calculo 2 integrais indefinidas

Prévia do material em texto

Cálculo II 
Prof.ª Valéria Espíndola Lessa 
 
MATERIAL DIDÁTICO 3 
 
INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
 Antiderivadas ou Primitivas 
 
No estudo de derivadas, aplicávamos as técnicas de derivação sobre uma função 𝑓(𝑥) e 
encontrávamos outra função 𝑓’(𝑥) na qual chamamos de função derivada. Agora faremos o processo 
inverso. A partir da função derivada dada encontraremos a função original na qual chamaremos de 
PRIMITIVA ou ANTIDERIVADA. 
 
Notação: 𝑓(𝑥)  derivada e 𝐹(𝑥)  a primitiva/a antiderivada 
 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑜𝑢 
𝑑[𝐹(𝑥)]
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) 𝑜𝑢 
𝑑
𝑑𝑥
[𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥) 
 
Exemplo 1: Mostre que a função 𝐹(𝑥) =
𝑥5
5
 é uma primitiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4. 
 
Exemplo 2: Mostre que a função 𝐻(𝑥) =
𝑥5
5
+ 4 é uma primitiva da função f(x) dada acima. 
 
Exemplo 3: Mostre que a função 𝐹(𝑥) =
𝑥5
5
+ 𝑐 é uma primitiva da função f(x) dada acima. 
 
Exemplo 4: Mostre que a função 𝐹(𝑥) = √𝑥 é uma primitiva da função 𝑓(𝑥) =
1
2√𝑥
 
 
Exemplo 5: Mostre que a função 𝐹(𝑥) = √𝑥 + 𝑐 é uma primitiva da função 𝑓(𝑥) =
1
2√𝑥
 
 
Os exemplos mostram que uma mesma função f(x) admite mais do que uma primitiva, desde que a 
diferença entre estas primitivas seja uma constante c. 
Então, se 𝐹(𝑥) é uma antiderivada de 𝑓(𝑥), dada qualquer constante C, 𝑭(𝒙) + 𝑪 também é. 
 
 
 A Integral Indefinida 
 
O processo de encontrar antiderivadas é deniminado antiderivação, antidiferenciação ou, ainda, 
integração. 
Se derivando a F(x) obtemos a f(x), 
𝑑
𝑑𝑥
[𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥), então integrando ou antiderivando a f(x) 
obteremos a F(x) + C. A notação de integral é 
 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 
 
Onde C deve ser interpretado como uma constante arbitrária. 
 
 
Observação 1: A expressão ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 é denominada Integral Indefinida. O símbolo de “s” espichado foi 
criado por Leibniz em 1675. 
 
Observação 2: As expressões abaixo são equivalentes 
 
∫ 𝑥² 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 + 𝐶 𝑒 
𝑑
𝑑𝑥
[
1
3
𝑥3] = 𝑥² 
 
Observação 3: Se integrarmos uma função e depois derivarmos, obteremos ela novamente. 
 
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥) 
Exemplo: 
 
∫ 5𝑥 + 3 𝑑𝑥 =
5𝑥2
2
+ 3𝑥 + 𝐶 → 
𝑑
𝑑𝑥
[
5𝑥2
2
+ 3𝑥 + 𝐶] = 5𝑥 + 3 
 
Porém, o contrário não é necessariamente verdadeiro. Se derivarmos uma função que possui uma 
constante e depois integrarmos, obteremos uma função semelhante, sem conseguir encontrar novamente 
a constante da função dada. 
 
