Curso de Análise Estrutural; Sussekind; Monopage; Bookmarked

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cur o de 
análise e trutural 
1 """'~ '1151;&11 
EDllORA GLOBO 
CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume 1 
Estruturas lsostáticas 
O CUno de Aniliae Esbutunl compreende os volumes: 
1 - Estruturas isostáticas. 
li - Deformações em estruturas. Método das forças. 
Ili - Método das defonnaçõe-. Processo de Cross. 
CIP-Brasi.L Catalogação-na-t-011t1,; 
Câmara Brasileira do Livro, SI' 
SUssekind, José Carlos, 194 "I • 
S963c Curso de análise estrutural / José Carlos Silssekind. -
v.1-3 6. ed. - Porto Alegre - Rio de Janeiro: Globo, 1981. 
74-0679 
v. ilust. (Enciclopédia técnica universal Globo) 
Bibliografia. 
Conteúdo: -v. 1. fütrutw:as isostãticas. -2. Deforma-
ções em estruturas. Método das forças. ·3. Método das 
deformações. Processo de Cross. 
1. Estrutw:as-Anãlise. (Engenharia) 1. Título. li. Títu-
lo : Estrutw:as ilostáticas. W. S6rie. 
CDD-624.171 
l'ndicea para caúloao liaten1'tico: 
1. An'1ile estrutural : Enpnharia 6 24.1 71 
2. Estruturas: Anüise : Engenharla 624.171 
Enciclopédia Técnica Universal Globo 
JOSi: CARLOS SÜSSEKIND 
CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume 1 
Estruturas lsostáticas 
6~ Ediçáu 
E: ü1 1 UHA GLOBO 
Porto Alegre 0 Rio de Janeiro 
1981 
Copyright© 197 3 by José Carlos Süssckimt 
l~ Edição - dezembro de 1975 
2~ Edição - julho de 1977 
3~ Edição - março de 1979 
4~ Edição - maio de 1979 
5~ Edição - março de 1980 
Capa: 
Ruben Hemnann 
Planejamento gráfico: 
AM Produções Gráficas 
A primeira edição desta obra foi realizada em convênio com a 
Universidade de São Paulo 
Direllos exclusivos de edição, em língua portuguesa, 
da Editora Globo S. A. 
Av. Getúlio Vargas, 1271 - 90000 - Porto Alegre, RS 
Rua Sarg. Silvio Hollenbach, 350 - 21510 - Rio de Janeiro, RJ 
Apresentação 
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da necessi-
dade encontrada de um texto que nos servisse de· suporte para o ensino da 
Isostática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que 
cresceu com o estímulo recebido da parte de diversos colegas de magistério, 
que se vêm deparando com o mesmo problema, e cuja concretização se tomou 
possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em editá-lo. 
O Curso de Análise Estrutural será dividido em três volumes, no primei-
ro dos quais estudaremos os esforços nas estruturas isostáticas, ficando o es-
tudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das defonnações em estru-
turas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes últimos, 
incluiremos também o estudo de alguns tópicos especiais, cujo conhecimento 
julgamos indispensável ao engenheiro civil. 
Na apresentação deste Curso, é dever de gratidão mencionar o nome do 
extraordinário professor que é o Dr. Domício Falcão Moreira e Silva, a quem 
devemos nossos conhecimentos de Mecânica Racional e de Mecânica das 
Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério superior, 
na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. 
Agradecemos antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer 
comentários, sugestões ou críticas que nos venham a enviar através da Editora 
Globo, pois, a partir deles, estaremos em condições de tentar sempre melhorar 
este trabalho, no sentido de tomá-lo cada vez mais útil ao nosso estu-
dante - objetivo final de nossos esforços. 
Rio de Janeiro, 19 de abril de 1974 
José Carlos Süaekind 
Sumário 
CAPITULO 1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1 - Domínio de estudo da Análise Estrutunl 1 
2 - As grandezas funcL':.mentais: Força e Momento 2 
2.1 - Força 2 
2.2 - Momento 3 
2.2.l - Propriedades do momento 4 
2.2.l.l - Momento de uma força em relação a um ponto 4 
2.2.l.2 - Momentos de uma força em relação a diversos pontos S 
2.2.l.3 - Momento de uma força em relação a um eixo 6 
2.l.l.4 - Momento constante de um sistema de duas forças paralelas, 
de mesmo módulo e sentidos opostos 9 
2.3 - Redução de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico 10 
3 - Condições de equihõrio 10 
3.1 - Casos particulares importantes 12 
3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 12 
3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 12 
3.1.3 - Sistema de forças coplanares 14 
4 - Graus de liberdade. Apoios. Estaticidade e Estabilidade 16 
4.1 - Graus de liberdade 16 
4.2 - Apoios 17 
4.2.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano 18 
4.2.2 - Cálculo das reações de apoiÔ 20 
4.3 - Estaticidade e Estabilidade 23 
S - Esforços simples 25 
S.l - Caso particular importante: estruturas planas carregadas no próprio plano 34 
6 - Cargas 40 
6.1 - Cargas concentradas 41 
6.2 - Cargas distribuídas 41 
6.3 - Cargas-momento 45 
CAPITULO II - ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÂ TICAS 
- As equações fundamentais da Estática 48 
2 - Vigas biapoiadas 50 
2.1 - Carga concentrada 50 
2.2 - Carga uniformemente distribuída 53 
2.3 - Carga triangular 55 
2.4 - Carga-momento 59 
2.5 - Caso geral de carregamento 62 
3 - Vigas engastadas e livres 6 7 
4 - Vigas biapoiadas com balan:;os 69 
5 - Vigas Gerbcr 73 
5. ~ - Introdução 7 3 
5.2 - Exemplos de decomposição 77 
6 - Vigas inclinadas 79 
6.1 - Viga submetida a carregamento distribuído vertical 79 
6.2 - Viga submetida a carregamento distribuído horizontal 81 
6.3 - Viga submetida a carregamento distribuído perpendicular a seu eixo 82 
7 - Problemas resolvidos 84 
8 - Problemas propostos 98 
9 - Soluçlo dos p -oblemu pJOpOStos 104 
CAPITULO ID - ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS 
- Quadros 5imples 110 
1.1 - Quadro biapoiado 110 
1.2 - Quadro engastado e livre 115 
1.3 - Quadro triarticulado 117 
1.4 - Quadro biapoiado. com articulação ~· tirante (ou escora) 121 
2 - Quadros com barras curvas 123 
3 - Quadros compostos 130 
3.1 - Introdução 130' 
3.2 - Exemplos de decomposição 131 
3.3 - Exemplos de resolução 135 
4 - Estudo dos arcos triarticulados 140 
4.1. - Estudo dos arcos triarticulados para carr~amento vertical em função 
da viga de substituição 141 
4.2 - Definição e determinação da linha de pressões 143 
4.3 - Aplicações 146 
5 - Sistemas-guindaste 151 
6 - Problemas propostos 156 
7 - Soluçfo doa problemas propostos 170 
CAPITULO IV - ESTUDO DAS TRELIÇAS ISOSTÃTICAS 
1 - Introdução 185 
2 - au.ü'icaçio du treliças 192 
2.1 - Quanto à estaticidade 192 
2.2 - Quanto à lei de formação 195 
3 - Método de Ritter 195 
3.1 - As bases do método 195 
3.2 - Exemplos de aplicação 198 
3.3 - Resolução das treliças de altura constante em função 
da viga de substituição 202 
3.3.1 - Treliça com uma diagonal por painel 202 
3.3.2 - Treliças com Juas diagonais por painel (Vigas Hãssler) 214 
4 - Método de Cremona 220 
4.1 - Introdução 220 
4.2 - Apresentação do método 223 
4.2. l - Notação das cargas e dos esforços normais 223 
4.2.2 - Roteiro do método 223 
4.3 - Exemplos 226 
5 - Treliças compostas 231 
5.1 - Conceituação 231 
5.2 - Método de resolução 233 
5.3 - Aplicações 236 
6 - Treliças complexas 241 
6.1 - Conceituação 241 
6.2 - Método geral de resolução das treliças complexas (Método de Hennebergl 241 
6.3 - Aplicações 246 
7 - Treliças com cargas fora dos nó• 251 
7.1 - Método de resolução 251 
7 .2 - Aplicações 253 
8 - Introdução ao estudo das treliças espaciais 258 
9 - Problemas propostos 263 
10 -Soluçfo dOI problemu propostol 270 
CAPITULO V - ESTUDO DAS ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS NO ESPAÇO 
- Estudo das grelhas isostáticas 275 
1.1 - Introdução 27S 
1.2 - Definição 276 
1.3 - Aplicações 279 
1.4 - Vigas-balcão 286 
2 - Estudo dos quadros espaciais isostáticos 289 
3 - Prohlemas propostos 292 
4 - Soluçlo doa problemas propostos 295 
CAPITULO VI - ESTUDO DAS CARGAS MÓVEIS EM 
ESTRUTURAS ISOST Ã TICAS 
l - Introdução 298 
1.1 - Oassificação das cargas que atuam nas estruturas 298 
1.2 - Definiçãodas cargas móveis. Trens-tipo 299 
1.3 - O problema a resolver. Forma de resolução 300 
2 - Linhas de influência 301 
2.1 - Definição 301 
2.2 - Fases de resolução tlu 11roblcma 302 
2.3 - Obtenção dos efeitos, conhecidos o trem-tipo ~ a linha de influência 302 
2.4 - Obtenção das linha~ de influênci~ para ~s estruturas isostáticas 304 
2.4.1 - Viga engastada e livre 304 
2.4.2 - Vig'd biapoiada 30S 
2.4.2.1 - Pesquisa dos valores máximos 311 
2.4.3 - Viga biapoiada com balanços 320 
2.4.4 - Vigas Gcrbcr 325 -
2.4.S -· Sistemas triarticulados 328 
2.4.S.l - Tensões nos bordos das seções 330 
2.4.S.2 - Tensões nos bordos dos encontros 332 
2.4.6 - Treliças 342 
2.4.6.1 - Caso particular: treliças de altura constante 346 
3 - Problemas propostos 351 
4 - Soluçfo doa problemas propostos 357 
Introdução ao primeiro volume 
O primeiro volume, em que fazemos o estudo estático das estruturas 
isostáticas, para cargas permanentes e móveis, foi dividido em seis capítulos, 
comentados a seguir. 
