Método dos Deslocamentos

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FACULDADE EVANGÉLICA DE GOIANÉSIA -
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL – TEORIA DAS ESTRUTURAS II
“MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS”
ANTONIO JUNIOR
LUIS EDUARDO
OVÍDIO FÁGNER
TIAGO FERNANDES
SARA REIS
Goianésia – GO
12/2016
ANTONIO JUNIOR
LUIS EDUARDO
OVÍDIO FÁGNER
TIAGO FERNANDES
SARA REIS
“MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS”
Relatório referente a utilização do método do deslocamento, no curso de graduação em Engenharia Civil, na Faculdade Evangélica de Goianésia – FACEG.
Orientador (a): Prof. Vitor Escher Martins.
						
Goianésia - GO
12/2016
Lista de ilustrações
Figura 1.1 – Configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição 
de configurações deformadas elementares. ...................................................................	04
SUMÁRIO
	
Introdução
Este relatório apresenta a utilização do conhecimento científico estudado na matéria de Teoria das Estruturas II com aplicação do Método dos Deslocamentos Unitários para calcular estruturas do tipo hipergeométricas. Como forma de aplicação do tema utilizou-se o método no exercício proposto em anexo.
Segundo Sussekind, José Carlos (1984, pág. 1), no Método dos Deslocamentos, determina-se inicialmente as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, são obtidos os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. 
O método dos deslocamentos foi desenvolvido com base no trabalho do engenheiro estrutural estadunidense Hardy Cross. Segundo ele, a solução de uma estrutura considera os três grupos de condições básicas da Análise Estrutural: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais. Entretanto, o Método dos Deslocamentos resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na ordem inversa do que é feito pelo Método das Forças:
1° Condições de compatibilidade;
2° Leis constitutivas dos materiais;
3° Condições de equilíbrio;
Para “Martha, Luiz Fernando” (2010, página 194) “Deslocabilidades são componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura”. As deslocabilidades são incógnitas do Método dos Deslocamentos.
A metodologia aplicada será demostrada detalhadamente, permitindo o entendimento teórico do processo. Esta é sem dúvida, uma das técnicas mais utilizadas para calcular os esforços das estruturas hipergeométricas, cálculo necessário para o dimensionamento de pilares e vigas de estruturas da construção civil. 
Atualmente o método é ensinado no curso de Engenharia Civil, e utilizado pelos engenheiros civis por intermédio de softwares para agilizar a mão de obra dos cálculos específicos de dimensionamento estrutural. O cálculo digital viabilizou os longos cálculos necessários para se obter os resultados desejados.
Objetivos
Os objetivos com esse projeto é demostrar a aplicação da metodologia do método dos descolamentos, procurando calcular os resultados referens aos valores dos esforços presentes na estrutura hipergeométrica.
A aplicação da técnica é indispensável em estruturas em que a quantidade de equações disponíveis para calcular as reações são insuficientes comparados as incógnitas do problema.
No geral pretende-se demostrar a importância do método que permite determinar as reações presentes em cada ponto do pórtico, auxiliando com os valores obtidos os cálculos do dimensionamento do detalhamento, quanto ao tipo, forma e quantidade de matérias a serem utilizados na execução das estruturas.
A partir da análise das configurações da estrutura, quanto a quantidade e modelos dos apoios, tipo, quantidade e intensidade de esforços, será possível avaliar a necessidade da aplicação do método dos deslocamentos unitários, verificando os pontos que permitiram deslocamentos internos e externos. Aplicando corretamente a metodologia será possível explicar os esforços de momento fletor, normais e cortantes presentes na estrutura, assim como os momentos máximos e mínimos, negativos e positivos.
Justificativa
A relevância do método para sociedade é permitir que Engenheiros Civis possam calcular os esforços presentes em estruturas hipergeométricas e através dos resultados determinar e dimensionar as configurações das estruturas nos projetos estruturais usado na execução de obras.
