4 Escoamento viscoso e Incompressível

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Mecânica dos Fluidos II
Escoamento interno Viscoso e Incompressível
Professor MSc. Diego P. A. Peña
Universidade Federal do Maranhão
São luís - MA, Brasil
1
Sumário
Introdução
Número de Reynolds
Escoamento Completamente Desenvolvido
Placas Paralelas Infinitas
Tubos
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo
Considerações de Energia
Referências
2
Introdução
Escoamentos internos são escoamento que são completamente
confinados/limitados por superfícies sólidas. Por exemplo, escoamento
em tubos, dutos, condutos, válvulas, acessórios, etc.
Como já visto, o regime de escoamento pode ser Laminar ou
Turbulento.
Os escoamentos laminares apresentam soluções analíticas, já os
turbulentos necessitam de investigação experimental e/ou teorias semi-
empíricas.
Além disso, considerar-se-á o escoamento sem transferência de
calor e incompressível (Ma < 0, 3. ou V < 100m/s ao ar).
3
Introdução
Escoamentos internos são escoamento que são completamente
confinados/limitados por superfícies sólidas. Por exemplo, escoamento
em tubos, dutos, condutos, válvulas, acessórios, etc.
Como já visto, o regime de escoamento pode ser Laminar ou
Turbulento.
Os escoamentos laminares apresentam soluções analíticas, já os
turbulentos necessitam de investigação experimental e/ou teorias semi-
empíricas.
Além disso, considerar-se-á o escoamento sem transferência de
calor e incompressível (Ma < 0, 3. ou V < 100m/s ao ar).
3
Introdução
Escoamentos internos são escoamento que são completamente
confinados/limitados por superfícies sólidas. Por exemplo, escoamento
em tubos, dutos, condutos, válvulas, acessórios, etc.
Como já visto, o regime de escoamento pode ser Laminar ou
Turbulento.
Os escoamentos laminares apresentam soluções analíticas, já os
turbulentos necessitam de investigação experimental e/ou teorias semi-
empíricas.
Além disso, considerar-se-á o escoamento sem transferência de
calor e incompressível (Ma < 0, 3. ou V < 100m/s ao ar).
3
Introdução
Escoamentos internos são escoamento que são completamente
confinados/limitados por superfícies sólidas. Por exemplo, escoamento
em tubos, dutos, condutos, válvulas, acessórios, etc.
Como já visto, o regime de escoamento pode ser Laminar ou
Turbulento.
Os escoamentos laminares apresentam soluções analíticas, já os
turbulentos necessitam de investigação experimental e/ou teorias semi-
empíricas.
Além disso, considerar-se-á o escoamento sem transferência de
calor e incompressível (Ma < 0, 3. ou V < 100m/s ao ar).
3
Introdução
Escoamentos internos são escoamento que são completamente
confinados/limitados por superfícies sólidas. Por exemplo, escoamento
em tubos, dutos, condutos, válvulas, acessórios, etc.
Como já visto, o regime de escoamento pode ser Laminar ou
Turbulento.
Os escoamentos laminares apresentam soluções analíticas, já os
turbulentos necessitam de investigação experimental e/ou teorias semi-
empíricas.
Além disso, considerar-se-á o escoamento sem transferência de
calor e incompressível (Ma < 0, 3. ou V < 100m/s ao ar).