O primeiro capítulo (Conceitos Fundamentais) visa a fixaçãodos con-
ceitos de Mecânica Racional que julgamos base imprescindível à boa com-
preensão da Análise Estrutural; nele definimos as condições estáticas do 
equilíbrio, introduzimos as noções de vínculos, graus de liberdade e estati· 
cidade de uma estrutura e definimos os esforços simples que atuam numa 
seção de uma estrutura. 
No segundo capítulo (Estudo das vigas isostáticas), apresentamos as 
equações diferenciais fundamentais de Estática, estudando a seguir, para os 
diversos tipos de carregamentos que podem ocorrer na prática, as vigas 
biapoiada, engastada e livre, biapoiada com balanços e Gerber. Durante este 
estudo, são apresentadas ao leitor, pouco a pouco, as idéias básicas para o 
traçado dos diagramas solicitantes, que ao fun deste capítulo, não deverá 
mais encontrar qualquer dificuldade neste setor. 
O terceiro capítulo aborda em detalhes os quadros isostáticos simples e 
compostos. Queremos chamar a atenção para a enorme importância deste 
estudo, pois, embora os quadros isostáticos ~orram com pequena incidência 
na prática, seu perfeito conhecimento é absolutamente indispensável ao 
estudo das estruturas hiperestáticas. (Este é um problema com o qual nos 
deparamos, constantemente, no ensino de Hiperestática, motivo pelo qual 
demos uma grande ênfase ao tratamento dos quadros isostáticos em nosso 
Curso.) 
O quarto capítulo trata do estudo das treliças isostáticas planas (simples, 
compostas e complexas), sendo discutida sua lei de formação ê apresentados 
seus dois grandes métodos de resolução (Ritter e Cremona). São feitas 
aplicações para os tipos usuais de treliças da prática. Entre eles, ênfase 
especial mereceu o caso das treliças cujo estudo pode ser feito recair no de 
uma viga de substituição (muito comuns em pontes). 
No final do capítulo, apresentamos as idéias básicas para a geração e o 
estudo das treliças isostáticas no espaço, mostrando como obedecem às 
mesmas ·idéias básicas válidas para treliças planas. 
O quinto capítulo estuda os quadros isostáticos espaciais, recebendo 
ênfase maior o caso das grelhas. Este estudo não aparece, nonnalmente, nas 
obras clássicas sobre Estática, o que, a nosso ver, tem contribuído para criar 
quase que um tabu a respeito destas estruturas, que julgamos poder evitar 
começando a estuda-las paralelamente ao estudo das estruturas planas. Este 
procedimento vem sendo adotado, com grande êxito, nas cadeiras de Análise 
Estrutural na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, o que nos 
levou à colocação do assunto no primeiro volume deste Curso. 
Finalmente, o sexto capítulo estuda os efeitos estáticos das cargas 
móveis atuantes nas estruturas isostáticas, átravés do processo das linhas de 
influência. O processo é aplicado para todos os tipos de estruturas isostáticas, 
obtendo-se as envoltórias necessárias ao projeto das pontes, viadutos, vigas 
de rolamento etc. 
Ao fim de cada capítulo apresentamos uma lista de problemas pro-
postos, cuja resolução é indispensável à sedimentação da teoria e exemplos 
apresentados durante a exposição de cada assunto e que representam a 
parcela de trabalho individual que cada leitor precisa realiz31"' para atingir 
um bom domínio da Isostática - base sólida e indispensável para o prossegui-
mento no estudo da Análise Estrutural. 
Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradecimentos ao 
amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste volume, e aos 
demais amigos que, com suas sugestões, estímulo e ajuda no traçado das figu-
ras, colaboraram para elaboração deste trabalho. 
Rio de Janeiro, 3 de Junho de 1974 
CAPITULO 1 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1 - DOM111JIO DE ESTUDO DA ANÁLISE ESTRUfURAL 
A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consis-
tindo este estudo na detenninação dos esforços e das deformações a que elas 
ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações 
térmicas, movimento de seus apoios, etc.). 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao 
meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto 
capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las 
até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema 
estático equilibrante. 
As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três dimen-
sões. Três casos podem ocorrer: 
a) duas dimensões são pequenas em relação à terceira; 
h) uma dimensão é pequena em relação às outras duas; 
c) as três dimensões são consideráveis. 
No 19 caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a 
dimensão maior é o comprimento da peça, estando as duas outras dimensões 
situadas no plano a ele perpendicular (plano da seção transversal da peça). 
Neste caso, o estudo estático da peça, que será denominada barra, pode ser 
feito considerando-a unidimensional, isto é, considerando-a representada pelo 
seu eixo (lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções trans-
versais). Uma barra será dita reta ou curva, confonne seu eixo seja reto ou 
curvo. Conforme os eixos das diversas barras que compõem a estrutura este· 
jam ou não contidos no mesmo plano, a estrutura será chamada estrutura 
plana ou espacial. 
O 2P e o 3P casos são aqueles, respectivamente, das placas; das cascas 
(cuja espessura é pequena em presença da superfície da peça, superfície esta 
2 Cuno de anãlise estrutural 
plana para as placas e curva para as cascas) e dos blocos (caso das barragens) 
e não serão abordados neste C1.1uv de Análise Estrutural; são estudados, a par-
tir da teoria da Elasticidade, 1'~:1 Cadeiras próprias (em nível de especializaçio 
ou pós-graduação, dependendo da Universidade). 
Nosso Curso de Análise Estrutural será, então, um curso da Análise Estru-
tural das barras. A teoria que aqui desenvolveremos tem precisão excelen-
te para barras cuja relação do comprimento para a altura seja superior a 
10 : 1, apresentando precisão ainda boa para relações até S : l. Estas relações 
englobam a esmagadora maioria das barras da prática. (Nos casos em que esta 
relação se torne inferior, a peça não mais poderá ser classificada como barra, 
devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso.) 
2-AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS: FORÇA E MOMENTO' 
.l - Força 
A noção de força é das mais intuitivas possíveis: podemos exercer uma 
força sobre um corpo por meio de um esforço muscular; uma locomotiva 
exerce força sobre os vagões que ela reboca; uma mola esticada exerce forças 
sobre as peças que fixam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, o 
corpo que exerce a força está em contato com aquele sobre o qual ela é exer-
cida - tratam-se, pois, de forças de contato. Há, também, forças que atuam 
através do espaço, sem contato, chamadas,por esta razão, forças de ação à 
distância - são as forças devidas à existência de campos agindo sobre o 
corpo. É o caso das forças elétricas, magnéticas, das forças de gravitação e, 
no caso da Terra, das forças devidas à gravidade (que são os pesos dos corpos). 
Estas últimas serão as mais importantes da Análise Estrutural, conforme 
veremos em seu desenvolvimento. É comum chamar-se às forças que atuam 
numa estrutura de cargas, denominação esta que manteremos em nosso Curso. 
As forças Sfo grandezas vetoriais, caracterizadas por direção, sentido e 
intensidade. Sua unidade, no sistema MT•S, que é o adotado em Engenharia 
Estrutwal, é a tonelada-força, cujo símbolo é t•, ou, mais simplificadarnente, 
t.2 
1 Nio é nosso objetivo, neste t6pico, escrever um tratado sobre Estática Abstrata, 
já estudada nas Cadeiras de Mecânica Racional que antecedem às de Amllise Estrutural. 
Faremos, apenas, uma reapresentação, à nossa maneira, dos conceitos básicos, a respeito 
dos quais, muitas vezes, o aluno que se inicia no estudo da Análise Estrutural apresenta 
d6vidas, conforme tem demonstrado nossa experiência, bem como a de diversos colegas 
de magistério. 
2 Não confundir este último com a unidade de massa do sistema MTS. 
Conceitos fundamentais 3 
No caso mais geral, que é o das forças situadas no espaço, elas ficam de-
f midas por um ponto de passagem e por suas componentes X, Y e Z segundo 
os eixos triortogonais x, y, z, a partir das quais podemos expressá-las pela 
igualdade 1.1: 
• • • F =Xi+ Yj + Zk (1.1) 
Não nos deteremos no estudo das propriedades das forças, para as quais 
valem as propriedades dos vetores, já estudadas em Cálculo Vetorial. 
2.2 - Momento 
Seja a barra da Fig. 1-1, suportada em C por um cutelo sem atrito e tendo 
um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja contrabalançar por um peso 
suspenso em A. 
A e D 
!~. [&, .. , L .. : ,., 
·.·· .·· 
l 1 4m L 1 2m 
--+ 
Fig. 1-1 
É fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fim de contrabalançar o 
efeito da rotação. da barra em tomo do cutelo C, deve ser inferior a IO kg, 
por estar mais afastado de C do que este último; por tentativas, veríamos que 
seu valor deve ser de S kg. Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o 
fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende 
do valor da força e também de sua distância ao ponto, sendo diretamente pro-
porcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma grandeza física, através da 
qual queiramos representar a tendência de rotação em torno de um ponto, 
provocada por uma força, esta grandeza deverá ser função da força e de sua 
distância ao ponto. · 
Esta grandeza é o momento, que será defmido da maneira a seguir. 
-+ 
Chama-se moml!!!lo de uma força F em relação a um ponto O ao produto 
vetorial do vetor OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a li1111a de 
-+ -+ 
ação da força F) pela força F, conforme indica a Fig. 1-2. 
- ---+ ;t Temos: m = OM /\ /' (1.2) 
4 
Fig. 1-2 
2.2.1 - Propriedades do momento 
Curso de anãlise estrutural 
Representaremos o vetor-momento 
m por um vetor com seta dupla (a 
fim de não confundi-lo com uma for-
ça). Sua direção é perpendicular ao 
plano P que contém a reta-suporte da 
-força F e o ponto O; seu sentido é da-
do, a P!!tir do sentido ja rotação do 
vetor OM para o vetor F ou, o que dá 
no mesmo, a eFtir do sentido da rota-
ção da força F em tomo do ponto O, 
pela regra da mão direita, conforme 
indica a Fig. 1-2, fazendo a mão direi-
ta girar no sentido desta rotação e 
obtendo-se o sentido do vetor-momen-
to pela posição ocupada pelo polegar 
durante esta rotação (o polegar aponta 
para o lado em que está situada a 
seta dupla do vetor-mom~to)..;..seu mó-
dulo é dado por lml = 1 OMI IFlsen a= 
= Fd, isto é, igual ao produto do mó· 
dulo da força F pela menor distância 
do ponto O à sua linha de ação. 
A unidade de momento, no sistema 
MT*S, é o mt {ou tm). 