Exemplo: 
𝑑
𝑑𝑥
[5𝑥2 + 3𝑥 + 6] = 10𝑥 + 3 → ∫ 10𝑥 + 3 𝑑𝑥 =
10𝑥2
2
+ 3𝑥 + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 4: O símbolo da diferencial 𝑑𝑥 das operações de derivação e integração, serve para identificar 
a variável independente. 
𝑑
𝑑𝑥
[ ] ∫[ ] 𝑑𝑥 
 
Se for utilizada outra variável, é preciso ajustar. Por exemplo, se estivermos considerando o tempo como 
variável independente, escreve-se: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[𝐹(𝑡)] = 𝑓(𝑡) 𝑒 ∫[𝑓(𝑡)] 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡) + 𝐶 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 
Antiderivada 
Primitiva 
Derivada 
𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝑪 
Derivação 
Integração 
Observação 5: Às vezes, 𝑑𝑥 é absorvido no integrando, por exemplo: 
 
∫ 1 𝑑𝑥 pode ser escrito como ∫ 𝑑𝑥 
 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥 pode ser escrito como ∫
𝑑𝑥
𝑥²
 
 
 
 Fórmulas de Integração 
 
A integração é essencialmente um trabalho de dar palpites a partir de fórmulas de derivadas. 
 
Exemplo 6: 
(a) Se sabemos que 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥] = 1, então ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
(b) Se sabemos que 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥³] = 3𝑥² , então ∫[ 3𝑥²] 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝐶. 
(c) Se sabemos que 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = cos (𝑥), então ∫[ cos (𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 
 
 
Para fazer os exercícios, precisaremos ter em mãos, as fórmulas de integração (ver FORMULÁRIO no 
Moodle). 
Haverá casos, mais adiante, que antes de aplicar qualquer integração da tabela, precisaremos 
manipular a função dada por meio de certas técnicas. 
 
No exemplo (b) a regra usada pode ser posta em palavras: 
Para integrar uma função potência de x (diferente de -1) some 1 ao expoente e divida pela nova 
potência. 
 
∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1) 
 
 
Exemplo 7: Calcule as integrais abaixo a partir da regra descrita acima: 
 
(a) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
 
(b) ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 
 
(c) ∫ 𝑥² 𝑑𝑥 
 
(d) ∫ 𝑥³ 𝑑𝑥 
 
(e) ∫
1
𝑥5
 𝑑𝑥 
 
(f) ∫ √𝑥 𝑑𝑥 
 
Observação: Para a função 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 usa-se a seguinte regra : ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 
 
 
 
 
 Propriedades da Integral Indefinida 
 
Sejam f(x), g(x) e K uma constante. Então: 
 
(𝑖) ∫ 𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
 
(𝑖𝑖) ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
o mesmo vale para a subtração. 
 
 
Exemplo 8: Usando a Tabela de Integração (FORMULÁRIO) e as propriedades, calcule as integrais: 
 
(𝑎) ∫ 4𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑏) ∫(𝑥 + 𝑥2) 𝑑𝑥 
 
(𝑐) ∫(3𝑥6 − 2𝑥2 + 7𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
 
 
Exemplo 9: Calcule as integrais seguintes. Para tanto, será necessário modificar o integrando, antes de 
aplicar as fórmulas de integrais. 
 
 
(𝑎) ∫
cos 𝑥
𝑠𝑖𝑛²𝑥
𝑑𝑥 
 
 
(𝑏) ∫
𝑡2 − 2𝑡4
𝑡4
𝑑𝑡 
 
 
(𝑐) ∫
𝑥²
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
 
 
 
 Curvas Integrais 
 
Os gráficos das antiderivadas são denominados de curvas integrais. Sabemos que ao integrar uma 
função, acrescentamos uma constante C à resposta e se esse C assumir valor numérico, teremos curvas 
semelhantes. 
Por exemplo, 𝐹1(𝑥) =
𝑥3
3
 , 𝐹2(𝑥) =
𝑥3
3
+ 1, 𝐹3(𝑥) =
𝑥3
3
+ 2, 𝐹4(𝑥) =
𝑥3
3
+ 3 são curvas integrais da 
mesma função 𝑓(𝑥) = 𝑥². 
 
 
 
 
 
 
Em muitos problemas, estamos interessados em encontrar uma função específica. Vejamos 
 
Exemplo 10: Suponha que uma curva tenha a propriedade que, em cada ponto (x, y) da curva, a reta 
tangente tenha inclinação x². Encontre uma equação dessa curva sabendo que ela passa pelo ponto (2, 1). 
 
