estudo das vigas

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2 – Vigas Biapoiadas
2.1 – Carga Concentrada
Seja a viga biapoiada abaixo, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seção S:
 P
 A B
 S
 Pb/l a b Pa/l
 l
 Pb/l Pb/l
 Q
 
 Pa/l Pa/l
 
 M 
 ( (
Obs: a) Como q = 0 (trecho descarregado), o D.E.C. será uma reta horizontal, pois (dQ/ds) = -q e o D.M.F. será uma reta, pois (d2M/ds2) = - q.
b) O D.M.F. possui um ponto anguloso em S, pois (dM/ds)Sesq = QSesq e (dM/ds)Sdis = QSdir e, no caso, QSesq ≠ QSdir
c) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade igual a P.
d) Calculemos as integrais ∫AS Qds e ∫AB Qds
∫AS Qds = (Pb/l).a = MS
∫AB Qds = [(Pb/l).a] – [(Pa/l).b] = 0 = MB
Os valores acima ilustram a obtenção do D.M.F. a partir do D.E.C.
A condição ∫AB Qds = 0 permite a verificação do equilíbrio da viga.
e) Calculemos os valores de tg α e tg β.
Temos : tg α = (Pb/l) = QtrechoAS
 tg β = -(Pa/l) = QtrechoSB
2.2 – Carga Uniformemente distribuída
Seja a viga biapoiada abaixo, submetida a uma carga uniformemente distribuída:
 qx ql
 q
 A B
 X/2 S
 ql/2 x ql/2
 l/2 l/2
 l
 ql/2
 
 ( Q
 l/4 l/4
 M
 ¾ Mmax Mmax = (ql2/2 )(R
Os esforços simples em S são:
a) Cortante
QS = (ql/2) – qx
Então: para x = 0 → Qs = QA = (ql/2)
 para x = l/2 → Qs = Qc = 0
 para x = l → Qs = QB = - (ql/2)
b) Fletor
Ms = (qlx/2) – (qx2/2) = [ql2/2].[(x/l) – x2/l2)
Obs:
O D.M.F. será uma parábola do 2º grau, passando por zero em A e B e passando por um máximo em x = (l/2),[seção onde Q = (dM/dx) = 0], cujo valor do Momento Máximo vale:
Mmax = [ql2/2].[( ½) –( ¼)] = (ql2/8)
Para obtenção dos valores de M numa seção genérica, temos:
M = [ql2/2].[(x/l) – x2/l2) = [ql2/2]ωR
Sendo ωR = є – є2 (valor tabelado),
Onde є = (x/l)
Um valor notável no D.M.F. é o valor para as seções com є = 0,25 e є = 0,75. Neste caso, temos:
M = [ql2/2].[( 1/4) –( 1/16)] = (3/4).(ql2/8) = (3/4)Mmax
Calculemos a inclinação do D.E.C.
tg α = [-(ql/2) – (ql/2)]/l = -q
2.3 – Carga Triangular
Seja a viga biapoiada abaixo, submetida a uma carga triangular:
 Px2/2l Pl/2 p
 Px/l 
 A B
 X/3 S l/3
 Pl/6 Pl/3
 x 
 l
 pl/6
 (pl/6) (M Q
 0,577 l pl/3
 M
 (pl2/6) (D Mmax = 0,064 pl2
Os Esforços simples em S, são:
Cortante 
QS = (pl/6) – (px2/2l)
QS = (pl/6) [1 – (3x2/l2)] = (pl/6)[1 – 3є2]
Q = (pl/6) ωM
Sendo ωM = 1 - 3є2 (valor tabelado)
O D.E.C. será uma parábola do 2º grau com tangente horizontal em A, pois (dQ/ds) = -q = 0, passando por zero para x =(l √3)/3 = 0,577 l.
Fletor
Ms = (pl/6)x – (px3/6l)
Ms = [pl2/6].[(x/l) – (x3/l3)]
Ms = [pl2/6] (є – є3)
Para obtenção dos valores de M numa seção genérica, temos:
M = (pl2/6) ωD
Sendo ωD = є – є3 (valor tabelado)
O Diagrama de Momento Fletor será uma parábola do 3º grau que passa por um máximo em x = 0,577 l, pois (dM/ds) = Q = 0, cujo valor é: Mmax = 0,064 pl2.
2.4 – Carga Momento
Seja a viga biapoiada abaixo, submetida a uma carga momento:
 
 A M B
 S
 M/l a b M/l
 l
 Q
 M/l M/l
 Ma/l
 M
 Mb/l
Obs:
O D.M.F. possui em S uma descontinuidade igual a (Ma/l) + (Mb/l) = M;
Temos ∫AB Qds = - M. Neste caso, podemos afirmar que o valor da área do D.E.C. de uma viga biapoiada é igual ao valor da resultante de todas as cargas-momento aplicadas na viga (o sinal positivo correspondendo ao sentido anti-horário).