		0.5170286839		0.01292
		t28		0.57		1329.024		0.3082866059		0.00027
		t29		0.44		2230.372		0.5170286839		0.01292
		t30		0.57		1329.024		0.3082866059		0.00027
		SOMA		16.61		46847.7932927839		10.8644076099		0.31270
		Tempo de Queda (s)
		0,71 ± 0,005
		0,65 ± 0,005
		0,45 ± 0,005
		0,73 ± 0,005
		0,56 ± 0,005
		0,65 ± 0,005
		0,73 ± 0,005
		0,48 ± 0,005
		0,35 ± 0,005
		0,53 ± 0,005
		0,44 ± 0,005
		0,44 ± 0,005
		0,58 ± 0,005
		0,53 ± 0,005
		0,53 ± 0,005
		0,75 ± 0,005
		0,57 ± 0,005
		0,72 ± 0,005
		0,44 ± 0,005
		0,44 ± 0,005
		0,53 ± 0,005
		0,58 ± 0,005
		0,57 ± 0,005
		0,53 ± 0,005
		0,53 ± 0,005
		0,57 ± 0,005
		0,44 ± 0,005
		0,57 ± 0,005
		0,44 ± 0,005
		0,57 ± 0,005
Plan2
		Tempo de Queda (s)		Frequência Absoluta		Frequência Relativa		Desvio Quadrático		Distribuição de Gauss
		0.31		0		0		0		0.1450851462216968
		0.35		1		3.3333333333333333E-2		5.219467455621303E-2		0.35698944684985012
		0.44
6		0.2		0.11502958579881659		1.5933380744231167
		0.45		1		3.3333333333333333E-2		1.6502366863905327E-2		1.7981208113090581
		0.48		1		3.3333333333333333E-2		9.6946745562130239E-3		2.4476225569407721
		0.73		2		6.6666666666666666E-2		4.5927810650887559E-2		1.341847197236081
		0.53		6		0.2		1.4091124260355021E-2		3.4139960162351426
		0.56000000000000005		1		3.3333333333333333E-2		3.4082840236686232E-4		3.7390365137308494
		0.56999999999999995		5		0.16666666666666666		3.579881656804784E-4		3.7849155873216809
		0.57999999999999996		2		6.6666666666666666E-2		4.7337278106505806E-6		3.7968037794423362
		0.65		2		6.6666666666666666E-2		1.0235502958579884E-2		3.0115134573964992
		0.71		1		3.3333333333333333E-2		1.7302366863905315E-2		1.7341262820956609
		0.72		1		3.3333333333333333E-2		2.0033136094674546E-2		1.5323541903011264
		0.75		1		3.3333333333333333E-2		2.9425443786982246E-2		1.0013531290033262
		0.81		0		0		0		0.33481966971586952
		Média		0.57846153846153847
		Desvio		0.10506192407121788
		Media Ponderada		1.9939975990396157
		Variância		1.103800788954635E-2
Plan3
Relat�rio 1.xls
Planilha1
				tempo(s)		posição(cm)		tempo*posição		tempo²*posição		tempo²		tempo³		tempo⁴		Vi		Desvio da Vi		Vmédia		Desvio da Vm
				0.1		3.35		0.335		0.0335		0.01		0.001		0.0001		37.8437906315		0.1073597006		33.5		0.6018513105
				0.2		7.6		1.52		0.304		0.04		0.008		0.0016		48.5797606916		0.1073597006		38		0.3140063694
				0.3		13		3.9		1.17		0.09		0.027		0.0081		59.3157307517		0.1073597006		43.3333333333		0.2205492582
				0.4		19.4		7.76		3.104		0.16		0.064		0.0256		70.0517008118		0.1073597006		48.5		0.1741452339
				0.5		26.85		13.425		6.7125		0.25		0.125		0.0625		80.7876708718		0.1073597006		53.7		0.1467472657
				0.6		35.55		21.33		12.798		0.36		0.216		0.1296		91.5236409319		0.1073597006		59.25		0.1292130293
				0.7		45.15		31.605		22.1235		0.49		0.343		0.2401		102.259610992		0.1073597006		64.5		0.1165862211
				0.8		56.2		44.96		35.968		0.64		0.512		0.4096		112.9955810521		0.1073597006		70.25		0.1077835106
				0.9		68.1		61.29		55.161		0.81		0.729		0.6561		123.7315511122		0.1073597006		75.6666666667		0.1007713733
				1		80.7		80.7		80.7		1		1		1		134.4675211723		0.1073597006		80.7		0.0949341351
				1.1		94.7		104.17		114.587		1.21		1.331		1.4641		145.2034912324		0.1073597006		86.0909090909		0.0905065845
		soma		6.6		450.6		370.995		332.6615		5.06		4.356		3.9974
		
		tempo total²		43.56				comparando a equação dos mínimo quadrados, temos que velocidade inicial = a1
		tempo total³		287.496
		tempo total⁴		1897.4736						Velocidade inicial =				27.1078205714
		
		a1		27.1078205714				comparando a equação dos mínimo quadrados, temos que aceleração = 2*a2
		a2		53.6798503005
										Aceleração =				107.3597006009
		