A metodologia do cálculo auxiliada pelo desenvolvimento tecnológico auxiliou no desenvolvimento de cálculos de estruturas complexas, permitindo calcular e criar projetos modernos e sofisticados na obra civil.
A construção civil está em constante modernização exigindo o aperfeiçoamento das estruturas, calculadas por fórmulas fruto do Método dos Deslocamentos.
Formulação Matemática
A solução pelo Método dos Deslocamentos pode ser vista como uma superposição de soluções cinematicamente determinadas, isto é, de configurações deformadas conhecidas, conforme ilustra a Figura 1.1. Essa figura mostra a configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares, cada uma associada a um determinado efeito que é isolado.
Figura 1.1 – Configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares.
Na Figura 1.1, a configuração deformada elementar do caso (0) isola o efeito da
solicitação externa (carregamento), sendo que essa configuração deformada é tal
que os nós (extremidades das barras) da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulas. A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga (barra horizontal) devida à carga uniformemente distribuída aplicada. As demais configurações deformadas mostradas nessa figura, dos casos (1) a (7), correspondem a imposições de deslocamentos e rotações nodais isolados, isto é, cada caso apresenta uma configuração deformada elementar em que somente uma componente de deslocamento ou rotação nodal tem um valor não nulo.
A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 1.1 indica que a
configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada
pelas componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura. Isso é possível porque pode-se determinar a configuração deformada de uma barra a partir dos deslocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento. Após determinar a elástica (deslocamentos axiais e transversais) de uma barra em função dos deslocamentos e rotações nas extremidades das barras, a elástica final da mesma é obtida superpondo o efeito da solicitação externa isolado no caso (0).
Com base nisso, a seguinte definição é feita:
Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que
estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura.
Dessa forma, as deslocabilidades são os parâmetros que definem (completamente)
a configuração deformada de uma estrutura. As deslocabilidades são as incógnitas do Método dos Deslocamentos. 
A seguinte notação vai ser utilizada:
Di deslocabilidade de uma estrutura: componente de deslocamento ou rotação livre (não restrita por apoio) em um nó da estrutura, na direção de um dos eixos
globais.
A deslocabilidade Di também é chamada de deslocabilidade global para diferenciá-la de uma deslocabilidade local de uma barra isolada. No exemplo mostrado na Figura 1.1, D1 e D4 são deslocamentos horizontais dos nós superiores, D2 e D5 são deslocamentos verticais dos nós superiores, D3 e D6 são rotações dos nós superiores e D7 é a rotação do nó inferior direito. As demais componentes de deslocamentos e rotação não são deslocabilidades livres pois são restritas por apoios. 
Uma estrutura que temtodas as suas deslocabilidades definidas (com valores conhecidos) é denominada estrutura cinematicamente determinada. No exemplo da Figura 1.1, as configurações deformadas elementares dos casos (1) a (7) são consideradas cinematicamente determinadas com exceção dos valores das deslocabilidades Di, que não são desconhecidos a priori. 
O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na
forma de apoios fictícios. Esse modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico (SH).
O SH correspondente à estrutura da Figura 1.1 é mostrado na Figura 1.2. Os apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir (prender) as deslocabilidades são
numerados de acordo com a numeração das deslocabilidades. Isto é, o apoio 1 impede a deslocabilidade D1, o apoio 2 impede a deslocabilidade D2, e assim por diante.
Figura 1.2 – Sistema Hipergeométrico do pórtico plano da Figura 1.1
Pode parecer estranho criar uma estrutura (o SH) na qual todos os nós são engastados completamente. Na verdade, o SH é utilizado para isolar as diversas componentes cinemáticas da estrutura, isto é, isolar os efeitos de cada uma de suas deslocabilidades. Como mostrado na Figura 1.1, em cada um dos casos básicos da solução pelo Método dos Deslocamentos, no máximo uma deslocabilidade assume um valor não nulo. Com base no SH, essa deslocabilidade é imposta como um “recalque” do correspondente apoio fictício inserido na criação do SH, enquanto os outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades. 