 
 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
 
O método da integração por substituição é um processo usado na integração de funções compostas, 
com o objetivo de facilitar a integração. No entanto, o método não funciona para todos os casos. 
 
Seja a função composta 𝑓(𝑔(𝑥)). A técnica consiste em substituir a função “interna” g(x) por u, 
derivar esta função em relação a x para que a nova integral fique toda em função de u. 
 
Então devemos fazer 
 
1º) 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
 
2º) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑔′(𝑥) → 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
 
3º) ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
 
 
 
Exemplo 11: Calcule as integrais por substituição. 
 
(𝑎) ∫
2𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
 
 
(𝑏) ∫ sin² 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
(𝑐) ∫ sin(𝑥 + 7) 𝑑𝑥 
 
 
(𝑑) ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
(𝑒) ∫
𝑑𝑥
(3𝑥 − 5)8
 
 
 
(𝑓) ∫(𝑥 + sec2 3𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
(𝑔) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 6𝑥 + 13
 
 
 
(ℎ) ∫
√𝑥 − 2
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
 
 
(𝑖) ∫ √𝑡2 − 2𝑡4 𝑑𝑡 
 
 
(𝑗) ∫ cos³ 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
(𝑘) ∫ 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 
 
 
(𝑙) ∫ 𝑒−5𝑥 𝑑𝑥 
 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
A técnica da integração por partes é usada para calcular integrais do tipo ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Para isso usamos 
a formula 
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 
 
Onde teremos que escolher uma das funções para ser u = f(x) e tomar a outra função para ser dv = g(x). 
Daí é preciso achar du derivando u e achar a v, integrando dv. 
 
DICA: Ordem de prioridade na escolha de u. 
- Logarítmica 
- Trigonométrica Inversa 
- Algébrica 
- Trigonométrica 
- Exponencial 
 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 12: Calcule as integrais usando a técnica da integraçãopor partes. 
 
(𝑎) ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑏) ∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑐) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑑) ∫ 𝑥² sin 𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑒) ∫ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
 Veremos agora, mais técnicas envolvendo funções trigonométricas. 
 
Integrais Trigonométricas Imediatas 
 
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = −𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒖 − 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒖| + 𝑪 
∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒔𝒊𝒏 𝒖 + 𝑪 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒖 𝒅𝒖 = 𝒕𝒈 𝒖 + 𝑪 
∫ 𝒕𝒈 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒖| + 𝑪 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒖 𝒅𝒖 = −𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒖 + 𝑪 
∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒖| + 𝑪 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒕𝒈 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝒖 + 𝑪 
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒖 + 𝒕𝒈 𝒖| + 𝑪 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒖 𝒅𝒖 = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒖 + 𝑪 
 
 
Identidades Trigonométricas 
(1) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 
(2) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 =
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
 
(3) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
 
(4) 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝟏
𝟐
[𝒔𝒆𝒏 (𝜶 − 𝜷) + 𝒔𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷)] 
(5) 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝜷 =
𝟏
𝟐
[𝒄𝒐𝒔 (𝜶 − 𝜷) − 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)] 
(6) 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝟏
𝟐
[𝒄𝒐𝒔 (𝜶 − 𝜷) + 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)] 
(7) 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = 𝒕𝒈𝟐𝒙 + 𝟏 
(8) 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝒙 + 𝟏 
(9) 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒖) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒖) 𝒄𝒐𝒔(𝒖) 
(10) 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒖) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒖 − 𝒔𝒆𝒏²𝒖 
(11) 𝒕𝒈(𝟐𝒖) =
𝟐 𝒕𝒈(𝒖)
𝟏−𝒕𝒈²(𝒖)
 
 
 
 
 Integração de potências de funções trigonométricas 
 
Existem mais de uma forma de se calcular a integral de potências de funções trigonométricas, nós já 
resolvemos antes usando identidades trigonométricas. Porém, há uma regra obtida a partir da regra de 
integração por partes, cujas fórmulas são chamadas de formulas de redução, pois a ideia é reduzir o 
expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada. 
 
 
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = −
1
𝑛
𝑠𝑖𝑛𝑛−1(𝑢) cos(𝑢) +
𝑛 − 1
𝑛
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛−2(𝑢) 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 =
1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛−1(𝑢) sin(𝑢) +
𝑛 − 1
𝑛
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛−2(𝑢) 𝑑𝑢 
∫ 𝑡𝑔𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 =
1
𝑛 − 1
𝑡𝑔𝑛−1(𝑢) − ∫ 𝑡𝑔𝑛−2(𝑢) 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = −
1
𝑛 − 1
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−1(𝑢) − ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−2(𝑢) 𝑑𝑢 
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 =
𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑢) 𝑡𝑔(𝑢)
𝑛 − 1
+
𝑛 − 2
𝑛 − 1
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑢) 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = −
1
𝑛 − 1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑢) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑢) +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑢) 𝑑𝑢 
 
 
 
Exemplo 13: Calcule as integrais 
(𝑎) ∫ cos5 𝑥 𝑑𝑥 (𝑏) ∫ sin3(2𝑥) 𝑑𝑥 (𝑐) ∫ 𝑡𝑔3(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 Integração de produto de funções trigonométricas 
 
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙 
Procedimento 
n ímpar (expoente 
do cosseno) 
- separar um fator de cos x 
- aplicar a identidade (1) com o cos²x isolado 
- fazer a substituição u = senx 
 
m ímpar (expoente 
do seno) 
 
- separar um fator de sen x 
- aplicar a identidade (1) com o sen²x isolado 
- fazer a substituição u = cos x 
 
m e n par 
- usar as identidades (2) e (3) para reduzir as 
potências de seno e cosseno 
 
 
 
∫ 𝒕𝒈𝒎𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 
Procedimento 
n par 
- separar um fator de sec² x 
- aplicar a identidade (7) em um dos fatores sec²x 
- fazer a substituição u = tg x 
 
m ímpar 
 
- separar um fator de sec x tg x 
- aplicar a identidade (7) com o tg²x isolado 
- fazer a substituição u = sec x 
 
m par 
n ímpar 
- usar a identidade (7) para reduzir o integrando a 
potências somente de sec x 
- Use a fórmula de redução para potências de sec x 
 
 
Observação: É possível estabelecer relações para o cálculo de ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙, porém não o 
faremos. 
 
 
Exemplo 14: 
(𝑎) ∫ sin4 𝑥 cos5 𝑥 𝑑𝑥 (𝑏) ∫ sin4 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥 (𝑐) ∫ tg2 𝑥 sec4 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 Integração de produto de seno e cosseno com arco diferente 
 
Usar as identidades trigonométricas (4), (5) e (6) no integrando. Depois de feitas as substituições, 
integrar. 
 
(4) 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝟏
𝟐
[𝒔𝒆𝒏 (𝜶 − 𝜷) + 𝒔𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷)] 
(5) 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝜷 =
𝟏
𝟐
[𝒄𝒐𝒔 (𝜶 − 𝜷) − 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)] 
(6) 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝟏
𝟐
[𝒄𝒐𝒔 (𝜶 − 𝜷) + 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)] 
 
 
Exemplo 15: 
(𝑎) ∫ sin(4𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥 (𝑏) ∫ sin(5𝑥) sin(2𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Agora, veremos um método para calcular integrais contendo os radicais abaixo, através de substituições 
envolvendo funções trigonométricas. 
 
