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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARA´
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIEˆNCIAS
CURSO DE GRADUAC¸A˜O EM CIEˆNCIAS DS TERRA
MONOGRAFIA
HAMON WALLACE DA SILVA SANTOS
WELEM KARINE LIRA DA SILVA
DETERMINAC¸A˜O DE SALTOS DE PRESSA˜O EM
MODELOS DE CAMADAS CURVAS
SANTARE´M
2018
HAMON WALLACE DA SILVA SANTOS
WELEM KARINE LIRA DA SILVA
DETERMINAC¸A˜O DAS CONSTANTES DE LAME´
PARA MEIOS ESTRATIFICADOS
Monografia apresentada ao Curso de Gra-
duac¸a˜o em Cieˆncias da Terra da Universidade
Federal do Oeste do Para´ para obtenc¸a˜o do
t´ıtulo de Bacharel em Cieˆncias da Terra.
Orientador: Prof. Msc. Raimundo Nonato
Colares Carneiro
SANTARE´M
2018
Dados Internacionais de Catalogac¸a˜o-na-Publicac¸a˜o (CIP)
Sistema Integrado Bibliotecas – SIBI/UFOPA
M917p Santos, Hamon Wallace da Silva
Silva, Welem Karine Lira da
Determinac¸a˜o de desvios de pressa˜o em modelos de camadas curvas/
Hamon Wallace da Silva Santos. Welem Karine Lira da Silva -Santare´m, 2016 /
54 fl.: il.
Incluir bibliografias
Orientador: Raimundo Nonato Colares Carneiro.
Trabalho de Conclusa˜o de Curso (Graduac¸a˜o) Universidade Federal do Oeste Para´,
Instituto de Engenharia e Geocieˆncias, Curso de Graduac¸a˜o em Cieˆncias da Terra,
Santare´m, 2018.
1. Ondas s´ısmicas. 2. Teoria da elasticidade. 3. Ca´lculo de pressa˜o.
Carneiro, Raimundo Nonato Colares, orient. II.
Universidade Federal do Oeste do Para´. III. T´ıtulo.
CDD 23o ed.: 551
Biblioteca´rio -Documentalista-Williams Costa de Oliveira - CRB-2/594
HAMON WALLACE DA SILVA SANTOS
WELEM KARINE LIRA DA SILVA
DETERMINAC¸A˜O DE SALTOS DE PRESSA˜O EM MODELOS
DE CAMADAS CURVAS
Monografia apresentada ao Curso de Cieˆncias
da Terra do Instituto de Geocieˆncias da Uni-
versidade Federal do Oeste do Para´, em cum-
primento a`s exigeˆncias para obtenc¸a˜o do grau
de bacharel em Cieˆncias da Terra
Data de Aprovac¸a˜o: / /
Banca Examinadora:
Prof. Raimundo Nonato Colares Carneiro - Orientador
Mestre em Geof´ısica
Universidade Federal do Oeste Para´ - UFOPA
Prof. Raoni Aquino Silva de Santana
Doutor em Meteorologia
Universidade Federal do Oeste Para´ - UFOPA
Prof. Wilderclay Barreto Machado
Doutor em Meteorologia
Universidade Federal do Oeste do Para´ - UFOPA
Dedico este trabalho a minha ma˜e Elizete (in memorian) e avo´ Franscisca Fialho. (Welem
Karine).
Dedico este trabalho aos meus pais. (Hamon Wallace).
AGRADECIMENTOS
Dedicamos estre trabalho primeiramente a Deus, por ser essencial em nossas vidas, autor
de nossos destinos, nosso guia, socorro presente na hora da angu´stia. Ao professor Nonato
Colares que tambe´m e´ coordenador do curso, pelo conv´ıvio, pelo apoio, pelo compreensa˜o
pelo incentivo, pela forc¸a, pela amizade, principalmente pelo carinho, e por ter sido uma
pessoa ta˜o importante em nossas vidas acadeˆmicas e no desenvolvimento desta monografia.
“O homem na˜o e´ nada ale´m daquilo que a educac¸a˜o faz dele”.
(Immanuel Kant)
RESUMO
O presente trabalho de conclusa˜o de curso teve como objetivo a Determinac¸a˜o de saltos
de presa˜o em meios compostos por camadas curvas que apresentam regio˜es de sinclinais,
sendo reponsaveis por deformac¸oes apresentadas nas camadas superiores Essas regioo˜es, sa˜o
eventualmente, locais onde sa˜o armazenados hidrocarbonetos devido sua caracteristiica de
confinar estes fluidos nas regioes onde as camadas sofreram um processo e deformac¸a˜o por
pressa˜o. O desenvolvimento do problema ocorre com o conhecimento das velocidades das
ondas P e S nas diferentes camadas, que por sua vez se relacionam com as constantes ela´sticas
do meio, como por exemplo, mo´dulo de cisalhamento, mo´dulo de young e o mo´dulo de
compressibilidade do meio. A partir da determinac¸a˜o destes paraˆmetros, utilizando a teoria
da elasticidade pode se determinar os valores de pressa˜o que cada camada impo˜e a sua
camada superior. A importaˆncia disto consiste no fato de que essas presso˜es provocam
dobras nestas camadas, explicando a presenc¸a de camadas curvas em meios mais complexos.
A etapa inicial para a execuc¸a˜o desta tarefa consiste em criar modelos sinte´ticos que retratem
a geologia local. Cada camada destes modelos geolo´gicos possuem velocidades de ondas P e
S bem definidas, ale´m de possuirem densidades tambe´m bem definidas. 0 programa usado
para criar estes modelos geolo´gicos e´ o software livre de processamento de dados s´ısmicos
denominado Seismic Un*x, desenvolvido pelo Central Wave Processing (CWP) da Colorado
School of Mines (COHEN; STOCKWELL, 2005).
Palavras Chaves: Ondas s´ısmicas. Teoria da elasticidade. Ca´lculo de pressa˜o.
ABSTRACT
The present work of conclusion of course had as objective the Determination of jumps of
pressure in means composed by layers curves that present regions of synclines, being repon-
sible for deformations presented in the upper layers These regions, where appropriate, are
places where hydrocarbons are stored because of their characteristic of confining these fluids
in the regions where the layers underwent a process and deformation under pressure. The
development of the problem occurs with the knowledge of the velocities of the P and S wa-
ves in the different layers, which in turn are related to the elastic constants of the medium,
such as, for example, shear modulus, young module and the medium compressibility module.
From the determination of these parameters, using the theory of elasticity can be determine
the pressure values that each layer imposes on its top layer. The importance of this is that
these pressures folds in these layers, explaining the presence of curved layers in more complex
media. The initial step in the execution of this task is to create models that depict local
geology. Each layer of these geological models has well defined P and S wave velocities, as
well as well-defined densities. The program used to create these geological models is free
seismic data processing software called Seismic Unix, developed by Central Wave Processing
(CWP) of the Colorado School of Mines (COHEN; STOCKWELL, 2005).
Keywords: Seismic waves. Theory of elasticity. Calculation of pressure.
