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Unidade 10 Flambagem

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Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 163 
 
10. FLAMBAGEM 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Deduzir as expressões que permitem o cálculo da deflexão, da carga 
crítica e das tensões normais, em uma coluna bi-rotulada sob 
carregamento excêntrico. 
- Definir os diferentes tipos de equilíbrio. 
- Definir flambagem. 
- Definir carga crítica. 
- Definir, identificar e comparar as diferentes condições de extremidades. 
- Determinar como se faz um dimensionamento prático de colunas. 
- Definir o processo ômega. 
- Solucionar exercícios sobre os diversos tópicos acima. 
 
 
10.1 - COLUNAS SOB CARGA EXCÊNTRICA: CÁLCULO DA DEFLEXÃO E DAS 
 TENSÕES MÁXIMAS 
 
Neste nosso estudo, denominaremos de escora, coluna e pilar, uma peça que 
trabalha essencialmente à compressão, sem fazer distinções. Vamos iniciar o estudo com uma 
coluna excêntrica, e extrapolando a excentricidade para zero, caímos no estudo de um pilar 
sob carga axial cêntrica que é o caso mais comum. 
Seja uma coluna bi-rotulada, fina e longa (esbelta) sujeita a uma carga paralela 
a seu eixo, mas aplicada excentricamente com uma excentricidade e. Esta é medida a partir do 
centro de gravidade (G) da seção transversal. O plano xy é plano de simetria do pilar e este, 
defletirá neste plano, em torno do eixo z, eixo de menor inércia. (Fig. 91). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 91 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 164 
 
O momento fletor a uma distância x da articulação inferior será: 
( )yePM += 
 
Para determinarmos o sinal de M, damos à coluna uma rotação de 90º no 
sentido horário e a tratamos como se fosse uma viga (tração nas inferiores, M positivo). 
 
Mas: 
EI
M
dx
yd
2
2
−= (10.1) 
 
Logo: 
( ) ( )yek
EI
yeP
dx
yd 2
2
2
+−=+−= 
 
Onde: 
EI
Pk = ⇒ se kl/2 > 0,1, a escora será considerada esbelta. 
 
Assim: ekyk
dx
yd 22
2
2
−=+ 
 
A solução desta equação diferencial é: 
e)kx(cosC)kx(senCy 21 −+= (10.2) 
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições 
de contorno. 
Deste modo: 
 
y = 0 para x = l e x = 0. 
eCe1C0C0 221 =∴−+= .. (10.3) 
e)kl(cose)kl(sen.C0 1 −+= 
[ ] [ ]
)kl(sen
)kl(cos1e
C)kl(cos1e)kl(sen.C 11
−=∴−= 
ou: 

=
2
kltg.eC1 (10.4) 
Substituindo (10.3) e (10.4) em (10.2) obtemos: 
e1kxkx
2
kltgy .)(cos)(sen. 

 −+

= (10.5) 
Esta fórmula permite determinar o valor da deflexão y em qualquer ponto do 
pilar, conhecidos os valores de: x, e, P, E e l. 
 
A deflexão máxima ocorre no meio do pilar, para x = (l/2) e é dada por: 


 −

+



= 1
2
klcos
2
klsen.
2
kltg.eδ 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 165 
 


 −

=













−
= 1
2
klsec.e
2
klcos
2
klcos1
.eδ (10.6) 
 
Façamos um estudo detalhado da equação (10.6): 
 
Para P = 0, a deflexão δ é nula. Selecionemos uma excentricidade e1 e tracemos 
graficamente P x δ obtendo uma curva, Fig. 92. Selecionemos outra excentricidade e2 > e1 e 
façamos como anteriormente. Analisando a Fig. 92 verificamos que δ cresce com P, mas não 
de modo linear. Para um mesmo valor de δ a curva de e2 > e1 fornece valores menores para P, 
ou seja, quanto maior a excentricidade, menor a carga P que provoca a mesma deflexão. A 
deflexão cresce muito quando P se aproxima do valor Pc e todas as curvas, 
independentemente do valor de e, se tornam assintóticas à horizontal traçada por Pc. A 
deflexão δ se torna infinita quando P for igual a Pc. Dizer que a deflexão se torna infinita é o 
mesmo que fazer kl/2 = π/2, pois sec (π/2) = ∞. 
 
Logo: 
22
l.
EI
P
22
kl c ππ =∴= 
ou: 2
2
c l
I.E.P π= (10.7) 
 
 
Figura 92 
 
) Toda deflexão δ verificada dentro da fase elástica, para colunas excêntricas, é reversível desde que P < Pc, e que as deflexões não sejam grandes. 
 
Quando P ≥ Pc, a coluna excêntrica se torna instável provocando o 
aparecimento de grandes deformações e de aumento considerável da tensão, causando a ruína 
da coluna. É preciso ter em mente que todas as deformações verificadas no estudo da Fig. 92 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 166 
 
são pequenas, pois a expressão da linha elástica que originou todas as fórmulas é válida para 
pequenas deformações somente. Se estas não são pequenas, deve ser usada a expressão exata 
da linha elástica e, para grandes deformações, o limite de proporcionalidade será, 
provavelmente, ultrapassado. 
 
) Pelo fato de não haver linearidade entre P e δ, não se pode aplicar o princípio da superposição para cálculo das deflexões. 
 
A análise da expressão (10.6) mostra que quando e = 0, δ será nula, a não ser 
quando P se aproxima de Pc - teremos uma indeterminação. 
 
