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. CEFET - RJ Uned Angra dos Reis 1 O oscilador harmoˆnico Figure 1: A natureza da´ a b**** para o oscilador harmoˆnico, segundo o professor Josue´, homenageado neste ano pela UFC Sistemas oscilato´rios dominam todas as a´reas da fı´sica e das engenharias. Um peˆndulo desviado de seu ponto de equilı´brio tende a voltar a`quela posic¸a˜o por forc¸as restauradoras internas do material de que e´ feito. O som que ouvimos e´ uma combinac¸a˜o extremamente cuidadosa entre oscilac¸o˜es de densidade, pressa˜o e de deslocamento de camadas de ar; exemplos devem ser infinitos e talvez o professor Josue´ esteja mesmo certo nesse sentido A maneira usual que tratamos as oscilac¸o˜es no curso de fı´sica 1 foi o de descrever a energia potencial U(r) de um sistema conservativo, o qual, pro´ximo ao ponto de equilı´brio, pode ser aproximado em uma func¸a˜o parabo´lica, admitindo soluc¸o˜es perio´dicas com ponto de eqiuilı´brio no ponto de mı´nimo do potencial U e com pontos de retorno nos valores ma´ximos alcanc¸ados para a energia potencial do sistema Como exemplo, podemos tomar o caso de um sistema massa mola, onde para pequenos deslocamentos da posic¸a˜o de equilı´brio a forc¸a e´ tida como restauradora F(x) = −kx (1) onde k e´ a constante ela´stica da mola enquanto x e´ o deslocamento, em metros, de uma massa na ponta da mola da posic¸a˜o relaxada da mola. A energia potencial da mola e´ facilmente calculada com o auxı´lio da func¸a˜o trabalho, que e´ igual ao negativo da energia potencial, dando que U(x) = 1 2 kx2. (2) A equac¸a˜o de movimento resultante pode ser obtida tanto por me´todos de conservac¸a˜o de energia quanto pela segunda lei de Newton, resultando em m d2x dt2 = −kx (3) Devido a`s configurac¸o˜es deste exemplo, ele e´ chamado de oscilador harmoˆnico unidimensional e, observa-se, muitos sistemas naturais obedecem a esse tipo de descric¸a˜o, desde que os deslocamentos das quantidades fı´sicas 1 descritas sejam pequenas: no caso de um sistema massa-mola, se os deslocamentos na˜o forem suficientemente pequenos, pode ocorrer distorc¸o˜es ı˜rreversı´veis da mola e, assim, a forc¸a ela´stica dela ja´ na˜o devera´ mais ser dada pela lei de Hooke (1), de modo que precisaremos de formulac¸o˜es na˜o lineares, as quais fogem dos objetivos deste curso O objetivo principal deste capı´tulo e´ o de estudar sistemas cujas equac¸o˜es sejam dadas na forma de (3) e que, nos casos gerais, sera˜o dadas na forma x¨+ω2x = 0 (4) onde a frequeˆcia angular ω sera´ especificada para cada problema em particular. A partir daı´, procuraremos as soluc¸o˜es possı´veis para as equac¸o˜es na forma de (4) e o nosso trabalho sera´ simplesmente ajustar as condic¸o˜es de contorno de cada problema, encontrando ω e os valores para a amplitude de movimento e a fase inicial 1.1 Oscilac¸o˜es Harmoˆnicas Um lembrete: nos cursos de mecaˆnica ba´sica fomos capazes de concluir que o problema geral era o de encontrar soluc¸o˜es para as equac¸o˜es de movimento de algum problema dado; encontra´vamos as soluc¸o˜es gerais e, em seguida, aplica´vamos as condic¸o˜es de contorno para que as soluc¸o˜es ficassem unı´vocas, ou seja, so´ se referissem a`quele problema especı´fico Aqui na˜o e´ diferente. Tanto e´ que oscilac¸o˜es harmoˆnicas sa˜o soluc¸o˜es, equac¸o˜es de movimento, de sistemas conservativos e restauradores. Nos primeiros to´picos estudados, no caso de MRUV, a situac¸a˜o era dada por d2x dt2 = a (5) onde a e´ uma acelerac¸a˜o constante. A soluc¸a˜o dela e´ dada por x(t) = x(0)+ v(0)t+ 1 2 at2, (6) onde as constantes x(0) e v(0) sa˜o obtidas com dados especı´ficos do problema: x(0) = x0 dx dt (0) = v0 (7) As soluc¸o˜es sa˜o dadas pelo me´todo das equac¸o˜es diferenciais caracterı´sticas1, que consiste