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Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais
Campus São João Evangelista
Estatística Geral
Lista de exercícios III
Coleta-se uma amostra de 10 observações independentes de uma N(2,2). Determine a probabilidade da média amostral:
Ser inferior a 1.
Ser superior a 2,5.
Estar entre 0 e 2.
Supõe-se que o consumo mensal de água por residência em certo bairro paulistano tem distribuição Normal com média 10 e desvio padrão 2 (em m³). Para uma amostra de 25 dessas residências, qual é a probabilidade da média amostral não se afastar da verdadeira média por mais de 1 m³?
A resistência de vigas de madeira utilizadas na construção está sendo estudada. O fornecedor atesta que em média cada viga resiste a 3 toneladas com desvio padrão de aproximadamente 2 toneladas. Vinte dessas vigas serão sorteadas para serem utilizadas numa obra. Considerando que é verdadeira a informação do fornecedor e supondo que o modelo Normal é adequado, pergunta-se:
Qual a probabilidade de uma dessas vigas suportar menos do que 1 tonelada?
Qual a probabilidade das vinte vigas suportarem, em média, pelo menos 2,5 toneladas.
Qual a probabilidade em (b) considerando agora 40 vigas e sem fazer a suposição de normalidade dos dados.
Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição Normal com desvio padrão de 2 minutos. Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados brutos (em minutos) são:
	2,9
	3,4
	3,5
	4,1
	4,6
	4,7
	4,5
	3,8
	5,3
	4,9
	4,8
	5,7
	5,8
	5,0
	3,4
	5,9
	6,3
	4,6
	5,5
	6,2
Obtenha um intervalo de confiança para o tempo médio de reação com 96%.
5.	Uma amostra de 25 observações de uma Normal foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. Construa intervalos de confiança para 80%, 85%, 90% e 95% para média populacional. Comente as diferenças encontradas. 
Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Para uma confiança de 90%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferenças.
Uma amostra de 100 cidades brasileiras, de até 20 mil habitantes, indicou que o valor médio da hora aula para os professores do ensino fundamental em escolas municipais é de R$2,50. Baseado em estudos anteriores, o desvio padrão é assumido ser igual a R$1,10. Obtenha um intervalo de confiança com 95% para o valor médio nacional da hora aula em cidades do tipo mencionado.
A duração do “tonner” de uma máquina de fotocópias pode ser modelado como Normal com média 15 e desvio padrão 2 (em milhares de cópias). Para uma amostra de 12 fotocopiadoras a duração do “tonner” será observada e pergunta-se a probabilidade de, em média, durar:
Menos de 16 mil cópias?
Mais de 13 mil cópias?
Entre 12 e 14 mil cópias?
9. Seja X ~ N (µ,36)	e responda:
Para uma amostra de tamanho 50 obtivemos média amostral 18,5. Construa intervalos com confiança de 91%, 96% e 99% para média.
Para uma confiança de 94%, construa intervalos de confiança supondo três tamanhos de amostra 25, 50 e 100 (admita que todos forneceram a média amostral 18,5).
Comente sobre a precisão dos intervalos construídos nos itens (a) e (b).
Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso:
A companhia de transporte afirma que, em média, o intervalo entre sucessivos ônibus é de 15 minutos. Uma associação de usuários de transportes coletivos acha que a pontualidade é muito importante e pretende testar a afirmação da companhia.
Os amortecedores, de automóveis que circulam em cidades, duram em média 30 mil quilômetros, segundo informações de algumas oficinas especializadas. Um proprietário de automóvel deseja testar essa afirmação.
Um veterinário conseguiu ganho médio diário de 3 litros de leite por vaca com uma nova composição de ração. Um pecuarista acredita que o ganho não é tão grande assim.
Um fabricante afirma que sua vacina previne 80% dos casos de certa doença. Um grupo de veterinários desconfia que a vacina não é tão eficiente assim.
Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 12. Estamos testando se sua média é igual ou diferente de 20 e coletamos uma amostra de 100 valores da variável, obtendo uma média amostral de 17,4.
Formule as hipóteses.
Obtenha a região crítica e dê a conclusão do teste para os seguintes níveis de significância: 1%, 2%, 4%, 6% e 8%.
Para uma variável aleatória com densidade Normal e desvio padrão 5, o teste da média 10 contra média 14 teve região crítica dada por para uma amostra de tamanho 25. Determine as probabilidades dos erros tipo I e tipo II.
Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas na cidade de São Paulo. Foram sorteadas e entrevistadas 200 trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável na cidade é de 0,8 salários mínimos.