) Como todas as curvas tendem assintoticamente para a reta horizontal a partir de Pc, independente do valor de e, por menor que seja, concluímos que a carga Pc, que 
flamba uma coluna excêntrica, flamba também uma coluna cêntrica. A diferença 
fundamental reside nos valores das deflexões. A coluna com carga cêntrica, 
permanece com a forma reta, estável, até que P se aproxima de Pc. Quando P ≥ Pc, 
ela flamba bruscamente sem aviso prévio, provocando muitas vezes, uma ruína 
catastrófica. 
 
A coluna sob carga excêntrica já sofre deflexões elásticas para valores de P < 
Pc. Estas deflexões serão tanto maiores quanto maior for a excentricidade e, finalmente, 
podemos afirmar que não existe na prática colunas com excentricidade nula. Sempre existirá 
uma pequena excentricidade originada por algum defeito do pilar, pela presença de alguma 
carga transversal que produz momento, por algum defeito na fabricação, etc.. 
Observando a Fig. 92, o momento fletor máximo verifica-se para x = l/2 (maior 
braço de alavanca da carga P) e vale: 
 
( ) 

=+=
2
klsec.e.PePM máx δ (10.8) 
Aplicando o princípio da superposição para cálculo das tensões, podemos 
escrever: c
máx
comp
máx Y.I
M
A
P +=σ 
Yc: distância de G à fibra mais comprimida 
 


 +−= tmáx
tração
máx Y.I
M
A
Pσ 
 
Yt: distância de G à fibra mais tracionada 
I: momento de inércia em torno do eixo em que se processa a flexão. No nosso 
caso, eixo z. 
 
 
 
 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 167 
 
10.2 - EQUILÍBRIO ELÁSTICO ESTÁVEL E INSTÁVEL: CARGA CÊNTRICA OU 
CONCÊNTRICA 
 
Em um sistema que se encontra em estado deformado, o equilíbrio entre cargas 
externas e tensões internas, originadas por elas, pode não só ser estável como instável. 
O equilíbrio elástico é estável quando o corpo deformado, por qualquer desvio 
pequeno de seu estado de equilíbrio, tende a regressar ao estado inicial, e o faz depois de 
eliminar a influência exterior que perturbou o estado de equilíbrio original. O equilíbrio 
elástico é instável, quando o corpo deformado, uma vez retirado de seu estado original, por 
alguma influência, continua deformado em direção ao desvio provocado e depois de retirada a 
influência, não regressa mais ao estado inicial. Entre os dois estados de equilíbrios, encontra-
se o estado transitório denominado crítico. Durante o estado crítico, o corpo deformado se 
encontra em equilíbrio indiferente; pode conservar a forma dada a ele originalmente, mas 
também pode perdê-la em virtude de uma influência insignificante. 
A Fig. 93 mostra, através de uma analogia mecânica, os três tipos distintos de 
equilíbrio elástico. Em a) se indica um equilíbrio elástico estável, em b) um instável e em c) 
um estado de equilíbrio transitório ou crítico. A posição B é obtida pela aplicaçãode uma 
força externa, provocando um desvio pequeno do estado de equilíbrio original. Em a) a esfera 
volta à sua posição original; em b) ela não retorna mais à posição inicial e em c) ela fica 
indiferentemente em qualquer posição. 
 
 
Figura 93 
 
O que ocorre com uma coluna sob carga cêntrica pode ser enquadrado neste 
estudo. Na Fig. 94, se a carga P for menor do que Pc, se uma pequena força lateral F for 
aplicada e removida sobre a coluna bi-articulada carregada, ela vibrará levemente em torno de 
sua posição original de equilíbrio e após certo tempo voltará à sua configuração reta original 
(Fig. 94a). No entanto, se a carga P for igual à Pc, após o afastamento da força F perturbadora, 
a coluna ficará na configuração ligeiramente curva causada pela aplicação de F (Fig. 94b). A 
intensidade da curvatura lateral vai depender da intensidade do valor de F. A coluna ficará em 
equilíbrio em um número infinito de configurações levemente fletidas. A coluna está em 
equilíbrio transitório, neutro, crítico ou indiferente. Caso P seja maior que Pc uma 
configuração reta será teoricamente possível. Esta configuração reta é precária, pois uma 
pequena perturbação resultará em colapso. Após uma pequena força perturbadora F ser 
aplicada e removida, a coluna se deformará intensamente e poderá até entrar em colapso 
devido às tensões de flexão atingirem o limite de escoamento do material da coluna (Fig. 
94c). 
 
 
 
 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 168 
 
 
Figura 94 - Configurações de uma coluna articulada nas extremidades 
(a) Estável, (b) Neutra, (c) Instável. 
 
Na Figura 95 está indicada a relação entre P e δ, deflexão do meio da coluna. 
Se P < Pc, trecho 0-1, a coluna será reta e estável. Em P = Pc, a coluna, teoricamente, pode ser 
reta, porém seu equilíbrio é precário. Temos o ponto de bifurcação. Para P > Pc, duas 
configurações são possíveis - uma reta, ramo 1-2 e uma curva - ramo 1-3. A configuração reta 
é instável e a mais leve perturbação fará com que a coluna, repentinamente, passe à 
configuração curva (representado por P’ P” no diagrama P - δ). Trabalhando com a equação 
diferencial exata para a linha elástica, é possível obter-se uma configuração curva de 
equilíbrio para valores maiores do que Pc. Para P = 1,015 Pc, pode-se demonstrar que δ é da 
ordem de 10% de l, comprimento da coluna. Neste caso pode haver ruína por escoamento. 
Não será possível aumentar a carga além da carga crítica pois na realidade nenhuma coluna é 
perfeitamente reta e homogênea na forma da seção transversal e propriedades. É impossível 
aplicar cargas axiais exatamente cêntricas. Deste modo a carga crítica, Pc, representa o limite 
máximo de P para o qual uma configuração reta é possível. 
 
