lista Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Lista de Exerćıcios 7 - Gex102 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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Retas
1. Determine:
a) as equações vetorial e paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (5, 1, 3) e é paralela
ao vetor ~i+ 4~j − 2~k. Determine também outros dois pontos que estão nesta reta.
b) as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2).
c) as equações paramétricas e simétricas da reta que passa por (2, 1, 0) e é perpendicular a
~i+~j e a ~j + ~k.
2. Considere os pontos R = (1, 1, 0) e S = (−1, 0, 1). Escreva as equações vetorial, paramétricas
e simétricas da reta que contém o ponto (1, 2, 4) e é paralela ao segmento RS.
3. Escreva as equações nas formas paramétricas e simétricas da reta que contém o ponto A =
(2, 0,−3) e é paralela à reta descrita pelas equações 1− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
.
4. Escreva as equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto (−1,−4,−2) e pelo
ponto médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,−3, 1).
5. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (2, 1,−1) e é perpendi-
cular à reta r :

x = 2 + 3t
y = t
z = −t.
Retas e Planos
6. Em cada caso, determine as equações (vetorial e geral) do plano.
(a) o plano passa pelo ponto A = (6, 3, 2) e é ortogonal ao vetor ~u = (−2, 1, 5).
(b) o plano passa pelo ponto A = (4, 0,−3) e o seu vetor normal é ~n = ~j + 2~k.
(c) o plano passa pelo ponto A = (2, 0, 1) e é perpendicular à reta de equações paramétricas
x = 3t, y = 2− t, z = 3 + 4t, t ∈ R.
(d) o plano passa pelo ponto A = (1, 2, 3) e contém a reta de equações paramétricas x = 3t,
y = 1 + t, z = 2− t,, t ∈ R.
(e) o plano contém a reta que é intersecção dos planos x−z = 1 e y+2z = 3, e é perpendicular
ao plano x+ y − 2z = 1.
(f) o plano contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2, 3,−1)
(g) o plano contém A = (1, 2, 0) e B = (0, 1,−1) e é paralelo ao segmento de extremidades
C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 1)
1
(h) o plano passa pelos pontos A1 = (0, 1, 2), A2 = (1,−4, 3) e A3 = (1,−8, 1).
7. Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (1, 2, 1) e é perpendicular
ao plano x− y + 2z − 1 = 0.
8. Determine o ângulo entre os planos x + y + z = 1 e x − 2y + 3z = 1. Determine a equação
vetorial da reta que é interseção desses dois planos.
9. Seja r a reta que passa pela origem e cujo vetor direor é −→u = −→i + 2−→j +
−→
k . Seja π o plano
cujo vetor nornal é ~n = (2, 1, 1) e que passa pelo ponto P = (2, 1, 0). Determine a intersecção
de r com π.
10. Dados os planos π1 : x− y + z = 1 e π2 : x+ y − z = 1, determine o plano que contém π1 ∩ π2
e é ortogonal ao vetor −→v = (−1, 1,−1).
11. Sejam P = (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).
(a) Mostre que P /∈ r.
(b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.
12. Esboce, em cada caso, o plano de equação:
(a) x+ y + z = 1
(b) x+ 2y − 3z = 6
(c) x+ y + z = 0
(d) x+ 2y − 3z = 0
(e) x+ y = 1
(f) x+ y = 3
(g) x+ y = 0
(h) x− 2z = 1
(i) x+ 3z = 5
(j) z = 2
(l) x = 1
(m) y = 3
13. (a) Em cada caso, escreva a equação geral do plano que passa pelo ponto P e tem vetor normal
~n.
i) P = (−1, 3,−2) e ~n = (−2, 1,−1)
ii) P = (2, 0, 0) e ~n = (0, 0, 2)
iii) P = (0, 0, 0) e ~n = (1, 2, 3)
(b) Esboce os planos obtidos no item anterior.
14. Encontre a equação geral do plano que é perpendicular à reta r :

x = 2
y = 1 + t
z = 2t
e que passa
pelo ponto P = (0, 1,−1).
2
15. Considere as retas r1 :

x = 1− t
y = 2 + 2t
z = t
e r2 :

x = 3s
y = −2− 6s
z = 1− 3s.
Encontre a equação geral do plano que contém as duas retas.
16. A reta r é a interseção dos planos π1 : 2x + 2y − z = 3 e π2 : x + y − z = 0. Obtenha a
interseção de r com o plano π : x+ 2y − 2z + 1 = 0.
17. Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos
planos x+ 2y − 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0.
18. Determine a interseção da reta r - que passa pela origem e tem vetor diretor ~u = ~i + 2~j + ~k -
com o plano 2x+ y + z = 5.
19. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x+ y− z = 0 e 2x− y+ 3z− 1 = 0. Ache
a equação geral do plano que passa por A = (1, 0,−1) e contém a reta r.
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GABARITO Lista de Exerćıcios 7
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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1. a) Vetorial: P = (5, 1, 3) + t(1, 4,−2) ,(t ∈ R)
Paramétricas:

x = 5 + t
y = 1 + 4t
z = 3− 2t
,(t ∈ R)
Exemplos de pontos: (6, 5, 1), (7, 9,−1)
b) Paramétricas:
{
x = t
y = 2t
,(t ∈ R)
Simétricas:
x
1
=
y
2
c) Paramétricas:

x = 2 + t
y = 1− t
z = t
,(t ∈ R)
Simétricas:
x− 2
1
=
1− y
1
=
z
1
2. Vetorial: P = (1, 2, 4) + t(−2,−1, 1) ,(t ∈ R)
Paramétricas:

x = 1− 2t
y = 2− t
z = 4 + t
,(t ∈ R)
Simétricas:
−x+ 1
2
=
−y + 2
1
=
z − 4
1
3. Paramétricas:

x = 2− 5t
y =
4t
3
z = −3 + 6t
,(t ∈ R)
Simétrica:
2− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
4.
x+ 1
3
=
y + 4
4
=
z + 2
5
OU
x− 2
3
=
y
4
=
z − 3
5
5.