						Calculamos também, através do cálculo da propagação dos erros, o desvio da Velocidade Média:
		
										∆V =		+ ou -		0.090506979
		
						Calculamos também, através do cálculo da propagação dos erros, o desvio da Velocidade Instantânea:
		
										∆Vi =		+ ou -		0.1073597006
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
				Tempo (segundos)		Posição (cm)
				0,1 ± 0,05 cm		3,35 ± 0,001 s
				0,2 ± 0,05 cm		7,6 ± 0,001 s
				0,3 ± 0,05 cm		13 ± 0,001 s
				0,4 ± 0,05 cm		19,4 ± 0,001 s
				0,5 ± 0,05 cm		26,85 ± 0,001 s
				0,6 ± 0,05 cm		35,55 ± 0,001 s
				0,7 ± 0,05cm		45,15 ± 0,001 s
				0,8 ± 0,05 cm		56,2 ± 0,001 s
				0,9 ± 0,05 cm		68,1 ± 0,001 s
				1 ± 0,05 cm		80,7 ± 0,001 s
				1,1 ± 0,05 cm		94,7 ± 0,001 s
Planilha1
		
tempo(s) posição(cm)
Planilha2
		
Planilha3
		
Relat�rio f�sica experimental final impressao.doc
Alunos: Luan Reisdoerfer, Oliver Barcelos, Rômulo Felipe e Thiago Novaes. 
RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I: ESTUDO DO MRUV COM O TRILHO DE AR
Macaé,
Outubro /2013�
Alunos: Luan Reisdoerfer, Oliver Barcelos, Rômulo Felipe e Thiago Novaes. 
RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I: ESTUDO DO MRUV COM O TRILHO DE AR
Relatório I da disciplina de Física Experimental I, aplicada pelo Professor Luiz Carlos Braga no período 2013.1.
Macaé,
Outubro /2013
SUMÁRIO
1. Introdução........................................................................................................5
1.1 Como surgiu o experimento...........................................................................5
1.2 Método dos Mínimos Quadrados...................................................................6
1.3 Propagação de Erros.....................................................................................7
2. Objetivo............................................................................................................8
2.1 Objetivo Principal...........................................................................................8
2.2 Objetivos Secundários...................................................................................8
3. Material Utilizado.............................................................................................9
4. O Experimento...............................................................................................10
4.1 Medições Realizadas...................................................................................10
4.2 O MRUV.......................................................................................................11
4.3 Dados Obtidos.............................................................................................11
5. Cálculos Realizados após o experimento......................................................12
5.1 Calculando a aceleração teórica do MRUV.................................................12
5.2 Calculando a velocidade teórica do MRUV.................................................12
5.3 Calculando a aceleração e a velocidade inicial com o MQO.......................14
5.4 Calculando o desvio da velocidade com a Propagação de erros................15
5.5 Calculando o desvio da aceleração com a Propagação de erros................15
6. Conclusão......................................................................................................18
7. Anexos...........................................................................................................19
7.1 Balança utilizada no experimento................................................................19
7.2 Trilho de ar utilizado no experimento...........................................................19
7.3 Carrinho e pino no experimento...................................................................20
1. Introdução
1.1 Como surgiu o Experimento
