Telescópios: Introdução e Funcionamento

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TELESCÓPIOS
Roberto Vieira Martins e Marcelo Assafin
ON/MCT – OV/UFRJ
					 
Apresentação.............................................................................................................3
1. Introdução..............................................................................................................4
 Caixa 1.1 – O que se observa.................................................................................6
 Caixa de Exercícios 1.............................................................................................7
 Respostas e Comentários Exercícios 1..................................................................8
2. Esquema de um telescópio.....................................................................................9
 2.1. Objetiva e abertura.........................................................................................10
 2.2. Plano focal e distância focal...........................................................................15
 Caixa 2.1 – Refração e reflexão da luz.................................... .............................18
 Caixa 2.2 – O olho humano...................................................................................19
 Caixa 2.3 – Detetores.............................................................................................20
 Caixa 2.4 – Esquemas diferentes de telescópios....................................................21
 Caixa 2.5 – Magnitude...........................................................................................22
 Caixa 2.6 – Variação do diâmetro da objetiva.......................................................23
 Caixa 2.7 – Direção dos astros – a esfera celeste...................................................24
 Caixa 2.8 – Resolução angular...............................................................................25
 Caixa 2.9 – Ocular..................................................................................................26
 Caixa de Exercícios 2.1..........................................................................................27
 Caixa de Exercícios 2.2..........................................................................................28
 Caixa de Exercícios 2.3..........................................................................................29
3. Imagem de difração................................................................................................30
 Caixa 3.1 – Difração...............................................................................................33 
 Caixa 3.2 – Cor e comprimento de onda................................................................34
 Caixa de Exercícios 3.............................................................................................35
4. Turbulência da atmosfera.......................................................................................36
 Caixa 4.1 – Seeing..................................................................................................38
 Caixa 4.2 – Ótica adaptativa...................................................................................39
5. Tipos de telescópio..................................................................................................40
 Caixa 5.1 – Ótica ativa............................................................................................42
6. Acompanhamento....................................................................................................43 
7. Limite de observação...............................................................................................44
 Caixa 7.1 – Limite de observação............................................................................45
8. Apontamento............................................................................................................46								
Apêndice 1- Recordação de tópicos de matemática.....................................................47
 A1.1 - Propriedades elementares de logaritmo.........................................................47
 A1.2 - Propriedades trigonométricas elementares de triângulos...............................47 
 A1.3 – ângulo sólido.................................................................................................48
Apêndice 2 - Imagens de telescópios antigos e novos..................................................51
Apêndice 3 – O enigma da escuridão ou o paradoxo de Olbers...................................62
Referências....................................................................................................................65
 
									Rio – Agosto 2008
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APRESENTAÇÃO
Neste texto se abrange o conteúdo de 6 horas de aula do tema telescópios da disciplina “Técnicas Instrumentais” ministrada no Curso de Astronomia do Observatório do Valongo da UFRJ. 
São apresentadas as idéias básicas sobre telescópios, acessíveis de estudantes do segundo grau a estudantes em graduação de cursos universitários nas áreas de física, matemática, astronomia ou cursos correlatos.
O objetivo é apresentar os conceitos básicos sobre telescópios, seu funcionamento e responder a algumas questões corriqueiras sobre o tema. Para tanto alguns conceitos básicos de astronomia são introduzidos sucintamente.
O texto está estruturado de forma .que as idéias centrais estão no texto principal que é subdivido em 8 seções, algumas delas com subseções. No final de cada seção são inseridos quadros contendo aprofundamento em certos tópicos ou conceitos, resumos de conceitos de matemática e física usados no texto principal, informações interessantes e exercícios. Estes textos adicionais são, em geral, importantes para a compreensão completa e mais aprofundada do texto principal.
 
Os exercícios são apresentados, quando necessário, com sugestões e roteiros para serem solucionados. Eles devem ser examinados, analisados cuidadosamente e resolvidos pelos estudantes interessados em bem assimilar o conteúdo do curso. A dificuldade destes exercícios é variável e muitos deles apresentam resultados interessantes e muitas vezes inesperados. No final de cada seção aparece uma caixa com resultados e comentários sobre exercícios. Nestes textos pretende-se ajudar ao estudante que tentou resolver os problemas e dar algumas informações complementares para melhorar a sua compreensão dos exercícios.
Algumas das figuras têm textos em inglês. Estas, como outras, foram tiradas de textos na Internet e em textos de astronomia apresentados na forma de CD. Muitas aparecem em vários textos diferentes, o que dificulta ou impossibilita a definição clara de sua origem. Por isso os créditos das figuras foram omitidos. �
1. INTRODUÇÃO
O método científico pode ser esquematizado pela realização de três etapas, em relação aos fenômenos a serem tratados:
- a observação cuidadosa e sistemática dos fenômenos; 
- a experimentação que procura reproduzir os fenômenos em condições controladas; 
- a sistematização que visa compreender, nos fenômenos, suas características essenciais e as relações entre estas características e o conhecimento aceito. 
No entanto, a Astronomia possui a peculiaridade de ser uma ciência essencialmente observacional. Isto porque ela estuda fenômenos que envolvem grandes magnitudes e, por isso, não podem, em geral, ser reproduzidos em laboratório. Então, a Astronomia utiliza o universo como laboratório pois nele uma grande variedades fenômenos ocorre simultaneamente. Devido ao imenso número de objetos que podem ser observados, um determinado fenômeno, como por exemplo a formação das estrelas, pode ser visto simultaneamente em suas várias fasese em condições das mais diversas. Para isto, basta observamos várias estrelas diferentes. Desta forma, cabe ao astrônomo saber selecionar bem os objetos a serem observados no estudo de cada fenômeno e utilizar meios para que possa tirar, destas observações, as informações quantitativas necessárias. 
A observação em astronomia é feita essencialmente a partir das informações que chegam a nós através da luz, mais geralmente da radiação eletromagnética, emitida pelos astros. De acordo com os conhecimentos atuais esta radiação chega através de elementos descontínuos de radiação que são os fótons. Entre estas informações, podemos destacar: 
As imagens bidimensionais, que permitem visualizar o fenômeno num determinado instante. Este tipo de informação é usado pela grande maioria dos campos da astronomia. Trata-se da observação de imagens.
O fluxo de fótons coletado, que permite determinar a quantidade de energia produzida, as cores, a variação de atividade e as estruturas de objetos extensos. As técnicas associadas constituem a Fotometria.
O espectro dos objetos, que permite determinar a emissão de fótons, nos vários comprimentos de onda, o que está relacionado a composição e a velocidades na direção de visada. Trata-se da Espectroscopia.
As posições dos objetos, que permitem identificar os objetos assim como estudar os seus movimentos e definir sistemas de referência, entre outras coisas, adequados para o estudo destes movimentos. O conjunto de técnicas que lidam com este tipo de informações é chamado de Astrometria.
Tem-se portanto, que o equipamento essencial para a observação astronômica é o coletor de fótons. Este coletor é o telescópio. Ele coleta os fótons provenientes do objeto celeste observado e os encaminha a dispositivos que os selecionam e os dirigem ao detetor que, por sua vez os transforma em informações quantitativas, para serem tratadas posteriormente.
 
As seleções de fótons são feitas por dispositivos como: os filtros de cor, que selecionam apenas fótons em certas faixas de comprimentos de onda bem determinados ou seja determinadas cores; os espectrógrafos, que decompõem a luz de acordo com o comprimento de onda; outros, como por exemplo os polarímetros que selecionam os fótons com uma dada polarização, etc. 
Quanto aos detetores, a astronomia ótica moderna tem se concentrado quase que exclusivamente nos CCD (charge-coupled device) que são matrizes bidimencionais de elementos fotosensíveis que gerando cargas livres, permitem fazer a contagem do número de fótons incidentes em cada elemento da matriz, tornando assim possível a transformação das imagens em matrizes numéricas. Hoje, estas matrizes são, em geral, quadrados com 1000 a 2000 elementos de lado, sendo cada elemento, um quadrado com poucas dezenas de micrômetros de lado (entre 10 e 30). Os CCDs são usados atualmente de maneira corriqueira em máquinas fotográficas digitais. A diferença essencial entre os CCDs comerciais e os usados pela astronomia está na qualidade destas matrizes e da eletrônica associada. 
Vale ainda lembrar que, devido à limitação de tamanho dos CCDs (alguns poucos centímetros) utiliza-se, ainda hoje, as placas fotográficas. Elas são placas de vidro cobertas com emulsão de elementos químicos foto-sensíveis. Este tipo de detetor só é usado atualmente em alguns poucos instrumentos como as câmaras, Schmidt e Astrográficas, que servem para fazer levantamento de grandes áreas do céu. As placas fotográficas estão caindo rapidamente em desuso.
O conhecimento do telescópio a ser utilizado é a primeira informação necessária para que o observador possa definir:
- o programa de observação;
- a rotina de observação;
- parte dos parâmetros da redução.
A seguir descreveremos o telescópio e analisaremos as implicações de cada uma de suas características para a definição de um programa de observação. 
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2. ESQUEMA DE UM TELESCÓPIO
Um telescópio é essencialmente um coletor de fótons. Trata-se de um instrumento ótico, cujo funcionamento utiliza os princípios da refração e reflexão da luz (veja Caixa 2.1). O exemplo mais banal de co0letor de fótons, mas que certamente não o mais simples, é o olho humano (ver Caixa 2.2). 
 
