Solução Salinas - Lista4

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Lista 4 - F́ısica Estat́ıstica
Nome: Gabriel Henrique Batista RA: FFA200042
Tema: Ensemble Canônico e sua conexão com a termo-
dinâmica
Prof. Makoto Yoshida
Universidade Estadual Paulista - UNESP
Campus Rio Claro
IGCE - Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Departamento de F́ısica
1. A energia de um sistema de N ı́ons magnéticos localizados, a temperatura T , na presença
de um campo H, pode ser escrito na forma
H = D
N∑
i=1
S2i + µ0H
∑
i
Si,
onde os parâmetros D, µ0 e H são positivos e Si = +1, 0 ou −1, para qualquer śıtio i.
(a) Obtenha as expressões para a energia interna, a entropia e a magnetização por śıtio.
Sol.:
Antes de calcular quaisquer equações de estado, devemos saber a expressão da função
de partição Z, dado por:
Z =
∑
Si
exp(−βH),
onde β = 1
kBT
. Sendo assim:
Z =
∑
Si
exp
[
− β
(
D
N∑
i=1
S2i − µ0H
N∑
i=1
Si
]
=
∑
S1,S2,...,SN
exp
[
− βD
N∑
i=1
S2i + βµ0H
N∑
i=1
Si
]
=
∑
S1,S2,...,SN
exp
[
− βD(S21 , S22 , . . . , S2N) + βµ0H(S1, S2, . . . , SN)
]
=
∑
S1,S2,...,SN
exp(−βDS21 + βµ0HS1) exp(−βDS22 + βµ0HS2) · · · ·
· · · · exp(−βDS2N + βµ0HSN)
=
∑
S1
exp(−βDS21 + βµ0HS1)
∑
S2
exp(−βDS22 + βµ0HS2) · · · ·
· · · ·
∑
SN
exp(−βDS2N + βµ0HSN)
Fazendo Z1 =
∑
S1
exp(−βDS21 + βµ0HS1), temos:
Z1 =
∑
S1
exp(−βDS21) exp(βµ0HS1)
Z1 = exp(−βD) exp(βµ0H) + exp(−βD) exp(−βµ0H) + exp(0) exp(0)
Z1 = 2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
Considerando Z = ZN1 , temos:
Z =
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
1
Com isso, podemos calcular a energia interna por śıtio, definida por:
u = − 1
N
∂
∂β
lnZ
∴ u = − 1
N
∂
∂β
ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]N
= − 1
��N
��N
∂
∂β
ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
= −
(
1
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)(
− 2D exp(−βD) cosh(βµ0H) +
+µ0H sinh(βµ0H)2 exp(−βD)
)
=
(
−2D exp(−βD) cosh(βµ0H) + 2µ0H exp(−βD) sinh(βµ0H)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
u = −2 exp(−βD)
(
−D cosh(βµ0H) + µ0H sinh(βµ0H)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
Calculando agora a entropia por śıtio, definida por:
s = −
(
∂g
∂T
)
H
Representamos por G ao invés de F pelo fato da energia livre magnética depender
de T e H, e não de T , V e N .
Sabemos que G é definida por:
G = − 1
β
lnZ
= − 1
β
N ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
e por śıtio passa a ser:
g = − 1
β
ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
2
portanto:
−s = ∂
∂T
(
− kBT ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
])
= −kB ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
−
−kBT
[
2 exp(−βD) · −D
kBT 2
· cosh(βµ0H) + 2 exp(−βD) sinh(βµ0H) · µ0HkBT 2
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
= −kB ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
−
−kB��T
[
2β exp(−βD)
��T
(
−D cosh(βµ0H) + µ0H sinh(βµ0H)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)]
= −kB ln
[
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
−
− 2
T
exp(−βD)
(
−D cosh(βµ0H) + µ0H sinh(βµ0H)·
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
s = kB ln
(
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
+ 2T exp(−βD)
(
−D cosh(βµ0H) + µ0H sinh(βµ0H)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
A magnetização por śıtio pode ser calculada através de:
m =
1
βN
∂
∂H
lnZ
m =
1
β
∂
∂H
ln
(
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
=
1
��β
[
2 exp(−βD) sinh(βµ0H)��βµ0
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
]
m =
2µ0 exp(−βD) sinh(βµ0H)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
(b) Para campo nulo (H = 0), esboce gráficos da energia interna, da entropia e do
calor espećıfico contra a temperatura. Indique claramente o comportamento dessas
grandezas nos limites T → 0 e T →∞.