em supor uma soluc¸a˜o perio´dica para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de movimento x(t) x(t) = eiωt (8) de modo que podemos facilmente substituir na equac¸a˜o de movimento (3), resultando em mω2eωt = −keωt , (9) de tal forma que obtemos a soluc¸a˜o em termos de ω , que chamamos de frequeˆcia natural de oscilac¸a˜o ω = √ k m (10) e enta˜o a soluc¸a˜o pode ser dada por x(t) = ei √ k/mt . (11) 1E´ o me´todo mais simples que se tem para resolver equac¸o˜es diferenciais de ordens 2 em diante; qualquer livro, por pior que seja, sera´ capaz de explicar esse me´todo de maneira que tenhamos tudo o que precisamos 2 Observe agora uma outra situac¸a˜o: em vez de considerar a proposta de soluc¸a˜o (8), use agora que x(t) = e−iωt (12) e observe que ela tambe´m satisfaz a` equac¸a˜o diferencial (3). Dessa forma, tem-se duas soluc¸o˜es distintas que satis- fazem uma mesma equac¸a˜o diferencial. Por isso, podemos invocar ao conceito de linearidade das soluc¸o˜es: se uma equac¸a˜o diferencial tem x1 e x2 como soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ uma combinac¸a˜o linear entre as soluc¸o˜es encontradas. Assim, a soluc¸a˜o geral para (3) e´ a combinac¸a˜o linear x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (13) onde as constantes a1 e a2 sa˜o determinadas a partir das condic¸o˜es iniciais de cada problema especı´fico. 1.1.1 Exercı´cios 1. A fo´rmula de Euler: considere a equac¸a˜o diferencial d f dt = λ f f (0) = 1 (14) (a) Mostre que f (x) = eix e´ soluc¸a˜o e satisfaz a` condic¸a˜o de contorno (b) Mostre que f (x) = cosx+ isenx tambe´m e´ soluc¸a˜o e satisfaz a` mesma equac¸a˜o diferencial (c) Com a igualdade de condic¸o˜es dos dois itens anteriores, somos obrigados a concluir que se duas func¸o˜es satisfazem uma mesma equac¸a˜o diferencial e a`s mesmas condic¸o˜es de contorno, enta˜o as func¸o˜es sa˜o iguais, ou seja: eix = cosx+ isenx (15) que e´ a equac¸a˜o de Euler (d) Mostre que f (x1+ x2) = f (x1) f (x2) para ambos os lados da equac¸a˜o de Euler (e) Mostre que e−ix = cosx− isenx (16) (f) Mostre que cos(x) = R ( eix ) = 1 2 ( eix+ e−ix ) sen(x) = I ( eix ) = 1 2i ( eix− e−ix) (17) 2. Forma polar de um nu´mero complexo: Das equac¸o˜es (17), temos uma maneira interessante de ver o nu´mero complexo e±ix. Se considerarmos um eixo cartesiano onde a abscissa representaria a parte real e a ordenada representasse a parte imagina´ria de um nu´mero complexo, enta˜o um ponto P = z neste plano poderia ser decomposto por z= x+ iy= R(z)+ iI(z) ou ainda por ρ(cosθ + isenθ) onde ρ seria o mo´dulo do nu´mero complexo, dado por ρ = √ x2+ y2. Um nu´mero complexo escrito na forma z= ρeiθ tem, enta˜o, duas partes, onde ρ e´ definido como o mo´dulo e eiθ e´ definida como a fase de um nu´mero complexo. Mostre que (a) e±ipi/2 =±i (b) e±ipi =−1 (c) e2ipi = 1 (d) z1z2 = r1eiθ1r2eiθ2 = r1r2ei(θ1+θ2) 3 Figure 2: Forma polar de um nu´mero complexo (e) z1 z2 = r1 r2 ei(θ1−θ2) (f) ea+ib = ea(cosb+ isenb) (g) d dt z= dx dt + i dy dt 3. Mostre que se a soluc¸a˜o geral de um oscilador harmoˆnico e´ dada por x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (18) enta˜o essa mesma soluc¸a˜o pode ser dada por x(t) = acos(ωt)+bsen(ωt) (19) e encontre a e b em termos de a1 e a2. 