	No início da década de 60 foram desenvolvidos dispositivos com colchão de ar para o ensino das leis da física mecânica na ausência de atrito, que geralmente diminui consideravelmente a precisão das medidas de espaço e tempo. Os professores Marcley e Whitney criaram esses dispositivos que foram utilizados pela primeira vez no MIT (Massachusets Institute of Technology). O registro dessas grandezas dos corpos em movimento tem sido feito geralmente com marcas pontuais deixadas por descargas elétricas periódicas de alta tensão em papel térmico do tipo empregado em aparelhos de fax, método que funciona muito bem, exceto pela alta tensão que muitas vezes inibe a iniciativa dos alunos na operação do equipamento.
	Com o passar dos anos outros equipamentos foram desenvolvidos, entre eles o trilho de ar (linear track), equipamento desenhado para o estudo
do movimento com baixíssimo atrito. Em seu uso mais comum, o aparelho é utilizado em experimentos para estudo do movimento retilíneo uniforme (MRU), porém com modificações, também pode ser analisado o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
	Para o MRU, durante o experimento, pode ser estudado e observado a primeira lei de Newton (Lei da Inércia), onde após ser dada a propulsão inicial no carrinho sobre o trilho de ar, seu movimento não sofrerá mais a ação de forças horizontais e a sua velocidade será constante, até chegar ao final do trilho, onde perderá parte de sua energia, devido à colisão com o batente fim de curso e logo após volta a deslizar sobre o trilho, mas com sentido contrário.
	Para o MRUV, é acrescentado no experimento um barbante, um pino, uma roldana, um gancho e um corpo metálico. Neste caso, diferente do que acontece com o MRU, a força resultante sobre o sistema é diferente de zero e é igual à força peso na horizontal, causada pelo peso do gancho somado ao peso do corpo metálico, em uma das extremidades do trilho de ar.
1.2 Métodos dos Mínimos Quadrados
	O Método dos Mínimos Quadrados, ou Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças são chamadas resíduos). Por esse motivo, foi o método escolhido para ser utilizado durante os cálculos realizados para obter a velocidade inicial e a aceleração do carrinho no experimento.
É a fórmula mais amplamente utilizada na econometria e em experimentos físicos para se estimar grandezas oriundas de medidas sujeitas a erros de medição. Consiste em um estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos da regressão, de forma a maximizar o grau de ajuste do modelo aos dados observados.
Um requisito para o método dos mínimos quadrados é que o fator imprevisível (erro) seja distribuído aleatoriamente, essa distribuição seja normal e independente. O Teorema Gauss-Markov garante (embora indiretamente) que o estimador de mínimos quadrados é o estimador não enviesado de mínima variância linear na variável resposta.
Outro requisito é de que o modelo seja linear nos parâmetros, ou seja, as variáveis apresentam uma relação linear entre si. Caso contrário, deveria ser usado um modelo de regressão não linear.
Credita-se Carl Friedrich Gauss como o desenvolvedor das bases fundamentais do método dos mínimos quadrados no ano de 1795, quando tinha apenas dezoito anos. Entretanto, Adrien-Marie Legendre foi o primeiro a publicar o método, em 1805, em seu Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. Gauss publicou suas conclusões apenas em 1809.
1.3 Propagação de Erros
	Em Estatística, incerteza é uma quantidade que expressa a confiabilidade de um conjunto de dados, dando sua dispersão, não vinculada ao valor verdadeiro. Erro é a diferença entre o valor de certa medida com seu valor verdadeiro (relacionando ambas conforme o tipo de erro). A propagação de incerteza ou propagação de erro (ambas diferem na forma de apresentar seus valores) é uma forma de verificar a confiabilidade dos dados de uma amostra/medida, quando esta é submetida a diferentes operações matemáticas. Ela define como as incertezas/erros das variáveis estão relacionadas e fornece a melhor estimativa para aquele conjunto de dados.
