Equações diff

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Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Diferenciac¸a˜o nume´rica
Ricardo Biloti
biloti@g.unicamp.br
Ca´lculo Nume´rico – UNICAMP
2S/2018
http://goo.gl/7u4wn
http://goo.gl/7u4wn Ricardo Biloti Diferenciac¸a˜o nume´rica
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
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Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
O problema
x0
Como aproximar f (x), para x pro´ximo de x0, de forma simples?
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Perceba que, apesar da func¸a˜o ser complicada, em um regia˜o pequena, na vizinhanc¸a de um
ponto, a func¸a˜o parece bem mais simples. A intenc¸a˜o aqui e´ construir uma aproximac¸a˜o para
f que seja razoa´vel nessa pequena vizinhanc¸a.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Estrate´gia
Encontrar um func¸a˜o simples que se parec¸a com f , perto de x0.
Proposta
Encontrar um polinoˆmio Tn, de grau n, tal que
Tn(x0) = f (x0)
T ′n(x0) = f
′(x0)
...
T
(n)
n (x0) = f
(n)(x0)
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Na busca por uma func¸a˜o simples que se parec¸a com f , e´ necessa´rio em primeiro lugar definir
precisamente o que entendemos por func¸a˜o simples e por se parecer com f .
Um tipo de func¸a˜o simples e versa´til sa˜o polinoˆmios. De fato, apesar de sua simplicidade,
polinoˆmios podem aproximar ta˜o bem quanto se queira qualquer func¸a˜o cont´ınua definida
em um intervalo fechado e limitado (Teorema de Weierstrass).
Resta definir o que se entende por uma func¸a˜o se parecer com outra. Como nossa intenc¸a˜o
e´ obter uma boa aproximac¸a˜o em pontos pro´ximos de um ponto fixo x0, pediremos que am-
bas, a func¸a˜o original e a aproximac¸a˜o, coincidam em valor de func¸a˜o e derivadas, no ponto x0.
Lembre que um polinoˆmio de grau n tem (n + 1) coeficientes. Logo, as (n + 1) equac¸o˜es im-
postas devem ser suficientes para derterminar unicamente todos os coeficientes do polinoˆmio.
Claro que para isso e´ preciso que f tenha (n + 1) derivadas.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Polinoˆmio de Taylor de grau n
Se
Tn(x) = c0 + c1(x − x0) + c2(x − x0)2 + · · ·+ cn(x − x0)n,
enta˜o
T
(k)
n (x0) = k!ck
Logo, ck =
f (k)(x0)
k!
.
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Ha´ va´rias maneiras de escrever um polinoˆmio de grau n. A forma escolhida tem a vantagem
de facilitar bastante os ca´lculos. Quando escrito assim, a derivada de ordem k de Tn e´
Tn(x)
(k)(x) = k!ck + [(k + 1)k · · · 2]ck+1(x − x0) + · · ·+ [n(n − 1) · · · (n − k)](x − x0)n−k .
Assim T
(k)
n (x0) = kck , de onde sai diretamente a expressa˜o para os coeficientes ck , para
k = 0, 1, . . . , n.
O polinoˆmio Tn definido dessa forma e com esses coeficientes e´ denominado polinoˆmio de
Taylor de grau n para f em torno de x0.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Polinoˆmio de Taylor e res´ıduo
Se f tem (n + 1) derivadas, em torno de x0, enta˜o
f (x) = Tn(x) +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)n+1
com ξ entre x e x0.
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A ferramenta mais importante para a construc¸a˜o de aproximac¸o˜es nume´ricas para derivadas
e´ o polinoˆmio de Taylor. Observe que o erro em aproximar uma func¸a˜o pelo polinoˆmio de
Taylor de grau n esta´ relacionado com a derivada (n + 1) da func¸a˜o, pore´m em um ponto ξ
desconhecido.
Para ver isso, vamos construir uma func¸a˜o auxiliar. Para x 6= x0 fixo, defina
R(z) ≡ f (x)−
[
f (z) + f ′(z)(x − z) + · · ·+ f
(n)(z)
n!
(x − z)n
]
− K
(n + 1)!
(x − z)n+1,
onde K e´ escolhido de maneira que R(x0) = 0. Veja que R(x) = 0. Como R se anula em x
e em x0, pelo Teorema de Rolle, existe ξ entre x e x0 tal que R′(ξ) = 0. Mas
R′(z) = −f ′(z)− [f ′′(z)(x − z)− f ′(z)]−
[
f ′′′(z)
2
(x − z)2 − f ′′(z)(x − z)
]
− · · ·
−
[
f (n+1)(z)
n!
(x − z)n − f
(n)(z)
(n − 1)! (x − z)
n−1
]
+
K
n!
(x − z)n
=
[K − f (n+1)(z)]
n!
(x − z)n.
Como R′(ξ) = 0, enta˜o K = f (n+1)(ξ). Assim, R(x0) = 0 se traduz em
f (x) = Tn(x)− f
(n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)n+1.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Exemplo
Tn(x) = f (x0)+f
′(x0)(x−x0)+ f
′′(x0)
2!