3
Introdução
Número de Reynolds Re =
ρVD
µ
=
VD
ν
V (m/s) Velocidade do escoamento
D (m) Diâmetro do escoamento/Diâmetro interno da tubulação
ρ (m3/kg) Massa específica
µ (kg/m.s) Viscosidade Dinâmica
ν (m2/s) Viscosidade Cinemática
Escoamento Laminar < Recri < Escoamento Turbulento
Experimento de Reynolds
Para tubos Recri ≈ 2300
4
Introdução
Número de Reynolds Re =
ρVD
µ
=
VD
ν
V (m/s) Velocidade do escoamento
D (m) Diâmetro do escoamento/Diâmetro interno da tubulação
ρ (m3/kg) Massa específica
µ (kg/m.s) Viscosidade Dinâmica
ν (m2/s) Viscosidade Cinemática
Escoamento Laminar < Recri < Escoamento Turbulento
Experimento de Reynolds
Para tubos Recri ≈ 2300
4
Introdução
Número de Reynolds Re =
ρVD
µ
=
VD
ν
V (m/s) Velocidade do escoamento
D (m) Diâmetro do escoamento/Diâmetro interno da tubulação
ρ (m3/kg) Massa específica
µ (kg/m.s) Viscosidade Dinâmica
ν (m2/s) Viscosidade Cinemática
Escoamento Laminar < Recri < Escoamento Turbulento
Experimento de Reynolds
Para tubos Recri ≈ 2300
4
Introdução
Número de Reynolds Re =
ρVD
µ
=
VD
ν
V (m/s) Velocidade do escoamento
D (m) Diâmetro do escoamento/Diâmetro interno da tubulação
ρ (m3/kg) Massa específica
µ (kg/m.s) Viscosidade Dinâmica
ν (m2/s) Viscosidade Cinemática
Escoamento Laminar < Recri < Escoamento Turbulento
Experimento de Reynolds
Para tubos Recri ≈ 2300
4
Regimes de Escoamento
I 8.2 Considere um escoamento incompressível em um duto
circular. Deduza expressões gerais para o número de Reynolds
em termos de (a) vazão volumétrica e diâmetro do tubo (b) vazão
mássica e diâmetro do tubo. O número de Reynolds é 1800 em
uma seção onde o diâmetro do tubo é 10 mm. Encontre o
número de Reynolds para a mesma vazão em uma seção onde o
diâmetro do tubo é 6 mm.
I 8.3 Ar a 40◦C escoa em um sistema de tubos em que o diâmetro
é reduzido em dois estágios de 25 mm para 15 mm e para 10
mm. Cada seção tem 2m de comprimento. À medida que a vazão
é aumentada, em qual seção o escoamento tornar-se-á turbulento
primeiro? Determine as vazões nas quais uma, duas e, em
seguida, as três seções tornam-se turbulentas em primeira
instância. ρ = 1, 13kg/m3 e µ = 1, 91.10−5Ns/m2
5
Escoamento Completamente Desenvolvido
O comprimento de entrada é a região na qual o perfil de velocidade varia
em função da posição.
I Placas paralelas infinitas
I Tubos
6
Escoamento Completamente Desenvolvido
O comprimento de entrada é a região na qual o perfil de velocidade varia
em função da posição.
I Placas paralelas infinitas
I Tubos
6
Escoamento Completamente Desenvolvido
O comprimento de entrada é a região na qual o perfil de velocidade varia
em função da posição.
I Placas paralelas infinitas
I Tubos
6
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas
Um escoamento simples e muito usual é o
caso das placas paralelas.
Pode representar um sistema hidráulico
em alta pressão.