Na realização de um experimento científico, ou qualquer outro experimento que haja coleta de dados, é raro o caso em que a análise do resultado dependa somente dos dados brutos encontrados. Os dados normalmente são coletados a fim de comparar os resultados com outros experimentos, ou para testar uma teoria, ou mesmo obter informações mais aprofundadas sobre determinado fenômeno. Nessas análises os dados são usados para se comparar pelo menos duas grandezas (considerando casos em que se pretende estudar algo), mas nem sempre é possível medi-las diretamente, sendo necessária a medida de outras grandezas que as definam, ou tirando uma amostra de um conjunto de dados. Um exemplo disso é a velocidade. Não há como medir a velocidade propriamente dita, mas podemos medir distâncias e tempos, obtendo assim a velocidade média.
Como qualquer medida experimental, essa contém erros, que vêm da exatidão ou precisão do instrumento, ou até mesmo da flutuação estatística dos dados (dada pelo desvio padrão) – esta última é o caso de um decaimento radiativo. Quando se faz medições a fim de chegar indiretamente a outras grandezas, essas incertezas precisam ser levadas em conta, e há uma forma de se calcular a incerteza final da grandeza encontrada indiretamente.
Objetivo
Objetivo Principal
	Este relatório tem como objetivo principal descrever o estudo e a análise feita do MRUV através do experimento físico realizado a partir do trilho de ar.
Objetivos Secundários
Obter a aceleração e velocidade inicial teórica do movimento desprezando a força de atrito realizada pela roldana e a massa do barbante;
Obter a aceleração e a velocidade real a partir de um método matemático estudado. Neste caso o método estudado e escolhido foi o dos mínimos quadrados;
	Obter os desvios da velocidade inicial e da aceleração utilizando o método da Propagação de Erros.
3. Material utilizado no experimento
	No laboratório de Física, para realizarmos o experimento, utilizamos diversos materiais, descritos a seguir:
Trilho de ar com uma roldana;
Centelhador;
Balança;
Fita para marcar os pontos;
Carrinho + acoplamento (M1+M2);
Peso (M3);
Gancho suporte (M4) para o peso (M3);
Barbante.
4. O Experimento
4.1 Medições Realizadas
	Utilizamos uma balança para medir a massa do carrinho, do corpo metálico (massa que tracionou o carrinho), do pino que liga o carrinho ao barbante e do gancho que sustenta o corpo metálico e uma régua para medir a distância entre os pontos impressos na fita. Vale ressaltar que a balança possui um erro de 0,1 grama e a régua 0,5 milímetros. Após as medições chegamos aos seguintes dados:
Peso do carrinho (M1) = 226,6 ± 0,1 g;
Acoplamento (M2) = 9,8 ± 0,1 g;
Peso do corpo metálico (M3) = 22,8 ± 0,1 g;
Peso do gancho (M4) = 7,1 ± 0,1 g.
4.2 O MRUV
	Neste experimento usou-se um trilho de ar (retirando o atrito do sistema carro/trilho) com um carrinho que tinha por função marcar pontos oriundos de um centelhador em uma fita. O centelhador foi acionado praticamente ao mesmo tempo em que o carrinho foi liberado, sendo puxado por um peso (M3), em quedra livre, localizado na extremidade do trilho de ar utilizando uma pequena roldana. A queda fez com que o carrinho percorre-se toda a superfície do trilho marcando os pontos na fita, pelas centelhas elétricas oriundas do centelhador. Depois da realização do experimento notou-se que as distâncias entre os pontos aumentavam gradativamente ao longo da fita, o que fez com que concluíssemos de que se tratava de um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV).
4.3 Dados Obtidos
Após o experimento, utilizando uma escala metálica, medimos as distâncias entre os pontos marcados, chegando aos seguintes dados:
Relação Tempo x Posição
		Tempo (segundos)
		Posição (cm)
		0,1 ± 0,001 s
		3,35 ± 0,05 cm
		0,2 ± 0,001 s
		7,6 ± 0,05 cm
		0,3 ± 0,001 s
		13 ± 0,05 cm
		0,4 ± 0,001 s
		19,4 ± 0,05 cm
		0,5 ± 0,001 s
		26,85 ± 0,05 cm
		0,6 ± 0,001 s
		35,55 ± 0,05 cm
		0,7 ± 0,001 s
		45,15 ± 0,05 cm
		0,8 ± 0,001 s
		56,2 ± 0,05 cm
		0,9 ± 0,001 s
		68,1 ± 0,05 cm
		1 ± 0,001 s
		80,7 ± 0,05 cm
		1,1 ± 0,001 s
		94,7 ± 0,05 cm
5. Cálculos realizados após o Experimento
5.1 Calculando a aceleração teórica do MRUV
Utilizando
as fórmulas P = m.g e Fr = M.a encontra-se a aceleração teórica do conjunto, onde:
P = Força peso do conjunto Gancho + Corpo metálico;
m = Soma das massas M3 (corpo metálico) e M4 (gancho);
g = Aceleração da gravidade;
Fr = Nesse caso iguala-se à Força Peso;
M = Massa total (M1+M2+M3+M4);
a = Aceleração do sistema.