Figura 95 
 
A carga cuja superação origina a perda da estabilidade da forma original da 
coluna é denominada de carga crítica, Pc. Se P > Pc, conforme já dissemos, a peça perde a 
estabilidade e se flexiona, flamba. A forma reta deixa de ser estável. 
 
) Denomina-se flambagem ao fenômeno responsável pela passagem da peça da forma estável para a forma instável de equilíbrio elástico. 
Denomina-se carga de flambagem ao valor P = Pc, cuja superação ocasiona a perda 
de estabilidade. 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 169 
 
Quando a carga aplicada alcança o valor crítico (ou o supera) ela provoca o 
aparecimento da forma instável de equilíbrio, que está ligada ao crescimento ilimitado das 
tensões e deformações o que eqüivale à ruína da estrutura. A destruição da forma reta é brusca 
e é originada por flexão com pequenas tensões de compressão, muito abaixo das tensões de 
compressão máximas que a peça poderia suportar sob compressão simples. 
O problema principal reside no cálculo da carga crítica, que não pode ser 
superada. Esta carga já foi calculada no capítulo anterior e é a mesma que flamba uma coluna 
sob carga excêntrica, conforme já comentamos. 
 
 
10.3 - CARGA CRÍTICA PARA PILARES CARREGADOS CENTRICAMENTE COM 
DIFERENTES CONDIÇÕES DE EXTREMIDADES 
 
Vamos definir comprimento efetivo de uma coluna ou comprimento de 
flambagem. Para isto tomemos várias colunas com condições diferentes de extremidade, todas 
elas de mesmo comprimento l, e façamos um esboço de suas linhas elásticas após a 
flambagem, Fig. 96. 
 
Figura 96 
 
Todas as curvas apresentam pontos de inflexão ou de curvatura nula que são 
pontos de momentos nulos e que podem ser identificados como rótulas, pois a articulação ou 
rótula satisfaz a esta condição. Vamos definir comprimento de flambagem como sendo a 
distância entre dois pontos de inflexão da linha elástica da coluna deformada e designaremos 
por le. É o comprimento da coluna deformada que tem o mesmo comportamento da linha 
elástica da coluna bi-rotulada deformada que consideraremos aqui como sendo o caso 
fundamental (le = l ). Assim, a expressão para cálculo de Pc de uma coluna bi-rotulada pode 
ser ampliada para calcular o Pc de uma coluna qualquer, desde que, em lugar de l, 
comprimento real, coloquemos le = α.l, onde α é o coeficiente de flambagem, função das 
diversas condições de extremidades. O comprimento de flambagem é também o comprimento 
de uma coluna bi-rotulada que tem a mesma carga de flambagem que uma coluna dada. 
 
Assim: 2
e
2
c l
EIP π= (10.9) 
Onde le = α.l . 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 170 
 
Condições de extremidades α 
Bi-rotulada 1 
Bi-engastada 0,5 
Rotulada e engastada 0,7 
Livre e engastada 2 
 
Os casos acima citados são os quatro casos fundamentais. A dedução do valor 
do coeficiente de flambagem para a condição de rotulada e engastada ficará a cargo do aluno. 
Nas aplicações práticas é conveniente usar coeficientes de flambagem 
superiores aos teóricos (consultar livros de Estruturas Metálicas) devido aos desvios das 
condições teóricas e à dificuldade de concretizar um engastamento perfeito. Na Fig. 96 estão 
os coeficientes de flambagem para as diversas condições que normalmente ocorrem na 
prática. Além dos quatro casos fundamentais, aí aparecem mais dois casos. Os valores de le 
levado às expressões (10.6), (10.8) e (10.9) permitem calcular as deflexões, momento fletor 
máximo e carga de flambagem ou crítica para as diferentes condições de extremidades. 
Finalizando, podemos dizer que às vezes o comprimento de flambagem é 
obtido através de ensaios de laboratório, e quando há dúvidas, deve-se usar α = 1, à favor da 
segurança (exceção feita para a coluna engastada e livre). 
 
 
10.4 - TENSÃO CRÍTICA PARA COLUNAS CARREGADAS AXIALMENTE 
(COLUNAS CÊNTRICAS) 
 
Uma coluna cêntrica está sujeita à compressão simples até que se verifica o 
fenômeno da flambagem, que é súbito. Além disso, a tensão que provoca flambagem é bem 
inferior à tensão de escoamento à compressão. 
Podemos escrever que: 
A.l
EI
A
P
2
e
2
c
c
πσ == 
 
Vamos definir raio de giração de uma seção, em relação a um eixo, como a raiz 
quadrada do quociente entre o momento de inércia da seção, em relação a este eixo, e a área 
da seção. Tem a dimensão de um comprimento. 
2
xx
x
x i
1
I
A
A
I
i =∴= 
Logo: 
2
e
2
2
2
e
2
2
e
2
c
i
l
E
i
l
E
I
Al
E



=



=

=
πππσ 
O índice de esbeltez, λ, é a relação entre o comprimento de flambagem e o raio 
de giração da seção. É um parâmetro adimensional e é o mais importante de todo estudo de 
flambagem. 
i
le=λ 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 171 
 
) O índice de esbeltez contém informações sobre o comprimento da peça, condições de extremidades e inércia da seção, simultaneamente. 
 