4. Suponha que as amplitues de oscilac¸a˜o a e b sa˜o tais que elas teˆm os mesmos valores ma´ximos e mı´nimos, ”mas na˜o na mesma hora”; uma maneira de usar essa informac¸a˜o e´ usar que a = Acosφb = −Asenφ (20) onde φ e´ uma constante de fase a ser definida nas condic¸o˜es iniciais do problema. Use as informac¸o˜es acima para encontrar que a soluc¸a˜o geral (19) pode ser dada por x(t) = Acos(ωt+φ) (21) e encontre A, cosφ e senφ em termos de a e b 1.2 Interpretac¸a˜o Fı´sica dos paraˆmetros Uma forma muito aceita das soluc¸o˜es para as equac¸o˜es de movimento dos hosciladores harmoˆnicos e´ a dada na forma (21), que e´ uma soluc¸a˜o que oscila dentro do intervalo de valores ma´ximos para |x(t), que sa˜o A e −A e, por isso, A e´ chamado de amplitude de oscilac¸a˜o 4 Ale´m do mais,a func¸a˜o cos(ωt+φ) e´ uma func¸a˜o perio´dica que perı´odo 2pi no argumento ωt e, por isso, o perı´odo de oscilac¸a˜o τ e´ dado por 2pi = wτ ⇒ τ = 2pi ω = 1 f (22) onde f e´ a frequeˆcia de oscilac¸a˜o da soluc¸a˜o; a frequeˆncia f mede o nu´mero de ciclos por segundo e, por isso, sua unidade e´ o Hertz. Note a diferenc¸a sutil entre w e f : ω chama-se frequeˆncia angular - exatamente como a velocidade angular no MCU - que tambe´m e´ medida em 1/s, mas na˜o se costuma usar Hertz como unidade para ω Figure 3: Variac¸a˜o de φ no MHS O argumento da func¸a˜o cosseno em (21) θ(t) = ωt+φ (23) chama-se fase do movimento e φ e´ nada mais que a fase inicial, a fase quando t = 0. Para cada valor de φ tem-se um valor diferente para o inicio da func¸a˜o em t = 0. Ha´ onsiderac¸o˜es interessantes quando comparamos as soluc¸o˜es de acordo com a defasagem rel- ativa φ : quando a defasagem e´ φ = 0, temos oscilac¸o˜es coerentes; quando duas oscilac¸o˜es esta˜o defasadas por φ = pi/2, observa- mos que quando uma esta´ no valor ma´ximo, a outra e´ nula e quando uma esta´ no valor mı´nimo, −A, a outra tambe´m e´ nula, por isso essa defasagem leva o nome de quadratura; quando a defasagem e´ de φ = pi , temos que para cada valor do argumento de uma func¸a˜o, tem-se o oposto na outra e, por isso, chamamos essa defasagem relativa de oposic¸a˜o de fase Da frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o dada em (10), tem-se que ω2 = k m ; (24) como a constante ela´stica k e´ medida em Newtons por metros, tem-se que as unidades de ω2 sa˜o dadas por Newtons po metro vezes massa, que significa a quantidade de forc¸a restauradora por unidade de deslocamento e por unidade de massa. Observe que ela na˜o depende da amplitude de oscilac¸a˜o. Esses comportamentos servem tambe´m para sistemas oscilato´rios em geral e podem ser interpretados como: quanto maior a forc¸a restauradora por unidade de deslocamento do equilı´brio e quanto menor a massa, mais ra´pidas sa˜o as oscilac¸o˜es 1.2.1 Ajuste das condic¸o˜es de contorno A velocidade do oscilador harmoˆnico e´ obtida atrave´s da equac¸a˜o (21) com v(t) = dx(t) dt = −ωAsen(ωt+φ) (25) tal que para satisfazer as condic¸o˜es iniciais deve-se ter x(0) = Acosφv(0) = −ωAsenφ (26) de modo que a soluc¸a˜o geral (19) por x(t) = x0 cos(ωt)+ v0 ω sen(ωt) (27) 5 e onde encontra-se que A = √ x20+ v20 ω2 cosφ = x0 A senφ = − v0 ωA (28) Figure 4: Variac¸a˜o de φ no MHS Observe agora a equac¸a˜o para a ve- locidade do OHS dada em (25); ob- serve que enquanto a posic¸a˜o e´ dada pela func¸a˜o cosseno, a velocidade depende do seno; observe tambe´m que cos(θ+pi/2) = −senθ . Analisando essas duas func¸o˜es, somos capazes de concluir que As func¸o˜es posic¸a˜o e velocidade no MHS esta˜o em quadratura, o que quer dizer - veja a Figura (4) - que a velocidade aparece adiantada em pi/2 com relac¸a˜o ao deslocamento; isso significa que nas posic¸o˜es de deslocamento ma´ximo, temos as menores velocidades - caracterizando as proximidades dos pontos de retorno - e, vice versa, os ma´ximos de velocidade sa˜o os pontos mais pro´ximos do ponto de equilı´brio Observa-se a mesma defasagem, quadratura, entre as func¸o˜es velocidade e acelerac¸a˜o; isso significa dizer que os pontos de maiores valores para velocidade sa˜o os pontos de menores acelerac¸o˜es, ou seja, menores valores para a forc¸a restauradora ela´stica, caracterizando as proximidades do ponto de equilı´brio; por outro lado, os maiores valores para a acelerac¸a˜o - que sa˜o os maiores valores