Desenvolvendo:
a = m.g/M (substituindo os valores)
a = [(7,1g + 9,8g) . 980m/s²] / 266,3g
a = 110,03 cm/s²
5.2 Calculando a velocidade teórica do MRUV
Utilizando a equação ∆s = vot + at²/2 chega-se ao valor da velocidade inicial teórica do sistema, onde:
∆s = Deslocamento do carrinho entre os pontos x0 e x11;
vo = Velocidade no ponto x0;
t = Tempo total do experimento;
a = Aceleração do sistema. 
Desenvolvendo:
vo = (∆s – at²/2) / t(substituindo os valores)
vo = (94,7cm – 110,03cm/s² . 1,1²s) / 1,1s
vo = 25,57cm/s
5.3 Calculando a velocidade inicial e a aceleração com os Mínimos Quadrados (MQO)
	Utilizando a equação do espaço (adaptada), ∆s = a1t + a2t², e comparando-a com a dos mínimos quadrados, temos:
Desenvolvendo:
Logo,
a1 = [∑(t . s) . ∑t4)]– [∑t³ . ∑(t² . s)] / (∑t² . ∑t4) – ∑(t³)²
a2 = [∑t² . ∑(t² . s)] – [∑(t . s) . ∑t³] / (∑t² . ∑t4) – ∑(t³)²
Através do Excel chegamos aos valores de a1 = 27,10 e a2 = 53,67. Adota-se então o valor de a1 = vo (velocidade inicial real do sistema no ponto x0) e a2 = a/2 (aceleração real do sistema).
Portanto:
v0 = 27,10cm/s;
a = 107,35cm/s².
	Cópia dos dados, obtidos no Excel, utilizados para auxiliar na obtenção de a1 e a2: 
		Tempo (s)
		Posição (cm)
		tempo*posição
		tempo²*posição
		tempo²
		tempo³
		tempo⁴
		0,1
		3,35
		0,335
		0,0335
		0,01
		0,001
		0,0001
		0,2
		7,6
		1,52
		0,304
		0,04
		0,008
		0,0016
		0,3
		13
		3,9
		1,17
		0,09
		0,027
		0,0081
		0,4
		19,4
		7,76
		3,104
		0,16
		0,064
		0,0256
		0,5
		26,85
		13,425
		6,7125
		0,25
		0,125
		0,0625
		0,6
		35,55
		21,33
		12,798
		0,36
		0,216
		0,1296
		0,7
		45,15
		31,605
		22,1235
		0,49
		0,343
		0,2401
		0,8
		56,2
		44,96
		35,968
		0,64
		0,512
		0,4096
		0,9
		68,1
		61,29
		55,161
		0,81
		0,729
		0,6561
		1
		80,7
		80,7
		80,7
		1
		1
		1
		1,1
		94,7
		104,17
		114,587
		1,21
		1,331
		1,4641
		6,6
		450,6
		370,995
		332,6615
		5,06
		4,356
		3,9974
5.4 Calculando o desvio da velocidade utilizando a Propagação de erros
	Utilizamos a fórmula ∆v = v . ∑{[(∆s/s)² + (∆t/t)²]1/2} / n para encontrar o valor da propagação do erro dos instrumentos sobre o valor de vo, calculado anteriormente, sendo:
∆v = Valor do erro dos instrumentos propagado na velocidade inicial calculada;
v = a1 (velocidade inicial real no ponto x0);
∆s = Erro da escala metálica utilizada;
s = A distância dos pontos marcados pelo centelhador em relação ao ponto x0;
∆t = Erro do centelhador;
t = Intervalo entre as pulsações do centelhador;
n = Números de pontos marcados pelo centelhador, desconsiderando o ponto x0.
Desenvolvendo:
∆v = 27,10cm/s . {[(0,05cm/s / 3,35cm)² + (0,01s / 0,1s)²]1/2}
.
.
.
∆v = ± 0,11cm/s
5.5 Calculando o desvio da aceleração com a Propagação de erros
	Utilizamos a fórmula ∆a = a . ∑{[(∆s/s)² + 4 . (∆t/t)²]1/2} / n para encontrar o valor da propagação do erro dos instrumentos sobre o valor de a, calculados anteriormente, sendo:
∆a = Valor do erro dos instrumentos propagado na aceleração calculada;
a = a2 (aceleração real no sistema);
∆s = Erro da escala metálica utilizada;
s = A distância dos pontos marcados pelo centelhador em relação ao ponto x0;
∆t = Erro do centelhador;
t = Intervalo entre as pulsações do centelhador;
n = Números de pontos marcados pelo centelhador, desconsiderando o ponto x0.
Desenvolvendo:
∆a = 107,35cm/s² . {[(0,05cm/s / 3,35cm)² + 4 . (0,01s / 0,1s)²]1/2}
.
.
.
∆a = ± 0,46cm/s².
6. Conclusão
		Ao final do estudo do experimento comparamos os valores obtidos da aceleração e da velocidade inicial pelo calculo teórico, com o valor encontrado a partir do método matemático dos mínimos quadrados. Apesar dos valores encontrados apresentarem alguma diferença no MRUV, percebemos que os resultados foram próximos entre si. Chegamos à conclusão que a diferença apresentada deu-se devido a desconsideração do peso do barbante e da força de atrito exercida pela roldana. Os resultados foram satisfatórios e levando em consideração os erros de cada medida e dado obtido, conseguimos obter uma equação e representa-la através de uma curva.
7. Anexos
7.1 Balança utilizado no experimento:
7.2 Trilho de ar utilizado no experimento:
7.3 Carrinho e pino no experimento: