Análise de Resposta Transitória

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Projeto Reenge - Eng. Elétrica 
Apostila de Sistemas de Controle I 
Prof. Hélio Leães Hey - 1997 
VI-1 
CAPÍTULO VI 
 
“ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA, DO ERRO DE REGIME 
PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS” 
 
6.1- INTRODUÇÃO 
 
 Neste capítulo inicialmente serão estudados o comportamento transitório de sistemas de 1a. e 
2a. ordem. Após é mostrado que os sistemas de ordem superior a 2a., podem ser decompostos em 
sistemas de 1a. e 2a. ordem. As especificações relativas a resposta transitória para sistemas de 2a. 
ordem são apresentadas. Após, são analisados os erros de regime permanente para um sistema 
genérico considerando como sinal de entrada, um degrau unitário, uma rampa e uma parábola. Em 
um sistema de controle real, quase sempre o sinal de entrada não é conhecido, e com isto a saída do 
sistema não pode ser obtida analiticamente. Entretanto, para o projeto de um determinado sistema 
de controle deve-se ter um procedimento padrão para comparar o seu desempenho. Isto é 
conseguido, estipulando-se como sinais de entrada, sinais conhecidos e comparando as respostas de 
vários sistemas a estes sinais. A decisão sobre qual sinal deve-se adotar para análise depende da 
forma da entrada a que o sistema está sujeito mais freqüentemente. 
 Para finalizar este capítulo, é apresentado o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Este 
critério é uma ferramenta bastante importante para o estudo da estabilidade de sistemas. 
 
6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 Seja o sistema de primeira ordem, representado a seguir. 
 
 A função de transferência deste sistema é dada por: 
 
 
 
 
 Um sistema é considerado estável, se a sua resposta natural tende a se anular com o decorrer 
do tempo. O denominador da função de transferência T(s), mostrada acima, é conhecido como 
equação característica ou polinômio característico. Para que o sistema seja estável, as raízes deste 
polinômio devem estar localizadas no semiplano esquerdo do plano complexo “S”. Isto significa 
que para o sistema mostrado ser estável, é necessário que a > 0, isto é, S = -a. 
 
a) Resposta ao degrau 
 
 Seja o sinal de entrada x(t), um degrau unitário. O sinal de saída é dado por: 
 Y s
a
S S a
A
S
B
S a
( )
( )
=
+
= +
+
 
A
B
=
= -
1
1
 
 
 Substituindo os valores de A e B na expressão acima, e aplicando a transformação inversa 
de laplace, resulta: 
 y t e a t( ) .= - -1 “2” 
Y s
X s
T s
a
S a
( )
( )
( )= =
+
 “1” 
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 A expressão acima é composta de um termo constante e um termo exponencial decrescente, 
responsável pela resposta transitória da sistema. Isto permite concluir que : 
 
- Quanto maior for o valor de “a”, menor será o período transitório; 
 - Caso “a” seja menor que zero, isto é, s = a, o termo exponencial será crescente e 
levará o sistema a instabilidade. O mesmo raciocínio é valido caso a realimentação do sistema seja 
positiva. 
 
b) Resposta a Rampa Unitária 
 
 Seja o sinal de entrada x(t), uma rampa unitária. O sinal de saída é dado por: 
 ( )
Y s
X s
a
S S a
a
S
a
S
B
S a
( )
( )
=
+
= + +
+2
11
2
12 
a
a
a
B
a
11
12
1
1
1
=
= -
=
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
 
 
 Substituindo os valores de a11, a12 e B na expressão acima, e aplicando a transformação 
inversa de Laplace, resulta: 
 y t t
a a
e a t( ) .= - + -1 1 “2” 
 
 A seguir é mostrado os sinais de saída e de entrada em função do tempo. 
 
