AD1 - Métodos Estatísticos II - 2023.2 Questões e Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 - MÉTODOS ESTAT́ISTICOS II - 2/2023
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais
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1. Você está recebendo um Caderno com as Folhas de Questões e as Folhas de Respostas para o
registro das suas respostas.
2. Imprima o Caderno de Respostas em papel A4 sem pauta, uma página por folha. Evite escrever
no verso, pois pode prejudicar o processo de escaneamento.
3. As questões devem ser resolvidas na folha de respostas no espaço indicado para cada uma.
4. Se você não tem impressora, use papel A4 branco e siga o formato do caderno de respostas para
resolver sua prova. Não use papel pautado, pois as linhas aumentam o tamanho da imagem
escaneada.
5. Ao término da prova, escaneie apenas as Folhas de Respostas devidamente identificadas, sal-
vando em arquivo PDF. Veja no site da disciplina instruções para gerar um arquivo pdf.
6. Só serão corrigidas as provas salvas em arquivo PDF. Qualquer outro formato não será aceito
e o aluno ficará com nota ZERO.
7. Faça upload do arquivo PDF pela plataforma.
8. Fique atento ao enviar a AD. Certifique-se de receber confirmação do envio. Se a AD for postada
como rascunho, ela não será enviada para correção.
9. Resolva as questões à medida que for estudando a matéria, conforme indicado no plano de
aulas na plataforma.
10. Observe atentamente os prazos! Não deixe para a última hora!
11. PRAZO FINAL: 21/08/2023 (quarta-feira) às 23h50m.
Orientações para o preenchimento das Folhas de Respostas
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1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta para registro das resoluções das
questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resolução de cada questão no espaço previsto para ela nas Folhas de Respostas.
3. As respostas devem vir acompanhadas do desenvolvimento completo e justificativa, quando for
o caso.
AD1 – MEstII – 2/2023 1
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Questão 1 [3 pontos]: Na figura a seguir, são dados 3 gráficos de funções lineares f (x) = ax + b.
Para cada um deles, identifique o valor do intercepto b e indique se a inclinação é positiva, negativa
ou nula.
Questão 2: Considere a função f dada na figura a seguir.
(a) [1,0 ponto] Determine o valor de k para que f seja função densidade de uma variável aleatória
X .
(b) [1,0 ponto] Determine a expressão matemática de f .
(c) [2,0 pontos] Calcule P(X > 0, 5|X < 1, 5).
(d) [1,0 ponto] Calcule Q1 tal que P(X < Q1) = 0, 25. (Q1 é o primeiro quartil.)
(e) [1,0 ponto] Calcule Q2 tal que P(X < Q2) = 0, 50. (Q2 é o segundo quartil ou mediana.)
(f ) [1,0 ponto] Calcule Q3 tal que P(X < Q3) = 0, 75. (Q3 é o terceiro quartil.)
AD1 – Métodos Estat́ısticos II – 2/2023
FOLHAS DE RESPOSTAS
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Questão 1
Questão 2(a)
Questão 2(b)
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Questão 2(c)
Questão 2(d)
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Questão 2(e)
Questão 2(f)
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AD1 – Métodos Estat́ısticos II – 2/2023
GABARITO
Questão 1
f (x) = ax + b – Inclinação: a e intercepto b
Gráfico (a): b = 2 e a > 0
Gráfico (b); b = 4 e a < 0
Gráfico (c): b = 2 e a = 0
Questão 2(a)
k > 0Área total tem que ser 1; a área total é a área de um retângulo de base 1 e altura 3K , mais a área de umtrapézio de base maior 3k , base menor k e altura 1. Logo, temos que ter
(3k) × 1 + 3k + k2 × 1 = 1 ⇒ 5k = 1 ⇒ k = 0, 2
Questão 2(b)
Para 0 < x < 1, f (x) = 0, 6.No intervalo [1, 2], f é um segmento de reta delimitado pelos pontos (1; 0, 6) e (2; 0, 2).