√𝑎2 − 𝑥², √𝑎2 + 𝑥² e √𝑥2 − 𝑎² 
 
Para isso, vamos relacionar cada expressão abaixo com triângulos retângulos: 
 
 
Expressão 
no 
integrando 
Substituição 
por 
Para obter Restrição sobre 𝜽 
 
√𝑎2 − 𝑥² 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 
√𝑎2 − 𝑥² =
a cos 𝜃 (*) 
−
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
 
1º e 4º quadrante 
 
√𝑎2 + 𝑥² 𝑥 = 𝑎 tg 𝜃 
√𝑎2 + 𝑥² =
𝑎 sec 𝜃 (**) 
−
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
 
1º e 4º quadrante 
 
√𝑥2 − 𝑎² 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 
√𝑥2 − 𝑎² =
𝑎 𝑡𝑔 𝜃 (***) 
{
0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
 (𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑎)
𝜋
2
< 𝜃 ≤ 𝜋 (𝑠𝑒 𝑥 ≤ −𝑎)
 
 
1º e 2º quadrante 
 
 
(∗)√𝑎2 − 𝑥2 = √𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 = a cos 𝜃 
 
(∗∗) √𝑎2 + 𝑥² = √𝑎2 − 𝑎2𝑡𝑔2𝜃 = √𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 𝑎 sec 𝜃 
 
(∗∗∗)√ 𝑥2 − 𝑎² = √𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑎² = √𝑎2𝑡𝑔2𝜃 = 𝑎 𝑡𝑔 𝜃 
 
 
 
Exemplo 16: Calcule as integrais pelo método da substituição trigonométrica 
(𝑎) ∫
√9 − 𝑥2
2𝑥²
𝑑𝑥 (𝑏) ∫
𝑥2
3√𝑥2 + 4 
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
 Frações parciais 
 
Em álgebra, a adição de duas ou mais frações algébrica faz-se por meio do denominador comum. 
 
2
𝑥 − 4
+
3
𝑥 + 1
=
2(𝑥 + 1) + 3(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
=
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
 
 
 
Para os propósitos de integração, o lado esquerdo da expressão anterior é preferível do que o lado direito, 
pois conseguimos aplicar uma fórmula imediata. 
 
∫
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
 𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥 − 4
+
3
𝑥 + 1
 𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥 − 4
 𝑑𝑥 + ∫
3
𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 − 4| + 3 ln| 𝑥 + 1| + 𝐶 
 
 
 Decomposição em Frações Parciais 
 
Para fazer a decomposição em frações parciais de uma fração racional própria (numerador menor que 
o denominador) da forma 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, é preciso: 
1) Primeiramente fatorar completamente 𝑄(𝑥) em fatores lineares ou quadráticos. Ou seja, escrever o 
denominador como produto de fatores lineares ou quadráticos. Por exemplo: 
 
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
=
5𝑥 − 10
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
 
 
2) O segundo passo é separar os fatores em uma soma de frações, mas como não sabemos quais são os 
novos numeradores, chamaremos de A, B, C, etc. 
 
5𝑥 − 10
𝑥2 − 3𝑥 − 4
=
5𝑥 − 10
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
=
𝐴
(𝑥 − 4)
+
𝐵
(𝑥 + 1)
 
 
3) O terceiro passo é encontrar os valores de A e B. Para isso, vamos somar as frações parciais e eliminar o 
denominador. 
 
5𝑥 − 10
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
=
𝐴
(𝑥 − 4)
+
𝐵
(𝑥 + 1)
 
 
5𝑥 − 10
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
=
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
 
 
5𝑥 − 10 = 𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 − 4𝐵 
 
5𝑥 − 10 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + 𝐴 − 4𝐵 
 
4) O quarto passo é estabelecer um sistema a partir dos coeficientes de x e o termo independente e 
resolvê-lo. 
 
{
𝐴 + 𝐵 = 5
𝐴 − 4𝐵 = −10
 
 
𝐴 = 2 𝑒 𝐵 = 3 
 
Agora temos a decomposição 
5𝑥−10
𝑥2−3𝑥−4
=
2
(𝑥−4)
+
3
(𝑥+1)
 
 
 
 
 Integração de Frações Parciais Próprias 
 
 
O primeiro passo para encontrar a forma de uma decomposição em frações parciais de uma função racional 
própria na forma𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 é fatorar completamente 𝑄(𝑥) em fatores lineares, quadráticos e irredutíveis e, então, 
juntar todos os fatores repetidos, de modo que 𝑄(𝑥) seja expresso como um produto de fatores distintos 
da forma 
 
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑚 𝑒 (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑚 
 
Há varias técnicas para fazer a fatoração: achar as raízes, completar quadrados, fatoração por agrupamento, 
... 
 
