2018 1 CalculoNumericoTA2 Pr02 09 07 2018

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DISCIPLINA: CA´LCULO NUME´RICO - TA2
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS
CURSO: SEMESTRE: 2018-1
DATA: 09/07/2018
HORA´RIO: 16:40 a`s 18:20
NOTA:
ALUNO (a):
Avaliac¸a˜o 02 - Valor 10, 0 pontos
1. Desligue o celular. Na˜o sera´ permitido o seu uso durante a prova;
2. Durante a avaliac¸a˜o, qualquer forma de consulta na˜o sera´ permitida;
3. Somente sera˜o aceitas as questo˜es com os ca´lculos e/ou justificativas na folha de respostas.
1. (2,50) Sendo pn(x) =
n∑
k=0
Lk(x)f (xk) o polinoˆmio que interpola a func¸a˜o f em x0, x1, . . . , xn na
forma de Lagrange, mostre que
n∑
k=0
Lk(x) = 1, ∀x.
2. (2,50) Considerando a func¸a˜o f(x) =
√
x tabelada:
x 1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
f(x) 1.000 1.048 1.072 1.118 1.140
(a) Determinar o valor aproximado de
√
1.12 usando polinoˆmio de interpolac¸a˜o de Newton sobre treˆs
pontos.
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
3. (2,50) F´ısicos querem aproximar os seguintes dados:
x 0.1 0.5 1.0 2.0
f(x) 0.13 0.57 1.46 5.05
usando a func¸a˜o aebx + c. Eles acreditam que b ≈ 1.
(a) Calcule os valores de a e c pelo me´todo dos mı´nimos quadrados, assumindo que b = 1.
(b) Use os valores de a e c obtidos no item (a) para estimar o valor de b.
Observe que neste exerc´ıcio, devemos, depois de encontrado o valor de b (item (b)), recalcular os valores
de a e c; a seguir, b, e assim por diante.
4. (2,50) Seja f uma func¸a˜o real, de varia´vel real, definida e cont´ınua no intervalo [0, 2pi] e seja, tambe´m,
n um nu´mero fixado. Encontre os valores das constantes reais a0, a1, . . . , an, b1, b2, . . . , bn tais que
g(x) = a0 +a1 cos(x) + b1 sen(x) +a2 cos(2x) + b2 sen(2x) + . . .+an cos(nx) + bn sen(nx), seja a melhor
aproximac¸a˜o para f em [0, 2pi], no sentido de mı´nimos quadrados.