LISTA DE ILUSTRAC¸O˜ES
Figura 2.1 O super continente Pange´ia constitu´ıdo pelos super continentes Laura´sia, ao
norte, e Gondwana, ao sul da linha vermelha pontilhada. Este u´ltimo supercontinete inclui
os atuais continentes da Ame´rica do Sul e A´frica, entre outros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 2.2 Distribuic¸a˜o geogra´fica de fo´sseis da flora de Glosspteris e do re´ptil encontrando
tanto na Ame´rica quanto na A´frica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 2.3 Em limite convergentes, as placas colidem e uma delas e puxada para o manto e
reciclada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 2.4 Em limite divergentes, as placas afastam-se e formam uma nova litosfera. 16
Figura 2.5 Em limites transformantes, as placas deslocam-se horizontalmente uma em relac¸a˜o
a outra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 2.6 Teoria do Ressalto Ela´stico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 2.7 Ac¸a˜o de forc¸as compressionais sobre um elemento de rocha. . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 2.8 Exemplo de forc¸as compressivas (esquerda), extensionais (meio) e de cisalhamento
(direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 2.9 Exemplo de Dobras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 2.10 Exemplo de Domo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 2.11 TEMPO 1 Os sedimentos sa˜o depositados em camadas horizontais no fundo do
mar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 2.12 TEMPO 2 As forc¸as compressivas causam dobramento e falhamento. . . . . . 21
Figura 2.13 TEMPO 3 O soerguimento e´ seguido por erosa˜o, que forma uma nova superficie
horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 2.14 TEMPO 4 As erupc¸o˜es vulcaˆnicas cobrem a nova superf´ıcie com derrames de
lavas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 2.15 TEMPO 5 As forc¸as extensionais causam falhas normais, originando blocos aba-
tidos e seccionando as feic¸o˜es anteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 3.1 Componentes da tensa˜o: σij sa˜o as tenso˜es normais e τij sa˜o as tenso˜es de
corte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 3.2 Ana´lise da deformac¸a˜o bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 3.3 Deformac¸a˜o de corte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 3.4 Variac¸a˜o de forma de uma barra retangular sujeita a extensa˜o na direc¸a˜o xx. 30
Figura 4.1 Modelo de camas curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 4.2 Distribuic¸a˜o de velocidades da onda S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 4.3 Distribuic¸a˜o de velocidades da onda P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 4.4 Distribuic¸a˜o de densidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 4.5 Intervalo de valores de mo´dulo de cisalhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 4.6 Intervalo de valores de Lambda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 4.7 Intervalo de valores de Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 4.8 Velocidade me´dia quadra´tica da onda S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 4.9 Velocidade me´dia quadra´tica da onda P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 4.10 Pressa˜o horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 4.11 Pressa˜o vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 4.12 Salto de pressa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 4.13 Derivadas horizontais da pressa˜o horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 4.14 Derivadas verticais da pressao vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 4.15 Derivadas verticais da pressa˜o horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 4.16 Derivada horizontal da pressa˜o vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 4.17 Pressao Hidrosta´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 4.18 Pressa˜o desviato´ria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
SUMA´RIO
1 INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 DOBRAS, FALHAS E OUTROS REGISTROS DA DEFORMAC¸A˜O
DAS ROCHAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.0.1 TEORIA TECTOˆNICA DE PLACAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.0.2 LIMITES CONVERGENTES, DIVERGENTES E TRANSFORMAN-
TES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.0.3 FALHAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.0.4 DOBRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.0.5 DOMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.0.6 BACIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 TEORIA DA ELASTICIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.0.1 TENSA˜O (STRESS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.0.2 DEFORMAC¸A˜O (STRAIN). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.0.3 SALTOS DE PRESSA˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.0.4 PRESSA˜O DESVIATO´RIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 DETERMINAC¸A˜O DOS CAMPOS DE PRESSA˜O EM MODELOS
COM DOBRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 CONCLUSO˜ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
REFEREˆNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13
1 INTRODUC¸A˜O
A Geof´ısica e´ a cieˆncia que estuda a subsuperf´ıcie terrestre a partir de fenoˆmenos f´ısicos
artificiais que ocorrem em sua superf´ıcie. O estudo da s´ısmica, por exemplo, envolve explosa˜o
de dinamite (em caso terrestre) ou canho˜es de ar (em caso marinho) para estudo das formas
das camadas em subsuperf´ıcie. Os levantamentos geof´ısicos medem a variac¸a˜o de algumas
grandezas f´ısicas com respeito tanto a` posic¸a˜o quanto ao tempo. A grandeza pode ser, por
exemplo, a intensidade do campo magne´tico da Terra ao longo de um perfil cortando uma
intrusa˜o ı´gnea. Pode ser o movimento da superf´ıcie do terreno como uma func¸a˜o de tempo
associada a` passagem de ondas s´ısmicas. Em qualquer um dos casos o modo mas simples de
apresentar os dados e´ construindo um gra´fico que mostre a variac¸a˜o de grandeza medida em
relac¸a˜o a` distaˆncia ou ao tempo, segundo o que for mas apropriado. O gra´fico apresentara´
algum tipo de formas de onda mas ou menos complexo, o qual se refletira´ as variac¸o˜es f´ısicas
na geologia de superf´ıcie, superpostas a`s variac¸o˜es indeseja´veis dos fatores na˜o geolo´gicos
(como o efeito de cabos ele´tricos de forc¸a, no exemplo magne´tico, ou a vibrac¸a˜o do tra´fego,
no caso da s´ısmica), da imprecisa˜o instrumental e dos erros na coleta de dados. A configurac¸a˜o
da forma de onda pode apresentar um grau de incerteza devido a` dificuldade na interpolac¸a˜o
da curva entre estac¸o˜es muito espac¸adas. A tarefa do geof´ısico e´ separar o sinal do ruido e
interpretar o sinal em termos do estruturado terreno.
A ana´lise de formas de onda como estas representa um aspecto essencial do processamento
e da interpretac¸a˜o de dados geof´ısicos. A f´ısica e a matema´tica fundamentais de tal ana´lise
na˜o sa˜o recentes, a maior parte tendo sido descoberta no se´culo XIX e in´ıcio do se´culo XX.
Essas ide´ias sa˜o largamente utilizadas tambe´m em outras a´reas tecnolo´gicas como no ra´dio,
na televisa˜o e na gravac¸a˜o de imagens e sons.
14
2 DOBRAS, FALHAS EOUTROS REGISTROS DA
DEFORMAC¸A˜O DAS ROCHAS
2.0.1 TEORIA TECTOˆNICA DE PLACAS
A Teoria da tectoˆnica de placas descreve o movimento das placas e as forc¸as atuantes
entre elas, e esses movimentos ocorrem ha´ bastante tempo. Na qual os cientistas notaram
que a linhas costeiras em ambos os lados do Atlaˆntico, como se as Ame´ricas, a Europa e
A´frica estivesem estado juntas em uma determinada e´poca e, depois, se afastado por deriva,
confome a Figura abaixo 2.1
Figura 2.1: O super continente Pange´ia constitu´ıdo pelos super continentes Laura´sia, ao norte,
e Gondwana, ao sul da linha vermelha pontilhada. Este u´ltimo supercontinete inclui os atuais
continentes da Ame´rica do Sul e A´frica, entre outros.
LAURÁSIA
EURÁSIA
América
do Norte
América
do Sul
GONDWANA
África
Antártica
Índia Austrália
Mar de Tethys
PANGEA
Fonte: Adaptado de (TEIXEIRA et al., 2009)
Com a hipo´tese de que antigamente havia apenas um u´nico continente gigante, chamada
Terra de Gondwana. Pore´m a ide´ia de qua˜o rapido os continentes se afastavam dava-se pela
convecc¸a˜o do manto da terra podendo empurrar e puxar os continentes a` parte, formando
uma nova crosta oceaˆnica. Para sustentar a ide´ia da deriva continental basearam-se em
fo´sseis e dados climatolo´gicos dos continentes Ame´rica e A´frica. Os defensores desta hipo´tese
mostraram na˜o apenas o encaixe geogra´fico, mas tambe´m a similaredades geolo´gicas das
15
orientac¸o˜es das estrutura geolo´gicas nos lados opostos do Atlaˆntico 2.2.
Figura 2.2: Distribuic¸a˜o geogra´fica de fo´sseis da flora de Glosspteris e do re´ptil encontrando tanto
na Ame´rica quanto na A´frica.
África
América
do Sul
Madagascar
Sri Lanka
Antartica
Austrália
Nova Zelândia
Índia
Fonte: Adaptado de (TEIXEIRA et al., 2009)
De acordo com a teoria da tectoˆnica de placas, a litosfera r´ıgida na˜o e´ uma capa cont´ınua,
mas esta´ fragmentada em um mosaico de cerca de uma du´zia de grandes placas que esta˜o
em movimento sobre a superf´ıcie terrestre, possibilitando os movimento relativo entre estas,
que podem ser movimentos convergentes, divergentes e transformantes, conforme a sec¸a˜o
posterior.
