Divergência, Rotacional, Campos Conservativos

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Universidade Federal de São João Del-Rei
Departamento de Matemática e Estatística
Lista 3 - Cálculo Vetorial
Prof.- Wilman Rodas
1) Encontrar o divergente e o rotacional do campo vetorial dado.
a)~F (x, y, z) = (2x+ 4z, y − z, 3x− yz) b)~F (x, y) = (x2 + y2, y2 − x2)
c)~F (x, y, z) = (x2, y2, z2) d)~F (x, y) = (ex cos y, ex sen y)
2) Sejam ~f(x, y, z) = (xz, zy, xy) e ~g(x, y, z) = (x2, y2, z2). Determinar
a)∇. ~f b)∇.~g c)∇× ~f d)∇× ~g e)∇× (~f × ~g)
f)(∇× ~f)× ~g g)(∇× ~f).(∇× ~g)
3) Seja ~u = (x2 − y2).∇f
Calcular div ~u no ponto P (1, 2, 3). sendo:
a)f(x, y) = sen xy + x b)f(x, y, z) = xyz + 2xy
4) Supondo que ~v representa a velocidade de um fluido em movimento,
verificar se ~v representa um possível fluxo incompressível ou seja se div ~v = 0.
a)~v = (2y−3, x2) b)~v = (x, y, z) c)~v = (2x,−2y, 0) d)~v = (2xz,−2yz, 2z).
5) Verificar se o campo dado ~F é irrotacional ou seja rot (~F ) = ~0.
a)~F (x, y, z) = (ex sen y + ez cosx, ex cos y + ey sen z, ey cos z + ez sen x)
b)~F (x, y, z) = (xyz, 2x− 1, x2z) c)~F (x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz)
d)~F (x, y, z) = (2x+ cos yz,−xz sen yz,−yz sen yz)
6) Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum
domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
a)~F (x, y, z) = (2x, 5yz, x2y2z2) b)~F (x, y) = (1 + y sen x, 1− cosx)
c)~F (x, y, z) = (ln xy, ln yz, lnxz)
d)~F (x, y) = (y3 − 3− y
x2+xy
, 1
x+y
+ 2xy + 2y)
e)~F (x, y, z) = (10xz+y sen xy, x sen xy, 5x2) f)~F (x, y, z) = (ex, 2ey, 3ez)
g)~F (x, y, z) = (ex sen y + ez cosx, ex cos y + ey sen z, ey cos z + ez sen x)
Gabarito:
1)a)3−y; (1−z, 1) b)2(x−y); (0, 0, 2(x−y)) c)2(x+y+z);~0 d)2ex cos y; (0, 0, 2ex sen y)
2)a)2z b)2(x+ y + z) c)(x− y, x− y) d)(0, 0)
1
e)(2xyz − x2z + 3xz2, 3yz2 + y2z + 2xyz, 3x2y − 2z3 + 3xy2)
f)(z2(x− y), z2(y − x), (y − x)(y2 − x2)) g)0.
3)a)15 sen 2 + 2 b)0.
4)a) Sim b) Não c) Sim d) Não
5)a) Sim b) Não c) Sim d) Sim
6)a) Não b) Sim ;ϕ(x, y) = x− y cosx+ y c) Não
d) Conservativo em dominios simplesmente conexo que não contêm pontos da reta
y = −x;ϕ(x, y, z) = ln |x+ y| − ln |x| − 3x+ y2 + xy2
e) Sim ;ϕ(x, y, z) = 5x2z − cosxy f) Sim ; ϕ(x, y, z) = ex + 2ey + 3ez
g) Sim ; ϕ(x, y, z) = ex sen y + ey sen z + ez sen x.
2