O esquema básico de um telescópio é dado na Figura 1. Nela podemos identificar dois dos principais componentes de um telescópio: a objetiva e o plano focal.
Como os objetos celestes estão muito distantes, os raios de luz provenientes de uma estrela chegam a objetiva como um feixe paralelo. A objetiva, através de dispositivos óticos que podem ser lentes ou espelhos curvos, desvia este feixe de luz paralelo que incide sobre ela, e o plano focal é onde o feixe incidente na objetiva é concentrado. No plano focal é colocado o sistema que contém o detetor. 
A estes dois componentes estão associados dois dos principais parâmetro de um telescópio. São eles o diâmetro da objetiva (D) e a distância focal (F).
 
 
Deve-se observar que nos telescópios refletores, isto é, munidos de espelhos na objetiva, diferentemente do diagrama acima, a luz incidente e o detetor se encontram do mesmo lado da objetiva que, neste caso, tem como elemento mais importante, o espelho principal do refletor. Portanto, a Figura 1 nos dá apenas um esquema básico, mas bastante útil, do funcionamento de um telescópio (ver Caixa 2.4). 
2.1 OBJETIVA E ABERTURA
A objetiva é composta de um conjunto de lentes que recebem e, por refração, desviam os raios de luz que as atravessam, dirigindo estes raios para uma região bem determinada, o plano focal. Podem também ser constituídas por um conjunto de espelhos curvos que fazem, por reflexão, o mesmo papel das lentes. Os telescópios cujas objetivas são formadas por lentes são denominados refratores ou lunetas. Os que tem a objetiva constituída por espelhos são os refletores, ou mantêm a denominação de telescópios.
A área da objetiva, que recebe a luz, é a área do coletor de luz e é esta área que define a capacidade do telescópio de coletar fótons. Esta capacidade é o fator essencial para se determinar a energia que chega ao detetor e portanto a sua capacidade de registrar a informação que pode ser obtida do astro observado. A abertura de um telescópio é o diâmetro (D) da objetiva. Como elas são sempre circulares, a relação entre a abertura e a área coletora (A) é dada simplesmente pela área do círculo que delimita a objetiva, ou seja,
										 (1)
No caso dos refletores, a área realmente aproveitada é um pouco menor do que a dada pelo diâmetro da objetiva, pois existem dispositivos que obstruem parte da luz que chega à objetiva. Estes dispositivos são os espelhos secundários Eles obstruem aproximadamente 10% da área total da objetiva.
Na Tabela 1, apresentamos uma lista de telescópios e usando a relação (1), relacionamos as suas aberturas com a área coletora. Para os refletores, não foi subtraída a área obstruída.
Tabela 1 – Lista de alguns telescópios com abertura e área coletora cor-
 respondente. Os telescópios citados existem no Brasil ou estão ligados 
a projetos nos quais o Brasil tem participação.
	COLETOR
	ABERTURA
(D) (cm)
	ÁREA
(A=(.D2/4)(cm2)
	Olho*
	0,6
	0.28
	Luneta (OV)
	32
	804
	Luneta (ON)
	46
	1 662
	Telescópio (LNA)
	60
	2 827
	Telescópio (LNA)
	160
	20 106
	Telescópio SOAR
	400
	125 664
	Telescópio GEMINI
	800
	502 655
*Este é o diâmetro médio da pupila do olho humano adaptado no escuro.
A abertura é que determina o número de fótons recebidos. Isto é verdade para os refletores, quando a luz não tem de atravessar nenhuma lente. Caso contrário, a absorção dos fótons pelas lentes é tanto maior quanto maior for a abertura pois, por razões mecânicas, aslentes maiores devem ser mais grossas e portanto absorvem mais luz.
Uma pergunta que surge naturalmente é: O que podemos observar com telescópios de aberturas diferentes? Observe que o principal passo para responder a uma questão é colocá-la de forma clara e precisa. No caso da pergunta aqui colocada, deve-se, em primeiro lugar, notar que o que se observa é o brilho das estrelas. Este brilho é definido de forma precisa por uma grandeza chamada magnitude cuja definição aparece logo abaixo (ver também Caixa 2.5). Em segundo lugar vale lembrar que o que se consegue observar depende do detetor usado. Portanto deve-se ter bem claro o que limita a capacidade de “enxergar” de um detetor. Esta limitação é dada pelo número de fótons que o detetor é capaz de perceber por unidade de tempo. Agora a pergunta poder ser colocada de uma forma mais precisa: Qual é a relação entre a magnitude de estrelas observáveis, para dois telescópios de abertura diferentes, supondo que o número de fótons recebidos pelos respectivos detetores, seja o mesmo. No caso do olho ser o detetor, isto equivale a ver objetos diferentes, em cada telescópio, com imagens que tenham mesmo fluxo de fótons.
De fato, a magnitude (m) de uma estrela é, por definição, dada por
									 (2)
onde F é o fluxo de radiação da estrela e m0 é uma constante que define a origem da escala de magnitude (ver Caixa 2.5). Os gráficos da Figuras 2 mostram a relação entre fluxo e magnitude dada pela equação (2).
Como o número de fótons coletados (N), num intervalo de tempo dado, é proporcional ao fluxo multiplicado pela área do coletor, e portanto N/(FD2)=((/4)(constante, temos, para um telescópio de abertura D, que 
 										 (3)
onde k é um fator de escala, ou seja, uma constante que define a unidade de fluxo para N=1 e D=1. Supondo um telescópio de abertura D recebendo N1 fótons de uma estrela 1 de magnitude M e um segundo telescópio de abertura d recebendo N2 fótons de uma estrela 2 de magnitude m, podemos escrever a partir de (2) e (3) que:
								 (4).
Suponha agora que os dois telescópios recebem o mesmo número de fótons, isto é, N1 = N2. Deve-se ter, fazendo N1=N2 em (4), subtraindo as duas expressões de (4) e usando propriedades simples da função logarítmica (ver Apêndice 1), que: 
							 (5)
que é a relação entre as magnitudes observáveis, com o mesmo fluxo, nos dois telescópios. Nota-se que um aumento de 10 vezes no diâmetro da objetiva, corresponde ao aumento de cinco magnitudes para que o detetor receba a mesma energia. É claro que, nesta avaliação, nenhum efeito de absorção pelas partes óticas do telescópio está sendo considerada (Caixa 2.6).
Tem-se que, a olho nu, as estrelas mais fracas que se consegue enxergar são as de magnitude 6. Como o diâmetro do olho é de 0,6 cm, tem-se, aplicando (5), que com um pequeno telescópio de 6 cm de diâmetro consegue-se enxergar estrelas com magnitude 11 e com um de 60 cm estrelas de magnitude 16.
Calculando D em função de M e m na relação (5) tem-se que, dando uma variação de magnitude, a relação entre os diâmetros dos telescópios, para que os detetores recebam o mesmo número de fótons, é dada por
.						 (6)
Pode-se concluir então de (6) que, para se ganhar uma magnitude, para a mesma quantidade de energia recebida pelo detetor, deve-se ter o diâmetro aumentado de um fator igual a 1,6. Em outra palavras, mantendo as mesmas condições de detecção (mesmo número de fótons), se observa-se objetos com magnitude m com o telescópio (a), cuja abertura é d, para observar objetos com magnitude m+1, deve-se usar um telescópio (b) de abertura igual a 1,6 d.
É importante observar que, a luz que chega de um astro, tem fótons de vários comprimentos de onda (ou cores). Assim quando se fala de fluxo de luz, ou número de fótons, deve-se especificar qual é a faixa de comprimento de onda que está sendo considerada. Logo, a magnitude é dada por faixas do espectro. Estas faixas são definidas em função do telescópio, dos filtros usados, da atmosfera, do detetor, etc. No caso do olho humano, a faixa de cores, de maior sensibilidade, é definida como V e está centrada no amarelo. Como, no passado, as observações eram feitas visualmente, a maioria dos grandes refratores existentes, todos construídos há mais tempo, tem sua banda de passagem centrada em V. Por isso, nos casos em que a cor não é especificada, subtende-se esta banda de cor. No entanto, deve-se tomar um certo cuidado pois, os detetores CCD são em sua maioria sensíveis no vermelho (na chamada banda R). 
Lembrando que o olho humano pode detectar estrelas com magnitude até 6, observando a Tabela 1, podemos constatar que, para se enxergar uma estrela de magnitude 16, necessita-se de um telescópio de abertura da ordem de 60 cm (=1,610x0,6) como foi visto também através da relação (5). Para uma estrela de magnitude 20 deve-se ter uma abertura de 432 cm (=1,614x0,6). Isto mostra que o olho é um detetor astronômica bem limitado (ver Figura 3), não só pelo fato de não armazenar nem quantificar as imagens. 
Uma forma de aumentar o número de fótons coletados é aumentar o tempo de exposição. Isto é possível porque os detetores, diferentemente do olho, que acumula fótons apenas para intervalos de tempo de menos de 1/10 de segundo, podem acumular por muito mais tempo. Na verdade eles somam os efeitos da chegada de cada fóton de forma que apresentam, como resultado, grandezas relacionadas ao número de fótons recebidos durante todo o tempo de exposição, que pode ser de dezenas de minutos e com técnicas especiais de até um grande número de horas.. 
O cálculo, entre o aumento do tempo de exposição e o número correspondente de magnitudes ganhas, é bastante simples. De fato, se o tempo de exposição (t é multiplicado por kt, isto é passa a ser kt.(t, o número de fótons que chega nesse novo intervalo de tempo fica multiplicado por kt. Assim, usando as relações (4) teremos N2=ktN1. Então o aumento de magnitude observável (m, quando o aumento do tempo de exposição for de um fator kt é:
 
