Apostila Contr Proc Parte 02

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138 
 
6 Respostas de processos: Processos de 1a e 2a 
ordem. Respostas de processos de ordem elevada 
usando Scilab. 
 
 
 
6.1 Respostas de processos 
 
A análise dinâmica de um processo consiste em estudar o seu comportamento quando 
ocorrem variações nas entradas do processo. Os processos reais têm modelos com estruturas 
complexas e, normalmente, são aproximados por modelos mais simples, lineares e invariantes 
no tempo. Este capítulo discute e analisa as características dinâmicas da resposta de sistemas 
de primeira e segunda ordem, pois muitos processos podem ser modelados por esses sistemas. 
Para sistemas de ordem elevada, será lançada mão do uso do Scilab na simulação dos 
sistemas. 
 
A resposta de um sistema dinâmico a uma entrada (ou função de excitação) pode ser obtida se 
as equações diferenciais que representam o sistema forem resolvidas. A Figura 6.1 representa 
um processo com entrada )t(u e saída )t(y . 
 
 
Figura 6.1 Representação de um processo dinâmico. 
 
No caso de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) podemos representar o sistema por 
uma função de transferência )s(G , a qual descreve de modo completo as características 
dinâmicas do sistema (Figura 6.2). 
 
 
Figura 6.2 Função de transferência do processo. 
 
 
6.2 Entradas padrões para a análise do processo 
 
Na análise da dinâmica de processos e no projeto de sistemas de controle, é importante saber 
como as saídas do processo respondem às variações nas entradas do processo (resposta 
temporal). Para o propósito de análise, podemos escolher qualquer variação arbitrária, 
entretanto, por muitos anos, os engenheiros de controle têm se habituado a usar variações na 
entrada que representem adequadamente aquelas encontradas na prática industrial. Temos 
dois tipos importantes de variação na entrada que são usadas extensivamente no projeto de 
sistemas de controle. Essas entradas estão ilustradas nas Figuras 6.3 e 6.4. 
 
139 
 
 
 Figura 6.3 Entrada degrau. 
 
 
 Figura 6.4 Entrada impulso. 
 
Como vimos no Capítulo 5, quando o sistema é representado por uma função de transferência, 
a resposta temporal )t(y para uma excitação na entrada )t(u pode ser obtida da seguinte 
forma: 
 
=)t(y ℒ [ ] =− )s(y1 ℒ [ ])s(u)s(G1− (6.1) 
 
em que )s(y e )s(u são, respectivamente, as transformadas de Laplace de )t(y e )t(u . A 
expressão 6.1 sugere que é necessário se conhecer, além da função de transferência do sistema 
)s(G , a transformada de Laplace do sinal de entrada. As transformadas de Laplace de 
diversos sinais básicos podem ser obtidas diretamente na Tabela 4.1. 
 
 
6.3 Processos de primeira ordem 
 
Um sistema de primeira ordem é aquele onde a saída )t(y se relaciona com a entrada através 
de uma equação diferencial de primeira ordem. Em controle de processos, usualmente adota-
se a seguinte representação para esse sistema: 
 
)t(uK)t(y
dt
)t(dy
pp =+τ (6.2) 
 
em que pτ é chamado de constante de tempo do processo, pois tem a dimensão de tempo e 
está relacionada à velocidade com que o sistema responde a uma certa entrada. 
 
pK é chamado de ganho estático ou simplesmente ganho do processo. 
 
Lembrando que )t(y e )t(u são definidas como variáveis-desvios em torno do estado 
estacionário, ou seja, 0)0(y = e 0)0(u = . Daí, tomando a transformada de Laplace dos 
termos da equação 6.2, tem-se 
 
140 
 
)s(uK)s(y)s(sy pp =+τ (6.3) 
 
A equação 6.4 pode ser rearranjada na forma padronizada da função de transferência de um 
sistema de primeira ordem, dada por 
 
1s
K
)s(u
)s(y)s(G
p
p
+τ
== (6.4) 
 
6.3.1 Resposta ao degrau 
 
Consideremos a resposta do sistema de primeira ordem para uma variação degrau de 
amplitude A na entrada do sistema. 
 
)t(AU)t(u = (6.5) 
 
em que )t(U é a função degrau unitário. Uma representação gráfica é mostrada na Figura 6.5. 
 
 
 Figura 6.5 Função degrau de amplitude A . 
 



≥=
<=
0tA
0t0)t(u (6.6) 
 
Como visto no capítulo 4, a transformada dessa função é: 
 
s
A)s(u = (6.7) 
 
Substituindo a equações 6.8 na 6.4, obtém-se: 
 
( )
p
pp
p
pp
p
p
1
s
AK
s
AK
1
ss
AK
1ss
AK)s(y
τ
+
−=








τ
+
τ
=
+τ
= (6.8) 
 
Tomando a transformada inversa dos termos da (6.8), obtém-se a seguinte resposta )t(y : 
 ( )ptp e1AK)t(y τ−−= (6.9) 
 
A curva da resposta )t(y é vista na Figura 6.6. 
 
141 
 
 
Figura 6.6 Resposta do sistema de primeira ordem a uma entrada degrau. 
 
Alguns aspectos importantes dessa resposta são: 
 
1. O valor final da resposta é dado por: 
 ( ) ptptt AKe1AKlim)t(ylim p =−= τ−∞→∞→ (6.10) 
 
Ou seja, essa relação explica o nome ganho estático ao parâmetro pK , desde que para 
qualquer variação degrau )entrada(∆ na entrada a variação resultante na saída no estado 
estacionário seja dada por 
 
)entrada(K)saida( p∆=∆ (6.11) 
 
2. Se em (6.9) fizermos pt τ= , teremos 
 ( ) ppp AK632,0e1AK)(y pp =−=τ ττ− (6.12) 
 
Ou seja, o valor de )t(y alcança 63,2% do seu valor final após decorrido um intervalo de 
tempo igual a uma constante de tempo. Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida 
será a resposta do sistema. 
 
Para p4t τ≥ , a resposta permanece dentro de 2% do valor final. Como pode ser visto pela 
equação 6.9, o regime estacionário é alcançado matematicamente somente após um tempo 
infinito. Na prática, entretanto, uma estimativa razoável do tempo de resposta é o tempo que a 
142 
 
curva de resposta necessita para alcançar a linha de 2% do valor final, ou quatro constantes de 
tempo. 
 
2. A inclinação da curva resposta em 0t = é dada por: 
 
( ) 1e)t(d ]AK)t(y[d 0tt
0tp
p p
==
τ
=
τ−
=
 (6.13) 
 
Isso significa que, a reta tangente à resposta ao degrau em 0t = atinge o valor final da 
resposta após um tempo igual à constante de tempo. 
 
 
6.3.2 Resposta impulsional 
 
Consideremos a função impulso de intensidade A 
 
)t(A)t(u δ= (6.14) 
 
em que )t(δ é a função impulso unitário. Uma representação gráfica é mostrada na Figura 
6.7. 
 
 
 Figura 6.7 Função impulso de intensidade A . 
 





>
≤≤
<
=
bt0
bt0
b
A
0t0
)t(u (6.15) 
e 
 
)t(A)t(ulim
0b
δ=
→
 (6.16) 
 
Portanto, a transformada de Laplace dessa função é 
 
A)s(u = (6.17) 
 
Combinando as equações 6.5 e 6.17, obtém-se 
 
p
pp
p
p
1
s
AK
1s
AK)s(y
τ
+
τ
=
+τ
= (6.18) 
143 
 
 
Tomando a transformada inversa, obtém-se a resposta )t(y 
 
pt
p
p
e
AK)t(y τ−
τ
= (6.19) 
 
A representação gráfica dessa resposta é mostrada na Figura 6.8. 
 
 
Figura 6.8 Resposta de um sistema de primeira ordem ao impulso. 
 
 
6.4 Processos de segunda ordem 
 
Um sistema de segunda ordem é aquele cuja saída )t(y é modelada por uma equação 
diferencial de segunda ordem. A forma padrão desses sistemas é 
 
)t(uK)t(y
dt
)t(dy2
dt
)t(yd
p2
2
2
=+ζτ+τ (6.20) 
 
onde τ que é chamado de tempo característico ou período natural de oscilação do sistema, 
determina a velocidade (ou, equivalentemente, o tempo de resposta) do sistema. 
 
A constante ζ (zeta), chamada de fator de amortecimento, é adimensional e dá uma medida 
da quantidade de amortecimento do sistema, isto é, o grau de oscilação na resposta do 
processo após uma perturbação. 
 
pK é chamado de ganho do sistema.144 
 
 
Como )t(y e )t(u são variáveis-desvios definidas em torno do estado estacionário, as 
condições iniciais são: 
 
0)0(y = 0
dt
dy
0t
=



=
 0)0(u = (6.21) 
 
Tomando a transformada de Laplace da equação 6.31 tem-se 
 
)s(uK)s(y)s(sy2)s(ys p22 =+ζτ+τ (6.22) 
 
A equação 6.22 pode ser rearranjada na forma padronizada da função de transferência de um 
sistema de segunda ordem, dada por 
 
1s2s
K
)s(u
)s(y)s(G 22
p
+ζτ+τ== (6.23) 
 
e representada no diagrama de blocos da Figura 6.9. 
 
 
Figura 6.9 Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem. 
 
 
6.4.1 Resposta ao degrau 
 
Consideremos agora a resposta do sistema de segunda ordem a uma variação degrau de 
amplitude A . Ou seja 
 
)t(AS)t(u = (6.24) 
 
cuja transformada de Laplace é 
 
s
A)s(u = (6.25) 
 
Combinando as equações 6.23 e 6.25 obtém-se 
 
( )1s2ss
AK)s(y 22
p
+ζτ+τ= (6.26) 
 
Os dois pólos da função de transferência são dados pelas raízes do polinômio característico 
 
01s2s22 =+ζτ+τ (6.27) 
 
145 
 
e elas são: 
 
τ
−ζ
+
τ
ζ
−=
1
p
2
1 
τ
−ζ
−
τ
ζ
−=
1
p
2
2 (6.28) 
 
Ou seja 
 
( )( )21
2
p
pspss
AK)s(y
−−
τ
= (6.29) 
 
A resposta )t(y dependerá da localização dos dois pólos 1p e 2p no plano complexo. 
Podemos distinguir três casos: 
 
1 - 1>ζ , dois pólos reais e distintos. 
2 - 1=ζ , dois pólos iguais (pólo múltiplo). 
3 - 10 <ζ≤ , dois pólos complexos conjugados. 
 