A partir destes fatores, podemos determinar a forma de decomposição das frações parciais em duas regras 
que veremos a seguir. 
 
REGRA DO FATOR LINEAR 
Para cada fator na forma (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑚, a decomposição em frações 
parciais contém a seguinte soma de m frações parciais: 
 
𝐴1
𝑎𝑥 + 𝑏
+
𝐴2
(𝑎𝑥 + 𝑏)2
+
𝐴3
(𝑎𝑥 + 𝑏)³
+ ⋯ +
𝐴𝑚
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑚
 
 
Onde 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 são as constantes que devem ser determinadas. No 
caso de m = 1, aparece somente a primeira parcela da soma. 
 
 
REGRA DO FATOR QUADRÁTICO 
Para cada fator na forma (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑚, a decomposição em frações parciais 
contém a seguinte soma de m frações parciais: 
 
𝐴1𝑥 + 𝐵1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2
+
𝐴3𝑥 + 𝐵3
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)3
+ ⋯ +
𝐴𝑚𝑥 + 𝐵𝑚
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑚
 
 
Onde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑚 e 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑚 são as constantes que devem ser 
determinadas. No caso de m = 1, aparece somente a primeira parcela da soma. 
 
 
 
Exemplo 17: Calcular as integrais por frações parciais: 
 
(𝑎) 𝐼 = ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
 
 
(𝑏) 𝐼 = ∫
2𝑥 + 4
𝑥3 − 2𝑥²
 𝑑𝑥 
 
 
(𝑐) 𝐼 = ∫
𝑥2 + 𝑥 − 2
3𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 Integração de Frações Parciais Impróprias (numerador maior que o denominador) 
 
Quando uma função racional é do tipo fração imprópria, para integrá-la deve-se expressá-la de uma 
forma que possamos aplicar as regras das frações próprias. 
 
Observação: Como podemos expressar de outra forma a fração 
7
2
? 
 
7
2
=
3 ∗ 2 + 1
2
= 3 ∗
2
2
+
1
2
= 3 +
1
2
 
 
 
Então, qualquer fração imprópria pode ser expressa pela soma de uma parte inteira e outra fracionária. 
Com polinômios é a mesma coisa: 
 
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
=
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜(𝑥)
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟(𝑥)
= 𝑞(𝑥) +
𝑟(𝑥)
𝑑(𝑥)
 
 
 
Exemplo 18: Calcule 
 
 𝐼 = ∫
3𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
 𝑑𝑥 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as integrais fazendo a manipulação algébrica do integrando a fim de usar as integrais imediatas 
do formulário. Use as identidades trigonométricas de precisar. 
(𝑎) ∫(2𝑥2 − 3)2 𝑑𝑥 
(𝑏) ∫ 𝑥3 √𝑥 𝑑𝑥 
(𝑐) ∫ (9𝑡2 +
1
√𝑡3
) 𝑑𝑡 
(𝑑) ∫
𝑥5 + 2𝑥2 − 1
𝑥4
 𝑑𝑥 
(𝑒) ∫(3 sin 𝑥 − 2 sec2 𝑥) 𝑑𝑥 
(𝑓) ∫
sec 𝜃
cos 𝜃
 𝑑𝜃 
(𝑔) ∫
𝑑𝑥
sin2 𝑥
 
 
(ℎ) ∫ sec2 𝑥 (𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
(𝑖) ∫
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 
(𝑗) ∫
ln(𝑥)
𝑥 ln(𝑥2)
 𝑑𝑥 
(𝑘) ∫ 𝑡𝑔2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
(𝑙) ∫
sec 𝑥 + cos 𝑥
2 cos 𝑥
 𝑑𝑥 
(𝑚) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 8𝑥 + 25
 