 (7).
Assim para se ganhar uma magnitude deve-se aumentar o tempo de exposição de um fator igual a 2,5 ((100,4). 
Deve-se observar que, o tempo de exposição não pode ser aumentado indefinidamente. No caso dos CCDs, isto ocorre porque os raios cósmicos, que durante o tempo de exposição atingem o detetor em grande quantidade, fazem com que apareçam inúmeros píxels saturados sendo este número tanto maior quanto maior o tempo de exposição. O que ocorre é que, sendo a energia de cada raio cósmico muito grande, apenas um deles é suficiente para fazer com que o píxel que atinge registre esta grande energia chegando ao nível de saturação. Este processo faz que uns poucos píxels vizinhos também apresentem contagens elevadas. Quando o número de raios cósmicos registrados é muito grande, as informações provenientes dos objetos que estão sendo observados podem ser seriamente prejudicadas. O número de raios cósmicos que atinge o detetor, depende da altitude. Para uma altitude de 2.300 metros, tem-se uma taxa de 2,2 raios cósmicos por centímetro quadrado por minuto. Por isso o tempo de exposição máximo aceitável é da ordem de uma dezena de minutos. Quando se deseja tempos de exposição superiores, usa-se o truque de somar inúmeras exposições mais curtas dos mesmos objetos. Para isso, elimina-se, em cada imagem, os píxels que estão saturados por raios cósmicos e soma-se então as imagens assim tratadas 
2.2 PLANO FOCAL E DISTÂNCIA FOCAL
O outro parâmetro essencial de um telescópio é a sua distância focal. Através dele sabemos a posição relativa de dois objetos, observados simultaneamente, no plano focal. 
Como os raios luminosos chegam a objetiva como feixes paralelos, o que observamos dos astros são apenas as suas direções, ou seja, a sua posição angular em relação a um sistema de referência, na esfera celeste (Caixa2.7). Estas direções são representadas, no plano focal, por distâncias lineares, como mostra a Figura 4.
Para obter a relação entre as distâncias angulares e lineares, considere-se dois feixes de raios paralelos provenientes de dois astros situados em duas direções diferentes que fazem entre si um ângulo (. Eles são desviados, pelo sistema ótico da objetiva, para duas posições diferentes do plano focal. Na Figura 4, pode-se verificar, usando propriedades elementares do triângulo retângulo (ver Apêndice 1), que a distância d destes dois astros no plano focal é dada por
	(( em radianos)						 (8).
A segunda igualdade, decorre do fato de que para os ângulos são muito pequenos (((1o), a tangente de um ângulo é aproximadamente ao valor do ângulo em radianos (ver Apêndice). Devido a esta aproximação deve-se tomar (, nesta segunda igualdade, em radianos. Esta expressão mostra que a distância focal F é o fator de proporcionalidade que transforma a diferença de direção entre dois astros em distâncias lineares no plano focal. A unidade de distância no plano focal é, evidentemente, a mesma da distância focal.
A resolução de um telescópio é dada pela escala de placa (e.p.) que é o ângulo correspondente a unidade de distância no plano focal. Ela é definida em segundos de arco por milímetro (“/mm) e é relacionada ao plano focal pela relação
 (9).
Onde 206 265” é o valor de 1 radiano em segundos de arco (Caixa 2.8).
Como exemplo, considere o telescópio de 1.6 metros do Laboratório Nacional de Astrofísica (LNA), tem-se F = 16 m ( d(1”) = 0.08 mm ( e.p. ( 13”/mm. 
Cabe observar que não tem sentido falar em aumento de um telescópio, a não ser quando se coloca no plano focal uma ocular (na realidade ela é colocada atrás do plano focal). A ocular funciona como um telescópio ao inverso, ou seja, transforma os feixes de raios divergentes que estão atrás do plano focal em feixes paralelos. Ao entrarem no olho, focalizado para o infinito, estes raios de luz voltam a mostrar o ângulo ente dois astros, mas aumentado pelo conjunto formado pelo telescópio e ocular. Sendo ( o ângulo entre os feixes paralelos de saída da ocular, visto pelo observador, entre dois astros que distam de um ângulo (, tem-se
 										(10)
onde F e f são respectivamente as distâncias focais do telescópio e da ocular (Caixa 2.9).
A razão 
 é o aumento do sistema telescópio/ocular. Pode-se observar então que, para um dado telescópio, quanto menor f, maior será o aumento.
No entanto existem limitações para os valores aceitáveis de f. Para o valor mínimo, ela é ditada pelo poder de resolução do olho humano que é no máximo igual a 1’, pela área da pupila que é de 6mm, pela ótica do sistema e pela figura de difração. Mostra-se que 
. O valor máximo de f é ditado por restrições devido a ótica do sistema telescópio e ocular juntamente com a área da pupila. Tem-se 
. Observe que o aumento máximo e mínimo só dependem de f e D.
Para observações com detetores, não se usa oculares e portanto, o conceito de aumento não tem importância. Neste caso interessa a resolução do telescópio e o tamanho do elemento mínimo do detetor (píxel) que soma as informações dos fótons que nele chegam. Cada píxel constitui-se num elemento independente com informações da imagem. Isto é, dentro de um mesmo píxel não se distinguem informações de pontos diferentes da imagem. Uma vez que se tem uma matriz com vários píxels, reconstroi-se a imagem do tamanho que for conveniente. No entanto, uma ampliação excessiva fará com que os píxels apareçam sem adicionar nenhuma nova informação da imagem. Nos detetores CCD os píxels são quadrados cujos lados variam de 9(m a 30(m dependendo do tipo de CCD. Nas placas fotográficas, dependendo das características das emulsões, os píxels, que são dados pelo tamanho dos cristais de prata foto-sensíveis e variam de uns poucos micrômetros a umas poucas dezenas de micrômetros. No caso do olho, o píxel é dado, essencialmente, pelo tamanho da parte receptora das células da retina que é de poucos micrômetros na sua parte central.
De qualquer forma, o problema de resolução de uma imagem é bastante complexo e depende de vários fatores, como veremos adiante. Podemos adiantar que alguns destes fatores são: a figura de difração da objetiva decorrente da natureza ondulatória da luz, as imperfeições da ótica do telescópio e sua variação com a posição do telescópio e com o tempo, a turbulência da atmosfera assim como os seus efeitos seletivos. 
A região do plano focal, onde a imagem mantém boa qualidade ótica, é o campo do telescópio. As unidades do campo são dadas, em geral, em unidades angulares. Em geral, estes campos tem menos de 1o de lado e nos telescópios maiores poucas dezenas de minutos.
Colocar o detetor no plano focal é essencial para que todos os raios paralelos provenientes de uma fonte de luz venham a incidir no mesmo ponto do detetor, ou seja é essencial para que a imagem seja focalizada. Esta operação consiste na focalização do telescópio. Nas Figuras 1 e 2, vê-se que se o detetor está fora do plano focal a imagem dos feixes paralelos, ou seja das estrelas, ficam maiores do que quando ele está no plano focal. Na prática, a focalização é feita de forma que a imagem de uma estrela seja a menor possível. Em outras palavras, mede-se o tamanho da imagem da estrela para várias posições consecutivas do detetor e escolhe-se a menor imagem. A estrela escolhida deve satisfazer a certos requisitos como não estar saturada (isto é, a contagem de fótons em qualquer dos píxels não deve ter atingido a contagem máxima do detetor), nem ser muito fraca.
Existem outros processos mais precisos de se focalizar um telescópio, no entanto, com detetores como CCD, o método descrito acima é o mais usado, devido a sua simplicidade e a rapidez com que se consegue a focalização.
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3. IMAGEM DE DIFRAÇÃO
Considerando apenas a ótica geométrica , como na seção anterior, tem-se que a imagem formada a partir de um feixe de raios de luz paralelos, deveria ser pontual, ou seja ocupar um único píxel do detetor. No entanto, a luz tem características ondulatórias, que fazem com que a luz que atinge o plano focal, proveniente de um objeto distante, se espalhe (Caixa 3.1).
De fato, pode-se observar no diagrama do telescópio (Figura 1) que os raios de luz que atravessam a objetiva, não percorrem o mesmo caminho entre ela e o plano focal (Para que isto fique mais claro, basta considerar dois raios que incidem em dois pontos quaisquer não simétricos da objetiva). Portanto, as ondas de luz, correspondentes a raios que percorrem caminhos diferentes, chegam no plano focal com fases diferentes e portanto interferem entre si, causando para os tipos de interferências diferentes, efeitos construtivos ou destrutivos. O resultado final é uma figura de interferência. Isto faz com que a imagem de cada estrela não seja pontual, mas uma imagem de difração da objetiva do telescópio. O cálculo desta imagem é relativamente simples e é feito usando-se resultados básicos de ótica ondulatória. Aqui, apresentaremos apenas o resultado final, sem nos preocuparmos com o seu cálculo. Este perfil é mostrado na Figura 5.
Na figura, o pico central contém 83,8% do total da energia e, os tamanhos dos círculos de difração, em grandezas angulares, dependem do comprimento de onda ( da luz da estrela e do diâmetro D da objetiva do telescópio. Portanto, mesmo em condições ideais, a imagem de uma estrela não é pontual, mas sim uma figura de difração. O raio do pico central é o poder de resolução do telescópio e é dado, em segundos de arco, pela relação: 
.								 (11)
Observe que o poder de resolução é tanto melhor quanto menor o seu valor. Ele é portanto melhor para maiores aberturas. Observe ainda que o poder de resolução é diferente da resolução do telescópio definido na seção anterior. O primeiro dizrespeito ao tamanho de cada imagem enquanto o segundo à separação de imagens distintas.
Para calcularmos o poder de resolução em unidades de distância, basta tomarmos o seu valor em radianos e multiplicar pela distância focal. Então:
.									 (12)
Para (= 0,55 (m (5 500 (), comprimento de onda médio da luz na faixa ótica, tem-se
a(”) = 14/D (cm); a((m) = 0,67 m							 (13)
onde m = F/D é a focal do telescópio. A nomenclatura usual para focal é, por exemplo, f/10 onde 10 é o valor da focal do telescópio.
Para
D = 66 cm ( a = 0”,2 3 
					 (f/10) ( 6,7 (m
D = 160 cm ( a = 0”,09 
Observe que a contribuição da difração é constante em termos lineares, para telescópio de mesma focal. E em termos do tamanho da imagem no plano focal é menor do que o píxel dos CCDs para uma focal f/10. Obviamente, se a focal aumenta o tamanho da imagem aumenta e vice-versa. 
Por outro lado, em relação a difração, quanto maior a abertura, maior será a capacidade do telescópio de separar dois objetos próximos, pois suas imagens serão menores. No entanto, esta capacidade de separação deve ser vista com cautela pois ela se refere somente à figura de difração. Portanto ela não leva em conta o espalhamento dos fótons pela atmosfera que, apesar de ser um problema independente do telescópio e variável, é, na prática, o fator que mais restringe a possibilidade de separar duas imagens próximas..
Sendo a imagem de difração da objetiva, uma imagem real, qualquer objeto existente na frente da objetiva tem sua imagem de difração também no plano focal. Este é o caso do espelho secundário, que nos telescópios de maior porte se encontram suspensos na parte da frente do telescópio (pupila) e ali mantidos por suportes que o prendem ao tubo do telescópio. A figura de difração do espelho secundário não apresenta problemas. Ela não 
modifica essencialmente a imagem da objetiva pois é a ela similar. No entanto os suportes do espelho secundário têm as suas imagens de difração no plano focal e como, em geral, eles tem forma de cruz, as sua imagem também terá. Como esta imagem é muito fraca, ela aparece somente para os objetos brilhantes e é chamada cruz de difração. Na Figura 6 pode-se ver uma imagem de uma pequena região do céu onde aparecem as cruzes de difração para as estrelas mais brilhantes.
O fato da cruz de difração ser tão evidente, se deve aos mesmos efeitos atmosféricos que fazem com que a imagem real não seja só a de difração, mas também o seu espalhamento devido a turbulência da atmosfera. Este espalhamento será tratado na próxima seção.
Deve-se observar ainda que o caráter ondulatório da luz explica a sua cor. De fato, comprimentos de onda diferentes correspondem a cores diferentes e mesmo a denominações diferentes para a radiação. O conjunto dos vários comprimentos de onda é chamado de espectro eletromagnético (Caixa 3.2). 
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4. TURBULÊNCIA DA ATMOSFERA
As imagens das estrelas, no caso de observações na superfície da Terra, são muito diferentes das esperadas pelas previsões da ótica geométrica e ondulatória. Isto é uma decorrência da existência de uma atmosfera que deve ser atravessada pela luz dos astros antes desta luz chegar à objetiva do telescópio. O que ocorre essencialmente é que a atmosfera apresenta variações locais de temperatura, que estão associados ao seu movimento (turbulência atmosférica), apresentando pois densidades diferentes e variáveis. Ao atravessar camadas de ar de diferentes densidades, a luz é refratada de forma diferente e a direção dos raios varia. Além disso, a direção da superfície entre camadas de densidades diferentes varia, o que é outro fator importante para o desvio diferenciado dos raios de luz.. Como resultado deste efeito, os fótons provenientes de uma fonte qualquer são espalhados (veja um diagrama do que se passa na atmosfera na Figura 7).
O efeito da atmosfera dá como resultado, um aumento da imagem que é chamado de “seeing”, e é usado como um parâmetro quantitativo da qualidade da imagem (Caixa 4.1). 
 