 
 
 O erro em regime Permanente é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E s
X s
S
S a
( )
( )
=
+
 ® ( )E s S S a( ) = +
1
 ® e e t S E s at S
( ) ( ) . ( )¥ = = =
®¥ ®
lim lim
0
1
 
 
 Isto significa que quanto maior for o valor de a, menor será o erro de regime permanente 
para uma entrada do tipo rampa. 
 
6.3- SISTEMAS DE 2a ORDEM 
E s
X s
X s Y s
X s
( )
( )
( ) ( )
( )
= - 
E s
X s
Y s
X s
a
S a
( )
( )
( )
( )
= - = -
+
1 1 
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 Para a análise de sistemas de 2a. ordem, será considerada o sistema mostrado a seguir . 
 
 
 A função de transferência deste sistema é dada por: 
 
 ou ( )( )
C s
R s
K
S S S S
( )
( )
=
+ +1 2
 “7” 
 Onde: S
B
J
B
J
K
J1 2
2
2 2,
= - ±
æ
è
ç
ö
ø
÷ - 
 
 Os pólos da função de transferência mostrada acima, podem ser: 
 
 a) Reais ® 
B
J
K
J2
0
2æ
è
ç ö
ø
÷ - > (2 raízes reais). 
 b) Complexos: ® 
B
J
K
J2
0
2æ
è
ç ö
ø
÷ - < (2 raízes complexas conjugadas). 
 Para a análise da Resposta transitória de um sistema de 2a ordem, deve-se representar a 
função de transferência na sua forma padrão, a qual está representada a seguir. Note que esta 
função depende de dois parâmetros, que são: A freqüência natural de oscilação “wn” e o 
Coeficiente de amortecimento “z”. Isto significa que o desempenho de sistemas de segunda ordem 
depende somente deste dois parâmetros. 
 
 
C s
R s S S
n
n n
( )
( )
=
+ +
w
zw w
2
2 22
 “8” 
 Os pólos desta função padrão são determinados por: 
 
 
 
O termo wd é conhecido como Freqüência Natural Amortecida: w w zd n= -1 2 
Para o sistema mostrado os valores de wn e z são: wn
K
J
= ; z =
B
JK2
 
 Os sistemas de segunda ordem, são classificados de acordo com o valor do coeficiente de 
amortecimento, como mostrado a seguir. 
 
1o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO: ®® 0 < zz < 1 
 
 Neste caso , o sistema apresenta dois pólos complexos e conjugados com parte real negativa 
(semiplano esquerdo), e portanto o sistema será estável. 
 
 Então, a função de Transferência para este caso, será: 
 
C s
R s
K
JS BS K
( )
( )
=
+ +2
 
S j j dn n n1 2
2
1 21, ,= - ± - \ = - ±zw w z zw w S “9” 
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( ) ( )
C s
R s S j d S j d
n
n n
( )
( )
=
+ + + -
w
zw w zw w
2
 “10” 
 
 Se a entrada R(s) for um degrau unitário, então C(s) é obtida aplicando-se T.I.L na 
expressão abaixo. 
 
 ( )( )C s S S j d S j d
n
n n
( ) =
+ + + -
w
zw w zw w
2
 “11” 
 
 { }c t e dtnt( ) . . sen cos= -
-
+- -1 1
1 2
1
z
w zzw t ³ 0 “12” 
 
 O erro entre o sinal de entrada e o sinal de saída, é dado por: 
 
 e(t) = r(t) - c(t) 
 
 { }e t e d t
nt
( ) sen . cos= +
-
+
-
-
zw
z
w z
1 2
1 “13” 
 
 O erro em regime Permanente é obtido para t = ¥, e portanto: e( )¥ = 0 
 
2o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO: ®® zz = 1 
 
 Neste caso, o sistema apresenta 2 pólos reais e iguais. 
 
