Elementos de Calculo Diferencial e Integral em R e Rn

Prévia do material em texto

lculo iferenci 1 
e ln r 1 m 
Adlina Azenha 
Maria Amélia Jerónimo 
McGRAW00HllL 
LISBOA• SÃO PAULO• BOGOTÁ., BUENOS AIRES s GUATEMALA 
MADRID .. MÉXICO ª NOVA IORQIJE @ PANAMÁ 9 SAN JUAN .. SANTIAGO 
AUCKLAND @ HAMBURGO e KUALA LUMPUR @ LONDRES 
MILÃO • MONTREAL" NOVA DEU G PARIS " SINGAPURA .. SYDNEY 
TÓQUIO º TORONTO 
McGraw-Hill 
A Division ofThe McGraw-Hill Co111pa11ies'i2, 
ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL em IR e IRN 
Copyright© 1995 da Editora McGraw-Hill de Portugal, L.dª 
Todos os direitos para a Língua Portuguesa reservados pela 
Editora McGraw-Hill de Portugal, L.dª 
Estrada de Alfragide, Edifícios Mirante, Bloco A-1 
2720 ALFRAGIDE - Portugal 
Telef. (351-1) 472 85 00 - Fax (351 - 1) 4718981 
E-mail: mcgraw.hillport@mail.telepac.pt 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo 
sistema «retrieval» ou transmitida por qualquer modo ou por qualquer 
outro meio, seja electrónico, mecânico, de fotocópia, de gravação ou outros, 
sem prévia autorização, por escrito, da Editora. 
Depósito legal: 115216/97 
ISBN: 972-8298-03-X 
1E2PO 1062M03T5 
1E3P02082M05T5 
Capa: Pedro Matos 
Composição e Paginação: Neograf - Artes Gráficas, L.da 
Impressão: Tipografia Lousanense, L.dª 
Impresso em Portugal - Printed ín Portugal 
Referêm::ia 
Acilina do Nascimento C. Rodrigues Azenha, Professora Adjunta do Quadro do Instituto 
Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, lecciona no ISEL 
desde Maio de 1986 e lecciona no Depaitamento de Matemática do Instituto Superior Técnico (IST) 
desde Janeiro de 1974. É licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciências de Lisboa e obteve 
o grau de Mestre em Matemática Aplicada no Instituto Superior Técnico, em Janeiro de 1988. 
Maria Amélia G. Brandão Jerónimo, Professora Coordenadora do Quadro do Instituto Superior 
de Engenharia de Lisboa (!SEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, representante da área de Mate­
mática no Conselho Científico do ISEL, onde lecciona desde 1974, Professora do Ex-Instituto Indus­
trial de Lisboa, de 1966 a 1974. Licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciênciar,; de Lisboa. 
Embora, ambas as autoras tenham participado na elaboração de todo o livro, em particular 
nos Capítulos m e VIII, a concepção e estrutura básicas dos Capítulos I, IV e VII devem-se a Acilina 
Azenha e dos Capítulos II, V e VI a Maria Amélia Jerónimo. 
Este livro destina-se aos que estudam as matérias tradicionais nas disciplinas de Matemática 
nos dois primeiros anos do Ensino Superior, principalmente Politécnico. Poderá, no entanto, ser útil 
a alunos de cursos universitários como, por exemplo, Engenharia, Gestão, Economia, ou Matemática, 
como complemento de textos mais avançados, pois contém mais de 500 exemplos resolvidos e 
exercícios propostos com resposta. 
Para os que consideram que os alunos de Engenharia do ensino politécnico poderiam dis­
pensar a Matemática como disciplina autónoma, faz-se notar que treinar os alunos no uso de receitas, 
fórmulas e tabelas cuja fundamentação desconhecem, não os ajuda a enfrentar na sua vida profissio­
nal os constantes avanços da ciência e da técnica, nem a adaptar-se a mudanças de funções profis­
sionais. Não nos podemos limitar a ensinar e automatizar os tópicos que as disciplinas da espe­
cialidade exigem. É necessária uma formação matemática coerente em que os alunos percebam 
como funcionam os métodos e quais as suas limitações, de forma a poderem adaptá-los a novas 
situações. 
Além disso, é de salientar que os conceitos matemáticos exigem uma compreensão progres­
siva e amadurecimento de ideias, pelo que é impensável uma preparação intensiva de última hora. 
Assistir às aulas ou ler resoluções de exercícios é manifestamente insuficiente, pois é ao resolver 
sozinho os exercícios que o aluno se apercebe das dificuldades da matéria, sentindo então a neces­
sidade de consultar os livros ou procurar a ajuda do professor. 
Os conhecimentos mínimos necessários à compreensão das matérias versadas neste livro são 
os que normalmente se exigem nas provas especificas de matemática de acesso ao ensino superior. 
É claro que os alunos que necessitem podem consultar outras obras onde estas matérias são tratadas 
de forma mais ligeira. Os alunos interessados poderão aprofundar e aperfeiçoar os conceitos teó1icos. 
estudados. Tanto a uns como a outros, recomenda-se a consulta das obras indicadas na bibliografia. 
Este texto baseia-se nas aulas teórico-práticas que as autoras têm leccionado no Instituto 
Superior de Engenharia de Lisboa em várias disciplinas da área da Análise Matemática. Os capítulos 
enquadram-se nmna sequência possível de leccionar a matéria, mas os professores podem optar por 
outras sequências, conforme a estrutura do curso. 
Os Capítulos I e H complementam o Cálculo Diferencíal em IR e a Geometria Analítica 
esíudo os alunos iniciaram no ensino secundário. No "'ª1Jmmv 
em mn, se bem que, devido ao mvd dos alunos 
métodos de 
lineares de ordem n de coeficientes constantes; ao 
fenómenos concretos que são modelados por diferenciais mostram a sua '"'"'""'''u"""º'"" 
à vida real. no vm estudam-se as séries numéricas de da forma que 
é habitual nos cursos de ~u'"vurn~u·~· 
'-'"'u'"""'L· Sistemas Lineares de bd~"ª'""''" I:'ite:rer1cfaüs, 
Tranformada de e de Fourier e 
desenvolver estes assuntos numa 
VIJJIHRI""· agra­
que m;;u;;"'•"' .;;;u1. a fim de serem cor-
AcrLINA AzENHA e MARIA AMÉLIA JERÓNIMO 
PREFÁCIO .............................. ...................... ...... .. ....... ............. ..... .... ...................... ... ............ .... Vil 
CAPÍTULO 1 
Compleme11tos de Cálculo Diferenciai em IR ..... ................................. ................. .............. ......... ]. 
I.1. Breve Revisão e Estudo de Algumas Funções ............ ..... ... .. .......... ............... ....... ............... 1 
L 1.1. Funções polino1niais ........................... .................... ., .... ..... ... ... .................. .... .... .......... 1 
I.1.2. Funções exponenciais e logarítmicas ...................... ............. ................................ ....... J· 
I.1 .3. Funções trigonométricas ...................... ................. .. .......... ... .... ................ ......... .. ......... 5 
I.1.4. Funções hiperbólicas ............ .... .... ......... .................... ..... ...... ................ ..... ...... ...... ...... 9 
I. i.5. Prolongamento por continuidade. Classificação de descontinuidades ............ .. ....... 13 
I.2. Complementos Sobre Derivação .... ... ,. ....... ... ................. .. .. ... .......... ................... .... ..... ....... 16 
I.2. 1. Derivadas de funções definidas parametricamente ..... .. .. ................................ ... .... ... 16 
I.2.2. Derivada de funções definidas implicitamente ..... ...... ......... ........................ .... .. ....... 18 
I.2.3. Derivada logarítmica .................. ............ ............. .. .. ....... ........ ..................... ....... .. ..... 20 
I.2 .4. Derivadas de ordem superior à primeira ...................... ... .... ............................... ....... 20 
I.2.5. Derivadas de ordem superior à primeira para funções compostas, 
inversas, definidas parametricamente e implícitas . ............ ................ .. .............. ... ... 22 
I.3. Fórmula de Taylor e Aplicações ..... ........ ..... ................. ..................... ............... ............. ...... 25 
I.3.1. Fórmula de Mac-Laurin e de Taylor ........................... ... ................................ .. ...... ... 25 
I.3 .2. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação 
de extremos e pontos de inflexão .......... .............................. .............. ..... .. ............ ..... 30 
I.3.3. Estudo de funções .. .......... .... ... ......... ... ..................... ............................. ...... ...... ... ...... 35 
CAPÍTULOH 
Breves Revif.lõesde Geometria Analítica .. ..... .. ...... ........................... ......... ............... ....... ....... .. ... 49 
II. l . Introdução ............... ....... ............... ........ .... ...................... .......... .... ................ ....... ..... ..... .... 49 
II.2. Breves Revisões de Geometria Analítica ........ .................. ..... ....... .......................... .... .... ... 50 
II.2.1. Em IR.2 .... .. ... . .. . ........ . . ... . .... .. . . . .... . ... .. .. ... . .... . ... .... ... . ... ... . ... .. . ... ........ .. ... ... . ........... . .. .. 50 
II.2.2. Em IR3 .... ............. ........................... .................. . .. ...... . ... .. .. . ..... .. ................ . .. ... .... .. .. 55. 
II.2.2.1. Recta e plano ........... .... .. .. ......................... .... ......... .............. ....... .............. 55 
H.2.2.2. Superfícies de revolução ........ ................ ........ ..... .... ................. ... .. ........... 56 
U.2.2.3. Quádricas ........... ....... ... .......... ............................... .................. ... ~ .. .. ..... ..... 58 ··· 
II.2.3. Sistemas de coordenadas ........................................................................................ 64 
II.2.3.l. Coordenadas cartesianas .......................................................................... 64 
II.2.3.2. Coordenadas ................................................................................ 64 
II.2.3.3. Coordenadas cilíndricas 66 
II.2.3A Coordenadas esféricas .............................................................................. 67 
III 
Cállculo Difen,~nd.:id em IR n ........................................................................................................... 71 
HI.l ~~'·"•"m Escalares e Vectoriais ............................................................... 71 
""'·"'<'"""' ......................................................................................... 71 
............................................................. 75 
HI.2 ~~ .. ~,,~ Escalares ............................................................................................................ 83 
1. Breves ................................................................................. 83 
HI.2.2. Limites e continuidade ........................................................................................ 86 
IH.2.3. Derivadas direccionais ........................................................................................ 98 
HI.2.4. Derivadas Plano ................................................................... 104 
III.2.5. Teorema do valor médio ................................................................................... 109 
III.2.6. Derivadas de ordem à Teorema de Schwarz ......... 109 
III.2. 7. DiforenciabiHdade. . .................................... 116 
HI.2.8. Derivada da 
HI.2.9. Gradiente. .. .......................................... 137 
IH.3. . ........................................................................................................ 148 
III.3 .1. Limites e continuidade. Matriz Dfferenciabilidade. Diferencial.... 148 
UI.3.2. Derivada da .......................................................................... 154 
supen<)rà Matriz hessiana ............................... 159 
HI.3 .4. diferenciais .................................................................................... 162 
HI.3.4.1. . ....................................... , .............................................. 162 
IH.3.4.2. Rotacional ......................................................................................... 165 
III.3.4.3. . ................................................................ : .......... 168 
,.,.,., . .,v,.w ............................................................................................... 170 
inversa .................................................................................................. 174. 
IH.4. Fórmula de e extremos de campos escalares ..................................................... 178 
IJt4. J. Fórmul.a de ............................................................................................. 178 
Extremos livres ................................................................................................. 183 
.1::~x1:remaos condicionados .................................................................................... 194 
X! 
IV 
P:rimitivas e Cálculo em IR ......................................................................................... 205 
IV. l. Primitivas ........................................................................................................................ 205 
ºº'''ºººº'''º'''''º''º''º''ºº''ººº''º'''º'''ºº'ºº'º'º''ºº''º'''''''''º''º'''º''º'''ºº'º''''º''ºº'ºº'º'ºº'''205 
imediatas ............................................................................ 207 
'''º"º"'º"º'º'º'º"º'ººº'º""''ºº'ººººº""""ºº"'"º"ººº"ºº"º""º"'ººº""º208 
............................................................................. 211 
""''"'"'''"envolvendo e x ................................... 222 
~ÂA,~A~'~A~"C~~ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 226 
em IR ................................................................................................... 237 
IV.2.1. Somas de Darboux. de ................................... 237 
IV.2.2. .. ............................................................................ 242 
IV.2.3. .. ................................................................................ 246 
IV.2.4. de Barrow ................................................................. 250 
IV.2.5. e por ............................................................. 256 
IV.2.6. . ........................................................................................... 261 
IV.2.7. 
IV.2. 7 .1. Cákulo de áreas de ............................................... 265 
IV.2.7.2. Cákulo de de linhas ........................................ 269 
IV.2.7.3. Cálculo de volumes de sólidos de ...................................... 271 
IV.2.7.4. Outras aplicações dos ........................................................... 275 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 277 
CAPÍTULO V 
...................................................................................................................... 285 
V.l. ·············································································································· 285 
JU\OUAUv<>V e ·~~~·~~~ ..................................................................................... 285 
V.1.2. Cálculo de Teorema de Fubini ................................................. 291 
V.1.3. Teorema do Valor Médio ...................................................................................... 303 
V.1.4. . .......................................................................... 305 
........................................................... 307 
V.2. ..... ,. ....................................................................................................... 314 
ai:HJtcac:oes .................................................................. 314 
.................................................................................. 315 
nu1u"''""'ª de variáveis. Coordenadas cilíndricas e esféricas ............................... 321 
VI 
329 
VI. l º 1 º Generalidades sobre linhas 
329 
329 
332 
333 
339 
~ ... ,,~,,,··-·de linha de campos vectoriaisº A de trabalho 0000000000000000000000•000 341 
conservativosº do caminho 34 7 
Teorema de Green no 350 
356 
356 
de campos escalares 0000000000000000 363 
Vl2.3 º APJ!lca(:oes ~Uf'ºS;LV'"'" 0000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000 368VI.2.4. de campos vectoriais. Cákulo do fluxo 
un1eri2:e111cia ou de Gauss 
VI.2º6. Teorema de Stokes 
373 
377 
381 
VII 
e 
Ld"''-'""'""'" diferenciais ordinárias e de derivadas 00000000000000000000000000000 393 
de diferenciais de famHias linhas 000000000000000000000000000.401 
ºº'ºº'º'ººº'º'ºººº''º'º'ººº'ºº'ºº'ººººº'ººººº'ºººººº'ººººººº'º'ºººººººº'º'''ºº'º'ºººººººº'ºººº'ºººººººº'ºººº'ººººººººº'º403 
'-'vl'"ª"'v"'" diferenciais de variáveis 
"-'"I'"ª"'""" diferenciais nmnoi~eneas 
406 
406 
419 
VII.2º3º ""VI'""'"'""" diferenciais da forma y' "" ax + by +e 00000000000000000000000000000000000000000 427 
dx+ey+ f 
""vi'"ª"'""" diferenciais exactasº Factor M~.~~~~~•·õ 
hQ1!lacoes diferenciais lineares 
L'-! l!.11o::•1,;v"'" de Bemoum 
433 
448 
454 
457 
463 
--------------·-------
VH.3.1. 
VII.3.2. ~f.PH"'"""'"" "'rn"'"'"'"'c diferenciais de l.ª ordem. 
1 "º'"''r·trw·rnQ ort1:igcmai1s. Envolventes. 
VII.3.3. Teorema de existência unicidade para 
diferenciais de l 
VH.4. Diferenciais Redutíveis à .ªOrdem 
VII.4.1. Existência e unicidade de para eqliac·oes 
Vlt4.2. de diferenciais redutíveis à 
VII.4.2.1. 
VII.4.2.2. 
VII.4.2.3. YJ'"!UIUVV"'" 
VH.4.2.4. Ll..llLll<ll,,oVÇ;, 
481 
487 
491 
493 
493 
495 
497 
499 
504 
Diferenciais Lineares de Ordem 11 ............................................................... 505 
VIL5.1. Teorema de existência e unicidade ................................................................ 505 
VH.5.2. do 507 
º'VH.5.3. uvu•yuu 
método 
dos coeficientes indeterminados .................................................. 523 
VH.5.3.3. da método 
da das constantes ........................................................... 529 
~;~~A~0~A~A~U 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000••00000000•000••00000000000000000000000•000000000000000 538 
VIII 
VIII. l. Séries Num.éricas ...................................................................................................... 545 
VHI. l. l. Séries e de ....................... 545 
VIII.1.2. Séries de termos não ................................................................... 558 
VHI.1.3. Séries alternadas. absoluta ................................................... 567 
VIU.1.4. Cálculo upyv~.IH><<YV 
AJÂ~'°'n'-•A'VH.PU ooo•••••••••••••••••••••oooo•••••••••••••••••••••••••••••••••••••oo••••••••••••oo•••••••••••••••••••o•••••••••••••oo•••••• 577 
VIII.2. Séries de ...................................................................................................... 581 
vm.2.1. Séries de IUfíCOl~S 
VIU.2.2. Séries de 1->vc•"rn""'"'· 
VIII.2.3. Séries de 
BIBLIOGRAFIA 
~~·º~·~·e uniforme ... ,. ........................... 581 
588 
593 
601° 
609 
" G@e@®~®0@a®0ee@oe~eêo ~@®©®®@0©e@ GQ ~6®G0 0 0 Qes@&®®~@e o ~e~@oeG ae@000@©~@ 00@ CApll~ULO 1 
álculo 
le 
if 
ntos e 
rencial e m IR 
A maioria dos assuntos deste parágrafo já é do conhecimento de quase todos os alunos. 
Assim, optou-se por expor sucintamente o essencial evitando-se a maioria das demonstra­
ções. Algumas propriedades (crescimento, limites, etc.) e valores duma função são evidentes 
a partir do seu gráfico, pelo que o conhecimento deste é importante para entender o compor­
tamento da função. 
Entre as funções mais simples encontram-se as funções polinomfai.s, isto é, da forma 
P(x) = a xn + a xn-1 + a xn-2 + · · · + a x + a n n-1 n--2 1 0' 
onde n E IN é o grau do polinómio e ª n' an-1' an--2, •• • , a1, a0 E IR são os coeficientes. 
Vejamos alguns casos particulaf~:;: 
w As ftmções constantes p(x) = C; 
«1 As rectas p(x) = mx + b, não paralelas ao eixo das ordenadas, que intersectam o eixo 
das ordenadas em b e têm declive m; 
~ As funções quadráticas p(x) = ax2 + bx +e, (a -:t:- O), cujo gráfico é uma parábola com 
a concavidade para cima se a > O, ou para baixo se a < O e que intersecta o eixo dos 
xx nos zeros da função. 
o 
par, temos uma 
que 
y y 
X X 
y=xn(n> 1, 
y 
X 
y = -n (n > 1, par) 
y = -n (n > 1, ímpar) 
Complementos de Cólrnlo Diferencial.em$; >~;:< 
·:~:, ... · 
Recorde-se ainda que, sendo/: <;f/J -7 IR se diz, por definição, queg:/(20)-7 IR é inversa 
de f(g = 1-1) se y = g(x) <:=:} x = f(y) . Daqui resulta que o gráfico da inversa duma função f 
se pode obter do gráfico de/trocando o papel do x pelo do y, ou seja, tomando para gráfico 
de 1-1 o simétrico do gráfico de f em relação à bissectriz dos g_uadrantes ímpares. Assim 
ternos para n E lN, os seguintes gráficos: 
y y 
o X X 
y = Vx (n > 1, par) y = Vx (n > l , ímpar) 
1.1.2. Funções exponendais e Rogaritmlcas. 
A função y =a! só se pode definir se a> O. O seu domínio é IR e o contradomínio éIR+. 
O gráfico depende de a: 
y y 
o X X 
y = ax (a> l) y = ax(O<a< l) 
Tem-se: 
1 
a > 1 :::::> lim ax = +oo e 
. x~+co 
lim ax =o 1 
X~-<XI . 
Estas funções são invertíveis, designando-se a sua inversa por logaritmo na base a. 
Assim: 
o a: 
y y 
y= X (a> 1) y= X (O< a< n 
Tem-se: 
>l~ X = +oo e Hm Ioga X = -00 
x->O+ 
O<a<l~ 
Em particular, a é o""'""''·""'"'""'-""'' e = 2,718 ... , é a constante de 
o logaritmo na base e diz-se ne1Jer1aIJ10 
Propriedades tem-se 
uma da 
É passar para a 
Sejam 
Então 
Logo, para "l/x > O e a, b > O, 
1.1.3. Fun~ões trigonométricas. 
As funções seno e coseno estão definidas e são contínuas em IR. Tomam valores no 
intervalo [-1, l], são limitadas e são periódicas de período 2n. Os seus gráficos são: 
n/2 X 
----~---- - -- - --- - 1 
y 
- 11: 
o X 
- 1 __________ _____ _______ ___ .:-:-__ _ ....._. __ 
rm1çc1es seno e coseno 
recta: 
e outras: 
senx 
cosx 
1 
cosecx"" ~-~· -
senx 
1+ X 
sen ± =senx· ·cosx 
""'2senx · cosx 
senx± 
cosx+ 
sen · cos y ""' 
X 
sen-"" 
+ 
cosx 
X;--
senx 
1 
secx=-­
cosx 
1+ X= 
cos = COSX· 
senx·seny = 
cosx · cosy = 
cosx-cosy"" -2 
X 
cos-= 
2 
X 
X 
X 
X 
= 
2 
+ 
-n: X 
y y 
rr;/2-----------
X 
---------- -n/2 
-1 X 
y =are senx y =are cos x 
essa inversa a 
y 
Esta 
are lR--7 ~[ 
é tema = X +=ea = 
X 
Complemento§ e Integral em lR 
u' 
. cos u =-u' · cosec u · sen 
=-u' · sen u =u'·secu·tgu 
u' 
tg =--
1+ 
=-u' · cosec2 u cosec ~-
O seu e 
Chama-se coseno "'""'"'~'" 
[1, +oo[ e é uma 
Tem-se x= x, x= shx, x = x e eh" x = chx. 
X > o ==> ex > e-x ==> X > O; = O; X < o ::::> ex < e-x ::::> X < o 
E lR ==> chx >O; 
elas só terão extremos em 
terão 
X 
= 1. Então, como estas AUJJ.•V'-'"'"' 
onde a pnme~ira ",,.'."""''"' 
o 
+ + 
o + 
o 
o 
o 
+ + 
1 
+ 
+ 
y y 
X 
A razão se 
x= a, y = a, então a- -y2 = 1, 
= l, com x = cos a, y = sen a, 
y 
-1 
X 
Complementos em IR 
X X 
y = arg shx y"' arg eh x 
x= y <:::> y = arg X <:::> X "" ---
2 
e2Y - eY - 1 = o ==> eY =X:!: 
e7 >O, E então é o +. 
e Y = x + ,J x 2 + 1 :::::> y = + :::::> arg 
1 arg eh x = ln ( x + ..Jx2=1) · I 
As 
as suas 
seu> O 
(arg 
(arg 
(arg 
Tal como as 
1-
± = 
tem-se: 
- u..Jl +u2 ' 
seu< O 
=--,se u>l ou u<-1 
1-
= ,.------, , se arg 
U\/1-u 2 
X 
± 
± 
u>O e O<u<l 
<0 e O<u<l 
X 
=2· 
x+ X 
Complemento§ 
+ = shx + chx. 
Mostre que 
e2x -1 
=--· 
e2x + l' 
se a definida por y = é par ou 
para 
a 2õg. Neste caso, a função g 
EXEMPLO 1.2: IR _, IR, definida por 
=(~)X 
x-2 
e seja g: IR _, definida por =ex 1n<x2-1i-x 1n(x-2i. Mostre que g é uma restrição 
'llx E '2llg. Tem-se: 
q]Jg ={x:x2 -1>0Ax-2> ={x: <-lvx>l)Ax>2}=]2,+oo[. 
x 2 - 1 > 0 /\ X - 2 > U 
u { x: x2 -1 < O /\ x - 2 < O} =] - 1, l[ u ]2, + oo[. 
Para vx e '2llg tem-se: 
= exln(x2 -J)-xln(x-2) = 
ln--[ (x2-Jy] 
= e (x-2)' = 
EXEMPLO 1.3: 
dades. 
Parax <O ex :;t:~2 a 
nos .,.,,.,,,_,,,c-h'""~ 
nencial são contínuas nos 
ex= L 
Como 
descontínua de 2.ª 
definida por 
lnlx + 2J +are 
1 
sex <O. 
X 
se O< x < 1 
2 
sex > 1 
as descontinui-
nu'"''"~" tlm1J:en1te e expo­
x = 0 
Hm = ~oo, 
no x=~2. 
Complementos de Cálculo Diferencia! em IR 15 
mas o ponto x = O não pertence ao domínio de f, logo afunção é prolongável por continuidade ao 
pontox =O. 
Finalmente, dado que 
limf(x) = 1- rr e lim/(x) = 1 + Ti , então~limf(x), 
x--;i- 2 x--;1+ 4 x--+I 
pelo que f não é prolongável por continuidade ao ponto x = l . Neste ponto há uma descontinuidade 
de 1.ª espécie. • 
EXERCÍCIOS 1.4: 
1) Estude do ponto de vista da continuidade a função f IR ~ IR, definida por: 
Resposta 
Recordando que 
limx" = 
+oo 
1 
o 
$ 
oo (sem sinal) 
Então, pode escrever-se 
1-1xr 
f(x) = (x2 - 1) · lim--. 
1 +lxl" 
sex > 1 
sex = 1 
~ ,~1~· =n se -l< x<l 
sex = -1 
sex < - 1 
{
1 - x 2 se lxl > l 
f(x) = O se x = ±1 
x2 - 1 se - 1 < x < 1 
que é contínua em IR. 
2) Sendo <p definida em IR, contínua no ponto 1, dada por: 
sex ~ l 
se - l<x<l 
sex ::;; - 1 
se lxl > 1 
sex = ±1 
se -1<x<1 
Determine k. Estude a 
HnJayc'" o contradomínio da 
ou ínfimo todo o seu aormmto 
do 
Jr: 
k = - · fé descontínua de l.ª 2, 
C.D.= 
efJ definida em dada por 
em x = -1 e é contínua em lR \ } . 
M . li: 
ax.=-; 
2 
M . li: 
1n.=--. 
2 
sex~O 
sex <O. 
X EJR. 
Determine k por forma que efJ contínua em lR e, fixando k no valor determinado o 
qual a fica estritamente monótona em calcule o supremo e o ínfimo de em lR. 
k = l; o supremo de é l + n e o :ínfimo de 
2 
éO. + 
Seja y = f(x) uma função definida parametricamente por: 
te 
que este é 
dy 
-= 
hé e que o teorema é 
Complementos 
= ou 
EXEMPLO I.5: definida 
y= (tE 
Pede-se a derivada da x =O. Há que determinar o correspo11dente valor de t. Ora 
é dada 
(x-a) 
x=O:=:>t=O=}y =O, a recta = L + 
18 
em tomo 
a 
se 
IR IR" 
y= 
X ~ y= 
y 
y. 
t, corres-
a 
X 
EXEMPLO 1º7: uma 
x 1"Y - are 
Calcule no de ordenada l e escreva uma 
dx 
Derivando toda a e considerando y como 
x 1"Y • lnx · y' + 
y 
x ln 1 - are sen - l) = tg 
+y-
4 
dex, vem: 
tal que o par 1) 
ç:, are sen - 1) = O ç:, x2 - l = O ç:, x = ± 1. 
Mas X= -1 não serve, porque a v"''~u.vu,-.~,x lny não está definida 
é ~N,...~'''~ 
= 
obtém-se: 
-2 + y' = y' · sec2 ç:, -2 + y' = 
4 
<:::::> y' = 
no x = L A recta tan,geinte neste 
y- (x-1) <:=;> y-1 = 1) <:=;> y = -2x + 3. 
de <pnesse 
a 
Integral em IR e IR11 
y 
+ l)+x -cosxln2-2xln3 ::::> 
y' l 2x , ~ e' [ x 
::::> - ""~--+ l+senx· ln2-2ln3 ::::> y = --+ 1 +senx ·ln2-2 
y 2 + 1 2cosx x2 + l 
sentar por: 
mesmo se 
, ou 
a, 
ema, 
que se 
que as 
Complememtos 
~~~~~~~~~~~~-~~~~~~~~· 
'ou 
ser seguinte 
= 
p=O 
EXEMPLO I.9: 
Tem-se 
= 
p=O 
= (2x- =-2; = 2; -2x)(pl =O, >2. 
as únicas 1Ji:!li.;c1•w do somatório que não se anulam são as corres1po11toe1nes a p = 1 e p = 2. 
como 
= = l E 
= 1000! (-2) + 1000! 
999! 2 
= 1000 (-2) + 1000 . 999 = -2000 + 999000 = 997000. • 
+ 
EXEMPLOUO: 
diferencial: 
2 vezes diferenciável em 
Fazendo a 
em termos de 
"'4 
e2x • 16 e-2x 
<:::> 16 
dx 
dx dy 
d 
vem 
outros 
+ 
-3 =ex, 
e mostre que a 
<:::> 16 
diferencial se reduz a 
Complementos 
EXEMPLO l.U: invertível num. nn•,rn·~•n e IR. Mostre que sob certas 
é dada por: 
e esta fórmula para calcular a 2.ª derivada da x= arg 
Como é sabido 
X= arg 
Então 
que 
EXEMPLO I.12: 
Calcule dx2 no 
d l d 
dx 
dx 
dy. 
dx 
dx 
=:> y = sh x =:> = eh x ::::::> 
dx 
shx 
---= 
uma definida 
= sect 
= 
= shx. 
ch2 x -sh2 x = 
dt 1 
·-=---------
dx 
que 
= sec t · tg t => = sec t · t + sec3 t e = sec2 t :=? = 2 sec2 t · tg t ~ 
d 2y sect·tgt·2sec2 t·tgt-sec 2 t·(sect·tg 2 t+sec 3 t) tg2 t-sec 2 t -1 
~~= = =-~ 
l + t = sec2 No 
rc 
t=~ 
4' 
= f(;;) uma 
= 3. 
Derivando em ordem a x: 
2x+2 
= 1, 
Em 3), temos = O. Derivando novamente: 
Substituindo O ey = 3, vem 
l+ =0 => 
1.14: definida 
X = t + t3 e 
- _2, 
- 2. • 
t+l 
z= uma duas vezes diferenciável em tal que 
a 2.ª derivada da c01nposta, g no x = O é 2. + 
t tg3 t 
""O. 
por 
=Oe = 2. Mostre que 
e 
e 
por um 
em e[ um 
n, 
+ + +···+ 
que: 
= 
+ + ... + 
= = O =:> 3 c1 E e[, tal que 
= = 0 =:> 3 C2 E C1[, 
=O =:>3 que 
=O = 
lntegrnl em IR e 
·-----
+ + , t E 
+ + + 
+ 
que: 
ema e q]j, 
+ + 
, com te 
,,ucuu~'-"" resto de ordem n. Este resto "'"U'~"''-'~ por resto 
de para o de 
+ com =0. 
x->a 
Em casos tem-se: 
Complementos 
.~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~-
=o 
éum 
para X 
xn 
• ex =l+x+-+-+ 00 ·+-+ 
2! 3! n! 
+1)=x--+--···+ 
2 3 
~ senx = x--+--···+ 
3! 5! 
111 cosx=l--+--···+ 
2! 4! 
~ (l+ 
E 
ema e 
a, tem-se 
<lx-
emlR 
X 
grau 
em a e se lx - ai ~ 1, 
+ 
lntegrnl em IR IRn 
EXEMPLO 1.15: 
= cosh X em fórmula de Mac~L:mrin com resto de ordem no 
Mostre que para O < x ~ 1, se tem: 
x 4 <4! x-l- < °COshxº 
2 
< 
Utilizando a alínea desenvolva cosh ecos e mostre que para 
~3, se tem: 
cosh -cos com 
= coshx = cosh O = 1, n E Il'L 
= senh x = p 2rr-1l(x) = senh O= Oº 
a fórmula de Mai> Laurin só contém termos de ordem parº 
b) Tomando n = 4 e t entre O e x , fica 
x 2 cosht 
coshx -1- - = --x4, 
2! 4! 
com O < t < x ~ L Para x > O, cosh x é crescenteº 
x4 
O < t < x ~ cosh O < cosh t < cosh x => -
4! 
x• x2 x4 
=> - < cos x - l - - < - cosh x =:::> x 4< 4! 
4! 2! 4! 
cosh t x 4 
--x4 <- coshx=> 
4 4! 
xz 
-1 - < X 4 COSh Xº 
2! 
/ 
(ompleme11tos 
xz 
e) Dado que se provou anteriormente que para valores de x """"'"""""Q de zero se tem cosh x "" l + -
2!, 
e 
b) 
com < /x/ 3 , tomando x = temos cosh ""' com < 
Para desenvolver cosh 
-Laurin de cosh x. 
basta substituir x por 
cosh 
x 2 x 4 cosht = l+--+--- .. ·+--
2 · 32 34 • 4 ! n ! 
com t entre O e Do desenvolvimento conhecido de cos x, obtém-se: 
cos 
xz x4 
=!---+~--···. 
2. 32 34 • 4! 
Tomando n = 5, então 
cosh 
cosh 
x2 x4 
""l+--+-- com 2. 32 34 • 4!, 
xz x2 
-cos ""2·--=- com 2. 32 9 , 
=are tg x2 
Escreva a fórmula de Mac-Laurin resto de 3. ª ordem. 
Usando a aHnea 
are 
24t7 - 40t3 x 3 
= x2 + 3 · - , com t e 
(1 + t 4 ) 3! 
x3 
---- ~---=o .• 
< 
< 
na fórmufa de Mac-
e lntegrnl em IR IR~ 
\ 
y y 
o 
extre-
extremo num a, 
~ --"---"~~-- extremo 
tem extremo em 
n extremo ema 
y 
3 
y=x 
X 
, com t E ou a[. 
<O::=> 
>O, V x e e 
< Ü, X E 
> O :::;> f crescente em a 
<0:::;>/ ema 
é ""'14!1 ""1>" 
é m º'""""" 
31 
extremo em a 
EXEMPLOI.17: 
= l5x2 -15x4 =O=:> 
= 30x-60x3 
;t O, n = 2 
;to, = 2 que há 
os extremos da definida por: 
= 5x3 -3x5 + 10. 
=o=:> X= O, ±1. 
= = 30. 
=12 é um máximo. 
= 8 é um mínimo. 
= O, há que continuar a derivar para tirar conclusões sobre o x=O. 
= 30-180x2 = 30 ;tO, n = 3 
que uma conca-
no 
y -a), 
) E 
Do mesmo para 
E 
X 
\ 
=O, para k = 2, ... , n~ L 
*O. Então com resto n: 
, com t E ]a, ou a[ 
ou para 
n 
n => 
EXEMPLO I.18: de inflexão da do 
_,._., ..... - I.17. 
Para o estudo dos de inflexão interessa achar os onde a 2.ª derivada se anula. 
= 30x - 60x3 = O ~ 30x (1- =O:::::>x=O, ±-. 
2 
= 30-180x2 1= 0 (n = 3, :::::;>X = 0 é de inflexão. 
i:O (n de inflexão. 
e l11tegrnl em IR e IRn 
·~~~~~~~--~~~ ~~~~-~~~~~~~~-~~~-
EXEMPLOI.19: 
tal que: 
IR --1' IR uma contínua em 
>O, >O; 
= l; 
=-1; 
a extremos locais e absolutos e 
5 vezes diferenciável em IR\ 
As l mostram aíi um de inflexão. 
2 mostram aí um máximo focaL 
de inflexão em -1 e um mínimo focal em -2. 
só ter extremos em deste se a 1. ª derivada 
se anular neles. Poderia por isso haver extremo nos teorema de RoUe \ 
teria de existir um x E 3[ no =O, o que não se verifica. 
um máximo em 2, a tem a concavidade para baixo para x E 2 + Como 
>O, 'ílx >O, 
mudasse o sentido da concavidade de x = 2, então teria de intersectar o eixo dos xx 
de mudar a concavidade 
ser x = 3, que será um de inflexão. 
y 
Em resumo: a tem um máximo absoluto em x = 2, um 1nínimo absoluto em x = -2 e 
de inflexão em x"' O, ±3. + 
~ Lª e 2.ª 
limite ser+= ou-= e que a rectax =a 
-·---------X~ a-.) 
m= lim f(x) 
X-'>+= X 
Complementos 
o com-
x-+a 
X~ a+, OU 
b= 
tal que 
e Integral em e IR[I 
~~~~~~~~~~~~~~~ 
EXEMPLO ll.20: Esboce o =ln nointervalo 
o estudo da em IR. 
cos2x> ={x:-~+2kn<2x< n: +2kn 
2 2 
11: 
--+kn<x 
4 
7r 
-+kn 
4 
E 
A de n:, este é o menor real tal que 
= cos 2x~ ln 
Então basta estudar a 
não está definida em 
Como 
f(-x) =ln [cos 
par. para conhecer o gráfico 
Não faz sentido procurar as~amptcitras 
ilimitado. 
[2(x + n)]} = ln 
=ln (cos 2x) = f(x), 
estudá-la em [O, : [. 
o dominio 
de fazer 
u ... 
contém u:m intervalo 
com o eixo dos yy: x = O ?9>P>ri-P''""' ao 
com o eixo dos xx: y = O ::::::> ln 
-7'4 [. trabalhar apenas no intervalo 
= O ~ cos 2x = 1 ~ x = O, porque estamos a 
Complementos em IR 
~2sen2x 
= =-2 tg 2x =O:::::::> tg 2x =O:::::::> x =O; 
cos2x 
XE 
que nunca se anula e é sempre 
inflexão. 
X 
<O 
o 
o 
-11:14 
4 
cos2 2x' 
a concavidade é sempre para baixo. Não há 
rd4 
\\\\\\ 
\\\\\\ 
\\\\\\ 
y 
11:/4 311:/4 5nl4 
X 
A tem máximo absoluto em x = 2kn: (k E .l) e o contradomínio é }---00, 
EXEMPLO 1.21: um estudo tão 
se x s; O 
sex>O 
com da 
de 
e lntegrnl em 
x=a.A não é par, nem 
se x::;; -2 
se -2 < x:::;; O 
sex >O 
X+ e-2-x' 
m = li.m = 1 + lim -~ = l; 
x-t+oo X x~+oo X 
x-->+oo 
y = x é as~>i.rrtptiota em +oo. 
Logoy= O é 
x<-2 
y = mx + b em-oo: 
X.-.)-00 X X~-00 
b = Hm ex+Z = O. 
> 0;-2<x< O <O; parax> 
regra de 
se x <-2 
se-2<x<O 
sex> O 
toma sempre valores maiores que 2x. x>O 
X < -2 , OU -2 <X < 0 > 
se x < -2 
se-2<x<O 
sex >O 
)=O:::=>x=~. 
2 
>O. 
(ompleme11tos 
X 
f'(x) + 
f"(x) + 
u 
tem um máximo 
= e-2• Tem 
-2 
-
+ 
1 '::,iU 
mas não aoi;m111to 
de inflexão em 
o Ji 12 
+ + + 
- o + 
e-2 ,li() ,li 7lU 
X 
= l. Tem um mínimo mas não 
x=O e x=-. 
de não se ter calculado as derivadas nos 
ae11m,çao de conduir-se do gráfico 
O domínio de diferenciabfüdade é]-«>, -2[U] 
EXERCÍCIO 1.22: 
sex<O 
sex;:::: O 
+ l. 
sex;;::: O 
sex<O 
2 
x = -2 ex = O (o que teria dle ser feito 
não existem derivadas nesses 
+oo[. O condomínio é +=[. + 
extremos, monoto-
o seu contradomínio. 
b) 
e lntegrnl em e lR" 
Máximo=M 
Mínimo= m = f(l) = e-2; 
Ponto de inflexão= I = --· 2 , 
C.D. =IR. 
m 
""mmn·t"t'"' X= O, e y =o e em 
MlÍnimo ==f(-1) =--e-1; 
Ponto de inflexão= -1 
C.D.= 
y 
m 
X 
y 
X 
e) 
-2 -1 M 
-+--
1 -'13 
As:símLOtc~tas x = O e x = 2; 
Mínimo = f(l + 
Máximo 
Pontos de inflexão: x = -2, 1, 4 
C.D.= IR. 