Se a duração da observação é muito maior do que o tempo característico das pequenas perturbações atmosféricas, isto é, da ordem de uma centena de segundos. O seeing é dado pela relação:
.									 (14)
Como r0(cm) varia de 15 a 5, durante a noite, para ( = 0,55 (m, s varia entre 0”,8 e 2”,2. Mas r0 varia entre 2 e 1, durante o dia, logo s varia entre 5”,6 e 11”,3.
Um seeing menor do que 2” pode ser considerado aceitável e quando da ordem de 1” ou menor bom. Por outro lado seeings da ordem de 3” ou maiores, são considerados muito ruins.
Observe que, de (14) tem-se que o seeing decresce com o aumento do comprimento de onda. Assim, no infravermelho, onde o comprimento de onda é da ordem de 1(m, o seeing é duas vezes menor do que o existente no amarelo (0,55 (m).
Como o efeito do espalhamento da figura de difração é aleatório, a forma final da imagem é aproximadamente uma gaussiana bidimensional. Na prática, valor do seeing nesta curva é dado pela sua largura, no ponto médio da altura máxima.
Ligado à qualidade de imagem estão as características do local onde o telescópio está instalado (qualidade do sítio). Como a turbulência da atmosfera é menor nos locais altos e principalmente em forma de pico, estes locais são escolhidos para instalação dos grandes telescópios. Uma série de condições meteorológicas são levadas ainda em conta para a construção de um observatório. Um fator importante é o regime de circulação de ar nas proximidades do local onde se encontra o telescópio. Por isso a escolha do local onde será instalado um observatório deve levar em conta a topografia local assim como os regimes de vento na vizinhança do observatório. A procura de um local com condições meteorológicas adequadas para a instalação de um observatório é chamada escolha de sítio.
Um outro fator importante para o seeing é a turbulência, próxima ao telescópio, devida a diferença de temperatura entre o solo e o ar ou ainda, entre ar dentro e fora da cúpula. Portanto, uma medida importante para minimizar o seeing é a criação de condições para que as temperaturas interna e externa sejam iguais. 
Para melhorar a qualidade de imagem de um telescópio, começa-se hoje a usar a ótica adaptativa (Caixa 4.2). Ela consiste num sistema mecânico que modifica, a forma de um dos espelhos que refletem a luz que chega ao detetor, a cada instante da observação, para compensar a distorção da frente de onda, feita pela atmosfera. Estes sistemas, no entanto, são ainda muito caros e encontrados em poucos dos grandes telescópios.
5. TIPOS DE TELESCÓPIO
Visando uma melhora constante da qualidade de imagem e tirando partido dos avanços da tecnologia, uma série de tipos de telescópios refletores foram desenvolvidos através dos tempos (veja Caixa 2.4). Podemos citar:
o telescópio de Newton (século 17) que tinha espelho esférico e secundário plano;
o telescópio de Cassegrain (século 17) que tinha dois espelhos convergentes, um maior, o primário e um menor, o secundário, que joga a imagem, através de um furo no primário, no plano focal, atrás deste;
o telescópio de Cassegrain com modificação de Ritchey-Chrétien (século 20) que introduziu correções na forma dos espelhos, para remover a coma;
o telescópio de Coudé (século 20) que introduziu um foco longo, no qual o detetor fica fixo e que é muito útil para a espectroscopia de alta resolução; 
o telescópio de Schmidt que tem uma lente especial além do espelho que permite que se tenha qualidade de imagem para áreas grandes do céu (vários graus);
os telescópios de última geração que apresentam, cada vez mais, maiores inovações sendo impossível classificá-los de uma forma simplificada.
Em alguns telescópios podemos encontrar mais de um tipo de foco, correspondentes a telescópios diferentes listados acima.
Uma dasinovações, que começa a parecer nos grandes telescópios atuais, é a ótica ativa . Ela consiste num mecanismo que corrige as deformações, do espelho principal, resultantes das tensões causadas pelas suas posições que dependem da direção observada (Caixa. 5.1) 
Nas Figuras 8 e 9 apresentamos os esquemas de dois tipos de telescópio.
Os grandes telescópios atuais apresentam o foco Nashmyth. Eles tem montagem auto-azimutal (veja próxima seção) e o foco é colocado na direção do eixo horizontal do instrumento. Esta configuração é bastante conveniente pois permite que a instrumentação pesada não fique na parte móvel do telescópio, o que simplifica bastante o seu projeto mecânico e que a cúpula onde fica o telescópio seja bem menor uma vez que não é necessário reservar lugar atrás do telescópio para a instrumentação. 
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6. ACOMPANHAMENTO
Como já foi visto, o número de fótons coletados por um telescópio pode ser aumentado com o aumento do tempo de exposição. Desta forma, para se obter número de fótons suficientes para obter informação de objetos fracos, deve-se aumentar adequadamente o tempo de exposição. Portanto, para um dado telescópio, o tempo de exposição é a principal forma de observar objetos fracos.
No entanto, o aumento de tempo de exposição implica na necessidade de várias implementações no telescópio. Entre elas podemos destacar: o sistema de acompanhamento, para compensar o movimento diurno; o movimento diferencial, para acompanhar os movimentos de objetos móveis como planetas, asteróide e cometas; a guiagem que permite manter a imagem dos objetos sempre na mesma posição do plano focal uma vez que, devido a defeitos mecânicos do telescópio e a variações de longo período da atmosfera, estas posições tendem a variar.
A mais importante destas implementações é o uso de montagens especiais. Elas devem sustentar os telescópios de forma que o movimento diurno (movimento das estrelas no céu noturno devido a rotação da Terra) possa ser corrigido pela rotação do telescópio em torno de um único eixo. Este é o caso das montagens equatoriais (ver Figura 8). Nestas montagens, a direção do eixo de rotação em torno do qual o telescópio gira para compensar a rotação da Terra tem a direção do eixo polar. O outro eixo é perpendicular a ele. Atualmente, no entanto, com a velocidade de processamento dos computadores, utiliza-se montagens bem simples e baratas (montagem alto-azimutal) e corrige-se o movimento diurno calculando a cada instante o movimento a ser feito pelo telescópio em torno de dois eixos.
Como já foi comentado anteriormente, o aumento do tempo de exposição não é no entanto ilimitado. Além dos raios cósmicos, outros fatores limitantes são: a saturação de objetos brilhantes encobrindo os próximos, mais fracos; e o aumento do ruído devido ao brilho do céu (brilho do fundo de céu) que por sua vez é devido a Lua associada a condições atmosféricas como umidade (névoa), poeira em suspensão (névoa seca) e nuvens altas que espalham a luz.
 