Estudaremos. a seguir. algumas propriedades do momento, que conduzirão 
a conclusões importantes no estudo da Análise Estrutural. 
2.2.1.1 - o momento m' ~e uma força F em rs!ação a um ponto O' é 
igual à soma vetorial do momento m da força F em relação ao ponto O 
-com o momento de F, suposta aplicada em O, em relação ao ponto O'. 
O' 
-F /' 
Fig. 1-3 
Conceitos fundamentais 5 
A partir da definição de momento, temos: 
- --+ ... 
m' = O'AAF 
Como, a partir da Fig. 1-3, temos: 
- -+ -Oit = O'O + OA, podemos escrever: 
-+- ___..,. ~ ___..,. -+ _,. ~ .. ___..,. _.. m' = (O'O + OA)AF = O'OAF + OAAF = m + O'OAF (1.3). 
ficando demonstrada nossa propriedade . 
... 
2.2.1.2 - Os momentos de uma força F em relação a diversos pontos 
situados sobre um mesmo eixo têm projeção idêntica sobre este eixo . 
.. / 
Pig. 1-4 
Seja uma força F e um eixo r, definido pelos pontos O e O', conforme 
indica a Fig. l.4. Calculado o morqento m da força F em relação a.o pon-
to o .. podemos determinar ·sua projeÇão sobre a reta'· à qual chamaremos p. 
Calculemos, agora, a projeção do momento m' da força F em relação ao 
ponto O', sobre a reta r. 
A partir da igualdade 1.3, podemos escrever que: 
6 Curso de anãlise estrutural 
--+ ~ ::-;:t -+ 
proj, m· = proj, iii._+ proj, (O'OAF) = p + proj, (O'u/\ F) 
-+ -+ 
Ora, sabemos, pela definição de produto vetorial, que O'O /\ F é um 
~ -+ 
vetor perpendicular à reta r e que, portanto, proj, (O 'O/\ F) = O. 
Com isto temos: proj, m = proj, m' = proj, m" = ......... = p. 
- -+ 2.2.1.3 - O momento m de uma força F em relação a um ponto O pode 
ser representado por suas projeções Mx. My e Mz na direção de 3 eixos 
cartesianos triortogonais. conforme indica a Fig. 1-5, a partir das quais pode 
ser definido pela igualdade 1.4: 
... ~ -+ ..... 
m = Mx i + My j + Mz k 
/ ,. 
/Mx 
/ 
.,_ ___ ..., ____ .,.. y 
1 /Mv 
____ J,/ 
Fig. 1-5 
(1.4) 
As projeções Mx, My e M~ slo cha· 
madas momentos da força F em rela· 
ção aos eixosx. y e z, respectivamente. 
O momento de uma força em relação a 
um eixo é, então, uma grandeza emi-
nentemente escalar, cujo sinal é posi· 
tivo ou negativo conforme a dupla seta 
do momento resultante m tenha sua 
projeção sobre o eixo acompanhando 
ou não seu sentido positivo, ou, o que 
dá no mesmo, verificando, pela regra 
da mão direita, se a rotação da força 
em torno do eixo dá um momento no 
sentido positivo ou negativo do eixo. 
Levando-se em conta a propriedade 2.2.1.2 deste tópico, podemos definir 
-+ 
o momento de uma força F em relação a um eixo como sendo a projeção, 
sobre esse eixo, do momento desta força em relação a qualquer ponto desse 
eixo. 
Observações: a) Calculemos o momento de uma força em relação a 
um eixo que lhe seja coplanar, conforme indica a Fig. I-6: O momento iii. 
desta forca em relação a um ponto genérico O deste eixo, sendo dado 
- ~ ~ -+ por m = OM Ar, é perpendicular ao plano P definido pela força F e pelo 
eixo r. Sua projeção sobre r será. então, nula. 
Podemos, pois, afirmar que o momento de uma força em relação a um 
eixo que lhe seja concorrente ou paralelo é nulo (nos dois casos a força e o 
eixo são coplanares). Esta propriedade será de grande importância no nosso 
estudo. 
Conceitos fundamentais 7 
z 
Fig. l~ Fig. l-7 
b) O momento resultante de um sistema de forças coplanares em relação 
a qualquer ponto situado no plano destas forças será sempre perpendicular 
a este plano, pois, a partir da observação anterior, imaginando ser este plano 
o que contém os eixos x e y, teríamos Mx = My =O e o momento resultante 
... ... . 
m ficaria dado por 11\ = M, k, sendo z o eixo perpendicular ao plano das 
forças, conforme indica a Fig. 1-7. Usaremos esta propriedade no estudo das 
estruturas planas, carregadas no próprio plano. 
e) O módulo do momento resultante de uma força em relaçãoa um eixo 
pode ser obtido diretamente, sem ser necessário calcular o momento resul-
tante para, após, achar sua componente na direção do eixo: 
z 
Fig. l-8 
Seja calcular o momento..., da f~ça F em relação ao eixo z. A força F pode 
ser decomposta nas forças F 1 e F 2 indicadas na Fig. 1-8, a primeira paralela 
ao eixo z e a segunda situada num plano P a ele perpendicular. A componente 
8 Curso de análise estrutural 
... F 1 • por ser paralela a z. não dará momento cm relação a este eixo. sobrando ~ . 
apenas o da componente F 2 • cujo módulo é igual ao do momento desta 
força em relação ao po.iito O em que o eixo intercepta o plano P. O módulo 
do momento da força F em relação ao eixo z será. então. igual a IM1 1 = F 2d = 
= Fd sen a, sendo d a menor distância do suporte da força F ao eixo z. 
conforme indica a figura (no caso. o momento será positivo, pela regra da 
mão direita). Podemos afirmar. então, que o módulo do momento de uma 
força em relaçlo a um eixo é igual ao produto do módulo da força pela menor 
di!>tància entre a reta suporte da força e o eixo e pelo seno do ângulo 
formado pela força e o eixo: seu sinal é obtido pela regra da mão direita. 
definida anteriormente. 
A aplicação seguinte esclarecerá. 
Ex. 1.1 - Calcular os momentos Mx. M1• e M, em relação aos eixos x. y e z, ~ -+ 
da força F, de origem no ponto A (1, 4, 0). direção e sentido do vetor AB e 
cujo módulo, em toneladas. é ip.ual ao módulo da distância AB. Verificar, a 
partir de sua definição. que o momento ii1 da força F em relação ªº ponto o é 
dado por: 
.. + + + 
m =Mxi+M_.,j+M1 k. 
8(4,0,4) 
z 
t 
.,-+-----
/. . / 
/ 1 1 / / . . / 
--+--+---( 
; . . 1 
·--v 
.-""'--+---~ A(1,4,0) 
Fig. 1-9 
~ P1a Fi&+ 1-9t.Jlodemos ver que a força F pode ser expressa pela igualdade 
F = F 1 + F2 + F 3 , em que cada uma destas últimas forças é paralela a um 
dos eixos coordenados. Calculemos os momentos de cada uma delas em 
relação aos eixos x, y e z. 
Temos: Para a força F 1 : Mx = O (F1 é paralela a Ox) 
My = O (F1 é concorrente com Oy) 
M1 = - 4 X F 1 = - 12 mt 
Conceitos fundamentais 9 
Para a força F 2 : Mx = O (F2 é concorrente com Ox) 
My =O (F2 é paralela a Oy) 
M7 = - 1 X F2 = - 4 mt 
Para a força F 3 : Mx = 4 X F 3 = 16 mt 
My = - 1 X F 3 = - 4 mt 
M1 = O (F3 é paralela a Oz) 
-+ Os momentos da força F em relação aos eixos x, y e z serão, então, por 
superposição de efeitos: 
M1 = - 12 - 4 + O = - 16 mt {
Mx =O+ O+ 16 = 16 mt 
My = O + O - 4 = - 4 mt 
... -+ 
Calculemos o momento m da força F em relação ao ponto O: 
-+ + + + 
Temos: F = (B - A)= 3i - 4j + 4k e então: 
+ + + ; j 
-+ -+ 
k 
+ + + m '"'OA /\. F = 1 4 o 
4 
= 16i - 4j - 16k 
3 
- 4 
valor este que já sabíamos a priori, a partir dos valores já calculados para 
Mx, My e M1 • 
Observs o leitor a enorme simplicidade com que calculamos os momentos 
da força F em relação aos eixos x, y e z, trabalhando com suas componentes 
nas direções dos 3 eixos coordenados (não foi necessário calcular menor 
distância entre a reta AB e cada um dos eixos nem os senos dos ângulos 
-+ 
formados por F com cada um dos eixos, porque não trabalhamos diretamente 
-+ 
com F'). Tal procedimento deve ser sempre empregado, a fim de simplificar 
a resolução numérica dos problemas. 
2.2.1.4 - Um sistema de duas forças paralelas, de mesmo módulo e sen-
tidos opostos, conforme indicado na Fig. 1-10, tem a propriedade de possuir 
momento constante em relação a qualquer ponto do espaço, senão vejamos. 
O momento das duas forças F em 
relaçãb ao ponto genérico O será da- o F 
do por: m = OM'/\ F - OM /\ F = -- I 
=MM'/\ F independendo, portanto, - - - ... ---. _ -JM.---.F 
da posição de O. Dizemos, neste caso, ... _ 
que as 2 forças formam um binário, 
que é, conforme vimos, um invariante 
em relação a qualquer ponto do espa-
ço. Fig. 1-10 
10 Curso de análise estrutural 
2.3 - Redução de um sistema de forças a um 1><>nto. Conceito físico 
-+ 
Seja a força F indicada na Fig. 1-1 1.1. que queremos reduzir ao ponto O. 
isto 6, cujos efeitos em relação ao ponto O desejamos conhecer. 
... ... 
... 
F F F 
! / -+ <~ F - o 1. - o • . -;/ 
1-11.1 1-11.2 1-11.3 
Fig. 1-11 
Nada se alte!.ª· so~ o ponto de vista estauco, se acrescentarmos, no ponto 
O. duas forças F e (- F), conforme indicado em 1-1 l .2. Analisando o esquema 
-+ 
indicado nesta figura, podemos encará-lo como constituído por uma força F 
-+ -+ 
aplicada em O e pelo binário formado pelas forças (- F) aplicada em O e F 
4 - -+ aplicada em A, que pode ser ubstituido pelo momento m = OA 1\ F, que 
se confunde com o momento da força F em relação ao ponto O, conforme 
indica 1-11.3. Podemos. então. afirmar que, para reduzir um sistema de forças 
a um determinado ponto do espaço, basta transferir todas as forças para 
<'ste ponto, acrescentand1., para cada uma delas, seu momento em relação a es-
te ponto. 
