1ª Lista de Exercícios Extras ELE 401 2º Semestre 2018

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UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá 
ELE 401 – Circuitos Magnéticos 
2º Semestre 2018 
Prof. Gustavo Lopes – ISEE 
 
 
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Exercícios	Extras	Capítulos	I	e	II	
	
1) Quatro bobinas estão magneticamente acopladas conforme figura a seguir. 
i1
M12
L1 L2 L3 L4
i2 i3 i4
M23 M34
M13 M24
 a) Determine a equação matricial referente aos fluxos enlaçados. 
b) Qual a equação da tensão induzida na bobina 2? Admitir todas as correntes nas bobinas do tipo alternada 
senoidal. 
c) Quais os coeficientes de acoplamento entre as bobinas (1) e (4), e entre as bobinas (2) e (3)? 
 
2) Calcule as correntes fasoriais 𝐼ሶଵ e 𝐼ሶଶ no circuito a seguir. 
 
3) Determine a tensão 𝑈ሶ଴ no circuito abaixo. 
 
4) Determine as correntes de malha 𝐼ሶଵ e 𝐼ሶଶ nos circuitos a seguir. 
 (a) (b) 
 
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5) Determine as correntes de malha no circuito a seguir. Considere 𝑣 ൌ 60 cosሺ4𝑡 ൅ 30ºሻ 𝑉. 
 
 
6) Considere as bobinas acopladas a seguir. Para a bobina (a) demostre que 𝐿௘௤ ൌ 𝐿ଵ ൅ 𝐿ଶ ൅ 2𝑀. Para a bobina (b) 
demonstre que 𝐿௘௤ ൌ ௅భ௅మିெ
మ
௅భା௅మିଶெ. 
 
7) Duas bobinas ligadas de forma a favorecer a conexão em série possuem indutância total de 500 mH. Quando 
ligadas em uma configuração de forma a se opor à conexão em série as bobinas apresentam uma indutância 
total de 300 mH. Se a indutância de uma bobina (L1) for três vezes a outra, determine L1, L2 e M. Qual é o 
coeficiente de acoplamento? 
 
8) As bobinas do circuito acoplado a seguir têm L1 = 40 mH, L2 = 5 mH e coeficiente de acoplamento k = 0,6. 
Determine i1(t) e v2(t) dado que v1(t) = 20 cos(ωt) V e i2(t) = 4 sen(ωt) A, ω = 2000 rad/s. 
 
 
 
 
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9) Determine 𝑈ሶ଴ nos circuitos a seguir. 
 (a) (b) 
 (c) 
10) Aplique a Lei de Kirchhoff das Tensões para determinar ix no circuito a seguir onde is(t) = 4 cos(600t) A e 
vs(t) = 110 cos(600t+30º) V. 
 
 
11) Obtenha o circuito equivalente com base na convenção do ponto para o circuito acoplado apresentado na 
figura a seguir e utilize-o para encontrar a tensão 𝑈ሶ no capacitor. 
 
 
12) Calcule a tensão 𝑈ሶ no circuito apresentado a seguir e repita os cálculos com a polaridade de uma bobina 
invertida. 
 
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13) Para o circuito acoplado apresentado a seguir calcule as correntes fasoriais de malha para as polaridades 
aditiva e subtrativa separadamente. Qual o impacto da alteração da polaridade nestas correntes? 
 
 
14) O diagrama simplificado a seguir mostra uma linha de transmissão de 138 kV e uma linha de distribuição de 
13,8 kV que dividem a mesma faixa de servidão. Estas linhas possuem acoplamento e são representadas por 
uma resistência em série com sua indutância própria. Por ocasião de manutenção, a linha de distribuição foi 
desconectada da sua fonte e aterrada. Durante a manutenção ocorreu um curto-circuito no ponto (2), 
levando o condutor à terra. Com base nestas informações e considerando os dados apresentados, responda: 
 
a) Desenhe o circuito elétrico acoplado com todos os componentes para este caso. 
b) Calcule a corrente induzida na linha de distribuição, I2 (módulo e ângulo). 
c) Calcule a corrente de curto-circuito na linha de transmissão, I1 (módulo e ângulo). 
 