Sol.:
Energia interna
Para H = 0, temos:
3
u = −2 exp(−βD)
(
−D cosh(0) + 0 sinh(0)
2 exp(−βD) cosh(0) + 1
)
=
2D exp(−βD)
2 exp(−βD) + 1
=
2D exp(− D
kBT
)
2 exp(− D
kBT
) + 1
Vemos que,
se T → 0, u→ 0
se T →∞, u→ 2D
3
.
Entropia
s = kB ln
[
2 exp(−βD) cosh(0) + 1
]
+
2
T
exp(−βD)
(
−D cosh(0) + 0
2 exp(−βD) cosh(0) + 1
)
s = kB ln
[
2 exp(−βD) + 1
]
− 2D exp(−βD)
2T exp(−βD) + 1
s = kB ln
[
2 exp(− D
kBT
) + 1
]
−
2D exp(− D
kBT
)
2T exp(− D
kBT
) + 1
4
Vemos que,
se T → 0, s→ 0
se T →∞, u→ kB ln(3).
Calor espećıfico
Sabemos que c = T
∂s
∂T
. Para H = 0, temos:
∂s
∂T
= ��kB
2D
��kBT 2
(
− exp(−βD)
2 exp(−βD) + 1
)
−
(
2D exp(−βD)
( −D
kBT 2
)(
2T exp(−βD) + 1
)(
2T exp(−βD) + 1
)2 )−
−
(2D exp(−βD) · 2T exp(−βD)( −D
kBT 2
))
(
2T exp(−βD) + 1
)2 )
=
2D
T 2
(
− exp(−βD)
2 exp(−βD) + 1
)
− 2D
2
kBT 2
((− exp(−βD)(2T exp(−βD) + 1))(
2T exp(−βD) + 1
)2 )−
− 4D
2
kBT
(
exp(−2βD)(
2T exp(−βD) + 1
)2)
∴ c =
2D
T
(
− exp(−βD)
2 exp(−βD) + 1
)
+
2D2
kB
(( 1
T
exp(−βD)(2T exp(−βD)− 1) + 2 exp(2βD)
)(
2T exp(−βD) + 1
)2 )
=
2D
T
( − exp( −D
kBT
)
2 exp( −D
kBT
) + 1
)
+
2D2
kB
(( 1
T
exp( −D
kBT
)(2T exp( −D
kBT
)− 1) + 2 exp(−2D
kBT
)
)(
2T exp( −D
kBT
) + 1
)2 )
5
Vemos que,
se T → 0, c→ 0
(c) Calcule o valor esperado do ”momento de quadrupolo”
Q =
1
N
<
N∑
i=1
S2i >,
em função do campo e da temperatura
Sol.:
Podemos calcular o valor esperado do momento de quadrupolo por:
Q =
1
N
<
N∑
i=1
S2i >= −
1
βD
∂
∂D
lnZ
Assim:
Q =��−
1
��βD
(
2 cosh(βµ0H) exp(−βD)(��−β)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
)
Q =
2 exp(−βD) cosh(βµ0H)
2 exp(−βD) cosh(βµ0H) + 1
6
2. Considere um sistema magnético unidimensional de N spins localizados, a temperatura T ,
definido pela energia
H = −J
N∑
i=1,3,5,...,N−1
σiσi+1 − µ0H
N∑
i=1
σi,
onde os parâmetros J , µ0 e H são positivos e σi = ±1 para qualquer śıtio i. Suponha que
N seja um número par e observe que a primeira soma é sobre os valores ı́mpares de i.
(a) Obtenha a função de partição canônica e calcule a energia interna por spin u =
u(T,H). Esboce um gráfico de u(T,H = 0) contra a temperatura T . Obtenha uma
expressão para a entropia por spin, s = s(T,H). Esboce um gráfico de s(T,H = 0)
contra T .