Um sistema de forças é, então, redutível a uma resultante R e a um 
momento resultante m em relação a qualquer ponto O do espaço, nos casos 
mais gerais. iguais, respectivamente, à soma vetorial de todas as forças e à 
soma vetorial dos momentos de todas estas forças em relação ao ponto O. 
A resultante simboliza a tendência de translação do sistema e o momento 
resultante. sua tendência de rotação em. relação a um eixo passando por O. 
3 - CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, 
é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem 
rotação a este corpo. Como a tendência de translação é dada pela resultante 
-+ 
R das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer ponto, é dada 
pelo momento resultante m destas forças em relação a este ponto, basta que 
-+ 
estes dois vetores R e m sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio. 
A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, 
Conceitos fundamentais 11 
submetido a um sistema de forças, é que estas forças satisfaçam às equações 
vetoriais: 
( ~=o m = O ( 1. s) 
em que R é a resultante das rorças e m seu momento resultante em relação a 
qualquer 3 ponto do espaço. 
Levando-se em conta que: 
·~ + + + 
R = (l:X)i +(:E Y)j + (~Z)k 
~ + + + 
m = (l:Mx)i + ('f.My)i + (l:M1 )k, 
as 2 equações vetoriais de equilfbrio (l.5) podem ser substituídas. cada uma 
delas, por três equações escalares de equilíbrio, obtendo-se o grupo das seis 
equações (1.6), que sio as seis equações universais da Estática, regendo o 
equilíbrio de um sistema de forças, o mais geral. no espaço. 
r,x = o 
r, y = o 
!Z = o 
l:Mx = o (l.6) 
l:My = o 
l:Mz = o 
3 t lícito afirmar que. se para um dado ponto O do espaço temos R = O e ift = O, 
as mesmas igualdades se repetirão para todos os demais, senão vejamos. 
Seja um sistema de forças que, reduzido a 
um ponto ~ do espaço, nos forneceu uma 
resultante R e um momento resultante m , 
conforme indica a Fig. 1.12. Redul.indo es· 
tas solicitações p~a o ponto o·. teremos, 
por influência de R, o aparecimento de uma 
forçaRc de um momento dado porÕ'ÕAR, 
aplicados cm O'e, por influência do momen· 
to m. um momento adicional de ;;; em o· 
Gá que uma carga-momento, por poder ser 
substituída por um binário, é um invariante 
em relação a qualquer ponto do es~). 
No ponto O' temos, então, uma força R e 
um momcnto 1(;;; + O'Ô 1\ R). Logo, seR e O 
m forem nufos num dado pontu, tambl:m o 
serão para• todos os demais, assc~urando o 
cquilíbrid do conjunto d<' forças. 
-+ 
R 
13 
~ 
R 
O' 
l'ig. 1-12 
12 Curso de análise estrutural 
3.1 - Casos particulares importantes 
3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 
Seja o sistema de forças no espaço. concorrentes no ponto O, indicado na 
Fig. 1-13 
Fig. 1-13. Seu equilíbrio é, conformesabemos, ditado pelo grupo de equa-
ções (1.6). Por se tratarem de forças 
concorrentes no ponto O, as três úl· 
timas equações do grupo, que simboli· 
zam o momento resultante nulo, de· 
generam em meras identidades (pois 
uma força não dá momento em relação 
a um ponto situado sobre sua linha de 
ação), perdendo, pois, sua expressão 
como equações. Tal caso será, então, 
regido apenas pelas equações que ca· 
racterizam a resultante nula, ou seja, 
pelas equações (1. 7). 
{
:EX = O 
I: y = o 
EZ = O 
(1.7) 
Observaç6o: Este caso de sistema de forças ocorrerá no estudo do equilf. 
brio dos nós das treliças espaciais, conforme veremos no Cap. lV deste 
volume. 
3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 
Seja o sistema de forças paralelas no espaço indicado na Fig. 1-14. Por 
z serem todas as forças paralelas ao eixo 
• Oz, as equações EX = O, I: Y = O e 
l- 1 lf2 j I:~z =_O dheágeneram em idednti~ades, F1 I _ pois nao componentes e 1orças 1 F3 paralelas a um dos eixos coordenados nas direções dos dois demais, bem co· L - - - - -- Y mo não existe momento de uma força /o 
/ paralelo. Permanecerão válidas, então, 
/ 1 1 em relação a um eixo que lhe seja 
x / F; F.; como equações, as indicadas no grupo 
(1.8), que regerão o equilíbrio de um 
Fig. 1-14 sistema de forças paralelas ao eixo Oz. 
Conceitos fundamentais 
{ 
~Mx = O 
'f.My =O 
~.l = o 
13 
( 1.8) 
Observações: a) A equação r. Z =O pode ser substitufda por uma terceira 
equação de somatório de momentos nulo em relação a um 39 eixo t, situado 
sobre o plano xy, mas não-concorrente com estes 2 eixos em O, conforme 
indica a Fig. 1-1 S, senão vejamos: 
Se temos I:.Mx = r.My = O, isto 
nos garante que o sistema de forças 
não apresenta um momento resultante 
em relação ao ponto O (pois r. Mx = 
= 'E.My = 'E.Mz = O). Um sistema de 
forças paralelas, que satisfaça a estas 
duas primeiras condições, poderia ser 
apenas redutível a uma resultante pas-
sando por O; para indicar que esta 
resulhnte deve também ser nula, pode-
mos empregar a equação 'E. Z = O, já 
discutida anteriormente, ou uma equa· 
ção de somatório de momentos nulo 
Fig. 1-IS 
em relação a um eixo t não-concorrente com os eixos x e y em O. O grupo 
de equações (1.9) ,poderia ser. então. empregado para estudo do equiltbrio 
deste sistema de forças. em vez do grupo (1.8): 
{
'E.Mx =O 
I:.My = O 
'f.M1 = O 
(1.9) 
O equilíbrio de um sistema de forças paralelas no espaço pode ser estuda-
do, então, a partir de três equações de somatório de momentos nulo em rela-
ção a 3 eixos, não-concorrentes os três no mesmo ponto, nem paralelos os 
três entre si, e situados num plano perpendicular ao das forças (não existe 
obrigação de dois desses três eixos serem ortogonais, pois basta eles serem 
concorrentes num ponto e termos somiitório de momentos nulo em relação a 
eles, para podermos afirmar que o momento resultante é nulo em relação a 
esse ponto, recaindo-se no raciocínio que introduziu o grupo de equações 
1.9). 
b) Este tipo de sistema de forças será abordado em detalhe no estudo das 
grelhas, que se fará no Cap. V deste volume. 
14 Curso de anãlise estrutural 
3.1.3 - Sistema de forças coplanares 
Seja o sistema de forças situadas no plano xy indicado na Fig. 1-16. 
V+ 
1 
1 
1 
1 
1 
O L------------x 
Fig. 1-16 
As equações I: Z = O, "f, Mx = O e 
"f, Mv = O se transformam em meras 
identidades, pois sabemos que um sis-
tema de forças situado no plano xy 
não possui componentes na direção Oz 
nem dá momentos em relação aos eixos 
x e y, por lhe serem coplanares. Per-
manecem, então, válidas como equa-
ções as duas outras equações de proje-
ções "f, X = O e r, Y = O e a outra 
equação de somatório de momentos 
nulo "f.M1 = O (que, no caso, coincidirá com "f.mo =O, pois todos os momen-
tos terão a direção Oz). O grupo de equações (l.10) regerá, então, o equilí-
brio dos sistemas de forças coplanares: 
{ 
r.x =o 
~Y=O 
"f.Mo =O, 
(l. l O) 
sendo Mo o momento de cada uma das forças em relação a um ponto O 
inteiramente arbitrário, situado no plano das forças. 
Observaç<1es: a) As duas equações de projeções "f, X = O e "f, Y = O 
podem ser substituídas por duas equações de somat0rio de momentos nulo 
em relação a dois outros pontos O' e O" do plano xy, desde que O, O' e O" 
não sejam colineares, conforme indica a Fig. 1-17; ou por uma equação de 
somatório de momentos nulo em relação ao ponto O' e outra de somatório 
de projeções nulo segundo um eixo t que não seja perpendicular a 00', 
conforme indica a Fig. 1-18: 
/ 
/ 
O' / 
/ 
//1 F; 
o/ t 
/ ~ 
Fig. 1-17 
O' 
/'/ 
/ 
• O" 
t 
Fig. 1-18 
Conceitos fundamentais 15 
De fato, se temos Mo = O e Mo· = O, isto quer dizer que a 11nica possibi-
lidade do sistema de forças não estar em equilíbrio seria a dele ser redutível 
a uma resultante cuja linha de ação fosse 00 '; para amarrar o valor nulo 
dessa resultante, podemos empregar ou uma equação de somatório de momen-
tos nulo em relação a um ponto O", situado fora da reta 00 ', ou uma equação 
de somatório de projeções nulo em relação a um eixo t que não seja per-
pendicular à reta 00'. Sendo assim, as equações do grupo (l.11) (referindo-se 
ao esquema da Fig. 1-17) e do grupo (1.12) (referindo-se ao da Fig. 1-18) 
podem, também, ser empregadas para reger o equilíbrio dos sistemas de forças 
coplanares: 
{ 
T.Mo = O 
T.Mo· = O 
'f.Mo" = O 
(l.11) {
'f.Mo = O 
'f.Mo· = O 
'f.T = O 
(l.12) 
b) O caso de sistema de forças coplanares é o mais freqüente na Análise 
Estrutur.tl, pois a grande maioria das estruturas que se nos apresentam são 
estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu próprio plano. 
c) Abordaremos, agora, dois casos particulares dos sistemas de forças 
coplanares, que são o caso de todas as forças serem concorrentes num mesmo 
ponto O, conforme indi1.a a Fig. 1-19, e o de todas as forças serem paralelas 
entre si, conforme indica a Fig. 1-20. 
y 
t 
o 
1 
1 
1 
1 
1 /,,-o· 
1 /_ :;é 900 ~l\..°'----~ X 
Fig. 1-20 
Para o caso da Fig. l-19, em que todas as forças passam pelo ponto O, a 
equação "!:,Mo = O perde, evidentemente, a expressão, transformando-se nu-
ma identidade. Pennanecem apenas, então, as duas equações de projeções 
T.X = O e 'f, Y = O que regerão, pois, o equilíbrio de um sistema de forças 
coplanares e concorrentes num mesmo ponto (este será o caso do estudo do 
equilíbrio dos nós de uma treliça plana, conforme veremos no Cap. IV 
deste volume). 