--oo),y =o 
=-e-2; 
Máximo = 1; 
Ponto de inflexão = (3, -2e-3); 
C.D. = ]-oo, l] u ]2, 
Complementos em IR 
y 
y 
X 
ex=-1; 
e) 
As:simllotc,tas y = -x 
Não tem extremos; Não tem 
C.D.= IR. 
1.23: = f(x) uma definida 
=a t + sen t) e 
1.24: 
6t 
y 
etr1camente por 
=a t-t cos 
6t2 
e 
l + t 3 1 + t 3 
U5: = uma definida por 
x•eny + cos (x =ln com 
Cakule 
X 
com a, t> O. 
=O. 
pmran1eu1ca11m~me por 
=O. 
b) sendo z uma 
""arcsen t e 
e) g. Cakule e escreva uma 
1.26: y 
+ =In(e+y-
Escreva uma da recta normaJ ao 
1.27: z=x2 +6xey 
uma invertível em tal 
em ordem ay, no 
1.28: Deduza a y= 
1.29: 
emx= O. 
1.30: 
=y + 
e utilize-a para cakular a 2.ª derivada de 
1.31: 
Calcule 
Mostre que 
y 
vezes diferenciável em JIR. 
em termos das derivadas 
extremos em O e em 1, então 
de ordenada y = 1. 
= l = 2. Calcule a derivada dez 
X , de = sec2 y. 
segtemum de inflexão 
e 
e l11tegrnl em e mn 
·~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
I.32: 
Usando a fómmla de de 
I.33: 
vezes -··-·-.. -·.­
tem um extremo em x = O. 
I.34: 
no a= :rc, 
estritamente decrescente em IR Calcule 
Escreva a fórmula de Mac-Laurin = 3'0~•, com resto de 3.ª ordem. 
1.35: 
e escreva 
1.36: sendoy 
1.37: uma 
Hm 2 · 3seu - 2 - 2x - x2 = 2(ln 3 -1) . 
• ~o 3 
+ 1) e = (t + l )ºº' 1• 
das n~ctas tangente e normal ao 
(xy + 1) 
definida por 
= 
definida implicitamente por: 
+ earc SO!lX -y = O. 
sex<2 
sex>2 
x=O. 
I.38: 
=are sen t e = 
I.39: 
D= =O. 
Determine o no =x. 
I.40: Partindo da fórmula de 
volva a 
no a=2 = ln(x- com resto de 4.ª 
ln(x ~ n 
= x-2 
I.41: Sejay = f(x) definida parametricamente por 
= 2cos t sen t e = 3 cos2 t. 
Escreva a fórmula de Mac-Laurin def(x), com resto de 3.ª ordem, para t =O. 
b) Indique um valor aproximado def(0,01), com !enol < (0,01)2• 
e) Usando a), seftem mínimo ou de inflexão em (x, y) = 
I.42: Sejay = f(x) uma função definida por: 
tg(x + 2) 
4a +2xa 
sex <-2 
sex >-2 
e IR\ 
em 
desen-
Determine o domínio de f e estude a 
descontinuidades. Determine o valor de a de modo 
co11tirmi!1ad.e. classificando as ""''"n;•P.1<: 
I.43: g(x) 
vezes diferenciável em 
de inflexão em x = O. 
por continuidade ao 
+are sen 
=O = 2. Mostre que g tem um 
l11tegml em IR e IR_n 
1.23: = tg t; =(a cos3 
I,24: = = 
l-2t3 
1.25: =O. = e) 
:t26: x=O. 1.27: 3. 
1.28: 
l 1 l 1 
=--=---=--
dx l+ y l+x2 
1.29: =-1; =L 
1.30: t , V%x -5 {[ 2x 1 earcgx -- --+ 
x2 +1 l +x4 3 
1.31: coshx senhx. 
senhx x) senh2 x coshx. 
1.32: 
2n3 2 
1.33: 
1.34: 
x2 x3 
3senx = l +X ln 3 + - ln2 3 + ~ 3son1 
2 3! 
3 cos3 t- 3 ln2 3 cos t sen t-ln 3 sen 
O< t<x. 
1.35: 
1.36: 
1.38: 
I.39: 
1.40: 
I.41: 
1.412: 
(ompleml!mfos 
<x. 
b) z)-3/4 e) um máximo em x = =3. 
E u -1 
por continuidade ao x = -2, se a = -1 ln 
emx=-2+n/2+ com x <-2, as descontinuidades são de 2.ª 
-ln2tg (x+ 2) 
= se x <-2· g(-2) =-ln 2· 
2 ' ' , x+ 
g(x) = -ln(-x), se -2 < x ~ -1; =ln 2x + 1 , se-1 < x <-1 /2; g é diferenciável em Ç!)Jr 
X 
n 
1iti•1ri:mrilfl e Integral em IR e IR" 
~~~~~--~~~-~~~~-- -~~~~~~~~~~~ ·~~~~-
No W.ºano o 
esse Neste momento 
que e E IR e não são .:i>H.U.UM.<H . .,,<UH'-'JUL" 
as coinpommt(::s 
+ + + + Ey + F =O, 
com A, B, D, E, F E IR e A* o V B * o. o r<>.r•1n1rnf"n 
2. º grau em x e y nem sempre rerífm;enta 
As ""'' ''ª""u"" 
+Byz+ + Dx + Ey + F = O, 
seA=B 
se A · B > O A ;t: B 
seA·B <O 
se A= O v B =O. 
+e= o, em 
que A e B são 
n;;cta na 
uma 
coor-
de 
X 
centro e rna 
Para as a 
em 
EXEMPLO U,l: o que verificam as 
xz + -5 =O. xz + =O. e) xz + +2 =O. 
x2 + -2x+y-3 =O. e) 2x2 + +4x- -8 =O. x2 -4=0. 
x2 +4=0. 2x2 + -8 =O. i) 2x2 + + "'o. 
Integral em IR em~ 
j) 2x2 + =O. 
5x2 - + lOx-2 =O. 
x2 + -2x + -5 =O. 
l) 4x2 
o) 
r) x2 
é uma circunferência com centro 
éo 
e) 
+ 8x -5 =O. 
+ 4 =O. 
x2 + = 5 
O) e raio 
x2 + =O 
x2 + =-2 
4x2 +8x- +4=0. 
3x- + 4 =O. 
-2x+l)+ +y+l/4)=3+1+1/4<=?(x- +(y+ = 17/4 
e) 
é a circunferência de centro e raio--. 
2 
+ 2x + l) + (y2 - + = 4 + 4 + l <=? (x + 
é a circunferência de centro 
éa 
2) raio 3. 
x2 yz 
-~-=l 
4 4 
y 
+ 
X 
i) 
}) 
l) 
é a com semieixos a = 2 e b = 
-a 
éum vazio. 
éo 
+2x+l)-
Ç::> + -(y+ 
x2 
--=l 
4 4 
x2 y2 
-+-=l 
4 8 
y 
o a 
2x2 + =-8 
2x2 +y2 =0 
+ + 1) = 5 + 4 + 
=8~ 
2 
éa de centro -1), semieixos a= b= 
é semelhante ao da 
X 
~ 
"d 
8 
e y=-1 ± + 
y 
~~~~~~~\~-'c-~--+--1!--~~~~-~-~~~ 
X 
-(y+ 
Não tem termo Y"" 
Intersecta os eixos em 
e 
o vértice é 
X 
x= +y+2 
éa o 
é uma n~cta; y = + 2. 
-2x+l)+ 
éa de centro 
r) xz-
com 
é um vector ao 
Para uma recta que 
e semieixos a = e b = 2. 
+ =O <=:>x2 -(y·~ =O<=> [x-(y- · [x + (y- =O<=:> 
<=::;> (x - y + · (x + y - = O 
formada reunião de duas rectas: y = + 2, y = -x + 2. • 
+ + +D=O, 
x-xo =Y-Yo =z­
u1 
um 
uma recta. 
a 
e Integral em IR e IR" 
EXEMPLO H.2: Escreva uma da recta que passa por P e contém o vector u: 
e) 
e) 
u=Q-P Q = 2, O) 
x+l y-1 z-2 +5=0 .l 
--=--=--=rç:;.r= 
2 3 -1 + 3z - 7 = O .l 
{
3x- +5 =O 
<:::> r = 
x+2z-3 =O 
x-l y-2 z-3 
--=--=--=r~r= 
1 o 2 
x-l 
o 
x2 + = 9. b) z=4-x2• 
-z+l=O 
=l 
=0 • 
.l xOz 
Breves Revisões de Geometria Analítka 57 
Resohl!ção 
a) Em IR2 seria uma circunferência com centro em (O, O) e r = 3. Em :iR3 é uma superfície cilíndrica 
circular, cujo eixo é o eixo dos zz. 
y 
b) Em IR2 seria uma parábola com vértice no ponto (x, z) =(O, 4). Em IR3 é uma superfície cilín­
drica com directriz parabólica; a geratriz move-se paralelamente ao eixo dos yy. 
z 
Sea geratriz se move mantendo um ponto fixo (vértice), obtemos uma superficie cónica. Se a 
directriz for uma circunferência e a recta que une o vértice com o centro da circunferência (eixo) 
for perpendicular ao plano da directriz, teremos uma superfície cónica ortogonal de revolução. 
Veremos a caracterização analítica mais à frente. Já vimos a importância destas superfícies 
em H.2.1. + 
As 
+ 
por 
+ 
em IR IRl!l 
uma 2.º emx,y, z; 
+ +Exz+ +Gx+ + Iz + J =O, 
C não srnmH:arn;arr1ente 
nem sempre rer1re1;enta 
+ + + 
qu~táncas com 
C:;t:OeG=I-I=I=O 
+ Iz + J =o, 
xxem o yyem o 
zz. 
CUU.HU,,,HoA• se escreve 
Ili-+ --=l 
y 
y2 
e -+---=O 
lntegrnl em lR e Ill" 
®' -~+ -~= 
z 
y 
=OvB=O que no 
1. º grau. Por 
tomar a 
z= + +e 
y 
X 
61 
tomar a 
éum ou o yy. 
z 
y 
e uma 
± (x - h)2 ± (y- k)2 + (z -1)2 = 1 
c2 
e centro em 1). No e:xi;rnpJ,1 v que se segue veremos como '"'"'"•'H"'"" s1l!pç;rt1.c1~~s 
que nos interessam 
EXEMPLO 11.4: 
5x2 + = 4z. 
x2 + y2 + z2 = 4. 
x2 + -z2 =O. 
j) 2x + y + 3z = 6. 
xz + z2 - 2x + 4z + 6 = O. 
z= 
com a concavidade virada para 
e) x2 
se seguern. 
definidas por: 
=4z. 
-z2 = 4. 
x2 + = 4. 
l) z = 4 - ~ x 2 + y2 • 
-x2 =4. 
+ 
e) 5x2 + 5y2 = --4z. 
-x2 + + z2 = 4. 
i) x2 =4. 
x2 + + 2z2 -2x-y-3 =O. 
eixo zz e vértice O, 
•t<m•'"'"' e lritegrnl em IR e IR" 
~~~-~~~~~~· ~~~--~~~~~ 
b) Parabolóide 
orientado o eixo dos xx. 
e) Parabolóide de em tomo do eixo dos zz, com vértice O, O) e virado para baixo: 
z= 
e) 
i) ciHndrica de 
j) Plano nos eixos são: 
f) Z""4-
Folha inferior da 
e raio r = 2. 
zz 
-~=I· 
4 4 4 , 
<0. 
em tomo do eixo dos xx (a= b =e= 
cm torno do eixo dos xx (a= b =e= 
x2 + -z2 =0; 
o, 
em tomo do eixo dos zz e com raio a2. 
de directriz e 
O, O) 6, O) O, indicados na 
z-4::;; O Ç;::> 
em tomo do eixo dos zz e vértice 
z::;;4. 
O, 
z 
y 
X 
Plano 2x + y + 3z = 6 
-2x+l)+ 
emquea=b= 
eixo dos zz que passa Yz, 
- 2x + O - y 2 + + 4z + = - 6 + 1 + 4 q (x -
em que a = b = e = l. É um 
ao eixo dos yy e que passa 
dHndrica com directriz 
X 
(x -1)2 
~--+ 
1 
z 
e 
_(z+2)2_l 
l - ' 
y 
z 
4 
y 
z=4-
+ (z+ =-1 q 
y 
>···················· (x, y) 
ez 
-------=+-----~----º 81 X 
porra 
r=llrll= 
{
x-
0 
y = psen8 
entre si com vectores 
z 
y 
p"" y, z) <::;> 
P. 
é, 
e r = ~ x2 + y 2 + z2 
pE (} E 211:[. 
é ""'""'"r" para rectas que passam 
que passam 
EXEMPLO 11.5: 
y= y=2x. 
x2 + -2x =O. e) (x- +(y- =2. 
y= <::=:> p sen 6 = cos e<::=:> p e-sen 8) =o<::=:> 
<::=:> p =o COS () = sen 8 <::=:> p == Ü V (J = <:=:>p=O e= ve= n. 
y = 2x Ç:::} p sen fJ = cos 8 Ç::; tg fJ = 2 com p :;": 0 Q (J = are tg 2 V p = 0. 
e) 
COS () = Ü Ç::i> p = 0 V p = 2COS fJ. 
Ora x2 + - 2x = O <=? (x - + y2 = 1 é a circunferência de centro e raio r = 1. Vemos 
que p "" 2cos () com fJ E 
e) (x- + (y- = 2 
é a circunferência com centro C 1) e raio r = 
(x - + (y- = 2 <=? x2 + - 2x - = O Ç::;> e+ sen ())=o~ 
Ç:;> p = 0 V p = 2cos () + 2sen fJ com fJ E 
cos 
=psen 
=z 
z 
pE , 8 E ZE 
EXEMPLO II.6: A~~"'.,"""'c•v as cn~,_,,.i-,"""'" que se seguem e mude~as para coordenadas cfündricas: 
xz+ -zZ=O. x2 + +z2 =16. e) (x- +(y+ ""2. 
3x2 + 3z2 = 3. e) - 4x2 - +z2 = 16. -z=O. 
z2 =x2 + 
cónica de em torno do eixo dos zz. 
z2 =x2 + qz2 = lzl =p 
absoluto da cota é 
b) É uma esférica de centro 
e) 
e) 
+z2 =16. 
cilíndrica de com ""'~'"h·n "''""'·~•M ao eixo dos zz e eixo que passa 
por Em coordenadas ciHndricas fica 
x2 + -2x+ =Qq e-- sen 6) "' o .ç::::. 
Ç:} p = 0 V p = 2 COS e- 2 Sen 8, 8 E 
z2 
+-=l 
3 1 
é um de uma de em tomo do eixo dos yy. A para 
coordenadas cilíndricas só fica fácil se orientar o cilindro o eixo dos yy, 
denadas ()) no xOz: 
= pcose 
=y 
Teremos: + =3.ç::::. -y2=3Ç=? = + 3. 
x2 y2 z2 
----+-=l 
4 4 16 
é um "'W•O~lfo~ de duas de em tomo do eixo dos zz. A dada é 
valente a: 
+ +z2 = 16<=:>-4p2+z2 = 16.ç::::.z2 = + 16. 
j) Éum em tomo do eixo dos zz, com a concavidade virada para 
Em coordenadas cilíndricas será =z. + 
lntegrnl em IR e mn 
à entre fJ, e 
em que se vê que z = r cos <p e p = r sen 
a 
X 
z 
y 
Po 
em II.2.3.3 nos con~ 
na 
EXEMPLO II. 7: ª"""·'"~!""as sui:1efl]C11es que se seguem e mude~as para coordenadas esféricas: 
x2 + +z2 =16. b) x2 +y2 -z2 =0. 
e) x2 + = l. (x - + + (z - = 2. 
''"'"'""""'"' esférica de centro O, O) e raio r = 4. Em coordenadas esféricas eviden~ 
temente, 
cónica de em torno do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica 
r2 sen2 <p-r2 cos2 <p =O Ç:? 
n 3n 
q;= l,(r:;t:O)q <p=-vqy=~, 
4 4 
que 
e) É uma cilíndrica de em tomo do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica 
r2 sen2 <p = 1 Ç:? r = com E 
No novo referencial a 
=x-1 
=y 
"'z-1 
da esfera dada é: 
x 2 + Y2 + z2 "' 2. 
as coordenadas esféricas convenientes são 
= sen ífJCOS fJ 
= r sen qJ sen fJ q 
= r cos qJ 
= 1 + r sen qJ cos e 
= r sen qJ sen e 
= 1 + r cos qJ 
Nestas coordenadas a da esférica é: 
r= 
U.8: 
1. os seguintes domínios 
x+y;::;OAy~2AxS: 0J = x2-y2 < l x2 + 
e) 0J= x2 + ;::;OAx2 +y2 - ::;; 0J = x+y<2Ay2 
2. os domínios em 
CZJ) = y, + 2z2 :2'. CZJJ={(x,y, xy< 
e) 05={(x,y, -3x2 -3y2 +z2 S:3}. 05"'{(x,y, X+ z2 + 1 :2'. 
e) 05= {(x,y, x2 + :;;4/\-3'5.z:;;~x2 +y2 }. 
05 = { ( x, y, x2 + + z2 < 9 A 1/3 + ::;; z2 ::;; x2 + 
3. Caracterize 1. em coordenadas 
4. Caracterize 2. e) em coordenadas ciHndricas. 
5. Caracterize em coordenadas esféricas. 
1. Domínio limitado de vértices (-2, 
2 1}. 
3. 
4. 
5. 
Domínio situado entre os ramos da -y2: 1 e fora da circun-
ferência de centro e raio L 
e) Domínio limitado 
e raio 2. 
circunferências uma de centro l) e raio 1 e outra de centro 2) 
Domínio limitado 
a) Domínio exterior ao 
Domínio situado entre os ramos da 
IJM•~•~.m ao eixo dos zz. 
e) Domínio situado entre os ramos do 
dos zz. 
Domínio exterior da 
dosyy. 
E [0, 3 sec 6] /\ 8 E [-"/4, are tg 
""2-x 
de uma folha com eixo no eixo dos xx. 
cfündrica de directriz e 
de duas folhas com eixo no eixo 
e 
um ramo duma cónica e um 
cónicas. 
V E 2 cosec &] (J E tg 
e, o :::;; r :s; 3 /\ o :s; e:::;; 2rr: /\ 
,. 
9 -911t e @ ® ® ®@@e() ewo e0•09@0«10@ 00©$@0 e «1@êtil @01 eoi» ~e o1J® 0®®@0@0tt @ oi1 fHf1e~oo& ®õ a. @o e e ei CAPITU 11 ~ 
lcul if cial 
m.1.1. Exemplos. Defini~ões. 
Até agora foram estudadas funções reais de variável natural, as sucessões, e as funções 
reais de variável real. Em várias áreas da Ciência, em particular em Engenharia, estudam­
-se problemas onde figuram funções escalares de várias variáveis/(x, y) ouf(x, y, z) que· 
representam uma função num espaço real de duas ou três dimensões de algumas quantidades 
físicas tais como áreas, volumes, temperatura, potencial eléctrico, etc. Tais funções chamam­
-se campos escalares. Em Engenharia são também necessárias funções cujos valores são 
vectores e não escalares, como é o caso da ve]ocidade dum ponto num fluido em movimento, 
as forças gravíticas ou magnéticas. Estas funções designam-se por campos vectorfais. 
Sintetizando: vamos passar do estudo das funções reais de variável real, f IR -o> IR, 
para o estudo das funções mais geraisfi mn ---7 JRm, com nem números naturais. Tem-se 
e l11tegrnl em lR e lR11 
e para 
comi= 1, 2, ... , m, 
= 1) ou 
lR"~ lR. 
ou 
EXEMPLOS de campos escalares: 
1) A que a distância de um z) do espaço IR3, a um fixo b, e) 
é dada por 
f(x, y, z) = ,.j(x -a)2 + (y- b)2 + (z ~ c)2 
com 
y,z) -> y,z) 
O volume dum ciHndro de 
num dado focal Terra: 
y, 
y, 
EXEMPLOS de campos vecto:riais: 
Na Cm1em:at1ca, 
o 
Cálculo Diferencial em ran 73 
quando se desloca em relação a um referencial). A cada ponto destas trajectórias corresponde um 
vector posição, que depende portanto do tempo. Teremos um 
r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 
dita equação do movimento: 
t ~ r(t) 
A partir df r(t) podemos obter a velocidade v(t) = r'(t) e depois a aceleração a(t) = v'(t). São 
dois exemplos defunções cujo domínio está contido em IR3 e com valores em IR3. 
5) Suponhamos um corpo C, que roda em tomo dum eixo. Em cada instante, o conjunto dos vec­
tores que representam a velocidade em cada ponto (x, y, z) de C formam o chamado campo de 
velocidades, v(x,y, z), da rotação. 
6) O campo de forças gravitacional: sejaA uma partícula de massa M fixa num ponto P0 = (x0,y0, zJ 
e seja B uma partícula de massa m livre de ocupar qualquer posição P = (x, y, z) no espaço. 
De acordo com a lei de gravitação de Newton, existe uma força p de atracção entre A e B dirigida 
de P para P 0 cuja grandeza é proporcional ao inverso do quadrado da distância, r, entre P para P 0• 
IP! = ~. com e= GMm (G = 6, 67.10-S cm3/gm · seg2 - é a constante gravitacional). 
rz 
e ~rir é o corre:si,onde1t1te vector unitário na "'"'""'""'u de 
actua emB é: 
c 
r=-­
r3 
y-
Então a 
7) eléctricos e campos consideremos um circuito eléctrico alimen-
tado por uma fonte de corrente contínua e por um pequeno espaço entre os fios. 
A de que a fonte manté1m 
campo eléctrico linhas de à se unemt 
as extremidades do fio que estavam as cargas vizinhas de sinais contrários ""'"'"-0v 
em sob das eléctricas e tendem a neutralizar-se. Este movimento de 
cargas age como uma corrente 
+ + 
Campo electroestá!ico na vizinhança 
dum circnito aberto. 
de cima para baixo 
Desaparecimento do campo eléctrico 
e aparecimento do campo magnético. 
O campo eléctrico ao mesmo que nasce uma corrente de deslocamento de 
baixo para cima e que fecha a corrente de co1m:tiilç~10 (s,egimalo Esta 
um campo linhas de 
círculos que envolvem o fio condutor e constituem um volume sensivelmente esférico. 
Os campos newtonianos são um caso 
dados por = r, onde r E IR3. 
k = - :r, k E IR:. 
r3 
dos campos centrais que são analiticamente 
Para determinar o domínio destas funções fazem-se as restrições habituais: denomi­
nadores diferentes de zero, radicandos (de índice par) nã.o negativos, etc. 
Começaremos por determinar domínios de campos escalares. Para os campos 
vectoriais basta-nos fazer a intersecção dos domínios dos campos escalares componentes. 
EXEMPLO IU.1: Determine analítica e graficamente, quando possível, o domínio de: 
a) f(x,y) ::: x/y. 
e) f(x, y) = ln (x2 - y2) 
g) f(x,y ) = ln cos(x - y). 
Resolução 
a) 
b) f(x,y,z)=.j4-x-y - z . 
1 
d) f(x, y,z) = - - - - ­
In(x2 + y2 + z -4) 
f) f(x,y, z) = .j9 - x 2 - y2 -z2 +ln (x-y). 
h) f (x, y, z) = are cos ln (x + y + z). 
~ = {(x,y) E IR2: y t: O} = IR2\{(x, O)}. 
Trata-se do plano IR2 com excepção do eixo dos xx. 
b) ~ ={(x,y,z)eIR3 : 4 -x -y-z2':0}= {(x, y,z) eIR3:x + y +z $4}. 
Região situada sobre e abaixo do plano 
x+y + z =4. 
z 
y 
e) 
e) 
z = 5 -x2 
e Integral em IR em~ ____ , 
> = 
y, z) E IR3:z > 4-x2 
de IR3 exterior ao 
com vértice em 
que a= 
lnx 
com concavidade virada 
UUllUA\~'-' de 
Trata-se do l.º da rectay = 1. 
y, z) E IR3: 9-x2 -z2 <::0 x-y> = 
e da esfera de centro O, O) e raio 3 formada 
ordenada é menor do que a abcissa. 
E IR2: cos (x > = 
E IR2: x - "h + 2kn < y < x + "li + kE 
y 
X 
h) 2/J = {(x, y , z) e IR.3: -1 ~ln (x + y + z) ~ l 1\X + y + z >O} = 
= {(x, y, z) EIR.3: 1/e ~ x +y+z ~ e}. 
Domínio situado entre os planos x + y + z = 1 / . e x + y + z = e, incluindo os planos. + 
EXEMPLO 111.2: Determine analítica e geometricamente, se possível, o domínio de: 
a) F(x, y)= x e1 + ,J-x2 + y e2 + x e3 • 
y2 - 4x 
b) F(x,y,z)= 1 e1 - ,J4-x2 - 2y2 +z e2 • 
x2 - y2 - z2 +4 
Resol.ução 
Na determinação dos domínios poderíamos fazer a intersecção dos domínios das funções coor­
denadas ou, o que é equivalente, fazer a conjunção das condições que os definem. 
b) 
2 
Zona plana acima e sobre a parábola y = x2, excluindo os pontos da parábola x = L. 
4 
Trata-se da região do espaço acima e sobre o parabolóide elíptico, com concavidade virada 
para cima, vértice em (O, O, - 4), excluindo o hiperbolóide de uma folha, de revolução em torno 
do eixo dos xx. + 
78 Elementos de Cólcu!o Diferencial e !retegml em IR e IRº 
·~~~~~~~·~~~~~~~~~~~--~~ 
Recordemos que o gráfico de uma função real de variável real,y = f(x) , é um conjunto 
de pontos (x, y) E IR2 tais que x E qJJ1 e y = f(x), o que muitas vezes constitui uma linha 
plana. Para uma função real de duas variáveis reais, z = f(x, y), o gráfiro será um conjunto 
de pontos (x, y, z) e IR.3 tais que (x, y) e qJJ1 e z = f(x, y), o que muitas' vezes constitui urna 
superfície no espaço. 
Nem sempre o gráfico de z = f (x, y) é fácil de executar mas há um método mais 
simples de o visualizar através das linhas de nível. É o que se passa com os mapas 
topográficos: linhas que unem pontos com a mesma altitude, sabendo-se que duas linhas 
consecutivas correspondem, por exemplo, a uma diferença de 1 O metros em altitude. A sua 
maior concentração corresponde a uma região mais íngreme. 
Para uma função z = f(x, y) chamamos linha de nível de cota k ao lugar geométrico 
dado por 
{(x,y) E q/):f(x,y) = k} . 
A função que representa a temperatura num ponto (x, y) duma placa plana Pé uma 
função/' P e IR2 ~IR. Seja 
f(x,y) = x2 +y2 e P={(x,y):(x,y)eIR2,x2 +y2 :::; 9} . 
O gráfico de z = x2 + y2 é um parnbolóide. 
Neste exemplo, as linhas de nível são circunferências e representam conjuntos de 
pontos nos quais a temperatura é constante (isoténnicas). Por exemplo, é uma linha de nível 
o conjunto 
L(4)= {(x,y): x2 + y2 = 4}. 
z 
y 
am IR" 
em de 
tem-se para k > O, 
y, y, E 
y, E e + + (z~ 
as 
EXEMPLO Hl,3: Determine o domínio e esboce o dos campos escalares que se seguem 
e trace ~·,,,·~·m~u das suas linhas de nível. 
e) 
e) 
= .J1 - x2 - y2 . 
Escrevendo 
z= 
= 2-x2 
=1-x-y. 
= 
::::::> x2 + + z2 = 1. 
h1tegrn! em n~ em~ 
Um processo de obter o 
com os coordenados e 
Neste caso, a com o 
rências de raio l e centradas na 
As Hnhas de nível são da forma 
duma f IR 2 ---'> 
linhas de nível. 
(z = 
= k, > O) ~ x2 + = l --
O<k<l. 
São circunferências centradas na e de raio menor 
o com z ;;;:: O, de raio 1 e centrada na 
z 
y 
X 
z = 2 - x2 - y 2 tem por domínio IR2 º 
maior for 
(z = é a circunferência x2 + com 
o 
o 
z = 2 - x2 e com o (x = é a 
~VºV•V•~~ de vértice em O, 2) e com a concavidade virada para baixoº 
y 
2 
y 
De forma semelhante se obtêm os 
z 
e) cónica. '2ll = 
z 
e) 
EXEMPLO IU.4: ~~v,cnAU""' ~V as 
y, z) =X+ y + Z. 
e) y, z) = ~9 - x 2 - y 2 - z2 • 
y 
X 
Plano. '2ll = 
z 
y 
y 
X 
-l::;;x::;;l}. 
y, z) =ln (4-x2 + 
de nível de cota k são dadas por x + y + z = k. São 
entre o de cota zero passa 
casos: 
k>O~ 
-z2 =O, 
_ i/-i. + i;_k 
em tomo do eixo dos zz. 
cónica de em torno do eixo dos zz. 
de 2 folhas de em tomo do eixo dos zz. 
e lntegrnl em lR e m.n 
~~~~~~~~-~~~~~~· 
e) y, x2 
o contradomínio? 
y, x2 + -z2 < .As 
y, ln (4-x2 + = 
y, 
a discussão sobre o vafor de k? 
~L'>dl.!<.il:""-'J'"-'~·"-'"" 111,5: 
1) Determine as linhas de nível iso,term11~as do campo de ten1perat1 no 
seg;mmttes fimçõe:s. Esboce ""l''"u'"'" dessas Hnhas. 
+ 
Considere o campo de rm:ss~Jes 
A 
. Determine: 
=xy. 
=are tg 
"""'"'u"''" dessas linhas. 
Determine as '"'~''" ''" 
y,z)=x+y-z. 
y, z) = x2 + yz. e) y,z) =x2 +y2 -z. 
xz 
=3x+ L 
y,z) em JR3: 
e) y,z)=x2 
y,z)=z-
dado 
x = y tg k, k ;;1: n:/2 + mr, n E 
2, 
3, Planos. 
e) esféricas. 
e) Parabolóidles. 
5x2 + = 
cfündricas de directriz 
cfündricas de directriz circular. 
supericires de cónicas com vértice em O, 
X,yE 
x= ... , ey= 
X 
a norma 
vector x-y. 
-se 
1 Br(a) = {x E :IR.": d(x, a)< r} j 
a se n = 1, 
= -r, a+ 
n=2, éum centro a e r. n= 3, é uma 
uma 
exterior a X sse uma centro em 
menos um 
o 
são 
int X u ext X u front X"' IR", 1 
X aberto sse ao seu 
Xà 
1 X = int X u front X 1 Então 1 ext X = IRn \X 1 
Prova-se que um 
ao seu 
a e a sua 
centro em a 
uma sucessão 
que X é 
uma de centro em a, 
uma 
IRn 
lfüem"""i"I em IR" 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
EXEMPLOUI.6: Considere os X e IR. n. Determine o 
isolados de X 
e) X= 
e conexo. 
E 
xy > l}. 
X e IR. 2 é o domínio da 
e) X e IR. 2 é o domínio da 
-1, IR.. 
X= 
X= 
-1l < X < A X E () A y E 
-1l < X < 11: X \f: () A y E 
ext X=]-=, l[ u ]5, +oo 
X :;t: X~ X não é fechado. X é uu,,na<uu, 
<X s; 
int X= ]-1, O [ :;t: X~ X não é aberto. front X= {-1, u 
X = O] U X= 1/n E = 
=0. 
E 
E 
X'= [1, X:;<: X~ X não é fechado. X é não é cornoa1cto nem conexo. 
e) xy>l}=X~Xé 
xy = 1}; ext X = xy < l}. 
xy ~ l}. X:;<: X~ X não é fechado. 
X não é nem conexo. =0. 
y 
X 
não con-
eB 
m>r1~rmm e Integral em IR e IR" 
intX = 
front X"' 
extX= 
X = int X u front X 
X não é 
São abertos: III. l 
m.1 • 
no caso 
EXEMPLO m:.8: Prove que 
·~~~--~~~~~~~~ 
ou conexos. 
São fechados: III.1 
(x,y)~(a,b) 
lim X 
(x,y)ry(0,0) 
é, 
=e, sse 
escrever-se: 
=esse 
+ =O. 
0:::::} X'= X. 
IItl e se 
É limitado: IH. l São conexos: 
Há que provar que: 
>O, 3 >0: 
Como lxl::;; temos 
lx + 
se + <o, isto 
então lx < 
como se ,,,.,.,,t_,,,,-1,. achar e tal que 
Neste 
são vezes 
+ 
+ + 
< 
< + 
::;; + 
+ 
<Ó, 
se 
8 e 
::;; + y2; 
etc. 
em 
não 
X----- a ------X 
(x, y) 
e 
para todas as rectas. 
e 
EXEMPLO UI.9: Calcule os limites direcci.onais em l) de 
umm'!~i1Utlll em IR" 
.~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~ 
., ª·"'"""''ªv de eixos definida por X = x + 2 e Y = y- l, transforma o 
dos limites direccionais em O) da 
Ficará 
limite ao 
xy2 
Hm ~--=lim 
X->0 X2 + yz X->0 
Y=mX 
EXEMPLO UUO: 
x-3y 
+5x 
xyz 
xz +Yz 
o limite na 
b) 
xy 
e) = 8x3y 
+y2 = ~xz + y2 · 
e) y, 
x+y-z 
= 
-y 
Calculemos o limite ao 
=xsen 
das rectas que passam em 
x-3mx 
Hm ----
l-3m 
,_,o 2mx + 5x 2m + 5 
y=mx. 
dado no cálculo 
m::1p1:::rm1::: de m, não há limite. Este é um em que uma ""'º"',.""'''"" directa 
J:ambém por este nP·nnitP concluir que os limites iterados existem e são 
meio se conclui que não existe Hmite. Com efeito 
O limite ao 
Hm 
x->0 
1 
5 
e Hm 
y->0 
das rectas que passam em 
Hm 
x->0 
2 
x mx -Hm 
)
2 -+ x2 x->0 
da formay = mx, é: 
Como o limite não de m, ou mas se 
entre x e y na somos levados a tentar o cákufo do Hmite ao 
1 
4 
é zero. Da 
da y = x 2 : 
Como o limite ao das rectas, não há limite. 
e) O limite ao 
Como 
então 
das rectas que passam em y= mx, é: 
8x3mx 
lim ----=0. 
x->0 x2 + m2x2 
haver limite. Neste caso, como o numerador tem um grau 
"""'"'"""'' que exista limite e O. Vamos tentar 
'\ló> o, >O: 
xz + < % =:> + 
, fica 
18x3yl 
<e:::::::>~--<ô. 
x2 + 
+ 
< 
que o limite é O. 
<ó, 
Os alunos concluirão facilmente que os limites iterados e direcdonais dão O. Pela"'"'"""'''>'«"· 
ô. 
Basta tomar e:::;; ó. Então: 
lim 9~=0 
(x,y)->(0,0) ~ x2 + y2 , 
e) 
porque 
'liô >o, 3 0< 
lim 
x+y-z 
(x,y,zH•(O,O,O) 2x - y 
Vamos tentar os limites iterados: 
Hm = lim 
1 
x->0 x->0 2 
lim =Hm ,,,,_l 
y->0 y->0 
Como os limites iterados existem e são diferentes conduimos que não há Hmite. mais 
limites iterados ser considerados neste 
existir limite duma mais de uma num 
mesmo que não exista um dos limites só de uma variável. Com efeito 
porque 
não existe Hm (x sen 
y->0 
mas existe Hm (x sen 
(x,y)-4(0,0) 
basta tomar e ::::; li, para que se tenha 
'lio>o,3 >0: 
=O, 
ou 
EXEMPLO 111.11: 
+ 
e) = 
se as 
x-y 
x2 + 
se * 
se 
se y ;t. -x2 
se y = -x2 
se 
se = 
Conforme vimos na aHnea e) do -···~ .. ·.-·~ -···-···~-, tem limite O no 
=O 
não tem Hmite no 
A será contínua em sse 
O)= 2. 
Calculemos o limite ao das rectas y = m x, que passam em 
li.m +x 
x->0 
x-mx ) 1-
=2+limx2 m2--=2. 
+m2x2 x->0 l+m2 
Provemos 
'ífô> o x-y 1 ~~-2<8. 
x2 + 
>O: 
~x2 +yz ·y2 lx+(-y)I 
~--~< = 
- x2 + 
O) e 
=2 
basta tomar 
EXEMPLO 111.12: 
y,z)= 
+ )<Ó=? + < !?_ ::::> ~ x2 + yz < 
2 
sem; 
se y, z) * O, 
em 
se y,z)= O, 
+ 
indicados: 
(x + 2)(y- l)2 
se * 1) ' l)=O;em = -1)2 
e) y)=k-:,-y' se * 1) 
em 
se = 1) 
use a linha x2 -y + = 
x2 + + z2 = r2 . Então ficamos com o limite duma 
2 
Hm sen r = 1 = O, 
r->0 r 2 
é contínua em O, 
Como se viu no ~, .. -... ~·~ 
da 
xyz 
+Yz 
se 
se 
duma só variável: 
= 
e) 
Integral em IR e IR" 
~~~~~~~~~~· ~~~~·~~~~~~~~~~-
ou a 
A 
dada 
Hm 
(X,Y)->(0,0) 
será continua em 1) 
=0= 
<1} u 
sse 
Hm 
(x,y)->(0,l) 
1) =o. 
Calculemos o limite ao das rectas que passam em 
Hm x =O. 
x+2 ~l-x2 -(mx+1)2 
Consideremos a circunferência de centro e raio 
O Hmite ao 
x2 -y+ =O<:::>x= 
da semicircunferência x = 
Hm~=~=Hm 
y->l y->l 
é 
= 1, 
y = mx+l: 
das 
• 
não há Hmite da 
é contínua nesse 
g em a e 
no 
n S1lg n 
então 
g, . g, 
EXEMPLO HI.13: Determine os 
+ 
b) 
*O, são continuas em 
are tgL 
X 
se 
se = O) 
= xy é contínua em 
E 
'21l = IR 2\ 
f 
""'"'""·"""' em IR" 
~~~~--~~~~~~. 
é continua em IR 2 
é continua em IR2• 
Nos do domínio que são diferentes de a é contínua porque é o 
denominador diferente de O) e c01np1os11;ao de contínuas. 
No ·~~, "0·~ é continua 
< 
X-?@ 
se E q)J f 
se x=a 
que, a é q)j, como é que o a que 
X---7ll 
ser um o nesse 
q)j e IR n _,, IR num asse não 
a esse 
EXEMPLO IIU4: 
1) 
se <0 
se 
se xz ~ >0 
Estude a 
Calculemos o Hmite de 
Considerando os limites ao 
tende para 
x2m m 
Hm -~-
x-.o x2 - x 2m2 1-
por tais que x2 - > O. 
V.W,JVHMV>.U do declive das rectas, não existe limite 
é contínua em O) nem é por continuidade a 
descontínua neste 
front 2ll = xz = 
o foi estudado. Analisemos os a) e 
derando os limites ao das rectas que passam em 
ª2 
---------"-~ = ~ = oo, 
o 
X 
a;t:O. 
é por continuidade aos O mesmo se passa para os 
Considerando os limites ao das rectas que passam em -a), y = -a + m (x -
lim _ _.::... __ __::__~e__= -- =ao, 
o a:t= O. 
x-M 
por continuidade aos 
1us.u111cand~J, se a defini.da 
fronteiro ao domínio. Em caso afirmativo 
O domínio 
Como 
front 21\ = = 'íf a E 
os limites ao das rectas que passam em 
Hm + are tg 1/x =O, 
x~O 
are é limitada. Provemos 
vô> O, 3 
Hm 
(x,y)~(O,a) 
=O. 
IYI = IY - a + ai :<:; !Y - ai + laj, 
KIVl>rlll"'""I em IR" 
--------· 
y =a+ mx, 
are tg J < ô. 
1 
are tg :::; 
2 
+(y- ·Ux2 +(y-a)2 + 
2 
+ 
basta iuu1ar 
Note que o resuhado anterior é válido porque como 
x2 + (y- < 1, 
A 
l 
are tg­
x 
+ 
se 
se 
(1 + 
tende para então 
A 
98 Eleme11tos de Cálculo IJifereíldal e Integral em IR e m.n 
- --
Consideremos um campo escalar definido em IR",f S1l e JRn -7 1R e seja a E int 91. 