2.0.2 LIMITES CONVERGENTES, DIVERGENTES E TRANS-
FORMANTES
Nos limites convergentes, as placas juntam-se e uma delas e´ reciclada retomando ao manto
(a a´rea da placa diminui). As placas cobrem todo globo, de modo que, se elas se separam em
certo lugar, devera˜o convergir em outro, conservando, assim a a´rea da superf´ıcie terrestre,
onde as placas colidem frontalmente Figura 2.3. Os tipos de limites convergentes podem ser:
oceano-oceano, oceano-continente, continente-continente..
Por outro lado, nos limites divergentes, as placas afastam-se formando uma nova litosfera
(a a´rea da placa aumenta) Figura 2.4. Os limites divergentes dentro das bacias oceaˆnicas sa˜o
riftes estreitos que se aproximam da idealizac¸a˜o da tectoˆnica de placas. Os limites divergentes
podem separar-se nos oceanos e nos continentes.
16
Figura 2.3: Em limite convergentes, as placas colidem e uma delas e puxada para o manto e reciclada.
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Figura 2.4: Em limite divergentes, as placas afastam-se e formam uma nova litosfera.
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Ja´ nos limites transformantes, as placas deslizam horizontalmente uma em relac¸a˜o a outra
(a a´rea da placa permanece constante), a litosfera na˜o e´ nem criada nem destru´ıda. Nesses
limites ocorrem fraturas fazendo com que acontec¸a um deslocamento relativo a` medida que o
deslizamento horizontal acontece entre blocos adjacentes Figura 2.5. Eles sa˜o encontrados ao
longo de dorsais mesoceaˆnicas sendo deslocada num padra˜o semelhante a um escalonamento.
17
Figura 2.5: Em limites transformantes, as placas deslocam-se horizontalmente uma em relac¸a˜o a
outra.
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Uma consequeˆncia da movimentac¸a˜o desigual destas placas e´ a gerac¸a˜o de forc¸as distensi-
vas e compressionais que causam tenso˜es e deformac¸o˜es nas rochas. As forc¸as compressionais
predominam nos limites convergentes, enquanto que as forc¸as extensionais dominam nos li-
mites divergentes, onde as placas sa˜o rompidas por trac¸a˜o. Por outro lado, as forc¸as de
cisalhamento atuam nos limites de falhas transformantes, onde as placas deslizam horizon-
talmente uma em relac¸ao a` outra. Estas movimentac¸o˜es podem ocasionar falhas nas rochas,
conforme explicado na sec¸a˜o seguinte.
2.0.3 FALHAS
A maioria das rochas sedimentares sa˜o originalmente depositadas no fundo do mar, for-
mando, inicialmente, camadas horizontais na˜o-r´ıgidas, sendo posteriormente enrigecidas com
o tempo. No entanto, muitas rochas sofrem processo de enrigecimento, apresentando in-
clinac¸o˜es e curvaturas e ate´ mesmo fratura. Uma consequeˆncias disto, e´ formac¸a˜o de do-
bramentos e falhas, que sa˜o formas de deformac¸o˜es comuns em rochas sedimentares, me-
tamo´rficas e ı´gneas que sa˜o as principais rochas responsa´veis pela formac¸a˜o da crosta terres-
tre. Estas deformac¸o˜es sa˜o explicadas pela teoria do ressalto ela´stico, ilustrado na Figura
2.6.
18
Figura 2.6: Teoria do Ressalto Ela´stico.
Rocha sujeita a forças contínuas
Dobramento da rocha.
Fractura frágil da rocha.
Liberação de energia acumulada.
Calor e ondas sismicas.
Deformação permanente
da rocha.
Acúmulo de energia.
Falha.
{
Sismo
Uma falha ocorre quando estas forc¸as tectoˆnicas causam o rompimento de uma formac¸a˜o
rochosa com deslizamento paralelo a` fratura em ambos os lados da rocha, conforme figura
abaixo.2.7.
Figura 2.7: Ac¸a˜o de forc¸as compressionais sobre um elemento de rocha.
Hipocentro ou foco
Epicentro
Ruptura
(a) (b) ( c )
19
Essas forc¸as classificam-se em treˆs tipos, conforme a figura abaixo: forc¸as compressivas,
que apertam e encurtam um corpo (FIGURA 2.8.a); forc¸as extensionais, que alongam um
corpo e tendem a segmenta´-lo (FIGURA 2.8.b); e forc¸as de cisalhamento, que empurram
cada uma dos dois lados do corpo em direc¸a˜o opostas (FIGURA 2.8.c).
Figura 2.8: Exemplo de forc¸as compressivas (esquerda), extensionais (meio) e de cisalhamento
(direita).
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
2.0.4 DOBRAS
Diferente das falhas, as dobras caracterizam-se por forc¸as deformacionais que resultam da
tectoˆnica de placas, sendo uma camada sedimentar que foi encurvada. As rochas acamadas
podem dobrar-se de muitas maneiras ba´sicas em resposta a´s forc¸as comprensivas, dependendo
da propriedade das rochas e da magnitude e direc¸a˜o das forc¸as aplicadas. As rochas acamadas
que foram dobradas em arco, com a cavidade para baixo, sa˜o chamadas de anticlinais; ja
aqueles que dobram com a cavidade para cima, sa˜o denominados de sinclinais, conforme a
Figura 2.9.
2.0.5 DOMO
Um domo e´ uma estrutura anticlinal, uma vasta salieˆncia circular ou oval de camadas
rochosas. As camadas dos flancos de domo circundam-no em um ponto central e mergu-
lham radialmente a partir deste, certos domos podem ser atribu´ıdos a corpos de material
menos denso, que empurram os sedimentos sobrejacentes para cima. Outros sa˜o causados
por episo´dios de deformac¸ao mu´ltipla, quando as rochas sa˜o comprimidas em uma direc¸a˜o e,
depois, novamente em outra direc¸a˜o aproximadamente perpendicular a` primeira 2.10.
20
Figura 2.9: Exemplo de Dobras.
Rochas modernas
Rochas antigas
Anticlinal
Sinclinal
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Figura 2.10: Exemplo de Domo.
Formação mais nova
Gás
Petróleo
Formação mais antiga
exposta na superfície
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
2.0.6 BACIA
Uma bacia e´ uma estrutura sinclinal, uma depressa˜o de camadas rochosas em forma de
tigela.Os domos e as bacias teˆm diaˆmetros t´ıpicos de muitos quiloˆmetros, que podem resultar
de diversos tipos de deformac¸a˜o.
A histo´ria geolo´gica pode ser definida como episo´dios de deformac¸a˜o. Primeiramente as
camadas horizontais de sedimentos foram depositados Figura 2.11,e, depois, foram inclina-
das e dobradas por forc¸as de compressa˜o horizontais Figura 2.12. Em seguida, elas foram
soerguidas acima do n´ıvel do mar Figura 2.13, onde a erosa˜o originou uma nova superf´ıcie
21
horizontal, que foi coberta por um derrame discordante, quando forc¸as profundas do inte-
rior da terra causaram uma erupc¸a˜o vulcaˆnica Figura 2.14. No estagio final, o estiramento
horizontal resultou em falhamento normal, que fragmentou a crosta em blocos Figura 2.15.
Figura 2.11: TEMPO 1 Os sedimentos sa˜o depositados em camadas horizontais no fundo do mar.
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Figura 2.12: TEMPO 2 As forc¸as compressivas causam dobramento e falhamento.
Falhas
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Figura 2.13: TEMPO 3 O soerguimento e´ seguido por erosa˜o, que forma uma nova superficie
horizontal.
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
22
Figura 2.14: TEMPO 4 As erupc¸o˜es vulcaˆnicas cobrem a nova superf´ıcie com derrames de lavas.
Derrames de lavas
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
Figura 2.15: TEMPO 5 As forc¸as extensionais causam falhas normais, originando blocos abatidos
e seccionando as feic¸o˜es anteriores.