O caso em que 0<ζ é omitido, pois corresponde a um sistema de segunda ordem instável 
que tem resposta ilimitada para qualquer entrada. 
 
Caso de resposta superamortecida, 1>ζ 
 
A inversão da equação 6.29 fornece como resultado 
 
















τ
−ζ
−ζ
ζ
+
τ
−ζ−= τζ− t1senh
1
t1coshe1AK)t(y 2
2
2t
p (6.30) 
 
em que as funções hiperbólicas são definidas por 
 
2
ee
senh
α−α
−
=α e 
2
ee
cosh
α−α +
=α (6.31) 
 
A resposta é registrada na Figura 6.10, para diversos valores de ζ maiores que 1. Note que a 
resposta não é oscilatória e nem ultrapassa o valor final 1AKy p = (não tem sobre-elevação), 
e torna-se mais lenta à medida que ζ aumenta. Isso é o que se denomina uma resposta 
superamortecida. Finalmente, notamos que, com o tempo, a resposta se aproxima de seu valor 
final assintoticamente. Analogamente ao caso de um sistema de primeira ordem, o ganho é 
dado por 
 
)entrada(
)saida(K p ∆
∆
= (6.32) 
 
146 
 
 
Figura 6.10 Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada degrau. 
 
 
Caso de resposta criticamente amortecida, 1=ζ 
 
Nesse caso, a inversão da equação 6.29 resulta em 
 












τ
+−= τ−tp e
t11AK)t(y (6.33) 
 
A resposta, correspondente a esse caso na Figura 6.10, não é oscilatória. Essa condição, 1=ζ , 
é chamada de amortecimento crítico, e corresponde ao caso em que a resposta sem sobre-
elevação e oscilação se aproxima mais rapidamente do seu valor final. 
 
Caso de resposta subamortecida, 10 <ζ≤ 
 
Pode-se demonstrar que nesse caso, a inversão da equação 6.29, resulta em 
 
( )








φ+ω
ζ−
−=
τζ− tsene
1
11AK)t(y t
2p
 (6.34) 
em que 
 
τ
ζ−
=ω
21
 (6.35) 
ζ
ζ−
=φ −
2
1 1tg (6.36) 
147 
 
 
A resposta é registrada na Figura 6.10 para diversos valores do fator de amortecimento na 
faixa 10 <ζ≤ . Podemos observar que nesse caso todas as curvas-resposta ultrapassam o 
valor estacionário final. Se 707,0<ζ , as curvas-resposta não só ultrapassam como também 
oscilam em torno do valor final, e se tornam mais oscilatórias à medida que ζ diminui. Pode-
se verificar que a inclinação das curvas é zero na origem, para todos os valores de ζ . A 
resposta de um sistema de segunda ordem para 10 <ζ≤ é chamada de subamortecida. 
 
 
6.4.2 Características de uma resposta subamortecida 
 
Das três respostas possíveis, a resposta subamortecida (Figura 6.11) é a que ocorre com mais 
frequência em sistemas de controle. Por esse motivo, foram criados diversos termos para 
descrevê-la. 
 
 
Figura 6.11 Características da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem 
subamortecida. 
 
Sobre-elevação (overshoot) - Overshoot é a medida de quanto a resposta de um sistema 
submetido a um estímulo degrau excede o seu valor final. Observando a Figura 6.11, ele é 
expressa pela razão BA . O overshoot é uma função de ζ e é dada pela seguinte expressão: 
 








ζ−
piζ−
=
21
expOS (6.37) 
 
148 
 
Pela (6.37), vemos que o overshoot aumenta com a redução de ζ . Temos 0OS = para 1=ζ e 
1OS = para 0=ζ . 
 
O instante do pico pt , correspondente ao primeiro pico do sobre-sinal é dado por 
 
2p 1
t
ζ−
piτ
= (6.38) 
 
Razão de amortecimento (decay ratio) - é a razão entre a altura de dois picos sucessivos, 
dado por AC , na Figura 6.11. Pode-se também demonstrar que o decay ratio é dado pela 
expressão: 
 
( )2
2
OS
1
2
expDR =








ζ−
piζ−
= (6.39) 
 
Para sistemas de segunda ordem, o DR é constante para pares de picos sucessivos. 
 
Tempo de ascensão (rising time) - Esse é o tempo que a resposta leva para alcançar, pela 
primeira vez, o valor final, sendo representado por rt , na Figura 6.11. Da Figura 6.10, 
notamos que rt aumenta com o aumento de ζ . Pode-se demonstrar que o tempo de subida rt 
é dado pela expressão 
 








ζ
ζ−
−
ζ−
τ
=
−
2
1
2r
1
tan
1
t (6.40) 
 
Tempo de resposta - Esse é o tempo que a resposta leva para alcançar uma faixa de ±5% do 
seu valor final e nela permanecer. Para 9,00 <ζ< , o tempo de acomodação correspondendo 
à faixa de tolerância de ±5% é dado, aproximadamente, por 
 
ζ
τ
=
3
t s (6.41) 
 
Se for utilizado o critério de ±2%, então st é dado, aproximadamente, por 
 
ζ
τ
=
4
t s (6.42) 
 
Período de oscilação - Da equação 6.34 vemos que a freqüência em radianos 
(radianos/tempo) da oscilação de uma resposta subamortecida é dada por 
 
ω = freqüência em radianos = 
τ
ζ− 21
 (6.43) 
 
Como a freqüência em radianos ω se relaciona com a freqüência cíclica f por meio de 
149 
 
 
f2pi=ω (6.44) 
 
segue-se que, 
 
τ
ζ−
pi
==
21
2
1
T
1f (6.45) 
 
em que T é o período de oscilação (tempo/ciclo), que é o tempo decorrido entre dois picos. 
 
Período natural de oscilação - Se o amortecimento for eliminado ( 0=ζ ), o sistema oscila 
continuamente sem atenuação em sua amplitude. Nessas condições “naturais” ou não 
amortecidas, a freqüência em radianos é τ1 (veja equação 6.34). Essa freqüência é chamada 
de freqüência natural nω . 
 
τ
=ω
1
n (6.46) 
 
A freqüência cíclica natural correspondente nf e o período nT são relacionados pela 
expressão 
 
piτ
==
2
1
T
1f
n
n (6.47) 
 
Em resumo, é evidente que ζ representa uma medida do grau de amortecimento, ou do 
caráter oscilatório, e que τ representa uma medida do período, ou velocidade, da resposta de 
um sistema desegunda ordem. 
 
Observação 
 
Note que o tempo de resposta é diretamente proporcional ao tempo característico e 
inversamente proporcional ao fator de amortecimento. Como o valor de ζ normalmente é 
determinado a partir da especificação requerida do sobre-sinal OS máximo, o tempo de 
acomodação é determinado principalmente pelo tempo característico τ . Isso significa que a 
duração do período transitório pode ser modificada, sem modificar o sobre-sinal máximo, por 
intermédio do ajuste do tempo característico. 
 
Da análise anterior, é evidente que para uma resposta rápida, τ deve ser pequeno. Para limitar 
o sobre-sinal máximo e tornar o tempo de resposta pequeno, o fator de amortecimento ζ não 
deve ser muito pequeno. 
 
 
6.4.3 Resposta ao impulso 
 
Se um impulso de intensidade A for aplicado a um sistema de segunda ordem. 
 
)t(A)t(u δ= (6.48) 
150 
 
ou 
A)s(u = (6.49) 
 
Então, combinando as equações 6.26 e 6.49 obtém-se: 
 
1s2s
AK)s(y 22
p
+ζτ+τ= (6.50) 
( )( )21
2
p
psps
AK)s(y
−−
τ
= (6.51) 
 
A natureza da resposta a um impulso dependerá dos pólos serem reais ou complexos. 
 
Para o caso em que 10 <ζ≤ , pode-se demonstrar que a inversão da equação 6.63 fornece 
como resultado 
 
τ
ζ−
ζ−τ
=
τζ− t1sene
1
AK1)t(y 2t
2
p
 (6.52) 
 
cujo gráfico se encontra na Figura 6.12. A inclinação na origem é 1,0 para todos os valores de 
ζ . 
 
Figura 6.12 Resposta de um sistema de segunda ordem a um impulso. 
 
Para o caso em que 1=ζ (sistema criticamente amortecido), a resposta é dada por: 
τ−
τ
=
t
2
p
et
AK)t(y (6.53) 
cujo gráfico se encontra também na Figura 6.12. 
151 
 
 
Analogamente, para o caso em que , 1>ζ a resposta é dada por: 
 
τ
−ζ
−ζτ
=
τζ− t1senhe
1
AK1)t(y 2t
2
p
 (6.54) 
que também está representada graficamente na Figura 6.12. 
 
6.5 Respostas de processos de ordem elevada usando 
Scilab 
 
Sistemas de ordem superior são usualmente representados por equações diferenciais de ordem 
superior a dois. O tempo morto também pode ser aproximado por uma equação diferencial de 
ordem arbitrária 
 
Nesta seção discutiremos a resposta de sistemas de ordem elevada usando o Scilab. Conforme 
visto na Seção 3.4, o que precisamos é criar o sistema linear a partir do modelo em função de 
transferência ou o modelo no espaço de estados usando a função syslin. A seguir, usa-se a 
função csim para realizar a simulação, e, assim, obter a resposta do sistema. 
 
 
6.5.1 N Sistemas capacitivos em série 
 
Para o caso de N sistemas de primeira ordem em série, a resposta global é de N -ésima 
ordem, isto é, o denominador da função de transferência global (Figura 6.13) é um polinômio 
do tipo. 
 
01
1N
1N
N
N asasasa ++++
−
−
… (6.55) 
 
 
Figura 6.13 Diagrama de blocos do sistema. 
 
Se os N sistemas de primeira ordem são não-interagentes conforme a Figura 6.14, a função 
de transferência global é dada por: 
 
( )( ) ( )1s1s1s
KKK)s(G)s(G)s(G)s(G
N21
N21
N21o +τ+τ+τ
==
⋯
⋯
⋯ (6.56) 
 
 
Figura 6.14 Diagrama de blocos de N sistemas em série sem interação. 
 