(𝑛) ∫
4
4𝑥2 + 20𝑥 + 34
𝑑𝑥 
 
 
2) Calcule as integrais pelo método da substituição. 
(𝑎) ∫(4𝑥 − 9)9 𝑑𝑥 
(𝑏) ∫ sin(7𝑥) 𝑑𝑥 
(𝑐) ∫ sec(4𝑥) 𝑡𝑔 (4𝑥) 𝑑𝑥 
(𝑑) ∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
(𝑒) ∫
𝑑𝑥
√1 − 4𝑥2
 
(𝑓) ∫ 𝑡 √7𝑡2 + 12 𝑑𝑡 
(𝑔) ∫
6
(1 − 2𝑥)3
𝑑𝑥 
 
(ℎ) ∫
𝑥3
(5𝑥4 + 2)3
 𝑑𝑥 
(𝑖) ∫ 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
(𝑗) ∫ 𝑥2𝑒−2𝑥
3
𝑑𝑥 
(𝑘) ∫
𝑒𝑥
1 + 𝑒𝑥
𝑑𝑥 
(𝑙) ∫
sin (
5
𝑥)
𝑥²
 𝑑𝑥 
(𝑚) ∫ √𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 
3) Calcule as integrais pelo método de integração por partes. 
(𝑎) ∫ 𝑥 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 
(𝑏) ∫ 𝑥 sin(3𝑥) 𝑑𝑥 
(𝑐) ∫ 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑑) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 
(𝑒) ∫ 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 
(𝑓) ∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
4) Calcule as integrais usando as identidades trigonométricas e as substituições trigonométricas quando 
necessário. 
(𝑎) ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 
(𝑏) ∫ 𝑠𝑖𝑛² (5𝜃) 𝑑𝜃 
(𝑒) ∫ 𝑡𝑔3(4𝑥)𝑑𝑥 
(𝑓) ∫ sin(2𝑥) cos(3𝑥) 𝑑𝑥 
(𝑐) ∫ sin3 𝑥 cos3 𝑥 𝑑𝑥 
(𝑑) ∫ sec5 𝑥 𝑡𝑔³ 𝑥 𝑑𝑥 
 
(𝑔) ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 
(ℎ) ∫
𝑒𝑥
√𝑒2𝑥 + 1
 𝑑𝑥 
 
 
5) Calcule as integrais pelo método de integração por frações parciais. 
(𝑎) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 3𝑥 − 4
 
(𝑏) ∫
11𝑥 + 17
2𝑥2 + 7𝑥 − 4
𝑑𝑥 
(𝑐) ∫
2𝑥2 − 9𝑥 − 9
𝑥3 − 9𝑥
 𝑑𝑥 
(𝑑) ∫
𝑥2 − 8
𝑥 + 3
 𝑑𝑥 
 
(𝑒) ∫
3𝑥2 − 10
𝑥2 − 4𝑥 + 4
𝑑𝑥 
(𝑓) ∫
𝑥2
(𝑥 + 1)3
𝑑𝑥 
(𝑔) ∫
5
𝑥3 + 4𝑥
 𝑑𝑥 
(ℎ) ∫
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 2
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
 𝑑𝑥 
 
 
6) Encontre uma equação da curva que satisfaz as condições abaixo: 
(a) Em cada ponto da curva, a inclinação é 2𝑥 + 1; a curva passa pelo ponto (-3, 0). 
(b) Em cada ponto da curva, a inclinação é (𝑥 + 1)²; a curva passa pelo ponto (-2, 8). 
(c) Em cada ponto da curva, a inclinação é −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; a curva passa pelo ponto(0, 2). 
 