Associado ainda ao tempo de exposição, considerando o brilho do fundo de céu, temos a necessidade do local de instalação de um observatório estar longe das regiões urbanas e iluminadas. Como no caso da luz da Lua, a luz das cidades se difunde devido às condições atmosféricas. Portanto os observatórios devem estar distantes das cidades e locais com muita iluminação. Esta qualidade do sítio do observatório é um dos fatores essenciais e mais difíceis de se conseguir atualmente.
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7. LIMITES DE OBSERVAÇÃO
Os astros têm direções aproximadamente fixas no céu e portanto, não podem todos ser observados a todo o instante e de qualquer lugar sobre a Terra. Em particular a latitude do telescópio (() determina a faixa de declinação (() visível. Para o hemisfério sul temos 
-90o ( ( ( ( - 90o e para o hemisfério norte temos ( - 90o ( ( ( 90o. Na realidade, a faixa de declinação, efetivamente possível de se observar, é menor pois, quando o astro está a uma altura do horizonte menor do que 20(, a absorção da luz pela atmosfera (extinção), a refração diferencial e a turbulência, tornam as observações de qualidade inaceitável (Caixa 7.1). 
A extinção atmosférica aparece devido a grande massa de ar que a luz dos astros a baixas alturas tem de atravessar. De fato, tem-se que se:
m0 - magnitude para um astro fora da atmosfera 
m - magnitude observada do astro
z - distância zenital do astro no instante da observação
k - constante de extinção (depende da atmosfera no instante da observação, e da cor),
então
m - m0 = k sec z.									 (15)
Para z= 0o tem-se m - m0 = k e para z= 60o, m - m0 = 2 k.
Logo consegue-se um rendimento máximo quando um astro é observado próximo ao zênite. Por outro lado, para grandes distâncias zenitais, a perda de luz pode ser muito grande.
 A refração diferencial, por sua vez, aparece pelo fato da refração dos vários comprimentos de onda ser diferente, o que faz com que a luz dos astros pareçam decompostas em várias cores. Por sua vez, a diferença de temperatura do solo e do ar dão origem a turbulências importantes próximas ao solo.
A data e hora da observação, que está relacionada ao tempo sideral no instante da observação (T.S.), determina a ascensão reta visível: T.S. - 6 horas ( ( ( T.S. ( 6 horas. Aqui vale a mesma observação em relação às baixas alturas dos astros para os valores limítrofes desta faixa. Uma faixa mais realista é menor do que T.S.( 4h 40m.
Portanto a escolha do objeto a ser observado depende da latitude do telescópio e da época do ano em que será feita a observação.
Outro fator limitante é a faixa de comprimentos de onda que se deseja observar. Tem-se que a transparência ideal da atmosfera ocorre entre 3500 ( a 6500 (. No entanto observações podem ser feitas numa faixa muito mais ampla, cobrindo desde o ultravioleta até o infravermelho, mas com perda considerável de luz na atmosfera. Um limitante importante para a faixa de cores observada está na característica do detetor, ou seja, as faixas espectrais onde ele é mais eficiente. 
8. APONTAMENTO
Na maioria das vezes é difícil identificar o objeto que desejamos observar. Para identificar um astro, para uma observação com o telescópio, necessita-se das coordenadas ((,() do objeto que é obtida “calibrando” o telescópio (calagem do telescópio). Isto é feito apontando-o para a direção de uma estrela conhecida no sistema de referência da data, que é dada a partir de catálogos. Para tanto são usados o sistema de referência celeste baseado na rotação da Terra e na órbita do Sol que é o sistema de coordenadas esféricas cujos ângulos são a ascensão reta (() e a declinação (().
Outra etapa importante para identificação do astro é a orientação da imagem vista através do detetor e a determinação da escala da imagem. Isto é feito conhecendo-se as características do telescópio e detetor.
Para uma identificação precisa do objeto a ser observado usa-se a imagem do campo do objeto. Para isso são utilizadas imagens de “surveys” do céu, como o “Digitized Sky Survey” (a Figura 6 foi extraída destas catálogo) ou outro catálogo de imagens do céu. Estas imagens são acessíveis a partir de endereços da Internet e podem ser acessadas pelos astrônomos durante a suas observações. No entanto, a preparação dos campos de identificação é feita no estágio de preparação de missão de observação. 
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APÊNDICE 1
Recordação de tópicos de matemática
A1.1 Propriedades elementares dos logaritmos
Definição
Se 10x = y, define-se o logaritmo na base 10 de y por log10 y = x ou simplesmente, 
log y = x. Assim log 1 = 0, log 10 =1, log 100 = 2, log 100.000 = log 105 = 5.
Propriedades elementares
Seja 10x = y e 10w = z. Então log y = x e log z = w.
Tem-se que 10kx = yk . Logo log yk = kx = k log y. Isto é log yk = k log y.
Tem-se que se 10x+w = 10x 10w = y z.Então log yz = x+w = log y + log z. Isto é, 
log yz = log y + log z.
Tem-se que se 10x-w = 10x/10w = y/ z. Então log y/z = x-w = log y - log z. Isto é, 
log y/z = log y - log z.
A1.2. Propriedades trigonométricas elementares do triângulo
Considere o triângulo retângulo de vértices A, B e C, lados de comprimento a, b e c, e 
ângulos (, (=90o e (, representado abaixo.
Tem-se que (+(+(=180o, logo (+(=90o, e a2+c2=b2.
Tem-se ainda que a = b cos ( = b cos (90o-() = b sen (.
Analogamente tem-se c = b cos ( = b cos (90o-() = b sen (.
Então, a/c = tan ( = 1/(tan () = cot (. 
Várias unidades são usadas para definir ângulos. Entre elas cabe destacar o grau e o radiano. O radiano é definido pelo comprimento do arco de um círculo de raio unitário, correspondente ao ângulo. Vejamos qual a relação que existe entre estas duas medidas de ângulos.
Como o comprimento do perímetro de uma circunferência de raio r é 2(r para uma esfera de raio r=1, ele será 2(. Logo pela definição de ângulo em radianos, o ângulo de 360o tem 2( radianos. Então para passar de um ângulo em graus para o seu valor em radianos, basta multiplicá-lo por 2(/360o e, para passar de radianos para grau, basta multiplicá-lo por 360o/(2(). Explicitando, tem-se
 