(x−x0)2+· · ·+ f
(n)(x0)
n!
(x−x0)n
f (x) = cos(x), x0 = 0
f (x0) = cos(0) = 1
f ′(x0) = − sin(0) = 0
f ′′(x0) = − cos(0) = −1
f ′′′(x0) = sin(0) = 0
f iv (x0) = cos(0) = 1
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Neste exemplo vamos computar o polinoˆmio de Taylor para a func¸a˜o cosseno, em torno da
origem. Para tanto e´ preciso avaliar as derivadas do cosseno em zero.
Note que, como a derivada quarta de cosseno e´ a pro´pria func¸a˜o cosseno, a sequeˆncia de
valores das sucessivas derivas de cosseno e´ perio´dica.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Exemplo
cos(x) ≈ T8(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+
x8
8!
T8(x)
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A linha tracejada e´ o gra´fico da func¸a˜o cosseno e a linha so´lida o gra´fico do polinoˆmio de
Taylor de grau oito associado. Note que o polinoˆmio aproxima melhor a func¸a˜o qua˜o mais
pro´ximo x estiver da origem.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Sucessivos polinoˆmios de Taylor
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A linha mais grossa representa um determinada func¸a˜o, e os demais gra´ficos, os sucessivos
polinoˆmios de Taylor. Perceba que cada polinoˆmio pode ser considerado uma boa aproxi-
mac¸a˜o para a func¸a˜o em intervalos progressivamente maiores.
Tente identificar no gra´fico o grau de cada polinoˆmio.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Sucessivos polinoˆmios de Taylor ao redor de outro ponto
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Se o interesse na func¸a˜o se concentra em pontos ao redor de um determinado x0, e´
interessante utilizar polinoˆmios de Taylor ao redor desse ponto x0.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Derivadas nume´ricas
Por que calcular derivadas nume´ricas de uma func¸a˜o f ?
I A expressa˜o para f ′(x) na˜o e´ conhecida
I A expressa˜o para f (x) na˜o e´ conhecida
I f (x) e´ conhecida apenas em alguns pontos amostrados
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Em diversos problemas e´ necessa´rio calcular derivadas de uma func¸a˜o, mas nem sempre isto
e´ poss´ıvel analiticamente. Algumas situac¸o˜es onde isso pode acontecer sa˜o:
• Apesar de f ser conhecida, na˜o se conhece a expressa˜o para f ′.
• f pode estar descrita atrave´s de uma rotina computacional e na˜o de uma expressa˜o
anal´ıtica. Logo, na˜o e´ ta˜o simples conseguir uma expressa˜o para f ′, justificandoaproximac¸o˜es nume´ricas para a derivada. Isto e´ bem comum em problemas de
simulac¸a˜o nume´rica.
Alternativamente, existem me´todos que, partindo de uma rotina computacional para o
ca´lculo do valores de uma func¸a˜o, conseguem produzir outra rotina computacional
para o ca´lculo de valores da derivada da func¸a˜o.
• Por fim, o caso extremo e´ quando nem mesmo f e´ conhecida integralmente, mas
apenas em pontos amostrados, por exemplo como resultado de um experimento.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Diferenc¸a centrada
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f
′′(x)
2! h
2 + f
′′′(ξ+)
3! h
3
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)2! h2 − f
′′′(ξ−)
3! h
3
f (x + h)− f (x − h) = 2f ′(x)h + h33! [f ′′′(ξ+) + f ′′′(ξ−)]
Logo
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
− f
′′′(ξ)
6
h2
Df (x) O(h2)
Portanto
|f ′(x)− Df (x)| ≤ M3h
2
6
, M3 = max |f ′′′(x)|
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Para construir uma aproximac¸a˜o para derivada num ponto x , vamos utilizar avaliac¸o˜es de
func¸a˜o em pontos pro´ximos, (x + h) e (x − h). Avaliando o polinoˆmio de segunda de Taylor
f nestes pontos, percebe-se que a soma delas fornece uma aproximac¸a˜o para a derivada, com
erro proporcional a h2.
Assumindo que f ′′′ e´ cont´ınua, temos que [f ′′′(ξ+) + f ′′′(ξ−)]/2 = f ′′′(ξ), para algum
ξ ∈ [ξi , ξ+] (por queˆ?).
Como de fato ξ na˜o e´ conhecido, o melhor que podemos fazer e´ estimar um limitante superior
para o erro da aproximac¸a˜o.
Com esta estimativa do erro da aproximac¸a˜o, em princ´ıpio conclu´ımos que o erro pode ser
reduzido arbitrariamente reduzindo-se o valor de h. Entretanto o menor valor positivo que
h pode assumir esta´ ligado a` unidade de arredondamento da ma´quina. Como (x + h) =
x(1 + h/x), h/x deve ser maior que u. Ou seja, para que a soma de fato incremente o valor
de x , h na˜o pode ser inferior a x · u.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Notac¸a˜o de ordem
Uma func¸a˜o g(h) = O(hp), quando h→ 0,
se existem constantes C e h¯ tais que
|g(h)| ≤ Chp, para todo h ≤ h¯
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Dizemos que uma func¸a˜o g e´ da ordem de hp se g for menor que um mu´ltiplo de hp , para h
pequeno.