 
Gabarito: 
1) 
(a) 
4
5
𝑥5 − 4𝑥3 + 9𝑥 + 𝐶; 
(b) 
2
9
𝑥9/2 + 𝐶; 
(c) 3𝑡3 −
2
√𝑡
+ 𝐶; 
(d) 
𝑥2
2
−
2
𝑥
+
1
3𝑥3
+ 𝐶; 
(e) −3 cos 𝑥 − 2𝑡𝑔𝑥 + 𝐶; 
(f) 𝑡𝑔 𝜃 + 𝐶; 
(g) − cotg 𝑥 + 𝐶; 
(h) sin 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶; 
(i)𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶; 
(j)
1
2
ln |𝑥| + 𝐶; 
(k) 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶; 
(l) 
1
2
𝑡𝑔 𝑥 +
1
2
𝑥 + 𝐶; 
(m) 
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥−4
3
) + 𝐶 
(n) 
2
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2𝑥+5
3
) + 𝐶 
2) 
(a) 
(4𝑥−9)10
40
+ 𝐶 
(b) −
cos 7𝑥
7
+ 𝐶 
(c) 
1
4
sec 4𝑥 + 𝐶 
(d) 
𝑒2𝑥
2
+ 𝐶 
(e) 
1
2
arcsin 2𝑥 + 𝐶 
(f) 
1
21
(7𝑡2 + 12)
3
2 + 𝐶 
(g) 
3
2(1−2𝑥)2
+ 𝐶 
(h) −
1
40(5𝑥4+2)2
+ 𝐶 
(i)𝑒sin 𝑥 + 𝐶 
(j) −
1
6
𝑒−2𝑥
3
+ 𝐶 
(k) ln(1 + 𝑒𝑥) + 𝐶 
(l) 
1
5
cos (
5
𝑥
) + 𝐶 
(m) 2√𝑒𝑥 + 𝐶 
3) 
(a)- 
1
2
𝑥𝑒−2𝑥 −
1
4
𝑒−2𝑥 + 𝐶 
(b) −
1
3
𝑥 cos 3𝑥 +
1
9
sin 3𝑥 + 𝐶 
(c)𝑥2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 −
2 sin 𝑥 + 𝐶 
(d) 
1
2
𝑥2 ln 𝑥 −
1
4
𝑥2 + 𝐶 
(e) 
1
2
𝑒𝑥[sin 𝑥 − cos 𝑥] + 𝐶 
(f)
1
2
𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 +
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 −
1
2
𝑥 + 𝐶 
4) 
 (a) 
1
2
𝑠𝑖𝑛2𝑥 −
1
4
sin4 𝑥 + 𝐶 
(b) −
1
20
sin 10𝜃 +
𝜃
2
+ 𝐶 
(c)−
1
4
cos4 𝑥 +
1
6
cos6 𝑥 + 𝐶 
(d) 
1
7
sec7 𝑥 −
1
5
sec5 𝑥 + 𝐶 
(e) 
1
8
𝑡𝑔24𝑥 −
1
4
ln|sec 4𝑥| + 𝐶 
(f) 
1
2
cos 𝑥 −
1
10
cos 5𝑥 + 𝐶 
(g) 
1
2
𝑥√4 − 𝑥² +
2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
2
) + 𝐶 
(h) ln|√𝑒2𝑥 + 1 + 𝑒𝑥| + 𝐶 
5) 
(a) 
1
5
ln |
𝑥−4
𝑥+1
| + 𝐶 
(b) 
5
2
ln|2𝑥 − 1| + 3 ln|𝑥 +
4| + 𝐶 
(c) ln |
𝑥(𝑥+3)2
𝑥−3
| + 𝐶 
(d) 
1
2
𝑥2 − 3𝑥 + ln|𝑥 + 3| + 𝐶 
(e) 3𝑥 + 12 ln|𝑥 − 2| −
2
𝑥−2
+
𝐶 
(f)ln |𝑥 + 1| +
2
𝑥+1
−
1
2(𝑥+1)2
+
𝐶 
(g) 
5
4
ln|𝑥| −
5
8
ln|𝑥2 + 4| + 𝐶 
(h) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + ln|𝑥2 + 2| + 𝐶 
6) 
(a) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 6 
(b) 𝑦 =
𝑥3
3
+ 𝑥2 + 𝑥 +
26
3
 
(c)𝑦 = cos 𝑥 + 1