No triângulo acima, como c=1, tem-se a = tan (. Observe que, se ( é pequeno, a é aproximadamente igual a ((rad) (isto é, ao valor de ( em radianos). Então, para ( pequeno tem-se que a = tan ( é aproximadamente igual a ( em radianos. Isto é
tan ( =((rad) para ( pequeno.
A tabela abaixo apresenta os valores de alguns ângulos em radianos e de suas tangentes. Dependendo do grau de precisão necessária, Observa-se que o valor do ângulo em radianos e sua tangente podem ser confundidos. Como em astronomia observacional, em geral, trabalha-se com ângulos menores do que 1o, pode-se confundir os valores dos ângulos em radianos com o valor de suas tangentes. 
	ângulo (grau)
	ângulo (radiano)
	tangente do ângulo
	10o
	0,17453
	0,17633
	5o
	0,08727
	0,08749
	1o
	0,01745
	0,01746
A1.3 Ângulo sólido
O radiano é a medida natural de ângulo. Ele é adimensional e definido da seguinte forma:
o ângulo ( em radianos é definido como a razão do comprimento c do arco AB dividido pelo comprimento r dos segmentos OB = OC, ou seja,
.
Assim o ângulo correspondente a toda uma circunferência de raio r é 
. Assim, se o ângulo corresponde a um arco que é uma fração k do comprimento total da circunferência, seu valor em radianos será 
.
Analogamente se define o ângulo sólido. Um ângulo sólido 
 é definido como a fração da área da esfera (S) a que o ângulo corresponde, dividida pelo quadrado do raio (R) da esfera considerada. Assim, como a área da esfera é 
, o ângulo sólido, cuja unidade (radiano ao quadrado) é chamada estereorradiano (sr), que corresponde a fração K da área da superfície esférica, 
é dado por
.
Logo o valor do ângulo sólido correspondente a toda a esfera é 
.
No caso do ângulo plano, ele pode ser expresso em graus, bastando para isso, fazer 
, onde 
 é o valor em graus de 1 radiano.
Analogamente pode-se calcular o ângulo sólido em graus quadrados. De fato, tem-se que 1 radiano ao quadrado é dado, em graus quadrados por 
. Logo 
. Assim o ângulo sólido correspondente a toda a esfera é dado em graus quadrados por
 graus quadrados.
Observe que o Sol tem aproximadamente 0o,27 de raio e portanto uma área de 
 graus quadrados. Logo o Sol ocupa uma fração da área do céu igual a 
, ou seja, seriam necessários mais de 180.000 sóis para preencher todo o céu. Portanto, se o céu fosse recoberto de sóis, receberíamos uma quantidade de radiação 180.000 vezes maior do que a do Sol.
Esta conclusão está relacionada ao “enigma da escuridão”, que será tratado no Ap~endice 3. 
APÊNDICE 2
Imagens de telescópios antigos e novos
Telescópios e outros meios de observação antigos
�
APÊNDICE 3 
O enigma da escuridão ou o paradoxo de Olbers
Por que o céu é escuro? Esta pergunta que parece a primeira vista sem sentido, torna-se difícil de responder se pensarmos o problema com um pouco mais de cuidado.
De fato, o universo não deve ter limite. De fato, se ele tivesse, o que haveria depois dele? É difícil imaginar o universo terminando abruptamente, num limite além do qual não houvesse espaço. Suponha-se que nesse espaço as estrelas se espalham indefinidamente. Como as estrelas tem raios diferente de zero, todas as vezes que se olhasse o céu, a linha de visada teria que interceptar a superfície de uma estrela. Então o céu seria totalmente coberto de estrelas e como foi visto na final do Apêndice 1 a Terra receberia radiação equivalente a mais de 180.000 sóis, ou seja seria totalmente calcinada. No entanto, estamos aqui e o céu é escuro. 
Este paradoxo apareceu claramente no século 17 e principalmente 18 e só teve uma solução aceitável no século 19. Esta solução pode ser entendida quando se calcula o número de estrelas envolvidas e sobretudo suas distâncias para que o céu fosse todo iluminado.
Cálculos relativamente simples (ver Nota abaixo), baseados num modelo simples, mostram que este fato deveria ser motivado por estrelas que estivessem distantes da Terra de até 6x1015 anos luz e o número de estrelas necessário seria de 1x1046 estrelas. Então, o céu seria iluminado se a Terra recebesse ao mesmo tempo luz deste número fantástico de estrelas, a maioria delas distantes de um número enorme de anos-luz. Como a época de formação das primeiras estrelas ocorreu a 10 bilhões de anos (1x1010), não recebemos luz de estrelas mais distantes do que 10 bilhões de anos-luz. Assim, o tamanho universo visível é menor do que o limite de fundo do qual se teria ainda que receber luz. 
 
Nota
Os cálculos, num modelo simplificado, que levam a avaliação do limite do horizonte para o céu iluminado e do correspondente número de estrelas são relativamente simples e serão reproduzidos aqui.
Suponha que o universo seja repleto de estrelas idênticas ao Sol e distribuídas uniformemente no espaço. Esta hipótese é que constitui o nosso modelo simplificado.
Seja a o raio de cada estrela e n o número de estrelas por unidade de volume. Para se fazer os cálculos, será considerado que o espaço em torno da Terra seja dividido em cascas esféricas de raio q e espessura (q. 
Tem-se então que:
- o número de estrelas em cada casca(Nc) é dado pelo volume da casca (
) multiplicado por n, ou seja, dado por 
;
- a área ocupada pelas estrelas na casca (Ac) é o produto de Nc pela área do disco da estrela (
), ou seja, 
; 
- a fração do céu ocupada pelos discos das estrelas na camada (Fc) é dada pela razão de Ac pela área da camada que é 
, ou seja, 
, isto é, independe da camada considerada;
- para considerar a contribuição de todas as camadas, a fração de céu coberto para todas as estrelas situadas até a distância r (Fr), r basta somar todas as frações Fc elas até essa distância, ou seja, 
.
Observe que se todo o céu está coberto, a fração do céu coberto Fr = 1. Então tem-se que o raio do fundo de céu (Rf) é dado por 
. Observe ainda que se V é o volume médio do espaço ocupado por cada estrela, tem-se 
 e portanto 
. 
Logo, tem-se que o raio limite para o qual deve-se considerar as estrelas para que todo o céu seja coberto por elas é
O número total de estrelas no volume definido por este raio (Nt) é dado pelo volume desta grande esfera (
) dividido pelo volume do espaço onde existe apenas uma estrela (V), ou seja, 
.
Assim, tem-se
.
Observe que tanto o raio limite do fundo e o número de estrelas visíveis para quando o céu estiver completamente coberto de estrelas, depende apenas derazões entre o volume do espaço que contém uma estrela e a área da parte visível da estrela.
Observe ainda que o mesmo raciocínio acima pode ser usado para calcular as condições que devem ser satisfeitas para diferentes valores do brilho do céu. Para tanto, basta escolher Fr com valores diferentes de 1 (mas menores). 
Supondo que haja uma estrela a cada 100 anos-luz cúbicos (num cubo de 10 anos-luz do Sol encontramos da ordem de 10 estrelas), e que o raio do Sol é de 700.000 km ou seja, 7,4x10-8 anos-luz, e portanto uma área de 1,7x10-14 anos-luz ao. Logo V=100 al3, (a2=1,7x10-14 al3. 
Tem-se então
Rf = 6x1015 anos luz
Nt = 9x1045 estrelas. 
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REFERÊNCIAS
Para elaborar este texto foram usada poucas referência bibliográficas. Foram consultados textos da Internet principalmente para se encontrar figuras adequadas.
As três principais referências usadas foram:
- Lunettes et Télescopes – André Danjon et André Couder – Éditions de la Revue d’Optique Théorique et Instrumentale – Paris – 1935.
- Astrométrie Moderne – Jean Kovalevsky – Lecture Notes in Physics – Springer-Verlag Gernany – 1990. 
- A Escuridão da Noite – Um Enigma do Universo – Edward Harrison – Jorge Zahar Editor – Rio de Janeiro – 1995. 
A última referência foi usada para a preparação do Apêndice 3.
 
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Figura 6 - Cruzes de difração que aparecem nas estrelas brilhantes para imagens feitas com um telescópio que tem um objeto suspenso (no caso, um chassi de placas) por suportes na frente da objetiva.
Figura 7 – Estrutura da atmosfera e efeitos óticos resultantes no solo. As curvas concentradas dão uma idéia dos movimento de convecção locais onde o ar circula subindo quando se aquece e depois descendo quando esfria. 
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Figura 9 – Esquema do telescópio de Schmidt, também chamado Câmara Schmidt. Foi com um telescópio deste tipo que foi obtida a imagem da Figura 6. No centro tem-se um suporte de placas. Os dispositivos de sustentação deste suporte é que são responsáveis pela cruz de difração mostrada anteriormente. À esquerda tem-se uma lente com formato especial. Ela é responsável pela correção do campo permitindo boa qualidade de imagem para campos de vários graus. Observe-se que os telescópios usuais tem boa qualidade de imagem apenas para campos pequeno, em geral menores do que 1o.
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Figura 1 – Esquema geral de um telescópio. As linhas segmentadas representam a direção dos raios luminosos. Eles vem paralelos da estrela, são concentrados pela objetiva, convergindo no plano focal, onde fica o detetor (ver Caixa 2.3). Assim, toda a luz que chega a objetiva, vinda de uma certa direção é dirigida para um único ponto no plano focal. 
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Figura 3 – Relação entre o diâmetro e magnitudes limites visíveis de acordo com a fórmula (5). Estão assinalados, no gráfico, os pontos correspondentes aos telescópios listados na Tabela 1. Observe que a escala do eixo dos diâmetros é logarítmica. O olho nu corresponde ao ponto da linha na extrema esquerda do gráfico. 
Figura 5 – Perfil da imagem de difração de uma estrela. O círculo central (disco de Airy), onde está concentrado 84% da luz, tem o seu tamanho dependente do comprimento de onda e da distância focal do telescópio. 
(
(=90o
(
c
b
a
C
B
A
b
(
((rad)
c=1
a
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Figura 8 – Esquema de um telescópio com focos Cassegrain, Newtoniano e Coudé.
Caixa 2.1
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Caixa 1.1
O Universo observado. Em baixo tem-se o telescópio espacial Hubble que é 500 mil vezes menor do que a Terra, que por sua vez é um milhão de vezes menor do que o Sistema Solar e assim por diante até as grandes estruturas de galáxias.
 