16 Cuno de anãlise estrutural 
Para o caso ·da Fig. 1-20, em que todas as forças sao paralelas ao eixo 
Oy, perde a expressão a equação ~X= O que se transfonna em mera identi-
dade, permanecendo válidas como equações I: Y == O e I:Mo =O, que rege-
rão o equilíbrio de um sistema de forças paralelas e coplanares. A equação 
I: Y = O pode ser substituída por uma equação de somatório de momentos 
nulo em relação a um 2P ponto O', desde que a reta 00' não seja paralela à 
direção das forças (pois, caso o fosse, restaria a possibilidade do sistema ser 
redutível a uma resultante passando por esta reta). O caso de um sistema 
de forças paralelas no plano ocorre no estudo das vigas, que será feito, em 
detalhe, no Cap. II deste volume. 
Resumindo:- um sistema de forças coplanares e concorrentes é regido pe-
lo grupo de equações (1.13), a seguir: 
( 
I:X =O 
I: y =o (1.13) 
- um sistema de forças coplanares e paralelas é regido por um dos dois 
grupos de equações (U4 ou 1.15), a partir do esquema da Fig. 1-20: 
[
l;Y=O 
'E.Mo= O (1.14) ( 
"í:.Mo = O 
I:Mo· = O 
4 - GRAUS DE LmERDADE. APOIOS. ESTATICIDADE 
E ESTABILIDADE 
4.1 - Graus de liberdade 
(I.15) 
Já sabemos que a ação estática de um sistema de forças no espaço, em 
relação a um dado ponto, é igual à de sua resultante eà de seu momento 
resultante em relação àquele ponto; provocando, a primeira, uma tendência 
de translação e, o segundo, uma tendência de rotação. Como, no espaço, uma 
translação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogo-
nais e, uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em torno 
de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 
6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 eixos triorto-
gonais). 
~ evidente que· estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de 
modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possí-
vel seu equilíbrio. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as 
diversas tendências p0ssíveis de movimento, através do aparecimento de 
reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que 
Conceitos fundamentais 17 
eJes impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações 
de apoio se opori'o às cargas aplicadas ii estrutura, formando este conjunto de 
cargas e reações um sistema de forças em equilíbrio, e regidas, portanto, pelos 
orupos de equações deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de 
sistemas de forças que podem ocorrer na prática. 
4.2 - Apoios 
A função dos apoios, conforme vimos em 4.1, é a de restringir graus de 
liberdade das estruturas, despertando com isto reações nas direções dos 
movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do nllmero de 
graus de liberdade permitidos (ou do número de movimentos impedidos), po· 
dendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, podendo permitir S, 4, 3, 2, 1 
ou nenhum grau de liberdade). Os exemplos seguintes esclarecerão. 
a) Seja o apoio representado na Fig. 1-21, em que temos a estrutura 
apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O único movimento 
que ela será capaz de impedir é a translação na direção vertical Oz, aparecendo 
com isto uma reação Rz agindo sobre a estrutura, conforme indica a· 
Fig. 1-21. O apoio será dito, então, um apoio com S graus de liberdade (ou 
com 1 movimento impedido). 
~ 
X 
~ z 
1 
1 ' 
J----
~/ • V 
Fig. 1-22 
Fig. 1-21 
b) Seja, agora, o apoio <la Fig. 1-22, constituído por três esferas ligadas 
entre si por três hastes, de modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam 
18 Curso de anãlise estrutural 
impedidas. no caso. além da translação na direção;:. as rotações em torno dos 
eixos x e y. O apoio será dito. então, um apoio com 3 graus de liberdade 
(que são. no caso. a rotação em torno do eixo Oz e as translações nas direções 
dos eixos Ox e Oy) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão. agindo 
sobre a estrutura, as reações M.'C• M.v e Rz indicadas na figura. 
c) O esquema da Fig. 1-23 representa a ligação rígida entre a estrutura e 
seu apoio. de dimensões tão maiores que as da estrutura, que podem ser consi-
deradas infinitas em presença daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos 
os movimentos possíveis. sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou 
com todos os movimentos impedidos). Correspondendo a cada um dos movi-
mentos impedidos. aparecem, agindo sobre a estrutura, as reações Rx. R Y· Rz. 
Mx. M.v e Mz indicadas na figura. Este tipo de apoio é chamado engaste. 
+z 
1 
1 
1 
Apoio 
---,,,,.,,, V --------~ 
" X 
fig. 1-23 
4.2. l - Estruturas planas carregadas no próprio plano. 
Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o 
mais freqüente da Análise Estrutural. existem 3 graus de liberdade a combater, 
senão vejamos. 
-+ tv 
-+ 
F1 1 
~ 
L-------" o 
Hg. 1-24 
Supondo a estrutura situada no pla-
no xy. conforme indica a Fig. 1-24. os 
graus de liberdade a combater são as 
translações nas direções Ox e Oy e a 
rotação em torno de um eixo perpen-
dicular ao plano (no caso, Oz), pois 
estas são as únicas tendências de movi-
mento capazes de serem produzidas 
pelo sistema de forças indicado. 
Conceitos fundamentais 19 
São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: 
a) Apoio do 1 P gênero ou clrarrivt 
p 
L--~2~~~ 
1-25.1 1-25.2 
Fig. 1-25 
1-25.3 
O apoio do 1 P gênero pode ser obtido por uma das duas formas represen-
tadas nas Figs. 1-25. 1 e 1-25.2; na primeira, temos a estns.tura apoiada so-
bre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamento na direção y, 
permitindo livre rotação em torno dele, assim como livre deslocamento na 
direção x; na segunda, a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a 
translação, na direção x, pelos rolos diretamente em contato com o plano 
• que serve de apoio, continuando impedido o deslocamento na direção y. 
Representaremos esquematicamente, em nosso Curso, o apoio do 19 gênero 
pela forma indicada na Fig. l-25.3. Na direção do únlco movimento impedido, 
aparecerá uma reação de apoio R, conforme indica 1-25.3. 
b) Apoio do 2P gênero, articulação ou rótula 
V 
• 1 H 1 H 
L_._. 
---;-nA/// ~m X Pino 
t V tv 
1-26.1 1-26.2 1-26.3 
Fig. 1-26 
Se, no apoio da Fig. l-25.2, substituirmos os rolos por uma chapa presa 
completamente ao plano.suporte, conforme indica l-26.1. estaremos impedin-
do todas as translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotação. 
assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de 
restringir todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2P 
gênero. Ele será representado esquematicamente, em nosso Curso, por uma 
20 Cuno de anãli1e estrutural 
das 2 formas indicadas em l-26.2 e 1-26.3. Na direção das translações impe-
didas, aparecerio as reações H e V indicadas na figura, cuja composição 
vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do 29 gênero. 
Observação: Nio somos obrigados a decompor a reaçio de apoio resul-
tante em direções ortogonais4 , conforme fü.emos na Fig. l-26; podemos 
decompô-la em duas direções quaisquer (nio-paralelas, evidentemente), a 
partir das quais obteremos a reação resultante. Escolheremos sempre o ca-
minho que mais simplifique o c4lculo das reações de apoio. 
c) Apoio do 39 gênero ou engaste 
• y 
1 
1 
L---"' 
1-27.1 
EstNtura 
Pls- 1-27 
1-27.2 
Se ancorarmos a estrutura num bloco de dimensões que possam ser 
consideradas infinitas em presença das dimensões da estrutura, conforme 
indica a Fig. 1-27.1, na seçio de contato entre ambos o bloco estará impe-
dindo, por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura e 
dizemos entlo que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado, es-
quematicamente, da forma indicada em 1-27.2, aparecendo, na direção de 
cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações 
de apoio H, V e M indicadas. 
4.2.2 - Cálculo das reações de apoio 
Definidos os apoios, o cálculo de suas reações é imediato, pois elas são 
forças (ou momentos) de ponto de aplicação e direçio conhecidas e tais que 
equilibrem as cargas aplicadas à estrutura. Serio calculadas, então, a partir 
das equações de equilíbrio instituídas no item 3 deste capítulo. Os exemplos 
seguintes esclarecem. 
4 Ver explicação para esta observação no item 4.1 do Cap. III. 
Conceitos fundamentail 21 
Ex. 1.2 - Calcular as reações de apoio para a estrutura da Fig. 1-28. 
8t 
B 
+smt 4t 
e -1 
1 3m 
1 D -+ 
1 T 3m 
A ---+---i--+ 
~4m+4m~ 
Fig. 1-28 
Aplicando nos apoios do 2P gênero A e do 19 gênero D suas reações, nas 
direções que já conhecemos, e arbitrando para elas um sentido, conforme 
indica a Fig. 1-29, teremos, a partir das equações de equilíbrio 1.10, que 
regem o equilíbrio de um sistema de forças coplanares: 
Por :tMA = O: 
Por :tY = O: 
Por :tX = O: 
6t 
Bmt~ 
__.,.4t 
Pil- 1-29 
8VD + 8 - 6 X 4 - 4 X 6 =O :. VD = Sf 
VA + VD = 6 :. VA = tt 
HA = 4t 
Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para 
as forças.Caso tivéssemos encontrado algum sinal negativo, isto quereria dizer 
que o módulo da reação seria o encontrado, e o sentido correto o inverso do 
arbitrado, nlo sendo necessário refazer qualquer cálculo. 
22 Curso de anêlise estrutural 
Ex. 1.3 - Calcular as reações de apoio no engaste A <la estrutura espacial 
Ja ~ig. 1-30. cujas barras fonnam. em todos os nós, ângulos de 90º. 
r 
4m 
t5t 4t 1 --2! 7 t D ~ 
2t e e "' 
- -----1! 
{J 
1 
A 1 
' 1 
,j.- Jm ---,j<. 
