Cálculo II -Séries-de-Fourier (Teoria e Ex)

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MAUÁ 
CÁLCULO II – EFB 103 – A5 
 
 
 
SÉRIE DE FOURIER 
 
 
a. conceitos iniciais 
 
 
1.1.1.1. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição.... 
 
Uma função f(x) definida para todo x∈ R é dita periódica se: 
f(x+T) = f(x)f(x+T) = f(x)f(x+T) = f(x)f(x+T) = f(x) 
 TTTT é o período período período período da função f(x). 
 
Exemplo 1.Exemplo 1.Exemplo 1.Exemplo 1. As funções: 
f(x) = 1f(x) = 1f(x) = 1f(x) = 1 
f(x) = cos xf(x) = cos xf(x) = cos xf(x) = cos x 
f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = sen xsen xsen xsen x 
f(x) = cos 2xf(x) = cos 2xf(x) = cos 2xf(x) = cos 2x 
f(x) = sen 2xf(x) = sen 2xf(x) = sen 2xf(x) = sen 2x 
f(x) = cos nxf(x) = cos nxf(x) = cos nxf(x) = cos nx 
f(x) = sen nxf(x) = sen nxf(x) = sen nxf(x) = sen nx 
 
são funções periódicas com período 2222pipipipi. 
 
 
Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2. A função representada no gráfico abaixo : 
 
 
é uma função periódica com período 2222pipipipi, 
 
 
 
 
Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 3 3 3 3 A função f(x) representada graficamente abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
é uma função periódica com período 2222pipipipi. 
 Essa função não é contínua para todo o eixo real, não sendo derivável 
nos pontos (0, 2pi, 4pi,…). Observe, também, que a função f(x) é limitada para 
todo x∈ R, isto é: 
|f(x)| ≤ 1 
 
 
 
Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 4 4 4 4 A função f(x) representada graficamente abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 é uma função periódica com período 2222pipipipi. 
 Essa função é contínua para todo x ε R, mas não derivável nos pontos 
(0, 2pi, 4pi,…), Observe, também, que a função f(x) é limitada para todo x∈ R, 
isto é: 
|f(x)| ≤ 1 
 
 
 
2.2.2.2. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição.... 
Dada uma função f(x)f(x)f(x)f(x) se, em todo seu domínio, 
a. f(f(f(f(----x)x)x)x) = f(x)= f(x)= f(x)= f(x): a função é denominada função par.função par.função par.função par. 
b. b. b. b. f(f(f(f(----x)x)x)x) = = = = ----f(x)f(x)f(x)f(x): a função é denominada função impar.função impar.função impar.função impar. 
 
 
 
f(x)f(x)f(x)f(x) 
xxxx 2222pipipipi 4444pipipipi 6666pipipipi 0000 
1111 
f(x)f(x)f(x)f(x) 
xxxx 2222pipipipi 4444pipipipi 0000 
1111 
6666pipipipi 
Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5. a. a. a. a. São funções pares 
f(x) = xf(x) = xf(x) = xf(x) = x2222 
ffff(x) = x(x) = x(x) = x(x) = x4444 
f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = |||| xxxx|||| 
f(x) = cos xf(x) = cos xf(x) = cos xf(x) = cos x 
 
 b. b. b. b. São funções ímpares 
f(x) = xf(x) = xf(x) = xf(x) = x 
f(x) = xf(x) = xf(x) = xf(x) = x3333 
f(x) = sin xf(x) = sin xf(x) = sin xf(x) = sin x 
 
 
b. séries de fourier 
 
1, 1, 1, 1, Definição:Definição:Definição:Definição: 
 Uma função f(x)f(x)f(x)f(x) , definida no intervalo [a, b] é seccionalmente contínua ou 
contínua por partes e suave, quando o intervalo pode ser dividido em um número 
finito de subintervalos tais que, para cada subintervalo: 
a.a.a.a. a função f(x)f(x)f(x)f(x) e suas derivadas f ‘ (x)f ‘ (x)f ‘ (x)f ‘ (x) e f ” (x)f ” (x)f ” (x)f ” (x) sejam contínuas, 
b.b.b.b. a função possua limites finitos à esquerda e à direita de cada subintervalo. 
 