Deste modo podemos escrever que: 
) 22c Eλπσ = (10.10)
Estaequação recebe o nome de equação de Euler, que foi o matemático quem 
primeiro a deduziu e ela governa todo dimensionamento elástico de colunas 
cêntricas. 
 
Sua validade se restringe ao regime elástico pois é originada da equação 
diferencial da linha elástica. Deste modo, o valor máximo de σc não pode exceder ao limite de 
proporcionalidade (σp) do material do pilar. 
p2
2
pc
E σλ
πσσ ≤∴≤ 
Na igualdade definimos o índice de esbeltez limite: 
p
limp2
lim
2 E.E σπλσλ
π =∴= 
 
Para λ > λlim, σc < σp e, portanto é válida a expressão de Euler. 
 
Analisando a expressão (10.10), concluímos que na fase elástica a única 
característica mecânica que intervém no cálculo da tensão crítica (ou tensão de flambagem), é 
o módulo de elasticidade do material do pilar. E este é constante à temperatura ambiente para 
as diferentes ligas de um mesmo metal. Logo, um aço especial, mais caro, não resiste mais à 
flambagem do que um aço comum, pois ambos têm o mesmo módulo de elasticidade. A 
expressão (10.10) é a equação de uma hipérbole. Dela concluímos que um aumento do índice 
de esbeltez provoca um grande abaixamento no valor da tensão crítica: peças muito esbeltas 
(elevado λ) flambam a uma carga crítica muito baixa. 
Voltando à expressão (10.9) que originou a expressão (10.10), verificamos que 
um maior momento de inércia induz a uma maior carga crítica. Os metais são vendidos pelo 
seu peso, que é função da área de sua seção transversal. Podemos ter seções de mesma área e 
de diferentes inércias – consequentemente, mesmo peso e mesmo preço. Como Pc varia 
proporcionalmente com a inércia, devemos usar, para resistir à flambagem, seções que têm 
maior inércia. Por exemplo: em vez de uma seção circular maciça, uma vazada de mesma 
área; do mesmo modo, uma retangular vazada, etc.. Assim, por motivos econômicos, as 
colunas devem ter o valor maior possível de seu raio de giração mínimo. A seção circular 
vazada é a ideal, mas possui o inconveniente da sua ligação ser difícil (a não ser que seja 
soldada). Os perfis associados podem conduzir a boas seções. 
 
A Fig. 97 apresenta a curva σc x λ para um aço carbono comum. 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 172 
 
 
Figura 97 
 
Para λ ≥ λlim a equação de Euler é usada. Para valores de λ < λlim, a equação de 
Euler conduz a valores muito elevados para a tensão crítica. O valor de Pc fica limitado pela 
tensão de escoamento do aço, que corresponde à linha horizontal, Syc. A ligação entre o trecho 
horizontal (σc = Syc) e a hipérbole de Euler, é feita por uma zona intermediária ou de 
transição. Para valores de λ ≤ λ1 a coluna falha por esmagamento, no caso de materiais 
frágeis, e escoamento, no caso de dúteis, e para qualquer valor de λ, σc é sempre o mesmo e 
igual a Syc. A zona intermediária é chamada de região das fórmulas empíricas ou das fórmulas 
obtidas em laboratório. A ligação de B a C, pode ser uma reta ou uma equação do 2º grau, 
dependendo do material. 
O dimensionamento de uma peça à flambagem só pode ser feito com o 
conhecimento das equações σc = f (λ), para as diferentes regiões. 
As Figuras 98 e 99 apresentam as curvas cσ x λ para o aço de construção (MR 
240) e para as madeiras brasileiras, respectivamente; cσ é a tensão admissível, ou seja, a 
tensão crítica dividida por um coeficiente de segurança adequado. 
 
Figura 98 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 173 
 
Alguns autores simbolizam a tensão crítica por σfl em vez de σc. Assim, tensão 
crítica ou tensão de flambagem são termos sinônimos. 
 
Figura 99 
 
No caso da Fig. 99, podemos complementar que em tabelas fornecidas pelas 
normas brasileiras, encontram-se os valores do módulo de elasticidade, do índice de esbeltez 
limite, e da tensão de compressão admissível para todas as madeiras brasileiras. 
De acordo com o índice de esbeltez, podemos classificar as colunas (Fig. 97) 
em: 
Longas - λ ≥ λlim 
Médias - λ1 ≤ λ < λlim 
Curtas - λ < λ1 
 