7
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Hipóteses: Escoamento permanente, incompressível e laminar:
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0
I u = 0 em y = a
Aplicando a 2a Lei de newton:∑
Fx = max = 0
8
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
[
p− ∂p
∂x
(
dx
2
)]
dydz −
[
p +
∂p
∂x
(
dx
2
)]
dydz +[
τyx +
dτyx
dy
(
dy
2
)]
dxdz−
[
τyx − dτyxdy
(
dy
2
)]
dxdz = 0
∂p
∂x
=
dτyx
dy
= cte
9
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
[
p− ∂p
∂x
(
dx
2
)]
dydz −
[
p +
∂p
∂x
(
dx
2
)]
dydz +[
τyx +
dτyx
dy
(
dy
2
)]
dxdz−
[
τyx − dτyxdy
(
dy
2
)]
dxdz = 0
∂p
∂x
=
dτyx
dy
= cte
9
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condiçõesde contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
dτyx
dy
=
∂p
∂x
= cte, com τ = µ
∂u
∂y
τyx =
∂p
∂x
y + C1
µ
∂u
∂y
=
∂p
∂x
y + C1
∂u
∂y
=
1
µ
∂p
∂x
y +
1
µ
C1
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de contorno:
I u = 0 em y = 0→ C2 = 0
I u = 0 em y = a→ C1 = −12
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 − 1
2µ
∂p
∂x
ay =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
10
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a)
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0 u(y)ldy→
Q
l
= − 1
12µ
∂p
∂x
a3
Lembrando que
∂p
∂x
= cte ≈ p2 − p1
L
=
−∆p
L
∴ Q
l
=
a3∆p
12µL
Velocidade média V =
Q
A
= − a
2
12µ
∂p
∂x
Velocidade máxima (du/dy = 0): y = a/2 ∴ u = 1, 5V
11
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Exemplo: Um sistema hidráulico opera em uma
pressão manométrica de 20 MPa e 55◦C. O
fluido hidráulico é óleo SAE 10W. Uma válvula
de controle consiste em um pistão, com diâmetro
de 25 mm, introduzido em um cilindro com uma
folga radial média de 0,005 mm. Determine a
vazão volumétrica de vazamento, se a pressão
manométrica sobre o lado de baixa pressão do
pistão for 1,0 MPa. (O pistão tem 15 mm de
comprimento.)
Óleo SAE 10W
µ = 0, 018kg/m.s
ρ = 920kg/m3
12
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Condições de
Contorno:
u = 0 em y = 0
u = U em y = a
(a) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx < 0
(b) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx > 0
(c) Placa superior movendo-se com velocidade U > 0 e dp/dx = 0
(d) Placa superior estacionária U = 0 e dp/dx < 0
13
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condiçõesde Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
Para modelar os escoamentos é preciso aplicar as condições de
contorno corretas para a Equação Diferencial, que é válida para todos
os casos.
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
y2 +
1
µ
C1y + C2
Condições de Contorno:
u = 0 em y = 0 ∴ C2 = 0
u = U em y = a ∴ C1 =
µU
a
− 1
2
∂p
∂x
a
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
E em seguida, todas as outras grandezas devem ser recalculadas
conforme procedimento anterior.
14
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre
Placas Paralelas Infinitas Estacionárias
u (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ a
0
[
1
2µ
∂p
∂x
(
y2 − ay)+ U
a
y
]
(ldy)
Q = Ua/2− 1
12µ
∂p
∂x
a3
Velocidade média V = Q/A
Velocidade máxima (du/dy = 0):
u′ (y) =
1
2µ
∂p
∂x
(2y− a) + U
a
= 0 ∴ y = −
µ
U
a
∂p
∂x
+
a
2
Tensão cisalhante τ = µ
du
dy
=
1
2
∂p
∂x
(2y− a) + µU
a
15
Exercícios
I 8.7 O perfil de velocidade para escoamento completamente
desenvolvido entre placas planas paralelas estacionadas é dado
por u = a(h2/4 − y2), na qual a é uma constante, h é o
espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da
linha de centro da folga. Desenvolva a razão V/umax.
I 8.12 Uma grande massa é suportada por um pistão
de diâmetroD = 100 mm e comprimento L =
100 mm. O pistão está assentado em um cilindro
fechado no fundo. A folga a = 0,025 mm entre a
parede do cilindro e o pistão é preenchida com óleo
SAE 10W a 20◦C onde µ = 0, 1Ns/m2. O pistão
desliza lentamente devido ao peso da massa, e o
óleo é forçado a sair à taxa de 6× 10−6m3/s . Qual
é o valor da massa (em kg)?
16
Exercícios
I 8.25 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas
infinitas. As placas estão separadas pela distância 2h, e as duas
camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade
dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior.