Falhas normais
Fonte: Adaptado de (PRESS et al., 2006).
A discussa˜o do aspecto geof´ısico da influeˆncias das forc¸as tectoˆnicas sobre as rochas sera´
exposta no Cap´ıtulo 3.
23
3 TEORIA DA ELASTICIDADE
O me´todo s´ısmico utiliza o mecanismo de propagac¸a˜o de ondas mecaˆnicas para inferir
detalhes do interior da Terra, uma vez que estas ondas provocam deformac¸o˜es no meio em que
se propagam, devido a aplicac¸a˜o de forc¸as exercidas sobre o mesmo. Neste sentido, deve-se
entender os conceitos de Teoria da elasticidade, que relaciona as deformac¸o˜es com as forc¸as
aplicadas sobre o meio.
As relac¸o˜es entre as forc¸as aplicadas e as deformac¸o˜es sa˜o expressas em termos dos con-
ceitos de tensa˜o (stress) e deformac¸a˜o (strain) (TELFORD et al., 1976)
3.0.1 TENSA˜O (STRESS).
Quando uma forc¸a e´ aplicada sobre um elemento de a´rea, a tensa˜o e´ definida como forc¸a
por unidade de a´rea em que esta e´ aplicada. Se a forc¸a varia de ponto a ponto, a tensa˜o
tambe´m varia e seu valor e´ dado por:
σij = lim
Aj→0
Fi
Aj
(i, j = 1, 2, 3).
A tensa˜o e´ normal ou de pressa˜o quando a forc¸a e´ perpendicular a` a´rea; e de corte ou
cisalhante quando a forc¸a e´ tangencial ao elemento de a´rea. As tenso˜es normais sa˜o indicadas
por σij e as de corte por τij .
24
Se considerarmos um pequeno elemento de volume, a tensa˜o agindo em cada uma das
seis faces do elemento pode ser determinada pelas suas componentes (normais e de corte),
como mostra a Figura(3.1).
Figura 3.1: Componentes da tensa˜o: σij sa˜o as tenso˜es normais e τij sa˜o as tenso˜es de corte.
x
y
z
σ
xx
σ
zx
σ
zy
σ
xz
σ
yz
σ
yx
σ
xx
σ
yx
σ
xy
σ
xz
σ
yz
σ
zy
σ
xy
σ
zx
σ
zz
σ
yy
σ
zz
σ
yy
Fonte: Applied Geophysics.
Na Figura(3.1), σxy representa a tensa˜o paralela ao eixo x agindo na superf´ıcie perpen-
dicular ao eixo y.
Quando dois subscritos sa˜o iguais (como σxx), a tensa˜o e´ dita tensa˜o normal; e quando
os subscritos sa˜o diferentes (como τxy) a tensa˜o e´ dita de corte ou cisalhante.
As nove componentes da tensa˜o definem completamente o estado de tensa˜o a que o corpo
esta´ sujeito e podem ser convenientemente descritas pela matriz das tenso˜es:
σij =


σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz


Se as forc¸as que atuam no corpo estiverem compensadas de modo a na˜o provocarem
rotac¸o˜es, esta matriz e´ sime´trica (isto e´, σxy = σyx, σxz = σzx, σyz = σzy, ) e so´ conte´m
elementos independentes.
Isto ocorre quando o meio esta´ em equil´ıbrio esta´tico. Neste caso, as forc¸as devem estar
equil´ıbradas. Este meio tem treˆs tenso˜es σxx, τyx e τzx agindo na face OABC que devem ser
iguais e opostas a`s correspondentes tenso˜es mostradas na face oposta DEFG, com relac¸o˜es
similareas a`s quatro faces restantes. Ale´m disso, um par de tenso˜es de corte, tal como τyx,
25
constituem um par tendendo a rotacionar o elemento em torno de z. A magnitude do par e´
o momento, definido por:
F × b = (τyxdydz)dx
onde F e´ a magnitude da forc¸a e b e´ o brac¸o.
Se considerarmos as tenso˜es nas outras quatro faces, conclu´ımos que este par e´ oposto
somente pelo par τxy com magnitude (σxydxdz)dy. Como este elemento esta´ em equil´ıbrio, o
momento total deve ser zero; enta˜o τxy = τyx. Em geral, no caso de equil´ıbrio esta´tico:
σij = σji
26
Professor Nonato Colares. Contato: nonatocolares@yahoo.com.br
3.0.2 DEFORMAC¸A˜O (STRAIN).
Quando um corpo ela´stico e´ sujeito a` tenso˜es, ocorrem variac¸o˜es em suas dimenso˜es
e forma. Estas variac¸o˜es, que sa˜o chamadas deformac¸o˜es. Estas deformac¸o˜es podem ser
longitudinais ou de corte. As deformac¸o˜es sa˜o indicadas por εij.
Deformac¸o˜es longitudinais sa˜o deformac¸o˜es produzidas pelas componentes das tenso˜es
normais σxx, σyy e σzz. As deformac¸o˜es longitudinais sa˜o εxx, εyy e εzz.
Deformac¸o˜es de corte sa˜o deformac¸o˜es produzidas pelas componentes das tenso˜es de corte
σxy, σxz e σyz . As deformac¸o˜es de corte sa˜o εxy, εxz e εyz.
Considere o retaˆngulo PQRS no plano xy como mostra a Figura(3.2)
y
x
P Q
RS
dx
d
y u
δ1
v
P’
Q’
R’
S’
δ2
∂u yd
∂y
∂u xd
∂x
∂v yd
∂y
∂v xd
∂x
Figura 3.2: Ana´lise da deformac¸a˜o bidimensional.
Quando as tenso˜es sa˜o aplicadas, o ponto P move-se para P ′; PP ′ tem componentes u e
v. Se outros ve´rtices Q, R e S teˆm o mesmo deslocamento que P , o retaˆngulo e´ simplesmente
deslocado como um todo pelos valores de u e v. Neste caso, na˜o ocorre variac¸a˜o em sua forma
27
ou dimensa˜o e na˜o existe deformac¸a˜o. No entanto, se u e v sa˜o diferentes para os diferentes
ve´rtices o retaˆngulo sofrera´ mudanc¸a na dimensa˜o e/ou forma, e existira´ deformac¸a˜o.
Para o retaˆngulo PQRS podemos assumir que u = u(x, y) e v = v(x, y). Enta˜o as
coordenadas dos ve´rtices de PQRS e P ′Q′R′S ′ sa˜o:
P (x, y)
Q(x+ dx, y)
S(x, y + dy)
R(x+ dx, y + dy)
P ′(x+ u, y + v)
Q′
(
x+ dx+ u+
∂u
∂x
dx, y + v +
∂v
∂y
dy
)
S′
(
x+ u+
∂u
∂y
dy, y + dy + v +
∂v
∂y
dy
)
R′
(
x+ dx+ u+
∂u
∂x
dx+
∂u
∂y
dy, y + dy + v +
∂v
∂x
dx+
∂v
∂y
dy
)
Na Figura(3.3) pode-se analisar separadamente os deslocamentos sofridos pelos ve´rtices
do elemento de volume.
δ2
δ1
δ2
δ1
x
y
u
dy
∂u yd
∂y
∂v dx
∂x
v
dx dx
dy
(a) (b) ( c )
Figura 3.3: Deformac¸a˜o de corte.
Da figura percebemos que:
tgδ2 =
(
∂u
∂y
)
dy
dy
≈ δ2
δ2 =
∂u
∂y
tgδ1 =
(
∂v
∂x
)
dx
dx
≈ δ1
δ1 =
∂v
∂x
E conclu´ımos que:
28
1. O comprimento PQ aumenta de
(
∂u
∂x
)
dx.
2. O comprimento PS aumenta de
(
∂v
∂y
)
dy.
3.
∂u
∂x
e
∂v
∂y
sa˜o os aumentos fracionais nos comprimentos na direc¸a˜o dos eixos x e y.
