MEstII-AD2-gabarito 2023.2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD2 - MÉTODOS ESTAT́ISTICOS II - 2/2023
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais
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1. Você está recebendo um Caderno com as Folhas de Questões e as Folhas de Respostas para oregistro das suas respostas.
2. Imprima o Caderno de Respostas em papel A4 sem pauta, uma página por folha. Evite escreverno verso, pois pode prejudicar o processo de escaneamento.
3. As questões devem ser resolvidas na folha de respostas no espaço indicado para cada uma.
4. Se você não tem impressora, use papel A4 branco e siga o formato do caderno de respostas pararesolver sua prova. Não use papel pautado, pois as linhas aumentam o tamanho da imagemescaneada.
5. Ao término da prova, escaneie apenas as Folhas de Respostas devidamente identificadas, sal-vando em arquivo PDF. Veja no site da disciplina instruções para gerar um arquivo pdf.
6. Só serão corrigidas as provas salvas em arquivo PDF. Qualquer outro formato não será aceitoe o aluno ficará com nota ZERO.
7. Faça upload do arquivo PDF pela plataforma.
8. Fique atento ao enviar a AD. Certifique-se de receber confirmação do envio. Se a AD for postadacomo rascunho, ela não será enviada para correção.
9. Resolva as questões à medida que for estudando a matéria, conforme indicado no plano deaulas na plataforma.
10. Observe atentamente os prazos! Não deixe para a última hora!
11. PRAZO FINAL: 03/10/2023 (terça-feira) às 23h50m.
Orientações para o preenchimento das Folhas de Respostas
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1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta para registro das resoluções dasquestões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resolução de cada questão no espaço previsto para ela nas Folhas de Respostas.
3. As respostas devem vir acompanhadas do desenvolvimento completo e justificativa, quando foro caso.
AD2 – MEstII – 2/2023 1
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Cada item vale 1,0 ponto.
Questão 1 [4 pontos]: Em um táxi aquático, indica-se 1600 kg como o peso total permitido paraos passageiros. Admita o caso do “pior cenário”, no qual todos os passageiros são homens adultos.Suponha que os pesos de homens adultos sejam normalmente distribúıdos, com média de 85 kg edesvio padrão de 8,5 kg.
(a) Qual é a probabilidade de 18 homens adultos ultrapassarem o limite máximo de peso permitido?
(b) Qual é a probabilidade de 15 homens adultos ultrapassarem o limite máximo de peso permitido?
(c) Como medida de segurança, você define como 17 o número permitido de passageiros. Qual é aprobabilidade de 17 homens adultos ultrapassarem o limite máximo de peso permitido?
(d) Uma nova pesquisa antropométrica indica que atualmente os pesos de homens adultos têm dis-tribuição normal com média de 89 kg e desvio padrão de 10,3 kg. Com esses novos dados, qualé a probabilidade de 17 homens adultos ultrapassarem o limite máximo de peso permitido? Vocêconsideraria rever o número máximo de passageiros permitido?
Solução:
(a) X ∼ N (85; 8, 5218
)
∑18
i=1 Xi > 1600 ⇔ X > 160018 = 88, 89
P(X > 88, 89) = P Z > 88, 89 − 858,5√18
 = P(Z > 1, 94) = 0, 5 − tab(1, 94) = 0, 5 − 0, 4738 = 0, 0262
(b) X ∼ N (85; 8, 5215
)
∑15
i=1 Xi > 1600 ⇔ X > 160015 = 106, 67
P(X > 106, 67) = P Z > 106, 67 − 858,5√15
 = P(Z > 9, 87) = 0, 5 − tab(9, 87) ≈ 0
(c) X ∼ N (85; 8, 5217
)
∑17
i=1 Xi > 1600 ⇔ X > 160017 = 94, 12
P(X > 94, 12) = P Z > 94, 12 − 858,5√17
 = P(Z > 4, 42) = 0, 5 − tab(4, 42) = 0, 00000487 ≈ 0
(d) X ∼ N (89; 10, 3217
)
∑17
i=1 Xi > 1600 ⇔ X > 160017 = 94, 12
P(X > 94, 12) = P Z > 94, 12 − 8910,3√17
 = P(Z > 2, 05) = 0, 5 − tab(2, 05) = 0, 5 − 0, 4798 = 0, 0202
Em se tratando de vidas, uma probabilidade de 2% pode ser alta. Talvez valha a pena rever onúmero máximo de passageiros.
Questão 2 [6 pontos]: Em um grande escritório de contabilidade, dados históricos indicam que aproporção de documentos contábeis com algum erro é de 10%. Sorteia-se uma amostra de 100documentos.
(a) Verifique que são válidas as condições para utilização da aproximação normal para a distribuiçãoda proporção amostral e indique claramente os parâmetros dessa distribuição normal aproxima-dora.
(b) Usando a aproximação normal com correção de continuidade, calcule a probabilidade de a pro-porção amostral de documentos com erro
(i) ser 0,15;(ii) estar no intervalo [0, 15; 0, 18);(iii) ser, no máximo, 0,15;(iv) ser maior que 0,67;(v) ser, pelo menos, 0,20.
Solução
(a) Temos uma amostra de tamanho n = 100 de uma população X ∼ Bern(0, 10). As condições parautilização da aproximação normal são válidas:
n = 100 > 30100 × 0, 10 = 10 > 5100 × 0, 90 = 90 > 5
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Assim, a distribuição da proporção amostral pode ser aproximada por uma N (0, 10; 0,10×0,90100 ), ouseja, N(0, 10; 0, 032).
(b) (i)
P(P̂ = 0, 15) = P (P̂ = 15100
) = P (15 − 0, 5100 ≤ P̂ ≤ 15 + 0, 5100
)
= P(0, 145 ≤ P̂ ≤ 0, 155) ≈ P (0, 145 − 0, 100, 03 ≤ P̂ ≤ 0, 155 − 0, 100, 03
)
= P(1, 5 ≤ Z ≤ 1, 83) = tab(1, 83) − tab(1, 50) = 0, 4664 − 0, 4332 = 0, 0332
(ii) Note que o intervalo é fechado no extremo inferior e aberto no extremo superior.
P(0, 15 ≤ P̂ < 0, 18) = P(0, 145 ≤ P̂ ≤ 0, 175) ≈ P (0, 145 − 0, 100, 03 ≤ Z ≤ 0, 175 − 0, 100, 03
)
= P(1, 5 ≤ Z ≤ 2, 5) = tab(2, 5) − tab(1, 5) = 0, 4938 − 0, 4332 = 0, 0606
(iii)
P(P̂ ≤ 0, 15) = P(P̂ ≤ 0, 155) ≈ P (Z ≤ 0, 155 − 0, 100, 03
) = P(Z ≤ 1, 83) = 0, 5 + tab(1, 83)
= 0, 5 + 0, 4664 = 0, 9664
(iv)
P(P̂ > 0, 67) = P(P̂ ≥ 0, 675) ≈ P (Z ≥ 0, 675 − 0, 100, 03
) = P(Z ≥ 19, 17) ≈ 0
(v)
P(P̂ ≥ 0, 20) = P(P̂ ≥ 0, 195) ≈ P (Z ≥ 0, 195 − 0, 100, 03
) = P(Z ≥ 3, 17) = 0, 5 − tab(3, 17)
= 0, 5 − 0, 4992 = 0, 0008
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