Obviamente, o sistema pode também ser representado pelo bloco como mostra a Figura 6.15. 
152 
 
 
 
Figura 6.15 Diagrama de blocos equivalente. 
 
Para um conjunto com N sistemas de primeira ordem com interação, a função de 
transferência global se torna mais complexa. 
 
Exemplo 6.2 
 
Obter a resposta ao degrau de amplitude A de um sistema formado por N ( 4,3,2,1N = ) 
sistemas de primeira ordem iguais em série sem interação. Portanto, temos 
 
( )( ) ( )1s1s1s
KKK)s(G)s(G)s(G)s(G
N21
N21
N21o +τ+τ+τ
==
⋯
⋯
⋯ (6.57) 
 
Se N21 KKK === … e N21 τ==τ=τ … , então 
 
( )N
N
1s
K
)s(u
)s(y
+τ
= (6.58) 
 
Se a entrada é 
s
A)s(u = (6.59) 
 
Substituindo na equação 6.58, temos 
 
( ) s
A
1s
K)s(y N
N
+τ
= (6.60) 
ou 
( )NN 1s
1
AK
)s(y
+τ
= (6.61) 
 
Para generalizar, podemos obter a resposta NAK)t(y em função de τt . No programa a 
seguir, considera-se 1=τ . 
 
 
Programa 
 
//Resposta a degrau de sistemas de primeira ordem em série 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
 
s=%s 
153 
 
tau=1 
totau=0:0.1:5 
num=1 //numerador de G(s) 
scf(1) 
clf 
for N=1:4 
 den=(tau*s+1)^N //denominador de G(s) 
 sl=syslin('c',num,den) //cria o sistema linear a partir de num e den 
 y=csim('step',totau,sl) //resposta a degrau unitário 
 disp('') 
 printf('Função de transferência global com N = %f\n',N) 
 disp(sl) 
 plot(totau,y) 
end 
xlabel('t/tau') 
ylabel('y/AK^N') 
xstring(1.4,0.8,['N=1']) 
xstring(1.9,0.63,['N=2']) 
xstring(2.3,0.46,['N=3']) 
xstring(2.6,0.32,['N=4']) 
 
O seguinte resultado é mostrado na janela de comando do Scilab. 
 
 
 
Função de transferência global com N = 1.000000 
 
 1 
 ----- 
 1 + s 
 
 
Função de transferência global com N = 2.000000 
 
 1 
 --------- 
 2 
 1 + 2s + s 
 
 
Função de transferência global com N = 3.000000 
 
 1 
 --------------- 
 2 3 
 1 + 3s + 3s + s 
 
 
Função de transferência global com N = 4.000000 
 
 1 
 ------------------- 
 2 3 4 
 1 + 4s + 6s + 4s + s 
 
 
A Figura 6.16 apresenta a resposta a degrau para esses quatro valores de N . 
 
154 
 
 
Figura 6.16 Resposta ao degrau de sistemas de primeira ordem em série sem interação. 
 
 
6.5.2 Sistemas dinâmicos com tempo morto (retardo por 
transporte) 
 
Muitos sistemas dinâmicos reais apresentam um atraso puro de tempo puro. A modelagem 
matemática desse fenômeno é de suma importância porque atrasos de tempo têm efeito 
desestabilizador em malhas de controle. Conseqüentemente, é desejável que o modelo a ser 
usado em projeto de sistemas de controle inclua o retardo puro de tempo sempre que o 
sistema original apresentar tal característica. 
 
Exemplo 6.3 
 
Considere o escoamento de um líquido através do tubo esquematizado na Figura 6.17. 
 
 
Figura 6.17 Sistema com retardo por transporte. 
 
Com as hipóteses: a densidade ρ e a capacidade calorífica pC são constantes. A parede do 
tubo apresenta capacidade calorífica desprezível e o perfil de velocidade é plano. 
 
155 
 
A temperatura )t(u do fluido que entra no tubo varia com o tempo e deseja-se obter a 
resposta da temperatura de saída )t(y . Considerando que o sistema esteja inicialmente em 
regime estabelecido, temos: 
 
A temperatura )t(Ti do fluido que entra no tubo varia com o tempo e deseja-se obter a 
resposta da temperatura de saída )t(T . Considerando que o sistema esteja inicialmente em 
regime estabelecido, temos: 
 
iss TT = (6.62) 
 
Daí, uma perturbação em )t(Ti no instante 0t = , como mostrado na Figura 6.18, não será 
percebida na extremidade final do tubo antes de dt , onde dt é o tempo necessário para o 
fluido que entra atravessar todo o tubo e que pode ser calculado por: 
 
 
Figura 6.18 Resposta do retardo por transporte a um estímulo na temperatura de entrada. 
 
ca volumétrivazão
 tubodo volume
t d = (6.63) 
 
F
AL
t d = (6.64) 
 
A relação entre )t(Ti e )t(T é 
 
)tt(U)tt(T)t(T ddi −−=(6.65) 
 
A função )t(T é igual a isT para dtt < . Portanto, a relação 6.65 mostra que )t(T é a função 
)t(Ti atrasada de dt unidades de tempo. Aqui, incluímos a função degrau unitário )tt(U d− 
para denotar explicitamente que isT)t(T = para todos os valores de dtt < . 
 
Subtraindo a equação 6.62 da equação 6.65 e introduzindo as variáveis-desvios 
 
isii TTT −= (6.66) 
 
sTTT −= (6.67) 
obtém-se 
)tt(U)tt(T)t(T ddi −−= (6.68) 
 
Tomando a transformada de Laplace dos termos de (6.68), temos 
156 
 
 
)s(Te)s(T istd−= (6.69) 
 
Portanto, 
dst
i
e)s(T
)s(T
−
= que é a função de transferência do retardo (6.70) 
 
Observação 
 
A função 
 
)tt(T)t(T di −= (6.71) 
pode ser expandida em uma série de Taylor como segue 
…−+−= 2
i
22
di
di dt
)t(Td
!2
t
dt
)t(Td
t)t(TT (6.72) 
 
Tomando a transformada de Laplace de todos da equação acima temos 
 
…−+−= )s(Ts
!2
t)s(Tst)s(T)s(T i2
2
d
idi (6.73) 
 
)s(Ts
!2
t
st1)s(T i2
2
d
d 





−+−= … (6.74) 
 
a expressão entre parênteses será idêntica a stde− se tiver um número infinito de termos 
 
)s(Te)s(T istd−= (6.75) 
 
 
6.5.3 Sistemas de primeira ordem com tempo morto 
 
Considere um processo de primeira ordem seguido por um tempo morto esquematizado na 
Figura 6.19. 
 
 
Figura 6.19 Processo de primeira ordem com tempo morto. 
 
Seja )tt(y)t(y d* −= , então a representação em diagrama de blocos desse sistema é 
apresentada na Figura 6.20, onde a função de transferência em cada um dos blocos é 
 
1s
K
)s(u
)s(y
p
p
+τ
= (6.76) 
157 
 
st
*
de)s(y
)s(y
−
= (6.77) 
 
 
Figura 6.20 Diagrama de blocos de um processo de primeira ordem com tempo morto. 
 
A função de transferência global entre a entrada externa )t(u e a saída )t(y* é dada por 
 
1s
eK
)s(u
)s(y
p
st
p
* d
+τ
=
−
 (6.78) 
 
O sistema representado em (6.78) é equivalente à seguinte equação diferencial: 
)tt(uKy
dt
dy
dpp −=+τ (6.79) 
em que dt é o tempo morto. 
 
Para entender melhor esse esquema, tomemos o exemplo de um tanque de mistura com 
retardo por transporte na corrente afluente esquematizado na Figura 6.21. 
 
Figura 6.21 Tanque de mistura com retardo por transporte na corrente afluente. 
 
Supondo que o volume do tubo na entrada seja significativo, então haverá atraso por 
transporte entre variações na concentração de alimentação na entrada e na saída do tubo. O 
atraso pode ser calculado por: 
F
V
t td = (6.80) 
em que tV é o volume do tubo. A relação entre a concentração na saída do tubo e a 
concentração na entrada do tubo é dada por: 
 
)tt(c)t(c di*i −= (6.81) 
isto é, a concentração na saída do tubo é igual a da entrada dt instantes de tempo atrás. A 
equação de modelagem é 
 
c
V
F)t(c
V
F
dt
dc *
i −= (6.82) 
158 
 
c
V
F)tt(c
V
F
dt
dc
di −−= (6.83) 
 
Tomando a transformada de Laplace da equação 6.83, obtém-se 
 
)s(c
V
F
e)s(c
V
F)s(sc sti d −= − (6.84) 
st
i
de)s(c
V
F)s(c
V
F)s(sc −=+ (6.85) 
st
i
de)s(c)s(c)s(sc
F
V
−
=+ (6.86) 
st
i
de)s(c)s(c1s
F
V
−
=





+ (6.87) 
)s(c
1s
F
V
e)s(c i
std
+
=
−
 (6.88) 
 
 
6.5.4 Sistemas de segunda ordem com tempo morto 
 
Considere um processo de primeira ordem seguido por um elemento tempo morto 
esquematizado na Figura 6.22 e o diagrama de blocos correspondente mostrado na Figura 
6.23. 
 
 
Figura 6.22 Processo de segunda ordem com tempo morto. 
 
 
Figura 6.23 Diagrama de blocos de um processo de segunda ordem com tempo morto. 
 
Nesse caso, a função de transferência global entre a entrada externa )t(u e a saída )t(y* é 
1s2s
eK
)s(u
)s(y
22
st
p
* d
+ζτ+τ=
−
 (6.89) 
 
 
6.5.5 Aproximação de Padé para tempo morto 
 
Lembre-se de que a função de transferência de um tempo de atraso por transporte é stde− , em 
que dt é o tempo morto. Essa função de transferência é bastante diferente das outras funções 
159 
 
de transferência (primeira ordem, segunda ordem etc.) no sentido de que não é uma função 
racional (isto é, uma razão de polinômios). Algumas aproximações do tempo morto úteis em 
cálculos de controle são apresentadas aqui. 
 
