Equações diff
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Equações diff


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Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Diferenciac¸a\u2dco nume´rica
Ricardo Biloti
biloti@g.unicamp.br
Ca´lculo Nume´rico \u2013 UNICAMP
2S/2018
http://goo.gl/7u4wn
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Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
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Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
O problema
x0
Como aproximar f (x), para x pro´ximo de x0, de forma simples?
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Perceba que, apesar da func¸a\u2dco ser complicada, em um regia\u2dco pequena, na vizinhanc¸a de um
ponto, a func¸a\u2dco parece bem mais simples. A intenc¸a\u2dco aqui e´ construir uma aproximac¸a\u2dco para
f que seja razoa´vel nessa pequena vizinhanc¸a.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Estrate´gia
Encontrar um func¸a\u2dco simples que se parec¸a com f , perto de x0.
Proposta
Encontrar um polino\u2c6mio Tn, de grau n, tal que
Tn(x0) = f (x0)
T \u2032n(x0) = f
\u2032(x0)
...
T
(n)
n (x0) = f
(n)(x0)
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Na busca por uma func¸a\u2dco simples que se parec¸a com f , e´ necessa´rio em primeiro lugar definir
precisamente o que entendemos por func¸a\u2dco simples e por se parecer com f .
Um tipo de func¸a\u2dco simples e versa´til sa\u2dco polino\u2c6mios. De fato, apesar de sua simplicidade,
polino\u2c6mios podem aproximar ta\u2dco bem quanto se queira qualquer func¸a\u2dco cont´\u131nua definida
em um intervalo fechado e limitado (Teorema de Weierstrass).
Resta definir o que se entende por uma func¸a\u2dco se parecer com outra. Como nossa intenc¸a\u2dco
e´ obter uma boa aproximac¸a\u2dco em pontos pro´ximos de um ponto fixo x0, pediremos que am-
bas, a func¸a\u2dco original e a aproximac¸a\u2dco, coincidam em valor de func¸a\u2dco e derivadas, no ponto x0.
Lembre que um polino\u2c6mio de grau n tem (n + 1) coeficientes. Logo, as (n + 1) equac¸o\u2dces im-
postas devem ser suficientes para derterminar unicamente todos os coeficientes do polino\u2c6mio.
Claro que para isso e´ preciso que f tenha (n + 1) derivadas.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Polino\u2c6mio de Taylor de grau n
Se
Tn(x) = c0 + c1(x \u2212 x0) + c2(x \u2212 x0)2 + · · ·+ cn(x \u2212 x0)n,
enta\u2dco
T
(k)
n (x0) = k!ck
Logo, ck =
f (k)(x0)
k!
.
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Ha´ va´rias maneiras de escrever um polino\u2c6mio de grau n. A forma escolhida tem a vantagem
de facilitar bastante os ca´lculos. Quando escrito assim, a derivada de ordem k de Tn e´
Tn(x)
(k)(x) = k!ck + [(k + 1)k · · · 2]ck+1(x \u2212 x0) + · · ·+ [n(n \u2212 1) · · · (n \u2212 k)](x \u2212 x0)n\u2212k .
Assim T
(k)
n (x0) = kck , de onde sai diretamente a expressa\u2dco para os coeficientes ck , para
k = 0, 1, . . . , n.
O polino\u2c6mio Tn definido dessa forma e com esses coeficientes e´ denominado polino\u2c6mio de
Taylor de grau n para f em torno de x0.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Polino\u2c6mio de Taylor e res´\u131duo
Se f tem (n + 1) derivadas, em torno de x0, enta\u2dco
f (x) = Tn(x) +
f (n+1)(\u3be)
(n + 1)!
(x \u2212 x0)n+1
com \u3be entre x e x0.
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A ferramenta mais importante para a construc¸a\u2dco de aproximac¸o\u2dces nume´ricas para derivadas
e´ o polino\u2c6mio de Taylor. Observe que o erro em aproximar uma func¸a\u2dco pelo polino\u2c6mio de
Taylor de grau n esta´ relacionado com a derivada (n + 1) da func¸a\u2dco, pore´m em um ponto \u3be
desconhecido.
Para ver isso, vamos construir uma func¸a\u2dco auxiliar. Para x 6= x0 fixo, defina
R(z) \u2261 f (x)\u2212
[
f (z) + f \u2032(z)(x \u2212 z) + · · ·+ f
(n)(z)
n!
(x \u2212 z)n
]
\u2212 K
(n + 1)!