De um modo geral, devemos utilizar as colunas longas ou esbeltas quando 
temos confiança nas condições de extremidades reais, pois uma pequena variação de λ 
provocará uma diminuição muito grande no valor da tensão crítica. As colunas médias são as 
mais utilizadas e as condições de extremidades já não afetam tanto o cálculo da tensão crítica. 
A fórmula para dimensionamento de uma coluna cêntrica é: 
cc A
Pou
A
P σσ == 
 
quando se impõe um coeficiente de segurança. Como σc depende de λ, o valor de P será 
limitado pelo comprimento da peça, pelas suas condições de extremidades, pela sua inércia e 
pela área de sua seção transversal. Todo dimensionamento começa pelo cálculo do índice de 
esbeltez, parâmetro mais importante no estudo da flambagem. 
Analisando a Fig. 100, podemos concluir que um aço especial é o mais próprio 
para ser empregado no regime inelástico de dimensionamento à flambagem, pois ele possui σp 
mais elevado e Syc maior. Consequentemente para um valor λ* do índice de esbeltez, vamos 
ter um σc maior para o aço especial - maior resistência à flambagem (Fig. 100). 
No dimensionamento à flambagem, devemos sempre trabalhar com um 
coeficiente de segurança, n, que pode variar de acordo com a região de cálculo. A falha na 
região elástica se dá de modo brusco, sem as comodidades de um aviso prévio, como ocorre 
com a falha pelo escoamento. 
Assim: 
n
c
C
σσ = 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 174 
 
onde n é o coeficiente de segurança adotado. 
É importante observar que o coeficiente de segurança para as colunas longas, é, 
de um modo geral, maior do que para as colunas médias. O motivo é que as colunas longas 
são mais sensíveis a cargas excêntricas e à falta de linearidade do que as colunas médias. 
Freqüentemente, as condições de vínculo diferem nas duas direções principais. 
 
 
Figura 100 
 
 
10.5 - TRAVEJAMENTO: SEÇÃO SIMPLES 
 
) Podemos aumentar a capacidade de carga de uma coluna, colocando suportes ao longo de seu comprimento, Este procedimento é chamado de travamento, 
travejamento ou contraventamento. 
 
Desde que o momento de inércia em torno de z é menor do que em torno de y, 
a flambagem ocorrerá no plano que contém y (Fig. 101) e devemos colocar um suporte lateral 
na coluna, neste plano (Fig. 102). Isto, na realidade, implica na diminuição do comprimento 
de flambagem da coluna em torno de z (em relação à coluna não travada). Consequentemente, 
aumenta-se a capacidade de carga da coluna, tornando-a mais resistente (Fig. 102). A 
vinculação travamento é considerada como uma articulação. Para verificar o eixo em torno do 
qual se processará a flambagem, não basta observar somente a inércia da peça. O parâmetro 
que definirá a flambagem será o índice de esbeltez. O eixo em torno do qual se processará a 
flambagem será o que tiver maior índice de esbeltez (λ). Este índice de esbeltez maior será 
chamado de índice de esbeltez crítico. Uma peça ideal para trabalhar a flambagem é aquela 
que possui λy = λz, sendo y e z, os eixos centrais da inércia da seção. A condição ideal de 
flambagem é então definida pela igualdade: λy = λz. 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 175 
 
 
Figura 101 
 
Esta igualdade conduz ao dimensionamento mais eficiente, pois as tensões que 
correspondem aos dois modos possíveis de flambagem são iguais; é só observar a curva de 
flambagem do material. Exemplo: seção circular maciça e vazada, seção quadrada, etc.. Neste 
caso, não há necessidade de fazer travamento. A seção é utilizada o mais economicamente 
possível. Finalizando, podemos dizer que o travejamento diminui o índice de esbeltez em 
torno do eixo onde é colocado, pela modificação do comprimento de flambagem, e, 
consequentemente, aumenta a resistência da peça. 
 
) O travamento evita o movimento do ponto C apenas em um plano. No caso em questão, este planoé YX (Fig. 102). 
Figura 102 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 176 
 
10.6 - TRAVEJAMENTO: SEÇÃO COMPOSTA (PERFIS COMPOSTOS) 
 
Os perfis compostos, formados pela associação de perfis simples, são, 
inicialmente, travados um ao outro, de forma que o sistema se comporte como se fosse uma 
peça única e poderá (o conjunto) ser também travejado lateralmente, caso haja necessidade. 
Os perfis compostos poderão ter ligação contínua ou descontínua. A ligação contínua poderá 
ser feita por solda, ao longo de todo o comprimento do perfil (Fig. 103a), ou por chapas 
transversais, formando um perfil fechado (Fig. 103c). Neste caso, ao calcular as 
características geométricas da seção transversal, a seção da chapa deve ser considerada. A 
ligação descontínua é formada por chapas transversais com certo espaçamento: travessas. 
Neste caso, a seção transversal da chapa não é incluída nos cálculos das características 
geométricas do conjunto (Fig. 103b e Fig. 103d). 
Nos perfis compostos com ligação descontínua, os esforços de cisalhamento 
provocam deformações nas chapas de ligação e diminuem a eficiência do perfil composto. 
Todavia este fenômeno não será aqui considerado, pois nossa abordagem é puramente teórica 
e tem por finalidade introduzir o estudante neste assunto. No curso de Estruturas Metálicas 
este fenômeno será estudado em profundidade. 
 
 
Figura 103 
 
Vamos ver agora, o caso de dois perfis em canal, com ligação descontínua, 
formando um pilar (Fig. 104). 
 