Se a placa inferior é estacionária e a placa superior se move com
velocidade constante U = 6,1 m/ s, qual é a velocidade na
interface? Admita escoamentos laminares e que o gradiente de
pressão na direção do escoamento é zero.
17
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido em um
Tubo
Le
D
= 0, 06Re ∴ Le = 0, 06.D.Re
I 8.1 Ar a 100◦C entra em um duto circular de diâmetro 125 mm.
Encontre a vazão volumétrica na qual o escoamento torna-se
turbulento. Para essa vazão, estime o comprimento de entrada
necessário para estabelecer escoamento completamente
desenvolvido.
18
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo
Hipóteses: Escoamento permanente, incompressível e laminar,
axissimétrico:
Condições de contorno:
I u = 0 em r = R
Aplicando a 2a Lei de newton:∑
Fx = max = 0
19
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo
Hipóteses: Escoamento permanente, incompressível e laminar,
axissimétrico:
Condições de contorno:
I u = 0 em r = R
Aplicando a 2a Lei de newton:∑
Fx = max = 0
19
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
ppir2 − (p + dp)pir2 − τ2pirdx + γpir2dx sin θ = 0 ; sin θ = −dh/dx
−dppir2 − τ2pirdx + γpir2dx(−dh
dx
) = 0
τ = − r
2
d
dx
(p + γh) = −µdu
dr
du
dr
=
r
2µ
d
dx
(p + γh) ∴ u(r) = 1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 + C
)
como u = 0 em r = r0 → u(r) = 14µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
20
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planasparalelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidade máxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e u′(r) =
1
2µ
d
dx
(p + γh) r
Semelhantemente ao caso das placas planas paralelas, podemos calcular as
demais variáveis em função da distribuição de velocidades:
Tensão cisalhante τ = −µdu
dr
= −1
2
d
dx
(p + γh) r
Vazão Q =
∫
~Vd~A =
∫ r0
0
[
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)]
(2pirdr)
Q = −pir
4
0
8µ
d (p + γh)
dx
=
pir40
8µ
∆(p + γh)
L
Velocidade média V = Q/A = − r
2
0
8µ
d (p + γh)
dx
Para um tubo horizontal: ∆p =
8µVL
r20
Velocidademáxima(du/dr=0): r = 0 ∴ Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh) = 2V
21
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
Com: u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
Podemos ainda escrever
u
Vmax
:
u
Vmax
=
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
− r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
=
(
r2 − r20
)
−r20
= 1−
(
r
r0
)2
22
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
Com: u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
Podemos ainda escrever
u
Vmax
:
u
Vmax
=
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
− r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
=
(
r2 − r20
)
−r20
= 1−
(
r
r0
)2
22
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
Com: u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
Podemos ainda escrever
u
Vmax
:
u
Vmax
=
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
− r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
=
(
r2 − r20
)
−r20
= 1−
(
r
r0
)2
22
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
Com: u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
Podemos ainda escrever
u
Vmax
:
u
Vmax
=
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
− r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
=
(
r2 − r20
)
−r20
= 1−
(
r
r0
)2
22
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido num
Tubo: Escoamento de Poiseuille
Com: u(r) =
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
e Vmax = − r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
Podemos ainda escrever
u
Vmax
:
u
Vmax
=
1
4µ
d
dx
(p + γh)
(
r2 − r20
)
− r
2
0
4µ
d
dx
(p + γh)
=
(
r2 − r20
)
−r20
= 1−
(
r
r0
)2
22
Exercícios
I Dedução Obter o perfil u(r) para Escoamento Laminar
Completamente Desenvolvido entre Tubos Concêntricos
I E8.3 Um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com um
tubo capilar. Se a vazão em volume e a queda de pressão forem
medidas, e a geometria do tubo for conhecida, a viscosidade de
um fluido newtoniano poderá ser calculada. Um teste de certo
líquido em um viscosímetro capilar forneceu os seguintes dados:
Q = 880mm3/s ; L = 1m ; D = 0, 5mm ; ∆p = 1, 0MPa
23
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo
Para o escoamento Turbulento Completamente desenvolvido num
Tubo, as equações deduzidas anteriormente para o regime Laminar
não são válidas e precisa-se de dados experimentais para analisar tais
problemas.