 
( )
C s
R s S
n
n
( )
( )
=
+
w
w
2
2 “14” 
 
 Se R(s) é um degrau unitário, então: 
 
 
( )
C s
S S
n
n
( )
.
=
+
w
w
2
2 “15” 
 
 Aplicando-se T.I.L na expressão acima, resulta: 
 
 
 ( )C t e tnt n( ) = - +-1 1w w t ³ 0 “16” 
 
 
 O erro é dado por: e(t) = r(t) - c(t) 
 
 
 
 
 
 
 
( )e t e tnt n( ) = +-w w1 para t = ¥ 
 
e( )¥ = 0 
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3o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO: ®® zz > 1 
 
 Neste caso, o sistema apresenta dois pólos reais e diferentes. Portanto as raízes da equaçãocaracterística são: 
 
 S n n1
2 1= - + -zw w z e S n n2
2 1= - --zw w z 
 
A função de transferência para este caso é mostrada a seguir. 
 
 
 ( )( )
C s
R s S S
n
n n n n
( )
( )
=
+ + - + - -
w
zw w z zw w z
2
2 2
1 1
 “17” 
 
 Se R(s) é um degrau unitário, então C(s) é obtida aplicando-se T.I.L. na expressão acima: 
 
 C t
e s t
s
e s t
s
n
( ) = +
-
-
-
-ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
1
2 12
1
1
2
2
w
z
 t ³ 0 “18” 
 
 Da mesma forma que nos casos anteriores, o erro em regime permanente será nulo. 
 
Conforme verifica-se na expressão “18”, a resposta do sistema, sofre a influência de 2 
exponenciais que são função das raízes S1 e S2, isto é: - ± -zw w zn n
2 1. Se z >> 1, a exponencial 
que é função de - --zw w zn n 2 1 deve exercer pouca influência no sistema, podendo ser 
desprezível. Com isto, a resposta do sistema aproxima-se à de um sistema de primeira ordem. 
O gráfico mostrado abaixo, apresenta uma família de curvas com vários valor de z. Nota-se 
que as curvas que chegam mais rapidamente ao valor final, correspondem a sistemas 
subamortecidos com 0,5 < z < 0,8. 
 
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6.3.1- ESPECIFICAÇÕES DO TEMPO DE RESPOSTA 
 
 O desempenho de um sistema de segunda ordem é muito freqüentemente caracterizado 
através da definição de algumas especificações que descrevem as características que o sistema deve 
apresentar quando a entrada do sistema é um degrau unitário. Estas especificações são: tempo de 
subida, tempo de pico, tempo de acomodação e overshoot máximo. 
 A seguir é mostrada uma resposta típica de um sistema de 2a ordem para uma entrada do tipo 
degrau unitário. 
 
 
 
 
 No sinal mostrado, as seguintes especificações são definidas: 
 
- Tempo de Subida “tr” : tempo necessário para o sinal passar de 10% para 90% do seu 
 valor final; 
 
 - Tempo de Pico “tp” : tempo necessário para o sinal alcançar o primeiro “overshoot”; 
 
 - Tempo de Acomodação “ts” : tempo necessário para o sinal permanecer dentro de uma 
faixa em torno do valor final. Normalmente esta faixa é especificada como 5% ou 2% do 
valor final; 
 
 - Overshoot Máximo “Mp” : é o máximo valor de pico do sinal. 
 
 Mp
C tp C
C
=
- ¥
¥
( ) ( )
( )
 x 100% “19” 
 
Observação: 
 Entre estas especificações, algumas são conflitantes como por exemplo, “Overshoot 
Mínimo” e “Tempo de Subida Reduzido”; A minimização de um, implica na maximização do outro. 
Portanto, cabe ao projetista estabelecer estas especificações no sentido de otimizar estas 
especificações. 
 