Figura 104 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 177 
 
Para assegurar que as seções trabalhem juntas, como uma simples unidade, elas 
são unidas por ligações descontínuas. O trabalho destas seções compostas é garantido desde 
que seja providenciada uma fixação suficientemente forte. A distância “b” que separa as duas 
partes (Fig. 104) é determinada pela condição ideal de flambagem: λz = λy que pode ser 
resumida, no caso em questão, por: Iz = Iy , pois não há travamento externo. Na prática, o 
momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao reticulado (y) deverá ser maior, pois 
a ligação não pode assegurar o trabalho das duas metades como o faz a seção contínua única. 
Ou seja, a flexibilidade do pilar em relação ao eixo livre (y), é maior devida à cedência 
elástica das talas ou treliças. O índice de esbeltez será então calculado tomando-se os 
momentos de inércia das duas seções em relação à z ou y. Após calcula-se a tensão crítica (σc) 
que multiplicada pela área da seção transversal total, dará a carga crítica admissível que o 
pilar pode suportar. O funcionamento simultâneo de ambas as colunas de seção em canal só 
será possível se elas forem presas uma à outra por reticulados, placas ou travessas (Fig. 104). 
A distância “a” entre as ligações (travessas) deve assegurar que nenhuma das colunas de 
seção em canal flexione em torno do eixo de menor inércia (eixo y1). Esta condição é 
satisfeita se o índice de esbeltez de cada coluna de comprimento “a” e raio de giração imín = iy1 
Figura 105 
 
for menor que o índice de esbeltez de todo o conjunto (Fig. 105). 
 
)conjuntodo(
i
a
mín
λ≤ (10.11) 
 
A expressão (10.11) permite o cálculo do maior valor de “a” . Na realidade o 
que se impõe é que a flambagem do conjunto ocorra antes da flambagem de cada perfil 
individual. 
 
10.7 - PROCESSO ÔMEGA 
 
O coeficiente de flambagem ômega (ω) é definido pela relação: 
c
comp
σ
σω = (10.12) 
onde: 
compσ - tensão de escoamento admissível à compressão simples 
cσ - tensão crítica admissível 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 178 
 
A relação (10.12) é sempre maior que um (> 1). O coeficiente adimensional 
ômega (ω), pela própria definição, é função do índice de esbeltez e as normas fornecem 
tabelas, para alguns tipos de aço e outros materiais, relacionando o índice de esbeltez (λ) com 
ômega (ω). A expressão (10.12) pode ser transformada do seguinte modo: 
 
A.A.P compcc ω
σσ == (10.13) 
 
Pela expressão (10.13) observamos que o dimensionamento à flambagem é um 
dimensionamento a compressão simples desde que seja “corrigida” a tensão admissível à 
compressão, pelo coeficiente ômega (ω). O processo ômega facilita o dimensionamento 
quando se conhecem as tabelas, λ x ω, fornecidas pelas normas. 
 
10.8 – COLUNAS CARREGADAS EXCENTRICAMENTE 
 
Sob o ponto de vista prático é impossível não se ter pequenas excentricidades 
na aplicação de cargas cêntricas. Estes efeitos foram considerados no estabelecimento das 
equações empíricas e incorporados nos valores admissíveis das tensões. Existem casos, no 
entanto, onde uma coluna é carregada excentricamente durante seu uso. A Fig. 106 mostra 
uma situação onde uma coluna é excentricamente carregada em torno do eixo X – X por uma 
carga não axial, através de um braço preso ao lado da coluna. É possível estender as 
considerações teóricas que estabeleceram a equação de Euler, levando em conta a 
excentricidade da carga. A equação resultante é conhecida como fórmula da secante (já 
deduzida e usada no começo da unidade). É uma equação de uso, algumas vezes complicado, 
e soluções diretas às vezes não são possíveis. 
Um método alternativo de projeto pode ser obtido considerando a ação de uma 
força central Fo e uma força excêntrica F, aplicadas separadamente (princípio da superposição 
de cargas). Os esforços na coluna são considerados como os de uma carga cêntrica (Fo+F) e 
um momento (Fe). As tensões provenientes da carga axial e do momento são consideradas 
como aditivas algebricamente e não devem exceder à tensão crítica admissível. 
Assim: 
( )F F
A
Fec
I
o
c
+ + ≤ σ (10.14) 
No entanto a tensão admissível para uma coluna é uma função de seu índice de 
esbeltez, enquanto que a tensão admissível à flexão não está relacionada com este índice. Para 
levar em consideração esta condição, os membros do lado esquerdo da equação (10.14) serão 
divididos pelas tensões admissíveis que lhes correspondem: tensão de compressão da 
solicitação axial, dividida pela tensão crítica admissível; tensão de compressão de flexão, 
dividida pela tensão admissível à flexão. O membro do lado direito será dividido pela tensão 
crítica admissível e a equação (10.14) se transforma na equação abaixo: 
( )F F A Fec Io
c f
+ + ≤/ /σ σ 1 (10.15) 
Esta equação tem o nome de fórmula da interação. 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 179 
 
Onde: 
(Fo+F)/A é a tensão axial aplicada. 
σ c é a tensão crítica admissível se somente atua força axial (cêntrica). 
Fec/I tensão de flexão aplicada. 
σ f tensão de flexão admissível se atua somente flexão pura. 
ytf S6,0=σ esta relação pode ser usada quando não se conhece o valor da 
tensão admissível à flexão. 
 
Figura 106 
A equação (10.15) pode ser escrita da seguinte forma caso haja flexão 
simultânea em torno de XX e YY, os dois eixos centrais de inércia: 
( )
1I/FecI/Fec
A/FF
YfX
fc
o ≤


+

++ σσσ (10.16) 
A equação acima é sugerida pela AISC. 
É recomendável que o termo ( ) 15,0A/FoF
c
≤+σ 
O índice de esbeltez usado para cálculo da tensão crítica admissível é o maior 
índice de esbeltez, independente do eixo em relação ao qual se processará a flexão. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
BEER, Ferdinand P. J, RUSSEL, Resistência dos Materiais, McGraw Hill. 
 