Decomposição de Reynolds:
u = U + u′ ; v = V + v′ ; w = W + w′
24
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo
Nesse ponto, introduz-se o conceito de Tensões de Reynolds denotando
a componente turbulenta.
τ = τlam + τturb = µ
du
dy − ρu′v′
Onde: τwall =
−R
2
dp
dx
25
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo
Nesse ponto, introduz-se o conceito de Tensões de Reynolds denotando
a componente turbulenta.
τ = τlam + τturb = µ
du
dy − ρu′v′
Onde: τwall =
−R
2
dp
dx
25
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo
Nesse ponto, introduz-se o conceito de Tensões de Reynolds denotando
a componente turbulenta.
τ = τlam + τturb = µ
du
dy − ρu′v′
Onde: τwall =
−R
2
dp
dx
25
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo Liso
τ = µdudy − ρu′v′→
τ
ρ
=
µ
ρ
du
dy − u′v′ = ν dudy − u′v′
Velocidade de atrito u∗ =
τ
ρ
; u+ =
u
u∗
; y+ = y
u∗
ν
Subcamada viscosa 0 ≤ y+ ≤ 5 u+ = y+
Região externa y+ > 30 u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 0
26
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo Liso
τ = µdudy − ρu′v′→
τ
ρ
=
µ
ρ
du
dy − u′v′ = ν dudy − u′v′
Velocidade de atrito u∗ =
τ
ρ
; u+ =
u
u∗
; y+ = y
u∗
ν
Subcamada viscosa 0 ≤ y+ ≤ 5 u+ = y+
Região externa y+ > 30 u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 0
26
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo Liso
τ = µdudy − ρu′v′→
τ
ρ
=
µ
ρ
du
dy − u′v′ = ν dudy − u′v′
Velocidade de atrito u∗ =
τ
ρ
; u+ =
u
u∗
; y+ = y
u∗
ν
Subcamada viscosa 0 ≤ y+ ≤ 5 u+ = y+
Região externa y+ > 30 u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 0
26
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo Liso
τ = µdudy − ρu′v′→
τ
ρ
=
µ
ρ
du
dy − u′v′ = ν dudy − u′v′
Velocidade de atrito u∗ =
τ
ρ
; u+ =
u
u∗
; y+ = y
u∗
ν
Subcamada viscosa 0 ≤ y+ ≤ 5 u+ = y+
Região externa y+ > 30 u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 0
26
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo Liso
τ = µdudy − ρu′v′→
τ
ρ
=
µ
ρ
du
dy − u′v′ = ν dudy − u′v′
Velocidade de atrito u∗ =
τ
ρ
; u+ =
u
u∗
; y+ = y
u∗
ν
Subcamada viscosa 0 ≤ y+ ≤ 5 u+ = y+
Região externa y+ > 30 u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 0
26
Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num
Tubo Liso
τ = µdudy − ρu′v′→
τ
ρ
=
µ
ρ
du
dy − u′v′ = ν dudy − u′v′
Velocidade de atrito u∗ =
τ
ρ
; u+ =
u
u∗
; y+ = y
u∗
ν
Subcamada viscosa 0 ≤ y+ ≤ 5 u+ = y+
Região externa y+ > 30 u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 0
26
Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido em um
Tubo Liso
Perfis de velocidade para escoamento turbulento completamente
desenvolvido em um tubo liso.