 Seja a expressão “12”, que caracteriza a resposta de um sistema subamortecido: 
 
 { }c t e dtnt( ) . . sen cos= -
-
+- -1 1
1 2
1
z
w zzw “20” 
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 Para obtermos a definição do tempo de subida “tr”, basta que se substitua na expressão 
“20”, t = tr e C(tr) = 1. 
 Desta forma, a expressão “20” pode ser representada como mostrada a seguir. 
( )e dtr
ntr-
-
-
+ =
zw
z
w z
1
0
2
1sen cos “21” 
 Como “z ” e “wn ” são diferentes de zero, para que a expressão acima seja válida, é 
necessário que: 
( )sen cosw zdtr + =-1 0 “22” 
 
w zdtr + =-cos 1 0 “23” 
 
w zdtr = - -cos 1 “24” 
 
 Seja a representação no plano complexo “S” das raízes da equação característica, mostrada a 
seguir. 
 
 Observa-se que : cos cos cosq
zw
w
q z p q z = n
n
\ = \ - = -- -1 1 “25” 
 Substituindo “25” em “24”, resulta: 
 
tr
d
=
-p q
w
 
 
 Para a obtenção do tempo de pico “tp”, basta que se derive a expressão “20”, e se imponha 
que 
dc t
dt
( )
= 0 e t = tp. 
 
 
dc t
dt
e
dt
nt
n
( )
.sen=
-
-zw
z
w w
1 2
 “25” 
 
 
e
d tp
ntp
n
-
-
=
zw
z
w w
1
0
2
.sen . “26” 
 Como zwn ¹ 0 , para que a expressão acima seja válida resulta que: 
 
sen .wd tp = 0 
 
Desta forma: w p p pd tp. , , , ,.......= 0 2 3 
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 Como o overshoot ocorre antes de “2p“ e depois de “0o”, resulta: tp
d
=
p
w “27” 
 Para a obtenção do overshoot máximo, tem-se que: 
 
( )-
-
+ = -
-
-e dtp C t
ntpzw
z
w z
1
1
2
1sen cos ( ) “28” 
 
 Substituindo “27” em “28”, resulta: 
 
( ) ( )Mp
e
n
d
= -
-
+ \ + = - = - -
-zw
p
w
z
p q p q q z
.
sen sen sen
1
12
2
 
 
( )
Mp e=
- -zp z1 2
 “29” 
 
 A definição do tempo de acomodação é novamente baseado na expressão “12”. Esta 
expressão é função do coeficiente de amortecimento “z “ e da freqüência natural de oscilação “wn”. 
Por outro lado, o Tempo de Acomodação “ts” é função da tolerância admitida, a qual em geral é 2% 
ou 5%. Com isto, para uma dada freqüência “wn”, e uma dada tolerância admitida, o tempo de 
acomodação é função somente de “z “. Na prática adota-se os seguintes valores de “ts”, 
considerando 0 < z < 0,9: 
 
Tolerância 2% ®® ts = 4 Constantes de Tempo ®® ts = 4 zwn 
Tolerância 5% ®® ts = 3 Constantes de Tempo ®® ts = 3 zwn 
Constante de Tempo = 1zwn 
 
Observação: 
 Na a expressão “29”, a qual define o overshoot máximo, vê-se que este é definido única e 
exclusivamente pelo coeficiente de amortecimento (z ). Por outro lado, o tempo de acomodação é 
função de “z ” e “wn”. Com isto, definido um overshoot admissível para um dado “z ” o tempo de 
acomodação é função de “wn” exclusivamente. 
 
6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITÓRIA 
 
 Seja um sistema genérico como o mostrado abaixo. 
 
 
 
 A função de transferência deste sistema pode ser escrita como o quociente entre dois 
polinômios, como mostra a expressão “30”, onde o grau do polinômio do numerador deve ser 
menor que o grau do polinômio do denominador. 
 
