Cálculo Diferencial - Lista de exercícios 02

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Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.1 – Lista 2 
18 – LIMITES LATERAIS 
Em todos os exemplos e exercícios anteriores, quando falamos em 
 
lim
x→a
f(x) , não fazemos restrições sobre 
como x se aproxima de a. Na verdade, quando escrevemos 
 
lim
x→a
f(x) , queremos dizer que x se aproxima de a de 
duas formas: com valores de x maiores que a (aproximação pela direita de a), e com valores de x menores que a 
(aproximação pela esquerda de a). 
 No entanto, para algumas funções, podem ocorrer certas restrições para x, que vamos abordar nos 
exemplos a seguir. 
 
EXEMPLO 1 
Considere a função f(x) = . 
 
Como o nosso conjunto universo é o conjunto dos números reais, para que essa nossa função faça sentido, devemos 
ter x ≥ 2. Assim, não faz sentido x se aproximar de 2 pelo lado esquerdo, e portanto não possui 
significado. 
Precisamos considerar um novo limite, que chamaremos de limite lateral. E para entendermos melhor esse 
caso, vamos fazer x se aproximar de 2, com valores maiores do que 2. Neste caso, dizemos que x tende a 2 pela 
direita, e escrevemos . Veja que quando x tende a 2 pela direita, a função f(x) = tende a zero. 
Vamos representar isto da seguinte forma: 
 
 
 
Que lemos: limite de f(x) quando x tende a 2 pela direita, é igual a zero. 
 
EXEMPLO 2 
De forma análoga, considerando a função f(x) = , veja que só podemos falar no limite de f(x) quando x se 
aproxima de 2 pela esquerda, e representaremos da seguinte forma: 
 
 
 
Que lemos: limite de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda, é igual a zero. 
 
EXEMPLO 3 
Considere a função f(x) = , x ≠ 0. 
Podemos fazer x se aproximar de zero tanto pela direita quanto pela esquerda. Mas, agora temos uma nova 
situação. 
 
Como 
 
| x |=
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
⎧
⎨
⎩
 , temos que e 
 
lim
x→0−
f(x) = −1 . 
 
Neste exemplo, apesar dos dois limites laterais, direita e esquerda, existirem, eles são diferentes. Quando isto 
acontece, dizemos que o
 
não existe. 
 
EXEMPLO 4 
Considere a função 
 
f(x) = x
2, se x ≤1
2− x, se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
Neste caso, 
 
lim
x→1+
f(x) = 1 e 
 
lim
x→1−
f(x) = 1.
 
Agora, como os limites laterais são iguais, dizemos que 
 
lim
x→1
f(x) = 1. 
 
 
PROPRIEDADE: Se 
 
lim
x→a+
f(x) = L e 
 
lim
x→a−
f(x) = L , então 
 
lim
x→a
f(x) = L . E mais, se 
 
lim
x→a+
f(x) ≠ lim
x→a−
f(x) , então 
 
lim
x→a
f(x) não existe. 
 
x 2−
x 2
lim x 2
→
−
x 2+→ x 2−
x 2 x 2
lim f(x) lim x 2 0
+ +→ →
= − =
2 x−
x 2 x 2
lim f(x) lim 2 x 0
− −→ →
= − =
| x |
x
x 0
lim f(x) 1
+→
=
x 0
lim f(x)
→
 14 
19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Em cada item a seguir, ache o limite indicado, se existir. Em seguida, faça um esboço do gráfico de cada função. 
 
a) 
 
lim
x→−4+
f(x)
lim
x→−4−
f(x)
lim
x→−4
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
b) 
 
lim
x→0+
f(x)
lim
x→0−
f(x)
lim
x→0
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
c) 
 
lim
x→2+
f(x)
lim
x→2−
f(x)
lim
x→2
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
 
d) 
 
lim
x→1+
f(x)
lim
x→1−
f(x)
lim
x→1
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
 
e) 
 
lim
x→1+
f(x)
lim
x→1−
f(x)
lim
x→1
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
f) 
 
f(x) =
2x + 3, se x <1
4, se x = 1
x2 + 2, se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
 
 
lim
x→1+
f(x)
lim
x→1−
f(x)
lim
x→1
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
g) 
 
f(x) =
x +1, se x < −1
x2, se −1≤ x ≤1
2− x, se x >1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪ 
 
lim
x→−1+
f(x)
lim
x→−1−
f(x)
lim
x→−1
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 e 
 
lim
x→1+
f(x)
lim
x→1−
f(x)
lim
x→1
f(x)
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
 