 
Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6. 
 A função f(x) definida no intervalo [-pi, pi ] , representada no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode ser dividida em dois intervalos [-pi, 0 ] e [0, pi ] onde ela é contínua sendo: 
 x 0
x 0
f(x 0) lim f(x) 0
f(x 0) lim f(x) 1
−
+
→
→
− = =
+ = =
 
Ela é, portanto seccionalmente contínua no intervalo [-pi, pi ]. 
 
 
 
 
 
f(x) 
x 
-pipipipi pi 
1 
2, 2, 2, 2, Condições de DirichletCondições de DirichletCondições de DirichletCondições de Dirichlet 
 Uma função f(x)f(x)f(x)f(x) definida no intervalo (a, b) satisfaz às condições de Dirichlet se: 
a.a.a.a. for seccionalmente contínua. 
b.b.b.b. for limitada em cada subintervalo, isto é |f(x)| ≤ L, 
 
3, 3, 3, 3, Séries dSéries dSéries dSéries de Fouriere Fouriere Fouriere Fourier 
 Uma função f(x) que satisfaz às condições de Dirichlet no intervalo [-pi, pi,] pode ser 
representada pela série trigonométrica de Fourier: 
 
0
n n
1
a
f(x) (a cosnx b sennx)
2
∞
= + +∑ 
4, 4, 4, 4, Propriedades:Propriedades:Propriedades:Propriedades: 
a.a.a.a. Se a série converge no intervalo [-pi, pi,] ela converge para todo valor de x. 
b.b.b.b. Se x = a for um ponto de descontinuidade, então a soma da série de Fourier, 
neste ponto converge para a média aritmética dos limites à direita e à esquerda 
do ponto de descontinuidade, isto é : 
 
[ ]1f(a) f(a 0) f(a 0)
2
= + + − 
 
c.c.c.c. Nos limites do intervalo x = -pi e x = -pi 
 
 [ ]1f( ) f( ) f( 0) f( 0)
2
pi = −pi = −pi + + pi − 
 
4, 4, 4, 4, Propriedades de ortogonalidade de integrais envolvendo senos e coPropriedades de ortogonalidade de integrais envolvendo senos e coPropriedades de ortogonalidade de integrais envolvendo senos e coPropriedades de ortogonalidade de integrais envolvendo senos e co----senossenossenossenos 
 
 
 
se m n
sen nx sen m x dx
0 se m n
pi
− pi
pi =
=  ≠
∫ 
 
se m n
cos nx cos m x dx
0 se m n
pi
− pi
pi =
=  ≠
∫ 
 
cos nx sen m x dx 0
pi
− pi
=∫ 
 
 
Vamos fazer a demonstração para a primeira integral 
sen nx sen m x dx
pi
− pi
∫ 
o produto dos senos pode ser escrito na forma: 
 
1 1
sen nx sen mx cos(n m)x cos(n m)x
2 2
= − − + 
Assim, a integral acima pode ser escrita na forma: 
 
1 1
sen nx sen m x dx cos(n m)x dx cos(n m)x dx
2 2
pi pi pi
− pi − pi − pi
= − + +∫ ∫ ∫ 
Mas se n ≠ m 
 
sen(n m)x
cos(n m)x dx 0
n m
sen(n m)x
cos(n m)x dx 0
n m
pipi
−pi
−pi
pipi
−pi
−pi
−
− = =
−
+
+ = =
+
∫
∫
 
Se n = m 
 
cos(n m)x dx cos(n n)x dx dx 2
sen(2n)x
cos(2n)x dx 0
2n
pi pi pi
−pi −pi −pi
pipi
−pi
−pi
− = − = = pi
= =
∫ ∫ ∫
∫
 
