CÁLCULO VETORIAL - conceitos, gradiente e campos conservativos

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CÁLCULO 
VETORIAL
prof. Ricardo Alencar
Cálculo vectorial configura uma área da matemática que trata da 
diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no 
espaço euclidiano, R³. 
O Cálculo vectorial possui um importante papel na geometria 
diferencial e no estudo de equações diferenciais parciais. 
Utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na 
descrição de campos eletromagnéticos, campos gravitacionais 
e mecânica dos fluidos.
Os vetores podem representar 
campos de velocidade, como 
correntes oceânicas, velocidade do 
vento durante um tornado ou o 
fluxo de ar passando por um 
aerofólio.
Campos vetoriais são funções que associam 
vetores a pontos no espaço
O fluxo de ar separando-se de um 
aerofólio com ângulo de ataque 
elevado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aerof%C3%B3lio
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_de_ataque
Líquido fluindo uniformemente em um cano
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
Campo de velocidade de escoamento
 de fluido. Fonte: STEWART, 2007
Imagine um líquido fluindo 
uniformemente em um cano 
e seja V(x, y, z) o vetor 
velocidade em um ponto (x, y, 
z). Então V associa um vetor 
a cada ponto (x, y, z) de um 
certo domínio E (interior 
do cano), e assim V é um 
campo vetorial em R
 
3 
chamado campo de 
velocidade.
Seja uma partícula A de massa M fixa em um ponto Po e seja uma partícula B de 
massa m livre para ocupar várias posições P no espaço. A atrai B de acordo com a 
lei da gravitação universal de Newton. A força gravitacional F age de P para Po , 
com módulo tal que
onde G é a constante gravitacional universal.
Pensando num sistema de coordenadas em que P e Po possuam as coordenadas 
P(x,y,z) e {Po(xo,yo,zo)} , , então a distância entre esses pontos é dada por
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_da_gravita%C3%A7%C3%A3o_universal
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_gravitacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_gravitacional_universal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia_euclidiana
de tal modo que r possa ser escrito como um vetor.
Sabendo-se que -r/|r| é um vetor unitário de mesma direção e sentido de F, 
tem-se que
é uma função vetorial que descreve a força 
gravitacional que A provoca em B.
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_gravitacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_gravitacional
VETOR 
GRADIENTE
Um campo vetorial gradiente é aquele campo que está definido em um 
subconjunto aberto A do R2 (ou do R3) de tal forma que, para cada ponto 
P de um certo campo vetorial T definido em R2 (ou R3) ele associa o 
vetor ( dT/dX, dT/dY) - no caso de T ser do R2 – ou (dT/dX, dT/dY, dT/dZ) 
- no caso de T ser do R3 – denotamos o gradiente de um campo vetorial 
por:
outra notação
Uma justificativa física do gradiente é para calcular a taxa de variação de 
um fluxo qualquer de um ponto P de um campo definido em um domínio 
A por uma função T na direção de um vetor v. Se a função T que forma o 
campo é diferenciável, então ela admite derivadas parciais em P, então a 
derivada direcional de T, relativa a em P é:
CAMPO CONSERVATIVO
Este desenho paradoxal de 
Escher vai direto ao ponto 
de campos vetoriais 
conservativos.
LEIA 
https://pt.khanacademy.org/math/m
ultivariable-calculus/integrating-mult
ivariable-functions/line-integrals-in-v
ector-fields-articles/a/conservative-fi
elds
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-articles/a/conservative-fields
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-articles/a/conservative-fields
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-articles/a/conservative-fields
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-articles/a/conservative-fields
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-articles/a/conservative-fields
 CURIOSIDADE: Influência da Lua sobre o nascimento de 
bebês e outras tantas crenças: "Se a Lua é capaz de agir nas 
enormes massas de água dos oceanos, como ela não teria 
efeito sobre os líquidos no útero da mãe ou sobre outros 
fluídos corporais, influenciando no crescimento dos nossos 
cabelos?"
http://astro.if.ufrgs.br/lang/lang.htm
Marés, fases da Lua e bebês
Versão ampliada do artigo A LUA E OS BEBÊS, publicado em Ciência Hoje, Rio de Janeiro, vol.29, n. 170: p. 47; abril de 2001 
Fernando Lang da Silveira
http://astro.if.ufrgs.br/lang/lang.htm
Exercícios
Campos vetoriais - IMECC
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/int
egrais-de-linha/campos-vetoriais/campos-vetoriais/
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/integrais-de-linha/campos-vetoriais/campos-vetoriais/
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/integrais-de-linha/campos-vetoriais/campos-vetoriais/