Dados de Laufer Laminar e Lei de Potência
u
U
=
(
1− r
R
)1/n
27
Considerações de Energia
Linha de Energia LE =
p
ρg
+
V2
2g
+ z
Escoamento permanente,
incompressível, Energia e
pressão uniformes nas
seções
1a Lei da Termodinâmica: Q˙− W˙ = ∆E
Q˙ −��˙WS −����
��˙Wcisalhamento −����˙Woutros =
�
��
∂
∂t
∫
VC eρdV +
∫
A (e + pv) ρ~V · d~A
e = u +
V2
2
+ gz
Q˙ = m˙ (u2 − u1) + m˙
(
p2
ρ
− p1
ρ
)
+ m˙g (z2 − z1) +
∫
A
V22
2
ρV2dA2 −∫
A
V21
2
ρV1dA1
28
Considerações de Energia
Linha de Energia LE =
p
ρg
+
V2
2g
+ z
Escoamento permanente,
incompressível, Energia e
pressão uniformes nas
seções
1a Lei da Termodinâmica: Q˙− W˙ = ∆E
Q˙ −��˙WS −����
��˙Wcisalhamento −����˙Woutros =
�
��
∂
∂t
∫
VC eρdV +
∫
A (e + pv) ρ~V · d~A
e = u +
V2
2
+ gz
Q˙ = m˙ (u2 − u1) + m˙
(
p2
ρ
− p1
ρ
)
+ m˙g (z2 − z1) +
∫
A
V22
2
ρV2dA2 −∫
A
V21
2
ρV1dA1
28
Considerações de Energia
Linha de Energia LE =
p
ρg
+
V2
2g
+ z
Escoamento permanente,
incompressível, Energia e
pressão uniformes nas
seções
1a Lei da Termodinâmica: Q˙− W˙ = ∆E
Q˙ −��˙WS −����
��˙Wcisalhamento −����˙Woutros =
�
��
∂
∂t
∫
VC eρdV +
∫
A (e + pv) ρ~V · d~A
e = u +
V2
2
+ gz
Q˙ = m˙ (u2 − u1) + m˙
(
p2
ρ
− p1
ρ
)
+ m˙g (z2 − z1) +
∫
A
V22
2
ρV2dA2 −∫
A
V21
2
ρV1dA1
28
Considerações de Energia
Linha de Energia LE =
p
ρg
+
V2
2g
+ z
Escoamento permanente,
incompressível, Energia e
pressão uniformes nas
seções
1a Lei da Termodinâmica: Q˙− W˙ = ∆E
Q˙ −��˙WS −����
��˙Wcisalhamento −����˙Woutros =
�
��
∂
∂t
∫
VC eρdV +
∫
A (e + pv) ρ~V · d~A
e = u +
V2
2
+ gz
Q˙ = m˙ (u2 − u1) + m˙
(
p2
ρ
− p1
ρ
)
+ m˙g (z2 − z1) +
∫
A
V22
2
ρV2dA2 −∫
A
V21
2
ρV1dA1
28
Considerações de Energia
Linha de Energia LE =
p
ρg
+
V2
2g
+ z
Escoamento permanente,
incompressível, Energia e
pressão uniformes nas
seções
1a Lei da Termodinâmica: Q˙− W˙ = ∆E
Q˙ −��˙WS −����
��˙Wcisalhamento −����˙Woutros =
�
��
∂
∂t
∫
VC eρdV +
∫
A (e + pv) ρ~V · d~A
e = u +
V2
2
+ gz
Q˙ = m˙ (u2 − u1) + m˙
(
p2
ρ
− p1
ρ
)
+ m˙g (z2 − z1)+
∫
A
V22
2
ρV2dA2 −∫
A
V21
2
ρV1dA1
28
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Considerações de Energia
∫
A
V2
2
ρVdA = α
∫
A
V2
2
ρVdA = αm˙
V2
2
Coeficiente de energia
cinética α :
Regime α
Laminar 2,0
Turbulento 1,0
Q˙
m˙
= u2 − u1 + p2
ρ
− p1
ρ
+ gz2 − gz1 + α2V
2
2
2
− α1V
2
1
2(
p1
ρ
+ gz1 +
α1V21
2
)
−
(
p2
ρ
+ gz2 +
α2V22
2
)
= u2 − u1 − Q˙m˙ = hlT(
p1
ρg
+ z1 +
α1V21
2g
)
−
(
p2
ρg
+ z2 +
α2V22
2g
)
=
hlT
g
= hLT
29
Máquinas de fluxo
∆hbomba =
W˙bomba
m˙
=
(
p
ρ
+ gz +
V2
2
)
descarga
−
(
p
ρ
+ gz +
