Inversao_de_Matrizes.2012.2.nano

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Denis Dias
Gabriel Espíndola
Helson Moraes
Mateus de Souza
William Fernandes
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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 O início das matrizes e determinantes remontam ao século II a.C. embora alguns vestígios desse assunto tenham sido encontrado no século VI a.C. 
 Somente no final do século XVII que as ideias reapareceram e se desenvolveram até os dias atuais. 
 No Oriente, foi só em 1683 com o trabalho do japonês Seki Kowa que o conceito de determinante surgiu, por isso é considerado por muitos, o maior matemático japonês do século XVII.
Seki Takakazu (Seki Kōwa)
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 No Ocidente, também estudando o mesmo assunto, surgiram trabalhos dos matemáticos G. W. Leibniz e G. Cramer. 
Gabriel Cramer
Gottfried Wilhelm Leibniz
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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 Antes, vamos à definição...
 Dada uma matriz A, A–1 é inversa de A se e somente se:
AA–1 = A–1 A = I
Onde I é a identidade
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 Condições para que haja matriz inversa:
 A deve ser quadrada;
det A deve ser não nulo.
A = 
 A não possui inversa!
B= 
 B possui inversa!
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P1 - A inversa da inversa de uma matriz é a própria.
P2 - A transposta da inversa é igual à inversa da transposta.
P3 - A inversa de um produto é igual ao produto das inversas.
(A–1)–1 = A
(AB)–1 = B–1 · A–1
(A–1)t = (At)–1
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P4 - Diz-se matriz ortogonal quando a inversa é igual à transposta
P5 - A multiplicação da inversa por uma constante real é igual à inversa de uma matriz multiplicada por essa constante.
P6 - O determinante da inversa de uma matriz A é igual ao inverso do determinante da matriz A.
 c*A–1 = (A*c )–1 , sendo c Є IR 
A–1 = At
det A–1 = 1/detA
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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 Da definição, vimos que:
AA–1 = A–1 A = I
Exemplo:
A= 
A–1= 
Então, de (i):
(i)
A A–1 = 
= 
.
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Então, de (i):
A A–1 = 
= 
.
3*a + 3c = 1
2*a + 4c = 0
3*b + 3d = 0
2*b + 4d = 1
Resolvendo o sistema, temos:
a = 2/3
b = -1/2
c = -1/3
d = 1/2
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Exercício: Calcule a inversa utilizando a resolução por sistemas:
A =
B =
A não possui inversa, pois det A = 0!
a = 4/3
b = -1/3
c = -5/3
d = 2/3
Resposta:
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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Dada uma matriz A, sua inversa é obtida pela fórmula:
Sendo:
det A – Determinante da matriz A
(cof A) – Matriz transposta da matriz dos co-fatores.
t
Calculando o co-fator:
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Calculando a matriz inversa de A utilizando o método de Co-fatores: 
Exemplo:
1º passo: det A = -5
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2º passo: Cof (A): 
A transposta da Cof (A): 
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Logo:
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Exercício: Calcule, usando a teoria precedente, a inversa da matriz:
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det B = -2
Solução: 
Determinando Det B, Cof (B) e [Cof (B)]t
Logo:
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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 Dada uma matriz qualquer A, sua inversa A-1 será obtida pelo método de Gauss-Jordan ao ser emparelhada com a matriz identidade I, de mesma ordem, e por meio de escalonamentos a matriz A se transformará na matriz I e no lugar da matriz I surgirá a matriz inversa A-1.
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Encontre a Matriz Inversa de A:
Matriz aumentada de A:
Exemplo:
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1° Etapa
O pivô da 1ª linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, a–1 vezes a 1ª linha.
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2° Etapa
 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1ª linha da matriz Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2 e para fazê-lo igual a 1, multiplicamos a 2ª linha por –1.
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 Precisamos zerar os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha , 2 vezes a 2ª linha e à 3ª linha, somamos -1 vezes à 2ª.
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3° Etapa
 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se as duas primeiras linhas. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da primeira coluna não nula da submatriz. Este elemento é o elemento de posição 3,3.
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 A inversa da matriz A será:
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Exercício: Descubra se a Matriz A é inversível ou não, pelo método de Gauss-Jordan.
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Resolução:
1° Etapa
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Resolução:
2° Etapa
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Resolução:
3° Etapa
Não foi possível obter a matriz identidade I, logo a matriz A não é invertível!
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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 Dada uma matriz Aij, onde i e j são grandes o bastante para inviabilizar a utilização dos métodos apresentados até aqui, vamos achar a matriz inversa utilizando o método por partição:
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Vamos parti-la de tal maneira que teremos 4 matrizes sendo que a matriz A11 deve ser do tipo quadrada:
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Considerando a matriz B sendo a inversa de A: 
Utilizando a mesma ideia temos:
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 Utilizando a definição de matriz inversa teremos:
Chegamos ao sistema:
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 Logo podemos chegar a duas formas de calcular B:
Sendo
ou
Sendo
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Introdução
Propriedades
Métodos de inversão
Sistema
Matriz de Co-fatores
Gauss-Jordan
Partição
Aplicação
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 Computação Gráfica
 1° Rotação, escala e translação
 As imagens em uma tela de computador são na verdade formadas por pequenos pontos (pixels) que são elementos de uma matriz. Uma imagem de resolução 800x600 tem 800.600 =480.000 pixels em 800 colunas e 600 linhas. Quando um programa gráfico altera a posição da imagem, gira a imagem ou muda a escala da imagem, na verdade está mudando a posição dos pixels que a formam. Isso tudo é feito por operações matriciais.
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Mateus começa apresentando todos
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Mateus fala a estrutura da apresentação
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E aí começando pela “introdução”
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Mateus
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Mateus
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Denis
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Denis
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Denis
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Denis
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Denis
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Denis
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Denis - Botar 1 exemplo e 1 exercício
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Denis - Botar 1 exemplo e 1 exercício
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Denis - Damos inicialmente alguns minutos pra turma tentar fazer (de 5 a 10min).
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HelsonHelson
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Helson
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Helson
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Helson
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Helson
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Helson
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Helson
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William
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William Botar 1 exemplo e 1 exercício
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William
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William
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William
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William
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William
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William
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William – Damos inicialmente alguns minutos (de 5 a 10min) pra turma tentar fazer.
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William
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William
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William
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Helson
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Helson
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Helson
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Helson
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Helson
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Helson
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Mateus
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Mateus
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