Estudo dirigido Planos.pptx

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GAAL 
Ana Cristina Silva Matos
Estudo dirigido - Planos
Vocês devem estudar os conteúdos abaixo e trazer resolvidos os exercícios da lista 2 toda e os exercícios desse material no dia da avaliação em dupla. 
Assuntos que serão cobrados: 
Equações do plano: Vetorial, Paramétricas e Geral. 
Posições relativas entre dois planos – Paralelos, coincidentes e concorrentes e posições entre retas e plano;
Interseção entre planos.
Orientações para atividade em dupla da segunda unidade. 
Equações do plano
Em geometria espacial vimos que duas retas concorrentes determinam um plano. Os vetores não são colineares e nem paralelos 
EQUAÇÕES DO PLANO
1o Tipo: Equação vetorial do plano.
A
P
p
Lembre-se que AP = P-A.
Pense em AP como uma resultante da soma u + v ( t e h são escalares)
2o Tipo: Equações paramétricas do plano.
Equações do plano
Considere os elementos definidos abaixo:
P (x, y, z) um ponto genérico (variável),
A (x1, y1, z1) um ponto fixo,
u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) vetores diretores de um plano p
Vamos substituir os elementos na equação vetorial do plano, dai obteremos uma equação em função dos seus parâmetros:
Perceba!!
Ponto Fixo
Ponto variável
Vetor diretor
Vetor diretor
Sistema de equações paramétricas do plano p
Exercício: Seja o plano que contém o ponto A(3, 7, 1) e é paralelo a u = (1,1,1) e v = (1,1,0).
a) Obtenha duas equações vetoriais de p .
b) Escreva equações paramétricas de p .
c) Verifique se o ponto (1, 2, 2) pertence a p.
d) Verifique se o vetor w = (2,2,5) é paralelo a p .
Resolução:
Dizemos que um vetor não nulo é normal a um plano se, e somente se, é ortogonal a todos os vetores que possuem representantes neste plano.
Para determinar a normal basta calcular o produto vetorial entre qualquer par de vetores concorrentes do plano.
(P-A) . n =0
Equações do plano
3o Tipo: Equação Geral do plano.
 u x v
v
u
Exercícios:
Equação Geral do plano.
 Seja P1 = (x1, y1, z1) e P = (x, y, z) e n π = (a, b, c). Temos que a equação geral do plano π é :
ax+by+cz+d = 0
Obs.: Se u e v tem representantes no plano π, então n π é paralelo ao produto vetorial u x v. 
Dê uma equação vetorial do plano determinado pelos pontos A = (1,1,0), B = (-1,2,1) e C = (3,2,1). (Plano determinado por 3 pontos)
Determine uma equação geral do plano π que passa pelo ponto 
 P = (3,-1,2) e é paralelo aos vetores u = (-1,1,2) e v = (1,-1,0).
Resolução:
Posições relativas de dois planos
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Posições relativas de dois planos
11
Posições relativas de dois planos
12
Posições relativas de dois planos
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Exercícios:
Resolução:
5) Determinar a equação geral do plano que contém as retas r1 e r2.
PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS
Plano que passa pela origem
Se o plano ax + by + cz + d = 0 passa pela origem: a.0 + b.0 + c.0 + d = 0, donde d = 0.
Exercícios:
Planos paralelos aos planos coordenados
Planos paralelos aos eixos coordenados
Exemplo 1) 
Determinar a equação cartesiana do plano que contém o ponto A = (2; 2; -1) e a reta r.
Exemplo 2) 
Determinar a equação geral do plano que passa por A = (2; 3; 4) e é paralelo aos vetores v1 = j + k e v2 = j – k.
Planos paralelos aos planos coordenados