Processo Browniano Geométrico e a Forma Diferencial de Ito

Prévia do material em texto

Introdução à Econofísica
Aula 20
O processo browniano geométrico revisitado: forma diferencial de Ito
Como mencionado na aula 19, o movimento browniano geométrico pode ser escrito
na forma diferencial estocástica de Ito:
dS (t) = ρS (t) dt+ σS (t) dW (t) ,
onde S (t) é o preço da ação no instante t. Podemos fazer uma mudança de
variável:
X (t) = ln
 S (t)
S (t0)
 ,
onde t0 < t é um instante de tempo onde o preço do ativo é conhecido, isto é,
S (t0) = s0.
Para aplicar o lema de Ito, calculemos:
∂X
∂S
=
1
S
,
∂2X
∂S2
= − 1
S2
e, portanto,
dX = dt
ρS∂X∂S + [σS]2
∂2X
∂S2
+ 12ρS
∂X
∂S
dW
= dt
ρS (t) 1S (t) −
σ2
2
[S (t)]2
1
[S (t)]2

+ σS (t)
1
S (t)
dW (t) .
Logo,
dX (t) =
ρ− σ2
2
 dt+ σdW (t) ,
que é a equação diferencial estocástica para o movimento browniano. Assim, a
distribuição para X fica dada em termos da variável real x como:
u (x, t− t0) = 1√
2piσ2 (t− t0)
exp
−
[
x−
(
ρ− σ22
)
(t− t0)
]2
2σ2 (t− t0)
 ,
1
Conforme t tende a t0, a distribuição fica cada vez mais próxima de uma função
delta centrada na origem. Esse comportamento faz sentido, pois X deve ser zero
em t0, já que
S (t0) = s0
e, portanto,
X (t0) = ln
S (t0)
S (t0)

= 0.
Normalmente, sabemos o preço hoje e desejamos a probabilidade de termos
determinado preço no futuro. Seja T o tempo futuro e t, o atual. Assim, a
distribuição de acima fica:
u (x, T − t) = 1√
2piσ2 (T − t) exp
−
[
x−
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
 .
Seguindo a aula 5, podemos escrever a densidade de probabilidade para o quo-
ciente
S (T )
S (t)
,
se conhecermos S (t):
g (s, T − t) = 1
s
√
2piσ2 (T − t) exp
−
[
ln s− lnS (t)−
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
 .
O valor esperado de
S (T )
S (t)
,
condicional a termos conhecimento exato de S (t) é denotado por
E
S (T )
S (t)
∣∣∣∣∣∣S (t)

e é dado por:
E
S (T )
S (t)
∣∣∣∣∣∣S (t)
 =
ˆ +∞
−∞
ds
s
S (t)
g (s, T − t)
=
1
S (t)
√
2piσ2 (T − t)
ˆ +∞
−∞
ds exp
−
[
ln sS(t) −
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
 .
2
Fazendo a substituição de variável:
z = ln
s
S (t)
,
vem:
E
S (T )
S (t)
∣∣∣∣∣∣S (t)
 = 1√
2piσ2 (T − t)
ˆ +∞
−∞
dz exp
z −
[
z −
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
 .
Mas,
z −
[
z −
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t) = z −
z2 − 2z
(
ρ− σ22
)
(T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −
z2 − 2z
(
ρ− σ22
)
(T − t)− 2zσ2 (T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −z
2 − 2zρ (T − t)− zσ2 (T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −
z2 − 2z
(
ρ+ σ
2
2
)
(T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −
[
z −
(
ρ+ σ
2
2
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)2 − (ρ+ σ22
)2]
(T − t)2
2σ2 (T − t)
= −
[
z −
(
ρ+ σ
2
2
)
(T − t)
]2 − 2ρσ2 (T − t)2
2σ2 (T − t)
3
= −
[
z −
(
ρ+ σ
2
2
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t) + ρ (T − t)
e, portanto,
E
S (T )
S (t)
∣∣∣∣∣∣S (t)
 = exp [ρ (T − t)] .
Para o cálculo da variância, temos que calcular:ˆ +∞
−∞
ds
 s
S (t)
2 g (s, T − t) = 1
[S (t)]2
√
2piσ2 (T − t)
×
ˆ +∞
−∞
ds s exp
−
[
ln sS(t) −
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)

=
1√
2piσ2 (T − t)
×
ˆ +∞
−∞
dz exp
2z −
[
z −
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
 .
Mas,
2z −
[
z −
(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t) = 2z −
z2 − 2z
(
ρ− σ22
)
(T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −
z2 − 2z
(
ρ− σ22
)
(T − t)− 4zσ2 (T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −z
2 − 2zρ (T − t)− 3zσ2 (T − t)
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −
z2 − 2z
(
ρ+ 3σ
2
2
)
(T − t)
2σ2 (T − t)
4
−
[(
ρ− σ22
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
= −
[
z −
(
ρ+ 3σ
2
2
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
−
[(
ρ− σ22
)2 − (ρ+ 3σ22
)2]
(T − t)2
2σ2 (T − t)
= −
[
z −
(
ρ+ 3σ
2
2
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
−
[(
σ2
2
)2 − 4ρσ2 − (3σ22
)2]
(T − t)2
2σ2 (T − t)
= −
[
z −
(
ρ+ 3σ
2
2
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
+
(
4ρσ2 + 2σ4
)
(T − t)2
2σ2 (T − t)
= −
[
z −
(
ρ+ 3σ
2
2
)
(T − t)
]2
2σ2 (T − t)
+
(
2ρ+ σ2
)
(T − t)
e, portanto,
ˆ +∞
−∞
ds
 s
S (t)
2 g (s, T − t) = exp [(2ρ+ σ2) (T − t)] .
Assim, a variância condicional fica:
var
S (T )
S (t)
∣∣∣∣∣∣S (t)
 = exp [(2ρ+ σ2) (T − t)]− exp [2ρ (T − t)]
= exp [2ρ (T − t)] {exp [σ2 (T − t)]− 1} .
5