Pretende-se estudar a taxa de variação do campo a partir de a quando nos deslocamos numa 
certa direcção. Suponhamos que nos deslocamos de a para a+ v. Cada ponto do segmento 
que une estes dois pontos é da forma a + ílv, À E [O, 1] e a distância a a é jjítvj\ = }~\\v\\. A taxa 
de variação é, portanto, 
f(a+Jw)- /(a) 
Ji,\\vl\ 
Def. III,3.3: Seja/ <!JJ e lR" -7 IR e a E int 21J. Chama-se derivada de/segundo um vec­
tor v de mn, no ponto a e escreve-sef:(a) ou/'(a; v), ao limite, se existir, 
f,'(a)=lim f(a+Âv) -f(a). 
V À.---;>Ü À, 
Em particular, se n = 2, com v =(vi' v2) um vector de IR2 e (a, b)E int 91, temos: 
EXEMPLO HI.15: Calcule !.,'(a) para 
a) f(x, y) = 2x-y, a= (-1, 2), v = (1, l). 
b) f(x, y)= xy + 2x2, a = (1 , l), v = (2, 3). 
2 
e) f (x,y) = ~ sex+y:;1:0, a=(l, - 2), v=(-1,3). 
x+ y 
Resoh1ção 
a) f(a) = J(-1, 2) = - 4; a + ílv = (-1 + íl, 2 + Â,); f(a + ílv) = f(- 1 +À, 2 + Jl) = 
=-2 + 2Â-2 - Â= - 4 + ít; f(a + Âv) - f(a) = Â; f '(a; v) = lim)., = li~ l = 1. 
Â->0 Â Â->0 
b) f(a) = f(l, 1) = 1 + 2 = 3; /(a + Àv) = f(l + 2Â, 1 + 3À) = 3 + 13Â + 14.í\,2; 
/ '( . ) - i· 13À + 14).2 -1 a, V - l ffi - 3. 
e) à .... o  
em 
. l 
e) = =lim- + = 
À.->0 Â À->0 Â 
=lim 
-8 
=8. • À->Ü + 
= + 
z 
n-~--'~~~~~~~~-~---
y 
X 
EXEMPLO HU6: 
ratura se mantém constante. 
que a derivada d:ireccional 
l 
llvll 
uma 
uma 
um campo 
""o. 
e lntegrnl em IR e IRl!l 
1, a 
1,1)=(1,0, então llvll =Há que provar 
O, no A= l, 1) é nula. 
1, l) = 1 Hm -------~ 
À-.>0 íl 
teremos + + 
EXEMPLO IR 17: = x + , a = 2) e a Hnha Y"" x = º 
= t2 
=t 
+ 
4.íl 4.íl .íl2 8JL )L2 
=4+--+4+--+-=8+--+-
F? F7 17 ffi 17 
íi,2 
8+--+--8 
=lim J17 17 =lim~--= 8 
ds 1..-,0 ít 1_,o 
+ 
"'""""''., uma num a E um 
µ,_,,,..,-,,..,, tomar u = cos a e] + cos f3 e2 = cos a e] + sen em que a e f3 são os 
são os cosenos vector. Em 
u = cos a t\ + cos f3 e2 + cos 
EXEMPLO HU8: Calcule a das derivadas direccionais em de: 
se Ir* o se r :;<d[) 
= (1· = 
se r=O se Jr =o 
se Jr""' o se y ;i<:-x 
e) = 
se r=O se y=-x 
+ se x·y:;<:O 
e) = = 
+IYI se x·y=O 
e) 
e) 
= lim -·----- = lim -~-
A-->o À A--;0 À 
cosa, íL sen 
a sena 
é contínua em 
sena 
= Hm ------ = oo, 
À-+0 íl,3 
11: 
se a* 0,-. 
2 
=O. 
cos2 a = lim -------- = Hm ------- - --~ 
il~O Â-->0 sen 
que é finito se sen a :;t:, O. Se sen a= O, então = O. 
Note que esta tem derivada direccional finita em 
apesar de não ser continua em O) como se viu no "'"''~U-'!Jlv 
Facilmente se verifica que é descontínua em O) e a "'".'""""'0 Q''" das derivadas direccionais 
em O) é 
-2 sena = lim ------=O se sen a"" O. 
il-->0 
Nos restantes casos a derivada direccional não existe. 
Caso contrário a derivada direccional não existe. 
= 
EXEMPLO 111.19: Use a 
=2x-y 
=xy+2x2 
a= 
a= 
+ 
v= 
1) v= 
e) , k, r E IR n e k vector constante. 
, em quer, 
+ t, 2 + 
= 1, mas como ;;f;;. 1, então 
+ 
linear. 
+ t, 2 + t) = + t) - 2 - t ::::: -4 + 
= 
e) 
e !ntegrnl em IR e IR" 
a+ tv = (1 + l + llvll= + 1 + = (1 + + + 
+ + (1 + 3 + 
A derivada do escalar 
+ + 
+ 
outras 
para n = 2, a 
=2+3+8= 
+ = + 
é dada por: + 
+ 
f(a + h, b)- f(a, b) 
h 
= 
em ordem aye 
13 
+ 
vector (1, 
vector 
+ 
São outras 
= 
EXEMPLO Ilt20: as derivadas 
2) e 2) = y lnx. 
se ::;t 
e = O) O) 
se = O) 
se ::;t 
e) e = O) O) 
se 
se ::;t 
O) e O) 
se O) 
ry se y ::t-x 
e) O) e O) = ;+y 
se y=-x 
= {:+ se ::;!:, 
e °\la E 
se = 
2 
= Hm /(e+ h, 2)- /(e, 2) = lim 2 ln (e+ h) - 2 = Hm e+ h = ~. 
IHO h h-->0 h h-->0 l e 
2)=Hm 
k k-->0 
O)=lim 
h h-->0 
=Hm 
k-70 k 
l11tegrnl em IR e mn 
e) Facilmente concluimos O) O)= O. 
e) 
Facilmente conduimos =O. 
=lim 
k->0 
_!: _ l 
l . l- l l' o o =im--=Im =. 
h h->0 h h->0 
-k --1 
. k l' -2 O)= hm-·~~ = ma- =oo. 
k->0 k k->0 k 
1-1 
= Hm ------- = Hm -- =O 'v' a e IR. 
h->0 h h->0 h , 
ª2 -k2 
l+ak---1 
= l:im ------ = lim --~ª~2~+~k=2 __ 
k->0 
ª2 -kz 
=a, ª2 + kz 
k k 
se a* O. 
Se a= O, 
1-1 
= Hm------= Hm-- =O. + 
k->0 k k->0 k 
Tratl:Hle de casos 
ser 
ser 
"""'"'""J'H'"'' feita no 
considerando agora u "" e1 e u = ep1:es<:nt:im, ~'"'''"º'~0~•0 as roxas de 
a, a do eixo dos xx e dos yy, res:pe,cwvarne11te. 
z-c= 
z-c= b)(y-
z 
------------ ---------- ::;;--t~~:b)- ------
, os vectores u e v 
u= 
v= 
b 
y 
rectas e s: 
e lritegrnl em IR e IRn 
·-~~~~~~~~~~~~- -~~~~~~~~~~~~~~~ 
vectores u e v não são 
=o, 
ou 
x-a y-b 
1 o =O~=+- /(a, b) = 1; (a, b)(x -a)+ .fy' (a, b)(y- b).1 
o 1 
determine uma do ao 
uma do 2, será 
z- 2 = 2/e (x- e)+ y- 2 <=> 2x + ey- ez- 2e =O. + 
EXEMPLO UI.23: Admitindo que nas que se seguem PO(Jen1ü usar as regras de deri-
cakule as derivadas de l .ª ordem de: 
x lny e) xy sen 
l -x 
y y2 X 
--xz=-~ 
l+-
xz + 
e) =y 
xy 
=x 
z2 
- "' ln X - z = lnx · ::: x) lny. • 
+ + 
+ em 
= . (1- , A E 1[ + + 
=llCx, 
determine íL E 1 [ tal 
1) (1, 
no 
-----··--------------------
e e as em 
"'"'""""~~u por: 
Note-se 
x' Y' x' = y· 
que as e 
= = 
e) 
calcule as derivadas 
X lny. 
o 
àx 
o 
=-
àx 
ô 
àx 
-1) 
y' lny 
de 2.ª ordem de: 
e) xy sen 1/,. 
derivadas 
ô 
l 
"'sen-; 
z 
y 
X l 
-- cos-; 
z2 z 
f"""' 
yz 
, 
lny. 
ô 
àx 
=-; 
y 
cos-· 
z2 z' 
1 
cos - - sen-· 
z3 z z4 z' 
=z xY'-1 + 
Calcule as outras derivadas de admitindo que 
EXEMPLO HI.27: definida por 
se 
se "" 
X 
""º; 
z 
=lim 
h->0 
=Hm 
k->0 
= lim 
k->0 
= lim 
h-;0 
=lim 
k->0 
por 
EXEMPLO HI.28: 
e Integral em IR e IR11 
,. 0-0 o 
=um~-= 
h h->0 h 
0-0 
=Hm-~-:o::O 
k k-+0 k 
e =Hm 
k h->0 h 
----O 
------=lim hz+kz =Hm---=l. 
h h->0 h h-->0 + k 2 
----0 
h2 J_ k2 hk 
------=lim ' =Hm---=0. 
k k->0 k lHO -\- k 2 
O) 1. 1-0 
= im-­
k-+o k 
0-0 
O)=lim--=0. + 
h->0 h 
zero 
y 
· are tg - - · are tg -
X y 
sex·y =O 
= Hm ~~~~--~-­
. 0-0 
= Hm ------ = hm -- = O 
h->o h k-40 k k->0 k 
h2 kk2 h · are tg - - · are tg -
= Hm '------- = lim h k 
k-+0 k 
= Hm are tg 
k->0 k 
-Hm 
k->0 
que a 
lc-+0 
are tg 
k 
k 
are tg-
= Hm h - O = h · l = h. 
h 
O) = lim ~!,,_' -----"-- 0-0 
= Hm ~--'-~~~ = Hm -- =O 
k-+o k h-+0 h h--;.O h 
= Hm ------= Hm (h are tg 
h-;0 h h->0 
h 
are tg -
-limk h k =0-k·l=-k. 
h->0 
k 
-k = lim -"-----"-'-- = Hm - = -1. 
k-->0 k k--;.0 k 
nem sempre são ""'"'"' 11.nv anterior 
como se verificou no ex1~m'D!O HI.27. É por vezes útil conhecer 
.,...m.,~~~·~ das derivadas cruzadas. 
então 
Por 
tem-se: 
EXEMPI .. O Hl,29: 
em IR e IR" 
e 
= = = 
IR 2 -+ IR definida por 
1 
sen­
y 
e é 
etc. 
sey;t.:O 
sey= O 
Calcule em todos os de IR 2 e determine o Xde nos 
Existem 
Schwarz? 
do 
Para y = O tem-se: 
X onde 
sen 
ô 
=-
ôx 
1 
sen-+ 
y 
1 
cos­
y 
l l 
sen--x cos 
y 
teorema de 
l l 
sen--cos-. 
y y 
1 1 
sen - -cos-. 
y y 
= Hm ------~ = Hm ~º--~º = Hm O= O. 
h-tO h h-+0 h h->0 
k2 sen _!__O 
=lim k =limksen_!_=O. 
k->0 k k->0 k 
O) 0-0 
= Hm ~----~-- = Hm --= lim O= O, 
h->0 h h->0 h h-;;O 
l 
sen--0 
= Hm ------- = lim ---=k~- = Hm ak sen _!_=O. 
k-00 k k-tO k k-tO k 
l l 
sen--cos-
y y 
sey*O 
sey=O 
.,,,.,,._..,.,,.., não teorema de Schwarz nos da forma 
de nenhuma delas é continua em 
EXEMPLO UUO: Para a 
O)=O, 
que 
O)= 1. 
Contradiz o teorema de Schwarz? 
é contínua em 
116 e h1tegml em IR e IR11 
= Hm "--'---'--..:;._~~ = Hm Q = lim O = O. 
h->0 h h->0 h h->0 
x2 _ yz 
= ... =X --- - --'--- ser* O 
X2 + 
= Hm -----~ = Hm Q = Hm O= O. 
k--+0 k k->0 k k->0 
Então: 
ser= O 
Facilmente se conclui que 
são contínuas em 
Schwarz. + 
iJ2f 
ôx 
que e 
e 
O) -k-0 
~---~-- = lim --- = -1 
k->0 k 
x6 _ y6 + 9x4yz _ 9x2y4 
+ y2)3 
são descontínuas em 
llz +Ax,y+ 
k->0 k 
e por isso não é 
ser= O 
o teorema de 
mfüe1m,[J11 em 1R" 1 
~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~~~~~~~~ 
z 
Az ------
y 
a cotas Pe 
EXEMPLO 111.31: Se z = xy + 2x2 cakule: 
A de&. 
nos deslocamos de 1) para use & para calcular 
& = (x + (y+ + + -xy-2x2 = 
= xy + x + y IJx + IJx + 2x2 + 4x IJx + -xy-2x2 
/jz = X + y IJx + IJx + 4x IJx + =x + + 
= 1) IJx = 0.01 =-0.l 
Az =-0.l + 0.01-0.001+0.04 + 0.0002 = -0.101+0.0502 = -0.0508. 
/jz = 1.01 X 0.9 + 2 X l.0l2 - 1 X 1 - 2 X l2 
1) + /jz = 3 - 0.0508 = 2.9492. • 
11iti>r<>m·i11 e Integra! em e IR" 
-------
Hl,5: E e 
porh ou e kou 
z 
éum 
+h, b+ 
o erro à com 
= lj(x-a,y-
É 
z 
(ólwlo Diferencia! em IR.11 .119 
~~~~~~~~~ 
variável não basta existirem e serem finitas todas as derivadas parciais de f num ponto para 
quefseja diferenciável nesse ponto. O que é relevante para que uma função seja diferen­
ciável em a é a possibilidade de se poder aproximar a função, em a, por uma aplicação 
linear. Geometricamente este facto traduz-se por: em IR, que existe recta tangente ao gráfico 
de/ em a; em IR2, que existe plano tangente ao gráfico de/em a. 
Seja, por exemplo, a função f JR 2 ----t IR, definida por: 
Tem-se 
f(x,y)= {~ sex· y =O 
sex· y=~ O 
J;(o, O)= O e J;(o, O)= O, 
mas/não é contínua em (O, O), logo não existe plano tangente ao gráfico de/ em (O, O), ou 
seja,fnão é diferenciável nesse ponto. 
Def. 111.6: Chama-se diferencial de z= f(x, y) no ponto (a, b) e representa-se por dz 
ou df, a 
df(a, b) = J;(a, b) · L1x + J;(a, b) · óy. 
Se considerarmos as funções z = x e z = y concluiremos que 
dz = L1x = dx /\ dz = Lly = dy, respectivamente, 
donde, chama-se diferencial de x e de y a L\x e .6.ye representam-se por dx e dy, respectiva­
mente. Teremos então que o diferencial de f se pode escrever 
df(a, b) = f'..(a, b) · dx + J:(a, b) · dy. 
X y 
De forma semelhante se define diferencial duma função escalar diferenciável f de n 
variáveis, num ponto a 
n 
d/(a) = f,' (a) dx1 + · .. + f' (a) · dx = 'Lf' (a)· dxk . 
x1 xn n x k 
k=i 
e lntegrnl em lR e lR11 
EXEMPLO III.32: se são diferenciáveis nos 
z= 
sexy ~O 
em 
sexy <O 
=x. 
Note-se que a será diferenciável em sse 
lim 
(Llx,Ay)->(0,0) 
Pelo exercício HI.31 
8z = X + y Llx + AJC + 4x AJC + 
Então 
Hm xAy+y.Llx+AxAy+4xAx+2(Ax)2 -(y+4x)·Ax-x·Ay =Üq 
<11x.t.yJ-;.(o,oi ~(Ax)2 + (Ay)2 
1. AxAy+2(.Llx)2 
.ç::, 1m =O, 
(Llx,t.yHo,oi ~(Ax)2 +(Ay)2 
a dada é diferenciável em 
As derivadas em O) têm de ser calculadas 
lim 
(h,k)-'>(0,0) 
0-0 = Hm ------= lim ~-=O 
h->0 h h-->0 h 
= Hm /(O, k)- f(O, O) = lim O - O = O. 
k->0 k k->0 k 
será diferenciável em O) sse 
l:im -r====O. 
(h,k)->(0,0) 
Tomando k = fica 
não existe que a não é diferenciável em 
EXEMPLO IH.33: Cakule o diferencial dz para z = xy + 2x2º 
dz = (y + dx+x 
exonu 
EXEMPLO IH.34: Use diferenciais para cakular um vafor apr0ox1m1H:10 da 
anterior no (LOl; 
Tomando 
teremos dz = -0º05º 
Então 
=(l, dx=Ofüe =-0º1, 
,l)+& 1) + dz Q /(LOl; 
Note que o erro que se comete tomando dz em vez de & é de 
Para uma n 
111.7: f IRn ~IR 
&-dz 
---X 100% = 0º0026%º • 
1) 
tem-se: 
em a e 051' sse 
""20950 
ao 
e) 
e Integral em IR 
~~~~~~~~--~~~· 
+ 
1 
·sen~~ 
x+y 
por vezes 
sex + y :;<!:O 
sex+ Y"' O 
o 
= 3x2 - y2 + X - + 3. 
ser ""'"""'""'"",ri o 
um cone com vértice na 
diferenciável 
z b) 
que não existe 
é de classe C1, 
. (x-
z 
2 
./ .... ><./ 
b)·(y-
y 
Nos restantes 
dado por: 
e) 
de dasse e 1 em é diferenciável em IR 2 • 
1 =L =-5. 
é: 
z X O)y~z= 3 +x-
é de classe C1• Para x + y =O: 
- a)= lim "-'---'--~-__e_ 
h-+0 
=0 
h 
=0 
k 
- a)= Hm "------~-­
k-+O 
+~k-aj- -ajk 
Hm --------r"===-----'----= O~ 
(h,k)-->(0,0) 
~ li.m 
(h,k)-->(0,0) 
l 
+ sen--
h+k =0 
-Jh2 + k2 . 
Temos um limite duma de duas variáveis. Calculemos o Hmite 
rectas que passam em k = mh. 
Então o limite 
Hm 
h->0 
1 
·sen--­
h+mh _ 0 
,Jhz +m2h2 -
> O, 3s > O, ,Jh2 + k 2 < e =:> 
1 
+ 
1 ·sen-­
h+k 
·sen--
=I l·lsen~1 1~1 h+k 
,Jh2 + k2 h+k 
<8 
1~ 
< 8 =:> 
ô 8 
-=:>s~-. :;:;; = 
3 3 
diferenciável em o em é z"' o. 
das 
que provar que 
ema, então 
=0, 
e 
+ 
i=I 
+I I· 
i=I 
se tem 
+ 
em 
e l/x- < E, então <o. 
a E então 
E IR 11 e tem-se: 
f(a + Àv) - /(a) 
k->0 À 
ema, escrever-se 
+ + com =0. 
Então 
+ = 
num 
se x 2 + ::::: l 
+ -1 se x2 + > 1 
e l11tegrnl em m e 1R" 
Estude~a à diferenciabiJidade e continuidade. 
Calcule a derivada direccional 
e) Escreva uma do 
Para x2 + > 1, 
Para x2 + 
existem no 
diferenciável 
A= 
e 
x 2 + < 1 
e menos uma delas é continua nos diferenciável em A 
No nem sequer existem as 
v,,,,,,,,,,,., agora o que se passa nos =L 
tal que a2 + b2 = 1, """O. 
= Hm -----~-~ = lim "'-----
h->O h h->0 h 
Se h é tal que (a + + b2 < 1, então 
. 1-~(a+h)2 +b2 • I-.J1+2ah+h2 
= hm · = hm · · = -a. 
h->0 h h->0 h 
Se h é tal que (a + + b2 > 1, então 
+ b2 -1 2ah + h2 
= Hm ------= Hm = 2a. 
h->0 h h->0 h 
isto é se os umcos circunferência nos 
diferenciável são FacHmente se verifica que não existe 
é diferenciável em nenhum da circunferência. Condusão: 
B= x2 + =lv = 
f não é 
um desses 
e) 
contínua em B. Nos 
é ou nã.o ser continua. Há que estudar a continuidade na 
da circunferência x2 + = L 
É evidente que a é contínua em 
que uma 
tais que a2 + b2 = l, 
tais que x2 + y2 :::;; l é zero e o Hmite 
tais que x2 + > 1 também é zero, 
em IR2• 
diferenciável em 
ser cakufada por: 
a derivada 
numa bola de centro neste 
""'''"'v''" contínuas. Nos 
tende para 
por 
se trata duma derivada direccional o vector v tem de ser neste caso será 
No (1, temos x2 + > 1, 
=2x e = 
então 
=2, = 
donde 
a é diferenciável neste 
z- + + 
ou 
+ -<::=?z=--x+~~y+l. 
2 2 2 
e i11tegrnl em 1R e mn 
EXEMPLO IIU7: 
1) definida 
Determine o domínio 0J esboce-o. 
······~,·-~ o o exterior e a fronteira de®. Será 0J aberto? E fechado? 
0J não é limitado nem conexo. 
e) Calcule 
Considere uma 
Sabendo 
Calcule 
contínua na 
onde a é um número real 
rendabilidade em 
Determine o domínio e calcule as 
rm1c111es. nos em que existem: 
xshy 
= ,Jx2 + y2 · 
com a E IR e a:;<: O. 
x2 ~ 
=l+xy--­
x2 + 
determine o vafor de 
= 
guma diferenciável em IR e 
dt. 
Calcule 
de cada uma das 
dt. 
que 
à dife-
5) 
a) 
b) o 
e) Estude a 
e calcule 
em 
O, 
6) guma real definida em IR 2 
Calcule 
Calcule 
concluir 
7) Considere a IR2 -> 
onde a é um número inteiro. 
De 5.1 
+y sexy>O 
dg 
e-
sexy:::;o 
à diferenciabilidade de g em 
definida por 
se "'O 
à diferenciabilidade em 
catetos medem 4±0.01 e 3±0.015 
(x;:::: O y > V (x ~ 0 AY < 
cen-
e) 
2. 
3. 
5. 
e) 
int qj) = 
Front qj) = x:::O 
y> 
=;} qj) não é fechado. 
Se =t 
qj) = 
f 
Int qjj = 
qj) = 
f 
O, 
e lntegml em IR e 
(x < 0 Ay< 
,qj)= 
O)= l, 
O)= O. 
fün 
(x,y)-t(O,O) 
::/= qj) ::::} qj) não é abe110. 
= 1. 
=0; = a, 'li a E IR. 
é de classe C1. Em 
y2 
=shy---~ 
2)3/2 , +y 
= 
+ 
f. = x2 e-x'y' . 
y 
Ext qj) = Front qj) = O, 
qj) é conexo. 
diferenciável em qj]; 2)2 , +z 
2z 
= 
O, 1) =LO~ 1.0 +e· e-1 • 2 = 2. 
=O. 
= Hm ~~~~~~ = 2 ;é LO+ 1.0 ~ g não é diferenciável em 
À->0 À, 
7. Se ::;; O, então é diferenciável em 
Se a> O, então 
O) O)= O 
e prova-se, diferenciável em sse a> 2. 
=x z 11Yno "" =--0.l; 
3, 8) = = =2; 
3, 8) = = 5 · · ln 8 · ~1 "" - 2.3 1; 
3, 8) = 
l 
y 
5.1 "'5. + "'10 + 2 X 0.1+2.31X0.1- 0.42X0.11z10.39. 
5.1 ""10.397. 
o erro relativo é 10 X 100%"" 0.7%. 
temos z2 = x2 + y2• 
X= 3 dx"" ±0.015. y = 4 = ±0.01. z = 
= t = 0.6 
= t = 0.8 
diz= 0.6 +0.8 X ~ --0.017 <diz< 0.017 
Portanto a 1.up1otenm;a é z tal que 5 ~ 0.017 < z < 5 + 0.017. t 
e lntegrni em 
=a e 
y= 
IR ~ ~ 
~ ~ z 
to ~ 
que 
z = 
é em t0 e teremos 
= + emquer0 = 
ou, como 
X 
"'.>! 
z t 
"'.>! l1 
y 
A 2.ª 
m"'"'"'"' em IR 11 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~-+~~~~~~--~~ 
em que 
X X 
":>! ":>! 
t t 
":>! /1 ":>! y y 
Se o tem-se: 
= 
dt2 
a expressão 
dt2 
em =a 
ey= em 
Então prova-se que 
z = 
em e 
+ 
+ 
em que = 
t 
/1 X 
':.! u 
z 
t 
':.! y 
':.! u 
As se são 
EXEMPLO III.38: que as rur1ço1es dadas são calcule: 
=xy+2x2 /\X"" Ay= 
e t=xlny. 
ôx 
e) + + y, z)"" ln r, em que r "" y, z) e r = e i' ;to. 
+ sendo = F 
dx 
= -+ = + + 
dt dt 
":>! 
X 
lny; ~ 
ax 
":>! y 
e) =2x 
a 
Faz~se v = =::> u = x2 
e) Há que cakular 
óU 
-=2x 
ax 
+xz 
iJv 
-=2xF 
ax 
iJv = x2 F' -x 
õ 
ax 
ar2 
l·r2 -x·-
iJ 
ax 
X 
r 2 -x 2r-
---~~-"""'- = -~-r,,_ 
r4 
+x2 F' 
r2 - 2x2 
r4 
tiramos facilmente as outras duas e, por 
y 
Ô X 
ax 
vem 
+ + 
r2 - 2x2 + r2 - 2y2 + r2 - 2z2 
= = 
3r2 -2(x2 +y2 +z2 ) 3r2 -2r2 r2 
= ==-
r4 
em IR" 
X 
":>! 
y 
X 
y 
=2 +2x 
ô 
Ox 
2x3 x 4 
=-F'(v)+­
y3 
+ 
1 
-+2x 
y 
+ 
EXEMPLO Ili, 39: Mostre que: 
-
w + => y -x =o 
Fazendo x2 + = u, temos w 
y3 
X 
+ em que v=~. 
y 
;)= +2x 
Ov l Ov l 
-+2x -+ ~-= 
Ox y ox y 
l l 4x 
--=2 +-
yy y 
x3 Ov 2x3 -x --- -= 
ry y3 y2 
( x2 x4 J + -+-
y2 y4 
b) u = x2 F 
au 
=>x-+y-=2u. 
2x. 
Fazendo v = 
obtém-se 
y -X 
temos u = x2 
8u 8u 
x-+y-= 
ax 
e) Fazendo V= x;y temos z = xy +X 
dz ()z 
ôz 
-=y+ 
ax 
ôz 
-=x+x 
x-+y-=xy+x 
xz 
+­
y 
2x- =O. 
Atendendo aos resultados obtidos no III.38 
x3 
+­
y 
donde 
XJ 
y 
+x 
1 
~=y+ 
y 
x2 
+xy-­
y 
=2x 2 
X 
+­
y 
=xy+xy+xF 
=2u. 
=xy+z. + 
V=(~~ ... a ax , , , 
1 
= 
i=I 
e integral em IR e IR11 
momento este ser 
cosa 
que 
+ +···+ 
r= ~e~ :1 uma e como 
= ei + ... + 
vem 
= O@Q' 
ou 
= 
nos aem 
em 
z num 
u= e v= l 
z + 
e 
+ =0, 
<=:>(F' F' x' y' + 
F' -a x F'-
z =0. 
z-c 
ou 
2, 
V 
/3 = 
o 
constantes. 
+ 
E 
O seu 
nos em quegot- O. 
EXEMPLO III, 40: nos em que o dos campos: 
2x2 - -4xz + 6z2• b) 
X z 
+ ---+--+ xz + , 
y) ;i: 
z 
e) ln + +z, 
2 2)3/2, +y +z 
e) e-x. (xz + + ln r, em que r = e lf E 
se y) ;;t. 
em quer= e reIRn. h) = no 
se ;;t. 
+ y2 -4xz + - 4z , -3x + -4x + 
-x2 + y 2 - 2xz -2xy- 2yz 1 
-----e+ e+---
+y2)2 i +y2)2 2 x2 + 
e) + + + 
2x 2y 
=--e +--e+ 
x2 + 1 xz + 2 
g 
Cak:ula-se 
-4x -4y == -3 r - z e -3 r - z e + 
r i r z 
-3 
3xz 
=-~e -
rs 1 
e +(~--) r' z r3 rs 
+ + =V 
+ + + 
1 X X 
r r r 2 
e daqui deduzem-se as outras duas. 
(z 
e = 
3 
+ + = 
X Z l 
V ln r = - e + e + - e = - e1 + y e2 + z 
rz 1 r2 z r2 3 r2 
1 
<=:> V ln r = - :r. 
rz 
Tal como na alínea anterior basta calcular 
5-
r 
X 
De modo uu•"'-'l''" se calculavam as derivadas µ~·-·~·u em ordem às restantes n - l variáveis. 
Então 
f'(r) f'(r) 
x e +--x e +···+~-x e <:=:>'V 
r 11 r 22 r nn r 
= 
O cálculo destas derivadas foi feito no HI.27. Note que este vector não tem 
por um lado é o vector nulo e por outro a não é diferenciável em 
EXEMPLO m:.41: 
Como dois vectores são 
o é dado 
Doutro modo: 
8f 
= ax 
conclui-se que 
z) = 
= ::=';Jf= 
= ~!= 
xz 
dx=- + 
2 
y2 
=xz-+ 
z2 
dz=-+ 
2 
2 
reunião destes três resultados: 
z2 
= +-+C<::=> 
que 
2 2 
dx=-
2 
+ 
+zz 
=--~+e. 
2 
z)=:> = 
0i 
z)= O, 
8 
+-
tem-se: 
l 
r=-r<:=> 
r r 3 
EXEMPLO IH.42: Use o 
= 2x-y, 
=xy+x2, 
e) f(x, y, z) = ln + +z, 
y, z) = e-x + + 
e) = ln r, r E IR 3, r ;i, o, 
=2; 
=z, 
zz 
=-+ 
2 
z2 
y,z)= +-+e. 
2 2 
l 
=J-dr~ 
r2 
para calcular a derivada 
Conduimos que se 
1 
=--+C. • 
r 
para: 
a= V= (1, 
a= v= 
a= (-1, 1, v= 
ema= l,l)ena de b = 2, 
a= 1, e u vector unitário 
1) =-·-
2 
=x; l\wll = 3) 
2x 
+ + z) =~~e + e2 + 
xz 1 x2 
1, = 
llvl\= = l, 
1, 1)::: + + 
vemos que 
\7/(1, 1, 
r = 2. Os vectores unitários de IR 3 são dados por 
u = cos a e1 + cos f3 e2 + cos 
em que cos a, cos f3 e cos r são os cosenos directores. 
1,1)=~. 
3 
2, 1, =O. 
1, a, cos cos 
cos a + cos /3 + .fi. cos r 
4 
EXEMPLO IH.43: Para o campo 
x2 z2 
=-+ 
16 25 9 
'"~'"'~~, em a= 
""""""".v. sentido e valor da máxima do campo a 
UUvv"w•«U, Sentido e Valor da mínima vmmc;;u1 do Cru!lp0 !l 
c.u""""''v de nula do campo a de a. 
de a. 
de a. 
13 
O vector u terá de ter a 
e) 
EXEMPLO HIA4: Calcule a 
entre 
e sentido de isto é, 
u= 
= 3. 
e sentido contrário e 
= =-3. 
= e-x seny 
= 
=e-xcosy 
1 
= -sen 30º e + cos 30° e = -~e + 2 e, 
1 z 2 1 • 
1 
2 
2 
EXEMPLO HI.45: Escreva uma 
definida por 
no 
do 
xz z2 
-+ --=20 
16 25 9 
Trata-se da de nível de cota 20 do campo 
Já sabemos que 
conforme vimos 
da meta normal à 
a dessa 
= O <::? 1 (x - 8) + 2 (y - + 2 (z + = O ~ x + 2y + 2z - 40 = O. 
A recta normal num a= é dada por 
-8 y-25 z+9 
""--=--= • 
2 2 
EXEMPLO 111.46: Determine o 
xz z2 
- + - - = 20 e 2x + y- z - 50 = O 
16 25 9 
no a= 
ALª 
é o eixo dos zz e a 2.ª 
a será o menor 
temo-lo por a. 
z2 
s = ~·~+ --=20 ~ 
1 16 25 9 
de uma folha 
y, z) =O~ + 
por 
y,z) =O=> 
1--0===-o===-1 = ~ :::::> = rurc cos 
9 
EXEMPLO IU.47: Considere a 
z com + 
Determine: 
O domínio de z anaHti.cru e 
sentido e valor da mínima de z a do 
e) do e uma Pm11<>1'<1n da recta normal ao 
E IR 2: y > - 2x y ;;:: 
3 11 
=--e +-e=> 
14 1 28 2 
e) o é 
b= 
A que é o 
y,z) =O, com 
3 
14' 
= 
= ~ ---
28 
5, ln 7 + 
ser dada por uma 
y,z) = + 
eu"' Â Â= 
da forma 
-z. 
no 
11 
28 
1 
o 
A recta normal é dada por: 
111.9: 
e lntegrnl em IR IRn 
x-1 y-5 z-ln7-2 
11 
28 -1 
que se ~V"""'"''~ 
que g)j/= g)J li n 
em termos 
= .e, sse 
l '\/8> O 3e(8) >O: x E 211\{a} A l~-al\ <e~ ll/(x)-CIJ < 8.1 
= ... e 
no 
acumu­
a é .e sse 
f: S1l e IR"~ mm e a E 
ou matriz derivada 
ser expressas 
em a. Nesse caso, a 
e l11tegrnl em e lR" 
~~~-~~~--~~~~~~~ ~~~~-
EXEMPLO IHAS: Determine a derivada direccional 
e) 
e) 
y, z) = (x-y + z) e1 + = (1, 1, V= 4, 
=ln v= 
y, z) = (x-y + z, O, V= 3, 
J"'".,"''I""' que o campo vectorial da alínea anterior é diferenciável no 
o seu diferencial nesse 
Tem-se llvll = 5, 
-1 
V 
u=~= 
a matriz coluna 
X 
y cos 
~L"=[: 
-1 
2 
-1 
x-y 
X COS 
x2 ex'y 
(l,-1) 
-1 
2 
l. 
2 
-2 e-1 
a indicado e calcule 
_l. 
l 2 
e-1 
Cákulo Diferencia! em IR11 151 --·--------- --------- - - - - - --- -----"---
[ 
1 l 2 
1 1 cos l 3 
= r; [e1 e2 e3 ] - cos 1 = r; e, - r; e2 - r;; e3 • 
-v 5 3 2-v 5 " '\/ 5 e-v 5 
e 
e) [
y2 
J (a) = Y 
2.xy ] [4 4] 
X+ 2y ( I,i) = 2 5 ; 
llvll = 1 ::::> l.ll = v; 
- 1 - 1 
d) J,.,+~= x 2z 1 ] [ 1 x 2y = O 1 :J llvll = -J14. => u = ffi v· 
14 ' 
yz xz xy (-1,0,1) o - 1 
F'(•; o) = ffi [e, e, e,] [ : 
- 1 
:[ ]= ffi [e,•,·{:]= l 
- 1 
2 3 3 
- - -e +- e - -e - 04 1 .Jl4 2 ,[14 3" 
e) Fé diferenciável em todo o seu domínio, que é IR3 porque é de dasse C1 (IR3) . 
[ 
l - 1 
dF(a) = [e1 e2 e3] O l 
o -1 
][ = J = (dx - dy + dz) e,+ dy e, - dz e,. • 
EXEMPLO IH.49: Seja f IR 2 ~ IlP, definida por 
( xy ~J f(x, y) = l 2 2 , • 
- X -y X 
a) Indique o domínio de f e estude f quanto à continuidade. 
b) Estude f quanto à diferenciabilidade e escreva a matriz jacobíana de f 
e) Calcule a derivada de o vector 
Escreva 
coordenadas. como o domúllo de 
e o domínio de 
X~ /\X;;/:. 
então o domínio de 
assim como a 
Nos 
X2 + "# 1 X~ 
é continua em todo o seu -~ ........ ~, 
contínua em todo o seu domínio. 
é diferenciável em todo o seu 
int ~ = 
!, 
/\Xif::. 
tais que x = y2 embora f estes 
diferenciável em 
:;t:l/\x<y2 /\X;f-
-1 ~ 
X~ r: - -VY2 -x 
-VY2 -x x-2y2 
x2 = 2x2~y2 -x' 
a matriz 
-2y2 
2x2 ~y2 -x 
Mas por outro lado tem-se: 
No 
ser calculadas por: 
+l 
l 1 
=--+-=O 
4 4 
7 2 3 3 -13 ----+-- =---=--
- 2-/3 -13 - 6 2 
Então 
=(o,-
l 1 
-dx+- en + e2 º • 4 4 
EXEMPLO IH,50: Sendo e uma constante considere g: :IR 2 --'!> :IR 2, definida por 
Mostre que 
o 
g 
degé L 
A derivada direccional de g 
= (x cos sen 6, X sen (J+ y COS 
o vector a, sen é + + 
e !ntegrnl em IR e IR" 
1 
cose 
IJI= 
sen e 
-sen ºI = cos2 e+ 
cose 
r cose -sen 
= 
L seno 
u = cos a e1 + sen a 
ecos -sen e sen + 
= e cos a + cos e sen + 
= cos + e1 + sen + 
a e tem-se: 
z 
ou 
Então temos: 
+ +···+ 
EXEMPLO HI.51: g: rn.2 ~ IR2, definida por: 
= (x cos a-y sen a , x sen a+ y cos 
onde a é uma constante real. tal que: 
=O, 'ílu E IR e v) = v, 'ílv E IR. 
ainda h g. Calcule a matriz o valor de 
+ 
IRz IR 
f 
v) ~ z= 
e integrnl em IR e 
ou temos o esquema: 
)1 X 
u 
',,i y 
z= 
',,i 
)1 X 
V 
',,i y 
A matriz de h é 
"" 
ou 
1]. =[sena cos 
Donde: 
+ = 1. • 
definida por z u, diferenciável no seu domínio e 
X+ y, 
= 
~ u, v) ~z 
ou 
~ u, v) = v) X y, 
com u = x + y e v = xy. 
X 
'\! y X 
/1 X 
z= ~ u 
'\! y 
'\! 
V 
X 
'\! y 
õF ÔZOx ôzôu ôzôv ôz ôz ôz q q 
-=-·-+-·-+-·-=-+-·l+-·y=-+ +-y ax ax ax ôu ax av ax ax ôu av ax ou av 
óf = Oz. Ox + Oz . Ou+ ÔZ. ÔV = Oz O+ ÔZ · l + Oz. X= q + X. 
ax ôu iY av ax ou av ôu av 
õF õF q q q q 
+-+-y--- X=-+ 
ax ôu av ôu av ax av 
Note-se que 
1) =:::> u, v) = 3, 
+ 
ôv 
3, + 
ôv 
3, 3, 3, 
sendo 
Fuma 
Sendo guma 
diferenciável no 
Mostre que 
e, tal que a sua matriz 
+ =0, 
, eY, ln (1 + 
que admite Lª derivada contínua em IR e z=xy+x Mostre que 
real diferenciável em IR2 e 
y, z) = g y,z) E 
diferenciável e mostre que, em 
yz y, z) + xz y, z) + xy y,z)=O. 
v) 
Mostre que, para todo o v) E IR2 tal que v ;;;t:, O, existe a derivada v) e temos 
v) = + 
g: IR-> Considere a h: m.2 ~ definida por 
= + para x ~O. 
Mostre que :;:, O) se tem: 
ô2h Ô2h iJ2h ""o. x2-+ --+ • axz 
em lR" 
vezes ema, u= 
= = + + = 
= 
Em u= 
o que 
1'*°''"'"'''''" e lr1tegrnl em IR e IR" 
-~-~---·----~ 
EXEMPLO IHº54: definida por 
y, z) = 2 z4. 