Caixa de Exercícios 1.
Distâncias em Astronomia
1.1 Considere a figura da Caixa 1.1. Estime o comprimento do lado de cada cubo, usando os fatores de escala que são dados para cada ampliação.
Sugestão: Para começar considere a informação de que o diâmetro do espelho do telescópio Hubble é 2 metros. Assim é razoável tomar o cubo inicial onde está este telescópio com 30 m de lado. Então o cubo que contém a Terra deve ter o lado da ordem de 30x500.000 m =3x10x5x105 m = 1,5x107 m. Esta ordem de grandeza é razoável pois sabemos que o raio da Terra é pouco maior do que 6.000 km e portanto o seu de diâmetro é da ordem de 12.000 km. Continuando tem-se o sistema solar com 1,5x1010 km e assim por diante. Trabalhe sempre com potências de 10.
1.2 Para grandes valores de distância usam-se unidades mais adequadas. Estas unidades e seus valores aproximados são dados a seguir.
Tem-se:
- a unidade astronômica (UA) com 1 UA = 1,5x108 km
- o ano luz (al) com 1 a.l. = 9,5x1012 km = 6,3x104 UA
- o parsec (pc) com 1pc = 3.1x1013 km = 3,3 al 
A unidade astronômica é a distância média da Terra ao Sol, o ano luz é a distância percorrida pela luz em 1 ano e o parsec é a distância que um astro está da Terra quando o ângulo em que é visto do Sol e da Terra é de 1”. Esta última definição está ligada a forma direta de medir distâncias em astronomia.
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O ano luz é usado apenas de forma ilustrativa. Ele não é muito diferente do parsec.
a- Escreva as ordens de grandezas dos lados dos cubos, da figura da Caixa 1.1, na unidade que lhe parece mais conveniente. 
b- Considerando a unidade: anos luz, escreva e pense no tempo que a luz demora para atravessar cada um destes retângulos.
c- Quais as distâncias astronômicas que se consegue calcular quando se tem precisão para medir ângulos de 1”, 0”,1, 0”,01 e 0”,001? 
Sugestão: Faça uma figura, mostre que as distâncias estão relacionadas à tangente do ângulo e leve em consideração que, para ângulos muito pequenos, o valor da tangente é aproximadamente proporcional ao valor do ângulo considerado.
1.3 A partir dos números anteriores pense um pouco sobre as distâncias envolvidas na astronomia. Você já se perguntou como estas distâncias são medidas?
 