Por exemplo, sin x = x − ξ3
6
, para algum ξ tal que |ξ| < x , por conta do polinoˆmio de Taylor
para a func¸a˜o seno. Assim, a func¸a˜o g(x) ≡ x − sin x = O(x3).
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Exemplo
Para f (x) = sin(x), x = pi/3.2 e h = 10−n, n = 1, 2, . . . , 14:
0 2 4 6 8 10 12 14
n
1e-12
1e-09
1e-06
1e-03
1
lo
g 
(er
ro)
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Como cos′′′(x) = − sin(x), temos que M3 = max | cos′′′(x)| = 1.
O gra´fico exibe o erro da aproximac¸a˜o por diferenc¸a centrada da derivada de cosseno. Dife-
rentemente do que hav´ıamos previsto, o erro na˜o reduz arbitrariamente, mas sim, desce ate´
um certo patamar para 10−6 < h < 10−5, ale´m do qual passa a subir. Note que neste
exemplo o limite teo´rico para h, comentado anteriormente, era de x · u ≈ 10−16.
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Erro em f
Por estarmos em precisa˜o finita
fl(f (x)) = f (x) + �(x)
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De fato, no computador f na˜o e´ avaliada exatamente. Em cada avaliac¸a˜o de f um erro e´
cometido. Esse erro, pequeno e´ o responsa´vel por deteriorar a qualidade da aproximac¸a˜o para
a derivada.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Ana´lise de erro
Suponha que |�(x)| ≤ �f
D[f (x) + �(x)] =
f (x + h) + �(x + h)− f (x − h)− �(x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′′(ξ)
6
h2 +
�(x + h)− �(x − h)
2h
Logo
|D[f (x) + �(x)]− f ′(x)| ≤ M3h
2
6
+
�f
h
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Mesmo que o erro na avaliac¸a˜o de f seja muito pequeno, o impacto disto para a aproximac¸a˜o
da derivada na˜o e´ negligencia´vel.
Suponha �f e´ o erro ma´ximo cometido na avaliac¸a˜o da func¸a˜o f . Observe que a medida que h
reduz, o comprometimento ma´ximo no ca´lculo da aproximac¸a˜o da derivada aumenta (�f /h).
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Minimizando o erro
Para que h, o erro
e(h) =
M3h
2
6
+
�f
h
e´ m´ınimo?
0 = e ′(h) =
M3h
3
− �f
h2
Portanto
h = 3
√
3�f
M3
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Como o erro na aproximac¸a˜o da derivada e´ limitado por uma soma de fatores, um decrescente
com h e outro crescente com h, devemos nos perguntar qual o ponto de equil´ıbrio. Ou seja,
para que valor h esse limitante e´ o menor poss´ıvel?
Minimizando este limitante e(h), vemos que o h o´timo deveria ser
h = 3
√
3�f
M3
.
Aproximac¸a˜o polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Exemplo
Para f (x) = sin(x), M3 = 1, �f ≈ 10−16, portanto h ≈ 7 · 10−6.
0 2 4 6 8 10 12 14
n
1e-12
1e-09
1e-06
1e-03
1
lo
g 
(er
ro)
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Pelo gra´fico, podemos ver claramente os dois ingredientes que compo˜em o erro na aproximac¸a˜o
da derivada: o erro da aproximac¸a˜o por diferenc¸a, dominante ate´ n ≈ 5; e o erro na avaliac¸a˜o
da func¸a˜o, que passa a ser dominante para n > 6.
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Exerc´ıcio
Considere a diferenc¸a
∆[f ] ≡ f (x + h)− f (x)
h
I Construa o polinoˆmio de Taylor, de segunda ordem, para f
e avalie em (x + h).
I Mostre que ∆[f ] e´ uma aproximac¸a˜o para f ′(x)
I Qual a ordem do erro desta aproximac¸a˜o?
I Se fl(f (x)) = f (x) + �(x), com |�(x)| ≤ �f ,
qual o h o´timo para aproximar f ′(x)?
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Aproximac¸a˜o para f (x + h):
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h +
f ′′(ξ)
2!
h2
Assim, ∆[f ] e´ obtido isolando-se f ′(x) acima.
∆[f ] =
f (x + h)− f (x)
h
= f ′(x) +
f ′′(ξ)
2
h.
Ou seja
|f ′(x)−∆[f ]| = |f
′′(ξ)|
2
h ≤ M2h
2
|f ′(x)−∆[f + �]| = |f
′′(ξ)|
2
h +
�(x + h)− �(x)
h
≤ M2h
2
+
2�f
h
O m´ınimo de M2h
2
+ 2�f
h
e´ atingido quando h = 2
√
�f
M2
.
	Aproximação polinomial de Taylor
	Derivadas numéricas