Mostre que existe e calcule a derivada de 2.ª ordem 
1,Sendo g: IR 2 ~ IR 3 definida por 
v) = 2, e h 
calcule a derivada de 3.ª ordem de h no (1, l) 
0J, então = 
-2, 
g, 
o vector 
então existem derivadas de todas as ordens vector e a 
derivadade2.ªordem a=(l, -l)na esentidodovectorb= 1, 
é dada por: 
Como 
então 
-+b -+ o o &8J2 
ax 2 
q 
-,,,;4xyz4 • ax , 
= 4 y z4 • ax2 , 
+ 
=0; 
=l6xyz3 • ax& , 
+ 
+ 
z2. , 
z3 
' 
+ + 
Então 
-4· 
161 
. . [J2j [J2j 
-2,-1)-16 8.xi3z -2,-1)+8~ -2,-l)=-16x87=-B92. 
existem derivadas de todas 
E IR2 : 
+ 3cd2 +d3 
v3 
Neste caso = 
Temos 
Como 
Então 
1) = 
v) ~ y, z) = 
~+O 0 h 
Ou 
v) y, z) = 
v) = 2, 1) = 2, X :::: -V, y = 2, Z = U e 
h' = · x' + · y' + z' = ·O+ ·O+ l = z3 • 
u u u u 
x'+ 
" 
·x'+ 
li 
1) = 23 113 1) = 8 
y~ + 
·y' + u 
' ·z = 
li 
z' = 
u 
2, 1) = 8 
z. 
= 768. 
é, 
Então 
F= + +···+ 
ou 
EXEMPLO UI,55: Calcule a 
sen (J , x sen e + y cos fJ) com () E IR. 
o seu 
div F = + x + 
div F = 1 + x2z + xy. 
div F = 2 cos e. 
Um campo central é do 
.r = 
sendo 
r = y, z) E IR3 e r = llrll = 
e l11tegrni em llR l!R" 
--~-----------~ ----------------
e) 
Então como 
cakufamos a 
divF = 
r 
= (x2 + 
r 
Um campo newtoniano é do 
Basta fazer na alínea 
divF = + + 
dx 
cakulamos as outras 
x+ 
+ 
+3 = 
k 
=-r 
r3 
-3k 
X 
= 
+ 
r 
r 2 +3 
r 
r 
+ 
z2 
-+ 
r 
= r+3 
Conclusão: Todos os campos newtonianos são solenoidlais. 
tal que 
+ +···+ 
EXEMPLO :Ul,56: Sendo F: IRº ~ IRº; u, v: IRº -~ 
= 
é 
+u. 
= u · div 
= 
div 
+u. 
v+ 
= 
= 
0lc ~ 
por rot 
V. 
k~l 
+ u · '\/2v = 
y, 
V F= a a 
prove que: 
= +u· 
V+ U · div V. • 
vec-
e lntegrnl em IR e IR!ll 
para vermos que é 
J= 
termo 
EXEMPLO HI.57: Calcule rot F para os campos do III.55. 
para 
J= y x+ => rot F"" 
o o 
Doutro modo: 
e3 
V F= 8 ô 
ôx 
f) 
=(y~ 
f)z 
+ o 
e1 e2 e3 
v F= 
8 8 8 
Ox 8z 
x-y+z Jí}'Z 
e, 
v ;,F= 
8 
e) 
Ox 
x cos fJ - y sen f) 
se a matriz é 
J= 
e) É um caso 
ou 
simétrica 
o 
Ox 
o 
Ox 
z) 
ô 
8z 
o 
8z 
rnt F =O. 
dos campos centrais 
é um campo central em que 
e1 + (1 - ez + + 1) 
e3 
8 8 
= 2 sen e 
8z 
sen f) + y cos f) o 
nesse caso o rotacional é nulo. 
yx 
r 
zx 
r 
é irrotacionaL 
f'(r) 
=--r, 
r 
r 
r 
r 
os campos 
xz 
r 
yz 
r 
1fü"'''m1·1ri e hitegrnl em IR e IR" 
~~~~~~~~--~~~~~~~~~~ 
""L'"-""J'"-"-•'-"-'"'"' 111.58: Prove que 
EXEMPLO 111.59: 
harmónica. 
n-l 
--,comr= 
r 
Sendo F: IR 3 ~ .IR 3, deduza as 
e de rot rot F. 
e rot 
... , 
Prove que o rotacional dum campo vectorial é um campo solenoidaL 
divF = + + + 
+ + + + 
+ + + + 
div F 
+ 
Cólwlo Difernndal em IRn 169 
1!\ e2 eJ 
[) ô ô 
= [ ; ( ~ - ~ ) - ~ ( ~1 
- ; ) ] e1 + -
& 8y óZ 
óf3 - óf2 ófl - óf3 óf2 - óFl 
8y & & & àx 8y 
+ [!... (óF3 _ óF2 )-!__ (óF2 _ óF1 )] e + [!__ ( ôf1 _ ôF3 )-!__ ( óF3 _ óF2 ) ] e = 
&8y & ôx àx 8y 2 àx& ax 8y8y & 3 
= _ _ 2 _ _ _ 1 _ _ _ 1 + --3 e + ... + _ _ 1 ___ 3 _ __ 3 + --2 e . ( ô2 F ô 2F ô2F ô 2F ) ( 8 2 F é12F 8 2F éY2F ) 
ay& éY2 az2 azax 1 && iJx2 i:y2 8y& 3 
b) Dizer que rot Fé solenoidal é dizer que divergência de rot Fé nula. Ora div (:rot F) = VICV /\ F) 
é um produto misto dado por um determinante com duas linhas iguais, logo é nulo. 
a a d -
dx dy ()z 
div (rot F) = V!(V' /\ F) = 
a a a 
= 0 . - • dx dy (}z 
F1 F2 F3 
EXERCÍCIO UI.60: Prove as seguintes igualdades, supondo que as funções são pelo menos duas 
vezes diferenciáveis: 
a) (F" V)IG = Fl(V /\ G). 
b) V" (jF) = JV" F + (Vf) /\ F = JV "F - F" (V.f). 
e) V l(F /\ G) = Gl('V /\ F)- F l(V /\ G). 
e!) V/\ (F /\ G) = F (VjG) - G (VjF) + (GIV)F - (F!V)G. 
e) V (FIG) = F A (V/\ G) + G ;, (V /\ F) + (FIV)G + (GIV)F. 
/) rot (rot F) = grad (div F)- lap F 
(Para F: IR3 ~ IR.3, define-se lap F = (lap F1 , lap F2 , lap F), sendo F = (Fp F2, F3)). • 
em 
=O, 
restantes 
= ... , ºº":.l 
a =O com 
x= ... , y= •••9 
i) qj) um 
E em que a E m11 e b E 
det ;é o. 
uma e uma emb, 
que: 
a y= que 
=b e =O, E 
A 
EXEMPLO III.61: 
se do sistema 
Calcule 
e) Indique os 
teorema da 
com 
o sistema 
+ +z=O 
y,z)= l, 
e 
dy 
y, z) = (x + +z,y-
ser por: 
•vL-u"'"""'"r;:; num certo 
noutro 
numa bola de centro em 
nos não se 
Neste caso 
Verifica-se i) 
Substituindo y, z) por 
visto que as coordenadas E 
quer 
1, O) no obtém-se urna "''çouu.ua'u", Para 
calculemos a matriz derivada 
O dete1minante dessa 
ordem às variáveis em às se 
l, terá de ser diferente de zero. 
e) 
e ll'lliegral em IR e IR111 
----- -- - - --~---
det =det 
verifica-se 
Pelo teorema da 
como dle z e que esta 
Sendo 
Como 
fafüar é a 
= det = 1;,: O, 
então afümar-se que o sistema define 1m1puc:namente 
é, tal como de classe e~ o 
= 
afirmar-se que 
=-l 
nos não se a existência 
são os y, z) tais que: 1 + t 
1) Considere as IR3 _ _,, IR2 e g: IR 2 ~ definidas por: 
v) y, w= com: 
""'x+ y+z+sen 
W = 1-eu-2v. 
= zyz + sen + y + 
y, z) = o defme iTn~>liro1fon'"'"''"' 
uma z) tal que = 
Cakuk 
y,z, 
verifica num certo o teorema da 
= Mostre que: 
ôx 
Ou 
Considere o sistema 
óx 
ó'v 
y,z, = 
existindo nesse 
e 
-u3 +v= O 
-y+u-v2 =O 
Mostre que o sistema define 
noutra bola centrada em 
Calcule 
v) = numa bola centrada em 
- e -
e) g: IR 2 __.., IR 2 definida por 
v) -?> = (v · cos u, u · sen 
Calcule 
a 
O) e com valores 
1, 
3. 
e) 
i) comk~ 1, 
e lntegml em IR e IR_n 
ou 
=>­
ôx 
~O, coma E 
= -1. 
o 
e IR_n ~ IR" que 
IR" ' 
um 
B 
E 
EXEMPLO m:.63: 
definida por 
Mostre que 
a matriz jacobfana no 
directamente que 
que a= b. 
det = det 
que: 
ser 
v) 
= x+ 
é localmente invertível em 
verifica-se 
[
y exy 
= det 1 
X exy] 
1 (a.b) 
verifica-se se a* b. Nestes verifica-se o teorema da 
que à classe e=. 
por: 
tal que a ::t b. Calcule 
tal 
existe 
lntegrnl em IR e IRn 
.~~~--~~~·~~~~ ~~~~~~~·~~~~~~~~~ 
Pefo mesmo teorema, a derivada no 
Estudemos à 
é em !R2• 
Se o resultado fosse apenas o 
V= 1 
Temos 
y> 
3) é à inversa da matriz 
exy X 
v) = x+ Então 
+ 
seria assim conduímos que 
à rnctay = x. 
y< .• 
EXEMPLO HI.M: Considere a JRZ -7 JR2, definida ,X Mostre que 
invertível apesar CaS hl~)OteS<lS do teorema da 
inversa não se verificarem. 
v)""' ,x+ ç::, 
=x+y =V-
o que mostra que a cada invertível em m2. 
obter este resultado a 
det = det = det ~] = 3x2 =O, se x =O. 
HI.65: 
1) Mostre que a 
a existência de 
definida por v) 
que inclua 
com 
uma inversa local definida numa bola centrada em v) = com valores numa bola 
1) 
centrada em = que é de classe C1 e cakule 
IR3 ~ IR3, definida por 
y, z) = (z cos z sen x+ 
Determine o 
Mostre que a definida por 
= + '(x 
não verifica as l'ln-,,n.t,,,Q,,c do teorema da 
em IR2• 
inversa na 
= 
inversa 
o, 
no entanto, invertível 
lntegrnl em IR e IR.ri 
de dasse C1 em para o teorema da 
basta P = y, z) ser tal que 
det 
o teorema da 
+ 
det 
:::::> 
;!': 0 q X ;!': 0 e Z '1:- 0 .. 
+y= 
=:> 
-y=Vv 
[
-1 
= o 
1 
=0, 
o 
o 
Vu+ 
2 
-Vv 
2 
numa centro em 
+ com e 1 ]. 
inversa num dado P, 
• 
XE 
regra 
= 
é à 
centro em O, 
à g, tem-se: 
1 
mf' com t E 
IR ______ _,, IR n ------- IR 
t x= + 
+t = 
+ + 
+t 
+ty; 
1 
~+ 
k! 
+ 
+t = +t y; 
tomar a 
1 
-, comtE 
m! 
1 
m! 
1 [. 
t 
e lntegrnl em IR e IRn 
~~~~~· ~~~~~~~-
escrever-se na 
1 
+-
2 ! 
uma 
1 
+-
3! 
EXEMPLO HI.66: Desenvolva 
x=a+ 
+ 
+ 
de 
1 
= o, a ·~··u~·~ 
escrever-se a ·~···"~·~ 
e y=b+ 
+ 
+ 
+···+ 
+ 
+ 
+ 
-1)= + 
-1) = 2; -1) = l; 
Todas as derivadas de ordem à 2.ª são 
neste caso é finito: 
1 
+-
2 ! 
x 2 + JQl + 1 = 3 + 
EXEMPLO 111.67: Considere a 
-O+ 
+ 
+ +l)+t 
=3; 
conclui-se que neste 
Temos: 
=2; 
-1) =o. 
que o desenvolvimento de 
-1)+ +l) -1) + 
+l) + + a21 J 
+ + 
definida por 
= x sen y + y sen x. 
Determine a fórmula de de 2.ª ordem 
"'"'"'~'"1-"' o resultado anterior para mostrar que existe uma e uma sóconstante real e tal que: 
Determine e. 
=0; 
Hm 
(x,y)->(0,0) 
f(x,y)-cxy =O. 
x2 + 
cosy+sen =0; 
y+cos =2; 
y+ y cos =0; 
sen =0; 
sen =0; 
A fórmula é: 
= x sen y + y sen x = 
<=:;> sen y + y sen x = 
Pela alínea anterior temos: 
Então 
+l. 
2 
que se obtém o resuhado 
+l. 
2 
+ 
+ 
= 
com Hm 
(x,y)-.(0,0) 
com lim 
(x,y)-.(0,0) 
com Hm 
(x,y)-.(0,0) 
são nulas no 
=0, 
=0. 
=0. 
2. Determine um ,,v .. .,,v ..... v do 2.º grau em (x - l) e (y- que re1Jre:se1tm: ~y·~,.,..,,.~,,~ ... v.u.v a 
JIR2 ~ 
3, Escreva o desenvolvimento de 
4, Escreva o desenvolvimento de 
= 
com resto de 3. ª 
=ln (y + 
com resto de 2.ª 
x­
= are tg 
l+xy 
-x3-
em de 
em de 
+3 -3 + 
ordem 
Neste caso, o 
com o desenvolvimento 
seg:urnttes derivadas: 
e n '71Jr 
um mllnimizante local 
um no a E '7JJ1 sse 
E n 
a um maximizante focall 
IR. 
no 
uma cen-
Nesse caso 
Uma ter um extremo num 
1) Ponto 
Ponto 
Ponto rronte;lfo 
+ = 
o 
então para y 
que 
escrever-se a 
+ +llYll· 
+ 
que 
+ é 
=k· E 
que 
ou 
,.,,.,, .. ~L•" um 
menos, uma vez 
no a com resto 
com =0. 
ao + 
=o, 
pequeno, o 
= 
as 
numa ema, 
= 
ou 
+ +· .. + 
ter um extremo num 
EXEMPLO IH,69: definida por: 
y) = -x4. 
Mostre tem extremos e tem um de sefa em 
de classe e~ em IR2 
o único 
Uma análise directa da 
como =O e 
terá extremos em 
= 4y3 =o:::::} y =o 
O) = -x4 ~ O e contém nos 
de estacionaridade. 
extremo é um de sela. Também não há extremos 
ser arbitrariamente gra1nai~s e arbitrariamente pequenos. Basta notar que 
Hm =+oo e Hm 
x-'>+= 
nos 
=O não é 
os valores 
e lntegrnl em IR e 
~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Outro modo de verificar que O) é um resulta da análise do da 
do = O) os valores da 
z 
4 4 
z:y -X 
agora um processo de analisar se um dado de estacionaridade é ou não extre-
baseado na fórmula de 
+ 
k~l 
é de 
+ = 
+ 
numa bola centrada em e a um 
de estacionaridade é determinada 
de estacio­
sinal 
pequeno. Pela + h numa bola de centro a, ou 
1 1 
~+-
k! m! 
até uma certa ordem 
m! m! 
-- com 
k!' 
Hm 
h->0 
=Oe 
-1. Então 
< 
=0. 
que todas as 
=0. 
Nas então 
+ 
Se para 
com 
m!' 
< 
é um máximo local tomar valores para 
valores 
1) 
~ O, dir-se-á uma forma indefinitda 
se anular para vectores h "* O, mas para os restantes h tiver sinal 
diz-se uma forma semidefinida e nada se 
nnrnr_cp por fazer um estudo 
<O, 
>O, 
um máximo em 
= 
ser 
e l11tegrnl em e IR~ 
"'"'"' '"-""' para um certo 
eterno para os restantes Como não se o 
+ h, b+ 
não se con-
EXEMPLO Ili. 70: Determine os extremos locais da = (x- + 
Determinemos os de estacionaridade. =x3- -x2+y2, 
= 3x2 - -2x =O 
=0=> + 1) = 0 => y = 0 V X= 1 
-2x =O::::> 
de estacionaridade 
Calculemos as derivadas nestes 
·-2 2 4 4 
o o -2 2 
2 o o 
4 4 4 
1) e -1) não há extremo, A> O. No 
> O, neste há um mínimo locaL t 
EXEMPLO 111º71: Determine os extremos locais da = x4 -3 
o único 
tomo dlo 
= 4x3 -
2x2 
=O::::>x=O v y=-
3 
3x2 
+ =Ü=?y=-
4 
de estadonaridade é 
concluir. Vamos fazer uma análise 
= O. Há que determinar o sinal da 
a 
tomar valores "'"~".""''Q e ,.,,...'"""n'" 
sela. 
= x4 - 3 + = x4 - 2 + y2 = 
= -y = 
y 
+ + + + X 
+ 
=0. 
em IR e IR_n 
y = x2 
e 
toma valores maiores que 
sela. • 
Escreve-se a a: 
GO., 
os menores no a: 
l) Se é um mínimo 
e os menores par 
é, 
>o, = 1, ... , n, 
éum 
Se se 
menores são 
Em 
Então: 
mas 
toma-se 
então a é um 
EXEMPLO IU.72: Determine os extremos, em termos do a,da 
y, z) = xyz -x--y-
y, z) = 4a xyz -
= 4a yz - = yz -2x-y-
= 4a xz-x2z - -x-
= 4a xy- = xy -x-y-
começaimos 
e integrnl em IR e IRI] 
O sistema de estacionaridade é 
= O v z = O v 4a - 2x - y - z = O 
= Ü V Z = Ü V 4a - X - - Z = Ü <::? 
=0vy=Ov4a-x-y-h=0 
-2x-y-z =O = o/\ (z = o V X = o V 4a - X - - z = 
=0vz=Ov4a-2x-y-z= 
= o /\ = o V y = o V 4a - X - y - 2z = 
de estacionaridade: 
a, coma :;1:0, O, y, O, O, 4a- y,4a 4a-x, 
=-2xz = 
4az-2xz- 4ax- -2xz 
Estudemos os da forma a, com a :;1: O: 
r-2a' a, = -a2 
-a2 -a2 
Como os menores de ordem são e os de ordem par são então o 
a, é um maximizante se a :;1: O. O máximo é 
a, = a4• 
Estudemos os da forma o, 
O 4az-z2 
O,z) = -z2 o 
o o 
Como há valores 
Dada a simetria da 
O, são também 
Estudemos os 
-ít 
= 4az-z2 
o 
O, 4a- = 
4az-z2 
o 
O, 4a-
o 
o 
= 
o 
o = + 
-ít 
da forma 
... ~,~v ... w~ afim1ar que os 
para os restantes 
o 
o 
os O, 4a - não são extremantes. + 
111.73: 
1. Determine os nos as 
= xz + - 1)2. -x-
= + 3x4• = x3 -
= -x3 +xy. = - x3 + x2. 
y, z) = x2 + + z2 - xy + x - 2z. 
2. 
= 3x4 + 
Mostre que a das rectas y = mx tem mínimo no 
3. Determine os extremos relativos e absolutos da definida por 
= (3 - +y-
.L 1) é mínimo 
com 
São máximos os 
com O<y < 6. Os 
y= 
Para os 
mesmo que a 
com y < O ou y > 6. São mínimos os 
O) e 6) sefa. 
é máximo. 
são sefas. 
= 
que u-v = l. 
procurar o é é nesse 
y 
IR" 
= 
~ = -v-1)2+ = 
=v+ 
agora os extremos como 
-v-1)+ =0 =t 
=> => 
-v-1)- =0 = -
um 
y,u, 
d= 
extremo. 
Então números ... , que a é 
= + 
i=l 
+ + ... + 
y 
y, = + + z2 , com y, E S. 
z 
y 
ou o P tem ser F. 
EXEMPLO IH.74: Determine os valores extremos de 
""X2-y2 
ao da circunferência C de raio 1, centrada na ~ •• ,,.,~ .... 
l11tegrnl em IR e IR11 
=O com =x2+ -1. 
Consideremos a 
+ = x2 + + 
=2x +2í\x =O + 1) =o =0 =-1 
+ =o<=> -1)=0<=> Â = 1 
+ =l "'1 + =l 
Os de estacionaridade são e nos toma os valores 
O)= 1. 
o !"."''""'''""·~~-... ,,,.,,~, """"''""''~ reparar que se trata de achar os valores 
máximo e mínimo de k, tais que a família de 
x2 + = 1. 
x2 - = k intersecta a circunferência 
y 
X 
Dado que aumenta à medida que as se afastam da 
único vafor máximo um único valor mínimo de k para os 
tar1gent<is à circunferência. 
Como nos os vafores 
x2 - = k são 
o máximo é 1 e o mínimo é-1. + 
em 
EXEMPLO HI.75: Determine os valores extremos 
y, z) = x - y + 2z 
x1 + + 2z1 = 2. 
y, z) = x - y + 2z + +2z2 -
= l +2lx =o 
=-1+ "'º 
+ +2z2 = 2 + +2z2 = 2 
<=> y, z) = / 2, 12,- / =A v y,z) = / 2, --Ji / 2, / = B. 
definido + 
a:í um máximo e um mínimo. Dado que 
=·-2 e =2 
então o máximo é 2 e o mínimo é -2 
à YVJLAUJ ... «<•V, tem exactamente um mínimo e um um.,.uu~, 
y, z) = k Ç:::> x - y + 2z = k 
relnese11ta uma famHia de entre si. 
Pretende-se saber o maior e o menor valor de k para os 
É óbvio que existe um único máximo e um único mínimo. t 
EXEMPLO III.76: 
vector h = y, da 
y, z) =x2 + y + 
x+y+z=7 e x-y+z=l. 
à conclusão que 
outros não. 
a extremar é a 
y,z)= y, z) =X y, z) + y y, z) + z y,z)~ y, z) = 2x2 + y+ 2z2 • 
y, = 2x2 + y + 2z2 + +y+z- + -y + z -1). 
= 4x + + =O 
-1-
=l+ =0 4 
-1-2/l 
+y+ 1=7 
4 4 
=l+ /\ q 
-1- 2/l 
-1-2\ 4 
-y+ l::=l 
4 +y+z=7 
-y+z=l 4 
q y,z)= 3, 
Tem-se 3, = 19. 
encontrado é máximo ou mínimo. As duas co1ruHcmõs e a sua 
é a recta de desses 
y, z) = 2x2 + y + 2z2• 
z 
k y 
eixo é o eixo dos yy, com vértice 
O, ordenada do vértice maior ou 
menor, mas de modo que o dadas. A recta está 
o • 
Hl.77: 
mínimo: 
Das cotas dos do de z = + , tais que 
(x- + (y- = 5. 
xz + + = 225. 
e) Do volume dum 
comum estão sobre os eixos coordenados e o vértice 
15x + + 9z = 45. 
Da y, z) = x2 + + z2 
as arestas que têm esse vértice em 
está sobre o 
25x2 + + 4z2 = 100 e z = x + y. 
Pretende-se achar o maior e o menor vafor da cota z dos 
estão sobre o cHindro 
(x- + (y-1)2 = 5. 
O mínimo é O e o máximo é 20. 
de eixo y = 2x. A distância mínima da 
senta o 
e) O volume mínimo é O, se o..,~.,~··~·~.., .•. -~-~ aiegçmerar 
3, 5 
25 x2 + + 4z2 = HJO. 
Esta 
semieixos da O semieixo maior é 
i=I 
do 
à é 5 e repre-
z =x + y com o 
(i "" 1, ... , 
1ih:.1r1>1u'ilfl e Integral em IR IR" 
·~~~~-~~~~~ ~~~~~~~~~~· 
a 
O A 
m 
>0 o >0 
m 
<0 >0 <0 
<0 <0 <0 
m 
>0 <0 >0 <0 => 
O 2x 
+ 2lL o 
o ~2+± I)=[: 
o B] 4 o . 
±2 o o 
Como m= l ou o determinante de 
16 e como m é mínimo. 
o ±2 o 
O)"" o o 
o o 
= e como m é é máximo. 
o 2x 
2íl o 
q 
o 2;\, 
o o 
= =-32 e mé 
o 
J'.l4 =-32 e m é 
'?feF = l 
= = = 32. Como m é par, no 
o 
é mínimo. 
J2 
-Jl o 
o 
o o 
é máximo. 
o 
o l -1 
1 4 o 
-1 o o 
o o 
o 
o 
de estacionari.dade a 
o 
o 
tem um mínimo. + 
1 1 
1 1 
1 • 
. 1. 
que 
=F ~ 
que não são 
por ou por 
EXEMPLOS 
1v.1: g:.1 = x +e. 
IV.2: QJ>x = ~ + C. 
2 
IV.3: QJ>ex =ex+ e. 
l 
IV.4: QP ~=ln lxl + C. 
X 
IV.5: uma 
EXEMPLO IV.6: 
= 
e l11tegrnl em 
tal que 
a 
e IR" 
1 =-vx 
X 
o, =2e 
sex<O 
sex> O 
+2 sex<O 
sex >O 
=4. 
-3 x'4 2x + 3 x7 4x2 -
x16 xrn x4 
= ~~6~" -+12~~8~+C. • 
22 16 10 4 
Apresenta-se em seguida uma tabela de primitivas cuja verificação é imediata: 
un+I 
, 
u 
1. <!P unu' = -- + e, n ;t!: - L 2. <!} - = lnlul + e . 
n + l u 
3. <!Pu' eu = eu + e. 4. 
au 
<!Pu' a" = - + e. 
lna 
5. <!Pu' sen u = - cos u + e. 6. <lPu' cos u == sen u +e. 
7. <lPu' sec2u == tg u +e. 8. <:!P u' cosec2u = - cotg u + C. 
9. <!Pu' sec u tg u == sec u + e. 10. <!Pu' cosec u cotg u = - cosec u + C. 
I I u u 
11. <!P ~=are sen u + C. 12. r;p __ = are tg u + e. 
1-u2 l +u2 
13. rzl'u' cosh u = senh u + C. 14. <!Pu' senh u = cosh u + C. 
15. <!Pu' sech2 u = tgh u + e. 16. <!Pu' sech u tgh u = - sech u +e. 
, , 
u u 
17. <!} Jf+"Ji = arg senh u +e. 18. r;; ~ = arg cosh u + C. 
l +u2 u2 -1 
, 
u 
2(), <!P(u' V Uv--I + Uv ln U V1 ) = Uv + C. 19. <!P-- = arg tgh u +e. 
l ~ u2 
EXEMPLOS 
1 23x 
iV.7: QP23x =- QJ>3.23x =--+C. 
3 3ln2 
IV.8: <!P .x3 = -~ <!P 4x3 = ln(x4 + a4) + C. 
x4 + a4 4 x4 + a4 4 
2x 
X l X 1 --;;: 1 (X2 ) 
IV.9: Ql> x4 + a4 =-;;; <!P~ = 2a2 Ql> ( x2 )1 = 2a2 arctg -;; + C. 
-+1 1+ -
a4 ª2 
e h1tegrnl em IR IRj] 
e" 3 
IV.10: Çff' = -Vc1+2 ex)2 +e. 
V1+2e 4 . 
IV.12: +C. 
cosx 
IV.13: +e. 
5 5 4 i 5 
IV.14: Çf}'-1r=== - - · -Çf}'~=== = -are 
\/l6-9x 2 - 4 3 /1 9 2 3 
~ -u;x 
+e. 
x 2 +2x+l+4 
1 t x+l ---- = - 2 Çff' 2 = -are tg-- + C. 
+ 4 4 (x + 1) + 1 2 2 
4 
IV.16: Sendo a, b e e constantes não 
l 
X b a C 
VY-== + C Çff'~-- - - Çff' + -
xz + az - a ( ~)2 + 1 2 
,a 
2x 
xz +az 
b 
""-are + +C. • 
a a 
)+ 
por 
Primitivas e Cókulo integral em IR 209 
--------------~----------~--
Nota: É óbvio que na primitivação por partes convém escolher para/uma função que se 
simplifique por derivação e que se deve escolher para g' uma função que se simplifique por 
primitivação. 
EXEMPLOS: Calcule as primitivas seguintes: 
{f = x 2 => J' = 2x 
, => !JPx2ex=x2ex -2 qpxex 
g = ex =>g = ex 
{
h = X ::::> h' = 1 
, => <fP x ex = xex - <JPex 
g = ex =>g=ex 
Logo, 
IV.18: <zf' ln x 1 
(f= ln x e g' = 1 => f ' = - e g = x) 
X 
IV.19: 
l 
<!]' ln X = X ln X - <zf' X - ::::: X ln X -X =X (ln X - l ) + C. 
X , 
: . '. cos bx a '>--___ :·~- - ···· 
<!P eax sen bx =i-eax , __ + - QJf eax cos bx ± 
. b b \_ ' ---,:, -· 
cos bx a eax sen bx a 2 líl'I ax b 
= -eax--+ - - -.:re sen x 
b b2 b2 
J = eax => J' = aeax 
, cosbx 
g = senbx =>g =--­
b 
J = eax=>J' = aeax 
, senbx 
h = cos bx => h = - ­
b 
l111tegrnl em IR IR11 
Então: 
b cos bx a e'"' sen bx 
sen x = -e'x ---+----
b 
De modo semelhante se cakular 
IV,20: rzfJ sen2 x = rzfJ sen x sen x = -sen x cos x + rzfJ cos2 x = 
= -sen x cos x + - sen2 = -sen x cos x + x - rzfJ sen2 x 
senx = cosx 
g' = sen x =:;. g = -cos x 
x-senxcosx 
2 rzfJ Sen2 X = -sen X COS X +X ~ rzfJ sen2 X "" + C. 
2 
Este resultado das fórmulas se12;u111ttes 
cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2 sen2 x = 2 cos2 x - 1 e sen 2x = 2 sen x cos x, 
tem-se 
2 l + cos2x 
cos-x=-~--
2 
ou 
Então: 
<!P--­
(1+ 
l 
2 
l 
<Ji'---
(l+ 
<JP--­
(1 + 
como também a 
em termos da 
+ = 
g'= + 
______ l_<Ji' 1 
1-n (l+ 
x (l+x2 )1-n 3-2n 
---=-- +-- > 
2 1-n 2-2n 
] 
21 em IR e JR1t1 
x= então 
:=>-= 
dx 
x= por 
rv.22: 
Neste caso tentaremos uma todas as raízes. que 
isso se consegue tomando para nova variável t = que 12 é o menor comum entre 
os índices das raízes que na 
Então 
x= 
= 12 are tg t = 12 are tg + C. 
e2x 
IV.23: <!P-----~ 
+ 1) 
Fazendo 
l e2x 
=ln ::::::?x' = - ~ <!P------=<!P 
+ l) 
l+t 
+ti= 
lntagrnl em 
---------------------------
IV:24: 
Como a 
Atendendo a que 
e que 
por 
sen2 x + cos2x = 1 ~ cos2x = 1 - sen2 x 
nota-se que fazendo sent = se elimina a raiz. Com 
x= 
5 + sent · cost 
= ,,fj 2 
Pode resolver-se a da fórmula l + t = sec2 t. Fazendo 
' M 1 ~ tg t = - ~ x =a tg t ~ x =a sec2 t ~ ;:_r 1 3 = ~:r-r==== 
a -v(x2+a2) 
1 1 l sec2 
= - <2P asec2 t = -<2P-r=== 
ª3 ~(l+tgzt)3 az ~(seczt)3 ª2 sect 
eliminando a raiz. 
ª3 
= _!_ '11' cos t = _!_ sen t = _!_ -r=t"'=g=t = 
az az ª2 ~l+tgzt 
X 
I +C. ª2 -v ª2 + xz 
O mesmo resultado ser da fórmula 
cosh2 t- senh2 = l (l + senh2 t = cosh2 t) 
e usando a 
~ = senh t ==> x = senh t ::::::;, x' = a cosh t. 
1 senht 
t = - --:===== 
a 2 ,)1 + senh2 t 
= 2_ ~ . = 2_ X + C. + 
~1+(1!;)2 a2 ,Jaz +xz 
IV.26: . (a e b são constantes não 
x = ~ cosh ::::::;, )2 x2 ·- 1 = cosh2 t - l = senh2 t; x' = ~ senh t. 
b b2 
·- senht = - t 
a a 
senh t = cosh t; = senh t ::::::;, g = cosh t ) 
9]' senh t senh t = senh cosh t- 9]' cosh2 t = senh t cosh t - 9]' ( l + senh2 t) :::::> 
senh t cosh - t 
~ 2 9]' senh2 t = senh t cosh t- :::::> 9]' senh2 t = + C. 
2 
que 
/Th, h2 senh t cosh t + t e 
;:rCOS t= + 
2 
b 2 = b~~ senht cosht-t = _b2 (,Ja2x 2 - b2 a - - -x-arg 
a 2 2a b b 
+C. 
ea 
x = 2 are 
2 
=--e 
1 +t2 
2t 
senx=--
1 +t2 
1-t2 
cosx=--
1 +t2 
x=--. 
l-t2 
EXEMPLOS 
1 
I'V.27: <!P---
1-senx 
<!P-- Vj-'---- __ 2_ = 2 <!P-1- = _2_ :=; 2 +e. 
1-senx 
IV.28: </P------
8 - 4 sen x + 7 cos x 
1 1 + t 2 (1 - 1 - t l X --- -tg-
1 + t2 2 
2 2 
------=<IP -- =<IP = 
8 - 4 sen x + 7 cos x 8 _ ~ + 7 l - t2 l + t 2 t 2 - 8t + 15 
1 + t 2 1 + t 2 
= 
216 
= + = + 
, .. "'"'"'"u'"'"' a que, como é ""''""''"' 
escrever-se 
=a 
ou r e sEN) 
temos três casos: 
3x+6 
x 3 + -3x 
x3 + 2x2 - 3x = + 2x -
x2 + 2x - 3 = O :::::> x = 1 ou x = -3. 
3x+6 A1 A 1 A3 
----~=~+~-+--
x3 + 2x2 - 3x x x - 1 x + 3 
3x+ 6 = +3)+ +3)+ 
Pelo método dos coeficientes 
emx2 : 
emx: 
emx0: 
O= 
3= 
de reduzir 
-1) 
os coefi-
!iií<>1r<>Huin e integral em IR e 
·~-------- --------~----------
Resolvendo o sistema formado obtém-se: 
=-2, - 9 - 4, 
3x+6 
C/P----- +--1._+ -4 ""-2 9 1 ) 
x3 +2x2 -3x x-1 x+3 
R Seo 
EXEMPLO IV.30: Calcufar uma de 
x2 +2x+3 
----- = + +---:::::) 
x-1 x+I 
::::;.x2 +2x+3= + + 1) + 
das raízes. 
x=l=>6=4 
x=-1=>2=-2 =-1 
emx2: l = + => 
-11-t 
+3/+C. • 
l 
+ll+--+C. 
x+l 
EXEMPLO IV.31: Primitive 
x= 
x 4 - x 3 + 2x2 - x + 2 A B + Cx 
-------= ----+---+ 
x-1 x 2 +2 
x4-x3 +2x2 -x+2= + + + 
X= l ~ 3 = 9A """>A= 1h 
=:> x2 = -2 ~ x3 = - 2 
D+Ex 
+2)2 
+ + 
-2E=2 
~2+ + 
Em x4 : l = 1h + C ~ C = 2h. 
Emx3:-l = B-C ~ B =-1h. 
= 
1 
3 
1 
3 x-1 
-11-~arc 
6 
X l 1 
+21+---+ 
2 x 2 +2 
-1) 
-1)~ 
=0 
=-1 
EXEMPLO IV:.32: Primitive 
e 
xs 
16-x4 
Efectuando a divisão obtemos 
16x 
---=-x+---
16- +16 
xs 
~--= 
16-x4 
l6x= + 
16x 
+ + 
A+Bx C D 
---+--+--
4 +x2 2 +x 2-x 
+ + + 
X= 2 =? 32 = 32D =? D = l 
x =-2 =?-32 = 32c =?e =-1 
X= 2i ~ 32i"' + 
xs xz 
<JP--=--+ 
16- 2 
x2 
=--+ 
2 
+ 
(4-
+x/- -x/+C. 
EXEMPLO IV:.33: Primitive 
ezx + 2ex 
Fazendo a 
= 
O .,u,,UV.UHU t3 - l = O tem a raiz t = l e as outras duas raízes determinar-se baixando o 
regra de Ruffini: 
l o 
l 
o -1 
1 
t2 + t + l = o ~ t "' - - ± ~ i ::::::> t 2 + t + 1 = 
2 2 
t+2 A B+Ct 
~-,,,-+ ~t+2=A +t l)+ + (t-1) 
t 3 - l t - 1 t2 + t + l 
11f't+2 = 
t 3 -1 
t = l :::;, 3 = 3A ~ A= 1 
em t2: o= l +e~ e= -1 
em t: l = l + B + 1 => B =-1 
l -11--
2 
l -11--
2 
- II - ! 111' 2 + 2t 
2 t 2 +t+1 
2t + 1 1 ) 
~~-+ -
+ t + 1 t 2 +t+1 
l 
+ t + 1)--111'-~~~ 
2 +!)2 +~ 
2 4 
2 
~-~ = ~111' 73 
+ ~ + ~ ~ [ ~ (t + l 
2 
=~are 
e2x + 2e" 
'1P =e3x -1 
1 -11--
2 
+l 
1 2 
+ +l)--~arc 
2~ 
+C. 
1ti>r,<>l'lrin1 e hitegrnl em IR IR ri 
·~-~ .~~~--~--
EXEMPLO IV:34: Primitive 
-4x+7 
x 4 - x 3 + 6x2 - 4x + 7 C+Dx 
(2 + -1) 
x4 - x3 + 6x2 - 4x + 7 = + + -1) + + 
=>A =-1; B =O; C =-1; D = 1; E= l 
x 4 -x3 +6x2 -4x+7 
+x2 ) 2 (x-l) 
1 
2 
+x2 
l 
-1) + 
l 1 ,J2 1 
=--<Jf>----<Jf>x· 
2 ,J2 1 + _:_:_ 2 
+x2 
2 
2 
1 X 
= 2,,/2 are 2 
= X ::::::> = l; g' = +x2 ::::> g=-
2+x 5 
4 r;;:2 are 
+x2) '\f L 
ex. 
se a;;::o. 
= tx se e:?: O. 
+e a 
lntegm! 
EXEMPLO IV:35: Prhnitivar 
Neste caso a 3.ª 
das outras duas é 
2 4 
Como t= 
tZ 
-t2 
X 
"'x + t ~ x2 -x + l = x2 + 2x t + 
1- t2 
=}X=--~ 
2t+ 1 
l-t2 t2 +t+l 
=--+ = ::::} 
2t+ 1 2t+ 1 
2t+l 
-1 1 4t2 + 4t + 1 
-t 
-t 
= 2 r;p ! + ---'--
4 4t2 +4t+ 
[ 
-t-~ 
6 
= ~ - ! r;p 8t + 10 
2 4 4t2 + 4t + l 
----+----
6 
+4t+l)--\!J>2 + 
8 + 4t + l 4t2 + 4t + 2 
1 
2 4 
3 1 t 1 
+ +----=---
4 2t + l 2 2 
-x, então 
3 1 
+1)+---. 
4 2t+ l 
+ i] +-===3~-~- +e. • 
+l -8x+4 
lntegrnl em IR em~ 
EXEMPLO IV.36: PrimiHvar 
Pode fazer-se 
16t2 = 
(2 
X 
+ uma vez que <-2 é uma das raízes de 4 ·- x2 < 
+ x) = (x + =:>2-x=(x+ 
e -J4-x2 =-·-, 
t2 + 1 
2-
=-·~=:> 
t2 +1 
~-;::; 4t t 2 +1 -8t -16t2 
çp =ÇP~-·--· ::;;;Ç}-----
+ 
x t 2 +1 2-2t2 
16t2 A B C+Dt E+Ft 
~----=-+~+--+---
+ + 
-!) t - l + l t2 + l 
+ + + 
t = 1 ::::;> 16 = 8A ::::;> A= 2 
t=-1::::} 16=-8B::::}B=-2 
+ 1) + + 
=-16~E=8 
t= i ~-16 =(E 
em t5: O = 2 - 2 + D =:> D = O; em t4: O = 2 + 2 + C ~ C = -4 
-J4-x2 [-2 2 4 <lP = <JP -+~+~-+---
X t - 1 t + 1 t2 + 1 
-lj+2 + lj + 4 are tg t -
l 
---+-are 
+ 1) 2 
-1) 
t==~) 
x+2 
=-2 +2 
. l 
Pela fórmula de recorrência obtida em IV.1.3., para Ç}---
(l + 
que com a 
Sendo 
Primitive 
t = sen x, fica 
=u~t=jg=:> =-(2-_--
2 sen2 x -1 
sen2 x -1 
2 )2 -u 
cosx 
l11tegral IR 
+C. t 
cosh + 
IV.39: Determine uma 
x2 
7 x senh3 + 7) + cosh 
f) + 
8x 
8 
x 2 +4 
1-x 
x 2 -2x+4 
cosec2 
b) x 2 
e) sen 
sec2 
+ 7) 
8x 
x2 +4 
8+x 
e) 
x 2 +9 
cos2 
x 2 -2x+2 
e) senx 
sec 
e) cosec 
e) cos 
x3 sen4 
e) 
e) t;x cosec 
8 
e) 
.J3-x2. 