x = 2 + 2t
y = 1− 3t
z = −1 + 3t
,(t ∈ R)
6. Um forma de se obter a equação vetorial do plano a partir da equação geral é obter três pontos
não colineares usando a equação geral. Para encontrar os pontos basta atribuir valores para x
e y por exemplo e encontrar z. Exemplos: se a equação do plano for 2x− y+ z = 0, para x = 1
e y = 2, você terá z = 0, então o ponto (1,2,0) é ponto do plano. Encontre outros dois que não
sejam colineares e você conseguirá encontrar a equação vetorial.
Nas respostas do gabarito apresentamos uma posśıvel forma da equação vetorial do plano.
4
(a) Eq. Geral do Plano: −2x+ y + 5z = 1.
Os pontos B = (0, 1, 0) e C = (2, 0, 1) estão no plano. Considerando os vetores
−→
AB e
−→
AC,
podemos gerar a seguinte equação vetorial:
Eq. Vetorial: x = (6, 3, 2) + α(−6,−2,−2) + β(−4,−3,−1).
(b) Eq. Vetorial: x = (4, 0,−3) + α(1, 0, 0) + β(0,−2, 1)
Eq. Geral do Plano: y + 2z = −6
(c) Eq. Vetorial: x = (2, 0, 1) + α(−2,−2, 1) + β(−7, 11, 8)
Eq. Geral do Plano: 3x− y + 4z = 10
(d) Eq. Vetorial :(1, 2, 3) + (1, 1, 1)t+ (3, 1,−1)u
Eq. Geral do Plano : : −2x+ 4y − 2z = 0
(e) Eq. Vetorial :(1, 3, 0) + (1,−2, 1)t+ (1, 1,−2)u
Eq. Geral do Plano: x+ y + z − 4 = 0.
(f) Eq. Vetorial : (1, 2, 0) + (1, 1, 0)t+ (2, 3,−1)u
Eq. Geral do Plano: : −x+ y + z + 1 = 0
(g) Eq. Vetorial = (1, 2, 0) + (−1,−1,−1)t+ (−1,−1, 0)u
Eq. Geral do Plano: x− y = −1
(h) Eq. Vetorial = (0, 1, 2) + (1,−5, 1)t+ (1,−9,−1)u
Eq. Geral do Plano: 7x+ y − 2z = −3
7. Eq. paramétricas:

x = 1 + 2t
y = 2− 2t
z = 1 + 4t
8. Eq. Vetorial Reta: x = (1, 0, 0) + α(5,−2,−3)
θ = 72
9. P = (1,2,1)
10. π: −x+ y − z + 1 = 0
11 π: 8x+ 6y − z − 39 = 0
12 a)
b)
5
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Nota: Para esboçar o plano, basta encontrar no mı́nimo três pontos pertencentes ao plano
(ou seja, que satsfazem a equação do plano) e ligá-los.
i) Exemplo de três pontos do plano: (5, 0, 0), (0, 0,5
3
), (2, 0, 1)
j) Como a equação geral é z = 2, o plano é paralelo ao plano xy e os pontos pertencentes a
ele são todos os pontos em que z = 2. Exemplo de três pontos do plano: (0, 0, 2), (1, 1,
2), (1, -9999, 2)
l) Como a equação geral é x = 1, o plano é paralelo ao plano yz e os pontos pertencentes a
ele são todos os pontos em que x = 1. Exemplo de três pontos do plano: (1, 0, 0), (1, 0,
1), (1, 1, 0)
6
m) Como a equação geral é y = 3, o plano é paralelo ao plano xz e os pontos pertencentes a
ele são todos os pontos em que y = 3. Exemplo de três pontos do plano: (0, 3, 0), (0, 3,
1), (1, 3, 0)
13 Nota:Para esboçar o plano, basta encontrar no mı́nimo três pontos pertencentes ao plano (ou
seja, que satsfazem a equação do plano) e ligá-los
a) i) −2x+ y − z = 7 ii) z = 0 iii) x+ 2y + 3z = 0
b) i) Exemplo de três pontos do plano: (0, 0, -7), (0,7,0),(−5
3
, 0, 0)
ii) Exemplo de três pontos do plano: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
iii) Exemplo de três pontos do plano: (0, 0, 0), (1, 1, -1), (-1, -1, 1)
14 y + 2z = −1
15 x+ z = 1
16 Intersecção: P=(1,2,3)
17 π : 5x− 10y − 5z = 0
18 A interseção é o ponto (1, 2, 1)
19 3x+ 2z = 1
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