para a forc¸a ela´stica - ocorrem nos pontos de menores valores para a velocidade, caracterizando as proximidades dos pontos de retorno Na mesma Figura, observa-se a mesma defasagem, quadratura, e´ observada entre as func¸o˜es velocidade e acelerac¸a˜o; isso quer dizer que . Interessante observar que a posic¸a˜o e a acelerac¸a˜o esta˜o, assim, defasadas em pi , caracterizando uma oposic¸a˜o de fase: o ma´ximo da acelerac¸a˜o implica num deslocamento ma´ximo, mas em sentido contra´rio; e, vice versa 1.2.2 Energia do oscilador Pode-se calcular muito facilmente as energias cine´ticas e potencial para o OHS: K = 1 2 mv2 = 1 2 mω2A2sen 2(ωt+φ) U = 1 2 kx2 = 1 2 mω2A2 cos2(ωt+φ) (29) 6 onde, na equac¸a˜o para a energia potencial foi usado que ω2 = k/m. Somando membro a membro, tem-se a energia total do sistema: E = K+U (30) = 1 2 mω2A2 (31) que e´ constante durante todo o movimento2. Observe que a energia total do OHS e´ proporcional: ao quadrado da frequeˆcia, o que significa que quanto maior a frequeˆncia angular do OHS, mais energe´tico ele e´; e tambe´m ao quadrado da amplitude, mostrando que quanto maior a amplitude, muito maior e´ a energia do oscilador. A Figure 5: Balanc¸o de energia cine´tica e potencial para osciladores harmoˆnicos conhecidos: peˆndulo simples e sistema massa-mola Figura (1.2.2) mostra o comportamento das energias mecaˆnicas de dois osciladores harmoˆnicos simples; levando em conta que o sistema seja conservativo, encontramos uma maneira de visualizar o conceito de transformac¸a˜o de energias mecaˆnicas ∆K =−∆U Se uma func¸a˜o f (s) e´ definida dentro de um intervalo definido e invaria´vel, por exemplo, 0≤ s≤ τ , define-se a me´dia f (s) dessa func¸a˜o como f (s) = 1 τ ∫ τ 0 f (s)ds. (32) Com essa definic¸a˜o, e´ fa´cil mostrar que K = U = 1 2 E = 1 4 mω2A2 (33) 2Claro, pois o sistema e´ conservativo! 7 o que quer dizer que a energia cine´tica me´dia por unidade de perı´odo e´ igual a` energia potencial me´dia por unidade de perı´odo; ambas me´dias sa˜o iguais, portanto, a` metade da energia total do OHS Pode-se encontrar a energia cine´tica para cada ponto no do OHS: sabendo que a energia total do OHS e´ igual a` energia potencial ela´stica do ponto de retorno, tem-se E = K+U ⇒ K = E−U K = 1 2 k(A2− x2) (34) Figure 6: Variac¸a˜o de K e U no MHS Observe a Gigura (6). Como o gra´fico da energia potencial U(x) e´ uma para´bola com concavidade para cima e com centro no ponto de equilı´brio e limitada aos pon- tos de retorno, a energia cine´tica K tem que ser igual a uma para´bola com concavidade para baixo, tambe´m com centro no ponto de equilı´brio e limitada aos pontos de re- torno Observe a equac¸a˜o (34). Lembrando que v = dx dt , pode-se encontrar a velocidade em qual- quer ponto x por v(x) = √ k m √ A2− x2 (35) mostrando que a velocidade chega a zero quando x=±A, nos pontos de retorno. 1.3 Aplicac¸o˜es E´ nesta parte que vemos a enorme quantidade de sistemas oscilato´rios que teˆm equac¸o˜es de movimento dadas por (3), comec¸ando de sistemas macrosco´picos ate´ a sistemas quaˆnticos 1.3.1 O peˆndulo de torc¸a˜o Figure 7: Variac¸a˜o de K e U no MHS Este e´ um dos dispositivos macrosco´picos mais sensı´veis ja´ de- senvolvidos; ja´ foi usado para, por exemplo, determinar o valor da constante gravitacional G, no se´culo XVII, com precisa˜o na or- dem de uma parte a cada 100 000. O dispositivo consiste de um fio suspenso a um teto por uma das pontas enquanto que na outra se tem um disco com graduac¸a˜o angular; nos casos em que se pre- cisa de maior precisa˜o, se coloca um espelho no disco de forma a acusar o menor deslocamento angular possı´vel com instrumentos de medidas o´ticos capazes de descobrir variac¸o˜es de tamanhos de comprimento de arco da ordem de nanometros Para qualquer