F2 OscilacoesEOndas
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F2 OscilacoesEOndas

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CEFET - RJ
Uned Angra dos Reis
1 O oscilador harmo\u2c6nico
Figure 1: A natureza da´ a b**** para o oscilador harmo\u2c6nico, segundo o professor Josue´, homenageado neste ano
pela UFC
Sistemas oscilato´rios dominam todas as a´reas da f\u131´sica e das engenharias. Um pe\u2c6ndulo desviado de seu ponto
de equil\u131´brio tende a voltar a`quela posic¸a\u2dco por forc¸as restauradoras internas do material de que e´ feito. O som que
ouvimos e´ uma combinac¸a\u2dco extremamente cuidadosa entre oscilac¸o\u2dces de densidade, pressa\u2dco e de deslocamento
de camadas de ar; exemplos devem ser infinitos e talvez o professor Josue´ esteja mesmo certo nesse sentido
A maneira usual que tratamos as oscilac¸o\u2dces no curso de f\u131´sica 1 foi o de descrever a energia potencial U(r) de
um sistema conservativo, o qual, pro´ximo ao ponto de equil\u131´brio, pode ser aproximado em uma func¸a\u2dco parabo´lica,
admitindo soluc¸o\u2dces perio´dicas com ponto de eqiuil\u131´brio no ponto de m\u131´nimo do potencial U e com pontos de
retorno nos valores ma´ximos alcanc¸ados para a energia potencial do sistema
Como exemplo, podemos tomar o caso de um sistema massa mola, onde para pequenos deslocamentos da
posic¸a\u2dco de equil\u131´brio a forc¸a e´ tida como restauradora
F(x) = \u2212kx (1)
onde k e´ a constante ela´stica da mola enquanto x e´ o deslocamento, em metros, de uma massa na ponta da mola da
posic¸a\u2dco relaxada da mola. A energia potencial da mola e´ facilmente calculada com o aux\u131´lio da func¸a\u2dco trabalho,
que e´ igual ao negativo da energia potencial, dando que
U(x) =
1
2
kx2. (2)
A equac¸a\u2dco de movimento resultante pode ser obtida tanto por me´todos de conservac¸a\u2dco de energia quanto pela
segunda lei de Newton, resultando em
m
d2x
dt2
= \u2212kx (3)
Devido a`s configurac¸o\u2dces deste exemplo, ele e´ chamado de oscilador harmo\u2c6nico unidimensional e, observa-se,
muitos sistemas naturais obedecem a esse tipo de descric¸a\u2dco, desde que os deslocamentos das quantidades f\u131´sicas
1
descritas sejam pequenas: no caso de um sistema massa-mola, se os deslocamentos na\u2dco forem suficientemente
pequenos, pode ocorrer distorc¸o\u2dces \u131\u2dcrrevers\u131´veis da mola e, assim, a forc¸a ela´stica dela ja´ na\u2dco devera´ mais ser dada
pela lei de Hooke (1), de modo que precisaremos de formulac¸o\u2dces na\u2dco lineares, as quais fogem dos objetivos deste
curso
O objetivo principal deste cap\u131´tulo e´ o de estudar sistemas cujas equac¸o\u2dces sejam dadas na forma de (3) e que,
nos casos gerais, sera\u2dco dadas na forma
x¨+\u3c92x = 0 (4)
onde a freque\u2c6cia angular \u3c9 sera´ especificada para cada problema em particular. A partir da\u131´, procuraremos as