Portanto: 
se m n
sen nx sen m x dx
0 se m n
pi
− pi
pi =
=  ≠
∫ 
O mesmo pode ser feito para as outras integrais do quadro mostrado no início deste parágrafo. 
5, 5, 5, 5, Coeficientes de FourierCoeficientes de FourierCoeficientes de FourierCoeficientes de Fourier 
 Com o uso das propriedades de ortogonalidade do parágrafo anterior, podemos determinar 
os coeficientes aaaannnn e bbbbnnnn da série de Fourier: 
 0 n n
1
a
f(x) (a cos nx b sen nx)
2
∞
= + +∑ 
Para tanto, vamos multiplicar essa equação por cos mxcos mxcos mxcos mx 
 0 n n
n 1
a
f(x)cosmx cosmx (a cosnx cosmx b sennx cosmx)
2
∞
=
= + +∑ 
 0 n n
n 1
a
f(x)cosmx dx cosmx dx (a cosnx cosmx dx b sennx cosmx dx)
2
pi pi pi pi∞
=
−pi −pi −pi −pi
= + +∑∫ ∫ ∫ ∫ 
Usando as propriedades de ortogonalidade e o fato que 
cosmx dx 0 m 0
pi
−pi
= ≠∫ 
Todos os termos se anularão exceto o termo: 
cos nx cos nx dx
pi
− pi
= pi∫ 
Assim: 
n
1
a f(x)cosnx dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
Analogamente 
0
1
a f(x)dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
n
1
b f(x)sin nx dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
6, 6, 6, 6, ResumoResumoResumoResumo 
 Se a função f(x) f(x) f(x) f(x)satisfaz às condições de Dirichlet no intervalo (-pi, pi ), ela pode ser 
estendida para todo o valor de x como uma função periódica de período 2pi através da série de 
Fourier: 
 
 0 n n
1
a
f(x) (a cos nx b sen nx)
2
∞
= + +∑ 
 0
1
a f(x)dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
 n
1
a f(x)cosnx dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
 n
1
b f(x)sin nx dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
7, 7, 7, 7, Paridade:Paridade:Paridade:Paridade: 
a.a.a.a. Se a função f(x)f(x)f(x)f(x) for par, os coeficientes bbbbnnnn serão nulos e a série será apenas de co-senos: 
 0 n
1
a
f(x) a cos nx
2
∞
= +∑ 
b.b.b.b. Se a função f(x)f(x)f(x)f(x) for impar, os coeficientes aaaannnn serão nulos e a série será apenas de senos: 
 n
1
f(x) b sen nx
∞
=∑ 
 
8, 8, 8, 8, Observação:Observação:Observação:Observação: 
 Estudamos as séries de Fourier considerando funções periódicas de período 2pi: No entanto, 
se o período for T, a substituição: 
2
x x
T
pi
→ 
leva à série de Fourier de período T: 
 
0
n n
1
a 2 nx 2 nx
f(x) (a cos b sen )
2 T T
∞ pi pi
= + +∑ 
9, 9, 9, 9, Usos da Série de Fourier:Usos da Série de Fourier:Usos da Série de Fourier:Usos da Série de Fourier: 
 A série de Fourier pode ser usada para representar: 
a.a.a.a. Funções periódicas. 
b.b.b.b. Funções seccionalmente contínuas que satisfaçam às condições de Dirichlet. 
 
c.c.c.c. exemplos 
1, 1, 1, 1, ExemploExemploExemploExemplo 
 Considere a função f(x) = xf(x) = xf(x) = xf(x) = x2222 no intervalo [-pi , pi ] , vamos representá-la pela série de Fourier. 
Como a função é par, os coeficientes bbbbnnnn são nulos. Vamos então determinar os coeficientes aaaannnn: 
 
3 3 3 2
2
0
1 1 x 1 2
a x dx
3 3 3 3
pipi
−pi −pi
 pi pi  pi
= = = + = pi pi pi  
∫ 
2
n
1
a x cos nx dx
pi
−pi
=
pi ∫
 
esta integral pode ser resolvida por partes, chamando: 
 
2v x v 2xdx
sen nx
u cos nx dx u
n
′= → =
′ = → =
 
 Desde que: u ' v dx uv uv dx′= −∫ ∫ 
Resulta: 
 
2
2 x sennx 2x cos nx dx x sen nx dx
n n
= −∫ ∫ 
que deve ser novamente integrada por partes fazendo: 
 
v x v xdx
cos nx
u sen nx dx u
n
′= → =
′ = → = −
 
 
 
 
2
x cosnx x cosnx sen nx1
x sen nx dx cos nx dx
n n n n
= − + = − +∫ ∫ 
assim: 
 