(x \u2212 z)n+1,
onde K e´ escolhido de maneira que R(x0) = 0. Veja que R(x) = 0. Como R se anula em x
e em x0, pelo Teorema de Rolle, existe \u3be entre x e x0 tal que R\u2032(\u3be) = 0. Mas
R\u2032(z) = \u2212f \u2032(z)\u2212 [f \u2032\u2032(z)(x \u2212 z)\u2212 f \u2032(z)]\u2212
[
f \u2032\u2032\u2032(z)
2
(x \u2212 z)2 \u2212 f \u2032\u2032(z)(x \u2212 z)
]
\u2212 · · ·
\u2212
[
f (n+1)(z)
n!
(x \u2212 z)n \u2212 f
(n)(z)
(n \u2212 1)! (x \u2212 z)
n\u22121
]
+
K
n!
(x \u2212 z)n
=
[K \u2212 f (n+1)(z)]
n!
(x \u2212 z)n.
Como R\u2032(\u3be) = 0, enta\u2dco K = f (n+1)(\u3be). Assim, R(x0) = 0 se traduz em
f (x) = Tn(x)\u2212 f
(n+1)(\u3be)
(n + 1)!
(x \u2212 x0)n+1.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Exemplo
Tn(x) = f (x0)+f
\u2032(x0)(x\u2212x0)+ f
\u2032\u2032(x0)
2!
(x\u2212x0)2+· · ·+ f
(n)(x0)
n!
(x\u2212x0)n
f (x) = cos(x), x0 = 0
f (x0) = cos(0) = 1
f \u2032(x0) = \u2212 sin(0) = 0
f \u2032\u2032(x0) = \u2212 cos(0) = \u22121
f \u2032\u2032\u2032(x0) = sin(0) = 0
f iv (x0) = cos(0) = 1
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Neste exemplo vamos computar o polino\u2c6mio de Taylor para a func¸a\u2dco cosseno, em torno da
origem. Para tanto e´ preciso avaliar as derivadas do cosseno em zero.
Note que, como a derivada quarta de cosseno e´ a pro´pria func¸a\u2dco cosseno, a seque\u2c6ncia de
valores das sucessivas derivas de cosseno e´ perio´dica.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Exemplo
cos(x) \u2248 T8(x) = 1\u2212 x
2
2!
+
x4
4!
\u2212 x
6
6!
+
x8
8!
T8(x)
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A linha tracejada e´ o gra´fico da func¸a\u2dco cosseno e a linha so´lida o gra´fico do polino\u2c6mio de
Taylor de grau oito associado. Note que o polino\u2c6mio aproxima melhor a func¸a\u2dco qua\u2dco mais
pro´ximo x estiver da origem.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Sucessivos polino\u2c6mios de Taylor
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A linha mais grossa representa um determinada func¸a\u2dco, e os demais gra´ficos, os sucessivos
polino\u2c6mios de Taylor. Perceba que cada polino\u2c6mio pode ser considerado uma boa aproxi-
mac¸a\u2dco para a func¸a\u2dco em intervalos progressivamente maiores.
Tente identificar no gra´fico o grau de cada polino\u2c6mio.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Sucessivos polino\u2c6mios de Taylor ao redor de outro ponto
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Se o interesse na func¸a\u2dco se concentra em pontos ao redor de um determinado x0, e´
interessante utilizar polino\u2c6mios de Taylor ao redor desse ponto x0.
Aproximac¸a\u2dco polinomial de Taylor Derivadas nume´ricas
Derivadas nume´ricas
Por que calcular derivadas nume´ricas de uma func¸a\u2dco f ?
I A expressa\u2dco para f \u2032(x) na\u2dco e´ conhecida
I A expressa\u2dco para f (x) na\u2dco e´ conhecida
I f (x) e´ conhecida apenas em alguns pontos amostrados
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Em diversos problemas e´ necessa´rio calcular derivadas de uma func¸a\u2dco, mas nem sempre isto
e´ poss´\u131vel analiticamente. Algumas situac¸o\u2dces onde isso pode acontecer sa\u2dco:
\u2022 Apesar de f ser conhecida, na\u2dco se conhece a expressa\u2dco para f \u2032.
\u2022 f pode estar descrita atrave´s de uma rotina computacional e na\u2dco de uma expressa\u2dco
anal´\u131tica. Logo, na\u2dco e´ ta\u2dco simples conseguir uma expressa\u2dco para f \u2032, justificando