Sol.:
A função de partição canônica é calculada por:
Z =
∑
(σj)
exp(−βH),
logo:
Z =
∑
(σj)
exp
[
− β
(
− J
N∑
i=1,3,5,...,N−1
σiσi+1 − µ0H
N∑
i=1
σi
)]
=
∑
(σj)
[
exp
(
βJ
N∑
i=1,3,5,...,N−1
σiσi+1
)
exp
(
βµ0H
N∑
i=1
σi
)]
=
∑
(σj)
[
exp
(
βJ(σ1σ2 + σ3σ4 + · · ·+ σN−1σN)
)
exp
(
βµ0H(σ1 + σ2 + · · ·+ σN)
)]
=
∑
(σj)
[
exp
(
βJσ1σ2
)
exp
(
βJσ3σ4
)
· · · · · exp
(
βJσN−1σN
)
·
· exp
(
βµ0Hσ1
)
exp
(
βµ0Hσ2
)
· · · · · exp
(
βµ0HσN
)]
=
[ ∑
(σ1,σ2)
exp
(
βJσ1σ2
)
exp
(
βµ0Hσ1
)
exp
(
βµ0Hσ2
)]
[ ∑
(σ3,σ4)
exp
(
βJσ3σ4
)
exp
(
βµ0Hσ3
)
exp
(
βµ0Hσ4
)]
· · ·
· · ·
[ ∑
(σN−1,σN )
exp
(
βJσN−1σN
)
exp
(
βµ0HσN−1
)
exp
(
βµ0HσN
)]
7
=
[ ∑
(σ1,σ2)
exp
(
βJσ1σ2
)
exp
(
βµ0H(σ1 + σ2)
)]
[ ∑
(σ3,σ4)
exp
(
βJσ3σ4
)
exp
(
βµ0H(σ3 + σ4)
)]
· · ·
· · ·
[ ∑
(σN−1,σN )
exp
(
βJσN−1σN
)
exp
(
βµ0H(σN−1 + σN)
)]
Fazendo
Z1 =
∑
(σ1,σ2)
exp
(
βJσ1σ2
)
exp
(
βµ0H(σ1 + σ2)
)
,
podemos calcular Z fazendo Z = ZN
′
1 . N
′
= N/2, pois temos n/2 pares.
Abrindo a somatória de Z1 para todas as combinações posśıveis, temos:
Z1 = exp
(
βJ
)
exp
(
2βµ0H
)
+ exp
(
− βJ
)
+ exp
(
− βJ
)
+ exp
(
βJ
)
exp
(
− 2βµ0H
)
= exp
(
βJ
)
exp
(
2βµ0H
)
+ 2 exp
(
− βJ
)
+ exp
(
βJ
)
exp
(
− 2βµ0H
)
= exp
(
βJ
)[
exp
(
2βµ0H
)
+ exp
(
− 2βµ0H
)]
+ 2 exp
(
− βJ
)
= 2 exp
(
βJ
)
cosh
(
2βµ0H
)
+ 2 exp
(
− βJ
)
Então:
Z =
[
2 exp
(
βJ
)
cosh
(
2βµ0H
)
+ 2 exp
(
− βJ
)]N/2
Em posse de Z, podemos calcular u(T,H) através de:
u = − 1
N
∂
∂β
lnZ
u = − 1
��N
��N
2
∂
∂β
[
ln
[
2 exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 2 exp(−βJ)
]]
= −1
2
[
2J exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 4µ0H exp(βJ) sinh(2βµ0H)− 2J exp(−βJ)
2 exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 2 exp(−βJ)
]
= −1
�2
�2
[
J exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 2µ0H exp(βJ) sinh(2βµ0H)− J exp(−βJ)
2 exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 2 exp(−βJ)
]
u(T,H) =
−J exp( J
kBT
) cosh(2µ0H
kBT
)− 2µ0H exp( JkBT ) sinh(
2µ0H
kBT
) + J exp( −J
kBT
)
2 exp( J
kBT
) cosh(2µ0H
kBT
) + 2 exp( −J
kBT
)
O gráfico de u(T,H = 0) é obtido por:
8
u =
−J exp( J
kBT
) cosh(0)− 0 + J exp( −J
kBT
)
2 exp( J
kBT
) cosh(0) + 2 exp( −J
kBT
)
=
−J exp( J
kBT
) + J exp( −J
kBT
)
2 exp( J
kBT
) + 2 exp( −J
kBT
)
= −J
2
[
exp( J
kBT
) + exp( −J
kBT
)
exp( J
kBT
) + exp( −J
kBT
)
]
u = −J tanh( −J
kBT
)
Vemos que,
se T → 0, u→−J
se T →∞, u→ 0.