	
j13 Ω 5 Ω 
138000
√3 ∠0° 𝑉 
(1) (2)
j0,9 Ω 0,35 Ω (3) (4)
j0,4 Ω 
Linha	de	Transmissão	em	138	kV	Fase‐fase
Linha	de	Distribuição	em	13,8	kV	Fase‐fase
I1
I2
 
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15) Determinar a impedância equivalente do circuito elétrico a seguir, admitindo os seguintes dados: 
 
 
16) Considere o seguinte circuito magnético composto por bobinas acopladas. Sabendo que i(t)=2,5 sen(200t) A 
e considerando os seguintes parâmetros, determine: 
 
 
 
 
a) A indutância equivalente desprezando o acoplamento magnético entre as 3 bobinas. 
b) A indutância equivalente considerando o acoplamento magnético apenas entre as bobinas (1) e (3). 
c) A indutância equivalente considerando o acoplamento magnético entre as 3 bobinas. 
d) O valor eficaz da tensão induzida na bobina (2). Admitir o acoplamento magnético entre as 3 bobinas. 
e) A equação da tensão instantânea entre os terminais (a) e (b). Admitir o acoplamento magnético entre as 3 
bobinas. 
 
17) Os dados da tabela a seguir foram obtidos para uma liga de ferro-níquel durante a geração de um ciclo de 
histerese ferromagnética em estado estacionário. 
 
H	(A.esp/m) B	(Wb/m2)
50 0,95 
25 0,94 
0 0,92 
-10 0,90 
-15 0,75 
-20 -0,55 
-25 -0,87 
-50 -0,95 
 
a) Desenhe a figura correspondente aos dados da tabela. 
b) Qual é o valor da indução residual? 
c) Considere que a curva de histerese é formada por segmentos de reta. Qual é o valor da força coercitiva? 
 
 
R () 10 
L1 (mH) 20 
L2 (mH) 50 
M (mH) 10 
C (F) 50 
 (rad/s) 1000 
L1 (mH) 30 
L2 (mH) 60 
L3 (mH) 50 
M12 (mH) 3 
M13 (mH) 5 
M23 (mH) 4 
 
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18) Um solenoide muito longo é enrolado em um núcleo cujo material apresenta susceptibilidade magnética 
igual a 200. A corrente neste solenoide é de 2 A e apresenta 750 espiras por metro. Supor que o material seja 
uniformemente magnetizado e que a indução é uniforme em toda a sua extensão. Determine: 
 
a) A intensidade magnética dentro do solenoide. 
b) A indução magnética total. 
c) A corrente superficial de ampère por unidade de comprimento. 
 
19) Calcule a autoindutância de uma bobina toroidal de raio interno “b”, raio externo “a” e raio médio d=(a+b)/2. 
Esta bobina possui “n” espiras por unidade de comprimento ao longo da circunferência média. Suponha que 
o toróide seja estreito, isto é, que a diferença entre os raios externo e interno, (a-b), seja muito menor que o 
raio médio “r”. 
 
a) Qual o valor da autoindutância para d=10 cm, área da secção transversal igual a 3 cm2 e n=50 voltas/cm? 
Considerar o núcleo de ar. 
b) Se esta bobina estiver enrolada em um material ferromagnético de permeabilidade relativa, µr=1200, qual 
será o valor da autoindução? 
 
20) Considere as curvas de saturação apresentadas a seguir. 
 
a) Qual a permeabilidade magnética relativa do ferro fundido para B=5000 Gauss? 
b) Qual o material que possui maior permeabilidade magnética? 
c) Qual o material que proporcionaria uma maior indutância quando aplicado em uma bobina com intensidade 
de campo magnético de 900 A/m? Demonstre. 
d) Qual o material que orienta os dipolos magnéticos elementares mais rapidamente?