Met Est II AP1 2018.1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarato da AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018
Questa˜o 1
Note que f (1) = 0 e f (3) = 0, 5; logo, no intervalo [0; 3) f e´um segmento que passa pelos pontos (1; 0) e (3; 0, 5). Nointervalo [3; 4], f e´ constante igual a 0, 5.
Questa˜o 2 f (x) ≥ 0
A´rea sob a curva e´ a a´rea de um triaˆngulode base 2 e altura 0,5mais a a´rea de um retaˆngulo de base 1 e altura 0,5:A = 12 · 2 · 0, 5 + 1 · 0, 5 = 1Da´ı podemos ver que P(X < 3) = P(X ≥ 3) = 0, 5.
Questa˜o 3
Probabilidade pedida e´ a a´rea do triaˆngulo sombreado,que tem base 1 e altura f (2):P(X ≤ 2) = 12 · 1 · f (2) = 12 · (−0, 25 + 0, 25 · 2) = 0, 125
Questa˜o 4P(X > 3 |X > 2) = P(X > 3)P(X > 2) = P(X > 3)1− P(X ≤ 2) = 0, 51− 0, 125 = 0, 5714
Questa˜o 5 c tem que ser maior que 3, pois P(X < 3) = 0, 5
P(X < c) = 0, 6⇔ P(X ≥ c) = 0, 4
Mas P(X ≥ c) e´ a a´rea do retaˆngulo sombreado em cinza escuro. Logo temos queter
(4− c) · 0, 5 = 0, 4⇔ 4− c = 0, 8⇔ c = 3, 2
Curso de Administrac¸a˜o 1
Questa˜o 6
P(X > 282, 5) = P(Z > 282, 5− 25013
) = P(Z > 2, 5) =0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
Questa˜o 7
P(X > 237) = P(Z > 237− 25013
) = P(Z > −1) =0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 8
P(211 < X < 230, 5) = P(211− 25013 < Z < 230, 5− 25013
) =P(−3, 0 < Z < −1, 5) = tab(3, 0)− tab(1, 5) =0, 4987− 0, 4332 = 0, 0655
Questa˜o 9 X ∼ N (250; 16925
) ou X ∼ N (250; 2, 62)
P(245, 32 < X < 254, 68) =
P(245, 32− 2502, 6 < Z < 254, 68− 2502, 6
) =
P(−1, 8 < Z < 1, 8) = 2× tab(1, 80) = 2× 0, 4641 =0, 9282
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 10k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 8
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 85
) = 0, 90⇔
tab(k − 85
) = 0, 40⇔ k − 85 = 1, 28⇔ k = 14, 4
Questa˜o 11k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 8
P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 85
) = 0, 05⇔
P(Z > −k − 85
) = 0, 05⇔ tab(8− k5
) = 0, 45⇔
8− k5 = 1, 64⇔ k = −0, 2
Questa˜o 12k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 8
P(X > k) = 0, 80 ⇔ P(Z > k − 85
) = 0, 80 ⇔ tab(−k − 85
) = 0, 30 ⇔8− k5 = 0, 84⇔ k = 3, 8
Questa˜o 13k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 8
P(X > k) = 0, 01⇔ P(Z > k − 85
) = 0, 01⇔
tab(k − 85
) = 0, 49⇔ k − 85 = 2, 33⇔ k = 19, 65
Questa˜o 14 P( |X − 8 | ≤ k) = 0, 95 ⇔ P(−k ≤ X − 8 ≤ k) = 0, 95 ⇔P(−k5 ≤ Z ≤ k5
) = 0, 95⇔ tab(k5
) = 0, 475⇔k5 = 1, 96⇔ k = 9, 8
Curso de Administrac¸a˜o 3
Questa˜o 15Seja T o tempo de viagem dos oˆnibus da linha 222 entre o ponto inicial e o ponto final. Enta˜o, T ∼ N(48; 122)
P(T > 50) = P (Z > 50− 4812
) = P(Z > 0, 17) = 0, 5− tab(0, 17) = 0, 5− 0, 0675 = 0, 4325
Questa˜o 16
P(T ≤ 60) = P(Z ≤ 60− 4812
) = P(Z ≤ 1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
Questa˜o 17
P(T < 80 |T > 60) = P(60 < T < 80)P(T > 60) = P
( 60−4812 < Z < 80−4812 )1− 0, 8413 = P(1 < Z < 2, 67)0, 1587= tab(2, 67)− tab(1, 0)0, 8413 = 0, 4962− 0, 34130, 1587 = 0, 15490, 1587 = 0, 9761
Questa˜o 18
P(T > t) = 0, 05⇐⇒ P (Z > t − 4812
) = 0, 05⇐⇒ tab( t − 4812
) = 0, 45⇔ t − 4812 = 1, 64⇐⇒ t = 67, 68 min
5% das viagens duram mais que 67,68 minutos.
Curso de Administrac¸a˜o 4