Lista de Exercícios 12

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Lista de Exercícios 13 
Assunto: Problemas de Otimização 
Obs.: Ao final da lista encontram-se exercícios resolvidos. 
Questão 01 – Determine dois números reais positivos cuja soma seja 8 e tais que a soma do 
quadrado do primeiro e o cubo do segundo seja um mínimo. 
Resposta: 6 e 2. 
 
Questão 02 – Queremos cercar um terreno para fazer uma área de lazer para os meninos da 
vizinhança brincarem. Um dos lados desse terreno é limitado por um muro em linha reta. 
Queremos cercar os outros três lados deste terreno com uma cerca de comprimento total dado l. 
Como podemos fazer isso de modo que a área cercada seja máxima? 
Resposta: Ao cercarmos o campo considerando e 
 
 
 , obteremos a maior 
área cercada com comprimento l de cerca. 
 
Questão 03 – Um retângulo deve ser inscrito no primeiro quadrante do plano xy, de tal forma 
que, dois de seus lados fiquem contidos nos eixos cartesianos e o quarto vértice deve pertencer à 
curva √ . Determine os lados do retângulo que tenha a maior área. Veja a figura a 
seguir. 
 
Resposta: O retângulo de maior área é o retângulo de lados 
 
 
 
√ 
 
. 
 
Questão 04 – Calcule o ponto pertencente à curva que se encontra mais próximo do 
ponto de coordenadas (0, 3). 
Resposta: Os pontos procurado são (
√ 
 
 
 
 
) e ( 
√ 
 
 
 
 
). 
 
Questão 05 – Determine a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um círculo de área 
 . Justifique sua resposta mostrando que realmente temos um máximo absoluto no intervalo. 
Resposta: Será um quadrado inscrito de lado √ e a área é A = 8. 
 
Questão 06 – A empresa Tesouro Brasil Ltda. Produz determinado produto e vende-o a um 
preço unitário de 13 reais. Estima-se que o custo total para produzir e vender q unidade é dado 
por: 
 
Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, determine a quantidade 
que deverá ser produzida para se obter lucro máximo. 
Resposta: A função lucro L possui um máximo absoluto em q = 3. 
 
Questão 07 – O Laboratório Nacional Vida é Saúde produz determinado remédio e vende-o a 
um preço unitário de 12 reais. O custo C total para produzir e vender x unidades é dado por: 
 
Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, determine a quantidade 
que deverá ser produzida para se obter lucro máximo. 
Resposta: A função lucro L possui um máximo em x = 2. 
 
Questão 08 – Determine os comprimentos dos lados do retângulo de maior área que pode ser 
inscrito na região do plano definida pelas condições , e . 
Resposta: O retângulo de maior área inscrito na região descrita tem lados de tamanho √ e 6. 
 
Questão 09 - Uma lâmpada L de vapor de sódio será colocada no topo de um poste de altura x 
metros para iluminar um jardim J situado em um espaço público bastante visitado (vide figura 
abaixo). O pé P do poste precisa estar localizado a 40 metros de J. Se | |é a distância da 
lâmpada ao jardim J e α é o ângulo PJL, então a intensidade de iluminação I em J é 
proporcional ao seno de α e inversamente proporcional a r²; assim, 
 
 
, onde c é uma 
constante. Ache o valor máximo de x que maximiza I. 
 
 
Questão 10 - A resistência S de uma viga retangular de madeira é proporcional à sua largura 
multiplicada pelo quadrado da sua profundidade. (Veja figura abaixo) 
a) Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada a partir de um 
tronco de 12 pol. de diâmetro. 
b) Esboce o gráfico de S em função da largura w da viga, considerando a constante de 
proporcionalidade k=1. Concilie o que você observar neste item com sua resposta do 
item (a). 
c) Esboce o gráfico de S em função da profundidade d da viga, mantendo k=1. Compare 
um gráfico com o outro e também com a resposta do item (a). Qual seria o efeito de 
mudar para algum outro valor de k? Tente descobrir. 
 
 
Questão 11 - Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de 
altura h e raio r, uma semi-esfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido 
seja 5π. Determine r e h para que o volume seja máximo. 
 
Resposta: r=1 e h=1. 
 
Questão 12 - Do ponto A, situado numa das margens de um rio, de 100 m de largura, 
deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser 
utilizado na água custa R$ 5 o metro, e o que será utilizado fora, R$ 3 o metro. Como 
deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios seja o menor possível? (Suponha 
as margens retilíneas e paralelas.) 
 
Resposta: 
 
 
Questão 13 - O gerente do setor financeiro de uma empresa precisa separar duas salas 
para recepcionar duas equipes de auditores. O gerente tem uma grande área disponível 
onde ele pretende gerar as duas salas usando drywall, conforme figurar abaixo. Se cada 
sala deve ter uma área igual a A, qual o comprimento mínimo que ele deve comprar de 
drywall? 
Obs.: Esse comprimento será em função da área A de cada sala. 
 
 
Resposta: √ 
Exercícios Resolvidos