8x 
9+x4 
e) x-1 ln4 x. 
e) 
sen2x 
cos2 x 
-1) cos 
tg x · sec8 x. 
IV.43: Detennine todas as 
ex 
9 + 25e2x 
,Jex - e2x 
IV.44: Determine todas as 
X 
are COSX 
-J3 - 3x2 • 
IV.45: Determine todas as 
COSX · 
+e"-
I'V,46: Detem1foe todas as 
sec2 
IV.4 7: Determine todas as 
de cada uma das 
b) 
ex 
e) 
e2x + 2e-x 
e2x + 6xe-x 
de cada uma das 
3xln3 x 
e) 
xz 
de cada uma das 
2 + ln3 X 
e) 
x· lnx 
definidas 
e) 
ex 
definidas por: 
e) 
l 
X 
definidas por: 
e) 
lnx 
de cada uma das ru11tço1~s definidas por: 
-2x+3 
e) 
e) sen2 x. 
cos2 
1 + 4x2 + 6x4 + 4x6 + x 8 
2 +4x2 +2x4 
de cada uma das fu111çõ13s definidas por: 
e) 
3 
2e4x + 8e3x - 3ex 
e)----~ 
ezx + 5ex + 4 
4x 
+x2 +1 + x2 
lntegml em IR e IR.n 
IV:.48: Determine todas as de cada uma das run1çoí~S definidas por: 
cos4 sen6 x. e) sen3 
cos7 e) tg3 X. cosh5 x. 
IV.49: Determine todas as de cada uma das 
2 
b) 
.J-x2 - 4x 
e) 22'+x+l • 
22x +r 
e) 
senxcosx 
2+2x V( cos2 x - sen2 x )3 
2xx'+1 lnx + 
IV.50: Determine todas as de cada uma das 
x( are sen x2 r4 x~arc tg(l - x 2 ) 
.J2-2x4 x4 -2x2 +2 
e) 
are sen(x2 -1) 
e) 
ex 
X 
.J1 + e2x arg senhex . 2x2 -
X 
(1 + x 2 ) ln(l + 
IV.51: Primitive por partes as funções definidas por: 
a) ln + tgx. e) .Jx-2 ln(x-
(x2 + 2) COS X. e) cos2 x. X ln2 X. 
IV.52: Primitive por partes as funções definidas por: 
eª sen x3 2x. e) x sec2 x. 
x3~. e) cosh2 (a ln + 
IV.53: Primitive por as definidas por: 
a) ex x+ senh2 (a e) sec3 x. 
x are X. e) x cosecx X. x3 sen + 
IV.54: Primit:ive por 
e" are 
IV.55: Primitive por 
e) 
e3x 
= 
esen X cos X sen X. 
1 
e) 
(l + 
e) ~l + (2 - 2x)2 , =senh 
e) (../e3x -1 = 
.J e3x -1 , 
e) = 
IV.57: Primitive por 
a) 
1-senx 
e) 
1 + cosx 
(2x = 3cosht). 
X 
= 
2 
eJx 
.Jex+1' 
.Ji-+ 4x2 , 
IV.58: Primitive as fimtçõt!S racionais definidas por: 
2x+1 
4 +6x2 -x3 
e) 
2x2 +x4 
e) + 
= 
(J;+i = 
= 3 sect). 
e) 
4x 
2x3 -x2 +3x 
x 3 - 5x2 + 7 x + l 
I'V.60: 
+1 
-1 
X 
2tg-
2 
-2x +5) 
4senx + 3cosx 
senx + cosx 
1 +senx 
e) 
e) 
e) 
x4 +2x-l 
x 4 -1 
x3 -x2 +x-1 
sen3 x + sen2 x 
ln3 x+2ln2 x+2 
X 
que toma o valor 1 em x = O. 
IV.63: Determine uma tal que 
= 2.x-1, = 3 e 
IV.64: Determine a da 
X 
tal que Hm =0. 
x~+= 
e) 
2x4 - 4x3 + 5x2 - 1 
x 4 - 2x3 + x 2 + 2x - 2 
lnx 
e) --
Fx+l' 
e) .J x 2 + x + V x 4 + x 3 • 
=o. 
IV.65: Determine uma 
IV.66: Determine uma 
IV.67: Determine uma 
IV.68: Determine 
IV.69: Determine uma 
IV.70: Determine uma 
JR\ por 
IV.38: 
--x--<1. 
4 
114 senh + 
IV.39: 
tal que 
=L 
x-->0 
tal que 
= x2 3x + x -3 e lim = 5. 
x-+-= 
tal que 
= ellx x4 (1 + +x-1 e 
tal que 
:::: 
e) 
b) 
+ =-112 
2-
18 
tal que 
= 
l + e6x 
continua em 
2" 
cosx 
e 
+sen2 x 
- 1h1 
5 
Hm 
x~+oo 
com 
e 
=O. 
Hm 
3:tr 
-
x-->+oo 4 
= 1. 
=-hr2 2, derivada é definida em 
sex <O 
sex >O 
e) 1h sen 
60 
2· 
e) ~ 
In2 
e Integral em IR e IR" 
IV.40: 
5 +e. 
4 are tg Xh + e. 
][V.41: 
+e. 
IV.42: 
1h ln Jx­
-eotg 
+e. 
+e. 
IV.43: 
5ex 
l /is are tg 3 + e. 
-2.Je-x -1 +e. 
IV.44: 
lnJln(x3 )1 
~-~+e. 
3 
IV.45: 
+e. 
·-----
e) cosec 
4 ln + +e. 
+e. 8 are tg (x-1) + C 
e) 
1 
--+cosx+C. 
cosx 
ID isec X + tg xl + C. 
e) - 1h ln jcosec(3x)+ 
are sen ex + C. 
e) 1h ln +6xJ +e. 
e) 
l ---+e. 
6ln2 X 
+ +e. 
+ -senx +C. 
e-3x 
+x+-+C. 
3 
e) 2 
x 11 10x7 5x3 
- - - +--- 2x5 +-- X+ C. 
11 9 7 3 
+C. 
are 
X 
e) 8 are sen +e. 
2 
4h are tg X h +e. 
e) 
ln5 X 
--+e. 
5 
-2 +e. 
+e. 
e) +e. 
are sen (ex- 1) + C. 
t(2+ +e. 
e) 
IV.46: 
r 
+e. 
6tg5 X 
x+---
5 
X 
-+-+-+C. 
2 3 10 
IV.47: 
8 senh - rn cosh 
X +C. 
7 
+C. 
e) e2x-2e" +ln (e2x +Se"+ + C. 
e) +e. 
IV.48: 
sen4x + sen2x + 3x +e. 
32 4 8 
e) 
e) 
X 
+ +C. 
2 
IV.49: 
x+2 
2arc sen-- +e. 
2 
integrnl am , __ _ 
2x-1 
tg J5 +e. e) are sen +e. 
e) 'h(x-senxcos +e. 
1/z are sen +e. 
+ sen4 +e. 
+ +C. 
l (5x 2 2 3sen4x - -- sen x+ + 
8 2 8 
sen5x _ sen3 5x + 3sen5 5x -~+C. 
5 5 25 35 
h 2senh3 X Senh5 X C 
sen x+ +---+ . 
3 5 
44' . +e. e) 2. (ln2t2 • 22' +e. 
ln(2 + 22x) 
----+-~= 
2ln2 
tg2x-l/2 +e. e) +e. 
IV.50: 
+e. - 113 [are + C. e) 2h [l +are sen +e. 
sen +e. e) +e. 1h ln + +e. 
IV,51: 
(x - ln - 5) - X + C. 
e) 2h(x- ln(x-2)-419(x- +e. 
e) 1/i (X+ sen X COS x) + C. 
iV.52: 
-3 +C. 
e) x tg x +ln xl +e. 
e) 
2a 
eosh + +e. 
lV.53: 
-eosx 
+C. +x-
2 
e) lf2 x sec x ln + +e. 
e) -ln + -X COSee X+ C. 
IV.54: 
ex _lh + +e. 
e) 
-x l 
+ - are tg X + C. 
2 
e) 
X 3x 3 
+ +- are tg X+ C. 
8 
IV.55: 
+C. 
e) 
e2x 
+e. + 
2 2 
b) 
3 
x2 
+ are tg X -- + C. 
2 
x2 SCll X + COS C. 
4 
ln2 -2lnx+l)+C. 
x2 
--fs(x2 - +e. 
x ln + 1) - - are tg + C. 
b) _l 
2a 
cosh +e. 
1Ji + 1) are tg X -X ) + C. 
l 
Ü sen + 1) -- cos 
6 
+ 1) +e. 
b) esen X x-1) +e. 
à) 
X l 
+-are x+C. 
2 
b) 2 + + +C. 
ln2 t 
+5l+C. ~-51nt+25 
2 
e) +(2-
3 
5 
IV.56: 
e) 2h are 
e)-
2 
rv:.57: 
e) 
IV.58: 
3 
4 
X 
+2 
2 
3 
-~-+12 
2 
-eos 
+e. 
l 
+-argsh 
4 
1 
+ +e. 
+ l) 
1 l X 
e) -~---are tg-+C. 
x-2 2 2 
+ 
+e. 
+3 + 
b) 
b) 
X 
2 
2 
b) 
+e. 
5 
+e. 
+ 
+ 
-~ln + 
4 
-are 
X - li + are tg - + C. 
2 
+e. 
+ +C. 
+e. 
+e. 
+C. 
l l X 
-~--+ - - are tg - + e. 
+l 2 2 
2 
e) --+ 
X. 
X 1 
are tg - - ln (2 + +e. 
2 4 
+--+e. x-1] 
l +x2 
IV.59: 
l x-1 --- -are tg--+ e. 
x-l 2 
1 1 
e) ----+-ln -2x 3)+ 
x-2 2 
x-1 
aretg--+C 2 . 
b) x+ +e. 
ln 
3 
e) -+x+-
2 4 
IV.60: 
e l11tegrnl em IR e 
1 3 x-1 
- --- - are tg --+e. 
x-1 2 2 
3 
----- are tg X+ C. 
2 lx-11 2x + ln --· . + are tg 
x+l 
-1) +e. 
2e" - e2x - ln +se<+ +e. 
e) + 4 are tg +e. 2 
--ln 
15 
e) ln 1-1-+--1- - 1- + C. 
senx senx 
IV.61: 
+e. b) lf(l-
e) ln 11+2x + .Jx(x + 1)1-arc tg~l +!- Fx Jl+x +e. 
x x+ l+x 
are 
l - e2' l ,J1 - e4' -1 
--+-ln +e. 
1 + ez' 2 e2' 
e) 
sen + 1. 
IV.63: = 2x ln x + x - 1 (x > 
= 1h are - 1h are tg "h. 
IV.65: 
x4 
ln X - 7) + X + 1. 
144 
+e. 
-tln +1- +e. 
+C. 
lnx l 1 
--+-ln(ln2 x+ +C. 
lnx 2 
Integral em 
----
lV.66: 
l 
- 2x ln 3 + 2] ~- ~ + 5. 
IV.67: = e11x + x On x - 1) +ex+ l - 2e. 
IV.68: = - 1 h are tg x + n:. 
2 are tg( e3x )-ir 
IV.69: =e 6 
IV.70: 
ln2-l)+C sex ~O 
-(ln +e sex >O + 
em 
I 
Ao 
senta~se 
IV.4. Soma 
I, é 
y 
l11tegrnl em IR e IR" 
I = k k = 1, n. 
- t k-1' com k = 1, 
à 
y 
X 
e 
a uma p 
a uma p 
s 
s 
s 
-1 
sorna 
I, isto é: 
'v'P }. 
tem-se sempre: 
-l 
e Integral em JR mn 
uma 
Nesse caso escreve-se apenas 
EXEMPLO I'V.71: 
Para toda a 
minado por essa 
ou ,ou 
a a 
= vxeI= 
que se escolha no intervalo 
n 
9'(f, = í:sup 
k""'l lk k=l 
= inf {9'(f, P); 'i!P} == inf 
= 
k=l 
-1 
Como 
-1 
em I, sse 
Cakule 
b], tem-se em cada subintervalo Ik deter-
n 
= CI;(tk -tk_) = -a). 
k=l 
= 
dx= 
a 
EXEMPLO IV:.72: Mostre que a 
= 
sex EQ 
sexeIR\Q 
comb>a. 
Neste caso também é calcular o valor das somas da esco-
lhida. Para toda a"'"'"""º'" P do intervalo tem-se em cada subintervafo Ik determinado por essa 
2e -5. 
n 
<::/(/, - tk_l) = 2Í:(tk -
k=l ktj ktj 
P); \iP} = inf{2(b- = 
n 
s = Í:(-5)(tk - = -5(b-
k=l 
Logo, 
242 Elementos de Cólrnlo Diferenciai e Integral em IR e mn 
Teorema IV.4: Sendo/uma função definida e limitada no intervalo I =[a, b], é condição 
necessária e suficiente para quefseja integrável em [a, b], que 
V 8 > O, 3 e> O: V P, partição de I, de diâmetro < ê :=:;. '::f if, P) - s(f, P) < 8. 
Note-se que este teorema afirma quef é integrável sse o limite da diferença 
~(/, P) - s(f, P), 
quando o diâmetro da partição tende para zero, for zero. Ou seja,/ é integrável sse as somas 
superior e inferior tiverem limites iguais quando o número de pontos da partição tender para 
infinito. 
Isto acontece para todas as funções contínuas. 
Seffor uma função continua e não negativa num intervalo I = [a, b], o integral def 
neste intervalo, ou seja, o valor comum dos limites das somas superior e inferior, representa 
a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx, e pelas rectas x == a e x= b. 
y 
X 
EXEMPLO I'V.73. 
a) Sejaf(x) = xpara x E [O, a], a > O. Paracadan E IN, considere a1)artição de [O, a] 
Pn ={o,~ . 2a, 3a, .. . ,~=a}. 
n n n n 
a 
b) Prove que f é integrável em I = [O, a] e calcule J x dx. 
o 
Y. 
X 
n n 
= O, 1, 2, ... , n -
Atendendo à 
f = (k+l)a, 
n 
)= 
ª2 
+l)= +2+3+···+ 
n2 
a2 l + n a2 l + n 
=---n=---. 
2 2 n 
Como 
ka 
s 
n 
ka a a2 ª2 k= 
k=o n n n2 k=o n2 
Aprova de 
a2 1 +n 
=---:::;> 
2 n 
= I ka [(k + l)a _ = 
n k=o n n n 
+1+2+3+···+ 
fazer-se de duas maneiras: 
'v'P} = inf 
llEIN 
ª2 
- 2, 
último 
=sup 
-1 
n-1 . - t 1 -- e uma sucessao crescen e "'""'""'"º"'";"' para . 
n 
Como 
= 
-1 
a a2 
Jxdx=-. 
o 2 
Pelo último teorema: 
2 n 2 
lim [ ':J(f, 
n-->+= 
a2 1 +n 
fogo fé integrável. + 
Teorema IV.5: e IR -1' IR, continua, 
az 
ª2 
2' 
= li.m -=O, 
n-H-oo fl 
integrável em [a, 
= 
X 
o mesmo não 
que, apesar ser 
l l 
-=+=e -=~=. 
x--;.o+ X x--;.o- X 
un: u1 u2 U3 
t t t t 
IN: l 2 3 4 
o é 
numerável. Com 
Q: 'li -'li 'h _lh 2fi _21i 'h _113 3Ji _)li '/4 -'/4 
t t t t t t t t t t t t 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
INcZc cIRc 
É a 
= 
EXEMPLO IV.74: se é mti~gr:ive em 
1. o 
2" 
l 
sex=­
n 
sex EI 
TI 
é constante em cada intervalo 
=O:;t: Hm 
x~(~r 
é limitada e é descontínua no 
em [O, l]. + 
sex E 
sex ElR \ 
com n EIN e I "' 
n 
é contínua em In, V' n E IN. Nos 
* lim 
x->(ff 
{xE IR: X= 1/n E 
da forma 
, que é infinito 
[a, é um espaço 
em 
+ + 
a a 
b 
E f = 
a a 
g 
g ~O, 
a 
tem-se: 
b 
I 
a a a a 
em 
5. em[a, e 
6. 
M= em= 
a 
b> a. 
<:=;> m 
para o 
se 
7. 
e l11tegrnl em e IR" 
E 
b 
=> f m 
a 
:5 
a 
tomar 
a 
~m 
:5 
a 
:5 
1 
À=~ 
b-a a 
Â=-1-
a-bb 
teorema do valor 
que: 
a 
y 
f(c) ---------
o a e 
:S:M ~ 
b 
:::; f M ~ 
a 
1 
<:=::> m :5 ~b-
~a 
ao 
b 
b 
:5 
a 
b]. Então 
X 
8. em 
teorema 
= 
a b 
9. =o. 
a 
""''"'"I'"""' que os"""""""'"'"" reais a, b e e, pe1rte1tic~mt1:::s a um 
f iptegrável em I, então: 
e 
dx+f f(x) = 
a b a 
EXEMPLO IV.75: 
Calcule o integral em [O, da função 
={:(n+l) 
2" 
Como já se provou esta é 
1 l/n 
I dx=···+ J 
!/(n+l) 
1 
sex=­
n 
sex el 
n 
em 
dx+···+ 
1/3 
E I = 
n 
l]. Pela 
1 
dx+ J dx = 
1/2 n=t 
00 11 " n(n + 1) 00 n(n + 1) 11" =L J <lx=L~~ J<lx= 
n=l l/(n+l) 2 n n=I 2 n l/(n+l) 
10, tem~se: 
dx= 
l/(n+l) 
= f n( n + 1) (l - 1 
n=l 2" n n + 
= f n(n + 1) ___ 00 _!_ = __ t_ = l. + 
n=l 2" + 1) n=l 2" 1- t 
Ie 
Integral em e IR11 
EXEMPLO JrV.76: Calcule 
-II dx. 
Atendendo a que, como 
b 
f Cdx::o 
então: 
1 
-l)dx=Jldx- dx+ dx- dx= 
2 
=I-t+fxdx- dx-1= 
Este exercício serviu para Y"""'"'l-'"'"V'~' ""'''""""" dos urn.5 """"'' mas não é 
a maneira mais cómoda de calcular 1ntPm"<>H Existe um processo muito mais baseado na 
chamada de Barrow e no uso de Com o de a essa regra, vamos 
estudar a indefinido. 
o 
então escrever-se 
o 2 
que, no 
b 
J 
a a 
a 
em o seu 
que provar que 
E 
X-'>C 
ou 
=0. 
teorema 8 
com 
de extremos e ex. 
=O, 
e 
é E I, 
= 
Há que provar 
lim <p(x) - <p(c) = 
x~c X-C 
X 
J f(t) 
~-- = lim À(x)(x- e)= 
x~c X-C x~c x-c x~c 
teorema com 
lo extremos e ex. 
x--tc x---tc 
= 
então é uma 
EXEMPLO IV.77: Calcule 
d X -f dt. 
dx a 
para '\lx E IR, é contínua em IR. • 
EXEMPLO IV.78: Prove que se/é diferenciável em e verifica 
constante em IR. 
d 
dt + =O, '\lx E IR =O, '\lx E IR. • 
dx a 
O teorema fundamental do cákulo ser 1'5'"'""''"'""ªu"' 
indefinidos nos um ou ambos os extremos de 
Consideremos 
d 
dx 
onde diferenciável 
= y, temos 
contínua. Usando o teorema da derivada da com-
d 
dx 
Consideremos agora o caso 
d b 
-J 
dx a(x) 
dt· 
d 
dt=--
dx 
dx 
dt = 
diferenciável 
d d e 
dt=- f 
dx a(x) dx a(x) 
Acabámos p0Jt1a1l1to de provar que 
d 
dt+­
dx 
dt = 
num intervalo abe110 I, então 'ílx E I, tem-se: 
d 
dx a(x) 
EXEMPLO IV.79: Calcule 
d 
dx lnx 
EXEMPLO IV.80: Cakule 
dt = 
d 
dx lnx 
dt= + 
x' 
dt. 
e~x'+x' _ J:_ e& 
X 
J sent dt 
Hm_;cº---
x 
x-->0 J xsent2 dt 
e forem diferenciáveis 
O limite é uma Para a levantar oodem(JS usar a conhecida 
de~~~~ • ., caso, é necessário usá-la 
x' 
J sent dt 
Hm~º----
X 
x-->0 r 
J xsent2 dt 
2 senx 2 + 2x 2 cosx 2 
= Hm----------~ = Hm-------~ 
x-.o senx 2 + senx 2 + 2x 2 cosx 2 x-.o senx 2 + x 2 cosx 2 
l. 2x cosx 2 +4xcosx 2 - 3cosx 2 -2x 2 senx 2 3 
= 1m-------------~ = lim + 
x-->0 2xcosx 2 +2xcosx 2 - x-+0 2cosx 2 -x2 senx 2 2 
Então: 
= 
É escrever 
A regra 
recorrer 
Barrow coma 
a 
= 
a 
e uma sua 
= +C- + 
a 
-J 
a a 
= 
é uma 
EXEMPLOS IVJH: Calcule os 
e) A 
dx. 
sen2x dx == 
b) 
l 
4 
e' 
dx. e) J dx. 
-cosn -coso 1 -1 
=-----=--~=l 
2 2 2 2 
= t ~ X = t2 ~ x' = 2t ~ 
ln ,,Jx lnt ( 
~ <JP ,,Jx = <JP-t-2t = 2<JPint·1""2 dnt-
e' 
f dx= ]e' -1) 1 =2[e(lne-O-Onl-
teorema: 
=2 .• 
integral, 
EXEMPLO IV.82: Calcule 
--~dx. 
o ex+ e2x 
Fazendo a 
e" = t => x = ln t => x' = r-1, então x = O => t = l e x = l => t = e, 
l dx = Je_l_~ dt. 
ex + e2x t + t 2 t o 1 
1 A B C 
--= - + - + ~ => l = A t (l + t) + B (1 + t) + C t 2 
t 2 +t3 t t 2 l+t 
t = -1 => l = C; em t 2: O= A+ l =>A= -1 
l 1 l 1 l 
<li'--== -<li'-+ <li'-+ <li'~= -lnltl- - + +ti== 
t 2 + t 3 t t2 1 + t t 
e l l 
=> f--dt= 
1 t + t 2 t 
EXEMPLOS IV.83: 
1. Justifique que 
2. <p: IR -? IR definida por 
+l= 
senx 
X 
sen x dx = f x dx 
x 0 ~are senx· 
X 
= I <x + comge 
Calcule 
x= O. 
e 
o 
que, se ;t; O, então qytem um 
l 
--=> 
t 
l 
--+1. • 
e 
de inflexão em 
Por meio duma por 
de 
não estar definida em x= O, a 
2x 
"' f u2 du. 
senx 
X 
é Hmhada em todo o intervalo 
1. senx 1 
im--=~ 
x-.o X 
nos é contínua é a 
a !J':l!<:iLH.li:ILUtç U!CHC:aa;a, basta fazer a un'"""""'ª de variável sen X ""'y, 
x = are sen y; x = O ~ y = O e x = rt/2 => y = 1. 
IV.83.2 Pode escrever-se 
X X X 
= x2 f dt+2xft dt + f t 2 dt. 
X X 
= 2x J dt + x 2 + 2 J t dt + 2x2 +x2 
o 
X X 
Ç:? = 2x f dt+2ft dt + 4x2 
X 
=> =2f dt + 12x + 4x2 
=> = 14 + 20x + 4x2 
Em x = O, tem-se: é finito. 
=O e = :t: O, 
q;tem um de inflexão em x "' O. 
Para provar 
i11tegml 
------~--'---~~-··· -·-· 
Fazendo a 
dt 
U =X+ t ::::::> t = U -X::::::>~ = l; t = 0 ::::::> U =X e t =X::::::> U = 
du 
resulta a 
EXEMPLO IV.84: Mostre que, '\/a e IR: 
uma e em então 
dx= o. 
uma e par em então 
dx = 2 dx. 
o 
dx= dx+ dx. 
-a -a 
Fazendo no l.º a x=-y, donde =-1, vem 
dx= (-1) :::::: = 
-a 
dx= + dx= O. 
o 
Tal como na alínea tem-se 
dx= dx+ dx= + dx. 
-a 
dx= + dx= dx. • 
a 
EXEMPLO IV.85: Calcular 
senx dx = 
-n/2 
+ 
EXEMPLO IV.86: 
Mostre que 
Tentando resolver o 
ou 
u' 
-n/2 
-ir/2 
Jr 
=sen--
2 
a 
dx. 
n n n 
-cosx dx = --cos-+ 
2 2 2 
=1- =2 .• 
de classe C1 no intervalo 
= f(l) =O e dx = 1. 
l 
J 
por com 
= e v' 
+ e V 
Então: 
+ 
tal que 
Integral em IR 
temos: 
l 1 
J dx = -J + dx= 
1 1 
dx- f dx =-1- J dlx. 
o 
Então 
j 1 
2 J dx=-l=>f dx =--V:?. • 
e], 
então a um 
não ou 
e 
em < b. 
'''"'~'"'" 1 e lnfegrn1I em IR e IR11 
.~~~~~~~~~-
+= 
J dx. + dx. 
-J dx = Hm 
. c-2 - 1 l 
= hm-~=-, (l.ª 
c->+ro -2 2 
o 
J + dx = lim + dx= 
e) j-J3 +lnx dx= Hm ~ dx= 
e X X 
+ 
então o 
este não ou 
+ 
.l 
4 
- 4312] = +oo. 
== , 
+ =-00. 
+ 
De 
em E 
EXEMPLO IVJl8: No caso de serem 
l 
f lnx dlx .. 
o 
+§oo 1 dlx 
x~Inx-1 · 
- 1 e) f -dlx 
~º 1 +x2 • 
ll'rim•m,,," e lntegrnl em 
---~--~-~~=--------~~~~-·· ~··-
:=oo 
' 
Hm Xnx =-oo, 
X--70+ 
o 
1 
J Inx dlx = Hm 
c--70+ 
O e 
= -1. 
cz 
e) 
emx = 5. 
5 2 e 2 
f~~dx=HmJ~-
c--?s- o 
= 
= 00. 
J 1 dx. 
0 x-JI- lnx 
Como ln e = 1, a int'"'"'"""'fa tende para infinito nos dois extremos de mt13Qx.aca10 
urn."''.'" dado escrever-se como uma soma de dois 
vH<~H•·aU•~v-1:110, por integral misto. A do inter-
vafo de mt1~gr.açã10 
em 1. 
fazer-se num arbitrário do intervalo 
o 
de 2.ª 
e l 1 1 e l J dx-f dx+f dx-
0 x-JI - Inx - 0 x-JI - lnx 1 x-.Jl - lnx -
l 1 d 1 
= HmJ dx+ Hmf dx. 
c->o+ x-JI - lnx a_,e- x-Jl - lnx e 1 
l 1 
</P dx = -</P--(l-
x.JI- lnx x 
O - lnx)112 
1 
2 
= 
e 1 1 d 
J ~ dx = Hrn[-2.J1 - lnx] + Hm[-2.J1- lnx] = 
0 X 1- lnx c-;o+ e d->e- 1 
+ 2.J1 - lnc) + Hm_(-2.J1 - lnd + = +oo + 2 = +=. 
d->e 
dado é 
1 l dx. 
e x-Jinx -1 
misto porque se 
X"" e) COffi um um;oe,i•m l1np1rópno 
finito a> e, por 
T 1 dx=f 1 dx+T l dx= 
ex~lnx-1 ex~lnx-1 ªx~Inx-1 
+ lim[2~lnd-l -
d->+oo 
e) Trata~se dum um.;c;•<U 
de l.ª 
1 
l+ 
= are tg a - are tg 
Então é 
Como já se 
[a, 
por 
agora o caso 
+ 
1 
= [are 
e-?-= l+ a 
+are tg ( + -are tg a= rc/2 + rc/2 = n:. 
§2 t3 + 5 d t. 
l t2 -2t + l 
:as; s;b o:::;y 
mtegi~ais im~ 
+e e 
y 
Então 
b 
J [f(x)+ 
a 
a a '5.x'5.b o '5. y + e 
b 
J + 
a 
a 
a'5.x'5.b 0Sy'5. + 
a 
a '5.xS b +C'5.yS + 
é à 
a~x'5:b 
b b b 
I + -I + =J + + 
a a a 
b 
=I 
a 
Em resumo: 
EXEMPLO IV.90: Calcule a área da definida por 
-x2 + 2x ::;; y ::;; -2x2 + 4x. 
2 
=f + + dx + 
y 
X 
EXEMPLO IV.91: Calcule a área da limitada Hnhas de 
y = sen x, y = cos x, x = O, x = 2n:. 
2n 
X 
Como se vê pela a área se pretende, não pode ser descrita na forma 
mas na união de três regiões deste 
comOs;xs;"/4 e senxs;ys;cosx; 
com "/4 s; x :::; 5"/4 e cos x :::; y s; sen x; 
com 5"/4:::; x:::; 2n e sen x::;; y s; cos x. 
A área total 
total= dx+ dx+ dx= 
n/4 5JCl4 
+ + + 
-li -li -li 
=-+-~l+~~+-+-+-+l+-+-= 
2 2 2 2 2 2 2 2 
l11tegm! em :IR 
um 
b 
f 
a 
y= XE l]. 
Tem-se 
"" t =:> 1 + X = t2 ~ X = t2 - l ~ X' = 2t. 
X""' 0 =:> t = l; X= 1 =:> t = 
Então 
1 
J [ t 3 JJ2 2 dx = t 2t dt = 2 ~ = 
o 3 1 3 
e Integral em IR e IR11 
------~ 
EXEMPLO IV.93: Cakule 
Fazendo a 
dx= 
! 
= f coshx dx = = senh l - senh O = senh 1. t 
é dado por 
-l 
senh t , cosh t 
2x=senht=::>x=--=:>x =--. 
2 2 
!lP cosh t cosh t = cosh t senh t - <!Psenh2 t = cosh t senh t - + cosh2 
cosht senht- t 
2 !lP cosh2 t = cosh t · senh t- t => !lP cosh2 t = ------
2 
- .! 
- 2 
cosh t senh t - t 
t=------
4 
senht-t) = ·2x-arg 
- arg senh 4 + + arg 
l11tegrni em 
··-----~-
uma 
a:;;x::;; b 
y 
y"" g(x) 
R -------- ----------- -------- ------- -------- ...... ---
r ------
b 
o X 
-f2(x)]. 
X 
b 
J 
a 
B= 
então o é 
EXEMPLO IV.95: Aa 
Calcule o volume do sólido de 
dos xx. 
y 
ó 
Neste =O, 
volume= 
e lntegrnl em IR e IR" 
c~y$.d O 
d 
= I 
definida por: 
de 2n: da A em tomo do eixo 
y 
X X 
dx dx= 
5 
= 11: -2e+ + 
2 
IV,96: Considere o domínio A 
A área do domínio A 
Calcule: 
O volume do sólido de 211: dlo domínio A em tomo do eixo dos xx. 
y 
y=2 
X 
A área ser cakulada por meio de um único definido se considerarmos 
A= 
d 
de A= J -f(y)] 
Teremos 
2 
de A= f[.J4-y2 - =[!._.J4-y2 +21m::senl+ =n+2. 
2 2 2 
O volume V é a soma de duas uma gerada 
o 
= XE[-2,0],-x:<;;ys;2}~ =n:f(4-
-2 
2 
x E O s; y s; .J 4 - x2 } ::::::> = n J 
Então V= 
limitado 
2x + l =O e x-y- l =O. 
e outra 
16 
dx = ~rr:. 
3 
16 
-O] dx = -11:. 
3 
das defini.das por 
"""~·i+i'"""' que a área 
Calcule o volume do sólido 
domínio que tem x 2:: O. 
l11tegrnl em IR e IRl'l 
EXEMPLO IV.98: Calcule o volume do sólido rei;:1re~;entaalo na 
sabendo que ele ser obtido 
A::c::;; 
y 
-r r X 
Volume= + 
-1' 
dx=4Rn 
-r 
y 
dx= 
dx. 
x = sen ::::::::> = cos t; x = -r =:? t = -"h; x = r =:? t = "h =:? Vol. = 
-1'12 
1-cos2t [ cos2 t dt = 411: Rr2 dt = 2n Rr2 t -
-n;/2 2 , 
= 4n Rr2 
do 
X 
r 
f = 
-r 
= Rr2 • 
EXEMPLO 1Vo99: 
A conente num circuito RCL é dada por 
São constantes a 
a resistência R em 
=EC 
R 
a=-· 
2L' 
A carga Q em coufombs é dada por 
Determine Q resolvendo esse 
T 
dQ . 
-=1 e 
dt 
=o:::::} = f i 
Primitivemos por 
+ 
dt 
= i, 
(ª2 dt=EC -+ 
' (1) 
u = e-ª1 :::::} u' = -ae-ª1; v' = sen 
T 
J 
<!/' e-ª1 sen 
a ) = -e-at --- - - <!/' e-at cos 
ro ro 
s' = cos 
lliltegrnl em IR 
sen )] dlt. 
rnt.''"'"'·1,, e integrnl em IR mn 
----
(!) 
+ 
-e-ª'[m cos(mt) +a sen(rot)] 
:::;. "'EC + dt = 
ª2 +m2 m 
+a + 
2. A probabilidade P de que um digital manufacturado por uma elec-
trónica dure entre 3 e 5 anos, com um uso é dada por: 
Cakule a f.J"'"Q""j"'·"~"'" P. 
Calcule x tal que 
5 
P = f 22.05 r 3 dt. 
r 3 dt=1, 
ou seja, determine entre que valores se encontra o 
P= [ r2 Js r 3 dt = 22.05 _2 3 
= -ll.025(fs-
X 
J 22.05 r 3 dt = l <=> -1 =l<=>-1 l -t) = } <=> = 49 ~ X = ±7. 
o de vida destes encontra-se entre 3 e 7anos. + 
l11tegrnl em IR 
3. Um fluido escorre para dentro dum à velocidade de 2t + 3 
de 1000 
do meio-dia. Se o 
a que horas estará cheio? 
' estiver vazio ao meio-dia e tiver 
Vamos começar por PY1'lr111f11r tudo na mesma unidade de horas. 
A velocidade de escoamento é = + 3) litros por hora. A 'l"''"''""n"·"' de fluido que escorre 
para dentro do ao fim de T horas é 
T 
J 
o estará cheio 
às 02:51H. + 
IV.100: Calcule os seguintes 
l 
J ex are tg(ex) dx. 
l 1 
J1n-dx. 
X 
+ dt = + = 
60T2 + 180T = ou 
-n/3 
b) J cotgx dx. 
-1'14 
e) ----dx. 
-1 e2x + e-2x 
senx dx. 
e) -------dx. 
8 - 4 sen x + 7 cos x 
o e2x 
b) !1~dx. 
+oo 1 
e) J~dx. 
2 -1 
+ 180T. 
T"' 2.849 horas do meio-
e) 
e) 
.J4-lnx dx. 
X 
senx + cosx dx. 
1 +senx 
+oo l 
e) J---~dx. 
10+ 
1 2x + 3-x2 
e) { (1 - - 2x + 5) 
1'1:104: Cakule as áreas dos 
A= y::::: o 
e) e= 
D= 
A= x2 - l :::;;y:::;; (x + 
B= 
e lntegrnl em IR e IRª 
+= 5 
f~x-dx 
16-x4 • 
2 
domínios 
/\X :S; 2; 
lx :s; 1}. 
e) C={(x, Osys;"/4 x(x-1+ :s; y :s; are tg 
D = {(x, y::;; x2 x2 + s; 2 y;::::x-
e) E= 
das linhas dadas 
y= ,XE 
X E [0, "/4]. y= 
e) y= , com Os; x :s; 2. 
IV.107: Calcule o volume dos sóHdos de 
dos xx das a indicadas: 
A= y:::::O b) B = 
e) e"" o s;y :s; ,-2 $;X$; 1}. 
=are tg x; 
com -2 s; x ::;; 1. 
lV.108: Determine o valor médio da 
IV.109: Determine a altura de um rPl'.rnnm 
limitado 
IV.110: Sendo 
calcule e 
= ln x no intervalo [1, 
com base b e área numericamente 
> 
= + 
X 
IV,111: Determine definida e continua em IR tal que J eg(t) t2 dt = x3 - x 4• 
IV.113: tais que <p é contínua em IR 
dt. 
Mostre = 
IV.114: Mostre que 
tem um mínimo local em x = 1 e um máximo local em x = O. 
IV,115: Mostre que 
X 
com par, é uma 
definida por 
e Integral em IR e 
IV.116: Mostre que 
t) dt 
estritamente crescente em IR. 
IV.117: IR -t ][R definida por 
indi-
IV.118: Considere o indefinido 
l+x2 
sendo função continua em tal que =O e = 3. Mostre que q> tem um 
IV.119: Mostre que 
X 
x2 J e-1 dt 
lim 0 , = l. 
x->0 ex ~ l 
IV.120: A densidade de massa dum fio é = x2 e-x por centímetro. O fio tem 
2 metros de Calcule a sua massa sabendo que ela é dada por 
M= dx. 
IV.121: Um circuito RCL é corrente = EC a 2 te-ª1, onde E é uma 
co11st:mte, expressa em volts e a= R/2L. As constantes R e L estão em ohms 
A carga Q em coulombs é dada por 
T 
= f dt. 
lV..122: A carga Q em coulombs num circuito RC verifica a 
l 
+~-Q = 100 sen 
dt 0.04 
com =O, 
= 100 e25x cos5x dx. 
eia em ordem ao 
a 
que a dum de 60 ciclos varia com o 
de acordo com a fórmula 
onde P0 é a 
IV.100: 
earctge-
IV.101: 
máxima de saída. 
1 +e2 
ln~~-
2 
(2 ln 2-
e) 1/i are tg e2 - "/s. 
3"12 ln3+1 
b) 
l + ln2 3 
e) 
"/z + 2 ln -L 
e) ln3 - are tg 1/z + "/4. 
6 
ln-. 
5 
IV:102: 
L 
L 
IV,103: 
IV:104: 
IV.105: 
2. 
e) e 
IV.109: b3/4. 
IV.110: 
de lntegrnl em IR IRn 
e) ln "h- ln "/4. 
e) 3 
e) "h - ln2/2- e-2 
b) 44f3. e) "/s-ln 
e) 7h - 3 e-2• 
hitegrnl em 
IV.lU: =ln (3 -
IV.117: A é estritamente crescente, há de inflexão em x = e 3"h. Há mlÍnimo 
absoluto em x = O e máximo absoluto em x = 211:. 
IV.118: A tem um mínimo 
6 
=J =Oe >o. 
IV.120: M = 2 - 40402 e-200 
IV.121: = EC[l - + coulombs. 
IV.122: 5t + 5 cos 5t - 5 
IV.123: 1800 Pw + 
1 e 
1 1 • 1 
.1 
lntegrnl em IR IR1' 
em 
yy: 
E 
recta que passe por um em 
y 
y"' (/)z(X) 
x= b 
y= 1P1(X) 
O x=a X 
2ou o eixo XX: 
ffi= E . cs;ys;d s;x::;; 
y 
y=d 
x= '!fz(y) 
Y"'C 
o X 
meta que por um a 
em 
V.1: esta à soma 
5= 
k~I 
EXEMPLO V:.1: Considere a 
=4-x-
limitada por x = O, y =O e y = -2x + 2. Calcule as somas de Riemann para as 
,.,.,.,+,,.,n."'~ definidas por: 
X = O, X = +' X = X = 1, y = O, y = +' y = 1, y = +' y = 2. 