Fig. 1-30 
Como um engaste impede todos os movimentos possíveis, nele aparecerão 
as reações de apoio indicadas na Fig. 1-31, que serão calculadas a partir do 
grupo de equações 1.6 que regem o equilíbrio de um sistema de forças no 
espaçc- Teremos: 
Por LX = O: 
Por l: y = O: 
Por LZ = O: 
Por r.Mx =O: 
Por r.My =O: 
Por "t.Mz = O: 
.z 
1 
1 
1 
2t 1 
--- .-----/1t 
Fig. 1-31 
XA = 1 t 
YA = -1 t 
111 = -1 t 
<Mx)A +2X4-4X3+5X3-3X4=0 
.. <Mx)A = 1 mt 
(M,.)A - 1 X4+5X2=0 (~1,)A = -6 mt 
Wz>A +I X3-3X2=0 (Mz )A = 3 mt 
Conceitos fundamentais 23 
As reações de apoio no engaste A são, então, as indicadas na Fig. 1-32. 
A T ___ 1t ... _ ... s_mt ~ .. .. 
1Y ~1t ,,, 
i 3mt 
Fig. 1-32 
Observações: a) Nlo exercitaremos mais profundamente, agora. o cálculo 
das reações de apoio porque este assunto será retomado, ao longo de todo 
este volume, para cada um dos tipos estruturais que estudaremos. 
b) Os apoios são os vínculos externos da estrutura, isto é, seus vínculos 
em relação a seus suportes (solo ou. outra estrutura). Podem existir. também. 
vínculos internos nas estruturas; preferimos não apresentá-los já. a fim de 
nlo confundir o leitor principiante com um excesso de conceitos novos, 
deixando para defini-los nos próximos capítulos, quando aparecerão de rorma 
espontânea. 
4.3 - Estaticidade e Estabilidade 
Acabamos de ver que a função dos apoios é limitar os graus de liberdad~ 
de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: 
a) Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número 
de equações de equihbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas= número 
de equações), chegando-se a um sistema de equações determinado que 
resolverá o problema. (Foi o caso dos exemplos 1.2 e 1.3 anteriores.) 
Diremos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de 
equilíbrio estável. 
b) Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, che-
gando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estmtura 
será dita hipostática e será, então, instável. (Pode ocorrer uma situação de· 
carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de 
liberdade que os apoios nao forem capazes de impedir; será, então, um 
24 Curso de anãlise estrutural 
caso de equilíbrio, mas de equilíbrio insüvel, pois qualquer que seja a 
defonnaça:o imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína). 
As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. 
c) Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, 
conduzindo a um sistema indetenninado. As equações universais da Estática 
não serão, então, suficientes para a detenninação das reações de apoio, 
sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações, 
confonne veremos no Vol. li deste Curso. A estrutura será dita biperestática, 
continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, poderíamos dizer, um pouco 
impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável). 
Observações: a) A partir do exposto neste item, pode o leitor ser tentado 
a estabelecer o seguinte critério para classificar uma estrutura (sem vínculos 
internos) como externamente5 isostática, hipostática ou hiperestática: contar 
o número de apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de 
graus de liberdade da estrutura. Este critério é perfeito no caso das estruturas 
hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas, fornece 
apenas uma condição necessária, mas não suficiente, conforme esclarecem 
os exemplos das Figs. 1-33 e I-34. 
A B e D e 
A A A A 
ª<lt- --x 
Fig. 1-34 
Fig. 1-33 
No caso da estrutura plana da Fig. 1-33 que, como tal, possui três graus 
de liberdade, temos um apoio do 29 gênero e um apoio do l Q gênero, dando 
um total de três reações de apoio a determinar. Isto sugeriria que a estrutura 
fosse isostática, fato que não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede 
translações nas direções Ax e Ay e o apoio B translação também na 
5 A razão desta palavra "ex temamente" será vista quando estudarmos, no Vol. li 
deste Curso, a determinação do grau h ipe restático de uma cstru tura. 
Conceitos fundamentais 25 
direção Ax. A rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, 
então, hipostática (embora aparentemente isostática). 
Analogamente, a estrutura plana da Fig. 1-34 é aparentemente hiperestá-
tica, pois temos três graus de liberdade para cinco reações de apoio a 
detenninar. Entretanto, é fácil ver que nenhum dos apoios impede a 
translação na direção ABCDE; com isto, a estrutura é hipostática (embora 
aparentemente hiperestática). 
Portanto, para classificar uma estrutura (sem vútculos internos) como 
externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o número de 
reações de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura; é 
necessário nos certificarmos também que os apoios restringem, de fato, 
todos os graus de liberdade da estrutwa em questão (com isto é que 
poderemos afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hipostática). 
Este assunto será retornado ao longo deste volume, no estudo dos diversos 
tipos estrutw~ que serio abordados. 
b) As estruturas isostáticas serão estudadas neste volume, ficando o 
estudo da Hiperestática para os Vols. II e Ili deste Curso. 
5 - ESFORÇOS SIMPLES 
Já vimos como um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra 
seu equilíbrio através das reações de apoio que provocam. Vejamos, agora, 
quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma 
das seções do corpo. 
Fig. 1-35 
I 
Para tal, consideremos o corpo representado na Fig. 1-35, submetido ao 
conjunto de forças em equilíbrio indicadas (não importa quais são as forças 
aplicadas e quais as reações de apoio; importa, sim, que elas constituam 
26 Curso de an61ise estru1Ural 
wn todo em equilíbrio). Seccionemos o corpo por um plano P, que o 
intercepta segundo wna seção S, dividindo-o nas duas partes @ e @ 
indicadas nas Figs. 1-36.1 e 1-36.2. 
1-36.1 1-36.2 
Pi1- l-36 
Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, 
basta que apliquemos, na seção S da parte @, um sistema estático equi-
valente ao das forças que ficaram na parte da direita - já que estas últimas 
podem ser encaradas como sendo as forças tais que equilibram as forças 
situadas na parte da esquerda, pois o conjunto de forças da esquerda e da 
direita está em equilíbrio - e, analogamente, na seção S da parte @, 
wn sistema estático equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. 
Esses esquemas estáticos equivalentes são obtidos, evidentemente, reduzindo 
as forças à esquerda e à direita da seção S a um ponto qualquer situado 
nesta seção S. Este ponto, pelas razões que ficarão claras quando do estudo 
da Resistência dos Materiais, será sempre o centro de gravidade G da seção. 
Assim, teremos, reduzindo as forças situadas na parte @ ao ce...!1tro de 
gravidade G da seção S da parte @. o aparecimento da resultante R destasforças e de seu momento resultMte m em relação ao ponto G. Reduzindo 
as forças situadas na parte @ ao centro de gravidade G da seção S da 
~ ~ 
parte D, obteremos uma resultante R e um momento resultante m de 
mesmo módulo e sentidos opostos aos encontrados pela redução das forças 
situadas na parte @ ao ponto G, o que é evidente, pois, no 1 Q caso, R 
e m. r~resentam um sistema estático equivalente às forças existentes na 
parte <!?) e, no 2Q caso, wn sistema equivalente às forças existentes na 
parte @. que se equilibram, o mesmo acontecendo, então, com os 
vetores R e m indicados em 1-36.1 e 1-36.2. 
~ 
Reswnindo, a resultante R que atua na parte da esquerda foi obtida 
pelas forças da direita, e vice-versa; o momento resultante m que atua 
na parte da esquerda foi obtido pelas forças da direita, e vice-versa. 
Conceitos fundamentais 
Podemos, então, dizer. que uma seção S de um corpo em equilíbrio 
.... .... 
está, em equilíbrio, submetida a um par de forças R e (-R) e a um par 
de momentos m e (-m), aplicados no seu centro de gravidade e resultantes 
da redução, a este centro de gravidade, 
das forças atuantes, respectivamente, 
à esquerda e à direita da seção S. 
Na Fig. 1-37 está feita esta represen-
tação, respeitando-se os sentidos indi-
cados na Fig. l-36, para um elemento 
do corpo de comprimento infinitesimal 
que contém a seção S como seção 
transversal. Fig. 1-37 
R 
.... 
Façamos um estudo detalhado dos efeitos estáticos provocados por R 
e m na seção S. 
1-38.1 1-38.2 
Fig. 1-38 
~ -Decompondo os vetores R e m em duas componentes, uma perpendicular 
à seçao S (tendo, portanto, a direção do eixo da barra, que representaremos 
sempre oor x) e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as 
""" ~ -forças N (perpendicular a S) e Q (pertencente a S) e os momentos T (perpen-
++ 
dicular a S) e M (pertencente a S). Façamos a análise de cada um desses 
vetores, aos quais chamaremos esforços simples atuantes na 9CÇâo S. 
(Observação: Pelo exposto, vemos que é indiferente calcular os esforços 
simples atuantes numa seção, entrando com as forças da parte à esquerda 
ou da parte à direita da seção. Na prática, usaremos as forças do lado que 
nos conduzir ao menor trabalho de cálculo.) 
.... 
a)N 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das 
.... 
forças N será a de promover uma variação da distância que separa as seções, 
permanecendo as mesmas paralelas uma à outra6 , confonne indica a 
6 0 estudo do valor desta variação de distincia é feito na Resistência dos Materian. 
28 Curso de anAlise estrutural 
Fig. 1-39.2. Por acarretar, então, urna tendência de movimento da ~ção 
normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chamaremos a N de 
esforço normal atuante na seção. Podemos, então, definir esforço nonnal 
atuante numa aeçio como sendo a soma algébrica das componentes, na 
direção normal à seção, de cada uma das forças atuantes de wn dos lados 
desta seção. O esforço normal será positivo quando de tração (isto é, 
quando tender a afastar duas seções infinitamente próximas ou, em linguagem 
mais simples, quando estiver "saindo" da seção), sendo negativo em caso 
contrário (caso da compressao ). 
1-39.1 
A 
r 
1 
_, 
-1 
N 1 
L 
Fig. 1-39 
1 
1 1 ___ 
IN 
1 
J 
1-39.2 
Observação: O sentido de esforço normal representado na Fig. 1-39 é 
o positivo, isto é, o de traçílo. 
-+ 
b) Q 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das duas 
forças Q é a de promover um deslizamento relativo de urna em relação à 
outra, conforme indica a Fig. 1-40.2, aparecendo, então, uma tendência de 
-+ 
corte. Por esta razão, Q é chamada de esforço cortante. 
d1 
H 
1-40.1 1-40.2 
Fig.1-40 
Definhnos, então, esforço cortante atuante numa leÇio como 1e11do igaa1 
à llOlll8 vetorial das componentes, sobre o plano da 1eçio, das folÇBI 
situadas de um dos lados desta aeção. 