4. O aˆngulo reto em P no plano xy e´ reduzido da quantidade
1
2
(δ1 + δ2) =
1
2
(
∂v
∂x
+
∂u
∂y
)
Esta quantidade e´ uma medida da mudanc¸a na forma do meio, sendo chamada de
deformac¸a˜o de cisalhamento ou de corte e denotada pelo s´ımbolo εxy.
5. O retaˆngulo como um todo e´ rotacionado no sentido anti-hora´rio pelo aˆngulo
1
2
(δ1 − δ2) =
1
2
(
∂v
∂x
−
∂u
∂y
)
Estaquantidade representa a rotac¸a˜o do corpo em torno do eixo z, na˜o envolve variac¸a˜o
na dimensa˜o ou forma do corpo e, portanto, na˜o e´ tensa˜o e nem deformac¸a˜o, sendo
denotada pelo s´ımbolo θz.
Extendendo a ana´lise para o caso tridimensional, temos as componentes (u, v, w) como
as componentes do deslocamento do P (x, y, z). As deformac¸o˜es longitudinais e de corte
sa˜o:
Deformac¸o˜es longitudinais :


εxx =
1
2
(
∂u
∂x
+
∂u
∂x
)
=
∂u
∂x
εyy =
1
2
(
∂v
∂y
+
∂v
∂y
)
=
∂v
∂y
εzz =
1
2
(
∂w
∂z
+
∂w
∂z
)
=
∂w
∂z
29
Deformac¸o˜es de corte :


εxy = εyx =
1
2
(
∂v
∂x
+
∂u
∂y
)
εyz = εzy =
1
2
(
∂w
∂y
+
∂v
∂z
)
εzx = εxz =
1
2
(
∂u
∂z
+
∂w
∂x
)
Finalmente, as deformac¸o˜es longitudinais e de corte definem uma matriz 3×3 sime´trica,
chamada matriz das deformac¸o˜es.
εij =
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
=
∆L
L
=


ε11 ε12 ε13
ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33

 (i, j = 1, 2, 3)
Na matriz das deformac¸o˜es, x1 = x, x2 = y, x3 = z, u1 = u, u2 = v e u3 = w.
30
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Raza˜o de Poisson
Num comportamento ela´stico as deformac¸o˜es εyy e εzz na˜o sa˜o independentes de εxx.
Considere a variac¸a˜o de forma de uma barra representada na Figura(3.4)
Figura 3.4: Variac¸a˜o de forma de uma barra retangular sujeita a extensa˜o na direc¸a˜o xx.
O alongamento na direc¸a˜o paralela a` x e´ acompanhado por uma contrac¸a˜o nas direc¸o˜es
paralelas aos eixos dos yy e zz (esta u´ltima na˜o esta´ representada na figura, pois ela apenas
representa o que se passa no plano x − y). As deformac¸o˜es εyy e εzz teˆm um sinal oposto,
mas sa˜o proporcionais a` extensa˜o εxx, sendo dadas por:
εyy = −νεxx εzz = −νεxx
ν = −
εyy
εxx
= −
εzz
εxx
=
∆W/W
∆L/L
A constante de proporcionalidade ν e´ chamada de raza˜o de Poisson.
Rotac¸o˜es
Ale´m das tenso˜es e deformac¸o˜es, o corpo esta´ sujeito a rotac¸o˜es sobre os treˆs eixos (x, y,
z), que sa˜o dadas por:

θx =
1
2
(
∂w
∂y
−
∂v
∂z
)
Rotac¸a˜o em torno do eixo x
θy =
1
2
(
∂u
∂z
−
∂w
∂x
)
Rotac¸a˜o em torno do eixo y
θz =
1
2
(
∂v
∂x
−
∂u
∂y
)
Rotac¸a˜o em torno do eixo z
31
O tensor rotac¸a˜o e´ descrito de forma semelhante ao tensor das deformac¸o˜es pelas com-
ponentes do rotacional na forma:
θij =
1
2
(
∂uj
∂xi
−
∂ui
∂xj
)
=


θ11 θ12 θ13
θ21 θ22 θ23
θ31 θ32 θ33

 (i, j = 1, 2, 3)
Na matriz das rotac¸o˜es, x1 = x, x2 = y, x3 = z, u1 = u, u2 = v e u3 = w. Perceba que o
tensor das rotac¸o˜es na˜o e´ sime´trico.
Dilatac¸a˜o
As variac¸o˜es nas dimenso˜es dadas pelas tenso˜es normais resultam em variac¸o˜es de volume;
a variac¸a˜o de volume por unidade de a´rea e´ chamada dilatac¸a˜o e e´ representada por ∆.
Considerando o elemento de volume na˜o deformado que tem lados ∆x, ∆y e ∆z, e
volume V = ∆x∆y∆z. Em resultado de deslocamentos infinitesimais ∆u, ∆v e ∆w as
arestas aumentam, respectivamente, para ∆x + ∆u, ∆y + ∆v e ∆z + ∆w e o novo volume
V ′ sera´ (∆x+∆u)(∆y +∆v)(∆z +∆w). A variac¸a˜o fracional de volume e´ enta˜o dada por:
∆V
V
=
V ′ − V
V
=
(∆x+∆u)(∆y +∆v)(∆z +∆w)−∆x∆y∆z
∆x∆y∆z
∆V
V
=
(∆x∆y +∆x∆v +∆u∆y +∆u∆v)(∆z +∆w)−∆x∆y∆z
∆x∆y∆z
Como a quantidade ∆u∆v e´ muito pequena, podemos despreza´-la:
∆V
V
=
(∆x∆y +∆x∆v +∆u∆y)(∆z +∆w)−∆x∆y∆z
∆x∆y∆z
∆V
V
=
∆x∆y∆z +∆x∆y∆w +∆x∆v∆z +∆x∆v∆w +∆u∆y∆z +∆u∆y∆w −∆x∆y∆z
∆x∆y∆z
∆V
V
=
∆x∆y∆w +∆x∆v∆z +∆x∆v∆w +∆u∆y∆z +∆u∆y∆w
∆x∆y∆z
Desprezando tambe´m as quantidades ∆u∆w e ∆v∆w pois sa˜o muito pequenas, temos:
∆V
V
=
∆x∆y∆w +∆x∆v∆z +∆u∆y∆z
∆x∆y∆z
∆V
V
=
∆x∆y∆w
∆x∆y∆z
+
∆x∆v∆z
∆x∆y∆z
+
∆u∆y∆z
∆x∆y∆z
32
∆V
V
=
∆w
∆z
+
∆v
∆y
+
∆u
∆x
∆V
V
=
∆u
∆x
+
∆v
∆y
+
∆w
∆z
No limite quando ∆x, ∆y e ∆z tendem a zero obtemos a dilatac¸a˜o:
∆ = lim
∆x,∆y,∆z→0
∆V
V
= lim
∆x,∆y,∆z→0
(
∆u
∆x
+
∆v
∆y
+
∆w
∆z
)
∆ =
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= εxx + εyy + εzz
Lei de Hooke
A lei de Hooke estabelece que uma dada tensa˜o e´ diretamente proporcional a` deformac¸a˜o
produzida. Em geral, a lei de Hooke leva a relac¸o˜es complicadas, mas quando o meio e´
isotro´pico, isto e´, quando suas propriedades na˜o dependem da direc¸a˜o, ela pode ser expressa
na seguinte forma ((CHOPRA; MARFURT, 2007; SIBIRYAKOV et al., 2013; WHITE, 1983;
MAVKO et al., 1999).)
σij = λ
′∆δij + 2µεij (i = 1, 2, 3) (3.1)
onde δij e´ chamado de simbolo de Kroenecker, definido por:
δij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
As quantidades λ′ e µ sa˜o conhecidas como constantes de Lame´.
Se i 6= j a Eq.(3.1) se reduz a σij = 2µεij e escrevemos εij = σij/2µ, ficando evidente que
εij e´ menor quanto maior e´ µ. Enta˜o µ e´ uma medida de resisteˆncia a` deformac¸a˜o de corte e
e´ chamado de mo´dulo de rigidez ou de cisalhamento (pois i 6= j).