X = 0, X = i, X = X = X = 1, y = 0, y = i, y = +, y = 1, y = y = y = 2. 
como sendo o vértice 
~ =.11 
4 
- 9 
- 4 
= ~ =3 1)--? 1)- 7 
- 4 
~ =l! = l)~ 
4 
1)- 3 - 2 
=(~, --? =7 = ~ 
= --? ::::1. --? 2 
- 3 
-4 
representa por 
ou 
Em resumo: 
EXEMPLO V.2: em 
Integrais Múltiplos 
que a as somas de Riemann são: 
C 0 =C 
k=I k=I 
HmC 
EXEMPLO V.3: A= [O, l], B = [2, 5] e~= A x B e 
L 
20 
Verifique 
{
l<=x EQnA 
y)= 
O<:=x(iÉQnA 
a ela define elementares que · 
nos nos o valor 1, há dois 
de somas de Riemann: um exclusivamente formado por O e outro limite é a área 
dA + 
+ = + dA 
<!Jt <!Jt (!}l, 
em que a, f3e 
Se = <!Jt u 
l 
A in "'0=> dA= dA+ dAo 
?ll, <!Jt, <!Jt, 
'"""''"'"'"''e lntegrn! em IR :IR" 
~~~~~~~~--~~-· -~~--~~~~~~~~~~~~~~~ 
3. Monotonia: 
Em 
em que Ç}/, é a 
Riemann das 
tem como o 
E então ;;::: g 
;:;:o. 
z 
s 
y 
-x-
do V. l que este 
calculámos duas no _n''"'"'"'~ V. 
=4-x-
<.'=>x+ +z=4 
que intersecta os eixos em B ~ O, o, Como vemos 
-X- dA dá o volume do sóHdo que se obtém 
subtraindo ao volume da de base 
e altura 3, em que A~ (1, O, 
~x- dA=t x4-tx 
z 
(1, o, 
e 
y 
B 
X 
começar con-
éum em aye 
esta 
que éum 
EXEMPLO V.5: 
r s34 
e) 
+ 
_!_ r2 r4 
3 J1 J3 
'li! 
Cakule 
·y2 dx. 
e l11tegrnl em IR e IR11 
= =C 
+ dx 
f f !_ dx. 
l o X 
+64)3 - + 
l J,2 "' - (lllx 4 +1010lx2 + dx = - 111- + 10101- + 24246lx 1 [ xs xi ] 2 
9 l 
+ 
e) 
+ 
9 5 3 l 
1 
= - ( 3~ 1 + 70~07 + 242461) = 29635,356. 
9 
+ 
+ + + = 
rr 1 y-dx = L' = s: -0) =[y;I 
o l X 2 
1 
dx,,, r !__!_dx= 1 -y dx • X 1 X 2 2 2 
dx = 
= X 
<Jí 
Em e 
r 1 l 
= X - X = 2· 1 X 
= dy 
e se a região do 2 será 
dx 
EXEMPLO V.6: Calcule 
-x- rn [ z]-2x+2 dydx= Jo 4y-xy-y 0 dx= 
-xz + 
y 
X 
-x- dA= I: x2 
-x-
2 
y 
EXEMPLO V:7: Calcule 
=xy, ~= 
=xsen + ~= 
e) 
e) e IR2 : O:::;; y:::;; sen x O:::;; x:::;; 
xy dx = s: dx = ..!_ r x 5 dx = ~ 
2 ª 3 
dx = s: = s: 
y 
(2, 4) 
o 
ou 
16 
= ~ 
3 
7 
3 
+ + + 
= J> COS X dx + J~ X COS X dx = X COS X = 2 + X 
+ senl-1) = 2cosl + 2senl-2. 
Ou J; J> dx + -x + 
+ -seny- + + +cosy- + 
= + + cos l + cos n - cos O - + + sen 1 = cos 1 + cos l - l - 1 + sen 1 + sen 1 = 
= 2 cos l + 2 sen l - 2. 
e) ex+y dx+ J~ ex+y dx= dx+ f~ dx= 
[l l J = dx+ dx = -e2x+I --x + = 2 e _1 
1 1 1 1 1 e2 -1 
=-e--e-1 --+e--e-O+-e-1 =--
2 2 e 2 2 e 
ou dx 
e2 -1 
= 
e 
{xy= l 
A~ (1, 1). A= ~ 
Y"' X 
=1 
B= ~ 
=2 
C= ~ e~ 
=2 
D= :::::> D= 
Ou 
e) 
ou 
y 
dx+ 
x2 dx xz L dx [ 
3 ]2/x 
3 l/x 
= _!_ r'12 iz (64xs - l dx + 1 
3fu2 3 
l [32 ]'12'2 7 =- -x6 -Inx + 
3 3 112 3 
f./2ly J2 J,2/y x 2y 2 dx dy+ r:: x 2y 2 dx dy+ 
l l/y v2 l/y 
y3 Jsenx 
+- dx= 
3 o 
cosx + 2cosx + 2xsenx + f cosx + tcos3 
X 
6 ]'12 lnx-~ 
6 l 
dxdy= 
senx + f sen3 dx = 
+ dx = ... este dá muito trabalho e do outro 
X 
l11tegrnis Múltiplos 
--------------------------------=---·~-·--· --~-------
dx +fJ; dx 
Dado que não é imediata nem se 
vamos inverter a ordem de mt,e~1·aç:ao: 
= -l)dx=(e-
y 
3 
=-(e-
2 
X 
EXEMPLO V.8: Calcule o volume dos sóHdos limitados por 
z=4-x2 -y2 z=O. z = 6 - x2 - y2 /\ z = ~ x2 + yz . 
e) z = 4 /\X + z = 6 /\ z = o X= O. 
X 
V= §f -xz - dx 
~4-x2 +2arc 
r= 
V= -xz 
Como uma das 
-x2 - dx 
dx 
X 
dx = 
y3 y ~ 
-----yx- +y- + 
3 2 2 
r;--2 2 
'\/4-X --
2 
3 
+!_x~4-x2 +2arc 
2 
~ 
+z-6=0 z;;::o 
1 
\ 
y 
= 8n. 
+ =4 
_ y2 _ ~ x2 + y2 ) dx = 
]~ +~xz+yz)o dx. 
é morosa obter o volume calculando o volume 
entre o 1'"'·"'"""°'"'"'" e adicioná-lo ao volume do cone: 
V= -x2 - X alt.= dx+ 
ao resultado da alínea 
e) Tal como vimos que dx é um volume se ;;::o, E~C 
também 
X 
V= -z) dz = 
EXEMPLO V.9: Inverta a ordem de 
f2 dx. 
e) dx 
e) dx 
dx + 
z) dz 
z);;;: O, z)erzJl. 
dx 
-2 
(6-z)dz = 
= 2[16y-~y3 - 1 
3 10 
em 
b) 
d) 
h) 
o 2 
f r-x' 
-1 o 
dx 
-­X 
= 
704 
15 
dx. 
dxdy. 
dx. 
dydx. 
1 2 X 
dx 
e) x = 2 - y Ç::? x + y = 2 é uma recta. x ""' é uma semi-circunforência. 
y 
( 
2 X 
r~ Jo f(x, y) dy dx + y)dy dx. 
=2-y 
=-4 
::::;, 2 - y = -4 + y 2 {:::> y 2 + y - 6 =0 
y 
X 
dx+ dx. 
h1tegrnis Múltiplos 
e) y 
X 
dx+ dx. 
y 
X 
dx + s:' dx 
y 
2 
X 
dx. 
y 
dx dy. + 
IR IR" 
Vimos que se 
;:::: o, eÇ/tcx 
então dx é um volume. Em = 1 esse volume é numericamente 
0l 
à área de visto que o sólido tem altura 1. \ 
Em resumo: 
fJ dA= do 
(lJt 
dx= 
e) A= r2f2-y dx 
Jo -P 
elementar: 
= 1/4 X 11: X 22 + 1/z X 2 X 2:::: 1/: + 2. 
A= dx = (2-y+4-
e) A= dx = (2 - y + 4 - y 2 ) = 
j) A= dx= [ x2 dx= 2 -xlnx+ 
A= dx= s: dx= 
dx = I~ (2-y-
8 8 32 
= 8--+8-- =-. 
3 3 3 
22 
3 
= rc+2. 
y2 
2 
125 
6 
56 
=-
3 
e4 
=--e2 
3 
2 2 
=4. 
Integrais Múltiplos 
EXEMPLO V. U: Determine 
dx = dx =- dx= 
~--1 JI dx--11[ X 
+ y o - o (x + 
dx= 
! __ 1_ + !) dx = 
X x+l X 
Trocando x por y tem-se 
2 
Com este ex~:m1J10 un~re1me-se chamar a para o facto de que ~~··fo~~~n inverter a ordem 
de 1n~reear~l'.~1n 
definida em 
teoria dada. Na realidade 
'-'V''""'""'"' do teorema de Fubini. Não é este o 
de 
m::5: 
Jf m ::;; 
Çik (i/í 
:::;; 
Çik Çik 
na 
WIY!YrlYWffl e 0 seu cálculo teria de ser feito por 
teorema::;;M 
:::;; M 
Çik 
::;; 
(i/í 
m 
o que uma 
que sef(x,y) :2: O, e representaria a altura 
volume seria o daquele integral duplo. 
EXEMPLO V.12: este teorema para calcular o valor médio de f em 
Exemplo V.6. b) Exemplo V.8 
-x-
Então 
é o valor médio 
+ = 5 e int com 
z 
y 
X 
dA = 8n /\ 'li:. 22 = 4n: =:> =2, 
que é o valor médio 
4 - y~ = 2 Ç;:? + = 2. 
O cilindro desenhado e que tem altura 2, tem o mesmo volume que o sólido situado entre o para-
bolóide e o plano + 
2 y 
X 
M= 
que as 
xa 
M 
e que os momentos inércia são 
centro 
por 
são 
a 
por 
EXEMPLO \:13: Para a 
forma e dimensões. 
a = + Jyj calcule a massa da lâmina que tem 
y 
X 
+ dx = I~ + 
+ 2x + 2x2 ~ 4x + dx = + 
EXEMPLO \:14: 
do centro de massa e o momento de inércia em 
dx =k· 
= = 
k 
= k 
I + dx= 
--o X 
+ 
V 
lx2 
k--=k. 
dx= 
1 
dx=~. 
3 
dx=~k 6 . 
para as 
em 
{
x=au+ 
T~ 
y=cu+ 
Para assegurar a 
EXEMPLO V.15: Calcule 
y-x 
e Integral em IR e IR~ 
= -1 e 
com a, b, e, d E IR e teremos 
teremos 
fJ ey+x dx 
'!/I, 
<J?, ~X ;;::: 0 y ;;::: 0 /\X + y ::;; 2. 
=x+y 
=x-y 
É 
é ele 
ex+y = 
1 
d o(u, v) 
et--
x+y=l-7u=l 
x+y=-1 -')u=-1 
x-y= l -7v= 1 
x-y=l-')v=-1 
notar que 
ldet d(x,~~I 
-1 
1 
2 
a razão entre as de e Ef. Neste caso 
='h 
1 
e"·-
2 
1 f = 2 -1e" 
det õ(x, y) = ~--::-:~~ 
v) d o(u, v) et--
X 
l 
2 
= 
l -1 x[v] 1 =~~. - e 
31 
\ 
'"'"'"·'"'"''e lntegrnl em IR e IR" 
Transformemos as fronteiras: 
=V 
T :=;;{X= 
y= 
em que pe 
y 
-----
=-u 
= v; y =O:::} =-v 
=V 
y-x 
ey+x dx eulv t du dv = 
mas não 
cos e, p sen 8) p 
X 
a 
1 e2 -1 
dv=---
2 e 
p 
e2 -1 
e 
= 
dx = ·p de= d8= 
( 
de = 211: X 4 = 8n. 
dx = p "' 
ffi, 
d9x = 2nx 
32 
= =-11:. • 3 3 
EXEMPLO V.17: Calcule a massa duma circunferências x2 - 4x + = O e 
uu,,vu••v que a densidade em cada é directamente à distância 
do 
y 
o X 
a= k · p, k E IR+. 
x2 -4x+ =O<::::;> (x- + =4. 
x2-2x+ =Qq(x- + = l. 
x2 -4x + =Qq cose= o~ p= o p=4 cose, com OE 
p = 2 COS (}, com ()E 
M= dx = ·p d8= 
EXEMPLO V.UI: Calcule o volume do sólido Hmitado 
x2 + z2 = 9, y =O e y = 
z 
3 
' :4 5 3 ---------------- ·::::--_.L-----·c.:--#--.>------y 
X 
Linha de intersecção 
+z2 =9 
=25-
{
x 2 +z2 = 9 
<=> r = 
y=4 
+z2 = 9 
Neste caso o sólido projecta-se num círculo no plano as coordenadas vão 
transformar z) em (p, 
= psen9 
O sóHdo 
octante. 
dividir-se em quatro partes iguais, representando a figura a 
V= JJ (bs - x2 - z 2 - dx dz = J:" f: ~25 - p2 p de= 
'2lt 
122 
=-n. 
3 
que fica no l. º 
Esta urn'"ª'-""ª não evidentemente aos dois 
a teoria e começar por calcular o da trn:nsJtornmaç:ao. 
"'l "'1 
de para e 
=2 =2 
=X =l 
=4x 
para 
=4 
de 
dx 1 1 [ ' ] 2 
-dvdu=- ~ x 
2v 2 3 1 
1 7 
=-·7·2·ln2=-ln2. t 
6 3 
V.20: 
1. Calcule as áreas das definidas por 
x2 y2 
- + - ::;; 1, usando coordenadas cartesianas 
ª2 b2 
e as coordenadas O) definidas por 
x = a p cos () e y = b p sen 9. 
9x2 + - 36x - + 36 ::;; O e 
2. Nas alíneas que se seguem inverta a ordem de 
b) J7 f(x, dx dy. 
e) dx. 
dx sendo 2ll limitado por x2 + = 4, x2 + = 9, xy = 1, xy = 4, com 
O $;x 
nab. n/6. dx dx. 
dx dydx. 
e) dx 3. 15/2. 
à soma 
k=l 
k=I 
V.4: Qao se e repre-
senta-se por 
If ou I y, 
Q Q 
@ ff J = J + ff j1 E:IR 
Q Q Q 
f J +f f = JJ J se u ~Q n 
01 Q2 Q 
Ili 2 => ff ~II 
Q Q 
Em 
~o, ~O; 
y, = 1 então 
y, z) é amassa num 
= Jf 
Q 
e as centro 
I µ Jf JI µ 
= Q = 
M 
L ser um ou uma 
ó 
I = L I 
Q 
emqueQéum aos 
31 e l~tegrnl em IR e IR" 
e y, porque então 
II y, 
Q 
y, 
Como escreva as outras 
fI 
Q 
y,z) dy 
EXEMPLO V.21: Calcule: 
dV. 
e) dz dx. 
Trata~se do caso mais Q é um cubo de faces 
X 
+z) dV"" dxx X 
que 
X 
dzdx. 
aos 
y, 
coordenados e 
3 
8 
__________________________ ln-=-tegrnis Múltiplos 
~4x-y2 J0_2_X dz dx = 
2 
~4x-,y2 +2xarc 
e) 
= + ·p· de= dex + 
dzdx 
+ dx 
dx = 
l 
dx=-
2 
= 
+ 
n: 17; 
·-dx=-
2 2 
+ 
+ 
4n 
3 
dx= 
n: 5 5n 
=-X-=-. 
2 4 8 
dx= 
EXEMPLO V.22: Cakule 
f (x+ dx dy dz Q é limitado coordenados e x+y+z=l. 
Q 
fJ dx dydz Q é limitado por y = x2 + z2 e y = 
Q 
e) fJ f (x + y)2 dV Q é a comum a 2a z;::: x2 + /\ x2 + y2 + z2 ::::; 3a2• 
Q 
Jf f z2 dV Q é a comum a x2 + + z2 ::::; R2 x2 + + z2 ::::; 2Rz. 
Q 
31 1ot"'''""'''" e Integral em IR e ______ , ___ , ~-~~-~---· -~-----------------
~[ 
A linha de 
~-dzdA=fJ~~ dA= dx= 
0l 
l l 1 
-~-----ln +l)+ +1)-
+ 1) X+ l 
1 1 ]! 3 
+1)---- "'--2ln2. 
2 x+l 0 2 
= x2 +z2 
+ +z2 = 20 
y ;:?: o~ 'Y = 4 = x2 + z2 y = 4. 
em tomo do eixo dos yy de vértice O, O) e a serni-
0, O) e raio com y ;::: O. O sólido Q dividir-se em 
a que fica no Lº octante. 
z 
:4 -no 
----a-------- ----------------------
X y 
Convém começar por nit,,,,,.,.,,, em y; segue-se a .... -,,,.-.,..-­
coordenadas 
em xOz em que usaremos 
= pcose 
compe 2] /\ fJE 
= 
dA= + dA= 
Q 
·p dél= dex 
>< 
4 
l 
/ 
+ 
+ +z2 = 3a2 
vai ser feito em coordenadas 
dzdA= H + 
2iJ 
= H + + 
® 
+ cos 
+ 
= (l+ dOx 
dA= 
2a 
dA= 
·p dtJ = 
·p d8= 
2a 
= 
=[e-~ + +-(-1 _L)r 
5 5 ' 3 12a 
o 
x2 + + z2 = R2 é uma n .. .,.~_,,,~• 
x2 + + z2 = 2Rz <:::::> x2 + y2 + (z ~ 
li: ª5 o 
= x2 + +z2 = Rz 
O domínio em 
+ +(z-
<:=>"f""Xz+ :3/4R2Az=R!z. 
=R2 
é x2 + ::;; 3/4 R2 e passaremos para coordenadas 
dz dA = [z3 ]~R'-x'-y' dA = 
SEJ Rc~R2-X2-y2 
·p dO= 
O, eraioR 
h1tegrnl em IR e rn_n 
EXEMPLO V.23: 
volumes 
dados por uma ordem de diferente. 
Trata-se dum cubo de aresta l e faces assentes nos 
'""'""'"'ª"do V.21 
éo uu,nv.nw VU!>JHVV, com cota e eixo no eixo dos XX. 
vemos que é Hmitado rectas x = O, x = 2, y = O e 
y= 
y2 
<=?x=- comy;:::o. 
4 
z 
X 
estes dois factos verificamos que Q é a 
que está no 1. º octante e é Hmitado 
4z2 + y2 
x=-~-
4 
plano x = 2. 
y 
e) Q é limitado inferiormente e superiormente 
de em tomo do eixo dos zz. o dominio é 2li = 
Concluímos que Q está limitado lateralmente 
e coordenados x = O e y = O. 
z 
3 
y 
X 
conforme foi dito na 
Q é limitado lateralmente por y = O e 
é limitado cilíndricas com directrizes 1-'ª'"'u'Jº"'""' 
vamente. 
z 
(1,0,3) 
y 
X 
ep1·est~nt:am volumes os exercfoios e) e y,z) = L + 
a 
e 
) x,y,z U, V, W a 
v, 
T= = v, 
v, 
1 o 
tem que em 
então emPe é 
If y, =III v, ·I Q p 
em que 1 léo 
ea para 
usaremos outras. 
em IR e IR11 
T= com E (J E eze 
=z 
o é 
o 
p o =p 
o o l 
e y, e, P 
Q p 
V.22 e) e 
p dz dO. 
·p de 
porque agora se localizar um eixo é o eixo 
a é definida por 
e, = y, z) = cos e, y, sen 
Facilmente se conclui que o 
+p dz de. 
ln~agrnls Míiltipfos 
-------·---~~-·-· ---~~~ 
J~R'-p' 
z=R-~R2 -p2 dz dO. + 
EXEMPLO V.25: Calcule os volumes dos sólidos füru\tados por 
z = 4-x2 z= O. A z= 
e) x2 + z2 = 9 x2 + + z2 = 25 y =O. 
e V. 
V= p dz dO= X = 8;rr. 
Também este 
V= pdz de d8= X 
+z2 =9 +z2 =9 
e) 
+ +z2 = 25 
V= p 
V= de= J: dO= 
X 
No 
em E 
Então 
E 
= cose senq.i 
T ::o: = r cose senço 
= r cosq> 
cos e sen qJ -r sen sen ço cose cos <p 
senl9 senço r cos senip r sene cos<p = -r2 sen<p. 
cosço o -r sen<p 
J y, z) dx dz= e, r2 sen ço dr dO 
Q 
EXEMPLO V:26: Calcule o volume do sólido Hmitado inferiormente por z = 
rionnente por x2 + z2 = 32. 
x2 + + z2 = 32 <:::} r2 = 32 <:::} r = 
+ =z2 
+ +z2 = 32 
256 
=~-n: 
3 
senço X X 
e supe~ 
EXEMPLO Determinar massa duma coroa esférica situada entre esferas de raios l e 2, 
sabendo que a massa em cada é directamente ao da distância 
desse à 
M= 
y,z) = + + = k r2 com k E JR+ M=J§ dV 
Q 
x2 + +z2 = l <=:>r2 = 1 <=:>r= l x2 + +z2 =4<:=:>r2 =4<;:::>r=2 
k r4 senqJ dr dB"' x[- X = 124 kn:. + 
5 
EXEMPLO V:28: que o sóHdo limitado por z "' e por z = x2 + y2 é uv1LH'-'!';"'"'v 
determine as coordenadas do centro de massa e o momento de inércia em ao eixo dos zz. 
) 
µ=k;aHnhade 
= x2 + y2 
z:2:'.0Ç:::}z=l x2 + =l. 
da cónica z = e inferiormenteM= fJJkdV= H dzdA=k r dz z=p' p de,,,, 
Q \l)J 
=k J~ dtJ= 
kn: 
X =~ 
6 
J JJ k x dV 
6 
rol J, p cose p dz X =--"Q __ _ 
G M 
6 
. cose X - ~5 I = O como era de esperar. 
Também teremosya =O. Falta calcular z0 
z p dz d(J =l 
n: 
as coordenadas de G são O, 
=Hf + 
Q 
l 
2 
dll=·~ .• 
I5 
l11tegrnl em IR 
EXEMPLO V.29: Determine as coordenadas do centro de massa de 
Q= y, z) E . 1 ;S; Z ;S; 5- + 2: l} sabendo que µ = k 
Q é limitado inferiormente por z = 1, mas interior-
mente, x2 = 1. A do "ª'""''"v'"" comz = é = 4. Em 
o domínio é a coroa circular limitada circunferências de raios 1 e 2. Como o sólido tem cota 
seráµ= kz. 
sen 8dz d8. 
Esboce a de mt~~gnicão, calcule o seu valor e escreva o 
detem1ine a, b, e, d, e para as 
dzdx. 
e) 
+yZ+z2;S;-f 
-y z2 ::::; O 
b) 
sen<p dr d9. 
'''"""""''~""''"'"-'·"""' V.32: as mt1danc11s de coordenadas 
O volume do domínio Hmitado 
em coordenadas cartesianas. 
d6. 
xy= l,xy=9,xz=4,xz= yz= yz=49. 
xy = u,xz = v,yz = 
dx dz 
x= au,y = z=cw mude em para coordenadas 
o vafor de 
dz dx 
JI J~ f2-x 
O; -1 -~ x'+y'-1 dz dx. 
V.31: a=x; b= e=-. 
2 
e) d= <p cosec <p. 
V.32: 64. 
V.33: 
1 
) 
.1. 
, I= um campo que se escrever 
E [a, 
e teremos 
seccionalmente 
7 
= 
=••<>= 
o 
no ser 
= 3 COS 0 ~\ + 2 sen 0 (J E 
ou por 
= 3 cos ee 
lntegrnls de 
= 3 sen e1 + 2 cos fJ (J e 
=a cos t e1 +a sen t e2 + b t t E 8n], 
= a cos t e1 + b sen t + e t t e 
coma::/:. uma 
-. 
_J passo 
1) 
e ·J ~ são 
ectiomts c~)m:sD~)mJlem a a 
no caso 
+ = 
y 
<t,. =b. 
= 
e 
) 
{
x =a e' cos t 
y ~ y = a e1 sen t 
z =a e1 
O, a)= 
O, 
0,a = 
é 
e"', O, a 
= a ( e1 cos t- e1 sen t) e1 + a ( e1 sen t + e1 cos t) e2 + a e1 t E n:] 
a e' dt = -1) .• 
e 
com-
ut1>1rt:11ru'i11 e lntegrnl em e 
~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
esta a soma 
r 
r 
a que se a 
1) 
se esta 
Integrais de 
r 
ou 
Em 
I~ :::::: + f3 constantes. 
r r 
= + Stq'Í rq;;"" 
r1ur2 r1 r2 
) 
/ 
EXEMPLO Vl.2: Cakule ds para 
r 
a) = r=y=x2 X E [l, 
= r= B] comA= O) e B = 
e) =x+y 
x2 y2 
rEE-+-=l 1101.2 
4 l 
y,z) =x +z r=x2 + y2 = 4 z=3. 
=a cos t 
e) y,z)= r= =asent te 
=bt 
,, 
r=r= 
t + t sen t) 
= tE 
y= t - t cos t) 
=x~y r= (y=x2vy= XE 
=xy r= +IYI =a. 
XE 2] 
rnt@,rnm·ir1 e Integral em IR e IR1' 
~-----------
e) 
2 l ,,;~-
ds = J -.,Jl-;. 4x 2 dx == + 2 
l X2 X 
+ 
+ + -2 + == 
x-0 y-0 =x r ~ -- == -- Ç::> y = 2x ~ 
1-0 2-0 = 2x 
XE l]. 
=-== .Jsx2 + 4 
l 1 [ 1 
ds = f ,J 2 "15 dx = "15 r:; ln 
r 0 5x + 4 -v5 
+ -ln2 = 
= cos () 
r= 
= ~4 sen2 e+ cos2 e. 
=~3sen2 e+l =~4-3cos2 () 
ds = (2 cos {) + sen ~4 sen2 e+ cos2 e d{J == 
n/2 ___ _ 
= 2 () + 1 cos () dO + § ~ 4 - 3 cos2 e sen () dO = 
l 
+ du+ J 5 l 
dv=-+-
2 ,(3 
+ +--11:. 
9 
e) 
= 2 cose 
=2sen ee 
== 3 
= -2 sen e + 2 cos ez => 
2n 
ds = f (2 cos + 3) 2 de = [ 4 sen e+ 
= a cos t e1 + a sen t e2 + b t t E 
+ :::: 
b+ 
l 
--ln 
2n b + ~a2 + 4n2 b2 
--~ln--~---~ 
b b a 
r= =a t + t sen t) e1 +a t-tcost) te 
a t dt = a2 + 
ª2 
=~(l+ 
3 3 
Trata~se duma linha seccionalmente 
ds= ds+ ds, 
=x 
- XE 2] 
= 
=x e1 + ez => = lí\ +2x e2 
= 
2 
=J -
r, -2 
e l11tegrnl em IR m.n 
y 
------"'-~-------o 
= [2-(1 + 
12 
X 
16 
X 
+ 
X~ l 
+-'11+4x· +- + 
l 1 4+ 
"'-+-ln---=. 
8 64 4+17-Ji7 32 64 
te[-2,2], 
Yn 
=-t 
t E 
=a+t 
o 
ds= J t- J2 dt=Jl t2 _f_Jº = J2 ª3 
2 3 -a 6 
=-t 
=x-y=-a<:=> 
=-t+a 
• 
ds = J - a t) · J2 dt = J2 J2 3 =--a 
6 r, 
+ 
=1 
= 
=X 
=' X + y = -a <=::> XE e 
=-x-a 
o 
ds = J dx= =-a3 
Y3 
6 
=X 
=x-y=a<:=:> XE a] e 
=x-a 
ds= 
Conclusão: 
ds=O. + 
r 
a 
XE 
A 
t E [-a, 
M= f ll 
r 
momentos teremos 
EXEMPLOVU: a massa de um fio que tem a forma da =x2 desde até 
se 
2 
M = § x 2 ,-JI+4x2 dx = 
-2 
+ 
X 
+ 
32 64 
+ 
EXEMPLO VIA: Determine as coordenadas do centro de massa de meio arco duma ci.dóide 
r= {X= a (t- sen t) t E 
y = a (1 - cos O 
y 
2a 
an X 
= 2a sen =k 
M= 2a sen 
t 
dt =-4ak =4ak 
" 
dt J k a O - cos t) 2a sen dt 
4a a 
3 4ak 3 
Então G = 
·~~~--~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Integrais e Superiíde 
de Unha de 
b.W"" 
em F= To vector a P, ou se 
r= ~T= e como = 
que 
b.s = e b.W = 
' 
= q, = 
por o teremos 
W= f 
MI 
que se 
F = F1 e1 + + 
e porque 
dr= eN + ez + 
teremos 
1 W= J:F, dx+F2 dy+F3 dz.1 
se 
ao éum 
e 
I- + = f3 constantes. 
r r r 
II- se n 
EXEMPLO Vl,5: Prove que, campo escalar e F um campo vectorial definidos em 
domínios que contêm uma linha ou seccionalmente de re1::irese1ua,çao """'""Til'"'n' 
t E e sendo -r a linha fmmada mesmos 
ds. 
-r r -r r 
t E uma reJ1re~;erntaçi'lo de y. Então + b - com O E [a, b] 
é uma re1Jrese1na1cao de -y. 
ds= de +b- +b-
-r 
dt"" ds. 
EXEMPLO VI.6: Calcular o trabalho realizado por: 
1. = e1 + + e2 ao de y = x2 desde até 
1. 
2. 
Um campo newtoniano desde O, O) até 1, 
Ao do de recta que os une. 
Ao dum caminho formado por de recta 
r=y=x2~ E 3J r= 
= x2 - 2x3 + 4x' + 2x5 
3 
W = § - 2x3 + 4x4 + dx = + + 
Visto que 
x-1 -O z-0 
r=1-1=1-0=1-o 
=1 
=l =0 
Z E l] 
=z =z' = 1 
=Z 
l 
W = f F1 dx + F2 + F3 dz = f F1 • O + F2 dz + F3 dz 
o 
que o caminho 
=l =l 
Y1~ =y yE[O,l] 
=0 
z 
(1, O, O) 
X 
Para Yí teremos 
F[r(y)] = ( ~)3 
\11+ y2 
k 
Para rz teremos 
k 
W= + 
que 
=l ZE l]. 
=z 
(1. 1, 1) 
y 
+y /\X'=z'=0/\y'=1 
- -k [ 1 ]! -k ~ -1 
- ~l+y2 o - ~ 
+ e2 + z A x' = =O A z' = l 
-1 
=k -fi • 
EXEMPLO VI. 7: Calcular o trabalho realizado por F ao 
= (3 + x) e1 + de vértices 
y, z) = (y + z) e1 + (z + + (x+ 
=a cos t 
=bt 
e) y, z) =xy e1 
== + +f 
y r, r, r, 
) 
/ = { dxcdx 
Yi""Y=2x<=> XE l] :::::> 
=2x =2 dx 
dx = dx= 
19 
= +x+ + + = 
o 2 
XE {
dx=dx 
l] :::::> 
==0 
=-f 
1 o o 
= -f F1 dx = f F1 dx == f (3 + dx "" x2 ]º 
+~ 
2 1 r, -r, 
=0 { dx=O 
- YE 2] => =y 
o o 
=-f = f F2 =J =-10. 
r, 
Então 
W= -t-10=-4. 
=asent te 
{ 
dx = -a sen t dt 
:::::> =a cos t dt 
dz = b dt 
=a cos t 
= bt 
7 
2 
e) 
W= 
sen 
21' 3 
W= f -a3 
o 8 
É actuada 
sen t+ sen t) + + cos t) a cos + (a cos t + a sen O b dt = 
+ah + t cos t + cos t + t sen t) + ab t-cos 
r= 
2 
3 
x=-acos8 
ç:; y=-asene 
2 
a 
z=-
2 
= - a2 cos e sen e e, + - a2 sen e + - a2 cos e e 
4 4 4 3 
3 
=--- a3 cos sen2 e+ - a3 cos 8sen 8 
8 8 
cose sen2 (J +cose sen 
3 
d8 =-a3 
8 
e por uma horizontal de 6,.,,.~~~u 
= 2n: ab. 
=0 .• 
~uvv••u~ do eixo dos xx. Cakular o trabalho realizado por estas 
y 
X 
=t =1 
- t E 4] q t-4 
8 4 
, 
4 8 
W= J e - =J dt=~+ • 1 3 
EXEMPLO VI,9: Calcular o trabafüo realizado F = x e1 e2 + z desloca 
material ao da linha fechada do y + z = 4 tal que y = x2 ou z = O . 
=x f dx=dx 
- XE 2] ~ =2xdx l dz =-2x dx =4-
=x r=& - =4 X E [-2, 2] => -o 
=0 dz= o 
= + + dx+ dx =o. 
r -r, -2 -2 
W=f = + + 
r r a 
=0. 
y 
não éum 
mas não ~~···-·-· ... -, 
gn1mernce é que rot F =O. Uma""''""""" 
EXEMPLO VUO: 
rior para verificar o resultado que então obteve. 
A matriz é simétrica Fé irrotacional e como é de classe e= em IR3 é conservativo e por isso 
F= +z)dx =xy+xz+ z)~ =x+ =;>x+z=x+ 
e 
ef>=xy+xz+yz+ =x+y+ 
~ +y=x+y+ =O~ =C. 
Conclusão: 
efJ = xy + xz + yz + e. 
Outro modo será 
ef>= + z) dx = xy + xz + z) 
</J= +z) =xy+yz+ z) 
ef>= + dz=xz+yz+ 
reunindo os teremos 
.\. 
</J = xy + xz + yz + e. 
- O, = 
W;;;; f F 1 d:r= =J = + + r·o,2nb) 
XZ yz (a,O,OJ o, Afi Afi -
W = a · 2nb - O = 2nab . • 
EXEMPLO Vl,U: Proceda de modo como VI.6.2. 
Sabemos que os campos newtonianos são irrotacionais e verificam o teorema anterior em 
"1u'l-'"'"ª""u"'° conexo de IR3 que contenha os caminhos de e que os 
X 1 X 
=F~F =k~=k~-= -~ 
1 r 3 r 2 r dr 
lntegrnl em IR e IRn 
Como 
O, =:? r""' 1 e B "" 1, l) :::::::> r = 
Vem 
W= j =k 
no 
a 
se 
f = fF1 = 
r r 
21J e 
ri ur; com ri =y XE e '12 =y XE 
= -F1 
'IIJ 
b b 
= fF1 - fF, = fF, Íi -fF1 
r Y1 Y2 
tem-se 
J =-f =f +f +f +f =f +f 
r 
EXEMPLO VU3: 
1, 
2, 
o teorema de Greenno 
teorema de Green no para os seg:urnttes casos: 
= e2 para o domlÍnio definido por O :::;; y :::;; x + 2 e x2 + :::;; 4. 
+ e2 para o domínio limitado por x2 + = l e x2 + = 4. 
e ilitegrnl em IR e IR" 
~~~~~~-~~~~~~-
1. Vimos que 
r 
donde 
H 
dx 
2J 
-4+ 
= 
""2 cose 
= 2 sen e 
ora 
dx =-4x 
=-4-0=-4 
lx2 
=-4-=-4. 
2 
dF 
-~1 =l-2x. 
2 F-1 
= f J 0- dx = 
y=O x=y-2 
-y+2+ + = 
o 
+2 are 
2 
+ + 
2 3 
X E[-2, 2] ~ { dx = dx 
=0 
-x 2]F-1 
y-2 
+ 
5 J =n-~ 
2 o 3 
=-2 seno de 
2 dy = 2 cos e de 
cose. sen2 e+ 4 cos2 8- 4 sen ecos d8 = 
sen38 + 28 + sen 2e - 2 sen2 
XE O] ::::::> 
=x+2 
=dx 
=dx 
= 
+ dy= 
b) 
) 
-~ 
-2 
=-J =J 
-r, 
H dx 
0J 
2ir 
+4x- d.x = +2x2 -
=2x-
2ir 2 
=2§ J cose- p sen p 
e~o p~1 
2 
dlO = 
20 
T 
= 2§ e-sen d6l X J =2 e+cos [~3I =º 
2n: 
= J 
21' 
=-J 
= 2 cose =-2 seno de 
=2sene =-2 cose de 
sen e+ 8 cos w cos de = [s cos e+ 2 sen e + 2 sen (30)]2
" = o 
3 3 o 
=cose 
()e 
= sen e 
W=O+ O=Oº • 
= -sen () d() 
=cose de 
.a sen () sen 
o+~-+-~~ 
6 6 
=0 
no que 
~y 
r 
é à 
=tff(1~ = 
:2ll :2ll 
o 
F=-
EXEMPLO VI.14: '2ll a limitada = 2. UtHize o 
teorema de Green pma cakular 
J x2 + 
r 
X 
dx---
x2 + 
sendo r= front 
Não se o teorema de Green à Mas em 
'2ll' = '2ll \ ::;; l} 
circunferência por com o sentido 
JJ dx 
r, 
y 
Yz 
Como 
J 
óF 
=~' =---=>H dx =0 
!IJ' 
r r, 
=seno =cose 
=cose = -sen () 
~·~~A~~ª-~~~ VU5: 
1. Considere a 
Calcule trabalho realizado por 
= (y exy, 
da Hnha. 
2. Sendo L 
no sentido 
3. Calcule o 
2:n:. 3/2. 
r: Te 
camente por 
EXEMPLOS 
um 
~{X= U COS V 
= y = u sen v 
z=u 
ln t, 
com 
=t,com :5;t:5;2. 
uma 
se 
ET 
E l] X e 
E u2 + v2 s; l} 
V z 
e 
u y 
V z 
e 
u 
__;<-~~~~~~~--
X 
y 
Duas 
e !11tegml em me IlR.11 
~~~~-~~~~~~~~· ·~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Consideremos uma 
por vcctor 
os em que 
O vector 
nos 
e uma 
finita 
ET 
o vector 
ser cres~ 
espaço 
V 
:r 
o u 
~----------·-~ o y 
X 
vectores geram o SemPe 
ea 
temos para t: 
U V 
-- e - + 
- ..Juz + v2 n ..Ju2 + v2 
Casos 
A ou por 
=x e]+ y E 
+ 
por 
ou que por 
y, = O em que, por 
e = 3 
+ 
EXEMPLO VI,17: Determine um vector normal a cada uma das 
x2 + -z =O. x2 + + z2 = 4. 
S=z=x2 + 
z= E e 
F 
em tomo do eixo dos zz, virado para cima. Como S está 
na formaz 
ar 
-A-= + 
Doutro considerando 
então 
t\ e2 e3 
ar ar o 2x = -2xe1 --/\-= 
ôx 
+ 
o 
Se considerarmos que S está na forma 
y,z) =O ~-x2 -y2 +z =O, 
teremos 
ar 
-A--
iJx - +z) = -2y, porque = 1. 
S ~ x2 + + z2 = 4. 
Trata-se duma "ui'"'"'"'"'" esférica de centro O, O) e raio 2. É mais fácH calcular a 
da normal fazendo 
e se considerarmos z 
damental: 
na 
Então a 
ser 
para semi-esfera inferior. t 
ET 
por 
flv. 
s, 
com 
Se S =z teremos 
=H 
T 
S = y, z) = O, em que, 
z E 
teremos 
Sem 
EXEMPLO VI.18: Calcule as áreas das 
Para z:::;; 9. Total. 
Paraz:::; 9 a em 
=H 
x2+y2 :;:;;9 
21' 3 
= J § ~4p2 + i. p de= X + 
11=0 p=O 
Basta calcular área da 
2 1 
= 16 J p ~ 
8=0 p=O "\j "ir - fT 
= 16 X = 16 n. 