 
C s
R s
b S b S b S b
a S a S a S a
m m
m m
n n
m m
( )
( )
.....
.....
=
+ + + +
+ + + +
-
-
-
-
0 1
1
1
0 1
1
1
 m n£ “30” 
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VI-9 
 A função de transferência mostrada pode ser expandida em frações parciais, como uma série 
de termos de 1a. ordem e de 2a. ordem (pólos) associados aos seus respectivos resíduos. Por 
simplicidade, neste estudo será considerado apenas pólos reais simples. Aplicando-se técnicas de 
fatoração de polinômios na expressão acima, resulta: 
 
 
C s
R s
K Z Z Z
P P P
m
n
( )
( )
(S )(S ).....(S )
(S )(S ).....(S )
=
+ + +
+ + +
1 2
1 2
 “31” 
 
 Considere que o sinal de entrada R(s) é um degrau unitário. A aplicação de expansão em 
frações parciais na expressão “31”, resulta: 
 
 C s
a
S
ai
S Pii
n
( ) = +
+=
å
1
 Onde: ai ® Resíduo associado ao pólo Pi. 
 
 Desta forma, uma função de transferência de ordem “n” é uma somatória de termos 1a. 
ordem e de 2a. ordem (pólos) onde cada um apresenta uma certa influência na resposta global do 
sistema, que depende da constante de tempo e do resíduo associado ao pólo. Os termos que 
apresentam resíduos muitos pequenos, praticamente não exercem influência na resposta transitória e 
podem ser desprezados. Isto permite analisar a resposta de um sistema de ordem superior a partir de 
um sistema simplificado. Os pólos que estão mais próximos doeixo jw no plano complexo “S”, 
chamados de Pólos Dominantes, correspondem aos termos de resposta transitória que decaem mais 
lentamente (maior constante de tempo). 
 De acordo com os comentários feitos, pode-se concluir que a estabilidade relativa e a 
resposta transitória de um sistema estão diretamente ligados com a localização de pólos e zeros no 
plano “S”. Muitas vezes, é necessário ajustar um ou mais parâmetros do sistema para que o mesmo 
tenha um desempenho satisfatório. 
 
 
6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2a. ORDEM 
 ASSOCIADA A UM COMPENSADOR PROPORCIONAL 
 
 Seja o diagrama de bloco mostrado abaixo, que representa uma planta de segunda ordem. 
 
 
 
 
 A função de transferência deste sistema é mostrada na expressão “32”. 
 
 
 
 
 O erro apresentado pelo sinal de saída em relação ao sinal de entrada, é mostrado na 
expressão “33”. 
 
 
E s
R s
C s
R s
s
JS BS
JS BS K
R s
( )
( )
( )
( )
( ) . ( )= - Þ =
+
+ +
æ
è
ç
ö
ø
÷1
2
2 E “33” 
C s
R s
K
JS BS K
( )
( )
=
+ +2
 “32” 
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VI-10 
 Pelo teorema do valor final, sabe-se que: e e t S E s
t S
( ) ( ) . ( )¥ = =
®¥ ®
lim lim
0
 
 Se R(s) é um degrau unitário, então o erro apresentado pelo sinal de saída, é dado por: 
 
e S
S JS B
JS BS K SS
( ) .
.( )
.¥ =
+
+ +
æ
èç
ö
ø÷®lim0 2
1
 Þ e( )¥ = 0 “34” 
 
 Se R(s) é uma rampa unitária, então o erro apresentado pelo sinal de saída, é dado por: 
 
 
e S
S JS B
JS BS K SS
( ) .
.( )
.¥ =
+
+ +
æ
èç
ö
ø÷®lim0 2 2
1
 Þ e
B
K
( )¥ = “35” 
 
 Para o sistema mostrado, os valores de wn e z são: 
wn
K
J
= e z =
B
J K2 .
 
 
 Então, o erro em função de “z ” e “wn” será: e
n
( )¥ =
2z
w “36” 
 
 Pela expressão do erro em regime permanente para um sistema de 2a ordem, com um entrada 
do tipo rampa, concluí-se que “z ” deve ser pequeno para que o erro seja pequeno. Porém, isto 
acarreta um aumento no overshoot durante os transitórios. Para que se obtenha um compromisso 
melhor entre erro de regime permanente e overshoot, deve-se considerar outros tipos de 
controladores. 
 