f (x) = a + bx =⇒ { a + b · 1 = 0, 6a + b · 2 = 0, 2 =⇒ b = −0, 4 =⇒ a + (−0, 4) = 0, 6 ⇒ a = 1, 0
Logo,
f (x) =
 0, 6, se 0 ≤ x < 11 − 0, 4x, se 1 ≤ x < 2
Questão 2(c)
P(X > 0, 5|X < 1, 5) = P(0, 5 < X < 1, 5)P(X < 1, 5) = P(0, 5 < X < 1, 0) + P(1, 0 ≤ X < 1, 5)P(0 < X < 1, 0) + P(1, 0 ≤ X < 1, 5)
P(1, 0 ≤ X < 1, 5) é a área do trapézio sombreado, que tem basemaior 0,6, base menor f (1, 5) = 1 − 0, 4 × 1, 5 = 0, 4 e altura 0,5.Logo,
P(1, 0 ≤ X < 1, 5) = 0, 6 + 0, 42 · 0, 5 = 0, 25
P(0, 5 < X < 1, 0) é a área de um retângulo de base 0,5 e altura 0,6. Logo, P(0, 5 < X < 1, 0) = 0, 5×0, 6 = 0, 3P(0 < X < 1, 0) é a área de um retângulo de base 1,0 e altura 0,6. Logo, P(0, 5 < X < 1, 0) = 0, 6Resulta que
P(X > 0, 5|X < 1, 5) = 0, 3 + 0, 250, 6 + 0, 25 = 0, 550, 85 ≈ 0, 64706
Questão 2(d)
Vimos que P(X < 1, 0) = 0, 6; logo, Q1 e Q2 são ambos menores que 1,0.
P(X < Q1) é a área do retângulo de base Q1 e altura 0,6. Logo,temos que ter
P(X < Q1) = 0, 25 ⇔ Q1 × 0, 6 = 0, 25 ⇔ Q1 ≈ 0, 41667
Questão 2(e)
Analogamente, P(X < Q2) é a área do retângulo de base Q2 e altura 0,6. Logo, temos que ter
P(X < Q2) = 0, 5 ⇔ Q2 × 0, 6 = 0, 5 ⇔ Q2 ≈ 0, 83333
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Questão 2(f)
Como P(X < 1, 0) = 0, 6, Q3 tem que ser maior que 1,0.
P(X < Q3) = 0, 75 ⇔ P(X ≥ Q3) = 0, 25 ⇔
f (Q3) + f (2)2 × (2 − Q3) = 0, 25 ⇔[(1 − 0, 4Q3) + 0, 2] (2 − Q3) = 0, 5 ⇔2, 4 − 1, 2Q3 − 0, 8Q3 + 0, 4Q23 = 0, 5 ⇔0, 4Q23 − 2, 0Q3 + 1, 9 = 0 ⇔
Q3 = 2 ± √4 − 4 × 0, 4 × 1, 90, 8 ⇔ Q3 = 2 ±
√0, 960, 8
A solução no domı́nio de definição de f é
Q3 = 2 − √0, 960, 8 ≈ 1, 275255
Outra possibilidade é o cálculo da área sombreada de cinza escuro, que deve ser igual a 0,75. Essa é a áreade um retângulo de base 1 e altura 0,6, mais a área de um trapézio de bases f (1) e f (Q3) e altura Q3 − 1. Aárea do retângulo é 0, 6 × 1 = 0, 6. Logo, a área do traézio tem que ser 0, 75 − 0, 6 = 0, 15.
f (1) = 0, 6
f (Q3) = 1 − 0, 4Q3
0, 6 + 1 − 0, 4Q32 × (Q3 − 1) = 0, 15 ⇒(1, 6 − 0, 4Q3)(Q3 − 1) = 0, 3 ⇒1, 6Q3 − 1, 6 − 0, 4Q23 + 0, 4Q3 − 0, 3 = 0 ⇒
− 0, 4Q23 + 2Q3 − 1, 9 = 0 ⇒0, 4Q23 − 2Q3 + 1, 9 = 0Essa é a mesma equação de segundo grau obtida na solução anterior.
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