soluc¸o\u2dces poss\u131´veis para as equac¸o\u2dces na forma de (4) e o nosso trabalho sera´ simplesmente ajustar as condic¸o\u2dces de
contorno de cada problema, encontrando \u3c9 e os valores para a amplitude de movimento e a fase inicial
1.1 Oscilac¸o\u2dces Harmo\u2c6nicas
Um lembrete: nos cursos de meca\u2c6nica ba´sica fomos capazes de concluir que o problema geral era o de encontrar
soluc¸o\u2dces para as equac¸o\u2dces de movimento de algum problema dado; encontra´vamos as soluc¸o\u2dces gerais e, em
seguida, aplica´vamos as condic¸o\u2dces de contorno para que as soluc¸o\u2dces ficassem un\u131´vocas, ou seja, so´ se referissem
a`quele problema espec\u131´fico
Aqui na\u2dco e´ diferente. Tanto e´ que oscilac¸o\u2dces harmo\u2c6nicas sa\u2dco soluc¸o\u2dces, equac¸o\u2dces de movimento, de sistemas
conservativos e restauradores. Nos primeiros to´picos estudados, no caso de MRUV, a situac¸a\u2dco era dada por
d2x
dt2
= a (5)
onde a e´ uma acelerac¸a\u2dco constante. A soluc¸a\u2dco dela e´ dada por
x(t) = x(0)+ v(0)t+
1
2
at2, (6)
onde as constantes x(0) e v(0) sa\u2dco obtidas com dados espec\u131´ficos do problema:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x(0) = x0
dx
dt
(0) = v0
(7)
As soluc¸o\u2dces sa\u2dco dadas pelo me´todo das equac¸o\u2dces diferenciais caracter\u131´sticas1, que consiste em supor uma
soluc¸a\u2dco perio´dica para a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco de movimento x(t)
x(t) = ei\u3c9t (8)
de modo que podemos facilmente substituir na equac¸a\u2dco de movimento (3), resultando em
m\u3c92e\u3c9t = \u2212ke\u3c9t , (9)
de tal forma que obtemos a soluc¸a\u2dco em termos de \u3c9 , que chamamos de freque\u2c6cia natural de oscilac¸a\u2dco
\u3c9 =
\u221a
k
m
(10)
e enta\u2dco a soluc¸a\u2dco pode ser dada por
x(t) = ei
\u221a
k/mt . (11)
1E´ o me´todo mais simples que se tem para resolver equac¸o\u2dces diferenciais de ordens 2 em diante; qualquer livro, por pior que seja, sera´
capaz de explicar esse me´todo de maneira que tenhamos tudo o que precisamos
2
Observe agora uma outra situac¸a\u2dco: em vez de considerar a proposta de soluc¸a\u2dco (8), use agora que
x(t) = e\u2212i\u3c9t (12)
e observe que ela tambe´m satisfaz a` equac¸a\u2dco diferencial (3). Dessa forma, tem-se duas soluc¸o\u2dces distintas que satis-
fazem uma mesma equac¸a\u2dco diferencial. Por isso, podemos invocar ao conceito de linearidade das soluc¸o\u2dces: se uma
equac¸a\u2dco diferencial tem x1 e x2 como soluc¸o\u2dces, enta\u2dco a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco diferencial e´ uma combinac¸a\u2dco
linear entre as soluc¸o\u2dces encontradas. Assim, a soluc¸a\u2dco geral para (3) e´ a combinac¸a\u2dco linear
x(t) = a1ei\u3c9t +a2e\u2212i\u3c9t (13)
onde as constantes a1 e a2 sa\u2dco determinadas a partir das condic¸o\u2dces iniciais de cada problema espec\u131´fico.