A entropia é calculada por:
s = −
(
∂f
∂T
)
sendo
f = − 1
βN
lnZ
∴ = − 1
2β
ln
[
2 exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 2 exp(−βJ)
]
9
então:
−s = −kB
2
ln
[
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
]
−
− 1
2β
[
2 J
kBT 2
exp(βJ) cosh(2βµ0H) + 4
1
kBT 2
µ0H exp(βJ) sinh(2βµ0H)
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
−
−
2 J
kBT 2
exp(−βJ)
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
]
s =
kB
2
ln
[
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
]
+
+
1
2β
[ 2J
kBT 2
(
exp(βJ) cosh(2βµ0H)− exp(−βJ)
)
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
+
+
4µ0H
kBT 2
(
exp(βJ) sinh(2βµ0H)
)
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
]
s =
kB
2
ln
[
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
]
+
−β
[
J
(
exp(βJ) cosh(2βµ0H)− exp(−βJ)
)
+ 2µ0H
(
exp(βJ) sinh(2βµ0H)
)
2 exp(βJ) cosh(2βµH) + 2 exp(−βJ)
]
Para H = 0:
s =
kB
2
ln
[
2 exp(βJ) + 2 exp(−βJ)
]
− β
[
J
(
exp(βJ)− exp(−βJ)
)
2 exp(βJ) + 2 exp(−βJ)
]
=
kB
2
ln
[
4 cosh(βJ)
]
− β
[
2J sinh(βJ)
4 cosh(βJ)
]
=
kB
2
ln
[
4 cosh(βJ)
]
− βJ
2
tanh(βJ)
Vemos que,
se T → 0, s→ 1
4
kB ln(4)
se T →∞, s→ 1
2
kB ln(4).
10
(b) Obtenha expressões para a magnetização por part́ıcula,
m = m(T,H) =
1
N
< µ0
N∑
i=1
φi >,
e para a susceptibilidade magnética,
χ = χ(T,H) =
(
∂m
∂H
)
T
.
Esboce um gráfico de χ(T,H = 0) contra a temperatura.
Sol.:
m =
1
nβ
∂
∂H
(lnZ)
m =
1
�
�2β
[
�2 exp(βJ) sinh(2βµ0H) ·��2βµ0
�2 exp(βJ) cosh(2βµ0H) + �2 exp(−βJ)
]
=
µ0���
��exp(βJ) sinh(2βµ0H)
��
���exp(βJ) cosh(2βµ0H) + exp(−βJ)
·
(
exp(−βJ)
exp(−βJ)
)
m =
µ0 sinh(2βµ0H)
cosh(2βµ0H) + exp(−2βJ)
Com essa expressão, podemos calcular χ, definida por:
χ =
(
∂m
∂H
)
T
χ =
2βµ20 cosh(2βµ0H)
[
cosh(2βµ0H) + exp(−2βJ)
]
− 2βµ20 sinh2(2βµ0H)(
cosh(2βµ0H) + exp(−2βJ)
)2
χ = 2βµ20
(
cosh(2βµ0H)
[
cosh(2βµ0H) + exp(−2βJ)
]
− sinh2(2βµ0H)(
cosh(2βµ0H) + exp(−2βJ)
)2 )
Para H = 0, temos:
χ = 2βµ20
(
(((
((((
(
1 + exp(−2βJ)(
cosh(2βµ0H) + exp(−2βJ)
)
�2
)
=
2βµ20
1 + exp(−2βJ)
11
Vemos que,
se T → 0, χ→∞
se T →∞, χ→ 0.
12
3. Um sistema de N osciladores quânticos localizados e independentes está em contato com
um reservatório térmico à temperatura T . Os ńıveis de energia de cada oscilador são
dados por
εn = ~ω0
(
n+
1
2
)
, n = 1, 3, , 5, 7, . . .
Note que n é um número inteiro e ı́mpar.
(a) Obtenha uma expressão para a energia interna por oscilador em função da temperatura
T . Esboce um gráfico de u contra T . Qual a expressão de u no limite clássico
(~ω0 � kBT ) ?