 
2. Calcular , se existir, sendo . 
 
3. Calcular , se existir, sendo . 
x 4 se x 4
f(x)
4 x se x 4
+ ≤ −⎧
= ⎨ − > −⎩
2 se x 0
f(x) 1 se x 0
3 se x 0
<⎧
⎪= − =⎨
⎪− >⎩
2x se x 2f(x)
8 2x se x 2
⎧⎪ ≤= ⎨
− >⎪⎩
2x 3 se x 1
f(x) 2 se x 1
7 2x se x 1
+ <⎧
⎪= =⎨
⎪ − >⎩
3x 1 se x 1
f(x)
3 x se x 1
− ≤⎧
= ⎨ − >⎩
( )
x 1
lim f x
→
( )
2
x 1, se x 1
2f x
x , se x 1
+⎧ >⎪= ⎨
⎪ <⎩
( )
x 2
lim f x
→
( ) x 1, se x 2f x
2 x, se x 2
− >⎧
= ⎨ − <⎩
 15 
 
4. Calcular , se existir, sendo . 
 
5. Dada , calcule , se existir. 
 
6. Calcule se existir: 
a) , se 
 
b) , se 
 
c) , se 
 
7. Dada , calcule a de modo que exista . 
 
 
8. Dadas as funções a seguir, encontre os valores de a e b para que exista 
qualquer que seja o valor real de p. 
 
 
 
 
 
 
9. Considere a função dada por f(x) = !x", conhecida como a função maior inteiro, onde !x" significa o 
maior inteiro que é menor ou igual a x, ou simplesmente a parte inteira de x. Calcule se existir: 
a) !x" b) !x" c) !x" 
 
 
10. O valor do é: 
 
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
20 – GABARITO DE 19 
1. a) 8, 0, ∃ b) – 3, 2, ∃ c) 4, 4, 4 d) 5, 5, 5 e) 2, 2, 2 
 f) 3, 5, ∃ g) 1, 0, ∃ , 1, 1, 1 
2. 1 3. ∃ 4. 4 5. 0 6. a) – 1 
b) /∃ c ) /∃ 7. a = 6 8. a) a = 10 e b = –23 
b) a = 2 e b = –3 9. a) 1 b) 0 c) /∃ 
10. d 
 
( )
x 1
lim f x
→
( ) 4, se x 1f x
6, se x 1
≠⎧
= ⎨ =⎩
( )
2x , se x 0
f x x , se x 0
2
⎧ <⎪= ⎨
>⎪
⎩
( )
x 0
lim f x
→
( )
x 0
lim f x
→
( )
22x 1, se x 0f x
2x 1, se x 0
⎧⎪ − <= ⎨
− >⎪⎩
( )
x 0
lim f x
→
( ) 2, se x 0f x
2, se x 0
>⎧
= ⎨− <⎩
( )
x 1
lim f x
→
( ) x 1 f x
x 1
−
=
−
( ) 2x a, se x 1f x
3x 5, se x 1
+ ≥⎧
= ⎨ + <⎩
( )
x 1
lim f x
→
 
lim
x→p
f x( )
2
2x 1 se x 3
a)f(x) ax b se 3 x 5
x 2 se x 5
⎧ + ≤
⎪
= + < <⎨
⎪
+ ≥⎩
3x 6a se x < 3
b)f(x) 3ax 7b se 3 x 3
x 12b se x >3
+ −⎧
⎪= − − ≤ ≤⎨
⎪ −⎩
 f :!→ "
 
lim
x→1+ 
lim
x→1− 
lim
x→1
 
lim
x→0+
1
x
− 1
x2 + x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 16 
GRÁFICOS 
1. 
 
 
 
 
 17 
 
 
 
 
 
Fim – lista 2