deslocamento angular φ , existira´ um torque restaurador τ com resposta linear - semelhante a` resposta da Lei de Hooke - na forma τ = −kφ (36) 8 onde k e´ o mo´dulo de torc¸a˜o ela´stica que depende puramente do material, do comprimento e do diaˆmetro do fio; o sinal negativo mostra que a forc¸a e´ sempre restauradora. Se o momento de ine´rcia com relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜oque passa pelo centro do disco e´ I, enta˜o a “segunda lei de Newton” nos da´ Iφ¨ =−kφ , (37) que e´ uma equac¸a˜o da forma de (4) onde a frequeˆncia angular e´ dada por ω2 = k I (38) As soluc¸o˜es sa˜o, enta˜o, dadas por φ(t) = φ0 cos(ωt+ϕ) (39) onde φ0 e ϕ sa˜o dadas por condic¸o˜es de contorno especı´ficas em cada problema 1.3.2 O peˆndulo simples Figure 8: Variac¸a˜o de K e U no MHS O peˆndulo simples consiste de uma partı´cula de massa m presa a um fio inextesı´vel de comprimento l e que oscila pro´ximo ao ponto de equilı´brio do sistema em aˆngulos pequenos. Fora do ponto de equilı´brio, a massa executa uma trajeto´ria circular de raio l sob a ac¸a˜o da forc¸a peso p = mg que, nesse caso, tem o pa- pel de uma forc¸a restauradora. Aplicando a segunda lei de Newton, tem-se duas equac¸o˜es de movimento, sendo uma angular e outra radial, dadas por mar =−mlθ˙ 2 = mgcosθ +mv 2 l −T maθ = mlθ¨ = −mgsenθ (40) Sobre essas equac¸o˜es, temos alguns fatos a consid- erar: 1) que o fio do peˆndulo e´ inextesı´vel, o que implica que na˜o haja variac¸a˜o radial, muito menos acelerac¸a˜o ra- dial; por isso, a primeira das equac¸o˜es e´ nula, levando ao fato de que a tensa˜o no fio seja dada por T = mgcosθ +m v2 l , (41) onde o u´ltimo termo e´ se refere a` acelerac¸a˜o centrı´peta devido ao movimento circular uniforme, mostrando que a tensa˜o na corda depende da posic¸a˜o angular do peˆndulo e da velocidade, dando que a tensa˜o e´ maior em θ = 0, exatamente onde a velocidade e´ a ma´xima 2) A equac¸a˜o angular tem a forma da equac¸a˜o (4) com ω = √ g l (42) que e´ a frequeˆncia angular de um peˆndulo simples. Observe que a frequeˆcia independe da massa, mas somente do comprimento l do fio. O perı´odo de oscilac¸a˜o do peˆndulo e´ dado por τ = 2pi ω = 2pi √ l g , (43) 9 mostrano que o perı´odo de oscilac¸a˜o e´ independente da amplitude do movimento: isso quer dizer que peˆndulos constituı´dos de fios com os mesmos comprimentos teriam o mesmo perı´odo de oscilac¸a˜o mesmo se tiverem am- plitudes de oscilac¸o˜es diferentes3 A energia cine´tia do peˆndulo e´ dada por K = 1 2 mv2 = 1 2 ml2ω2 (44) enquanto que a energia potencial e´ dada por U = W0→θ = ∫ θ 0 mgsenθ ′ l dθ ′ = mgl (1− cosθ) (45) 1.3.3 O peˆndulo fı´sico Figure 9: Variac¸a˜o de K e U no MHS o peˆndulo simples e´ uma idealizac¸a˜o de um sistema que executa um MHS e que em certas circunstaˆncias teˆm condic¸o˜es difı´ceis de serem satisfeitas. Um peˆndulo fı´sico ja´ considera que qualquer corpo rı´gido suspenso por qualquer ponto pode executar movimen- tos harmoˆnicos simples em torno de um eixo horizon- tal; este dispositivo tambe´m e´ chamado de peˆndulo composto. A situac¸a˜o fı´sica pode ser resumida em: um corpo pendurado onde o centro de massa oscila em torno de um ponto de equilı´brio Seja G a posic¸a˜o do centro de massa de uma barra a uma distaˆncia s do ponto de suspensa˜o O. Se θ e´ o aˆngulo formado entre o eixo que liga G a O em relac¸a˜o ao eixo vertical, o torque τ com relac¸a˜o a O e´ τ = −mgssenθ (46) Se I e´ o momento de ine´rcia do peˆndulo com relac¸a˜o ao eixo que passa por O, enta˜o a equac¸a˜o de movimento resulta em τ = Iα τ = I d2θ dt2 ⇒ I d 2θ dt2 = −mgssenθ ⇒ I d 2θ dt2 ≈ −mgsθ (47) que tem a mesma forma da equac¸a˜o (3); de fato, e´ uma equac¸a˜o diferencial ideˆntica a` do movimento do peˆndulo onde o comprimento do fio deve