Uma aproximação do tempo morto pode ser obtida escrevendo stde− como stde1 e 
expressando o denominador como uma série de Taylor; o resultado é 
 
⋯++++
==
−
!3
st
!2
st
st1
1
e
1
e 33
d
22
d
d
st
st
d
d
 (6.90) 
Mantendo somente os dois primeiros termos no denominador tem-se 
st1
1
e
d
std
+
≅− (6.91) 
 
Essa aproximação, que é simplesmente um atraso de primeira ordem, é uma aproximação 
ruim do tempo morto. Um melhoramento pode ser feito expressando o tempo morto como 
 
2st
2st
st
d
d
d
e
e
e
−
−
= (6.92) 
 
Expandindo o numerador e o denominador em uma série de Taylor e mantendo somente os 
termos de primeira ordem resulta 
s
2
t1
s
2
t1
e
d
d
std
+
−
≅− (6.93) 
 
Essa aproximação é também conhecida como aproximação de Padé de primeira ordem. Uma 
outra aproximação bastante conhecida para o tempo morto é a aproximação de Padé de 
segunda ordem: 
 
12st6st
12st6st
e
d
22
d
d
22
dstd
++
+−
≅− (6.94) 
 
Exemplo 6.4 Aproximação do tempo morto 
 
A resposta aproximada ao degrau unitário da função de transferência 
1s
e)s(G
s
p +
=
−
 
 
pode ser obtida utilizando-se as aproximações 6.91, 6.93 e 6.94. As aproximações para o 
tempo morto usadas neste exemplo foram: 
e− ≅
+
s
s
1
1
 aproximação de primeira ordem (6.95) 
160 
 
e− ≅
−
+
s
s
s
1 1
2
1 1
2
 aproximação de Padé 1/1 (6.96) 
e− ≅
− +
+ +
s s s
s s
2
2
6 12
6 12
 aproximação de Padé 2/2 (6.97) 
 
As respostas ao degrau unitário dessas três aproximações do tempo morto são mostradas na 
Figura 6.24. A resposta ao degrau de 
1s
e std
+
−
 é também mostrada para comparação. 
 
 
Figura 6.24 Comparação das respostas ao degrau de sistemas de primeira ordem com tempo 
morto com aproximações de Padé de primeira e segunda ordem. 
 
Embora nenhuma das aproximações de stde− seja muito precisa, a aproximação de stde− é 
mais útil quando está multiplicado por várias funções transferência de primeira ordem ou de 
segunda ordem. Neste caso, a aproximação do tempo morto combinado com essas funções de 
transferência aparenta ser satisfatório, pois essas funções de transferência filtram o conteúdo 
de altas freqüências dos sinais que atravessam o tempo morto. 
 
 
6.5.6 Sistemas dinâmicos com resposta inversa 
 
O comportamento dinâmico de alguns processos desvia drasticamente do que foi visto até 
aqui como indica a Figura 6.25, que mostra a resposta de um sistema a uma entrada degrau. 
Pode-se ver que a resposta inicialmente vai na direção contrária para depois ir na direção certa 
após a inversão. 
 
161 
 
 
 
Figura 6.25 Sistema que exibe resposta inversa. 
 
Tal comportamentoé chamado de resposta inversa ou resposta de fase não mínima (non 
minimum phase). Matematicamente resposta inversa pode ser representada por um sistema 
cuja função de transferência tem um zero positivo, isto é, um zero no semi-plano direito s . 
 
Exemplo 6.6 
 
Considere a caldeira da Figura 6.26. 
 
 
Figura 6.26 Caldeira. 
 
Supondo que 1F seja aumentada de um degrau. O volume da água fervente e, 
conseqüentemente, a altura diminuirá por um curto período de tempo e começará a aumentar. 
Tal comportamento é resultado de dois efeitos opostos: 
 
1 - A água fria provoca uma diminuição na temperatura que, por sua vez, diminuirá o volume 
das bolhas. Isto gera decréscimo no nível de líquido da água fervente, seguindo um 
comportamento de primeira ordem: 
 
1s
K
1
1
+τ
− (6.98) 
 
2 - Com o fornecimento constante de calor, a produção de vapor continua a mesma e, 
conseqüentemente, o nível de líquido começará a subir de maneira integral (capacidade pura): 
 
s
K 2
 (6.99) 
 
Esses dois efeitos podem ser considerados efeitos em paralelo, cujo diagrama de blocos é 
mostrado na Figura 6.27. 
162 
 
 
 
Figura 6.27 Diagrama de blocos. 
 
A função de transferência global entre a entrada )t(F1 e a saída )t(h é 
 
( )
( )1ss
KsKK
1s
K
s
K)s(G
1
2112
1
12
o
+τ
+−τ
=
+τ
−= (6.100) 
Para 112 KK <τ , a função de transferência apresenta um zero positivo no ponto 
 
0
KK
K
s
112
2 >
−τ
−= (6.101) 
1s
K
s
K
)s(F
)s(h
1
12
1 +τ
−= (6.102) 
s
1)s(F1 = (6.103) 






+τ
−=
1s
K
s
K
s
1)s(h
1
12
 (6.104) 
( )1ss
K
s
K)s(h
1
1
2
2
+τ
−= (6.105) 
 
Tomando a transformada inversa 
 ( )1t12 e1KtK)t(h τ−−−= (6.106) 
 
A Figura 6.28 mostra uma possível resposta do sistema a variação degrau na entrada. 
 
163 
 
 
Figura 6.28 Comportamento dinâmico de sistema com resposta inversa. 
 
 
Exemplo 6.6 
 
O comportamento dinâmico de um sistema é descrito pela equação 
 
dt
)t(du
a)t(u)t(y
dt
)t(dy5
dt
)t(yd6 2
2
+=++ 
 
Quais são os pólos e os zeros do sistema? Como varia a resposta do sistema com o valor do 
coeficiente a quando o sistema é sujeito a uma entrada degrau unitário? 
 
Transformando a equação para produzir a função de transferência 
 
1s5s6
as1
)s(u
)s(y
2 ++
+
= 
( )( )1s31s2
as1
)s(u
)s(y
++
+
= 
 
tendo um zero em a1− e pólos em -1/2 e -1/3. 
 
( )( )333,0s5,0s
as1
6
1
)s(u
)s(y
++
+
= 
 
Para uma entrada degrau unitário, 
s
1)s(u = , assim, 
 
( )( )333,0s5,0ss
as1
6
1)s(y
++
+
= 
( ) ( )
333,0s
a333,013
5,0s
a5,012
s
1)s(y
+
−
−
+
−
+= 
 
cuja função inversa é 
 
( ) ( ) t333,0t5,0 ea333,013ea5,0121)t(y −− −−−+= 
 
164 
 
Programa 
 
//Resposta a degrau de um sistema de segunda ordem com resposta inversa 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
delt=0.1 
t=0:delt:15 
a_=[2 1 -1 -2] 
out=[] 
for i=1:4 
 a=a_(i) 
 num=1+a*s //numerador de G(s) 
 den=6*s^2+5*s+1 //denominador de G(s) 
 sl=syslin('c',num,den) //cria o sistema linear a partir de num e den 
 y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 disp('') 
 printf('Função de transferência com a = %f\n',a) 
 disp(sl) 
 out=[out; y] 
end 
scf(1) 
clf 
plot(t,out) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['a=2','a=1','a=-1','a=-2'],4) 
 
O seguinte resultado é mostrado na janela de comando do Scilab. 
 
 
 
Função de transferência com a = 2.000000 
 
 1 + 2s 
 ---------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
Função de transferência com a = 1.000000 
 
 1 + s 
 ----------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
Função de transferência com a = -1.000000 
 
 1 - s 
 ----------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
Função de transferência com a = -2.000000 
 
165 
 
 1 - 2s 
 ---------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
O efeito do valor de a , isto é, do posicionamento do zero, é ilustrado na Figura 6.29. 
 
 
Figura 6.29 Diferentes respostas ao degrau dependendo da posição do zero do sistema. 
 
Note que a presença de zeros positivos, 1s = quando 1a −= e 5.0s = quando 2a −= , leva a 
resposta inicialmente na direção errada como já discutido. 
 
O sistema tem pólos em -2 e -1, portanto, é estável. O zero positivo não afeta a estabilidade. 
 
6.5.7 Comportamento dinâmico de sistemas com mais de um zero no 
semi-plano direito 
 
Algumas observações 
 
A porção inicial da resposta ao degrau de um sistema com mais de um zero positivo exibirá 
tantas inversões quantos forem o número de zeros positivos: 
 
1 - A resposta ao degrau de um sistema com um zero positivo exibirá uma inversão. Portanto, 
se a resposta ao degrau de um sistema termina na direção certa, ela inicialmente vai na direção 
errada para depois da inversão retornar à direção certa. 
 
2 - A resposta ao degrau de um sistema com dois zeros positivos exibirá duas inversões. 
Portanto, se a resposta ao degrau de um sistema termina na direção certa, ela primeiramente 
166 
 
vai na direção certa, toma uma primeira inversão e permanece temporariamente na direção 
errada para depois da segunda inversão retornar à direção certa. 
 
 
Comentário 
 
Um exemplo típico da engenharia química é o controle do nível na base da coluna de 
destilação mostrada na Figura 6.30 (Seborg et al., 1989). A resposta inversa do nível de 
líquido é freqüentemente encontrada quando são feitas variações bruscas na pressão do vapor 
no refervedor. Isso acontece porque um aumento na pressão do vapor resulta em aumento na 
formação de espuma e em diminuição na vazão de líquido no downcomer. Inicialmente, 
predomina o primeiro efeito, provocando aumento do nível, entretanto, a redução na vazão de 
líquido eventualmente leva ao decréscimo esperado no nível. Sistemas com resposta inversa 
são difíceis de controlar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.30 Coluna de destilação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
167 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
6.1 Um termômetro apresentando dinâmica de primeira ordem com uma constante de tempo 
de 1,0 min, é colocado em um banho a 40°C. Após o termômetro atingir o regime 
estacionário, é colocado subitamente em um banho a 50°C em 0t = e lá deixado por 1,0 min, 
após o qual retorna imediatamente ao banho a 40°C. 
a) Represente graficamente a variação da leitura do termômetro com o tempo. 
b) Qual é a leitura final do termômetro? 
 