Você conhece a distribuição do estimador média amostral? Se não, é possível fazer alguma suposição?
Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou é menor. Formule as hipóteses adequadas.
Para um nível de significância de 3%, construa a região crítica.
Se a amostra forneceu média de 2,5 salários mínimos, qual seria a conclusão?
O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15 km/litro, segundo informações da montadora. Uma revista especializada verificou o consumo em 25 desses veículos, escolhidos ao acaso, e constatou consumo médio de 14,3 km/litro. Admita que o consumo siga o modelo Normal com variância igual a 9.
Teste, ao nível de significância de 6%, a afirmação da montadora contra a alternativa de ser igual a 14 km/litro.
Determine a probabilidade do erro tipo II.
A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de marca é de 1615 horas. Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a 120 horas. Utilizando , desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou diferente de 1600 horas. Qual é a conclusão? Determine também a probabilidade do erro tipo II, se a média fosse de 1620 horas.
Psicólogos estudaram o tamanho de gorjetas em um restaurante quando uma mensagem, indicando que o tempo no dia seguinte seria bom, vinha escrita na conta. Eis as gorjetas de 20 clientes, medidas em percentual do total da conta. 
	20,8
	18,7
	19,9
	20,6
	21,9
	23,4
	22,8
	24,9
	22,2
	22,0
	20,3
	24,9
	22,3
	27,0
	20,4
	22,2
	24,0
	21,1
	22,1
	22,7
 Estime a gorjeta percentual média para todos os clientes desse restaurante, apresentando um intervalo de confiança de 95%.
17. No processo de fabricação de uma peça, verificou-se que a tolerância de especificação enquadra-se entre a média mais ou menos duas vezes o desvio padrão desse processo. Que porcentagem de peças será rejeitada?
18. Na empresa Mandacaru, têm-se as seguintes informações sobre os salários de dois empregados:
	Nome do empregado
	Salário mensal
	
	Em $
	Padronizado (Z)
	Tita
	700
	  2
	Niki
	450
	–0,5
 Baseado nos dados acima, determine a média e o desvio padrão para os salários da empresa.
19. Determinado produto possui peso médio igual a 800 g e desvio padrão 10 g. É embalada uma caixa com 24 unidades de tal produto, que pesa, em média, 1850 g e desvio padrão de 12 g. Determine, nessas condições, a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que 21.200 g.
20. Os alunos de Física Geral II do Prof. Alan Din distribuem-se de acordo com uma distribuição normal com média 6,0 e desvio padrão 0,5. O Prof. Alan Din atribui graus A, B e C da forma seguinte:
	Nota maior ou igual a 7
	A
	Nota entre 5 e 7
	B
	Nota menor ou igual a 5
	C
 Determine o número esperado de alunos com grau A, B e C em uma classe com 90 alunos.
Respostas1.	a.0,0125	b.0,1315	c.0,5
0,9876
3.	a. 0,1587	b.0,8686	c.0,9429
4. 4,745 ; [3,828; 5,662]
[6,976; 9,024] ; [6,848; 9,152] ; [6,688; 9,312] ; [6,432; 9,568]
5,42; 4,20; 2,97.
7. [2,2844; 2,7156]
8. a. 0,9582 b. 0,9997 c. 0,0418
9. a. [17,11; 19,39] ; [16,76; 20,24] ; [16,31; 20,69]
 b. [16,24; 20,76] ; [16,91; 20,09] ; [17,37; 19,63] 
11. b. Z = -2,17 α= 1% [-2,57; 2,57]; Aceita-se Ho.
 α= 2% [-2,33; 2,33]; Aceita-se Ho.
 α= 4% [-2,05; 2,05]; Rejeita-se Ho.
 α= 6% [-1,88; 1,88]; Rejeita -se Ho.
 α= 8% [-1,75; 1,75]; Rejeita -se Ho.
12. Erro α = 0,0228 ; Erro β = 0,022
13. a.Não, Sim. b. µ=3/µ<3 c. RC = (Z < -1,88) d. Z = -8,93; Rejeita-se H0. 
14. a. RC = (Z < -1,55) Z cal= -1,17; Aceita-se Ho. b. Erro β = 0,4522
15. a. RC = ( -1,96 < Z < 1,96); Aceita-se Ho. b. Erro β = 0,61
16. X = 22,21 ; [ 21,23;23,09]
17. Aproximadamente 5%.
18. X = R$ 500,00 ;  σ = R$ 100,00
19. P(Z > 21.200) = 0,0015
20. Grau A: 7 alunos ; Grau B: 76 alunos ; Grau C: 7 aluno