BELYAEV, N. M., Strenght of Materials, Editorial Mir, Moscou. 
 
PFEIL, Walter, Estruturas de Aço, Vol. 1, 4ª ed, Livros Técnicos e Científicos S. 
A. 
 
PSARENKO e outros, Manual de Resistencia de Materiales, Editorial Mir, 
Moscou. 
 
SILVA Jr., Jayme F., Resistência dos Materiais, Ao livro Técnico S. A. 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 180 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício10.1 
 
Os cabos esticados, BD e BC, evitam deslocamento do ponto B no plano xz. 
Sabendo-se que a altura do perfil I é de 4,5m e que o mesmo é engastado em A, em todas as 
direções, pede-se o valor de P admissível. 
 
Dados: 
Ix = 2000 cm4, Iy = 142 cm4, A = 29 cm2 
Para λ ≥ 105: 
σc = 10363000 / λ2 (kgf/cm2) 
Para λ < 105: 
σc = (1200 – 0,023 λ2) (kgf/cm2) 
Valores de α: 
coluna bi-rotulada: 1 
coluna bi-engastada: 0,5 
coluna engastada e livre: 2 
coluna engastada e rotulada: 0,7 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
35,142
29
142
450.7,0
y ==λ , 4,108
29
2000
450.2
x ==λ 
 
142,35 > 108,4 ⇒ 142,35 = λ crítico 
 
2
2c cm/kgf4,51135,142
10363000 ==σ 
 
cP = 511,4 . 29 ⇒ P = 14831 kgf 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 181 
 
¾ Exercício 10.2 
 
Uma coluna de alumínio de seção transversal retangular tem comprimento L e 
extremidade engastada B. A coluna suporta uma carga cêntrica em sua extremidade. Na 
extremidade A da coluna existem duas placas lisas de cantos arredondados que impedem essa 
extremidade de se movimentar em um dos planos verticais de simetria da coluna, mas não 
impede movimento na direção de outro plano. 
 
a) Determinar a relação a/b entre os lados da seção transversal que corresponde 
à solução de projeto mais eficiente contra a flambagem. 
b) Determinar a seção transversal mais eficiente sabendo-se que: 
L = 50 cm, P = 2000 kgf e adotar um coeficiente de segurança igual a “2”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Condição do problema: λz = λy 
 
a2
12l2
ab12
ba
l70
3z
..., ==λ (I) 
b
12l2
ab12
ab
l2
3y
... ==λ (II) 
Fazendo (I) = (II): b
4
2a = 
 
1ª hipótese: λy = λz = λ > 64 
 
2
a4a
2000
a
51222
7170000
a
5122
a4
24l2
2
.,.
,.. =



→==λ 
a = 1,3 cm 64294
31
5122 >==→ ,
,
,λ 
(Confirma região elástica) 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 182 
 
¾ Exercício 10.3 
 
Uma coluna com extremos articulados, é construída com um perfil U. Uma 
carga P atua paralela ao eixo, à 2 cm do centro de gravidade da seção. 
Determinar, para P = (1/3) Pc: 
a) Deflexão máxima 
b) Tensão máxima de tração e compressão 
 
 
 
Características geométricas da coluna: 
A = 21,8 cm2 
Iy = 54,9 cm4 
Ix = 1360 cm4 
largura da aba = 5,74 cm 
altura da seção = 20,3 cm 
l = 300 cm 
E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
 
 
 Solução: 
 
a) 2
2
2
2
cc )300(
9,54.2100000.)14,3(
l
EIPP
3
1P ==⇒= π 
kgf4214P
3
1Pkgf12643P cc ==→= 
kgf1200S yc = ; kgf4214Kgf261608,21.1200Pesc >== 


 −= 1
2
klseceδ ; 9,0
2
300.006,0
2
kl == ; sec (0,9)rad = 1,6 
δ = 2 (1,6 – 1) ⇒ δ = 1,2 cm 
 
b) Braço do momento no meio da coluna = 2 + 1,2 = 3,2 cm 
 
Mmáx = P (e + δ) = 4214 . 3,2 = 13485 kgf . cm 
 
9,54
45,1.13485
8,21
4214
A −−=σ ⇒ σA = - 549 kgf / cm2 
9,54
)45,174,5.(13485
8,21
4214
B
−+−=σ ⇒ σB = + 860 kgf / cm2 
 
 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 183 
 
¾ Exercício 10.4 
 
A lâmina de aço indicada na Figura abaixo, bi-engastada, faz parte de um 
sistema regulador de refrigeração. O projeto requer que um aumento de temperatura de 40ºC 
faça com que a lâmina encoste em A ou B. Qual deve ser o comprimento da lâmina? 
Seção transversal da lâmina = 0,1 x 0,5 cm 
Coeficiente de dilatação térmica do aço = 2 x 10-5 / ºC 
Módulo de elasticidade do aço = 2,1 x 106 kgf/cm2 
Supor trabalho na região elástica (λ > 105). 
 