Suma 
mente por 
o 
caso este 
a 
s 
y, = 1 teremos 
e 
que 
ou 
y, 
se 
y, 
= 
s 
= 
s 
ETC 
Sé por 
goza 
que 
que 
e l11tegrnl em llR e JIRn 
Se S ~z 
H y, y, 
s 
escrever-se outra 
o vector "~·""'~· em 
então 
teremos cos y, 
s 
plano que 
contém Ll.S 
y, 
S, no seu versor e 
cos = 
cos r 
F 
planoxOy 
em 
e 
se 
S=y= ou S =x= 
H y, = fJF cxOz e 
s ®2 
H y, = JJF e 
s !2113 
S= y, =O, em z teremos 
H y, =H º y, 
s !2IJ 
s 
y, z) = x + y + z para S = z = 4 - x2 - y 2 situada acima do 
y,z)=xyz paraS=x2 + =9 o::;;z::;;3. 
e) y,z)= 1 paraS=x2 + +z2 =r2• 
S=z=4-x2 ~dS= dx 
=x+y+4--x2 
fJF dS= H +y+4- dx que <!lJ = + ::;; 
s 9JJ 
2n: 2 
= J J cos e + p sen e + 4 - p dO= 
e~o p~o 
2ir 2 2n 2 
= J J e+ sen ,J4p2 + l de+ I J ~4p2 +1 dO= 
o o o o 
2n; 2 2ir 2 
=f e+sen dtJx J ~4p2 +1 + J dB x J ~4p2 +1-
o o 
X + + + 
20 120 60 
e) 
X 
s1 =y= 
ôx 
JIF =H 
s, 0J, 
Para 
em IR e IRº 
não 
em xOz onde se obtém um 
3 
z~dxdz= 
9-x2 
""1 
distintas que se 
=~l+ x 2 dxdz= 3dxdz 
9-x2 
3 
xzdxdz= Z dz J X dx = 0. 
-3 
pn~teJ:ldí:;mi)S a área duma e raio r. Vamos pro-
efectuamos o cálculo só para o l.º octante, esse resuhado por 8 
~H•«~•"" ao VU e obtemos o conhecido valor 4:irr2 • 
EXEMPLO Vl.20: Escreva uma 
""'"'"'"'"'"" de recta que unem o fixo O = 
S=V-0= E em que V= y, Então 
= íl cose 
= Íl sen fJ com  E l] e ee 
A 
então a 
E 
z 
y 
dS= /\ <li de= i dÁdO 
l 
I Á d/l X dO= )( ~2+(}2 +ln + 
1 
n+- JT + 
2 2 
= tE 
Sé formada 
P-V= 
y,z)- b, e)= -a, -b, t) E 
t) = + b+ e+ t) E 
onde 
l] X 
1] 
uma 
= 1 
s 
No caso 
y, y, 
ser a massa espessura 
M= 
s 
a~ em que 
·X a·y 
M M M 
O momento aLé L uma recta ou um eôa 
z= z=4-x2,y=O,y+z=6 
~y+z= 6. 
Para e usaremos = 
dx e dx 
Os domínios os 
y 
6 
y. 
9112 (1, 3) 
-1 o 
Vamos escolher as 
1 
= H .J36x2 + i dx ,,,, J +l 
-l o 
X ..J 2 l ~36x + 1 + 6 - ln + 
2 12 
3 
+~~ln 
1728 
+.J36x 2 + l )1 
1 2+x2 
=H dx =J J .J4x2 +l 
!!ll2 -1 o 
~l +~ 
4 
+ 
l 
--ln + 
64 
z 
z 
4 
3 
o 
l 
dx = J 
+-
]6 
3 
em 
+ 
y 
y 
Assim teremos 
+ 3x .J36x2 + 1 + 
288 
+289 arcsh 6 
288 
.J4x2 +l + 
X 
+ 
32 
2 
e luitegml em IR e IRn 
Para S3 e usamos o domínio 
=H 
1 
=H dxdz=§ dzdx= 
2D3 3x2 
~~~~~-""'~~~------
-1 o X 
= ~l + (f1
) 2 + (f')2 dx dz = 
X Z 
16 
dxdz=~---3 , 
Finalmente A= + + + t 
dx dz 
16 
3 
EXEMPLO VI.22: Determine a massa da cafote esférica ,,..,,11-t"''""'"t" a x 2 + + z2 = a2 situada 
acima dez= 
à 
a = k -J x 2 + y 2 + z 2 
S = x2 + + z2 = a2 q. S = x2 
dS"' dx = _i: dx 
2z z 
a 
M= ·a dx 
V 
= k ª2 X 
à distância do 
dS 
a 
dx =k·a = 
2ir 2 
= k·a2 J f cte= 
11=0 p=O 
= k ª3 
EXEMPLO VI,23: Determine as coordenadas do centro de massa para z"" 
suoomw que a 
Ora 
donde 
Então G ~ O, 
=k 
M= 
adS k 
= 
M 
= 
adS 
= =0 
M 
dS 
M = JJ adS =a JJ dS =a s 
X 
y 
= Jx2 + 
x2 y2 
dS= l+--+--dx 
+ + 
dS =-J2 dx 
2n 3 
k J J P de= k:ir 
8=0 p=O 
2n 3 l 
=~- J f cose de= 
k:ir 9?T 8=0 p=O 
X =0 
1 2n 3 
----~1r~,,,,-- = - J d8 X f 
l'> " 9n: o o 
=2. 
M 
l11tegrnl em IR e IR" 
EXEMPLO V:t24: Determine 10 para + z2 = 4 l ::::; x ::::; 6 SUl'.>OJJ:ao 
Se S ""y2 + z2 = 4 então 
=§Jx + 
+ 
Para a 
=-2 
2 dx 
~4-y2 
2 dx 
-~4-y2 
l 
+72---
4 4 
+ + dS 
e 
2 
se 
xHm arcsen 
u-->2 
l 1575 
X- + =--n. 
2 2 2 4 
= 
2 
=-dx 
z 
Procedia-se de modo ~ ..... v,,v para a ""'~,,,.h,.., O momento de inércia 
dos dois resultados anteriores. • 
EXEMPLO Vl.25: Cakule o momento de inércia em ao seu eixo de 
ffoie do toro definido por 
+ r cos cose 
+ r cos sen e com r < R e E [O, 
= r sen ip 
2n: 
e 
=H + dS= J +r cos +r cos ·r dtl= 
o o 
2n: 
= kr·2n J +r cos = 2k rc 2r R + 
será a soma 
da super-
R + r cos r sen 
a 
sen v, E [O, 
integrais de éo 
campos 
y, y, y, 
em que 
a 
a 
em IR e IR" 
s s 
F através S ,..,,.,..,,.,,., é "'"u""''"'''"' 
EXEMPLO Vl,26: Calcule o fluxo de F através de S nos se.!J~unites casos: 
F = e1 -3x e2 
F =x2 e1 + z e3 
S = 4x2 + 
S =x2 + = o:::;z:::;4, 
u1-11~u''"1" do cubo de aresta 1, situado no l.º octante e três 
faces nos 
dlx 
coordenados. 
us3 u 
83 =y= 
) 
/ 
2n 
dx =-2 f 
=-2 
Integrais 
cos () sen () 
----p de= 
p 
=0. 
Superifde 
S1 EZ"" Ü 
s2 ""z = i 
=dx 
=dx 
o, =-z =O==*' =O 
=z=l=*' =f§dx = =1 
0J 
""y=O = dxdz = = -1, =O ==*' =O 
""Y"" 1 = dxdz =e = 2 
1, O) =O ==*' =O 
""x=O = dz o, =-x2 =O =:? =O 
EX= 1 = dz = ei = o, =xz = 1 ==*' = 1 
visto que = §J dz = = l 
0J 
Então Q> = O + l + O + O + O + l = 2. 
(6x, O, -1) 
n = . 
1 -J36x2 + l ' 
6x 2 -z 3x2 
1 
= Jf =J 
-l o 
""z=4-x2 
s, 
l 
= J + 
~! o 
dx = 
2x2 +z x 2 +4 
= -J4x2 +l = +l 
e Integral em 1R e 1R11 
=y=O = -1, 
=-y=O~ =O 
=y+z=6 dx 
+z 6 
= = =H dz dx = 32. 
-1 Jx2 
Entãos 
vector né 
com os vectores 
teremos 
cosa cos /3 + F3 cos + 
s s 
ou 
Vamos apenas o teorema para o caso Q que se 
por: 
Q= y, E 2!JI = 
= y, E 2!J2 :S;y = 
= y, E 203 ::;; z 
Q= y, 
,--~~~~~~--;-~~~~~~--
y 
X 
y, = y, y, y, 
e a, f3 e n, então o teorema 
Jf I + + = Jf cosa+ cos /3 + F3 cos 
Q s 
Para esta provar as e 
J = cosa 
s 
f = cos 
s 
J = cos 
s 
por a as outras 
fJ f =H y, y, 
Q 
Mas cos = cos + cos + cos 
s s1 S2 S3 
cos =O, porque ..l eJ cos o. 
S3 
YJ cos 
= 
s s1 Sz 
= y, 
Ç!/)3 2ll3 
EXEMPLO VI.27: Use este teorema para verificar o resultado do ex1emp10 VI.26 
F = , O, z) ~ div F = 2x + l 
ff +1) dV= 
Q 
EXEMPLO VI.28: Usando o teorema da 
e condua que ele é numericamente 
1 1 
+ 1) dx J J az = 2. ~ 
F = y, z) ~ div F = 3 
Q 
EXEMPLO VU;9; Use o teorema da para cakular 
H dS 
mas em 
em IR e IR11 
sendo S a 1 ], 
21' 1 1 
dS = Jf J div F dx dz = 6 x = 6 ff fp 
Q o o p 2 
:o:6x =3:rr. 
H dS + dS = Jf (2+ dx dz,,,, 7J ""x 2 + z2 ~ 1) 
s, s 1 V 
21' 1 21' 
+ sen2 e) de= 2.;r = f f + sen2 p de= J + sen2 de= 
o o 4 4 4 
dS = 311:- dS= 3n- = 
s 1 
sucessão de sólidos que 
e Pe V'ke IN, e ~º· 
teorema vem 
f ff F = 
Qk sk 
os 
ff F = 
Qk 
lntegrnis e Superiíde 
~~~- -~~ 
sai 
S como 
1itt,1r1>1u'in e !ntegrnl em IR e IRn 
~~~~~~~~--~~~~~~· 
= + cos cos 1 + cos sen sen 
E r: 2ll e re 
S. 
y, y, y, y, 
e a, j3 e n, então o teorema 
cos + cos + cos 
n= 
temos 
= 
Por outro 
com er= 
ser 
cos 
cos /3 ~ cos 
r 
por 
respec-
= 
S, 
v)] 
e lr1tegral em IR e 
~~~~~~~~~~~~~ 
= 
y, 
r 
óF, 
+-
=u[(~ + 
+ 
cos /3-
uOve à 
+ 
+ 
cos 
teorema 
F= e1 + ei 
e se temos 
rotF= --( óF2 n= :rot óF2 
=--
= 
= 
o 
= 
e 
que o teorema é uma no 
EXEMPLO VUO: o teorema de Stokes para F = e1 - 3x ei sendo 
S ~4x2 + -z2 = O 
(4x, 4y, -z) 
n - --,,,===== 
- .jl6x2 +16y2 + z2 ' 
dS= dx 
e1 ez e3 
a () () 
rot F = det =VAF=(-3- e3 =-5 
-3x o 
rot 5z = 5z = ,J5 
~16x2 +16y2 +z2 z 
fJ rot dS= dx 2ll = x 2 + :,;; 4. 
= 2 cose = -2 sen Ode 
ee = 2 cose de 
=0 
e Integral em IR e IR11 
-----
A faz-se em sentido 
r 
21' 
=-f 8-12 - 4 cos w + 6 + 6 cos 
r 
+2 cos + = 20n. 
EXEMPLO VI.31: Utilize o teorema de Stokes para calcular 
r= x2 + = l /\ z = ; F = 
de vértices (1, O, 
irot F = V F = det 
Para que a 
n = e3 = O, 
= H rot 
r 
-sen e1 + + e2 + -cosz) 
1, 1, o, 
+eY -COS Z 
no sentido directo temos de escolher para S = z = 1, o vector 
dS = dx 
21' l 
dS = H 2x dx = J cos e de x f =0. 
2íl 
-z) + -z) 
Também para S ~z = 2, vem 
dS =dx :rot =y-z=y-2 
1 1 
= JJ rot dS= H dx =JdxxJ 
:!íl 
EXEMPLO VI.32: Use o Teorema de Stokes para calcular fJ rot dS nos casos: 
O, F= 
r 
= 2 cose =-2 sen () dO 
= 2 cose dlO 
=0 
2n 2n 
JJ rot dS= = j(-8 8+2 cos ae = J (-4 + 4 cos w + 2 cos d() = 
r 
+2 sen 2fJ+2 = -8ir. 
=J + + 
r r, r, r, 
y-0 =x =dx 
=2-2x 
2-0 Ç:} Ç:} =2-2x XE l] ~ =-2dx 
=0 
=0 =0 
Integral em IR e IRn 
J + dx == + 
r, o 
z-0 ==o 
= 
- 3-0 <=> == 2- Z E 3] =:> 
==z 
3 
J =J dz == -3 
r, 
z-0 ==X 
3-0 q ==0 Z E l] => 
== 3-3x 
l 
f == J == 9 
e PE E e 
teorema 
f 
Yk sk 
ao 
teremos 
== r 
Yk 
_J, 
- 3 
6 
5 
==o 
== dz 
==dx 
==o 
== -3dx 
O. 
k 
que 
para 
Superlide 
·~--~-.~ .. ~·· ~--~ 
situada entre os 
de 
xOzey=x. que z) = a-z, determine amassaM 
e seja Q o sólido que estas '"'""""''"t'"'""" delimitam. 
as e mude a sua ex1riressa10 analítica para coordenadas cilíndricas. 
b) 
e) Cakule a área da superficie fronteira de Q que a S3• 
Cakuk o fluxo do campo F = e1 - 3x e2 através da "'""'''""'"'"' S1 e front 
VI.35: Considere o sólido Q limitado 
e considere o campo F = (x-y, x + y, Cakule: 
O volume de 
A área de S2 e front 
e) O trabalho realizado por F ao de front Q com o 
O da Hnha 
e) 
e 
considere o campo F = 
O volume de 
A área de S 1 e front 
e) O fluxo de F através de 
e integral em e m~ 
------
Calcule: 
da linha que resulta da mt,ersecc:ao de S 1 com 
ndx dz= sendo n o vector unitário normal a S. 
Q 
O fluxo do campo F "' x e1 + y e2 + z e3 através de S é numericamente ao de V. 
fechada e limitando o sólido Q de vo-
n dx 
Q 
n o vector unitário normal a é numericamente à área de S. 
1, 2) e base é a 
definida por 
9x2 + = l /\ z = 1. 
que é uma 
usando um teorema z) = X e no vector 
=u 
UE 
=2+senu, 
Mostre que a S obtida de em tomo do eixo dos zz, 
= U COS V 
v) E [0, 
""2 +sen 
z 
X 
""""'u"''"'-·lll"-·.lll'U' VI.41: Determine uma rei:ue:ser1tm;âo 
~-F, ... , .... ,~u de recta que unem o 
Determine um campo vectorial G tal que F = :rot G "" 
e) 
o teorema de Gauss para 
de sl comz ~lede s2 comx2 + 
o teorema de Stokes para 
IJ dS. 
y, = 
campo F e para a 
::õ;4. 
campo F e para a 
y 
~ ...... .,_,_ S formada 
= l. 
lnz)eas 
S fechada que se 
Vl.34: 
vértice em O, 
s2 é uma com eixo no eixo dos zz, 
e raio= 2. 
S3 é uma se1.111Hmoer1tl1c1 
A passagem para coordenadas cilíndricas 
~ p = 2, s3 """ + z2 = 4. 
V= 16 7r. e) = 8 lr. Fluxo= O. 
VI,35: V = 256/is. A= 15 +ln (4 + +8 
e) W= 16h. s= 
VI,36: -3n/2 + 64/9. b) 11:. e) 57r. O. 
VJ!.39: +Â l] X 
Pelo teorema de ff 
2ir 
VI,40: de S = 2n § u~I + cos2 u du. 
VI.41: e) = (t cos fJ, t/2 sen e, l - 9) E [O, l] X [0, 
G= xy,xy e) O. + 
t 1. 
e Integral em IR e IR" 
---------------~ -------------~ 
EXEMPLO VIU: A taxa de de duma substància radioactiva é pro-
à massa que ficaº Determine a massa existente num instante tº 
por a massa existente num instante t, tem-se: 
sendo k uma constante 
facilmente: 
dt 
-=-kt 
dt 
característica da substànciaº Esta 
1 ) 
diferencial resolve-se 
1 
dr = -k J dr + e <=::> f - d:r = -kt + e <=::> 
<=::> ln X = -kt + C <=::> = e-kr+C <:=;> =e 
Esta 
Chama-se ordem da 
na diferencial. 
EXEMPLO VIU: Pela 
a x, no instante t duma 
rencial 
lei de Newton (a 
de massa m 
X 
dt 2 
por que 
t0 = O a massa tem um certo valor 
urna constante arbi­
o valor da solução 
ordem que 
da massa 
F, verifica a 
Eqm.1~ões 111itoir'""''i"'iº 
·~--~·---------------------~---~~. 
= 1 e =3 
= 1 e =9 
F dx F 
--=-=>-=-t+ => =-+ 
2m 
+ 
m dt m 
2F 
=9::::>9=~+ 
m 
da 
=> = - + 3t + 1. 
F 
=4--::::> 
m 
2m 
Ft2 
=-+ 
2m 
F 
m 
+ 1. • 
EXEMPLO VH.3: Consideremos um corpo suspenso duma mola que tem uma extremidade fixa. 
Para pequenos deslocamentos a do corpo no instante t obedece à lei de Hooke: 
F =-kx, 
sendo k uma constante característica da mofa. 
compensa a tensão da mofa (F = considerar-se três casos: 
Compressão (F > 0) Equilíbrio (F = O) Extensão (F < O) 
o 
X 
e lntegm! em IR IR~ 
A de dlaí ser k > O em Pela 
tem-se: 
-kx= 
d2x 
~ 
dt2 
que é escrever-se 
A 
dada mais adiante. no entanto verificar que, sendo e constantes 
todas as da forma 
são da 
EXEMPLO VHA: 
e 
Substituindo na 
= cos wt + sen wt 
Com derivando duas vezes em obtém-se 
1 
definidas por 
+ 1 =O. 
=ex+-:::;:} =e. 
c 
tem-se: 
l 
=ex+-, (c ;t:. O, "v''""ª"" 
e 
xc2 -
1 
+ + l = O <:=:> xc2 - c2x - l + 1 = O. =4x~ =2. 
c 
Substituindo na 
constante 
é 
EXEMPLO VII.5: 
da 
tem-se: 
4x 
- 2 + l = O Ç:::} - - 1 =O Ç:} l - 1 = O. + 
1ª 
1 
=cx+­
c 
+ l =O. 
x2-xy + y2 = c2 
diferencial 
(x- = 2x-y. 
Derivando x2 - xy + = C2 em ordem a x e atendendo a que y é 
2x-y + =O, 
que é 
x2 -xy = C2 
define 
terá uma 
de x, tem-se 
m•wi~rmm e líltegrnl em IR IRn 
·~~~~~--~~~~· 
= (1 
EXEMPLO VH.6: A transmissão de sinais eléctricos ao dum cabo extenso como o dos 
é por um sistema de dife:rendais de derivadas do 
em que as 
num 
re1Jreserna1m r,esi:iecuvam1ente a intensidade e a tensão 
em1ssi)r no instante t. As constantes L, C, e S retJre:sei:1mun, n~s111P.c1·1-
vamente, a mciut:am:m, a e a condutância de 
ecnmcões diferenciais de derivadas µan;JtaJt:s 
transformar numa única diferencial de 2.ª ordem. 
b Id l a d . d b . . dJ . 2ª o ter a .- eq111aç:ao. envar em or em a x e su st1tutr o - assim na .-conhecida por 
--CL-- + 
iJt2 
dx 
Deri-
EXEMPLO Vlt7: Consideremos uma barra noimogerwa a uma fonte de cafor. A propa-
do calor ao da barra é descrita diferencial de de 
2.ª chamada ,,,.,,,,.,,,o;,,. do calor: 
--k-=0 
i3t 
'"""''""'"''"t" a no da barra de abcissa x no instante t, k é uma constante 
exic1nn1e a difusividade témrica do material da barra. que a barra tem a extremidade 
de abcissa o e que está sobre o eixo dos XX, com n~,,~~···~'0n•c~ infinito. A esta 
u"c'vvrn.r-.,v, por as _,VlLAUll\tV.00, 
=0 
= vt-::::. o 
Hm =0 
é uma inicial que 0~·~ .. ,,~0 o facto de no instante t = O a tcm~"'~'"'"t""" 
da barra ser O; as duas últimas são de 
o facto de a extremidade em x = O estar à e a 3. ª cm1(m;ao 
em qualquer instante t, a tender para zero na extremidade ilimitada (à 
EXEMPLO VII,8: Consideremos um fio elástico de em repouso, fixo nas 
de abcissa x no instante t. A '·"l ~'"'"''" que descreve extremidades. 
as pequenas 
u! 
t) do fio é a chamada das ondas. 
1 
----=0 
c2 
u(x,t)~ ~----------
0 ~ /X 
=0 vt?:.o 
e 0 $;X$; l 
e Integral em IR e mu 
EXEMPLO VH.9: de seres vi.vos coabitando numa 
as densidades 
v) as taxas de crescimento das presas e dos 
entre as duas de wu·•~<u1.ruu· 
v) vxen 
v) t) EÜ X IR+ 
onde n é um vector normal à fronteira de Q e u' é derivada de u o vector n. m u~,,~'"'~ 
Se cada uma das diminuir com o aumento da outra, ou 
OM 
-<0 e ~<0, av 
temos uma Se cada uma das aumentar com o crescimento da outra, ou 
OM 
->0 e ->0 av , 
temos uma simbiose. 
Todos estes v~vrn•v••vw mostram a variedade de 
meio de 
O estudo das diferenciais 
~ Teoremas de existência e unicidade. 
que ser descritas e estudadas por 
elementares. 
n"'"''m~" nos casos mais 
""''.,."'º"'''"'r""' ao que histori-
\ 
camente aconteceu. Estudaremos casos de que ficaram com os nomes 
matemáticos que descobriram um método para as resolver. 
Nem sempre é no sentido acima 
caminho ser isto é, a procura valores "V"'"""·""'"" 
No entanto, estes métodos levantam outros os métodos 
ir acumulando erros e afastar-se cada vez mais da ~~,~,-.w nrnr•nr,,,r1,, 
Na numérica duma diferencial ordinária nane.-se 
por isso há que saber 
'°"'''""'ªt" a esta que existem os teoremas de existência e unicidade. 
Estes teoremas, em a existência e unicidade de em tomo dum 
dai que se tenham obtido resultados que que a a um 
intervafo máximo. 
Por vezes as diferenciais envolvem que resultam de leituras ou outras 
em que medida pequenas 
exacto estará a 
em certos casos, saber-se que a ~~·~,·~~ tende para um certo 
ou afasta dum certo 
de forma a ter uma 
'"'""'"'"""'' a existência e a natu­
etc. 
"''"''"'""''e l11tegrnl em IR IR" 
-------· ~~~-~-~~~·~~~--~--~ 
EXEMPLO VII.10: Determine uma 
A e B são constantes arbitrárias 
diferencial onde 
será de 2.ª por isso derivemos 2 vezes em ordem a x, atendendo a que y é 
xy 
EXEMPLO VII.U: Determine a 
nida por: 
2.º grau, l.ª ordem. 
By' 
2Ax=~<=> 
+ 
= y' =:> 
,, 
~2A=-Y~. 
y+ 
+ 
diferencial 
(x- + =4C. 
é a famfüa de linhas defi~ 
+ =o<=> x- e= - yy' ç:;, e= x + yy'. 
+y2 = + 
EXEMPLO Vll.12: Determine a "'11"'ª"'cm diferencial associada à famflia de linhas definida 
por y= 
' k y =--
Por outro 
k 
=y{::;?- =lny=>k=x 
X 
=-xy lny. • 
= BeAx, 
VH.14: :::iu1oor1ao que 
determine a 
x" + 9x =O; 
VIl.16: A 
Sendo 
= A cos mt + B sen mt, 
= 1 e 
=le =-2. x" + 25x =O; 
diferencial duma mola com 
dx 
m-=-kx-o-. 
dt2 dt 
<4km e 
k 
=--~~>O, 
m 
= 1. 
y':;t; 
mostre que 
VH.17: Mostrequey= 
VIUS: se as 
e) 
l 
y=~; 
X 
=x2 + 
=9, 
= 
VH.19: Forme as 
constantes arbitrárias. 
1 _L 
y 2 +-=2+Ce 2 
X 
VIl.20: Forme as 
x2 + 
+B sen 
da diferencial 
=sec2 x-2 x. 
dadas são das diferenciais indicadas: 
C-x2 X 
dx+x =0. y=~, y=-2; 
=9, y= =0; + =9. 
diferenciais associadas às famfüas de linhas onde B e C são 
e) (y =2Bx. e) y=(A+ 
y =Acos + B sen (y-A)2 + (x-
diferenciais das famílias de linhas: 
Todas as rectas não verticais do 
Todas as do xoy cujo eixo é o eixo dos yy. 
e) Todas as circunferências de centro na bissectriz dos 
VH.21: Considere o circuito eléctrico 
L 
no electromotriz que alimenta o circuito e I é a intensidade de corrente . 
que o percorre S está fechado. R é C a do condensador 
\ 
e L a indutância da bobine. lPQ''"º"'7<l,-~,,. a resistência interna do "'"''º""""'° Pela 2.;i lei de 
a soma das tensões é nula. A tensão na resistência de R ohms é na bobine é 
e no condensador é e no diferencial de Lª ordem: 
ou, sabendo que 
então a carga Q verifica a 
I= 
+RI+ 
e 
dt 
diferencial de 2.ª ordem: 
L d2Q +R dQ + = 
dt e 
E, A e B constantes e R2 -4L/C >O, 
VH.14: 
( R2C - 4L R ) ( R2C - 4L R ) 
=A e 41JC-2L 1 + B e - 4!JC-2L 1 + ECL. 
1 
= cos mt +- sen rot. 
ro 
desta 
VIUS: = cos 3t -f sen 3t; = 5 cos 5t +(5- sen 5t. 
VH.19: 
+ =O; 
VH.20: =O; 
+ 
Sim 
Sim 
= l; b) ln e) y' + =O; 
e) + =O; -(1+ 
= e) (1 + (1 
é: 
Sim 
=O; 
1 a 
sse a emI, é, 
\ 
caso, a um 
em ax e o outro em 
+ 
da 
- l) y' = 3x2 + 4x + 2. 
(y-1) = +4x dx+C~ = x3 + 2x2 + 2x + e. 
EXEMPLO 
(1 + y' = y cos x, 
= l. b) =O. 
Como *º' 
= J cos x dx + C => ln IYI + = sen x + C. 
= 1 => ln 1 + l = sen o + e => e = l => ln IYI + "" sen X + l. 
Dado que neste caso se a y que toma o valor zero, não é escrever a 
""'"""~'" que separa as variáveis. Substituindo directamente na diferencial y por O, 
obtém-se y' =O=> y = C. Como =O, resulta C =O, y =O é o que se 
comprovar facilmente. + 
das 
+ 1) sen2 y- -4 X+ 8) y' = 0. 
y' =x3- + + 1. 
Nesta ser-lhe útil a ª"'·"''"'""'"" de variável y "" x + ]_. 
z 
(1 + =O. 
y'=xarc y-cos 
e) y' = + ln (2- a eIR \ 
y +are cosec x' -x =O. 
3x+ l y' => J 3x+ dx 
sen2 y x 2 - 4x + 8 J sen2 y x 2 -4x+8 
+C 
x 2 - 4x + 8 = O <=> x 2 - 4x + 4 + 4 = O <:::> +4=0 <:::> x=2± 
e) 
e Integral em lR e lR" 
\lP 3x + l = 3 
x 2 -4x+8 
x + = \lP 2x - 4 + 4 + t = l \lP 2x - 4 + 
x 2 -4x+8 x 2 -4x+8 2 x 2 -4x+8 
+l 14 \lP----
2 3 
7 
- 4x + 8) + - are tg 
2 
Substituindo na 
3 
-ln 
2 
ser dada por: 
y = 
dz 
l dy dx 
y=x+- =:> -=l-~ <=:> 
z dx z2 
z' ( l y' = x 3 - 2x2y + xy2 + l ~ 1- - = x3 - 2x2 x + + 
z2 
-2 
1 
---+e. 
2 sen2 y 
, 
z 
=1--. 
z2 
1 ) 2 z' X +- +1<:::>1--=-+1<=> 
z z2 z 2 
x2 1 x 2 
~ -z' = X {::;> -dz = X dx <::::> -z = - + C <::::> - -- = - + C. 
2 y-x 2 
(x2 +x-1) +x2y 3 (1+ 
x 2 +x-1 A B C 
---==-+-+-- => x 2 +x-1= 
X X 2 X+ l 
+l)+ 
X=-1::::>-l"" em x 2 : l = A + C => A = 2 
1 1 1 
-<!P--CZP~ = 2 ln 
X X 1 X+ l 
1 
- - - ln lx + lj. 
X 
2 2 
\ 
Eqll!:1$ÕG$ !itaw,~"'i••i• 
------
v'= 
ser dada por: 
1 
ln ~---::=~(y2 +l)+C. 
lx +li X 2 
l J = J x are tg x dx. 
seny- cos y 
Para 
2 
e as fórmulas 
2t 1- t 2 2 
sen y = -- e cos y = --· y = 2 are tg t :::::::> = ~-. 
l + 1 + t2 , dt 1 + t2 
çp l =<lP 1 .~2-=2<lP~~-
sen y - cos y _!!_ _ l - t2 l + t 2 t 2 + 2t - 1 
l+t2 I+t2 
l A B 
t 2 + 2t - 1 = o :::::::> t = -1± -J2; = ,J2 + -J2º :::::::> 
t2 + 2t - 1 t + 1 - 2 t + 1 + 2 
çp l __ 2_çp( l _ 1 )-~l lnlt+I-,Jil 
sen y - cos y - 2 ,J2 , t + 1 - ,J2 t + 1 + ,J2 - ,J2 t + l + ,J2 
x 2 l x 2 x 2 1 ( l 'lP x are tg x = ~ are tg x - -'li'~- = ~ are tg x - - 'lP l -
2 2 l + x 2 2 2 l + x 2 
x2 
2 
x- - are tg 
2 
a 
1 tg E + l - ,J2 x2 l 
r;:: ln 2 = ~ are tg x - - are tg + C. 
'\f2 + l + 2 2 
2 
410 
e) 
de e !ntegml em IR mn 
= 
eªY + e-ay 
ln (2 - dx. 
a t = eªY, donde 
1 
y=- ln 
l l 
::::>/=--. 
a a 
Então 
11 1 t l l 1 l l 
- - =-<lP~- - =-<lP~- =-are tg t =-are tg eªY. 
+-ªta t 2 +1t a t2 +1 a a 
t 
Tomando u = ln (2 - e v' = 2 - x, então 
ln (2-
x2 
ln (2- + _!.ç; 4x-x2 = x2 
ln (2-= -
2 2 2-x 2 
xz) l 
-2x-4 ln (2-- 2 ln(2- + 
2 2 
a é dada por: 
l xz 
ln (2- 1 ( x2 
+C. - are tg eªY = + - - - 2x - 4 ln (2 -
a 2 2 2 
are cosec = x - y <=> cosee 
dx dy 
= <=>----=-<:::>-=sen 
dx 
resulta a 
sen 
x-y=z, 1-
dx 
dz 
dx' 
, 
z 
1 - z' = sen z <:::> z' = l - sen z <:::> = l. 
1-senz 
+ 
\ 
Eqmições1111t~'"""'''"i< 
----·--~ 
411 
Como 
2t z 
sen z = --, com = tem-se: 
1 + t2 2 
dx+Cç:; f - 2-dt=x+C<=:> 
1--- l+t2 
1 + t 2 
l 1 2 2 
--dt=x+Cç:,2--=x+C<=:> =x+C<:=>---~=x+C. 
(l - l - t 1 - ti\! _:_ l - ta _x _-_y 
~ 2 ó 2 
EXEMPLO VII.25: Detemline as Hnhas tais que em cada dessas o seg-
uma das Hnhas a determinar e = um arbitrário. 
da recta normal à Hnha no é 
l 
y- ""---(x-
y 
A 
o X 
A= eB= Como A e B à recta tem-se: 
X= 0 =:> b-y0 = => b-
Pelo enunciado tem-se 
Como o 
que é de variáveis ""'"''"'""""' 
Se x = y y', então y 
Q + 
(1 + 
=-+e~ -x2 =q 
2 2 
Se x = - y y', então y = - x 
=-~+ +x2 = 
2 2 
boles -x2 = Cf e as circunferências + x2 = + 
+ 
sem risco de 
+ 
~x=± 
= 
EXEMPLO VII.26: Mostre que as diferenciais da 
b e e são constantes, com b * O, se transformar em """"''vu"" 
duma de coordenadas conveniente. 
=(a 
Usando a da alínea resolva a y =are cos + x. 
+e, resulta 
l 
y= 
b 
- ax - e) ~ dy = l dz - a), 
dx b 
substituí-lo por 
onde a, 
em termos de x e z: 
<=:> z' =a+ 
y =are cos y' + x <=:> y-x =are cos y' <=:> cos (y = y'. 
Fazendo a mu1dai1ça de variável 
Como 
z = y-x q y = z + x <:=;> y' = z' + 1, 
z' = cos z - l Ç::> f dz = J dx + e. 
cos z ~ 1 
1- cos 2a = 2 sen2 a, v a ';"rº--- = -<JP--- = 
cosz-1 2 sen2_::_ 
ser dada por: 
y-x =x+C. • 
2 
2 
Tem~se 
z z 
2 2 
se por inteiras e não 
Verhulst - matemático """u""'.., 
'"""""""'"u diferencial do 
aumento de um individuo não rnr;ire~;1:nm 
que a d:inãmica duma 
=ap­
dt 
obedece a uma 
sendo a e b constantes. A constante a reJ:J1res:en1ta a taxa de crescimento. 
Seb=O houver mortes dos indivíduos devidas a lutas por alimentos ou espaço como 
=ap=? 
dt p 
dt => = at+ e =ó> 
Se num instante inicial t0 soubermos que a ,,v,,4"~"'~•v 
tem-se 
= 
p 
então resume-se a 
1-'"""'"''"v tem um crescimento Por se um grupo de coelhos se 
'-'1-'Jlv''""·u à taxa de 40% por e no instante inicial t0 =O houver 2 coelhos = 
então num instante t é = . Em por ao fim de um 
ano, calcula-se que haverá um número de coelhos a 
das PY11"1f'f'PTI,f'1 
a constante b é muito pequena com a, que 
'""''~'""'c"''"'t" a estabelecer entre os 
indivíduos se, por o espaço vital ou os alimentos forem escassos. É daro que mais 
desenvolvida for a sociedade e melhor a de menor será o valor de b. 
Convém também notar que esta só é um bom modelo da realidade se não houver fenó-
menos menos 
naturais. 
=ap­
dt 
de fácil 
---=dt=> 
ap-
1 
+C=-ln1-~-1 
a 
A é 
1 ln 
a +C~1-P-l=e'11 ·e"c. a-bp 
Se soubermos que no instante t0 a isto = p 1p então substituindo na 
obtém-se o valor da constante C: 
Da 
ou 
_P_u_ = e'l'il . eªc ==> euc 
a-
"/ f \2b). 
Po 1--
obtida deduzir-se que 
lim 
ao fim dum tempo infinito a 
EXEMPLO VH.28. Um cardume de trutas 
""l'"«''"v diferencial da forma = 0.003 
. e-utl, ==>~-=-~-e"!. e-urli <=> 
a- a-
) e--11{1-r,,) 
p(r) 
a 
b 
tenderá para um valor constante. 
que vive numa certa zona dum rio verifica 
com medido em minutos. A do instante t = O 
um resíduo tóxico é nesse rio e as trutas morrem à taxa de 0.001 
zona 0.002 trutas por minuto. 
Escreva a diferenciai que toma em todos os factores indicados. 
Se no instante t = O a de trutas for = l O 000, determine a num 
instante t e calcule o limite de tende para infinito. 
= 0.003 -0.001 -0.002. 
O.OOldt + <=:> ln IP- 21- ln IP - li= -0.00lt +ln e 
> 
Então 
A é 
EXEMPLO VH.29: 
<=:> p - 2 = e . e-0.00!t Q 
p-I 
'llC > O, lim = 2. 
1-H= 
e e-0.0011 + 2 
l - e e-0.00!t 
= 10 obtém-se o valor da constante C: 
10 000 = e + 2 ~ e = 9998 . 
1-C 10001 
0.9997 e-0·0011 + 2 
1-0.9997 
em que t é medido em anos e se e homicidi.os. 
diferencial 
esta de modo a ter em conta que devido aos dois factores ap1:imamJs a popu-
diminui em 1000 indivíduos por ano. 
uu..,v>>~v que em 1987 a era de 2 500 000 determine a iJVIJWf•"'\1<1'V flUffi ins-
tante t tende para infinito. 
Eqm:i~ões """''""'"'""' 
---------------------------~~·---·· --~~~~-~~-· ---~ 
e) 
= 0.04 -1000. 
A anterior é de variáveis 
3 ex 
+ 
-----~----~ = -dt <::::} 
4x 
p 
2 500 000 ------
+103 
=5·104 +---­
C-4X10-1 1 
lim = 50 000. 
t-++oo 
50 000 -·---- -·--·--·--·-- -- --·-- -- -- --·--·-- --·--·--·----·--·----·--·--· 
1987 
= 2 500 000 =:> C = 8948 X 10-7 =:> 
VII.30: Resolva as diferenciais: 
+1) -(1-x- =0. 
dx- -1) =0. 
-y+ dx. 
+ =0. 
y+l)dx+ + 1) e·X =0. 
em IR e IR" 
"' (x passa 
diferenciais: 
y =ln + sen 
(x- + (y+ + + dx =O. 
-""L'!o.-""-'"""'"'~"'-" VH,33: 
vel xy = z transforma a equ1aça10 
VH.30: 
e) ln 
VH.31: sen (x 
Vll,32: 
Vlt33: 
y 
dx+xg 
+ l)dx+x(l +xy+ 
l 
+-; 
X 
cos (x + + y-x =O. 
~--~2 are +e. 
+ 1) 
=O 
=O 
b) 
ln je-Y + lJ = e-x(x + l)+ C; 
para que 
-~) 
é é a 
2.º é uma 
tx 
A 
+ 
=1 
X 
+1 
X 
grau zero: 
+l 
X 
=O 
=o, é 
serem 
= = e = = 
ou M e N têm o mesmo grau 
Um processo para 
em termos xev, uma 
= ~~x+v= <:=:> -x = -v + 
1 
X 
que é 
EXEMPLO VH.34: Resolva as '""I"'ª"'''""· 
_2:.)1n2'.. = l 
X X 
dx+ =O. 
Como se verificou que estas 
indicado: 
Substituindo na fica: 
y = VX =? y' "" V' X + V. 
x + v-v) ln v = l Ç::> v' x ln v = 1 ~ln v dv = _!_dx Ç::> 
X 
vdv= + 
X 
a 
processo 
_________________________ E--"-qm.1ções li~1>1rmu-~i~~ .... ~ 
Primitivando o 1.º membro por 
l 
=V ln V-V. 
V 
vlnv-v=lnx+lnC C= 
atendendo a que v = 2:'.: 
X 
Fazendo 
y = vx =? y' = X v' + V =? = X dv + V dx. 