Conceito• fundamental• 29 
Não é usual, entretanto (por requerer uma soma vetorial), calcular direta-
mente o esforço cortante atuante na seção; preferimos calcular suas compo-
nentes Qy e Qz segundo 2 eixos ortogonais y e z arbitrários, situados no 
plano da seção, confonne indica a Fig. 1-41, pois que, para efetuar tal 
cálculo, basta efetuar uma soma algébrica de projeções, o que é bem mais 
cômodo que wna sorna vetorial. 
Fig.1-41 
---~ V 
Assim sendo, podemos defmir esforço cortante atuante nwna seção, na 
direção de um eixo pertencente a esta seção, como sendo igual à soma 
algébrica das projeções das forças situadas de um dos lados da seção 
segundo a direção deste e~o. Orientando os eixos y e z nos sentidos 
arbitrários indicados na Fig. l-42 (o eixo x tem sempre a direção normal 
à seção), diremos que um esforço cortante Qy ou Qz é positivo quando, 
calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido 
positivo dos eixos y e z ou, o que dá no mesmo, quando for calculado 
pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao 
sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, diremos que o esforço 
cortante é negativo. 
z 
z 
y 
Fig.1-42 
30 Curso de anAlise estrutural 
A razão desta conwnção de sinais ficará clara no desenvolvimento dos 
demais capítulos deste volume, de modo que, por ora, não faremos maiores 
comentários sobri: ela. 
Obseri·ação: Note o leitor que os sinais obtidos para os esforços cor-
tantes QI" e O: são função dos sentidos que arbitramos para os eixos JI e z. 
Conhecidos Q,, e Q:. o esforço cortante resultante na seção é imediatamente 
obtido a partir do esquema da Fig. 1-41. 
-e) T 
Fig. 1-43 
Representando Juas seções infinita-
mente R'"óximas. a tendência do mo-
mento T é a de promover uma rotação 
relativa destas duas seções em torno 
de um eixo que lhes é perpendicular, 
passando pelo seu centro de gravidade 
(eixo x. portanto). Podemos dizer, em 
linguagem simplista. que o momento f 
está torcendo a peça e ele é, pois, 
denominado momento torçor atuante 
na seção. 
Defmimos, então, momento torçor atuante numa seção S como sendo 
a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta 
seção em relação ao eixo nonnal à seção qué contém o seu centro de 
gravidade. 
A convenção de sinais que adotaremos para o momento torçor é inteira-
mente análoga à do esforço nomul. Diremos que um momento torçor é 
positivo quando o vetor de seta dupla que o representa está como que 
tracionando a seção em questao, sendo negativo em caso contrário (no caso 
da Fig. 1-43, o momento torçor indicado é positivo). 
d)M 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do mo-
mento M. conforme a regra da mão direita, é a de provocar uma rotação 
da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano. 
Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos que o 
~ 
efeito de M pode ser assimilado ao do binário indicado na Fig. 1-44.2, 
que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção 
e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então 
fletida, sendo, por isto, denominado M de momento fletor. 
Conceitos fundamentais 31 
1-44.1 
1~4.2 
Fig. 1~4 
Definimos, então, como momento tletor atuante numa seção, à soma 
vetorial das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas 
as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de 
gravidade. 
Não é usual, entretanto, por requerer uma soma vetorial, calcular direta-
mente o momento fletor atuante numa seção; preferimos calcular suas 
componentes M,. e Mz segundo 2 eixos ortogonais arbitrários (os mesmos 
adotados para Ó cálculo de Q v e Qz) y e z, situados no plano da seção, 
conforme indica a Fig. 1-45, pÓis que, 
para tal cálculo, basta efetuar uma z • 
soma algébrica de valores, ao invés de 
umasoma vetorial. Conhecidos My e 
M1 , a obtenção de li é imediata, a 
partir do esquema da Fig. l-45. Assim 
sendo, definimos momento fletor atu- - - -- V 
ante numa seção, na direção de wn 
eixo pertencente a esta seção e que 
contém o seu centro de gravidade, 
como sendo a soma algébrica dos 
momentos das forças situadas de wn Fig. 1-45 
dos lados desta seção em relação a 
esse eixo. 
Para o momento fletor, desejamos sempre conhecer que fibras estão 
tracionadas e que fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de 
concreto armado, por exemplo, sabermos de que lado devemos colocar as 
barras de aço, que são o elemento resistente ã tração). Não terá, então, 
sentido físico algum estabelecermos uma convenção de sinais baseada em 
orientação dos eixos y e z, de modo que não agiremos desta forma, 
preferindo calcular o módulo do momento fletor, acrescendo-o da infor-
mação de que fibras ele traciona (para obter que fibras da seção estão 
tracionadas pelo momento em questão, basta substitui-lo por um binário 
32 Curso de anãlise estrutural 
de mesmo sentido que ele, ficando a parte tracionada definida pela força 
do binário que tiver o sentido de tração). Assim, para o caso da Fig. l-45, 
o momento M: traciona as fibras do lado esquerdo da seção (em perspec-
tiva, na Fig. 1-46.1, correspondendo às fibras da frente) e o momento My 
traciona as fibras da parte superior, conforme se pode verificar pelo esquema 
da Fig. 1-46.:!. 
--Tr89lo 
-- Compr ... 10 
1-46.1 1-46.2 
flig. 1-46 
(As setas, nas figuras, indicam o sentido em que as fibras da seção 
tendem a se deformar.) 
Resumindo, podemos dizer que, numa seção .... atuam, no caso mais ger31 
quatro esforços simples: um esforço normal N, um esforço cortante Q 
(definido por suas componentes Qv e Qz~segundo 2 eixos ortogonais y e z 
pertencentes ao plano da seçãó ), 'um momento torçor r e um momento 
fletor M (definido por suas componentes My e M1 segundo estes mesmos 
eixos y e z ). Estes esforços simples são obtidos pelas forças atuantes de 
um dos lados da seção, trabalhando-se, em geral, com aquele que conduzir 
ao menor trabalho de cálculo numérico. 
Ex. 1.4 - Obter os esforços simples atuantes na seção S indicada para a 
estrutura da Fig. 1-4 7, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. 
T s 
Sm 
L Fig. 1-47 
Conceitos fundamentais 33 
Entrando, no caso, com as forças situadas à direita da seção (o que é 
muito mais simples, pois, se quiséssemos entrar com as forças da esquerda, 
teríamos que fazer o cálculo prévio das reações de apoio no engaste A), 
obtemos, reduzindo-as à seçlo S, os esforços indicados na Fig. 1-48. 
z 
• 1 
14t A'y ,,. ,,. 
'\._,,,,,, 
4x3-12mt 
4 e ---~X 
2t 
1x2+2x3-=Bmt 
Fig. 1-48 
A partir do esquema da Fig. 1-~ temos, levando em conta as definições 
e convenções de sinais dadas para esforços simples neste item, os esforços 
seguintes na seção S: 
Esforço nonnal: N = -2 t (comprime a seção) 
Esforços cortantes: Qy = -1 t (calculado pelas forças da direita tem o 
mesmo sentido que o sentido positivo 
de Oy) 
Qz = 4 t (calculado pelas forças da direita tem 
sentido oposto ao sentido positivo Oz) 
Momento torçor: T = -12 mt (o vetor de dupla seta está como que 
"comprimindo" a seção) 
Momentos fletores: My = 8 mt, tracionando as fibras superiores 
Mz = 8 mt, tracionando as fibras da frente. 
Observações: a) A identificação das fibras tracionadas pelos momentos 
My e Mz é imediata a partir dos binários equivalentes indicados na Fig. 1-49 
(as fibras tracionadas estio hachuradu). 
Tr8'1D 
---
1-49.l Pig. 1-49 l-49.2 
34 Curso de anãlise estrun:ral 
b) Pela composição vetorial de Q,. com Q: e de M,. com Mz podemns 
obter o esforço cortante Q e o momento resultante :fletor M resultantes 
atuantes na seção, que são iguais a: 
e M = .J M~. + M~ = g..J2 mt 
Não é usual, entretanto. fazermos este cálculo, pois trabalhamos diretamente 
com as componentes Q_, .• Q;:. My e Mz, conforme se verá no Cap. V deste 
volume e no Vol. II deste Curso. 
c) Recomendamos ao leitor, como exercício, refazer o cálculo destes 
esforços simples entrando com as forças do lado esquerdo (que são as 
reações de apoio no engaste). Chegar-se-á, evidentemente, aos mesmos 
resultados. 
d) Corno os cálculos de esforços simples são feitos para o centro de 
gravidade das seções, representaremos daqui para a frente as estruturas 
compostas de barras pelo seu eixo (lugar geométrico dos centros de gravidade 
das seções). 
S. l - Caso particular importante: estruturas planas carregadas no próprio 
plano 
Seja a estrutura representada na Fig. 1-50.1, que admite um plano P de 
simetria, estando todas as cargas aplicadas nesse plano. 
s 
r:--+----, 
1 s l 
1 1 
1 1 
1 1 
1 
/ \ 
1-50.1 1-S0.2 
Fig. 1-SO 
Destacando o traço da estrutura neste plano de simetria P, que contém 
o eixo da estrutura, obtemos o esquema representado na Fig. 1-50.2, em 
que a linha tracejada representa o eixo da estrutura. Trata-se, então,' de 
um sistema de forças coplanares, caso particular de um sistema de forças 
Conceitos fundamentais 35 
no espaço. Os esforços simples sao, então, um caso particular do caso do 
espaço e teremos, chamando xy ao plano da estrutura, os seguintes esforços 
nulos: My = O, T = O (pois ambos seriam momentos das forças situadas 
de um dos lados da seção em questão em relação a eixos situados no mesmo 
plano das forças, momentos estes nulos, confonne vimos em 2.2.13 -
observação a) e Qz = O (pois não há carregamento na direção z). Sobram, 
então N, Mz e Qy. que serio, respectivamente, o esforço normal, o 
momento fletor e o esforço cortante atuantes na seção em estudo. No 
caso da estrutura plana carregada no próprio plano, o momento Mz se 
confunde com o momento resultante M das forças situadas de wn dos 
lados da seção em relação ao seu centro de gravidade e é preferível 
representá-lo por uma curva que indica seu sentido de rotação, conforme 
mostra a Fig. 1-S 1, ao invés de um vetor de dupla seta, pois a curva 
pertence ao plano das cargas, ao passo que o vetor de dupla seta seria a 
ele perpendicular, o que nos obrigaria a representar uma terceira dimensão 
perpendicular ao plano. O momento fletor será definido, como sempre, 
pelas fibras que está tracionando. 
s S Ms 
1-51. I 1-51.2 
Fig. 1-51 
O esforço cortante Qy se confunde, também, com o esforço cortante 
resultante na seção (pois Qz = O) e representá-lo~os, então, por Q. Sua 
convenção de sinais é a mesna do caso do espaço, mas, apenas para evitar 
o grau de liberdade na escolha da orientação dos eixos, orientaremos o 
eixo y para cima 7 (a direção x é sempre a do eixo da barra em estudo) e 
podemos, então, dizer que o esforço cortante é positivo quando, calculado 
pelas forças da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas 
forças da direita, for voltado para baixo. 