Solução 
 
Balanço de energia em regime transiente 
 
( )TThA
dt
dT
mC ip −= (1) 
 
Balanço de energia em regime permanente 
 
( )sis TThA0 −= (2) 
 
Subtraindo a equação 2 da equação 1, obtém-se 
 
[ ])TT()TT(hA
dt
)TT(d
mC sisisp −−−=
−
 (3) 
 
Em variáveis desvios, a equação 3 fica 
 
( )TThA
dt
Td
mC ip −= (4) 
 
em que: 
 
sTTT −= (5) 
isii TTT −= (6) 
 
ou 
 
i
p TT
dt
Td
hA
mC
=+ (7) 
O termo 
hA
mCp
 corresponde à constante de tempo, e a equação 7 pode ser escrita como 
 
168 
 
ip TTdt
Td
=+τ (8) 
 
Portanto, a função de transferência do termômetro é dada por: 
 
1s
1)s(T
)s(T)s(G
pi +τ
== (9) 
1s
1)s(G
+
= (10) 
 
A curva que representa a variação da temperatura iT é mostrada figura 
 
Figura 6.31 Variação da temperatura iT . 
 
No estado estacionário, temos que: 
 
40Tis = °C 
40Ts = °C 
 
A temperatura iT é uma função-pulso de amplitude 10 e duração de 1 min. Assim, a variação 
de iT pode ser expressa como dois degraus consecutivos, mas de sinais opostos. Um degrau 
de amplitude 10°C iniciado em 0t = min e o outro de amplitude -10°C iniciado em 1t = 
min. 
 
169 
 
 
Figura 6.32 Variação da temperatura iT como soma de dois degraus. 
 
)1t(U10)t(U10)t(Ti −−= (11) 
 
Tomando a transformada de Laplace dessa equação, temos 
 
s
i e
s
10
s
10)s(T −−= (12) 
 
Substituindo em (10) 
 






−
+
=
−se
s
10
s
10
1s
1)s(T (13) 
( ) ( )
se
1ss
10
1ss
10)s(T −
+
−
+
= (14) 
( ) ( ) 




+
−
+
=
−se
1ss
1
1ss
110)s(T (15) 
 
A inversa de )s(T é 
 ( ) ( )[ ])1t(Ue1)t(Ue110)t(T )1t(t −−−−= −−− (16) 
ou 
170 
 
( )
( ) ( )[ ]

>−−−
<−
=
−−−
−
1te1e110
1te110)t(T )1t(t
t
 (17) 
 
( )



>
<−
=
−
−
1te1828,17
1te110)t(T
t
t
 (18) 
 
Figura 6.33 Leitura do termômetro, T . 
 
A leitura final do termômetro de 40°C é alcançada praticamente em 5 min, ou seja, em 5 
constantes de tempo. 
 
 
6.2 Deseja-se atenuar as oscilações de concentração que ocorrem na saída de um reator 
contínuo operando com uma vazão de 10 L/min. As variações de concentração alcançam 2 
g/L em torno da concentração de regime que é igual a 20 g/L, com um período de oscilação 
igual a 6,28 min. Para isso, foi projetado um tanque de mistura colocado depois do reator, 
com o objetivo de obter uma razão de amplitude igual a 0,1. Sabe-se que a função de 
transferência que descreve a concentração de saída do tanque de mistura com a concentração 
de saída do reator é dada por: 
 
1s
1)s(G
p
p +τ
= 
em que 
vazão
volume
p =τ . Escreva um programa em Scilab para determinar o volume do tanque 
de mistura em litros para se obter a razão de amplitude desejada. 
 
 
171 
 
Solução 
 
A concentração que ocorre na saída do reator apresenta comportamento de uma onda senoidal 
e corresponde à concentração de entrada do tanque de mistura e dada por 





 pi
+= t
28,6
2
sen220)t(c i 
 
ou em variável desvio 
 





 pi
= t
28,6
2
sen2)t(ci 
ou 
 
)t(Asen)t(ci ω= 
 
A concentração de saída do tanque de mistura após decorrido um tempo longo, também 
apresenta comportamento de uma onda senoidal com amplitude Aˆ . A razão entre as 
amplitudes de saída e entrada é chamada de razão de amplitude AR . 
 
Aˆ
AAR = 
 
Programa 
 
//Razão de amplitude em função do volume do tanque de mistura 
clear 
clc 
 
//Parâmetros do processo 
Kp=1; //ganho do processo 
F=10; //vazão de entrada, L/min 
cis=20; //concentração de sal na entrada no estado estacionário, g/L 
 
//Entrada senoidal 
A=2; //amplitude da onda senoidal de entrada, g/L 
P=6.28; //período, min 
w=2*%pi/P; //frequência angular, rad/min 
t=0:0.01:100 //tempo de simulação 
u=A*sin(w*t) //onda senoidal 
 
s=%s 
N=round(P/0.01) 
V=10:10:200 
for i=1:length(V) 
 taup=V(i)/F 
 G=syslin('c',Kp/(taup*s+1)) 
 y=csim(u,t,G) 
 Ahat(i)=max(y($-N+1:$)) 
end 
AR=Ahat/A 
 
//Plota figura AR versus V 
scf(1) 
clf 
172 
 
plot(V,AR) 
xlabel('V (L)') 
ylabel('AR') 
 
//Acha o volume do tanque correspondente a AR=0,1 
Vstar=interp1(AR,V,0.1,'linear') 
disp('Solução') 
printf('Volume do tanque = %f L\n',Vstar) 
 
//Plota a resposta da saída para o volume correspondente a AR=0,1 
taup=Vstar/F 
G=syslin('c',Kp/(taup*s+1)) 
y=csim(u,t,G) 
scf(2) 
clf 
plot(t,y) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('c (g/L)') 
 
O seguinte resultado é mostrado na janela de comando do Scilab. 
 
 
 Solução 
Volume do tanque = 99.504362 L 
 
 
A Figura 6.34 mostra a curva de AR em função de V . Podemos observar que AR diminui 
com V , ou seja, quando maior o volume do tanque de mistura, maior será a atenuação da 
oscilação. 
 
A Figura 6.35 mostra que a variação da concentração na saída do tanque de mistura após 
decorrido um tempo razoável é também uma onda senoidal com amplitude menor do que a 
amplitude da onda de entrada. No caso em 50,99V = L, a amplitude da onda senoidal de 
saída é de aproximadamente 0,20 g/L. 
 
173 
 
 
 
Figura 6.34 Curva de AR em função de V . 
 
 
 
Figura 6.35 Resposta da saída à entrada senoidal para 50,99V = L. 
 
 
 
174 
 
Exercícios propostos 
 
6.3 Em um sistema de primeira ordem com função de transferência 
 
1s
K
)s(u
)s(y
+τ
= 
 
considerando que a entrada é uma função degrau, pede-se: 
 
a) Qual o tempo (em unidades de constante de tempo) que a saída demora para chegar a 5% 
do valor final? 
b) Qual o instante de tempo em que a resposta tem inclinação máxima? 
c) Se a resposta mantivesse a inclinação máxima, quanto tempo ela demoraria para atingir o 
valor final? 
 
6.4 Suponha que a um sistema de primeira ordem 
1s
K)s(G
+τ
= seja aplicada uma rampa com 
inclinação igual a 1 ( 2s1)s(u = ). Daí, pede-se: 
 
a) A expressão analítica da resposta do sistema e represente graficamente essa resposta. 
b) Quais os instantes de tempo em que a inclinação da resposta é mínima e máxima? 
c) Se essa resposta gráfica fosse dada, como você calcularia os parâmetros K e τ ? 
 
6.5 O tanque do desenho abaixo funciona continuamente para homogeneizar um efluente 
industrial a ser despejado num rio. A agitação é perfeita. A vazão de efluente é constante, 
igual a 50 gpm. 
 
 
 
Aleatoriamente, em espaços de tempo muito longos, um elemento poluidor é lançado no 
efluente durante 2 min. A vazão do efluente não é modificada, porém a concentração do 
elemento poluidor possui a seguinte forma: 
 
 
 
Calcular o volume do tanque para que a concentração máxima do elemento poluidor no 
despejo seja 5% do pico da sua concentração no efluente. 
 
175 
 
6.6 Considere o processo de mistura mostrado na figura abaixo no qual uma corrente de uma 
solução contendo sal dissolvido escoa em um tanque de volume de armazenamento V 
constante. Tanto a vazão volumétrica F e a concentração de sal na corrente de alimentação do 
tanque, ic (massa/volume) variam com o tempo. 
(a) Deseja-se determinar as funções de transferência que relacionam a concentração de saída 
c com a vazão de entrada F e a concentração de entrada ic . 
(b) Desenhe o diagrama de blocos do sistema. 
(c) Esboce a resposta da concentração de saída c a uma variação degrau unitário na vazão de 
entrada F . 
(d) Esboce a resposta da concentração de saída c a uma variação degrau unitário na 
concentração de entrada ic . 
(e) Interprete os resultados. 
 
 
 
6.7 Dois tanques de armazenamento de líquido estão mostrados abaixo. Cada tanque tem 4 ft 
de diâmetro. Para o Sistema I, a válvula atua como uma resistência linear de acordo com a 
relação vazão-altura h12,1F = , onde F está em ft3/min e h está em ft. Para o Sistema II, a 
variação do nível h não afeta a vazão de saída F . Supondo que cada tanque esteja 
inicialmente em estado estacionário com 6h s = ft e 72,6Fis = ft
3/min e que no instante 
0t = , a vazão de entrada varia de 6,72 para 9,36 ft3/min. Para cada sistema, determine as 
seguintes informações: 
a) A função de transferência )s(F)s(h i . 
b) A resposta transiente )t(h . 
c) Os níveis no novo estado estacionário. 
d) Se cada tanquetem 8 ft de altura, qual dos tanques transbordará primeiro? E quando? 
 
 
 Sistema I Sistema II 
 
6.8 Está se estudando a colocação de um tambor de amortecimento das variações na 
concentração da carga de um reator. 
 
176 
 
 
 
A sugestão é colocar dois tanques em série de tal forma que o volume total seja o mesmo 
( 10FVFV 21 == ). O distúrbio na concentração de entrada tem tipicamente a forma a seguir 
 
 
 
Verificar qual a melhor alternativa em termos de amortecimento do distúrbio. 
 
6.9 Dois sistemas de primeira ordem em paralelo 
 
 
 
podem ter diferentes tipos de resposta. Particularmente, no caso em que 1K e 2K têm sinais 
contrários, verifique que tipos de resposta podemos ter para um degrau em u . 
 
6.10 No esquema de dois tanques interagentes representado a seguir 
 
177 
 
 
 
Verificar em que condições a resposta de 1h para variações em iF é sobreamortecida e 
subamortecida. 
 