6.6- CONTROLADOR “P-D” APLICADO A UM SISTEMA DE 2a ORDEM 
 
 A utilização de um controlador do tipo “PD” aplicado a um sistema de 2a ordem, melhora o 
desempenho do mesmo tanto em regime transitório como em regime permanente. Isto porque a 
ação derivativa atua no sentido de minimizar o período transitório, e a ação proporcional atua para 
minimizar o erro em regime permanente. 
 
 Seja o diagrama de blocos e a sua função de transferência mostrados abaixo. 
 
 
 
 
 O erro apresentado pelo sinal de saída em relação ao sinal de entrada, é mostrado na 
expressão “38”. 
 
( )
E s
R(s
JS BS
JS B Kd S KP
( )
)
=
+
+ + +
2
2 Þ 
e e t S E s
t S
( ) ( ) . ( )¥ = =
®¥ ®
lim lim
0
 “38” 
 
 Para uma entrada do tipo rampa unitária, o erro será: 
( )
C s
R s
Kp KdS
JS B Kd S KP
( )
( )
=
+
+ + +2
 “37” 
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VI-11 
e
B
Kp
( )¥ = “39” 
 
 A equação caraterística da função de transferência “37” é dada por: 
 
 
( )
S
B Kp
J
S
Kp
J
2 0+
+
+ = “40” 
 Igualando a expressão acima, com a equação característica padrão S n n2 22 0+ + =zw w , 
resulta que: 
 z =
+B Kd
J Kp2 .
 wn
Kp
J
= 
 Neste caso, pode-se definir valores para B, Kp e Kd que simultaneamente minimizem tanto 
o erro de regime, como o overshoot nos transitórios. 
 
 
6.7- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 
 
 Para os sistemas que apresentam equações características de 1a. ou de 2a. ordem, a 
estabilidade pode ser determinada diretamente por inspeção. Um polinômio de 1a. ou de 2a. ordem 
apresentará todas as suas raízes no semiplano esquerdo do plano “S”(estabilidade), se e somente se 
todos os coeficientes do polinômio apresentarem o mesmo sinal algébrico. Entretanto para 
polinômios de ordem superior a 2a., estas informações não são conclusivas. Nestes casos deve-se 
aplicar algum procedimento matemático que auxilie na determinação do número de raízes que o 
polinômio apresenta no semiplano direito (instabilidade). 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, permite investigar a estabilidade absoluta dos 
sistemas, através dos coeficientes das equações características. A utilização deste método evita a 
necessidade de fatoração da equação característica para obtenção dos pólos (raízes) e aí verificar se 
existe algum destes no semiplano direto do plano complexo, ou sobre o eixo imaginário. Caso 
exista, o sistema é instável. 
 O procedimento utilizado nesta técnica é: 
 
1) Escrever a equação característica de “S” na seguinte forma: 
 
a S a S a S an n n n0 1
1
1 0+ + + + =
-
-..... 
 
2) Se um dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente 
positivo, então há pelo menos uma raiz com parte real positiva e portanto o sistema NÃO É 
ESTÁVEL. 
3) Se todos os coeficientes são positivos, arranje os coeficientes da equação caraterística em 
linhas e colunas da seguinte forma: 
 
b
a a a a
a
b
a a a a
a
b
a a a a
a
b
a a a a
a
1
1 2 0 3
1
2
1 4 0 5
1
3
1 6 0 7
1
4
1 8 0 9
1
=
-
=
-
=
-
=
-
 
c
b a a b
b
c
b a a b
b
c
b a a b
b
c
b a a b
b
1
1 3 1 2
1
2
1 5 1 3
1
3
1 7 1 4
1
4
1 9 1 5
1
=
-
=
-
=
-
=
-
 
 
S a a a a
S a a a a
S b b b b
S c c c c
S d d
S e
S f
n
n
n
n
0 2 4 6
1
1 3 5 7
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
2
1 2
1
1
0
1
-
-
-
 
Projeto Reenge - Eng. Elétrica 
Apostila de Sistemas de Controle I 
Prof. Hélio Leães Hey - 1997 
VI-12 
 O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz diz que o número de raízes da equação 
característica com parte real positiva, é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes da 
primeira coluna da tabela (a0, a1, b1, c1, d1, e1, f1). 
 Se todos estes coeficientes são positivos, então todos os pólos da equação característica 
apresentam parte real negativa e portanto o sistema é estável . 
 