2
2
2
x sennx x cosnx sen nx2
x cos nx dx
n n n n
 
= − − +  ∫
 
ou: 
 
2
2
2 3
x sennx 2x cosnx 2 sen nx
x cos nx dx
n n n
= + −∫ 
portanto: 
 
2
2
n 2 3
x sennx 2x cosnx 2 sen nx1 1
a x cos nx dx
n n n
pi
pi
−pi
−pi
 
= = + − 
pi pi  
∫ 
ou: 
 
1 n par
cosn
1 n impar
→
pi = 
− →
 
mas 
 
1 n par
cosn
1 n impar
→
pi = 
− →
 
Deste modo os coeficientes procurados são: 
 
n
n 2
4( 1)
a
n
−
= 
Portanto a série de Fourier correspondente é: 
 
2 n
2
n 1
( 1) 4
S(x) cosnx
3 n
∞
=
pi −
= +∑ 
Os gráficos abaixo representam a soma obtida para vários valores de n: 
a. n = 2a. n = 2a. n = 2a. n = 2 
 
 
 
b. n = 3b. n = 3b. n = 3b. n = 3 
 
 
c. n = 5c. n = 5c. n = 5c. n = 5 
 
 
d. n = 9d. n = 9d. n = 9d. n = 9 
 
 
2, 2, 2, 2, ExempExempExempExemplolololo 
 Vamos obter a série de Fourier da função f(x) = x f(x) = x f(x) = x f(x) = x no intervalo [-pi, pi ] 
 
 
 
 
 
 
Como a função é impar, os coeficientes aaaannnn são todos nulos, enquanto: 
 n
0
1 2
b x sen nx dx x sen nx dx
pi pi
−pi
= =
pi pi∫ ∫
 
esta integral pode ser resolvida por partes, chamando: 
 
v x v xdx
cos nx
u sen x dx u
n
′= → =
′ = → = −
 
 Desde que: u ' v dx uv uv dx′= −∫ ∫ 
 
2
x cosnx x cosnx sen nx1
x sen nx dx cos nx dx
n n n n
= − + = − +∫ ∫ 
Assim: 
f(x) 
x 
 n 2
00 0
x cosnx x cosnx sen nx2 2 1 2
b x sen nx dx cosnx dx
n n n n
pipi pi   
= = − + = − +   pi pi pi   
∫ ∫ 
ou: 
 ( ) ( )nn 22 1 2b cos n 0 senn sen0 1n n n
pi 
= − pi + − pi − = − − pi  
 
Isto é: 
 ( )n 1n 2b 1
n
+
= − 
Portanto a série de Fourier correspondente é: 
 
n 1
1
( 1)
S(x) sen nx
n
+∞
−
=∑ 
Os gráficos abaixo representam a soma obtida para vários valores de n: 
 a. n=2a. n=2a. n=2a. n=2 
 
b. b. b. b. n = 3n = 3n = 3n = 3 
 
 c. n = 9c. n = 9c. n = 9c. n = 9 
 
 
d. n = 25d. n = 25d. n = 25d. n = 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAUÁ 
CÁLCULO II – DFM 202 – A8 
 
exercícios 
 
1.1.1.1. Obtenha a série de Fourier da função f(x) = x2 no intervalo [-pi, pi] .R: 
n2
2
n 1
( 1) 4
cos nx
3 n
∞
=
−pi
+∑ 
 
2.2.2.2. Obtenha a série de Fourier da função f(x) = x no intervalo [-pi, pi]. R: 
n 1
1
( 1)
sen nx
n
+∞
−
∑ 
 
3.3.3.3. Obtenha a série de Fourier da função f(x) = x3 no intervalo [-pi, pi]. R: ( )
2
n 1
3
1
6
2 1 sennx
n n
∞
+  pi 
− − 
 
∑ 
 
4.4.4.4. Dada a função 
1 x 0
f(x)
1 0 x
− −pi < <
=  < < pi
 
a. Construa o gráfico. 
b. Obtenha a expansão em série de Fourier 
 
5.5.5.5. Usando o resultado obtido no exercício anterior, determine o valor da função nos pontos 
 x = 0 e x = pi. 
 
6.6.6.6. Usando a série usada no exercício 1, mostre o resultado obtido por Gauss: 
2
2 2 2 2
1 1 1 1
6 1 2 3 4
pi
= + + + +… 
 