6.11 Um esquema com dois tanques misturadores é mostrado a seguir 
 
 
 
Uma corrente de reciclo com vazão rFé usada, onde r é a razão de reciclo. 
 
a) Verificar o efeito da razão na dinâmica do sistema ( )s(c)s(c Ai2A ). 
b) Como se comportaria o sistema quando ∞→r . 
 
6.12 Três tanques são operados em série de modo não interagente como mostra a figura. Para 
cada tanque, 1K = , 1=τ . Se o desvio na vazão ao primeiro tanque for uma função impulso 
de magnitude 2, determine: 
(a) Uma expressão para )s(h , onde h é o desvio no nível do terceiro tanque. 
(b) Esquematize a resposta )t(h . 
(c) Obtenha uma expressão para )t(h . 
 
178 
 
 
 
6.13 Um sistema de três tanques idênticos em série com constante de tempo de 1,0 min e 
resistência de 1,25 m/(m3/min) encontra-se em estado estacionário, com uma vazão de 0,20 
m3/min. No tempo 0t = , uma vazão dF de 2,4 m
3/min é adicionada ao tanque 2 através de 
uma tubulação secundária, durante 0,1 min, pela adição de 0,24 m3 de água ao tanque, de 
maneira uniforme durante 0,1 min. 
 
 
 
(a) Desenvolva o diagrama de blocos que relacione 3h , desvio na altura do tanque 3, com iF′ 
e dF . 
(b) Obtenha uma expressão para )t(h3 . 
(c) Determine )t(h3 em ∞= ,2,1t . 
 
 
6.14 Dois CSTRs estão interligados por uma longa tubulação que atua como tempo morto de 
dt min para as vazões no estado estacionário. Assuma que as vazões e os volumes sejam 
constantes, e uma reação de primeira ordem irreversível BA k→ em cada tanque. 
179 
 
Desenvolver a função de transferência que relaciona a concentração da alimentação ao 
primeiro tanque Aic e a concentração de A na corrente que deixa o segundo tanque cA2 . Use 
inversão para determinar )t(c 2A a uma perturbação degrau unitário em Aic . 
 
 
 
6.15 No arranjo de trocadores de calor mostrado na figura é conhecido o seguinte: 
a) A resposta da temperatura AT da corrente 2 que deixa o trocador A a uma variação na 
vazão de entrada F da corrente 1 é de primeira ordem com uma constante de tempo de 0,67 
min e um ganho estacionário de 20. 
b) A resposta de BT a uma variação em AT é de segunda ordem subamortecida com uma 
constante de tempo de 3,2 min e um fator de amortecimento de 0,48. O ganho é de um. 
Determinar a resposta de BT a uma variação degrau de amplitude um em F . Assuma que as 
temperaturas de todas as correntes de entrada, a vazão da corrente 2 através de A e da corrente 
3 através de B permaneçam constantes. 
 
 
 
6.16 Considere o processo de mistura no qual uma corrente de uma solução contendo sal 
dissolvido escoa com uma vazão volumétrica constante 1F em um tanque de volume de 
armazenamento V constante. A corrente de saída e uma outra corrente com uma vazão 
volumétrica constante 2F , contendo o mesmo sal, convergem para uma junção de mistura 
conforme mostra a figura. 
(a) Deseja-se determinar a função de transferência que relaciona a concentração 3c 
(massa/volume) com as concentrações 1c e 2c . 
(b) Desenhe o diagrama de blocos do sistema. 
(c) Esboce a resposta da concentração 3c a uma variação degrau unitário na concentração 1c . 
(c) Esboce a resposta da concentração 3c a uma variação degrau unitário na concentração 2c . 
(e) Interprete os resultados. 
 
180 
 
 
 
6.17 Escreva a função de transferência entre T e ciT para o sistema de resfriamento mostrado 
abaixo. A capacidade térmica da parede da camisa é desprezível, mas não a da água na 
camisa. Esboce a resposta T para um pulso em ciT . 
 
 
 
6.18 Seja o transportador de esteira da figura abaixo 
 
 
 
A vazão de sólidos no transportador é função do ponto z em que é medido. Além disso, a 
vazão em cada ponto é função de tempo t . O transportador é, portanto, um sistema onde 
algumas variáveis, além de dependerem do tempo, possuem seus valores distribuidos ao longo 
do comprimento z . Os valores da vazão que tem interesse prático são os de entrada e saída, 
)t,0(F e )t,L(F , respectivamente. Obter a função de transferência entre as vazões de entrada 
e saída. Para isto será usada a seguinte designação: 
)t,z(Q = vazão a uma dada distância z a partir da entrada do transportador, kg/min 
)t,z(ρ = densidade linear ao longo do transportador, kg/m 
v = velocidade da esteira, m/min 
L = comprimento do transportador, m 
 
181 
 
7 Representação dos elementos da malha de 
controle: Sensor e transmissor. Modelos das 
válvulas de controle e curvas características. 
Controladores PID e representação em função de 
transferência. 
 
 
 
7.1 Instrumentos em malhas de controle 
 
Uma malha de controle é composta por um sensor, para detectar a variável de processo que se 
quer controlar; um transmissor, para converter o sinal do sensor em um sinal analógico 
(pneumático ou elétrico) ou digital equivalente; um controlador, que compara o sinal do 
processo com o setpoint e produz um sinal apropriado de controle; e um elemento final de 
controle, que altera a variável manipulada. Normalmente, o elemento final de controle é uma 
válvula operada através de um atuador pneumático que abre e fecha a válvula de modo a 
alterar o fluxo manipulado. 
 
A Figura 7.1 mostra uma malha de controle da temperatura de um trocador de calor. O sensor 
detecta a variável de processo (temperatura da corrente de processo na saída), um transmissor 
converte o sinal do sensor em um sinal equivalente (por exemplo, corrente que varia de 4 a 20 
mA) que é proporcional à variável controlada do processo, e esta corrente é aplicada à entrada 
do controlador. O controlador compara o sinal do processo com um valor de referência 
desejado (setpoint) e produz um sinal de saída do controlador apropriado (corrente), também 
de 4 a 20 mA. Um conversor I/P converte o sinal elétrico em sinal pneumático e um elemento 
final de controle muda a variável manipulada, abrindo ou fechando a válvula (aumentando ou 
reduzindo a vazão da água de refrigeração) com base no sinal da saída do controlador. 
Aumentando a vazão da água, retira mais calor da corrente quente e, conseqüentemente, 
diminui a temperatura da mesma na saída do trocador e vice-versa, de modo a levar 
temperatura da corrente do processo para o setpoint. 
 
182 
 
 
 
Figura 7.1 Malha de controle feedback. 
 
O sensor, transmissor e a válvula de controle normalmente ficam fisicamente localizados 
próximos do equipamento de processo, ou seja, no campo. O controlador normalmente 
localiza-se num painel ou computador na sala de controle, que pode ficar distante do 
equipamento de processo. A fiação faz a conexão entre as duas localizações, conduzindo 
sinais e correntes do transmissor para o controlador e do controlador para o elemento final de 
controle. 
 
 
7.2 Diagramade blocos de uma malha de controle 
feedback 
 
A cada componente de uma malha de controle corresponde um modelo, e como visto 
anteriormente, uma representação desse modelo é na forma de função de transferência. A 
Figura 7.2 apresenta um diagrama de blocos que mostra o fluxo de informações dentro de 
uma malha de controle eletrônica analógica em feedback. 
 
183 
 
 
 
Figura 7.2 Diagrama de blocos de uma malha de controle feedback. 
 
Para o diagrama da Figura 7.2, temos as seguintes funções de transferência: 
 
pG Função de transferência do processo 
dG Função de transferência da perturbação 
mG Função de transferência do medidor e transmissor 
cG Função de transferência do controlador 
fG Função de transferência do elemento final de controle 
mK Ganho estacionário do mG 
 
e as seguintes variáveis desvios: 
 
y Variável controlada 
my Variável medida 
spy Set point 
spy′ Set point interno 
ε Erro 
c Saída do controlador 
u Variável manipulada 
d Perturbação ou carga 
 
É comum simplificar o estudo de sistemas de controle de processos substituindo o diagrama 
de blocos da malha de controle feedback da Figura 7.2 por um diagrama de blocos, como o da 
Figura 7.3, em que a variável medida conduz a própria informação física ou química do 
processo. Dessa forma, o ganho mK pode ser omitido do diagrama e a comparação é feita em 
termos de quantidade física ou química da variável controlada com o valor desejado. 
 
184 
 
 
 
Figura 7.3 Diagrama de blocos de uma malha de controle feedback. 
 
 
7.3 Dispositivos de medição e de atuação 
 
Entre a saída do processo e a entrada do controlador, pode haver diversos instrumentos 
associados com a medição básica da variável controlada e com a transmissão do sinal de 
medição ao painel de controle. Cada um desses instrumentos tem características dinâmicas ou 
de regime estacionário que podem influir na operação da malha de controle. 
 
O sensor é o instrumento utilizado para fazer a medição diretamente no processo, podendo ser 
um termopar, uma placa de orifício para vazão, um tubo Bourdon para pressão ou qualquer 
outro dispositivo. Em aplicações industriais, o sensor é, geralmente, combinado com um 
transmissor para proporcionar um sinal de saída padrão a fim de transmitir a medição à 
distância. Por isto, ao se considerar as características do sistema de medição, deve-se 
examinar a combinação sensor/transmissor. 
 
Esses elementos normalmente introduzem atrasos na malha de controle, os quais, em geral, 
são pequenos quando comparados com os tempos de resposta envolvidos no processo 
propriamente dito. Dessa forma, é comum desprezar a dinâmica de medição e de atuação, 
quando comparada com a dinâmica do processo. No entanto, desprezar a dinâmica de 
medição e de atuação quando o tempo de resposta dos mesmos não é desprezível perante o 
tempo de resposta do processo, pode levar a erros grandes. 
 
É comum modelar esses elementos por meio de um atraso de primeira ordem com os 
parâmetros experimentalmente medidos ou extraídos da literatura técnica correlata. 
 
 
7.3.1 Sensor e transmissor 
 
Dispositivos que convertem informações físicas ou químicas de uma forma em uma forma 
física diferente são denominados transdutores. A Figura 7.4 ilustra a configuração geral de um 
transdutor que consiste tipicamente em um elemento sensor combinado com um transmissor. 
 