As incógnitas do Método dos Deslocamentos são as deslocabilidades, que são componentes de deslocamentos e rotações nodais que definem a configuração deformada da estrutura. Com respeito à estrutura utilizada nas soluções básicas, no Método das Forças essa estrutura é o Sistema Principal, que é uma estrutura estaticamente determinada (isostática) obtida da estrutura original pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperestáticos. Em contraposição, no Método dos Deslocamentos a estrutura utilizada nas
soluções básicas é o Sistema Hipergeométrico, que é uma estrutura cinematicamente determinada obtida da estrutura original pela adição dos vínculos necessários
para impedir as deslocabilidades. Essa comparação evidencia a dualidade entre os
dois métodos.
Uma observação importante é que, enquanto existem vários possíveis Sistemas
Principais (Método das Forças) para uma estrutura, existe somente um Sistema
Hipergeométrico (Método dos Deslocamentos). Isso porque para se chegar ao Sistema Principal isostático do Método das Forças existem várias possibilidades para
se eliminar vínculos da estrutura e para se chegar ao Sistema Hipergeométrico só
existe uma possibilidade, que é impedindo todas as deslocabilidades.
4.1 Formulação do Método
Aplica-se deslocamentos unitários em cada grau de liberdade, analisando-se os esforços nodais (Fator de Forma).
Após a aplicação dos deslocamentos unitários é possível obter a matriz de rigidez da estrutura
O vetor dos esforços externos é obtido analisando-se os esforços nodais em função das cargas externas (Fator de Carga).
Após obter a matriz de rigidez e o vetor dos esforços, resolve-se o sistema de equações, encontrando os valores dos deslocamentos (X1, X2, X3, ..., Xn).
Ao término desses passos, é possível se obter os seguintes diagramas: DMF, DEC e DEN.
Todo o procedimento descrito pode ser acompanhado com precisão no Anexo 1 deste relatório, que contém todos os cálculos e resoluções necessárias para melhor entendimento do método adotado.
Estudo do Caso
Analisando-se os dados coletados, concluiu-se que o Métodos dos Deslocamentos Unitários tem um papel essencial na análise dos esforços presentes nas estruturas.
 A deslocabilidade tem um papel essencial para essa análise, pois através dos deslocamentos foi possível calcular os esforços nodais, determinar a configuração deformada da estrutura e descobrir a carga solicitada nos apoios. No experimento, por exemplo, pode-se verificar a quantidade de carga solicitante em cada apoio.
Apesar de utilizar princípios básico de Cálculo, Rema e Isostática, quando somados nota-se sua grande importância, contribuindo para avanços que melhoraram nosso cotidiano. 
Esses aperfeiçoamentos são notáveis, principalmente na engenharia civil. Um bom modelo é a melhoria nas configurações dos pórticos, que em função das necessidades diferentes do cliente, pode se através de cálculos, desenvolver diferentes configurações, com diferentes características, possibilitando o engenheiro ter vários produtos disponíveis para sua obra, podendo ele escolher o que mais se adequa as necessidades do cliente e obedecendo as normas vigentes. Prédios, por exemplo, puderam vencer maiores alturas com a melhoria da aplicação do método.
Através do cálculo prático realizado, pode se notar que as cargas aplicas nas estruturas hipergeométricas geram esforços de Momento Fletor, Esforços Cortantes e Esforços Normais, correspondentes com à reais esforços em casos de estruturas reais. 
Bibliografia
SUSSEKIND, J. C., Curso de Análise Estrutural. Vol. 3. Ed. Globo, 6ª ed. São Paulo, 1984 
SORIANO, Humberto Lima., Estática das Estruturas. Ed. Ciência Moderna Ltda. 3ª ed. – Rio de Janeiro, 2013.
MARTHA, L. F., Análise de Estruturas – Ed. Elsevier Ltda. – São Paulo: São Paulo, 2010.
Anexos
Anexo A – Roteiro de Cálculo do trabalho proposto.