7.7.7.7. Usando a série usada no exercício 2, mostre que: 
1 1 1 1
4 1 3 5 7
pi
= − + − +… 
 
5.5.5.5. Dada função
x x 0
f(x)
x 0 x
− −pi < <
=  < < pi 
a. Construa o gráfico 
b. Obtenha a expansão em série de Fourier R: 
0
sen (2n 1) x4
S(x)
2n 1
∞ +
=
pi +
∑ 
 
8.8.8.8. Mostre que a série de Fourier da função f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = ||||sen xsen xsen xsen x|||| no intervalo [-pi, pi] é dada por: 
2
n 1
cos 2nx2 4
S(x)
4n 1
∞
=
= −
pi pi −
∑ 
 
9.9.9.9. Mostre que a série de Fourier da função f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = ||||cos xcos xcos xcos x|||| no intervalo [-pi, pi] é dada por: 
n 1
2
n 1
( 1) cos 2nx2 4
S(x)
4n 1
−∞
=
−
= −
pi pi −
∑ 
 
 
10.10.10.10. Dada função 
1 x 0
f(x)
0 0 x
−pi < <
=  < < pi
 
a. Construa o gráfico 
b. Obtenha a expansão em série de Fourier R: ( ) ( )
n 1
2
1
sen (2n 1) x4
S(x) 1
2n 1
∞
−
−
= −
pi −
∑ 
 
11.11.11.11. Dada função 
1 x 0
f(x)
1 0 x
− −pi < <
=  < < pi
 
a. Construa o gráficob. Obtenha a expansão em série de Fourier 
 
12.12.12.12. Dada função 
0 x 0
f(x) 1 0 x
2
0 x
2

−pi ≤ ≤

pi
= < <

pi ≤ ≤ pi
 R: 1 1 cos 3x sen3x cos 5x sen6xcos x senx sen2x ...
4 3 3 5 3
 + + + − + + + + pi  
 
a. Construa o gráfico. 
b. Obtenha a expansão em série de Fourier. 
 
13.13.13.13. Dada função 
x 0
f(x)
x 0 x
−pi −pi < <
=  < < pi
 
a. Construa o gráfico 
b. Obtenha a expansão em série de Fourier R: 
( ) ( )21 1
sen (2n 1) x cos (2n 1) x2
2
4 2n 1 2n 1
∞ ∞
− −pi
− + −
− pi −
∑ ∑ 
 
14.14.14.14. Usando o resultado obtido no exercício anterior mostre que: 
2 1 1 1
1 ...
8 9 25 49
pi
= + + + + 
 
15.15.15.15. Dada função 
1 x 0
f(x)
1 0 x
− −pi < <
=  < < pi
 
a. Construa o gráfico 
b. Obtenha a expansão em série de Fourier R: 
( ) ( )
n
2
1 1
cos (2n 1) x sen n x2
3 1
4 n2n 1
∞ ∞
−pi
− − −
pi −
∑ ∑ 
 
16.16.16.16. Um retificador é um dispositivo elétrico que permite a conversão de corrente alternada em 
corrente contínua. Um tipo de retificador de corrente é chamado meia onda que tranmite a 
tensão V = V0 sen ωt quando ela é positiva. Mostre que a tensão de saída é dada pela série 
de Fourier: 
V 2 2
1 sen t cos 2 t cos 4 t ...
2 3 15
pi + ω − ω − ω + pi  
 
 
 
17.17.17.17. Outro tipo de retificador de corrente é chamado onda completa que transmite o valor 
absoluto da tensãoinstantânea V = V0 sen ωt.Mostre que a tensão de saída é dada pela 
série de Fourier: 
0 0
2
n
2V 4V cos2n t
(2n) 1
ω
−
pi pi −
∑ 
18.18.18.18. Uma viga simplesmente apoiada está uniformemente carregada com uma carga q(x) = q por 
unidade de comprimento. A deflexão y(x) da viga obedece a equação diferencial 
4
4
d y
k q(x)
dx
= 
 onde k é uma constante denominada rigidez da viga. Usando série de Fourier, determine y(x).