As Constantes Ela´sticas
No intervalo de deformac¸a˜o ela´stica a lei de Hooke nos diz que existe uma relac¸a˜o linear
entre a tensa˜o e a deformac¸a˜o, sendo que o quociente entre estas duas grandezas define uma
constante ela´stica. Como por sua vez as deformac¸o˜es ja´ sa˜o dadas por quocientes entre
comprimentos (por isso sa˜o adimensionais) as constantes ela´sticas teˆm as mesmas dimenso˜es
que a tensa˜o (N/m2). As constantes ela´sticas, definidas para diferentes tipos de deformac¸o˜es
sa˜o, o mo´dulo de Young, o coeficiente de rigidez e o mo´dulo de volume (“bulk modulus”).
33
Mo´dulo de Young
O mo´dulo de Young (E) define-se a partir da deformac¸a˜o longitudinal. Cada deformac¸a˜o
longitudinal e´ proporcional a` componente de tensa˜o normal existente, ou seja:
σxx = Eεxx, σyy = Eεyy, σzz = Eεzz
E =
σxx
εxx
=
σyy
εyy
=
σzz
εzz
Mo´dulo de Rigidez
O mo´dulo de rigidez µ define-se a partir da deformac¸a˜o de corte ou cisalhamento. Cada
deformac¸a˜o de corte e´ proporcional a` componente de tensa˜o de corte existente, ou seja:
σxy = µεxy, σxz = µεxz, σyz = µεyz
µ =
σxy
εxy
=
σxz
εxz
=
σyz
εyz
Da expressa˜o anterior tem-se:
σij =


σxy = µεxy
σyz = µεyz
σzx = µεzx
Campo de Pressa˜o
A construc¸a˜o de um campo de pressa˜o e´ importante para se analisar zonas de baixa
pressa˜o, as quais sa˜o favora´veis a acumulac¸a˜o de flu´ıdos. As presso˜es verticais e horizon-
tais sa˜o paraˆmetros chaves, tambe´m chamados de escalares invariantes do tensor de tensa˜o.
Reescrevendo a relac¸a˜o tensa˜o e deformac¸a˜o para o meio isotro´pico da Eq.(3.1) tem-se:
σij = λ
′∆δij + 2µεij (3.2)
∆ =
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= εxx + εyy + εzz
Considerando a Eq.(3.2) calculamos as tenso˜es normais na forma de
σxx = λ
′∆δxx + 2µεxx
34
σyy = λ
′∆δyy + 2µεyy
σzz = λ
′∆δzz + 2µεzz = (λ+ 2µ)εzz
onde δxx = δyy = δzz = 1, e as expresso˜es anteriores tomam as formas:
σxx = λ
′∆+ 2µεxx
σyy = λ
′∆+ 2µεyy
σzz = λ
′∆+ 2µεzz = (λ+ 2µ)εzz (3.3)
εzz =
1
λ+ 2µ
σzz
A tensa˜o e´ na˜o hidrosta´tica mesmo em meios de camadas horizontais sujeitos apenas a
compactac¸a˜o devido a pressa˜o vertical sem deslocamento horizontal, nesses casos a tensa˜o
vertical e´ definida como igual a` carga na seguinte forma
dσzz
dz
= ρ(z)g(z)
dσzz = ρ(z)g(z)dz∫
dσzz(z) =
∫ z
z=0
ρ(z)g(z)dz
σzz(z) =
∫ z
z=0
ρ(z)g(z)dz
Para z = 0, obtem-se a pressa˜o vertical na superf´ıcie da camada, dada por:
σzz(0) = σzz = ρgz = Pz = P0 (3.4)
A corespondente pressa˜o horizontal e´ descrita naforma:
σxx = Px = P0(1− 2γ
2) (3.5)
35
Na Eq.(3.5), a constante γ e´ dada pela relac¸a˜o entre as velocidades das ondas S e P
(LANDAU, 1988), pa´gina 52.
γ =
β
α
e σxx = σyy. (3.6)
A pressa˜o de sobrecarga e´ um terc¸o da soma das tenso˜es verticais e horizontais, conside-
rando as relac¸o˜es de tenso˜es da Eq.(3.3), se as tenso˜es verticais sa˜o iguais, a pressa˜o de carga
ou hidrosta´tica e´ simplesmente a pressa˜o das camadas sobrejacentes (SIBIRYAKOV, 2004):
P =
σxx+ σyy + σzz
3
P =
1
3
(
3λ+ 2µ
1
)
εzz
P = P0
(
1−
4
3
γ2
)
(3.7)
3.0.3 SALTOS DE PRESSA˜O
Como a carga de pressa˜o depende basicamente da raza˜o entre as velocidades β, α e da
densidade das rochas de uma determinada camada, nota-se que ocorre saltos de presssa˜o nos
limites das camadas se ha´ quebras na raza˜o γ = β/α. Para um modelo de camadas simples,
os saltos de presssa˜o nos limites das camadas podem ser calculados por
∆P = Pz2 − Pz1
∆P =
4
3
P0(γ
2
1
− γ2
2
) (3.8)
Portanto, a carga sofre saltos de pressa˜o com profundidae de raza˜o γ da camada da base
estiver acima da camada sobrejacente.
3.0.4 PRESSA˜O DESVIATO´RIA
A intensidade da pressa˜o tangencial ou desviato´ria e´ uma medida mecaˆnica de instabili-
dade, e o paraˆmetro responsa´vel por falhas e fraturas em rochas so´lidas. Em meios geolo´gicos
simples a pressa˜o desviato´ria pode ser considerada uma escalar invariante:
PT = J =
σzz − σxx
3
(3.9)
36
Substituindo a Eq.(3.3) em (3.9) obte´m-se a Eq.(3.10) que tambe´m pode ser escrito na
forma da Eq.(3.11)
J = µσzz (3.10)
J = γ2ρgz = γ2Pz (3.11)
O modelo geolo´gico criado para determinar os valores dos campos de pressa˜o nos quais
as interfaces das camadas das rochas esta˜o submetidas e´ um modelo de camadas que simula
um ambiente geolo´gico de camadas curvas, ou seja, modelo que apresenta dobras, descrito
no Cap´ıtulo 4.
Este modelo foi projetado para replicar a resposta s´ısmica estrutural estratigra´fica pre-
sente em interfaces curvas. Este modelo geolo´gico inclui tabela de densidade e distribuic¸o˜es
de velocidade de compressa˜o e de cisalhamento que o definem. O modelo tem extensa˜o
horizontal de 10 km e vertical de 10 km.
37
4 DETERMINAC¸A˜O DOS CAMPOS DE PRESSA˜O EM
MODELOS COM DOBRAS
O modelo utilizado neste trabalho, foi gerado utilizando o software livre Seismic Un*x
(SU) (COHEN; STOCKWELL, 2005) com 10 camadas e que apresenta estrutura geolo´gica
anticlinal e sinclinal, apresentando regio˜es de falhas, conforme ilustrado na Figura 4.1.
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
Figura 4.1: Modelo de camas curvas.
Pelo fato do modelo ser marinho, e´ natural que a velocidade da onda P da a´gua se
situasse numa faixa entre 1400 a 1500 m/s. Como e´ referido na literatura, a ocorreˆncia de
embasamento de uma bacia em torno dos 6 km de profundidade. Assim os fatores como
a deposic¸a˜o das camadas sedimentares, a compressa˜o vertical natural ou o pro´prio peso de
cada camada, a influeˆncia da tectoˆnica que se manifesta muitas vezes por uma compressa˜o
ou distensa˜o do campo de tenso˜es e que provoca uma deformac¸a˜o que pode pontualmente
dar origem a` criac¸a˜o de outras estruturas.
O modelo acima foi feito atrave´s da func¸a˜o trimodel do SU que utiliza uma triangula-
rizac¸a˜o usando a vagarosidade (sloth), sendo que esta vagarosidade e´ calculada por s =
1
v2
.
Os paraˆmetros f´ısicos desse modelo esta˜o apresentados na Tabela 4.1.