V2
2
)
succao
η =
W˙bomba
W˙entrada
30
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Perda de Carga
Para um tubo horizontal: τ = −1
2
dp
dx
r =
r
2
∆p
L
→ ∆p = 2τL/r
Introduzindo o Fator de Atrito: f =
τ0
1
8
ρV2
∆p
γ
= f
L
D
V2
2g
= hL
Equação de Darcy-Weisbach /Perda de Carga
Lembrando que: ∆p =
8µVL
r20
→ f = 64
Re
Para Regime LAMINAR
Ou ainda: hL = 32
µLV
γD2
31
Influência da Rugosidade
Parede Lisa Parede Rugosa
A parede é lisa quando a
subcamada viscosa é grande
comparada a rugosidade.
Rugosidade relativa =
e
D
32
Perda de Carga
Fator de atrito f para Regime turbulento é dado pela equação empírica
de Colebrook que representa o diagrama de Moody.
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
+
2, 51
Re
√
f
)
I Tubo Liso (e = 0)
1√
f
= 0, 86 ln
(
Re
√
f
)− 0, 8
I Regime Turbulento (Re→∞)
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
)
33
Perda de Carga
Fator de atrito f para Regime turbulento é dado pela equação empírica
de Colebrook que representa o diagrama de Moody.
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
+
2, 51
Re
√
f
)
I Tubo Liso (e = 0)
1√
f
= 0, 86 ln
(
Re
√
f
)− 0, 8
I Regime Turbulento (Re→∞)
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
)
33
Perda de CargaFator de atrito f para Regime turbulento é dado pela equação empírica
de Colebrook que representa o diagrama de Moody.
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
+
2, 51
Re
√
f
)
I Tubo Liso (e = 0)
1√
f
= 0, 86 ln
(
Re
√
f
)− 0, 8
I Regime Turbulento (Re→∞)
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
)
33
Diagrama de Moody
34
Perda de Carga Concentrada
A perda de carga concentrada está presente em curvas, cotovelos,
T’s, conexões de uma forma geral.
hL = K
V2
2g
= f
Leq
D
V2
2g
Leq =
KD
f
Leq é o comprimento equivalente em metros de tubulação.
35
Perda de Carga Concentrada
A perda de carga concentrada está presente em curvas, cotovelos,
T’s, conexões de uma forma geral.
hL = K
V2
2g
= f
Leq
D
V2
2g
Leq =
KD
f
Leq é o comprimento equivalente em metros de tubulação.
35
Perda de Carga Concentrada
A perda de carga concentrada está presente em curvas, cotovelos,
T’s, conexões de uma forma geral.
hL = K
V2
2g
= f
Leq
D
V2
2g
Leq =
KD
f
Leq é o comprimento equivalente em metros de tubulação.
35
Perda de Carga Concentrada
A perda de carga concentrada está presente em curvas, cotovelos,
T’s, conexões de uma forma geral.
hL = K
V2
2g
= f
Leq
D
V2
2g
Leq =
KD
f
Leq é o comprimento equivalente em metros de tubulação.