Respostas e comentários dos Exercícios 1.
O lado de cada cubo é dado por:
- Terra: 30 m x5x105 = 1,5x107 m = 1,5x104 km. (O raio equatorial médio da Terra é de 6.378,12 km.)
- Sistema Solar: 1,5x104 km x106 = 1,5x1010 km = 102 UA. (A órbita de Plutão chega a se afastar do Sol até 49,3 UA).
- Vizinhança estelar local: 1,5x1010 km x 104 =1,5x1014 km = 15 a.l. = 5 pc. 
- A Galáxia: 1,5x1014 km x 1,5x104 = 2,25x1018 km = 2,25x105 al = 7,5x104 pc = 75 kpc. (Este valor é mais de duas vezes maior do que o tamanho usualmente admitido para a Galáxia que é de 100.000 al ou 30.000 pc. O sol se encontra a 30.000 al do centro da Galáxia) 
- Grupo local de galáxias: 7,5x104 pc x 20 = 1,5x106 pc =1,5 Mpc. 
- Universo em grande escala: 1,5x106 pc x 3x102 =450 Mpc. (Inclui uma parte do universo onde as estruturas devido à distribuição de galáxias podem ser bem identificadas.) 
As medidas diretas de ângulos são feitas através de leitura em círculos graduados. Então se consideramos um círculo com 1 metro de raio, a distância entre dois traços correspondentes a 1” será: 1m x 2(/(360x60x60) = 5x10-6 m ou seja, 5 (m. Assim, medidas diretas de 1” já são muito difíceis de ser feitas. No entanto, medidas relativas podem ser feitas com muito maior precisão (entre 1 décimo, 1 centésimo e hoje tenta-se chegar a 1 milésimo de segundo de arco). Com imagens fornecidas por um telescópio isto é possível, como será visto mais adiante. 
O QUE SE OBSERVA
Refração e Reflexão da Luz
Refração
Quando a luz atravessa um meio diferente daquele em que
está se propagando, muda a direçãode sua propagação. Dis-
se-se então que ela sofre uma refração. Esta mudança de di-
reção depende de características do meio, 
mas seguem uma lei bastante simples que
é a Lei de Snell. Ela é expressa na forma
� EMBED Equation.3 ��� onde n1 e n2 são constantes
que dependem apenas de características
do meio 1 e 2 respectivamente e são chamadas de índice de refração. Em particular se � EMBED Equation.3 ���,tem-se � EMBED Equation.3 ���.
Reflexão
Quando a luz é refletida por uma superfície, a direção da
luz refletida faz, com a direção normal à superfície um, 
um ângulo igual ao incidente. Logo � EMBED Equation.3 ���.
Aplicações da refração e da reflexão
As leis da refração e a reflexão da luz são usadas para se cons-
truir instrumentos óticos. No caso de telescópios e da reflexão, 
ou refletores, usa-se um espelho cuja superfície seja convéxa
de modo que os raios de luz paralelos se concentrem numa pe-
quena região do espaço. Em particular a superfície parabólica 
tem a propriedade de concentrar todos os raios paralelos que 
vêm de uma dada direção, num mesmo ponto, que é o foco da
parábola.
No caso da refração, constroi-se lentes de material transparen-
te (vidros) com curvaturas adequadas para que os raios parale-
los de luz que incidem sobre o material convirjam num ponto
que é o foco da lente. São os refratores.
Tanto para espelhos como para lentes os raios paralelos que vêm de direções diferentes não convergem exatamente para o mesmo ponto. Assim, para se obter uma boa imagem, necessita-se de vários componentes óticos combinados ou seja, espelhos ou lentes. No caso das lentes existe um problema adicional. Tem-se que o valor do índice de refração varia para cada cor (é por isso que o prisma decompõe a luz). Assim a luz proveniente dos astros, que é uma combinação de várias cores, se espalham na proximidade do foco. Para corrigir este problema é imperativo a combinação de várias lentes nos refratores.
Na realidade, não se pode construir uma superfície perfeita. Assim os focos não são, na prática pontos mas pequenas regiões do espaço. 
Figura 4 – Formação das imagens no plano focal. As linhas segmentadas paralelas correspondem aos raios provenientes de uma mesma estrela. Estes raios são desviados pelo sistema ótico da objetiva e concentrados, para cada estrela, num mesmo ponto do plano focal. Observe que os raios que passam pelo centro da objetiva não são desviados. Isto acontece porque se o dispositivo ótico da objetiva é uma lente, particularmente neste ponto as superfícies interna e externa são essencialmente paralelas e, no caso de espelhos, corresponde a um espelho plano. O ângulo ( entre os raios que passam pelo centro da objetiva é portanto, o ângulo que os dois astros considerados distam no céu. O triângulo formado pelos dois raios centrais e a sua distância no plano focal, permite calcular a relação entre o ângulo entre os astros e sua distância no plano focal. Observe que se o astro está “para cima”,ele é visto no plano focal “para baixo”. Assim o telescópio inverte a imagem 
Figura 2 – Os gráficos relacionam o fluxo e a magnitude de acordo com a relação (2). No gráfico da direita temos o mesmo que no da esquerda mas sendo o eixo dos fluxos dado em escala logarítmica. Note-se o rápido crescimento da magnitude com o decréscimo do fluxo. Observe que no gráfico da direita os valores das pequenos fluxos podem ser vistos mais claramente. Observe ainda que o valor do fluxo F corresponde a magnitude 1 e o de fluxo 0.01 corresponde a magnitude 6, sendo 100 vezes menor. Vale ainda acrescentar que os valores numéricos dos fluxos definidos em dadas unidades físicas correspondem aos valores dos gráficos multiplicados por constantes. O valor destas constantes estão ligados a constante m0 de (2). 
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O olho humano
O olho humano é o sistema mais ótico mais conhecido no dia 
a dia. No entanto ele é bastante complexo e versátil. O seu 
sistema ótico não é basicamente diferente dos instrumentos
óticos que são construídos. 
No diagrama vê-se o esquema de funcionamento do olho.
Os raios de luz provenientes
do objeto (seta), atravessam
inicialmente a íris que é a 
parte preta no centro do o-
lho e tem um diâmetro va-
riável. Este diâmetro é mai-
or quando se olha no escuro
e tanto menor quanto maior
a intensidade da luz. O diâ-
metro típico da íris no escu-
ro é de 6 mm. Em seguida a luz passa pelo cristalino que é uma lente de curvatura variável e que faz com que os raios luminosos provenientes do mesmo ponto do objeto se concentrem na retina que é o detetor de luz que transforma a informação luminosa em impulsos nervosos reconhecidos pelo cérebro. A variação de curvatura do cristalino depende da distância do objeto que está sendo observado. Para outros objetos situados a distâncias diferentes, os raios não convergem no mesmo ponto da retina e portanto ficam desfocalizados. 
Quando um objeto se encontra a uma distância muito grande, os raios que vêm dele são praticamente paralelos e o olho os enxerga como pontos. Isto porque todos os raios se concentram num único ponto da retina. É o caso das estrelas. Na realidade a coisa é um pouco mais complicada e será vista quando for estudada a difração.
A capacidade do olho de distinguir objetos ou partes diferentes de um objeto, ou seja a resolução do olho, depende obviamente da distância em que os objetos se encontram do olho. Assim como no caso das extremidades da seta no diagrama acima, o que im-porta na separação dos pontos é o ângulo com que eles chegam no olho (ângulo forma-do pelos raios que passam no centro do cristalino) e depois o ângulo transformado pela lente que é o cristalino. Estes raios percorrem a distância do cristalino a retina (aproxi-madamente 3 centímetros). Se eles chegam em pontos onde as células fotosensíveis da retina (os bastonetes) os reconhecem como distintos, os pontos de origem dos raios são separados. Para as dimensões típicas do olho e seus componentes, o ângulo em que o olho vê pontos distintos é no mínimo de 1’. Assim, a resolução do olho é, no máximo, de 1 minuto de arco. Isto corresponde a uma distância de 0,01 mm entre os bastonetes.
Caixa 2.2
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Detetores
O mais antigo dos detetores usados em Astronomia é o olho humano. No final do século 19 apareceu a fotografia que, a partir da última década do século 20, praticamente cedeu o seu lugar para os detetores CCD (Charge-Coupled Device). São eles que captam as ima-gens nas máquinas digitais. 
Os CCDs são matrizes bidimensionais de semi-condu-
tores fotosensíveis onde cada elemento é denominado 
de pixel. Na figura ao lado vemos uma parte de um 
CCD e um destes detetores instalado dentro de uma câ-
mara de vácuo, que é como eles são usados, em geral, 
em astronomia. Os CCDs têm dimensões de alguns pou-
cos centímetros sendo constituídos de matrizes onde ca-
da lado tem de 1.000 a 2000 pixels que por sua vez são 
quadrados com lados de 10(m a 30(m. Quando um fó-
ton chega num píxel, é liberado uma carga, que fica alí 
retida. Os fótons subsequentes liberam mais cargas, e as-
sim sucessivamente até que cesse a chegada de 
fótons. As quantidades de cargas de cada píxel 
são então lidas e com estes valores se recons-
trói a imagem digitalmente.
Na realidade, a camada fotonsensível é dividida
fisicamente apenas numa direção, por exemplo, 
colunas e na outra, linhas, as divisões são de-
finidas por potenciais elétricos. Assim no mo-
mento de descarregar o CCD, as cargas dos pri-
meiros pixels de cada coluna são movidas, pela
variação dos potenciais elétricos numa linha 
que fica na borda do CCD. Então, esta linha 
que é contínua como as colunas,move as 
cargas para um contador que registra a carga
de cada pixel. O processo continua para as 
cargas dos segundos pixels de cada coluna e 
assim por diante, até descarregar todo o 
CCD. 
Os CCDs apresentaram um grande progresso
em relação às placas fotográficas. Eles detec-
tam da ordem de 75% dos fótons enquanto 
as placas fotográficas detectam 5%. Para u-
ma mesma resolução os CCDs são 10 vezes mais sensíveis que as placas fotográficas. Além disso os CCDs já apresentam as imagens digitalizadas enquanto, no caso de placas fotográficas a digitalização tinha que ser feita posteriormente.
Caixa 2.3
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Esquemas diferentes de telescópios
Existem dois tipos diferentes de telescópios. São os refratores, cuja ótica é baseada em lentes e os refletores com a ótica baseada em espelhos.
Nos refletores, os raios de luz paralelos, 
provenientes dos astros, são concentrados, 
pela lente da objetiva, no foco. Aí pode ser
colocado o detetor. Em muitos casos, de-
pois do foco é colocado uma outra ótica 
que joga a imagem do plano focal para um
plano mais distante. No caso da figura ao 
lado tem-se um conjunto de lentes que vol-
tam a tornar os raios de luz paralelos. Isto 
é conveniente para que se observe com o 
olho a imagem, pois a ótica do fará com 
que os raios paralelos se concentrem na re-
tina. Neste caso, o que ocorre é que toda a luz que chega na objetiva, depois de passar pelo refrator, passa a chegar na pupila do olho.
No caso dos refletores, as imagens se for-
mam na parte da frente do espelho. Assim 
se torna necessário novos espelhos para evi-
tar que o observador fique na frente da luz 
que vem dos astros. Assim os vários espe-
lhos fazem com que o feixe de luz paralelo 
convirja num plano focal. Observe que, para
efeito de diagrama ótico, o refletor e o refra-
tor podem ser representados da mesma for-
ma.
No caso dos refletores, uma parte da luz pro-
veniente dos astros é sempre obstruída. Esta 
obstrução não afeta a imagem pois todos os 
raios provenientes de uma direção se concen-
tram num mesmo ponto independente da exis-
tência da obstrução existir ou não.
Existem vários tipos de configuração para os
refletores. Os tipos mais usuais são as do tipo
Cassegrain para os refletores modernos e uma 
montagem muito parecida com a do tipo Cou-
dé, para os grandes telescópios de última gera-
ção.
Caixa 2.4
Caixa 2.5
Magnitude
Para quantificar se o brilho de uma estrela era maior do que outro e o quanto era maior, foi necessário definir uma escala de brilho. Pelo que sabemos hoje, a primeira escala de brilho foi definida por Hiparco de Nicéia, na Grécia Antiga, no século 2 antes de Cristo. Para tanto ele definiu os brilhos aparentes das estrelas de seu catálogo, por uma grandeza chamada magnitude que variava entre 1 e 6, sendo 1 para a mais brilhante e 6 para a menos. Observe que o fato do sistema de magnitude ser hexadecimal não é surpreendente quando se lembra que dois sistemas de grandezas associadas às posições de estrelas, ou seja o de contagem de ângulos e o de tempo são também hexadecimais. 
Em 1836, o astrônomo inglês John Herschel, filho do famoso William Herschel descobridor do planeta Urano, mediu que a diferença de brilho entre as estrelas de magnitude 1 e 6 era de 100. Esta diferença entre o brilho aparente, isto é, o que o olho percebe, e o brilho real, isto é quantidade de energia por unidade de área do receptor, se deve simplesmente ao fato do olho ter uma resposta logarítmica à intensidade da luz que recebe. Assim, em 1856 Norman Pogson chegou ao resultado de que o decréscimo de uma unidade em magnitude correspondia a um aumento de brilho de um fator 2,5 (mais precisamente 2,512). Observando-se que 2,5125(100. Para ver como se obtém a relação da magnitude a partir destas informações, ver Exercício 1. 
Para se ter uma idéia das grandezas envolvidas, tem-se que a luz d e uma vela a 1 km de distância corresponde a uma fonte de luz de magnitude 1. A dez quilômetros de distância a luz da vela, que cai com o quadrado da distância e é portanto 100 vezes mais fraca, corresponde a magnitude 6 (se desprezamos a absorção da atmosfera).
Para dar uma idéia de magnitude de estrelas e astros bem conhecidos:
- As 4 maiores estrelas da constelação do Cruzeiro do Sul são: (=0,8; (=1,2; (=1,6; (=2,8. 
- As 2 maiores estrelas de constelação do Centauro são: (=0,0; (=0,6.
- As 3 estrelas do cinturão da constelação do Orion (as 3 marias) são: (=2,2; (=1,7; (=2,0. 
- Para os planetas tem-se uma magnitude variável pois eles se afastam e aproximam da Terra. Mercúrio: -1 a +2; Vênus: -4; Marte: -3 a +1; Júpiter: -2,7 a –1,9; Saturno: 0; Urano: 6; Netuno: 8; Plutão: 13.
- A Lua Cheia tem magnitude –12,5 e o Sol, -26. 
- Os satélites galileanos de Júpiter, que são os satélites de planetas mais brilhantes, têm as seguintes magnitudes: Io=5,0; Europa=5,3; Ganimede=4,6 e Calisto=5,7.
Na realidade a alfa Centauro é uma estrela dupla e uma delas tem magnitude 0,7 e a outra 1,7. Para ver como se calcula a magnitude devido a se fundir as imagens de duas estrelas de magnitudes diferentes, ver Exercício 2.1. 
Os satélites galileanos de Júpiter estão no limite de visibilidade a olho nú., no entanto eles não são visíveis por ficarem ofuscados por Júpiter. Observe que sua distância de Júpiter é menor do que 2 décimos de grau. 
Caixa 2.6
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Variação do diâmetro da objetiva
O telescópio, como a maior partes dos sistemas 
óticos, é antes de mais nada um coletor de fó-
tons. Assim, quanto maior é a área coletora, mai-
or a é quantidade de fótons coletado. Da mesma 
forma, maior será a quantidade de informações 
recebidas dos fótons. Quantitativamente, a quan-
tidade de fótons é proporcional a área do coletor. 
De acordo com a relação (5) do texto, tem-se
�EMBED Equation.3���.
Então dobrando-se o diâmetro tem-se
� EMBED Equation.3 ���
e portanto, objetos de magnitude superior 
de 1,51 são igualmente detectados.
Ao lado tem-se os mesmos objetos obser-
vados (a galáxia de Andrômeda) por dois 
telescópios com mesmas características 
mas, com aberturas que satisfazem a rela-
ção 2. A imagem superior foi feita com um
 telescópio de abertura D e a de baixo com 
abertura 2D.
A imagem inferior parece ser mais bem
focalizada que a de cima devido ao fato
dela apresentar mais detalhes. O número 
de objetos em baixo é muito maior do que
acima já que fluxos 4 vezes mais fracos
são detectados no caso de maior abertura.
 
Caixa 2.7
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Direção dos Astros – A Esfera Celeste
As estrelas estão muito distantes, uma vez que a mais pró-
xima, a ( do Centauro está a mais de 1 parsec do Sol. As-
sim, em pontos distantes da órbita da Terra a posição desta 
estrela é vista com variações de posição de menos de 2” (na
figura ao lado se teria (<1”). É por isso que as posições das
estrelas é considerada fixa. Portanto, o que se tem para cada
estrela, é uma direção para cada estrela, ou seja, estas dire-
ções são descritas pelas suas posições numa esfera centrada 
no observador. É a chamada esfera celeste. O fato do cen-
tro da esfera celeste estar situado no observador, é irrele-
vante para estrelas, dependendo com que precisão as posi-
ções são dadas. Ele pode ser tomado no centro da Terra e em muitos casos no centro do Sol. 
Caixa 2.8
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Resolução Angular