Quanto ao esforço nonnal, nada há a acrescentar, valendo tudo que foi 
dito no caso do espaço tridimensional. 
Na Fig. 1-51, representamos os esforços simples M, N, Q, que podem 
atuar numa seção S de uma estrutura plana. Notar que os esforços indicados 
como atuando na parte da direita (Fig. J-51.2) foram calculados com as, 
7 Ver observação h deste item. 
38 Cuno de alise estrutural 
forças existentes na parte da esquerda e vice-versa. No caso da Fig. 1-51, 
os esforços cortante e normal indicados são positivos e o momento fletor 
traciona as fibras de baixo, conforme mostra o esquema da Fig. 1-52, em 
que substituúnos Ms por um binário equivalente, indicado em pontilhado. 
Ms 
---
:-:(1_@_\ 
-·-Filo 1-52 
Resumindo, podemos definir da maneira seguinte os esforços simples 
atuantes muna seçlo de uma estrutura plana, carregada em seu próprio 
plano: 
- Esforço normal: é a soma algébrica das projeçOes das forças atuantes 
deum dos lados da seção na direção do eixo da estrutura (direção normal 
à seção); 
- Esforço cortante: é a soma algébrica das projeções das forças atuantes 
de um dos lados da seção na direção perpendicular ao eixo da estrutura; 
- Momento fletor: é a soma algébrica dos momentos das forças atuantes 
de um dos lados da seção em relação a seu centro de gravidade. 
As convenções de sinais para esforço normal e esforço cortante já foram 
explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da infor-
mação de que fibras da seção ele traciona. 
Observações: a) Muitos autores, a fim de eliminar a necessidade de se 
escrever, com palavras, que fibras da seção o momento fletor traciona, 
adotam para ele a seguinte convenção de sinais: 
,------, 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
Fig. 1-53 
Pontilhando um dos lados da estru· 
tura, conforme indica a Fig. 1-53, dire· 
mos que o momento fletor é positivo 
quando traciona as fibras do lado 
pontilhado, sendo negativo em caso 
contrário. ~ uma forma, como se vê, 
de se dizer, através de um sinal, quais 
são as fibras tracionadas pelo momento 
fletor e que nós adotaremos também. 
No caso de todas as barras serem 
horizontais (caso das vigas, que estuda· 
remos no Cap. II) sÜporemos sempre 
Conceitos fundamentais 37 
que o pontilhado esteja do lado de baixo, isto é, suporemos positivo o 
momento fletor que tracionar as fibras inferiores da estrutura. 11 
Para as estruturas espaciais, não é interessante a adoção desses pontilhados, 
pois, devido ao fato de existirem momentos fletores em 2 planos distintos, 
seríamos obrigados a ponti1har 2 lados da estrutura, representação esta que, 
feita em perspectiva, poderia trazer o perigo de mn entendbnento errado 
no caso da perspectiva não ser suficientemente clara. Por esta razão é que, 
nas estruturas espaciais, preferbnos dizer, com palavras, quais são as fibras 
tracionadas pelos momentos fletores. 
b) Na fixação da convenção de sinais de esforços cortarues, falamos em 
forças da esquerda, em forças da direita e em orientação do eixo perpen-
dicular ao eixo da barra para cbna. No caso de mna barra vertical, poderíamos 
ficar em dúvida quanto a esta classificação. Tal problema é, no entanto, 
facilmente solucionável, bastando que nós olhemos a barra por uma posição 
tal que ela fique horizontal (até, no princípio, caso o leitor tenha dificuldades, 
aconselhamos que ele gire o papel até tomar a barra horizontal), recaindo-se 
então na situação de definição. 
Seja, por: exemplo, a estrutura da Fig. 1-54, submetida ao carregamento 
auto-equilibrado indicado, para a qual desejamos determinar o esforço 
cortante em S. Olhando a barra na posição indicada pelo observador O, a 
força P, aplicada em A, se comporta ccmo força à esquerda e o esforço 
cortante será P, para baixo, e igual, portanto, a Qs = -P (cortante para 
baixo pelas forças da esquerda é negativo). Note o leitor que é inteiramente 
indiferente o lado pelo qual olhamos para a barra: se estivéuemos olhando-a 
na posição do observador O', a, força P aplicada em A seria uma força â 
direita e o cortante, para cbna, calculado pelas forças à direita é negativo, 
com o que obteríamos o mesmo valor. 
O' 
8 
B 
p 
~A 
s 
e 
p 
D 
FIJI. 1-54 
As razões para isto ficarão claras a partir da discussão dos resultados da integração 
da equação diferencial ";,Y ~ -q, feita no Cap. li deste volume. 
38 Curso de anãlise estrutural 
Concluindo. para fins de obtenção de esforço cortante, devemos olhar 
cada uma das barras de uma posição tal que el. se comportem como 
horizontais, aplicando então a convenção de sinais já definida. 
Ex. l.S Obter os esforços simples atuantes nas seções S 1 e S 1 da 
estrutura da Fig. 1-55, submetida ao carregamento indicado. 
1
9t 
e S2 
,--T------1 e -f 
1 1 1 1 2m 
s, '---+--~---1 -+ 
1 1 1 1 2m 
~--_J ___ L ___ I o -+ 
1 1 -
9t 
A __ HA_t- __ 1 
___ -J_ 1 1 !Vo 2m 
vA}- 3m +am +3m-+ 
Fig. 1-55 
Para obtennos os esforços simples, necessitamos iniciahnente calcular as 
reações de apoio, indicadas na Fig. 1-55. A partir das equações de equilíbrio, 
temos: 
Por rMA =O: 
Por 1: Y = O: 
Por 1:X = O: 
9 X 2 + 9 X 6 - 9 Vo = O 
VA + Vn = 9 
HA = 9 t 
(Os sinais positivos encontrados índicam que os sentidos arbitrados para as 
reações na Fig. 1-55 estão corretos.) 
Temos, então: 
a) seção S 1 
Calculando pelas forças à esquerda, temos o esquema indicado na 
Fig. 1-56.1. a partir do qual, obtemos: 
Ns1 = -1 t (compressão) 
Qs1 =o 
Ms1 = + 18 mt (o sinal positivo indica que as fibras tracionadas são as do 
lado pontilhado, confonne indica a Fig. 1-56.2). 
Conceitos fundamentais 39 
@) 
s, 9-9-0 
f 1t 
1-56.2 
" 9x4 - 9x2=18mt 1-56.l Fig. 1-56 
Observação: Os esforços poderiam também ser calculados pelas forças 
da direita, obtendo-se os mesmos valores, evidentemente, conforme indica 
a Fig. 1-57. 
J 9-8=1t 
s, o 
·~8x9-9>t6=18mt 
~ 
u 
s, 1 j 
~j 
Fig. 1-57 
b) seção S2 
Calculando pelas !orças à esquerda temos, conforme o esquema da 
Fig. 1-58: 
Ns2 =O 
Qs2 = 1 t 
Ms2 = 21 mt 9-9=0 
---
1x3+9x6-9x4= 21mt 
r@ 
1t l 
Fig. 1-58 
40 Curso de an61ise estrutural 
Ex. 1.6 - Calcular os esforços simples atuantes na seção S da estrutura 
da Fig. 1-59. 
----- 10m ---~L.,.. 1 
Fig. 1-59 
Estando a estrutura submetida a um carregamento auto-equilibrado, as 
reações de apoio são nulas (pois não é necessária força adicional alguma para 
equilibrar o carregamento atuante) e os esforços simples na seção S, calculados 
pelas forças à esquerda da seção valem, a partir do esquema da Fig. 1-60: 
@) Ns = -2 ../2 = -.f2t 
I 
,/;;:-;' / ~ <::/,/ Qs = -2 -f- = -../Tt 
~I Ms = -8mt 
Fig. 1-60 
(Os sentidos dos esforços indicados na Fig. 1-60 estão corretos; os sinais 
são negativos em obediência às nossas convenções de sinais.) 
6 - CARGAS9 
Até agora, só lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos. 
Façamos, então, um estudo das diferentes leis de distribuição 'de cargas 
que podem ocorrer na Análise Estrutural. 
9 Estudaremos neste item a classificação das cargas apenas quanto à sua lei de 
distribuição. Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua ocorrência 
em relação ao tempo (cargas permanentes e cargas acidentais), nem quanto à forma com 
que carregam as estruturas (caJgas diretas e caJgas indiretas); este estudo será feito no 
Cap. VI deste volume. 
Conceitos fundamentais 41 
6.1 - Cargas concentradas 
Suponhamos uma roda de um caminhão descarregando uma reação P sobre 
uma ponte, conforme simboliza a Fig. 1-61. 
Esta reação P será descarregada ao 
longo da área de contato da roda com 
a ponte, que é bastante pequena (ca-
racterizada por a), mas não nula. Não 
haverá, então, a aplicação, rigorosa-
mente falando, de uma carga concen-
trada P na estrutura; haverá, sim, a 
aplicação de uma carga distribuída, 
mas segundo uma área tão pequena 
que podemos considerá-la nula em 
presença das dimensões da estrutwa. 
p 
~ 
• 
Fig. 1-61 
As cargas concentradas são, então, uma forma aproximada de tratar 
cargas distribu idas segundo áreas tão pequenas (cm presença das dimensões 
da estrutura), que podem ser consideradas nulas. Neste caso, o erro cometido, 
por esta razão, é absolutamente desprovido de significado e, portanto, 
inteiramente tolerável, tendo em vista a simplificação de trabalho de cálculo 
que ele possibilita. 
6.2 - Cargas distn"bufdas 
Suponhamos que a estrutura @, indicada na Fig. 1-62, suporte o corpo 
@ indicado, cujo peso específico é 'Y. Este peso introduzirá, evidentemente, 
um carregamento na estrutura@, carregamento este distribuído e contínuo, 
cuja taxa de distribuição vamos calcular . 
.J...J.. ds 
Fig. 1-62 
42 Curso de anélise estrutural 
O volwne