185 
 
 
 
Figura 7.4 Transdutor de processo típico. 
 
Os sinais padronizados mais utilizados para transmissão são 
 
- transmissão pneumática: 3-15 psi 
 
- transmissão eletrônica: 4-20 mA 
 
Os transmissores geralmente são de ação direta, isto é, o sinal de saída cresce 
proporcionalmente à variável medida. Além disso, a maioria dos transmissores comerciais 
possui a faixa de entrada ajustável. 
 
O comportamento estático de sensores e transmissores lineares é descrito por seu ganho em 
regime estacionário 
 
oinstrument do entrada da Faixa
oinstrument do saida da FaixaK m = (7.1) 
 
A faixa de medição dos transdutores é caracterizada por dois parâmetros 
 
 - o zero da faixa: corresponde ao valor inicial da faixa de medição; 
 
- largura da faixa (span): corresponde à diferença entre o fundo e o zero da faixa de medição. 
 
Para um instrumento não-linear, o ganho em qualquer ponto de operação é a tangente à 
característica entrada/saída no ponto de operação. 
 
Supondo que um transmissor de temperatura esteja calibrado para medir de 50 a 150°C, tem-
se a seguinte correspondência: 
 
Entrada Saída 
50°C 4 mA 
150°C 20 mA 
 
Esse transdutor apresenta um limite inferior ou “zero” de 50°C e largura da faixa de 100°C. A 
relação entre o sinal da saída do transmissor e a entrada é dada por 
 
( ) mA 4faixa da zeroTK)mA(T mm +−= (7.2) 
 
( ) mA 4C05T
C50-C150
mA 4-mA 20)mA(Tm +°−





°°
= (7.3) 
 
186 
 
( ) mA 4CT
C
mA16,0)mA(Tm −°





°
= (7.4) 
 
em que T é a temperatura medida pelo sensor. Por exemplo, caso a temperatura fosse 
100T = °C, o sinal de saída seria 
 
( ) mA 12=mA 4C100
C
mA16,0)mA(Tm −°





°
= (7.5) 
 
Alguns sensores típicos usados para medir saídas de processos mais comuns são: 
 
 
Sensor de vazão 
 
Placa de orifício 
 
Os sensores de vazão têm dinâmica muito rápida e eles são, normalmente, modelados por 
equações algébricas simples 
 
p=vazão ∆α (7.6) 
 
onde α é uma constante determinada pelas características de construção e p∆ é a variação de 
pressão na placa. 
 
 
Sensor de Pressão 
 
Tais sensores são empregados para medir a pressão de um processo ou a diferença de pressão 
que será utilizada para calcular o nível de líquido ou vazão. 
 
Os dispositivos que usam diafragmas são modelados por equações diferenciais de segunda 
ordem (balanço de força). 
 
pKz
dt
dz2
dt
zd
p2
2
2 ∆=+ζτ+τ (7.7) 
 
em que 
 
z Deslocamento do diafragma 
p∆ Diferença de pressão 
τ , ζ e pK Três parâmetros do sistema de segunda ordem definidos pelas características de 
construção do dispositivo. 
 
 
 
 
187 
 
Sensor de temperatura 
 
Os mais comuns são os termopares. 
 
(a) Quando existe apenas a resistência à transferência de calor no filme externo 
 
São modelados por um sistema de primeira ordem: 
 
TT
dt
dT
m
m
m =+τ (7.8) 
 
ou em função de transferência 
 
1s
1
)s(T
)s(T
m
m
+τ
= (7.9) 
 
(b) Quando há resistência à transferência de calor nos filmes interno e externo 
 
A leitura do termopar exibe comportamento de segunda ordem: 
 
TT
dt
dT2
dt
Td
m
m
2
m
2
2
=+ζτ+τ (7.10) 
 
ou em função de transferência 
 
1s2s
1
)s(T
)s(T
22
m
+ζτ+τ= (7.11) 
 
 
7.4 Modelos das válvulas de controle e curvas 
características 
 
Toda malha de controle contém um elemento final de controle, dispositivo que permite a 
manipulação de uma variável de processo. Os elementos finais de controle usualmente 
ajustam vazão de materiais e, indiretamente, as taxas de transferência de energia para o 
processo. 
 
Na maioria dos processos industriais, o elemento final de controle mais comum para 
manipular a vazão de fluido é a válvula de controle. Esta, tipicamente, utiliza algum tipo de 
acionamento mecânico para mover o obturador da válvula em sua sede, abrindo ou fechando a 
área de passagem do fluido. O acionador mecânico pode ser um motor de corrente contínua, 
um motor de passo, um atuador eletro-hidráulico ou ainda um atuador pneumático constituído 
por um diafragma operado pneumaticamente, e que move a haste da válvulacontra a força 
oposta de uma mola fixa. 
 
Apesar do crescente uso de válvulas motorizadas, a maioria das aplicações de controle de 
processos utiliza válvulas de controle pneumáticas, em que o sinal de entrada é uma pressão 
188 
 
de ar, e a válvula abre e fecha à medida que varia a pressão de ar sobre o diafragma associado 
a uma mola. A Figura 7.5a mostra o esquema de uma válvula de controle que contém um 
dispositivo pneumático (motor da válvula) que move a haste da válvula à medida que varia a 
pressão sobre um diafragma associado a uma mola. A haste posiciona um tampão num 
orifício existente no corpo da válvula. Conforme a pressão aumenta, o tampão se move para 
baixo, limitando o fluxo através da válvula. Esta ação é chamada de ar para fechar. Os 
motores das válvulas são, muitas vezes, construídos de modo a apresentar a posição 
proporcional à pressão no topo da válvula. A maioria das válvulas comerciais varia de uma 
posição totalmente aberta a totalmente fechada, à medida que a pressão vai de 3 a 15 psig. 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 7.5 Válvulas pneumáticas: (a) ar para fechar; (b) ar para abrir. 
 
A válvula de controle pneumática é um sistema que exibe dinâmica de segunda ordem 
(balanço de forças), mas a resposta a variações na pressão do ar, para a maioria das válvulas 
de tamanho pequeno e médio, é tão rápida que sua dinâmica pode ser desprezada. Nestes 
casos, somente um termo constante (ganho) relaciona a saída do controlador com a vazão 
através da válvula. 
 
Visto que é muito comum ter controladores eletrônicos analógicos ou digitais controlando 
válvulas pneumáticas, pode ser necessário introduzir na malha um conversor I/P, que converte 
corrente em pressão, tipicamente 4-20 mA em 3-15 psi, e normalmente é assumido com 
característica linear e dinâmica desprezível (resposta muito rápida), resultando em uma 
função de transferência que meramente consiste em um ganho estacionário IPK . 
 
mA
psi
 75.0
mA 16
psi 12
mA 4 -mA 20
psi 3 - psi 15K IP === (7.12) 
 
Há vários aspectos que devem ser considerados em válvulas de controle: ação, características 
e tamanho. 
 
 
7.4.1 Ação 
 
As válvulas são projetadas de modo que, em casos de emergência, fiquem completamente 
abertas ou fechadas. O tipo de ação depende do efeito da variável manipulada sobre a 
segurança do processo. Por exemplo, se a válvula manuseia vapor ou combustível, 
gostaríamos que o fluxo fosse interrompido numa emergência (válvula fechada). Se a válvula 
manuseia água de refrigeração de um reator, gostaríamos que a vazão fosse para um máximo 
189 
 
numa emergência (válvula aberta). A Figura 7.5 mostra os dois tipos de ação. A válvula ar 
para fechar é quando, aumentando-se a pressão do ar, fecha-se mais a válvula. Se o sinal do ar 
comprimido cair para zero por causa de alguma falha (por exemplo, interrupção da linha do 
suprimento de ar de instrumentação), essa válvula ficará aberta, uma vez que a mola 
empurrará o diafragma para cima abrindo a válvula. A válvula pode ser ar para abrir 
invertendo-se a ação do obturador. Aumentando-se a pressão do ar, abre-se mais a válvula. 
Portanto, a escolha do tipo de válvula a ser usada é baseada em considerações de segurança. 
 
A ação do controlador deve ser escolhida corretamente em função do processo, para que 
funcione corretamente. A escolha errada pode provocar uma instabilidade no sistema, e o 
controlador não conseguirá operar em automático. 
 
 
7.4.2 Tamanho 
 
A vazão através de uma válvula depende do tamanho da válvula, queda de pressão na válvula, 
da posição da haste e das propriedades do fluido. A equação de projeto para líquidos 
nonflashing é: 
 
gr sp
p)x(fCF v
∆
= (7.13) 
 
em que 
 
F Vazão 
vC Coeficiente da válvula 
x Posição da haste (fração de abertura) 
)x(f Fração da área de escoamento da válvula (a curva de )x(f versus x é chamada de 
curva característica inerente da válvula) 
gr sp Peso específico (relativo à água) 
p∆ Queda de pressão na válvula 
 
A característica inerente da válvula, )x(f , depende da forma geométrica do obturador e da 
sede da válvula. 
 
 
7.4.3 Características 
 
Em geral, a vazão do fluido através da válvula depende das pressões a montante e a jusante, 
bem como do tamanho da abertura no interior da válvula. Quando o obturador e a sede (ou 
orifício) são torneados, podem-se obter várias relações entre a posição da haste e o tamanho 
da abertura (e, portanto, da vazão). Mudando o formato do obturador e da sede da válvula, 
diferentes relações entre a posição da haste e a área de escoamento são conseguidas. A 
característica inerente é dada pelo gráfico da vazão através da válvula versus a posição da 
haste, para uma queda de pressão fixa, isto é, para pressões constantes a montante e a jusante 
através da válvula. A queda de pressão é a força propulsora do escoamento e, por isto, tem um 
efeito determinante nas características de vazão do processo. Nos casos em que a queda de 
190 
 
pressão através da válvula é constante durante a operação, a característica inerente determina 
realmente a variação da vazão com a posição da haste. 
 
As características inerentes de vazão mais utilizadas são: 
 
Linear: x)x(f = (7.14) 
 
Nesse caso, o fluxo no regime estabelecido (para pressões constantes a montante e a jusante) é 
proporcional à pressão pneumática no topo da válvula. Uma válvula com esta relação é 
chamada linear. 
 