ser sub- stituı´do por l = I ms (48) 3Desde que se respeite a condic¸a˜o de que senθ ≈ θ 10 1.3.4 O Peˆndulo para grandes amplitudes de oscilac¸a˜o Ja´ vimos que se pode escrever a energia total do peˆndulo, de fio inextensı´vel de comprimento l, apenas em termos de θ : E = 1 2 ml2θ˙ 2+mgl(1− cosθ), −pi < θ ≤ pi. (49) Nada impede que se trate todo o problema para os casos em que θ ∈ [−∞,∞], mas se o sistema for conservativo, o balanc¸o de energia sera´ o mesmo para qualquer translac¸a˜o de ±2npi, n ∈ N. Assim, as energias potencial e cine´tica sa˜o func¸o˜es perio´dicas de perı´odos 2pi e continuam defasadas entre si por pi/2. A forc¸a restauradora sera´ F(θ) = −∇U =− dU d(lθ) =−mgsenθ (50) onde e´ possı´vel encontrar os pontos de equilı´brio em func¸a˜o de θ diretamente: F = 0⇒ θ = 0, pi , cujas energias de equilı´brio se obteˆm fazendo dotθ = 0, obtendo E = 0 para θ = 0 e para θ = pi tem-se E = E0 = 2mgl; (51) estes pontos de equilı´brio correspondem aos casos onde tem-se a situac¸a˜o de equilı´brio esta´vel e quando o peˆndulo esta´ sobre uma situac¸a˜o de equilı´brio insta´vel, respectivamente. Na situac¸a˜o de equilı´brio esta´vel, o peˆndulo esta´ na posic¸a˜o mais baixa, com o fio na horizontal; na situac¸a˜o insta´vel, ele esta´ com o fio na vertical para cima, o que chama a atenc¸a˜o a` necessidade de usar uma haste ideal em vez de um fio, para que o fio na˜o se dobre. Para energias menores que 2mgl, o peˆndulo oscila entre os pontos de retorno ±θ0. A energia total e´ dada por E = mgl(1− cosθ0) (52) e, na equac¸a˜o da energia total, encontra-se mgl(1− cosθ0) = 12ml 2θ˙ 2+mgl(1− cosθ) ⇒ 0 = 1 2 ml2θ˙ 2+mgl(cosθ0− cosθ) ⇒ dθ dt = ± √ 2g l (cosθ0− cosθ) (53) que e´ uma equac¸a˜o diferencial separa´vel para θ em func¸a˜o de t, dando que dt = ± √ l 2g dθ√ cosθ0− cosθ . (54) Aqui, o sinal positivo vale para metade do perı´odo, que pode ser entendido como de t0→ t0+ τ/2, como o tempo gasto pelo peˆndulo ir de −θ0→ θ0; o sinal positivo fica entendido como o tempo gasto para percorrer o caminho contra´rio. Assim, a metade do tempo gasto pelo peˆndulo no caminho −θ0→ θ dura o intervalo de tempo ∫ t0+τ/2 t0 dt = √ l 2g ∫ θ0 −θ0 dθ√ cosθ0− cosθ . (55) Exercı´cio: Nos casos quem que a energia E << 2mgl, que equivale a dizer que θ0 << 1, pode-se aproximar o cosseno por sua primeira ordem em se´ries de Taylor. Mostre que nesses casos o perı´odo do peˆndulo pode ser dado por τ 2 = √ l g ∫ θ0 −θ0 dθ√ θ 2−θ 20 . (56) 11 A Eq. (56) tem soluc¸a˜o dada por τ = 2 √ l g [ sen−1 ( θ θ0 )]θ0 −θ0 = 2pi √ l g . (57) A tı´tulo de curiosidade, quando na˜o for mais possı´vel fazer a aproximac¸a˜o θ0 << 1, sera´ necessa´rio fazer o uso de integrais elı´pticas; estas sa˜o tabeladas e o me´todo usado para estes resultados e´ feito atrave´s de se´ries de Taylor para as func¸o˜es nos integrandos. Estas correc¸o˜es de primeira ordem fornecem ao perı´odo a correc¸a˜o τ ≈ 2pi √ l g ( 1+ 1 16 θ 20 ) . (58) Assim, como o perı´odo comec¸a a depender do valor da amplitude de oscilac¸a˜o, enta˜o ele deixa de ser iso´crono. 1.4 Oscilac¸o˜es de um fluido em vasos comunicantes em forma de U Figure 10: Vasos comunicantes. Vasos comunicantes representam um grande problema para engenheiros civis da a´rea de urbanizac¸a˜o quando se deparam com enchentes; ja´ no´s, fı´sicos, nos divertimos. Seja uma quantidade de fluido de densidade ρ em um vaso comunicante em formato de U inicialmente em equilı´brio e de comprimento l; se uma quantidade de fluido e´ deslocada por uma das colunas, enta˜o o sistema sai do equilı´brio inicial e comec¸a a oscilar; para tempos suficientemente curtos, pode-se desprezar o trabalho realizado pela viscosidade da a´gua com as paredes do vaso. Considere a Figura (10) e suponha que uma porc¸a˜o de a´gua sobe uma altura z