Observações: 
 - Se um termo da primeira coluna (b1, c1, d1, etc) é nulo, e os restantes não são, então zero 
deve ser substituído por um número positivo muito pequeno “ee ”, e então o resto da tabela é 
calculado. 
 - Caso os termos de uma linha sejam todos nulos, devemos substituir estes valores, pelos 
coeficientes da derivada do polinômio anterior (linha anterior) em relação a “S”. Este polinômio é 
chamado de polinômio auxiliar. 
 
6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE 
 
 Seja o sistema abaixo: 
 
 
 
 O sinal de saída deste sistema é dado por: 
 
 C s
Gc s Gp s
Gc s Gp s
R s( )
( ). ( )
( ). ( )
( )=
+1
 “1” 
 
Onde: 
 Gc s Gp s
K F s
S Q sN
( ). ( )
. ( )
. ( )
= “2” 
 F(s), Q(s) ® São Polinômios da variável “S” são escritos na seguinte forma: 
 “(Ra.S+1).(Rb.S+1).(Rc.S+1)......”, e não apresentam raízes do 
 tipo S = 0; 
 K ® ganho de malha-aberta; 
 N ® número de integradores na função de transferência, isto é, números de pólos 
 (raízes) na origem. 
 
 O número de integradores presentes na função de Transferência, serve de parâmetro para 
classificar o sistema, isto é, se N = 0 o sistema é dito do TIPO “0”; Se N == 1, o sistema é dito doTIPO “1”; Se N = 2 o sistema é dito do TIPO “2”, e assim sucessivamente. 
 
 Para o sistema mostrado, o erro em regime permanente é dado por: 
 
E s
R s
Gc s Gp s
( )
( )
( ). ( )
=
+1
 “3” 
ou 
e
S R s
G s G st c p
( )
. ( )
( ). ( )
¥ =
+
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þﮥ
lim
1 “4” 
Projeto Reenge - Eng. Elétrica 
Apostila de Sistemas de Controle I 
Prof. Hélio Leães Hey - 1997 
VI-13 
6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITÁRIO : R s
S
( ) =
1
 
 
{ }e G s G s G s G s Kt c p
t
c p p
( )
( ). ( ) ( ). ( )
¥ =
+
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
=
+
=
+®¥
®¥
lim
lim
1
1
1
1
1
1 “4” 
 
{ }K G s G sp t c p= ®¥lim ( ). ( ) ou Kp Gc Gp= ( ). ( )0 0 “5” 
 
 Onde: 
 Kp ®® CONSTANTE DE ERRO DE POSIÇÃO; 
 
 Substituindo “2” em “5”, resulta: 
 
 Kp
K F s
S Q sS N
=
ì
í
î
ü
ý
þ®
lim
0
.
. ( )
( )
 = Kp
K RaS RbS
S R S R SS N
=
+ +
+ +
ì
í
î
ü
ý
þ®
lim
0
1 2
1 1
1 1
.
.( )( ).....
( )( ).....
 “6” 
 
 
 Desta forma, o erro de posição do sistema, pode ser obtido para os diferentes tipos de 
sistema. 
 
 SISTEMA TIPO “0“ ® N = 0 Þ Kp K e
K
= ® ¥ = +( )
1
1
 
 SISTEMA TIPO “1” ® N = 1 Þ Kp e= ¥ ® ¥ =( ) 0 
 SISTEMA TIPO “2” ® N = 2 Þ Kp e= ¥ ® ¥ =( ) 0 
 
N > 1 Kp =® ¥ 
 
 
Portanto, se desejamos que o sistema apresente erro nulo para uma entrada do tipo degrau, o 
sistema deve ser do tipo “1” ou maior. 
 