Quadrática ou abertura rápida: x)x(f = (7.15) 
 
Igual porcentagem: 1xR)x(f −= (7.16) 
 
A válvula igual porcentagem recebe esse nome porque a inclinação da curva )x(f contra x , 
dxdf , é uma fração constante de f , conduzindo a uma mudança de igual porcentagem na 
vazão para uma mudança específica em x em qualquer ponto de operação da válvula. 
 
Hiperbólica: ( )x1RR
1)x(f
−−
= (7.17) 
 
em que R corresponde à “rangeabilidade” da válvula (valores típicos para R : de 20 a 50). A 
rangeabilidade de uma válvula de controle significa a relação entre a máxima e a mínima 
vazão que a válvula consegue controlar. 
 
A Figura 7.6 mostra a curva característica de cada tipo de válvula. Foi usado o valor 35R = 
para as válvulas igual porcentagem e hiperbólica. 
 
191 
 
 
 
Figura 7.6 Curvas características de válvulas de controle. 
 
Observação 
 
Uma válvula com característica linear aparentemente seria a mais desejável; no entanto, o 
objetivo do projetista é obter uma característica instalada de vazão que seja tão linear quanto 
possível, isto é, ter a vazão através da válvula e do processo variando linearmente com x . 
Visto que p∆ varia quadraticamente com a vazão, uma válvula não linear freqüentemente 
produzirá uma relação de vazão mais linear após a instalação que uma válvula com 
característica linear. Em particular, a válvula de igual porcentagem é projetada para 
compensar, pelo menos aparentemente, as mudanças em p∆ com a vazão. 
 
 
7.4.4 Função de transferência de válvulas de controle 
 
A válvula de controle pneumática é um sistema que exibe dinâmica de segunda ordem 
(balanço de força), o que significa que o movimento da haste não responde instantaneamente 
a uma variação da pressão aplicada a partir do controlador. 
 
De experiências realizadas com válvulas pneumáticas, verificou-se que a relação entre a vazão 
e a pressão no topo de uma válvula linear pode ser quase sempre apresentada por uma função 
de transferência de primeira ordem, assim, 
 
1s
K
)s(p
)s(F
v
v
+τ
= (7.18) 
 
192 
 
em que vK é o ganho em regime estabelecido, isto é, a constante de proporcionalidade entre a 
vazão em regime estabelecido e a pressão no topo daválvula, e vτ é a constante de tempo da 
válvula. 
 
Para a maioria das válvulas de tamanho pequeno e médio, a resposta a variações é tão rápida 
que sua dinâmica pode ser desprezada quando a constante de tempo da válvula é muito 
pequena em comparação com as constantes de tempo de outros componentes do sistema de 
controle, de modo que a função de transferência pode ser representada aproximadamente por 
uma constante (ganho) que relaciona a saída do controlador com a vazão através da válvula. 
 
vK)s(p
)s(F
= (7.19) 
 
Nessas condições, diz-se que a válvula contribui com um retardo dinâmico desprezível. 
 
Luyben (1990) oferece uma descrição de válvulas de controle e também orientação na seleção 
de válvulas para diferentes situações. 
 
 
7.5 Controladores PID e representação em função de 
transferência 
 
Nesta seção é apresentada uma descrição sobre controladores PID (Proporcional-Integral-
Derivativo) e os fundamentos matemáticos envolvidos na teoria desses controladores. O 
controlador PID é, certamente, o algoritmo de controle por realimentação mais utilizado na 
indústria. Estima-se que o controlador PI atende de 70 a 90% das aplicações em uma 
indústria. 
 
O controlador recebe o sinal )t(ym e o compara ao setpoint spy para produzir o sinal de 
atuação )t(c de maneira que a saída retorne ao valor desejado spy . Portanto, a entrada ao 
controlador é o erro )t(yy)t( msp −=ε , enquanto que sua saída é )t(c . O algoritmo PID usa o 
erro em três modos distintos para produzir o sinal de saída 
 
P Proporcional 
I Integral 
D Derivativo 
 
Apesar de ter a disponibilidade das ações desses três modos, em muitas aplicações não se faz 
necessária a utilização de um ou mais desses modos. Assim, é bastante comum encontrar os 
seguintes tipos de controladores: 
 
- Controlador Proporcional (P) 
 
- Controlador Proporcional-Integral (PI) 
 
- Controlador Proporcional-Derivativo (PD) 
 
193 
 
- Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) 
 
 
7.5.1 Controlador proporcional (controlador P) 
 
A saída é proporcional ao erro e pode ser expressa por 
 
sc c)t(K=)t(c +ε (7.20) 
 
A equação 7.20 mostra que a saída do controlador é proporcional ao erro entre o setpoint e a 
variável controlada. A proporcionalidade é dada pelo ganho proporcional do controlador, cK . 
Esse ganho, ou sensitividade do controlador, determina o quanto a saída do controlador varia 
para determinada variação no erro. 
 
Para controladores de propósitos gerais, cK é adimensional. Esta situação ocorrerá se c e ε 
tiverem as mesmas unidades. Alguns controladores, especialmente os modelos antigos, têm 
uma banda proporcional ajustado no lugar de um ganho do controlador. A banda proporcional 
PB (em %) é definida como 
 
cK
100PB = (7.21) 
 
Essa definição se aplica somente se cK for adimensional. Note que uma banda proporcional 
pequena (estreita) corresponde a um ganho de controlador grande, enquanto um PB grande 
(larga) implica um valor pequeno de cK . Usualmente, 500PB1 ≤≤ (Stephanopoulos, 1984). 
 
Definindo-se o desvio do sinal de atuação )t(c como 
 
sc)t(c)t(c −= (7.22) 
 
Assim, a equação 7.20 fica 
 
)t(K=)t(c c ε (7.23) 
 
A transformada da equação 7.23 fornece a função de transferência do controlador P: 
 
cc K)s(G = (7.24) 
 
A Figura 7.7 mostra a ação do controlador proporcional. Como pode ser observado na figura, 
o controle proporcional tem ação instantânea e possui a mesma dinâmica que o erro, sendo 
que a magnitude da sua ação é diretamente proporcional ao erro pelo fator cK . Dessa forma, 
se o erro não variar, isto é, permanecer constante, a saída do controlador P também não irá 
variar. Portanto, esses controladores permitem um erro em regime permanente (também 
conhecido como offset), ou seja, eles podem encontrar um ponto de equilíbrio onde existe um 
desvio entre o set point e a variável controlada. 
 
194 
 
A grande desvantagem desse tipo de controle é que sempre há um erro residual quando o 
sistema sofre uma perturbação, isto é, existe um offset em relação ao setpoint. Este fato 
acontece, como pode ser observado na equação 7.23, devido à impossibilidade de se ter um 
sinal de erro atuante nulo ( 0=ε ) para um sinal de controle não nulo ( 0c ≠ ). 
 
 
 
Figura 7.7 Resposta do controlador P a uma variação degrau no erro. 
 
 
Ação direta ou reversa 
 
O ganho do controlador pode ser adotado positivo ou negativo. Quando 0K c > , a saída do 
controlador )t(c aumenta quando o sinal de entrada )t(ym diminui. Esse é um controlador de 
ação reversa. Quando 0K c < , o controlador é dito ser de ação direta, uma vez que a saída do 
controlador aumenta com o aumento da entrada. Note que essas definições são baseadas no 
sinal de entrada )t(ym , em vez de no sinal erro )t(ε . O sinal correto depende da ação do 
transdutor (normalmente é direto), da ação da válvula (ar-para-abrir ou ar-para-fechar) e do 
efeito da variável manipulada sobre a variável controlada. 
 
 
7.5.2 Controlador proporcional-integral (controlador PI) 
 
O sinal de atuação relacionando ao erro é dado pela equação 
 
s
I
c
c cdt)t(
K)t(K=)t(c ∫ +ετ+ε (7.25) 
 
Iτ é a constante de tempo integral. A ação integral é aplicada com base na integral do erro no 
tempo. 
 
195 
 
Tanto cK como Iτ são ajustáveis. Usualmente, min 501,0 I ≤τ≤ (Stephanopoulos, 1984). 
Alguns fabricantes preferem usar o termo taxa de reajuste (reset time), que é definida como o 
inverso de Iτ ( I1 τ ). A função de transferência do controlador PI é dada por 
 






τ
+=
s
11K)s(G
I
cc (7.26) 
 
 
7.5.3 Controlador proporcional-integral-derivativo (controlador 
PID) 
 
Às vezes, um outro modo de controle é adicionado ao controlador PI. O novo modo de 
controle é a ação derivativa. A saída do controlador é dada por 
 
sDc
I
c
c cdt
dKdt)t(K)t(K=)t(c +ετ+ε
τ
+ε ∫ (7.27) 
 
onde Dτ é o tempo derivativo, tempo pelo qual a ação derivativa antecede a ação 
proporcional. A função de transferência do controlador PID é dada por 
 






τ+
τ
+= s
s
11K)s(G D
I
cc (7.28) 
 
 
7.6 Observações 
 
O problema da escolha dos modos a serem usados numa aplicação específica não tem, em 
geral, uma solução definitiva. O ideal é escolher o controlador mais simples que produzirá um 
controle adequado. A seguir, são fornecidas algumas informações úteis que podem auxiliar na 
seleção dos modos de controle. 
 
a) O controle P tem a vantagem de sintonizar apenas um parâmetro, cK . Entretanto, ele 
apresenta uma grande desvantagem, a de operar a variável controlada com erro estacionário 
(offset). 
 
b) Para entender o significado físico do tempo integral, Iτ , considere o exemplo hipotético da 
resposta do controlador PI a uma variação degrau unitário no erro, como mostra a Figura 7.8. 
 
196 
 
 
 
Figura 7.8 Resposta do controlador PI a uma variação degrau no erro. 
 
Iτ é o tempo que o controlador leva para repetir a ação proporcional. Quanto menor o valor 
de Iτ , mais acentuada a inclinação da curva resposta, isso significa que a resposta do 
controlador se torna mais rápida. Uma outra forma de explicar isso é olhar a equação 7.27. 
Quanto menor o valor de Iτ , maior o termo na frente do integral, IcK τ , e, 
conseqüentemente, maior o peso dado à ação de integração. 
 
c) Para entender o significado físico do tempo derivativo, Dτ , considere o exemplo hipotético 
da resposta do controlador PD a uma variação rampa no erro, como mostra a Figura 7.9. 
Assim, 
 
At)t( =ε