numa das paredes do tubo. A energia potencial garantida ao sistema e´ igual a` da porc¸a˜o de a´gua, de massa mD de fluido deslocado de sua posic¸a˜o de equilı´brio, que e´ dada por U(z) = mgz= ρAzgz= ρAgz2. (59) Ao descer da posic¸a˜o de altura ma´xima, todo o fluido e´ posto em movi- mento e a energia cine´tica obtida por este fluido e´ dada por 1 2 mT ( dz dt )2 = 1 2 ρAl ( dz dt )2 . (60) Como o sistemae´ conservativo, por hipo´tese, a energia total e´ dada por E = 1 2 ρAl ( dz dt )2 +ρAgz2. (61) Se essa relac¸a˜o for comparada com a equac¸a˜o da energia de um oscilador harmoˆnico, nota-se que seu conteu´do fı´sico em nada se perde se for feita a correspondeˆncia θ→ z e com os ajustes: ρAg→ k/2=Mω2/2 com M= ρAl, o que permite concluir que ρAg= 1 2 ρAlω2 ⇒ ω2 = 2g l , (62) mostrando que a oscilac¸a˜o corresponde a` de um peˆndulo simples suspenso por um fio de comprimento l/2. Este resultado ja´ era previsto por Newton. 1.5 Massas acopladas a uma mola 12 Figure 11: Massas acopladas. Este e´ o primeiro caso a ser tratado onde se tem mais de um corpo em movimento e onde eles esta˜o em interac¸a˜o. A forc¸a entre eles e´ ela´stica e, em ambos os casos, dirigidas ao centro de massa. No caso ideal, assume-se que a mola seja ideal, que o atrito das massas m1 e m2 a` superfı´cie de contato e´ nulo e que todo o movimento ocorra apenas em uma dimensa˜o. Se l e´ o compri- mento de equilı´brio da mola e as posic¸o˜es das massas sejam dadas por x1 e x2 com relac¸a˜o a um referencial fixo externo O, enta˜o a deformac¸a˜o da mola para qualquer instante e´ dada por x = (x2− x1)− l (63) e as forc¸as sentidas por cada uma das massas sa˜o iguais e opostas F1 = kx =−F2. (64) As equac¸o˜es de movimento sa˜o m1x¨1 = kxm2x¨2 = −kx Exercı´cio: Lembrando da aplicac¸a˜o da primeira lei de Newton para sistemas de partı´culas onde na auseˆncia de forc¸as externas, o sistema tendera´ a manter seu estado dinaˆmico e sabendo que este sistema na˜o tem qualquer forc¸a externa atuando, mostre que a acelerac¸a˜o do centro de massa e´ nula. Para resolver este problema, lembre-se que a determinac¸a˜o do centro de massa X e´ encontrada com X = m1x1+m2x2 M ⇒ X¨ = 0, (65) onde M =m1+m2. Multiplicando a primeira das Eq.s em (65) por m1, a segunda por m2 e somando-as, encontra- se que µ x¨ = −kx (66) que e´ uma equac¸a˜o da forma de (3), com frequeˆncia angular dada por ω = √ k µ (67) onde µ = m1m2/(m1 +m2) e´ a massa reduzida do sistema; nesta coordenada, o sistema se comporta como uma partı´cula de coordenada x2− x1 presa a uma forc¸a central com origem no centro de massa; o CM permanece em ine´rcia enquanto as partı´culas oscilam em torno do centro de massa Exercı´cio: Encontre as velocidades de cada uma das partı´culas Exercı´cio: Mostre que a velocidade do centro de massa e´ nula Exercı´cio: Mostre que a acelerac¸a˜o do centro de massa e´ nula A energia cine´tica do sistema e´ a soma das energia cine´ticas individuais com a energia cine´tica do centro de massa, ou seja K = 1 2∑miv ′2 i + 1 2 mV 2 (68) sendo que V e´ a velocidade do centro de massa4. Exercı´cio: Escreva a energia cine´tica do sistema nas coordenadas do centro de massa. Para resolver esse exercı´cio, e´ necessa´rio que voceˆ escreva as coordenadas x1 e x2 em termos de X . A energia total E do sistema e´ dada por E = ECM+E ′ (69) 4Em todos os casos onde as coordenadas aparecerem com linha, x′, isso so´ quer dizer que essas coordenadas sa˜o relativas ao centro de massa do sistema. 