1.1.1 Exerc\u131´cios
1. A fo´rmula de Euler: considere a equac¸a\u2dco diferencial\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
d f
dt
= \u3bb f
f (0) = 1
(14)
(a) Mostre que f (x) = eix e´ soluc¸a\u2dco e satisfaz a` condic¸a\u2dco de contorno
(b) Mostre que f (x) = cosx+ isenx tambe´m e´ soluc¸a\u2dco e satisfaz a` mesma equac¸a\u2dco diferencial
(c) Com a igualdade de condic¸o\u2dces dos dois itens anteriores, somos obrigados a concluir que se duas
func¸o\u2dces satisfazem uma mesma equac¸a\u2dco diferencial e a`s mesmas condic¸o\u2dces de contorno, enta\u2dco as
func¸o\u2dces sa\u2dco iguais, ou seja:
eix = cosx+ isenx (15)
que e´ a equac¸a\u2dco de Euler
(d) Mostre que f (x1+ x2) = f (x1) f (x2) para ambos os lados da equac¸a\u2dco de Euler
(e) Mostre que
e\u2212ix = cosx\u2212 isenx (16)
(f) Mostre que
cos(x) = R
(
eix
)
=
1
2
(
eix+ e\u2212ix
)
sen(x) = I
(
eix
)
=
1
2i
(
eix\u2212 e\u2212ix) (17)
2. Forma polar de um nu´mero complexo: Das equac¸o\u2dces (17), temos uma maneira interessante de ver o nu´mero
complexo e±ix. Se considerarmos um eixo cartesiano onde a abscissa representaria a parte real e a ordenada
representasse a parte imagina´ria de um nu´mero complexo, enta\u2dco um ponto P = z neste plano poderia ser
decomposto por z= x+ iy= R(z)+ iI(z) ou ainda por \u3c1(cos\u3b8 + isen\u3b8) onde \u3c1 seria o mo´dulo do nu´mero
complexo, dado por \u3c1 =
\u221a
x2+ y2. Um nu´mero complexo escrito na forma z= \u3c1ei\u3b8 tem, enta\u2dco, duas partes,
onde \u3c1 e´ definido como o mo´dulo e ei\u3b8 e´ definida como a fase de um nu´mero complexo. Mostre que
(a) e±ipi/2 =±i
(b) e±ipi =\u22121
(c) e2ipi = 1
(d) z1z2 = r1ei\u3b81r2ei\u3b82 = r1r2ei(\u3b81+\u3b82)
3
Figure 2: Forma polar de um nu´mero complexo
(e)
z1
z2
=
r1
r2
ei(\u3b81\u2212\u3b82)
(f) ea+ib = ea(cosb+ isenb)
(g)
d
dt
z=
dx
dt
+ i
dy
dt
3. Mostre que se a soluc¸a\u2dco geral de um oscilador harmo\u2c6nico e´ dada por
x(t) = a1ei\u3c9t +a2e\u2212i\u3c9t (18)
enta\u2dco essa mesma soluc¸a\u2dco pode ser dada por
x(t) = acos(\u3c9t)+bsen(\u3c9t) (19)
e encontre a e b em termos de a1 e a2.
4. Suponha que as amplitues de oscilac¸a\u2dco a e b sa\u2dco tais que elas te\u2c6m os mesmos valores ma´ximos e m\u131´nimos,
\u201dmas na\u2dco na mesma hora\u201d; uma maneira de usar essa informac¸a\u2dco e´ usar que\uf8f1\uf8f2\uf8f3 a = Acos\u3c6b = \u2212Asen\u3c6 (20)
onde \u3c6 e´ uma constante de fase a ser definida nas condic¸o\u2dces iniciais do problema. Use as informac¸o\u2dces acima
para encontrar que a soluc¸a\u2dco geral (19) pode ser dada por
x(t) = Acos(\u3c9t+\u3c6) (21)
e encontre A, cos\u3c6 e sen\u3c6 em termos de a e b
1.2 Interpretac¸a\u2dco F\u131´sica dos para\u2c6metros
Uma forma muito aceita das soluc¸o\u2dces para as equac¸o\u2dces de movimento dos hosciladores harmo\u2c6nicos e´ a dada na
forma (21), que e´ uma soluc¸a\u2dco que oscila dentro do intervalo de valores ma´ximos para |x(t), que sa\u2dco A e \u2212A e,
por isso, A e´ chamado de amplitude de oscilac¸a\u2dco
4
Ale´m do mais,