35
Perda de Carga Concentrada
36
Perda de Carga Concentrada
37
Perda de Carga Concentrada
38
Perda de Carga: Resumo
Fator de Atrito
I Regime Laminar (Re < 2300) f =
64
Re
I Regime Turbulento (Re ≥ 2300)
1√
f
= −0, 86 ln
(
e
3, 7D
+
2, 51
Re
√
f
)
Perda de Carga
I Distribuída hL = f
L
D
V2
2g
I Concentrada hL = K
V2
2g
= f
Leq
D
V2
2g
Duto não circular - Substituir o D por DH
DH =
4A
P
39
Procedimento de Cálculo
Há basicamente 3 tipos de problemas de perda de carga:
I Cálculo de hL = f (Q,D, e, ν,L)
I Cálculo de Q = f (D, e, ν, hL)
I Cálculo de D = f (Q, e, ν, hL)
40
I Exemplo 8.6 - Perda de carga Desconhecida - Petróleo cru escoa
através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca a uma taxa
de 2, 944m3/s. O diâmetro interno do tubo é 1,22 m; a rugosidade
do tubo é equivalente à do ferro galvanizado(e=0,15). A pressão
máxima admissível é 8,27 MPa; a pressão mínima requerida para
manter os gases dissolvidos em solução no petróleo cru é 344,5
kPa. O petróleo cru tem SG = 0,93; sua viscosidade à temperatura
de bombeamento de 60oC é µ = 0, 0168Ns/m2. Determine o
espaçamento máximo possível entre estações de bombeamento.
Se a eficiência da bomba é de 85%, determine a potência que
deve ser fornecida a cada estação de bombeamento.
41
I Exemplo 8.7 - Vazão Desconhecida - Um sistema de proteção
contra incêndio é suprido por um tubo vertical de 24,4 m de
altura, a partir de uma torre de água. O tubo mais longo no
sistema tem 182,9 m e é feito de ferro fundido com cerca de 20
anos de uso. O tubo contém uma válvula de gaveta; outras perdas
menores podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é 101,6
mm. Determine a vazão máxima de água através desse tubo.
42
I Exemplo 8.8 - Diâmetro Desconhecido - As cabeças
borrifadoras (sprinklers) de um sistema de irrigação agrícola
devem ser supridas com água proveniente de uma bomba
acionada por motor de combustão interna, através de 152,4 m de
tubos de alumínio trefilado. Na sua faixa de operação de maior
eficiência, a descarga da bomba é 0,0946 m3/s a uma pressão não
superior a 448,2 kPa (manométrica). Para operação satisfatória,
os borrifadores devem operar a 206,8 kPa (manométrica) ou
mais. Perdas menores e variações de elevação podem ser
desprezadas. Determine o menor diâmetro de tubo-padrão que
pode ser empregado.
43
I 8-176 Água para resfriamento de perfuratrizes de rocha é
bombeada de um reservatório para um canteiro de obras, usando
o sistema de tubos mostrado. A vazão deve ser de 38 L/s e a água
deve deixar o bocal de resfriamento (spray) a 37 m/s. Calcule a
mínima pressão necessária na saída da bomba. Estime a potência
de acionamento requerida, sendo a eficiência da bomba de 70%
44
I Potter 7-122 Determine a vazão do tubo mostrado abaixo.
45
Referências
1. FOX, R. W., PRITCHARD, P. J., MCDONALD, A. T. Introdução
a Mecânica dos Fluidos, LTC, 2014.
2. POTTER, M. C., WIGGERT, D. C. Mecânica dos Fluidos.
Thomson Pioneira.
3. OKIISHI, T. H., YOUNG, D. F., MUNSON, B. R. Fundamentos
da Mecânica dos Fluidos V.1. Edgard Blucher.
4. OKIISHI, T. H., YOUNG, D. F., MUNSON, B. R. Fundamentos
da Mecânica dos Fluidos V.2. Edgard Blucher.
5. KUNDU, P. K, COHEN, I. M., DOWLING, D. R. Fluid
Mechanics. Elsevier, 2012.
46
	Sumário
	Introdução
	Número de Reynolds
	Escoamento Completamente Desenvolvido
	Placas Paralelas Infinitas
	Tubos
	Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido num Tubo
	Considerações de Energia
	Referências