6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITÁRIA: “ R s
S
( ) = 1
2
” 
 
{ }
e
S S Gc s Gp s S Gc s Gp s KvS
S
( ) .
. ( ). ( )
( )
. . ( ). ( )
¥ =
+
ì
í
î
ü
ý
þ
\ ¥ = =
®
®
lim
lim0
0
1 1 1
 e “8” 
 
 { }Kv S Gc s Gp s
S
=
®
lim
0
. ( ). ( ) “9” 
 
 Onde: 
 Kv ®® CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE; 
 
 Substituindo “2” em “9”, resulta: 
 
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VI-14 
 Kv
K F s
S Q sS N
=
ì
í
î
ü
ý
þ® -
lim
0 1
.
. ( )
( )
 “10” 
 Desta forma, o erro de velocidade do sistema pode ser obtido para os diferentes tipos de 
sistemas: 
 
 SISTEMA TIPO “0“ ® N = 0 Þ Kv sse= ® = ¥0 
 SISTEMA TIPO “1” ® N = 1 Þ Kv K ss Ke= ® = 1 
 SISTEMA TIPO “2” ® N = 2 Þ Kv sse= ¥ ® = 0 
N > 2 Kv =® ¥ 
 
 Pelo exposto, concluí-se que para um sistema do tipo “0“, a saída não consegue acompanhar 
uma entrada do tipo rampa e o erro tende a aumentar indefinidamente. Para um sistema do tipo “1”, 
o erro em regime é inversamente proporcional ao ganho de malha aberta. E para sistema do tipo “2” 
ou maior, o erro torna-se nulo. 
 
6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARÁBOLA : “R s
S
( ) =
1
3 ” 
 
{ }
e
S S Gc s Gp s S Gc s Gp s KaS
S
( ) .
. ( ). ( )
( )
. . ( ). ( )
¥ =
+
ì
í
î
ü
ý
þ
\ ¥ = =
®
®
lim
lim0 2 2
0
2
1 1 1
 e “11” 
 
 { }Ka S Gc s Gp s
S
=
®
lim
0
2 . ( ). ( ) “12” 
 Onde: 
 
 KA ®® CONSTANTE DE ERRO DE ACELERAÇÃO; 
 
 Substituindo “2” em “11”, resulta: 
 
Ka
K F s
S Q sS N
=
ì
í
î
ü
ý
þ®
-lim
0
2.
. ( )
( )
 
 
 Desta forma, o erro de aceleração do sistema, para os diferentes tipos de sistema será: 
 
 SISTEMA Tipo “0“ ® N = Æ Þ Ka e= ® ¥ = ¥0 ( ) 
 SISTEMA Tipo “1” ® N = 1 Þ Ka e= ® ¥ = ¥0 ( ) 
 SISTEMA Tipo “2” ® N = 2 Þ Ka K e K= ® ¥ =( ) 1 
 SISTEMA Tipo “3” ® N = 3 Þ Ka e= ¥ ® ¥ =( ) 0 
N > 3 Ka =® ¥ 
 
 
 Conforme mostrado acima, se a entrada do sistema é do tipo Parábola e o sistema for do tipo 
“0” ou “1” a saída não conseguirá acompanhar a entrada e o erro tende a aumentar indefinidamente. 
Já para um sistema do tipo “2” o erro será inversamente proporcional ao ganho de malha aberta. 
Para o sistema do tipo “3” ou maior, o erro a uma entrada do tipo parábola será nulo. 
 
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VI-15 
 
 
QUADRO RESUMO 
 
 
 
 
 
 TIPO DE ENTRADA 
 r(t) = 1 r t t( ) = r t t( ) = 2 
TIPO 0 1
1+ K
 ¥¥ ¥¥ 
DE 1 0 1
K
 ¥¥ 
SISTEMA 2 0 0 1
K