38
Camadas Vagarosidade Vp(m/s)
1 0.44 1507
2 0.39 1601
3 0.36 1666
4 0.25 2000
5 0.20 2236
6 0.16 2500
7 0.09 3333
8 0.06 4082
9 0.04 5000
10 0.03 5773
Tabela 4.1: Gradiente de velocidades das ondas P em m/s para cada camada.
Desta forma e´ poss´ıvel determinar diversos paraˆmetros f´ısicos que auxiliam a localizac¸a˜o
de um eventual sistema petrol´ıfero (geradora: rota de migrac¸a˜o (quando existe); reservato´rio;
selante), e que auxiliam posteriormente atrave´s do ca´lculo de cada um destes paraˆmetros para
o respectivo elemento da malha. Os paraˆmetros que foram utilizados nesse trabalho foram:
• Mu (µ);
• Lambda (λ);
• Gamma (γ);
• Velocidade RMS da onda S (V srms);
• Velocidade RMS da onda P (V prms);
• Pressa˜o vertical;
• Pressa˜o horizontal;
• Saltos de pressa˜o;
• Derivada horizontal de Px;
• Derivada vertical de Px;
• Derivada horizontal de Pz;
39
• Derivada vertical de Pz;
• Pressa˜o hidrosta´tica;
• Pressa˜o deviato´ria.
A Figura 4.2 mostra o modelo de velocidade intervalar das ondas S, variando com ve-
locidade de 0 m/s para camada superior ate´ uma velocidade de 3800 m/s para a camada
inferior. Nessa figura, observa-se que a velocidade da onda S e´ zero na camada 1, pois ela
na˜o se propaga na a´gua. As velocidades das ondas S na˜o sa˜o ta˜o usadas para identificar os
sistemas petrol´ıferos, como da velocidade da onda P.
Figura 4.2: Distribuic¸a˜o de velocidades da onda S.
Por outro lado, a Figura 4.3 mostra o modelo de velocidade intervalar das ondas P ,
observa-se que as velocidade das camadas variam da camada superior com velocidade de
1500 m/s, ate´ a inferior com velocidade de 5500 m/s. A velocidade desse tipo de onda tende
a aumentar com a profundidade. Normalmente a velocidade da onda P em um reservato´rio
ou em uma camada geradora (desde que apresente o flu´ıdo do hidrocarboneto) esta´ em torno
de 2200 m/s.
Em geral, todas as camadas tendem a apresentar uma grande continuidade lateral, mas
observa-se na coordenada (5,2) da Figura 4.1 uma estrutura anticlinal que ocorre devido a
pressa˜o vertical ascendente de sua camada inferior. Nenhuma das camadas e´ completamente
horizontal, e isso se deve a` existeˆncia de altas taxas de deformac¸a˜o, provavelmente induzidas
40
Figura 4.3: Distribuic¸a˜o de velocidades da onda P.
pela ocorreˆncia de forc¸as horizontais de compressa˜o decorrente de uma tectoˆnica ativa, es-
pecialmente em redor dos 3 km de extensa˜o, como se pode confirmar atrave´s dos gra´ficos da
pressa˜o, e suas derivadas horizontais e verticais.
A densidade e´ a raza˜o entre a massa e o volume da amostra do solo. Neste trabalho,
a densidade foi definida como paraˆmetro de entrada atrave´s de um vetor, contendo um
conjunto de valores compat´ıveis com o modelo geolo´gico-geof´ısico apresentado na Figura 4.4.
Vale ressaltar ainda, que a densidade aumenta com a profundidade.
41
Figura 4.4: Distribuic¸a˜o de densidade.
O mo´dulo de cisalhamento e´ calculado atrave´s da equac¸a˜o (4.1):
µ = v2sρ (4.1)
Observa-se que para realizar o ca´lculo de µ, e´ necessa´rio conhecer o conjunto de valores
da velocidade da onda S e da densidade ρ de cada camada. Esse valor tende a aumentar
igualmente com a profundidade de investigac¸a˜o (Ver Figura 4.5).
Para calcular o paraˆmetro Lambda, sa˜o necessa´rios conhecer os valores de treˆs paraˆmetros
para cada camada: velocidade da onda P, ρ e µ. Portanto, lambda pode ser obtido pela forma
(4.2):
λ = v2pρ− 2µ (4.2)
Esse paraˆmetro pode assumir valores tanto positivos como negativos, conforme a Figura
4.6.
Ja´ o paraˆmetro gamma (γ) e´ obtido pela raza˜o entre a velocidade da onda S e da ve-
locidade da onda P (Eq. 4.7), sendo portanto adimensional - Figura 4.7. Como o valor do
paraˆmetro da velocidade da onda S e´ inferior a` velocidade da onda P, o valor Gamma e´
respetivamente inferior a 1.
42
Figura 4.5: Intervalo de valores de mo´dulo de cisalhamento.
Figura 4.6: Intervalo de valores de Lambda.
Para aquisic¸o˜es s´ısmicas de reflexa˜o cuja geometria do pacote sedimentar seja pratica-
mente horizontal entre as camadas e muito extenso, e´ melhor separar e isolar o tempo de
chegada da onda S em cada um dos receptores, devido a diminuic¸a˜oda sobreposic¸a˜o que vai
aparecendo no final da aquisic¸a˜o.
Como o valor do paraˆmetro da velocidade da onda S e´ praticamente ausente nos l´ıquidos
geralmente quando se pretende trac¸ar o limite de separac¸a˜o entre o material so´lido e o l´ıquido,
43
Figura 4.7: Intervalo de valores de Gamma.
e´ mais fa´cil definir a interface entre a camada 1 (Vs= 0 m/s) e a camada 2 (Vs= 2200 m/s).
A Figura 4.8 mostra o resultado do ca´lculo da velocidade RMS para as ondas S.
Figura 4.8: Velocidade me´dia quadra´tica da onda S.
O paraˆmetro da velocidade RMS da onda P (ver Figura 4.9) e´ um dos paraˆmetros princi-
pais, e e´ utilizado para realizar migrac¸a˜o em sec¸o˜es s´ısmicas. Para o ca´lculo deste paraˆmetro,
foi necessa´rio fornecer como varia´vel de entrada a velocidade das ondas S para cada camada.
44
Comparando os valores dos paraˆmetros da velocidade RMS da onda P com o onda S,
para a mesma camada o primeiro valor e´ sempre superior ao segundo valor.
Figura 4.9: Velocidade me´dia quadra´tica da onda P .
O paraˆmetro da pressa˜o horizontal e´ calculado atrave´s da equac¸a˜o (4.3):
Px = γ
2Pz, (4.3)
em que Pz e´ a pressa˜o vertical para cada camada. O valor de Px e´ sempre maior ou igual a 0,
sendo 0 por exemplo no caso quando o meio for um flu´ıdo. O gra´fico da Figura 4.10 mostra
o comportamento da pressa˜o horizontal para cada camada do modelo sinte´tico composto por
10 camadas apresentado no in´ıcio dessa sec¸a˜o.
O ca´lculo do paraˆmetro da pressa˜o vertical vai ser calculado em duas etapas. A primeira
etapa sera´ feita para a camada 1 da seguinte forma (4.4):
Pz = ρdz, (4.4)
em que ρ e´ a densidade e dz e´ um fator de incremento no eixo z (espessura das camadas).
E a segunda etapa sera´ realizada atrave´s de uma acumulac¸a˜o de pressa˜o a partir da camada
2, isto e´, a pressa˜o vertical da camada 2 dependera´ da pressa˜o vertical da camada 1 e assim
sucessivamente, logo obtemos a seguinte equac¸a˜o (4.5):
Pz = (Pz−1) + ρdz, (4.5)
45
Figura 4.10: Pressa˜o horizontal.
O gra´fico da Figura 4.11 mostra o comportamento da pressa˜o vertical para cada camada do
modelo da Figura 4.1.
Figura 4.11: Pressa˜o vertical.