13 1.5.1 Para saber mais Figure 12: Potencial de Lennard-Jones. Este sistema de duas massas presas a uma mola mostra, como boa aproximac¸a˜o, o comportamento de uma mole´cula diatoˆmica; as ligac¸o˜es quı´micas que a sustentam sa˜o experimentalmente medi- dos de modo que obedecem a` relac¸a˜o U(r) = D [(a r )12−2(a r )6] . (70) Observe na Figura (12) que nos pontos de energia mais baixa, o sistema tem a energia potencial de uma para´bola. Isso sugere que pode-se aproximar este potencial por uma para´bola centrada no ponto de menor energia, o qual chamaremos de a. Os desloca- mentos deste ponto de equilı´brio sera˜o na forma x = r−a. (71) A aproximac¸a˜o seria, enta˜o, na forma U(r) = −D+ 1 2 k(r−a)2. (72) Qual seria a forma de k adequada? Para ver isso, podemos derivar as Eq.s (70) e (72) duas vezes e avalia´-las em r = a. Fazendo isso, encontra-se k = 72 D a2 . (73) Assim, a forc¸a restauradora relacionada a (72) que atua sobre o sistema µ x¨= F(x) = − d dx U(x) =−kx de modo que o sistema oscila entre o ponto de equilı´brio, a, com frequeˆncia ω = √ k µ . (74) Fı´sicos usam essas informac¸o˜es para, uma vez medidas as frequeˆncias ω de vibrac¸a˜o das mole´culas, encontra-se o raio molecular e suas energias de dissociac¸a˜o. Na pra´tica, para mole´culas de carbono 12 e de oxigeˆnio 16, tem-se que a massa reduzida e´ da ordem de µ ≈ 1,16× 10−26kg e as frequeˆncias de vibrac¸a˜o sa˜o da ordem de 1,4× 1014Hz, ou seja, radiac¸o˜es que esta˜o na faixa da luz infravermelha. Mesmo que os resultados corretos necessitem o emprego da fı´sica quaˆntica, os resultados aproximativos apresentam qualitativamente bem os comportamentos moleculares. 1.6 Superposic¸a˜o de MHSs Ha´ na natureza sistemas cujos movimentos sa˜o descritos como na˜o somente MHS, mas como movimentos harmoˆnicos acoplados, resultando em trajeto´rias bem mais complexas se comparadas com as do peˆndulo simples. Ocorre, enta˜o, que o movimento geral pode ser descrito como a composic¸a˜o de movimentos harmoˆnicos simples. As formas dos movimentos resultantes dependem fortemente da relac¸a˜o entre os paraˆmetros e das direc¸o˜es E´ aqui que vemos grandes vantagens em usar as varia´veis complexas. Sabendo que cos(ωt+φ) = Re { ei(ωt+φ) } , (75) podemos fazer as composic¸o˜es de dois MHSs, x1 e x2 da forma x1+ x2 = A1 cos(ω1t+φ1)+A2 cos(ω2t+φ2) = A1Re { ei(ω1t+φ1) } +A2Re { ei(ω2t+φ2) } (76) 14 os quais ganham grandes simplificac¸o˜es quando as amplitudes A1 e A2 sa˜o iguais: x1+ x2 = ARe { ei(ω1t+φ1)+ ei(ω2t+φ2) } (77) e assim fica mais fa´cil de se considerar uma grande quantidade de casos 1.6.1 Mesmas direc¸a˜o e frequeˆncias, amplitudes gerais Figure 13: Peˆndulo duplo em fase Neste caso, tem-se que o movimento resultante e´ dado por x1+ x2 = Re { eiωt+φ1 ( A1+A2eφ2−φ1 )} (78) No caso de um peˆndulo duplo, o movimento do segundo peˆndulo e´ de- scrito pela composic¸a˜o dos dois movimentos acoplados; se os peˆndulos teˆm aˆngulos de abertura θ1 e θ2, respectivamente, e se eles estiverem em fase, a Figura (13) mostra o comportamento desse movimento e a amplitude sera´ dada por A= Re { A1+A2ei(φ2−φ1) } (79) Observe tambe´m que se as amplitudes e os aˆngulos forem iguais, o movi- mento e´ reduzido ao movimento de um oscilador de comprimento igual a 2l 1.6.2 Mesma direc¸a˜o e frequeˆncias diferentes; batimentos Sejam dois osciladores cujas equac¸o˜es de movimento sejam dadas por x1 = A1 cos(ω1t+φ1)x2 = A2 cos(ω2t+φ2) (80) A diferenc¸a de fase entre os dois osciladores e´ dada por θ2−θ1 = (ω2−ω1)t+φ2−φ1 de modo que pode-se tomar as defasagens nulas, sem perdas de generalidade. Observa-se que o movimento resultante x1+ x2 = Re { eiω1t + eiω2t } (81) so´ sera´ perio´dico em certas circustaˆncias: para que ele seja perio´dico, e´ necessa´rio que haja um perı´odo τ onde o sistema volte a` sua posic¸a˜o inicial de forma que os osciladores tenham executado n1 e n2 oscilac¸o˜es, respectiva- mente: ω1t = 2n1pi ω2t = 2n2pi ω1ω2 = τ2τ1 = n1n2 (82) com n1 e n2 inteiros, de forma que n1τ1 = n2τ2 = τ (83) 15
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