 
 Solução: 
 
2
e
2
c lA
EIπσ = ; tt .E εσ = ; )t.(.E)t.( tt ∆ασ∆αε =→= 
Logo: tc σσ = 
I = 4,1.10 -5 cm4; A = 0,05 cm2 
2
2
)l.5,0(A
EI)t.(.E π∆α = ⇒ 2
52
5
l.05,0
4.10.1,4.14,340.10.2
−
− = 
l = 6,4 cm 
1057,111
05,0
10.1,4
4,6.5,0
A
I
l.
5
>=== −
αλ 
(Confirma trabalho na região elástica) 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 184 
 
¾ Exercício 10.5 
 
Uma coluna bi-rotulada tem comprimento de 3,5 m e é formada por quatro 
tábuas de 30 x 120 mm de seção transversal. Determinar a carga crítica admissível para cada 
uma das formas abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
2
comp cm/kgf85=σ ; 64lim =λ ; 2cm/kgf94250E = 
64≥λ ; 2
2
c .4
E
λ
πσ = 
64<λ ; 


−
−−=
)(
)(
lim 403
401compc λ
λσσ 
 
Forma a) I =1728 cm4 , i = 3,46 → λ = 101 > 64 → 23c =σ 
 Pc = 3312 kgf 
 
Forma b) I =3672 cm4 , i = 5,05 → λ = 69,3 > 64 → 9,48c =σ 
 Pc = 7072 kgf 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 185 
 
¾ Exercício 10.6 
 
A armação de liga de alumínio, conectada por pinos, suporta uma carga 
concentrada P. Admitindo que a flambagem possa ocorrer apenas no plano da armação, 
determinar o valor de P que provocará instabilidade no sistema. Supor que o elemento 
trabalha dentro do regime elástico. Os membros têm seção quadrada de 5 x 5 cm. O módulo 
de elasticidade do alumínio é: 0,7 x 106 kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σ Fx = 0 → X sen 54º - N sen 38º = 0 ∴ N76,0
º54sen
º38senNX == 
Σ Fy = 0 → P - N cos 38º - X cos 54º = 0 ∴ P = 1,2 N 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 186 
 
AB: 
64165
5
12238AB >==λ 
2
2c cm/kgf263165
7170000 ==σ ; X = 263 . 25 = 6575 kgf 
X = 0,76 N → N = 8651 kgf; P = 1,2 N → P = 10381 kgf 
 
BC: 
 
64123
5
12177BC >==λ 
2
2c cm/kgf474123
7170000 ==σ ; N = 474 . 25 = 11850 kgf 
P = 1,2 N → P = 14220 kgf 
 
Padotado = 10381 kgf e AB trabalha no limite e BC trabalha com folga! 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 187 
 
¾ Exercício 10.7 
 
A coluna AB com ligação tipo pino e garfo, em A e B, é constituída por um 
perfil U de alumínio com as características abaixo. Ela tem 3m de comprimento e é travada ao 
meio em torno do eixo X. Pede-se: 
 
a) Índice de esbeltez em torno de X (plano YZ). 
b) Índice de esbeltez em torno de Y (plano XZ). 
c) Carga crítica de AB (coeficiente de segurança 2). 
d) Valor de P máximo, adotado um coeficiente de segurança 2. 
 
 
Perfil U: 
Ix = 5,61 cm4 
Iy = 22,8 cm4 
A = 6,16 cm2 
 
0 < λ < 64, σc = 3150 - 22.λ (kgf/cm2) 
λ ≥ 64, σc = 7170000 / λ2 (kgf/cm2) 
 
Valores de α: 
coluna bi-rotulada: 1 
coluna bi-engastada: 0,5 
coluna engastada e livre: 2 
coluna engastada e rotulada: 0,7 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
16,6
8,22
300.5,0
y =λ ⇒ λy = 78 
 
16,6
61,5
150.1
x =λ ⇒ λx = 157 
 157 > 78 e 157 > 64 
 5,145
157.2
7170000
2c ==σ ⇒ X = 145,5 . 6,16 ⇒ X = 896 kgf 
 
P – X . cos 60º = 0 ⇒ P = 448 kgf 
 
 
Unidade 10 – FLAMBAGEM 
 
Página 188 
 
¾ Exercício 10.8 
Determinar a maior carga P que pode ser suportada, com segurança, por um 
perfil I, de aço, que forma uma coluna de 4,5m de comprimento de flambagem nas duas 
direções. A excentricidade ocorre em torno de XX e vale 20 cm (a carga P está aplicada sobre 
o eixo YY). 
Dados: 
A = 94,8 cm2, iX = 13,16 cm, iY = 4,98 cm, WX = 1058 cm3 
Para: λ σ λ≥ =105 10363000 2, / kgf / cmc 2 
Para: < = (1200 - 0,023 kgf / cmc
 22λ σ λ105, ) 
 
Solução: 
Flambagem em torno do eixo de menor inércia: 
( ) 22cY kgf/cm 2,101236,90023,01200 ,10536,9098,4
450 =−=<== σλ 
 Método da interação: 
A tensão de flexão admissível é conhecida e vale : 1400 kgf/cm2. 
( ) ( )
 1
1400
019,0P
2,1012
011,0P cc≤+ 
Método da secante: 
Dados: 
Syc = 1400 kgf / cm2 ; E=2.106 kgf/cm2 
 1400
1058
2
450.
16418.10.2
P
sec20
8,94
1.P
6
c
c ≤














+ 
 
 
kgf 46435Pc ≤
kgf 41795Pc ≤

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