O paraˆmetro salto de pressa˜o e´ calculado conforme a equac¸a˜o 4.12 da sec¸a˜o anterior, e
os resultados obtidos desse paraˆmetro podem variar (negativo ou positivo) dependendo do
paraˆmetro gamma, se for maior na camada de baixo do que na camada de cima, ou vice-versa
46
respectivamente. Esses resultados podem ser visualizados na Figura 4.12.
Figura 4.12: Salto de pressa˜o.
A derivada horizontal de Px (pressa˜o horizontal) e´ um paraˆmetro muito importante para a
predic¸a˜o das zonas de menor pressa˜o, pois essas zonas podem ser suscept´ıveis a se tornarem
camadas geradoras e/ou armazenadoras de o´leo e ga´s, a partir da´ı formando um sistema
petrol´ıfero.
O valor dessa derivada horizontal pode assumir valores positivos ou negativos conforme
pode ser visto na Figura 4.13.
A derivada vertical de Pz (pressa˜o vertical) e´ um paraˆmetro relevante em uma investigac¸a˜o
para detectar zonas de baixa pressa˜o. O valor dessa derivada vertical pode ser visualizada
na Figura 4.14.
A derivada vertical de Px (pressa˜o horizontal) pode ser positivo ou negativo. Em sistemas
petrol´ıferos caracterizados por zonas de baixa pressa˜o, o hidrocarboneto tera´ que migrar para
zonas de mais baixa pressa˜o. Assim esse paraˆmetro e´ muito u´til para localizar a existeˆncia
de o´leo e ga´s.
O valor dessa derivada vertical pode assumir valores positivos ou negativos conforme
pode ser visto na Figura 4.15.
47
Figura 4.13: Derivadas horizontais da pressa˜o horizontal.
Figura 4.14: Derivadas verticais da pressao vertical.
A derivada horizontal de Pz(pressa˜o vertical) e´ calculada como qualquer outra derivada,
esses ca´lculos foram realizados pelo programa matlab. Por fim, este paraˆmetro na˜o foi ta˜o
relevante quanto os outros ja´ mencionados anteriormente, pois na˜o foi poss´ıvel extrair in-
formac¸o˜es do gra´fico da Figura 4.16 nem identificar limites definidos entre as camadas do
modelo da Figura 4.1.
48
Figura 4.15: Derivadas verticais da pressa˜o horizontal.
Figura 4.16: Derivada horizontal da pressa˜o vertical.
A pressa˜o hidrosta´tica e´ um paraˆmetro muito importante na predic¸a˜o de zonas de baixa
pressa˜o, normalmente sa˜o indicadoras para constituir litologias geradoras e/ou armazenado-
ras de flu´ıdos. O paraˆmetro da pressa˜o hidrosta´tica e´ calculado conforme a equac¸a˜o 4.17 da
sec¸a˜o anterior. As informac¸o˜es contidas no gra´fico da Figura 4.17 apresentam uma pequena
variac¸a˜o no comportamento da pressa˜o hidrosta´tica no interior de cada uma das camadas do
modelo da Figura 4.1. Assim na˜o e´ de se estranhar que no interior das camadas, os valores
49
do paraˆmetro da pressa˜o hidrosta´tica aumentem com a profundidade, por isso se explica o
degrade´ de cores no interior de cada uma das camadas definidas.
Figura 4.17: Pressao Hidrosta´tica.
O paraˆmetro da pressa˜o desviato´ria e´ calculado conforme a equac¸a˜o 3.11 da sec¸a˜o ante-
rior. No gra´fico da Figura 4.18, observa-se que os limites das camadas acabam por ser mais
percept´ıveis e fa´ceis de visualizar. Assim, ambos os paraˆmetros acabam por se complementar
diretamente.
50
Figura 4.18: Pressa˜o desviato´ria.
5 CONCLUSO˜ES
O presente trabalho teve como objetivo realizar o ca´lculo dos paraˆmetros ela´sticos de
meios geolo´gicos submetidos a ac¸a˜o de forc¸as tectoˆnicas a partir dos conceitos da Teoria da
Elasticidade. O passo inicial consiste na construc¸a˜o de modelo geolo´gico sinte´tico composto
por dez camadas, sendo estas camadas curvas e apresentando estruturas anticlinais. Primei-
ramente foram fornecidas as velocidades das ondas P e S, e posteriormente, a distribuic¸a˜o de
densidade de cada uma das camadas do modelo. Observa-se que na Figura 4.3 os valores das
velocidades das ondas p aumentam com a profundidade, com excessa˜o da regia˜o no topo da
estrutura anticlinal, que tem velocidade acima de 4000 m/s.
A determinac¸a˜o do paraˆmtero µ ao conjunto de velocidades das ondas S e das densidades
das camadas. Observa-se que na Figura 4.5 os valores de µ sa˜o cont´ınuos, exceto na regia˜o
do topo da estrutura anticlinal, situada a 2 km de profundidade. Esta anomalia e´ explicada
devido a forc¸a aplicada pela camada superior sobre as paredes do topo da anticlinal. Como
os valores de lambda λ dependem dos valores de µ, observa-se tambe´m na Figura 4.6 uma
anomalia no topo da anticlinal, sendo o valor nesta regia˜o menor que na vizinhanc¸a devido
o valor de lambda diminuir a medida que o valor de µ aumenta.
Apo´s os ca´lculos dos paraˆmetros µ e λ iniciou-se o ca´lculo do campo de pressa˜o e de suas
derivadas na direc¸a˜o horizontal e vertical. Analizando-se a Figura 4.10 nota-se que a pressa˜o
horizontal nas camadas menos curvas e´ menor e que nas camadas que apresentam curvatura
significativa. Por outro lado, nas regio˜es em que as camadas apresentam maiores curvaturas,
a pressa˜o horizontal apresenta maior continuidade, diferenciando bem estas camadas. Em
relac¸a˜o a pressa˜o vertical, Figura 4.11, observa-se naturalmente que seu valor aumenta a`
medida que a profundidade da camada aumenta e, ale´m disso, a pressa˜o vertical nas regio˜es
de anticlinais e´ menor que na sua vizinhanc¸a, na˜o permitindo uma boa diferenciac¸a˜o da regia˜o
logo abaixo das anticlinais.
Analisando a Figura 4.12, observa-se que na regio˜es das anticlinais ocorre abrupto salto
de pressa˜o, diferentemente das regio˜es onde ha´ continuidade nas camadas.
Apo´s o ca´lculo dos saltos de pressa˜o, e´ importante determinar as derivadas horizontais e
verticais das presso˜es horizontal e vertical. As derivadashorizontais das presso˜es horizontais
(Figura 4.13) mostram que as regio˜es pro´ximas ao topo da anticlinal da u´ltima camada
52
apresenta maiores valores em suas derivadas horizontais. Isto significa que esta regia˜o possui
grande queda de pressa˜o horizontal. Por outro lado, a derivada vertical de pressa˜o vertical
mostrada na Figura 4.14 aumenta com a produndidade, mas e´ menor na regia˜o de anticlinal
que intercepta duas camadas e na sua camada vizinha.
A derivada vertical da pressa˜o horizontal (Figura 4.15) mostra que ha´ um constraste
gerado pela intrusa˜o do anticlinal na camada superior, sendo que a derivada vertical no
entorno desta intrusa˜o e´ a maior observada no modelo.
A Figura 4.17 mostra os valores da pressa˜o hidrosta´tica no interior das camadas. Observa-
se que estes valores aumentam com a profundidade e permite diferenciar muito bem as
diferentes camadas, com excessa˜o das regio˜es dos topos das anticlinais. Por fim, a Figura
4.18 mostra os valores da pressa˜o desviato´ria do modelo. Neste caso, ha´ continuidade deste
fator no interior das camadas, pore´m, na regia˜o de intrusa˜o da anticlinal, ha´ uma queda
abrupta da pressa˜o desviato´ria.
A partir destas observac¸o˜es, foi poss´ıvel identificar as zonas de baixa pressa˜o do modelo
de camadas curvas descrito no trabalho.
53
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