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Produto Misto 
Definição 
Dados três vetores u, v e w, do IR³, notemos que: 
 v x u é um vetor do IR³; 
u . (v x w) é um número real (produto escalar do vetor u pelo vetor v x w). 
A operação u . (v x w) é denominada produto misto dos vetores u, v e w e o resultado dessa operação é um 
número real. 
Indicamos: u . (v x w) = [u, v, w]. 
Cálculo 
Dados u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), o produto misto por ser obtido calculando-se o determinante: 
 
 [u, v, w] = 
 
Exemplo: 
1º) Sendo u = (0, 2, 4), v = (2, - 1, 3) e w = (2, 0, 1), calcule: 
a) u . (v x w) b) [u, v, w] 
 
Propriedades 
Das propriedades dos determinantes decorrem as propriedades do produto misto; em particular, temos: 
• Trocando-se duas linhas, o determinante muda de sinal: 
[u, v, w] = - [u, w, v] 
[u, v, w] = - [v, u, w] 
[u, v, w] = - [w, v, u] 
 
• Propriedade cíclica: a troca dupla de sinal não altera o determinante: 
[u, v, w] = [v, w, u] 
[u, v, w] = [w, u, v] 
 
• Os sinais . e x podem ser permutados, isto é: 
 u . (v x w) = (u x v) . w 
[u, v, w] = w . (u x v) 
[u, v, w] = [w, u, v] 
 
Considerações geométricas 
1ª) Dizemos que três vetores do IR³ são coplanares quando aplicados a um mesmo ponto A, possuem 
extremidades B, C e D tais que A, B, C e D pertencem a um mesmo plano. 
 •D 
 
 
 
 
Três vetores coplanares Três vetores não coplanares (D  plano) 
Sejam u, v e w três vetores coplanares do IR³. O vetor v x w é ortogonal a v e a w; logo, v x w é ortogonal também 
a u, lembremos que o produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a zero, logo temos que: 
x1 y1 z1 
x2 y2 z2 
x3 y3 z3 
 •D 
 •C 
A• 
 
•B 
 
 
A• 
 
•B 
•C 
u . (v x w) = 0, o que é o mesmo que dizer que [u, v, w] = 0. Isto significa que u, v e w são coplanares se, e 
somente se, [u, v, w] = 0. 
Exercícios 
1) Verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares nos casos: 
a) A (1, 0, 2), B (3, 2, 5), C (0, -1, 3) e D (5, 4, 2) 
b) A (1, 1, 0), B (0, 2, 3), C (2, 0, -1) e D (-1, 3, 5) 
c) A (2, 3, 4), B (1, -1, 9), C (5, -3, 7) e D (0, 3, 6) 
d) A (1, 1, 1), B (1, 2, 1), C (3, 0, 1) e D (5, 7, 10) 
 
2) Para que valor de k os vetores u (3, -1, k), v (2, k, 0) e w (1, 1, k) são coplanares? 
 
2ª) Consideremos três vetores não coplanares u, v e w aplicados a um mesmo ponto A. O volume V do 
paralelepípedo determinado por u, v e w é igual ao módulo do produto misto dos vetores u, v e w, ou seja, 
VABCDEFG = |[u, v, w]|. 
 
 
 
Decorre do item anterior que podemos calcular o volume de um tetraedro ABCD como sendo 6
]w,v,u[
 
 
 
 
3) Calcule o volume tetraedro de vértices A (0, 0, 1), B (0, 1, 0), C (1, 0, 0) e D (1, 1, 1). 
 
4) Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u (2. 0, 0), v (0, 3, 0) e w (1, 1, 2). 
 
5) Determine um ponto D no eixo dos z tal que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18. Dados A(3, 0, 0), B (0, 
1, 0) e C (3, 3, 0). 
 
Equação do Plano 
 
O plano definido por um ponto e um vetor normal 
Consideremos um plano  que passa por um ponto A (x0, y0, z0) e é ortogonal a um vetor não nulo n (a, b, c). 
Sendo P (x, y, z) um ponto genérico de , tomemos o vetor AP = 
Notemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 AA 
 
 
 
Nota: 
 Os coeficientes de x, y e z são, nesta ordem, as componentes a, b e c do vetor normal ao plano. Como n é 
não nulo, temos a  0 ou b  0 ou c  0. 
 Toda equação da forma ax + by + cz + d = 0 em que a, b, c e d são números reais, com a  0 ou b  0 ou c 
 0, está associado a um plano do IR³. As soluções (x, y, z) da equação são as coordenadas dos pontos do 
plano. 
Exercícios 
1) Dados A (2, 1, 1) e n (3, 1, 4), determine a equação do plano que passa por A e é ortogonal a n. 
2) A equação 2x + 3y + 2z 6 = 0 representa um plano  no IR³. Obtenha os pontos do plano  que interceptam os 
eixos coordenados. 
O plano definido por três pontos 
Consideremos o plano  definido por três pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3), não colineares. 
Sendo P (x, y, z) um ponto qualquer do plano , consideremos os vetores AP, AB e AC: 
 
3) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A (1, 2, 1), B (0, 1,  4) e C (3, 1, 0). 
 
4) Determine a equação do plano que contém o ponto P e é ortogonal ao vetor n nos casos: 
a) P (1, 1, 1) e n (2, 4, 1) b) P (0, 1, 0) e n (2, 0, 1) 
 
5) Dê a equação do plano que passa pela origem dos sistema cartesiano e é normal ao vetor n (1, 2, 3). 
 
6) Dê a equação do plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores u e v, nos casos: 
a) A (1, 2, 0), u (1, 1, 1), v (2, 1, 3); b) A (0, 0, 0), u (1, 1, 2), v (3, 1, 1) 
 
7) Dê a equação do plano paralelo ao plano 2x + y + 3z + 5 = 0 e que passa pelo ponto P (3, 2, 4). 
 
8) Qual é a equação do plano paralelo a : 3x + 4y z + 7 = 0 e que passa pela origem do sistema cartesiano? 
 
9) Dado o plano : 2x + 3y  7z + 4 = 0 pede-se: 
a) ponto de interseção de  com o eixo das abscissas; 
b) ponto de  que tem abscissa 2 e ordenada 2; 
c) valor de k para que o ponto P (2, 2k, 3k) pertença a ; 
d) ponto de  que tem a abscissa igual ao triplo da ordenada, e está no plano xy. 
 
10) Para cada par de planos, dizer se é formado por planos paralelos, perpendiculares ou concorrentes não 
perpendiculares. 
a) : 2x + 3y + z  1 = 0 e : 2x + 3y + z + 7 = 0 
b) : x  2y + 2z +2 = 0 e : 2x  4y + 4z + 9 = 0 
c) : 3x  y + z  1 = 0 e : 2x + 5y  z  1 = 0 
d) : 3x + 2y = 0 e : 2x  4y + z + 1 = 0 
 
11) Determine a e b de modo que os planos : ax + by + 4z = 3 e : 3x  2y +2z = 5 sejam paralelos. 
 
12) Dar em cada caso a condição sobre os coeficientes da equação ax + by + cz + d = 0 para que ele represente: 
a) um plano paralelo ao plano xy; b) um plano paralelo ao plano yz; c) um plano paralelo ao plano xz;