Sol.:
A função de partição para esse sistema será
Z =
∑
(Nj)
exp(−β�nj)
=
∑
n1,n2,··· ,nN
exp
[
− β~ω0
∑
j=1
(nj + 1/2)
]
=
∑
n1,n2,··· ,nN
exp
(
− β~ω0(n1 + 1/2)
)
exp
(
− β~ω0(n2 + 1/2)
)
· · ·
· · · exp
(
− β~ω0(nN + 1/2)
)
=
∑
n1
exp
(
− β~ω0(n1 + 1/2)
)∑
n2
exp
(
− β~ω0(n2 + 1/2)
)
· · ·
· · ·
∑
nN
exp
(
− β~ω0(nN + 1/2)
)
Definindo
Z1 =
∑
n1
exp
(
− β~ω0(n1 + 1/2)
)
Se fizermos todas as possibilidades, vemos que podemos resumir essa soma por meio
de uma P.G. infinita, ou seja:
Z1 =
exp(−3/2β~ω0)
1− exp(−2β~ω0)
Com isso, a função de partição será
Z = ZN1
Z =
(
exp(−3/2β~ω0)
1− exp(−2β~ω0)
)N
(1)
13
Com posse da expressão de Z, podemos calcular a energia interna:
u = − 1
N
∂
∂β
lnZ
u = − ∂
∂β
[
ln
(
exp(−3/2β~ω0)
)
− ln(1− exp(−2β~ω0))
]
= − ∂
∂β
[
− 3/2β~ω0 − ln
(
1− exp(−2β~ω0)
)]
= −
[
− 3/2~ω0 −
(
2~ω0 exp(−2β~ω0)
1− exp(−2β~ω0)
)]
=
3
2
~ω0 +
2~ω0 exp(−2β~ω0)
1− exp(−2β~ω0)
= ~ω0
(
3
2
+
2 exp(−2β~ω0)
1− exp(−2β~ω0)
)(
exp(2β~ω0)
exp(2β~ω0)
)
u = ~ω0
(
3
2
+
2
exp(2β~ω0)− 1
)
Vemos que,
se T → 0, u→ 3~ω0
2
se T →∞, u→∞.
A expressão de u no limite clássico é:
u = lim
~ω0→0
~ω0
(
3
2
+
2
exp(2β~ω0)− 1
)
= lim
~ω0→0
3
2
+
2~ω0
exp(2β~ω0)− 1
Por L’Hospital
u = lim
~ω0→0
[
2
2β exp(2β~ω0)
]
−→=
[
1
β · 1
]
= kBT ‘
14
Então para ~ω0,
u = kBT
(b) Obtenha uma expressão para a entropia por oscilador em função da temperatura.
Esboce um gráfico da entropia contra a temperatura. Qual a expressão da entropia no
limite clássico?
Sol.:
Sabemos que a entropia é definida por:
s = − ∂f
∂T
Calculando primeiramente f , definida por
f = − 1
βN
lnZ
f = − 1
β
[
ln
(
exp(−3
2
β~ω0)
1− exp(−2β~ω0)
)]
= − 1
β
[
ln
(
exp(−3
2
β~ω0)− ln(1− exp(−2β~ω0)
)]
=
3
2
~ω0 +
1
β
ln(1− exp(−2β~ω0)
)
Calculando então a entropia:
s = −kB ln
(
1− exp(−2β~ω0)
)
+ kBT
( 2~ω0
kBT 2
exp(−2β~ω0)
1− exp(−2βωω0)
)
= −kB ln
(
1− exp(−2β~ω0)
)
+
2~ω0
T
(
exp(−2β~ω0)
1− exp(−2βωω0)
)
·
(
exp(2β~ω0)
exp(2β~ω0
)
s = −kB ln
(
1− exp(−2β~ω0)
)
+
2~ω0
T
(
1
exp(2βωω0)− 1
)
No limite clássico, ~ω0 � kBT , utilizaremos da expansão de exp(x):
exp(x) =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2
+
x3
3
+
x4
4
+ · · ·
15
Assim:
s = −kB ln(1− 1 + 2β~ω0) +
2~ω0
T (1 + nβ~ω0 − 1)
= −kB ln(2β~ω0) + �
��2~ω0
��T��
�2~ω0/kB��T
= −kB ln(2β~ω0) + kB
s = kB
(
1− ln(2β~ω0)
)
(c) Qual a expressão do calor espećıfico no limite clássico?
Sol.:
Sabemos que
c =
(
∂s
∂T
)
T
utilizando a expressão de s já no limite clássico:
c =��T
(
kB
kB
kB��T
)
c = kB
16