4x vx dx + (x dv + v Ç::) 4 x2 v dx + x2 - 5v) x dv + x2 vdx =O 
+v3- dx =-x3 
l v2 - 5v 
dv <:::> --dx = dv ~ 
x v3 - + 4v 
<=:>-ln 
v-5 
= J dv+C 
v2 -5v+4 
v-5 A B 
----=~+--
v2 - 5v + 4 v - l v - 4 
V= l =:> -4 = -3A =:>A= t 
V = 4 =:> -1 = 3B =:> B = 
v-5 4 l l 1 4 l 
<lP = -<!P ~ - -<!P ~ = - ln lv - li - - ln lv -
v2 - 5v - 4 3 v - l 3 v - 4 3 3 
/ 
- ln lxl = t ln lv - 11- t ln lv - 41 + {::? -3 ln lxl = 4 ln lv - li - ln lv - 41 + ln e ~ 
<=:> ln lv - 41 = ln lv - 114 + ln + ln C <=:> ln lv - 41 = ln - 114 • 1X13 · <=:> 
diferencial 
=x+ 
e passa 
+ e 
y = vx :::::> y' =xv' + v ::=:>3vx (x v' + v) = x +2lxl-JI-3v2 <=> 
dv ~ <=> 3x v dx = - 3v2 + l + 2 l - 3v2 .ç:;. 
x> O numa 
3v l 
<=> ----r=== dv = - dx 
1- 3v2 + X 
3v 
ÇP . 3v =<lP ~ =-lnl2+ 
l-3v2 +2-Jl-3v2 2 -JI-3v2 
+ ,J1 - 3v2 )1 = O <=> 
F:XEMPLO VII.36: Determine uma da famma de linhas para as a ordenada na 
das suas tan~er1tes à média aritmética entre as coordenadas do de 
contacto. 
y 
X 
da curva é 
b) o 
2 
=x+y<:=:> =y-x. 
Esta faz-se 
y= vx => y' = +v=> 
<=> 2-dv,,, _.!_dx <:=> 2 
v+l X 
+li=- + 
+ <=> + 
4 mu"''""A recta a essas 
sectam o eixo das abcissas num ~ .. J.,~· ... , dos eixos e do 
y 
X 
da curva é 
y-yo = (x 
o onde esta n~cta intersecta o eixo dos xx. Então 
= 
y 
~ ---0 -+x0 =a. 
Pelo enunciado tem-se 
Esta faz-se 
y = vx ~ y' = x v' + v ~ (x v' + = 2xvx Ç:) 
Ç:) (x v' + =2v x;t:O) ~ 
1-v2 l 
dv=-dx. 
X 
B+Cv) l 
- Ç} _.?::!_ = -lnll + v+l+v2 = V 1 +v2 
lnl~v I= + 
l +v2 
<:::> q 
EXEMPLO VII,38: Considere um feixe de sinais emitidos por um que 
dem numa antena sob a forma dum feixe de raios Estes raios são 
esta, sobre um único da Determine a forma que deverá ter essa 
antena. 
Para consideremos uma 
lhemos o referencial com a 
"~''"''"" aos raios incidentes. 
da antena, de y= Esco~ 
onde os raios vão confluir e com o eixo dos xx 
que um raio incidente faz com a normal à Qrn"'"'"h""'" 
da antena no O raio reflectido faz o mesmo /3 com essa nonnaL 
Da figura resulta: 
sendo <po 
Tem-setg q> 
y 
rnios incidentes 
a 
/3 ',, 
X 
=:n:-a~/3=(rr- 12 e q;+/3= 
no faz com o eixo dos xx. 
2 
a = ==> tg a = ---
1-
eda resulta 
y 2y' 
-=--==>y­
x 1-
+ 
tg a= 
X 
' -x±~x2 + y2 
-y=O<:::>y = . 
y 
e !ntegrnl em IR IR_n 
Fazendo y = vx ==> y' = v'x + v, temos 
vx +v) = -x± 
V 1 
=::> · dv = --dx Ç:> 
v2 +1-~ X 
V 
+ 
:::> +xz = cz + + x2 <:::> = c2 + vC eIR. 
Se tivéssemos tomado o sinal + ex< O, ou o sinal - ex > O,=Cz - vC ellR 
Em ambos os casos obtivemos e se 1-'"''""''""'"''""'"para o v•vvrn•u~a 3 dimensões teríamos 
""'""'""u, o que comprova que a melhor forma de sinais e os fazer concentrar 
num único é usar antenas com a forma dum ""'""'""'''"'"'' as chamadas antenas • 
=x+y; e) 
= ~x2 + y2 + y; e) + + + + =0. 
'"'-""'"'J"'"-'1<'-·AU' vn. 40: Determine uma=~'"~'·"'~ tal 
que a ordenada na da ·~uci-.v.,nv 
à curva nesse 
ao simétrico do 
dlx- =O 
e detem1ine os elementos dessa família que passam respec:t1 
'"'""!UC;''"'-''""'-""-' VII. 43: Determine uma""'"'ª"<'" das Hnhas tais que o se11;mento 
das Hmitado 
nesse 
e 
sei:i:me:nto do eixo das ordenadas limitado 
de tan,ge11tcm 
VII. 39: jy+ = 
+ + 
VII.40: 
n: l 8 
are tg =-+-ln---. 
2 2 +x2 
vn. 42: x2 - =4xem ey=xem 
VII. 43: X= ± 
arbitrário das 
.JY + ,,Jx = 
e) y=-x 
VII. 41: 
2x 
y+x 
VII. 44: are senh 
em casos: 
+lnx =O. 
O) e 
sub-normal 
e) = c2 -x2; 
• 
Chama-se sub-normal num ponto P duma linha à distância entre a abcissa do ponto P a do 
ponto de ordenada nula da nonmal à Hnha nesse ponto. 
então 
a 
a HH<C'-"'4"'A'\(U 
caso •vUFO'"• 
e lntegrnl em m e m_11 
e,f;t:. 
y 
=a+ 
u = ax+by.1 
-a 
b 
u' - a u + e u' - a 
b 
então o 
= ~-----Q -- = ~--
u-ax b eu+ dx+e--+ f 
b 
+ +c=O 
+ey+ f=O 
ae= 
_ ax+by+c 
- +ey+ f 
, (u + c)b2 
QU = +a, 
eu+ 
=u+ 
=v+ 
+ +c=O 
+ +f=O 
= F(ax+by+c) 
dx+ey+ f ' 
num de se tratam mesma 
caso 
EXEMPLO VII.45: Resolva as emiac1oes diferenciais: 
(3y-6x-
e) -y+ 
Tem-se 
então a 
= -y + 1) dx. 
-x-5) dx. 
é do VII.2.3.l, ou 
b) (1 +x+ 
2 -1 l 
-=-=-
-6 3 -3 
é a 
' l X C y =--~y=--+ . 
3 3 
+ + - l) dx =O. 
m"''"'"''" e lntegrnl em IR e IRn 
-~--------~--~-
Tem-se 
-3 -3 1 
-=-*-· 
1 1 l 
faz-se 
=x+y u=-3x-
Então y = u - x ~ y' = u' - 1. Substituindo: 
(l+ -l)=-3u+l, 
que é de variáveis escrever-se na forma 
Faz-se 
A 
u+l d , l u=ax Q -
-2u+2 2 
+-- du=dx<=:> 2 ) 1 
1-u 2 
- 2 ln 11 - = X + C <::::> 
Q -x - y- ln (1- x - = 2x + 2C <:::>ln (1- x - + y + 3x + 2C ""O. 
resolve-se o sistema 
+ -5=0 
-y+4""0 
=x+l 
Q 
""Y-2 
=6 
-y+4=0 
Q 
-5 
= u - l dy dv dv du dv 
=:>-=-=--=-. 
=v+2 dx dx du dx du 
diferencial nas novas variáveis é: 
-2-v-2+ 
dv 
- = 2v + 4- u + 1-5 <=:> 
du 
-v)dv= 
=-1 
::o2 
u) 
que como se tinha 
dv dz 
v =zu =:>- =-u+z. 
du du 
__________ _!qmiçõe_!_~_ 
+ =2zu- <::::> 
2-z l 1 
<=:>--dz=-du<:=? 
z2 -1 u 2 
l l 
dz = - du <=> 2 lz - li - 3 ln lz + li) = ln lul + ln e <:::> 
Basta agora 
Como 
1 
z-1 1 <=>ln --- =ln 
(z + 
-2 1 -1-
x+l 
=x+l 
e 
V y-2 
z=-=~-, 
u x+l =y-2 
EXEMPLO Vll.46: Resolva a eQ11taçll10 diferencial 
+ 113. 
+x-!13. + 
Temos+~ então estamos no caso resolve-se o sistema 
Fazendo a mu:dax1ça de variáveis 
=x-2 
::::::> 
=y+l 
-y-3=0 =2 
{=:> 
-2=0 =-1 
= u+2 dv dv 
=> =-=>-= 
=v-1 dx du du 
Ficamos com uma faz-se 
V= ZU =!> + 
z3 - 2z2 + z - 2 = O q - 2) + z - 2 = O q (z - + 1) =o=:> 
=:> (l-z)2 =~+ Bz+C =>(l-
z3 - 2z2 + z - 2 z - 2 z2 + 1 
+l)+ + 
=:>A=t, B=t eC=-f. 
J~(l_-z)2 dz= 
z 3 - +z-2 
1 -du+ 
u 
lz-21+ (~-~1 )dz]=-lnlul+ 
z 2 + l + 1 
q ln lz - 21 + lin + - ln (: J "" 2 are tg z <=:> ln 
onde 
e = K5, u = X - 2, V = y + l e 
v y+l 
z=-=~~ 
u x-2' 
ou 
+l -21 
-2 
-y- y'+y-6x+5=0. 
-1+2x + + -5x y' =o. 
e) 3x- + l + 
7-6x+y+ 
+ y' =O. 
-5-y) =O. 
e) 3-3x- = + y'. 
2x-y+ + 3)y' =O. 
4x2 y' = + y-
+ 
2 m:tgz:':.!. =e e x-2 • 
diferenciais: 
= 2 are z, 
= 4x - 2 + C ± ~( 4x - 2 + C)2 - 4(1- 4x + 4x2 - 2C + 3xC). 
e) -5x + +15x-
= 4x-6+C± 
e) -6x - 3ln13 - 2x -
-5x + 3 ln 16 + lOx -
y= 
C-ln x) +tg 
2 
VII.5: 
em que as 
A 
+ 
=C. 
=C. 
=C. 
C-lnx 
2 
=O, 
em <2li. 
que = 
= 
e integral em IR IR" 
~~~--~--~~· ~~-~~~~-~· 
o não 
num eMeN 
+ =O 
exacta. 
-x ---+ ~~--y' =o. 
+ 
-x 
e 
são e tem-se 
:;i::O ex. 
se 
+ 
exacta em que 
y' =o 
IR 2,MeN 
para q_ue a 
-=-em ___ J 
EXEMPLO VH.48: o maior no que as 
diferenciais exactas. 
2x + x 2 + y 2 + v' =O. 
+(y-
X 
) y' =O. x+ 
e) x' + + + +y3 -x)y'=O. 
=O. 
M = 2x + x2 + N= 
Além disso M e N conexo, 
é diferenciai exacta em IR2. 
b) M =X 
v ó1\1 x 2 - y 2 x ON x 2 - v2 ó1\1 ON 
--· -=> - = ---· N = v----=>- = --·-=> -- = -··­
x' + X 2 + ' . x 2 + ax + me 
se 
é diferencia! 
são 
a 
e Integral em IR mn 
y 
X 
conexo, porque existem linhas fechadas contidas em 
X~ é conexo e ai a 
é diferencial exacta. 
y 
/ /' ,,,. I' ·' 
/ / / / / / / ;' 
;" / / / / / / / / 
I' / / / / / / / / I' 
--X 
/ / / / / / / / ,, 
/ / / / / / / / 
I' / / / / 
e) M=x3 + +l; N= -1. 
que a não é diferencial exacta em nenhum 
diferencial se obter da da aHnea anterior 
--------------------------~-Equações 
No entanto verifica-se 
que mesmo em que não incluam a da alínea anterior é 
exacta, que esta não o é. Este facto tem a ver com o que 
estudaremos mais e que 
numa diferencial exacta. Neste caso o factor é 
l 
Fica também desde daro que destas têm de ser feitas com cuidado 
ahernr o da""'"ª''ª" 
2x 6x y 2 - 6x dM 
M=-=::;>~=--; N=---=?-=--=?~=- sey;t.O. 
a é diferencial exacta em 
""'""""' sm1p~es1ne111te conexo que não contenha o eixo dos xx, ou no ""'"'!YH:•uv 
su1Jer1or definido por y > O e também no inferior definido por y <O, mas não na união 
que nem sequer é um 
EXEMPLO VH.49: Resolva as 
dais exactas. 
conexo. t 
Como se verificou no início deste 
por =K 
Neste caso temos 
=f + + 
esta com 
=M=2x+ 
dx+ 
x3 
=xz +-+ 
3 
= 
eqiiaç:ao, M + N y' =O é diferencial 
sendo a da dada 
+ + 
ôx 
!ntegrnl em IR e IR" 
= +- + 
3 
dada por 
x3 
x2+-+ 
3 
X 
=----+ 
x2 + y2 
2x 
=M=-
y2 -3x2 =:> 
"'N=---
+ 
+ 
=J 
x2 
=-+ arctg 
2 
X 
=y----=:> 
x2 + 
x2 
=-+ arctg 
2 
x2 + yz 
---+ arctg 
2 
x2 
=-+ 
1 
x3 
x2+-+ 
3 
dx+ 
+ 
= y::::} 
+ + 
2 
l 
3x2 
=--+ 
=-=:> =--+ 
x 2 1 
---=K. 
y 
y 
=K. 
X 
y1 
=-+ => 
2 
-3x2 
---::::> 
Como a "'m'"'"<"" só é diferencial exacta nos "''ª"''""m'u"y O ou y < uma res:oosta 
rosa seria que a é 
x2 
sey >O ou 
x2 l 
y y 
EXEMPLO VH.50: Determine as 
= l. 
= 1, se 
y 
x=ley=l~O= 
l 
~ --- = Ç:;>x2 = 
y 
y= 
sex <O 
sey O. • 
que 
É óbvio que só se 
com x > O, visto que a ""'"'"'º"' tem de ser continua e a 
a semirecta definida por y = x, 
anterior não está definida em 
Como em =-1, se 
y 
x=ley=-1~0= 
l 
=>---=Oqy=±x. 
y 
Neste caso, como y <O, teríamos 
mas só se 
comx>O. t 
sex >O 
y= 
sex <O 
ramo que passa em (1, 
e l11tegrnl em IR e IR" 
+ =o 
tem-se 
+ 
11) 
+ 
11) 
+ 
um 
f 
tomar-se e = o, 
Procuremos agora um 
A v>.<UL,-OV a 
J 
Em resumo: 
3 sse 
M' -
y 
N 
EXEMPLO VH.51: Resolva as 
+ 
+ + + 
3 
+ y'= o 
y sen -x sen 
que 
+C <=? ln 
=O. 
N'-M' j-x __ Y dy 
=e M 
y e nesse caso 
e nesse caso 
+C. 
M'-N' j-y_x <lx 
=e N 
N'-M' j-x __ Y dy 
=e M 
e Integral em :IR e m~ 
-~~· 
M= + + => 
3 
= 2x + x 2 + , N = x2 + => = 2x. Tem-se 
a 
Como 
não é diferencial exacta. Procuremos um factor mt1egramte 
De acordo com o que foi a 
+ + + 
será di.ferenci.al exacta. existe uma tal que 
= + + 
3 
+ = + + 
+ 
y3) 
=> = +3 + 8x 
+ + => =0=> 
=> + + 
3 
A é 
+ =K. 
3 
M=y :::::> = N= +x 
=> =y + + 
=> 
a 
Como 
Como 
então não existe 
não de x, então existe 
a 
+ 
A 
N 
M 
1, 
dy 
-x 
rptal que 
+ "'O. 
=K. + 
e verifica a diferencial 
x+ =0. 
escrever-se na forma 
=-ex seny; 
e M e N são de classe C1 em IR2, 
::l cptal que 
ikp 
~-=excosy+ ax 
No 
a 
= COS2 X + ex COS y 
~ = f-ex seny + =ex cosy+ 
=-ex seny 
= COS2 X + ex COS y ~ = cos2 x ::::::> = f cos 2x + 1 dx + e = 
2 1 
l 
=ex cosy+ 
2 
X COS X+ + 
ex COS y + t ( sen X COS X + = K. 
+ cosO+ =K.ç::;.K=O, 
ex cos y + X cos X + = O. + 
N= Tem-se 
Como 
2+3x 
então existe 
a 
+ 
é diferencial exacta. existe uma qy tal que X> O) 
\ 
+ 
+ = -I ezx-' 
A ser dada por 
+ -1) = k .• 
VH.54: Resolva as seg;mmttes "'"1""""'',""· 
y ] y'. 
e) ++ + y' =0. 
y' =x-1 + 
VU.55: Determine linha 
VH.56: Determine a linha 
VH.58: Resolva as 
(x - x x' + 1 = x2 + 
x+ 
e) x- = 
e) sec y 
VII.59: 
+ cosecx 
Mostre que se 
e l11tegrnl em IR e IR n 
~~~~~~~·~~~~ 
passa eé 
y'. 
passa 
(1 + seny-y= [x-2-cosy · x]y'. 
que tomam a 
(1 + senx y' ""O. 
=2. 
y' =O. 
x) = y- sec 
N-M 
... ..,1,..,,,u..,, só dez= x + y, então a eQUlaÇ:llO diferencial 
+ y'= o 
x2 +xy+ + y' =O. 
VH.60: Mostre que se 
diferencial 
+ 
+ + + y'= O. 
\ 
VII. 54: -yx2 =e. tg 
3 2 
=C. 
e) sen + + =C. =C. 
X 
VII, 55: cos + y = 1. 
VU:.56: seny-xy + =-2rc. 
VH.57: para cada C: x-2cos x = k. 
vn. 58: x3- + = k. 
+ =C. 
e) 
x3 
=k. + 
3 4 
3x-x3 - + = k. 
e) -tgy-cosecx=k. 
vn. 59: x2 + = k. 
vn. 60: x5 (1 + (I -y + -y3 + = k. • 
a uma 
y' + P(x) y = Q(x) 
+ y= -y' =o. 
= e =-1, 
tem-se 
M' - -P(x)-0 y = 
N -1 
o = dx a 
tem-se: 
+ y= 
ax 
y, 
dx dx + = y= 
(1 y' = y + 2 + 3 ( l com x :;t: l. 
l 2 ,, 
- --y = --+ °'' onde 
1-x 1-x 
J 
Como se provou para o caso 
ficamos com 
que x < l. 
d 
dx 
1 
=---e 
1-x 
+ 
2 
=--+3. 
l-x 
=\1-
factor 
(l- = + dx+C = j(5- dx+C = 5x-3~+C. 
2 
é 
5x +e 3x2 
y=---
1-x 
Se x > 1, resolve-se do mesmo modo e a uma da mesma forma. t 
EXEMPLO VH.62: Resolva o 
x-ytgx 
=l 
Tem~se 
numa 
it<>r1~i'lfi!'li e l11tegrnl em 1R e mn 
---~~~~-~ 
é 
y' tg x = cos2x. 
dx 
COS X 
1 
x <:::> ~-y= f cosx dx +C = senx+C. 
COSX COS X 
= COSX x+ 
l =coso O+ =::>C=l""'*' = COSX X+ 1). + 
(x+y+ + y' = O, se x :p, O. 
+ + 
A B+Cx 
---=~+--- ::::;> l= 
X 1 +X2 
l 1 
--y=--. 
X 1+ 
+ + + 
x=O=:>l= x=i~l= + 
1) é tal que 
\ 
Eqm:i~ões 
---------------------- -------------------------~-
y 
X 
+ 
+ 
2 
=x 
EXEMPLO VII. 64: Considere um circuito eléctrico como o indicado no exercido VH.21 mas sem 
eno a electromotriz é 
""'-"ncun.. A intensidade de corrente em cada 
1;;1,11LL<1~;i1u diferencial 
dI R 
-+-I= 
dt L L 
como se ser descrita 
onde R é a resistência e L a indutância da bobine. Determine a intensidade de corrente em cada 
instante t. 
d 
dt 
Rt 
L 
::::::> 
Rt L RI 
=eL =:>v=-eL 
R 
Rt 
dt= 
=w 
R Rt 
L = eL. 
Rt Rt 
:::::::> eL I = eL dt+C 
L 
dt"" 
L RI 
L -
roL Rt 
L + eL 
R 
h1tegrnl em IR IR11 
.~~~~~~~ ~~~·~~~~~~~~~~~-· 
RI 
f eL 
Rt 
eL K = 
Rt 
eL 
dt = 
L Rt 
eL 
-mL 
-mL 
+C 
+ C e-Rt!L. 
contém uma electromo1:riz 
e uma C e-Rt/L, que tende para zero t tende para infinito. • 
EXEMPLO vn. 65: Um 
são vertidos para o 0.67 Htros dum certo ~n'~~.nnQft,,Q 
10 litros de que se m:ishrram instantaneamente com a 
drenados para fora desse 10.67 litros de por ""''"'·'"v 
A que existe no 
A que fica ao fim dum 
num instante t e 
infinito. 
A taxa de 
do co1mp1oneni:e A que entra, menos ..,1 muª'"ª'"" 
do A que entra é 0.67 l/s e a que sai é 
10.67x4-l X 
é 
= 0.67 - 2.67 X 
Trata-se duma diferencial linear: 
+ 2.67 X ""0.67. 
A, com 
Simultaneamente são 
.,,.w~«•··~-·~v do 
num instante t. 
à "I "''""'"'''"" 
sei;:unao. A "l"''"" ..... '"""' 
\ 
Equações 
dt 
0.67 
=0.67 
2.67 X lQ-7 
+e 
Como 
0.67 
= 0::::;, C = ~---~ = ~25.l X 
2.67x 
num instante t) é 
= 25.l X ~ e-2.67x10-1 t) 
e tem-se 
Hm = 25.l x 105 litros. -t 
t-4+00 
VII. 66: Resolva as seguintes eqtmç1oes diferenciais: 
l+y+ = (x + y'. 
e) y' cos x + sen x = sen x cos x. 
+ 3)y' = y2. 
de abcissa x é 
(1 + y sen x + tg sec x 
e que passa no 
num circuito eléctrico contendo um condensador de "'"'I''"'""·'"'""' umaresis-
têncfa Reum de dectromotriz E, é descrita 
R 
em que R e E são constantes. Determine 
+ "'E 
dt e ' 
Integral em IR IR" 
~ ··~~~~~~~~~~· 
VII. 69: Uma nave é no espaço no instante t = O com uma massa de 
O combustível é consumido à taxa constante de e por o que faz com que a 
massa sendo em cada instante = - ct. a uma constante 
F e a velocidade tem~se para as normas destes vectores, 
onde g = 9.8 é a constante e se n1"''"r'""'"' a resistência do ar. 
verticaL Determine a vefocidade num instante t 
VII. =-1-x +Cx. 
X =e~ cosy. 
e) = COS X + C COS2 X. 
xy =C -1. 
VII. 67: = f secx + [x- sec x. 
VH.68: =EC+ e-t!RC. 
VH. 69: 
Ft ) 
= • 
forma 
e se = 1, a é 
-~.,,u·~-·~·-•HoJW a* o e a* L 
Para esta 
+ 
ypara 
como a:t:. I, 
+ 
que é uma em'la(:ao emz. 
EXEMPLO VII. 70: Resolva as seg:umttes 
cos x -y (y tg x - sen x + y) =O, (y =t 
1nx2 +x lnxy' =O, 
e) x2 - 2, efectuando 
xy - l) x' = L 
COS X 
Trata"se duma =~"·n~n·~ de BemouHi com ""2. 
Dividindo toda a por , obtém~se 
y' + tg + 1 
tg X=--"--~-
COS X 
=(1-
e) 
Mudando a variável z = 
-f !g X <ix =e = 
e lntegrnl em IR e IR" 
z' = , então a 
1 tg X+ 1 
z -ztgx=----. 
COS X 
d 
=> -(z cos 
dx 
fica linear em z: 
x-l=> 
=:> Z COS X = ln COS X - X+ C =:> y-l COS X = ln COS X - X + C. 
x lnx y' + /.. 1 2 2 /.. 
=11y21nx=>y +--y=-11Y=> 
x lnx x 
2 2 +--yl/2 
x lnx x 
Fazendo 
Como 
então 
Então 
= 
z= =>z' = 
1 1 l -y-112y' +--y112 = -
2 x lnx x 
' 1 l e' z +--z=-
x lnx X 
f l/x <lx d 
=e lnx = elnjlnxl =/ln xj => -(z 
dx 
lln xj 
=--=> 
X 
ln2 X ln X C 
=>zlnx=--+C=>yv2 =--+--. 
2 2 lnx 
1 1 l 1 
xy=l+xz=>y=-+z=>y =--+z. 
X x 2 
- 2 <::::> -1 + x 2z' = (1 + =2xz+ 
\ 
2 
z'z-2 - -z-1 =1. 
X 
u = z-1, então = -z' z-2 , 
2 2 
z'z-2 --z-1 =1<=:> +- =-1 
X X 
x3 x3 x3 
=> x 2u =--+e=>~-= --+e. 
3 xy-1 3 
=lq/+xy= + = x 3 (z = 
<=> z' - 2xz = -2x3 
.qz 
x3 - + y' =O. 
x2 y' + 
e) y' ln x" = 
= y ( l + x sen x - sen 
e) y+ (l +ln 
passa 
VII. 73: Considere 
Mostre que por meio da 
e a:t:-1. 
=O. 
z 
), z 
= x 2 + l +e 
x2 =x+yx', 
+ -x" dz ) dx -z =O. 
em 
se ae 
em IR e IR" 
VH.71: +4x4 + =C. 
e) 4 y ln2x = C2 + 2C In2x + ln4x. 
e) =Cx- 2 -4x-6xlnx. 
VII.72: + 
X 
sen--y 
y 
=L VH.73: 
X 
cos~+x 
y 
X ex.v + 1 + y ex.v =O, com =O. 
e) =y 
6x-y-5+(y-4x+3) =O. 
e) y' = + + 
x cos x + sen y + (x cos y-y y'=O. 
= = 1. 
x-y+ +l)y'=O. 
i) 2x- +5- -2x-l) =O. 
j) 
X 
X + y }' = 0 
~x2 + y2 · 
l) (x-y- + =O. 
=-L 
- l) +x =O. 
= sen (x 
cos + + + 
+ =0. 
r) 5x + + l + +y+l)y'=O. 
+x 
=O, 
=0. 
= + 
• • 
=4. 
\ 
VU,75: a curva que satisfaz a 
VU, 76: Determine uma da num P daHnha 
VII, 77: Determine uma da família de Hnhas tais que a sub-normal exercido 
num é a média aritmética entre abcissa e a ordenada desse 
VII, 78: Considere diferencial 
+ -1) -5+4x- =O,comkE"IL. 
para k = 3, que verifica a = 2. 
""·""'""''"' o vafor de k para o a considerada é diferencial exacta e 
resolva-a como diferencial exacta. 
VII, 80: Resolva as 
y'=x+ 1. 
Determine a so1mç:ao 
Determine a so1mc:ao 
é diferencial exacta. 
+y=O. 
=3. 
y= 
1í 
se x ~ln-
2 
1C 
sex>ln-
2 
e) y 
com 
y2 
---=x. 
x+l 
Chama-se su/7-ttmf!.'en;te num ponto P duma Hnha à distância entre a abcissa do ponto P e a 
do ponto de ordenada nula da tangente à Hnha nesse ponto. 
e hUegrni em IR e IR" 
VII. 83: Considere a diferencial linear de 2.ª ordem: 
+ y' y= 
da 
+ y=O, 
= transforma a diferencial linear de 2.ª mostre que a 
numa linear de l.ª ordem em v'. 
VII. 84: Consideremos uma que se move à velocidade v 
dx 
v=-
dt, 
sendo x o espaço percc1rndo, a uma resistência de 
cidade e a uma por unidade de 
ttA''"'tt~M n da velo-
1Pa11ar::an r1,,,,,,.,,.,,-,,,.,1 do movimento com 
é, 
dv 
-+kv" = 
dt 
onde k é a constante de tt~''ttr•~;.,~.~v.,~· .. ~-·~v da resistência de dines por unidade de massa 
à velocidade do movimento vertical = g, constante 
e a velocidade tem1inal (t ~ é 
c1 -kt 
~-e + 
k k 
g 
k 
k k2 
-"',"'"'"'"'' considerarmos que as u e v de presas e 
"'"''"""'""cu do x do espaço em que habitam. Neste caso r1"'"'"'""·~·ro 
que a difusão dessas no espaço n. Ficamos assim com o reduzido 
a um sistema de duas ordinárias de l.ª ordem da forma: 
du 
-=u 
dt 
v) 
dv 
e -=v 
dt 
mas :su1oor1C10 que as presas 
diminuem a uma taxa b ~~.~~.~.~,.. e ao número de presas, >O, 
b =taxa de :::.u1p01mamc1s também que v v)= - e v + d uv, 
(e> o e d > o, ""''Q«ofi<t'Q 
e resolva-a. 
que 
condusões 
a família de linhas 
du au-buv 
dv -e v+d uv 
obter: 
V 
tirar-se 
as evoluem ciclicamente: 
se houver um extremínio de pn~dla1dores segue-se um aumento de presas e de 1-''"'''""ª'"''-" 
até um máximo de presas 
continuam a aumentar até um máximo 
onde se apenas a 
As linhas 
de anáHse faz 
Detem1ine os de 
X 
VII.74: xy cos-= 
y 
lx - li · [y- 3x + 21 = + 
do sistema 
=a -buv 
=-e v+d uv 
dt 
du = 0 
dt 
dv 
e -=0. 
dt 
deste sistema. 
b) xu = e) y= 
+ + 1 =2 
cos x + x sen x - sen y + x sen y + y cos y = 1 = 
11- + i) 4 
X 
l) + 
y 
x= 
+ 
+ =C. r) C=ly+xllJ+5x+ 
+ = 
are tg =ln-. VII.76: ln 
2 
+ = 
+ 
+ 
VII.78: + 
k=4; 
-2 cosec 
+ 
9 
+ + 
+ 
+ -7J=x+18+9 
= 
+ + + 
1f 
sex :S: ln-
-1) cosec 
2 
1f 
sex >ln-
2 
+u 
, 
V = 
rr: 
sex :S: ln-
2 
rr: 
sex> m-
2 
u= e 
l111tegrnl em IR e mn 
·-----
use~o para detem11inar ª"'"'"""'.'"''"<'"~"'"''" E ] 1, e cakule o Hmite 
dessa ,,VAUVOIV 
Em cada é 
= +2=(y-l)(y-
Podemos começar por determinar as linhas sobre as 
isto é 
Além 
continua e 
y 
- 2) = O Ç::> y = l y = 2 q y' = O <::::> y constante. 
1 < y < 2 <::::> y' < O <::::> y decrescente. 
y < 1 v y > 2Ç:? > O <::::> y crescente. 
///_,0///////////////~////////// 
~~~~ 
~ // //////JJ~JL//J// 
/////I//////////// 
-X 
tuem o campo de uu ''""v"" 
E ] l, 
dex = 2; além 
X.....P-00 X-J>+oo 
é 
varia 
Pode ainda observar-se que "" 1 e > 2, 
Hm =+oo e Hm . Se < 1, lim = -oo e lim 
x~>+oo x--t+co 
y'=y +xz-
y + x2 - 1) = O ~ y = O v x2 + = 1. 
Estas são as linhas sobre as o dedive é nufo. 
xz + >lAy>O~y'>O 
x2 + >l y<O~ <O 
x2 + < l Ay >0 ~ y' < 0 
x2 + < 1 "y <O ~ y' > O 
y 
X 
De acordo com estes dados temos a 
O eixo dos xx, y = O, é uma das "'·"""''"''""· 
O campo de vana cm1tirmamente y + x2 - 1) é contínua em IR. + 
=-x (y'i": 
Esboce o campo de 
x2 + =e. 
1 
T 
é 
1 
I 
y, =o 
2.º 
l 
a 
3.º esta 
EXEMPLO VII, 89: Determine as famHiade definida por 
x2 + =e. 
Derivando x2 + =e em ordem ax, de obtém-se 
Substitui-se o y' dessa 
Resolve-se a 
2x + = O ~ x + y' = O. 
diferencial por - _!_: 
obtida: 
2y 
x--=0. 
2 
= - dx => ln IYI = 2 ln lxl + ln => 
y X 
y 
eixo é o eixo dos yy e de 
e lntegrnl em IR e n~n 
.~~~-~~~~~~ 
EXEMPLO VII. 9®: Determine as às Hnhasy = C ln (x + 
y' = + 1) ~ e = (x + l) y' ::::::> y = (x + l) y' ln (x + 
a é 
y= + l)ln + 1) => -J + 1) ln +l)dx+kQ - ' 
2 
y2 l 
ln 
l 
ln + 1)- + k. Q-~= + + 1)- +l)dx+k<=:> + • 2 2 2 2 2 4 
ortog(ma1s das famílias de Hnhas: 
=O. b) Cx2 = e) x3 + + =O. 
x2 + y2 = 2Cx e que intersectam a unidades da 
+ = C2 e que passa 
xz + (y = C2 e que passa (-1, 
i) x(21n[y+ll-y) = l + y;<:-1. 
l) = 
+x3 =O. 
x2 + =1-
que passa 2) é uma circunferência de centro O) e raio 
x2 + -Cx-1""0, 
que passa por 2) é uma circunferência de centro 1) e raio 
mfüa 
um de n/2 radianos. 
x2 
xz 
VII.91: x2 = 
e) = 4kx2 + k 2 • 
x2 + =ln lxl +e2 • 
i) x3 + + 6 ln II - YI = k. 
-k+ = 4kx2 + k 2 • 
6x+ + k + ln II - 2x - =0. 
EXEMPLO vn. 96: a) que a 
que tanto = 4x como 
são s0Juc1::Jes da mesma 
+ 
+ln sen =C 
+ln cos =C. 
l ly2 are tg =C. -ln~+y+ + 
2 X 2 
+ e) = 2x - 2 e3x + 8. 
= x3 + 3k. 
x=y-1. l) + 
+ 
= 4x é a envolvente da famfüa de linhas 
1 
y= Cx+-. 
e 
l 
y=Cx+­
C 
-3_ 
e 
l 
y=Cx+­
C 
é, para cada vafor de uma recta. Em cada 
rectas, isto é, existe um tal que 
+-. 
Com 
l 
=:>xo= =:>y = +-::::::> 
4 o 4 
2 
X 
isto é, têm declives 
=4x:::::> 
e l , e y= x+-~y = ::::::;, 
e 
Determinemos a eai!lac:ao diferencial associada às rectas. 
1 ' 1 y=Cx+~-~y =C=:>yy = 
e 
2 
2 
+l y';i: 
passa urna 
+ 4 =:> 
em cada de 
A 
Substituindo na anterior vem 
2 
y 
4x 
2""~+1~ 
dada. quer as quer a 
rectas envolvem uma constante arbitrária H:lJreserum:n 
por ser '"-"'-"v<iv 
EXEMPLO VII. 97: se "" O envolvente da famHia de 
y 
x2 = 4Cy 
Embora a recta y = O da famili.a x2 = não é verdade que 
em cada y = O não é envolvente. + 
EXEMPLO VU.98: Determine as envolventes das circunferências (x - = 1. 
y 
e Integral em IR e IRlll 
O centro das circunferências é um O) que percone o eixo dos xx e o raio é constante 1, 
de acordo com a é fácH concluir que a envolvente é formada duas rectas 
y = ±1, são a todas as circunferências e em cada dessas metas passa, sendo 
""ul">'"u", uma circunferência. + 
y, =0. 
em a 
+ + + =0. 
Por outro esse mesmo 
y, =O, que passa no 
+ =0, 1 
--------------------------~~ações _____ _ 
=0, 
o que é a 
ser sem que se 
que se 
=O e =O. 1 
EXEMPLO VII. 99: Usando o método 'u""'ª"v, determine as envolventes das famílias de Hnhas 
consideradas nos VII.96 e VII.98. que não existem 
Como se 
l 
O=x--­c2, 
l 
y=Cx+~. 
e 
X 
:::::>y=± ± 
:::::::> =4x. 
lntegrnl em IR e IRn 
~~~~--~~~~~~~~~~ 
Os são dados por 
=0 e = o <=> e = o i = o, 
o que é ""I''""''" 
No wnw•up•~ VII.98 temos a famfüa (x - + = l. Derivando em ordem C: 
=o:::::} e =x. 
vem 
Os 
EXEMPLO VH. 100: Determine a envolvente e os 
nida por 
Derivando em ordem a C: 
=O. 
+ =O. 
Eliminando C: 
y-C = (x-
=ÜQ =ÜÇ:?x=CvC=x-f. 
Se C = x, então 
Se C=x - então 
y-x ~" 
Os 
=O e ""º, 
ou 
=O = o <==> x = e y = e ç,;, y ""'x. 
a recta y = x é formada por na que nesses não há 
y 
X 
A envolvente é a recta defini.da por y = x - + 
x cos a+ y sen a= k, 
onde k é uma constante fixa. 
Derivando em ordem a a: ~ x sen + y cos a= O. Para eliminar a, consideremos sistema 
cos + y sen a = k 
=> 
sen + y cos =O 
+ y sen2 a = k sen a 
sen cos a + y cos2 a = O 
y X 
y = k sen a => sen a = - =:> cos a = - =:> x2 + = k2 • 
k k 
e Integral em IR e IRn 
X 
são dados porcos a= O sen a= O, mas não existe a nestas 
= k2, rf'111r"'''"'"1~,. a envolvente. Trata-se duma circunferência 
vrn»J u.uuu que a famfüa dada são as rectas 
y=-x a+ kcosec a. + 
EXEMPLO VII. 102: Determine a zona de segurança rdativamente a uma arma que está fixa num 
e atira 
y 
X X 
do referencial no em que a arma está fixa. 
Há um movimento uniforme com vefocidade 
devido à 
X 
cosa=~; sena= ::? y1 = v0 t sena. 
V0 t V0 t 
do movimento de cada nn)1e1~tu são: 
(t E ). 
se­
de 
X 
t= => y=xtg a------
v0 cosa a 
e e =tg a então 
= = l+ 
a 
escrever-se 
y=Cx- + 
Esta é a da família 
Pretende-se determinar a envolvente. Os 
=O e + e 1 =O, 
o que é 
ordemaC: 
não há Para determinar a envolvente derivemos em 
O=x-
A envolvente é ~~·'*n·~•~ uma 
eixo dos xx em 
+ 
1 
<:::::> Y = - - ax1. 
4a 
y 
X 
com a concavidade para baixo (a > que intersecta o 
l 
x=±-. 
2a 
l 
y>--
4a 
situam-se abaixo 
EXEMPLO VII. 103: Sendo Ruma constante diferente de zero, detem1ine 
da diferencial 
Comoy;t, O, caso contrário ter-se-ia R = O, o que não se 
l+ 
que são de variáveis Resolvendo: 
=± sey;t,±R. 
resulta 
= ±x+C <::::> ± + = 
envolve uma constante arbitrária. 
então y' = O e a diferencial é 
que por não estarem induídas na 
por 
a zona 
y = ±R são 
EXEMPLO Vlt 104: ue1terrmnie, se "'"'"tn·,.m 
diferenciais: 
+ l =O. 
-yp+l""O 
y 
-y=O:::;o.p=~ 
2x 
=4 
=O=>p=Ovy=O 
Em ambos os casos resulta O= 4, 
é 
y=O 
que são as 
as das 
=4. 
VII. 105: Escreva uma -9-·-v··~ da famfüa de circunferências raio 5 e centro sobre o eixo das 
ordenadas. 
Determine uma -9··-w··~ diferencial dessa família. 
Detem1ine das envolventes dessa família de Unhas. 
VH. Ul6: Determine a envolvente da famíHa de Hnhas 
C X 
Y"'-+- *° 2 e' 
VH. 107: Considere a família de linhas 
(x- + "'4C. 
Determine uma diferencial dessa famHia. o grau dessa 
Determine das envolventes dessa famiHa de Hnhas. existe entre a 
diferencial obtida em e as envolventes? 
VII, 108: 
sobre a bissectriz dos 
VII.105: x2 + (y- = 25. x= ±5. 
VH.106: =2x. 
Vlt 107: + =4 (x+ b) = 4x + 4 é da 
VII. 108: Não. 
VII. 109: y = X ± 
que este 
se x:S'.,a 
, 'íf a> O. 
se x >a 
y 
X 
Tem-sex< => =O; x >a=> 
x=a=> 
. (x-a)3 -0 
= hm =0, =0. 
x--ta+ X~ a 
verificam a diferencial: 
X :S'., ::? 0 = 3.0; X > a ::? 
e Integral em IR e IR" 
Além as 
=0, >0, 
são "'"""''V~" 
Para cada a E JR+, há uma no passam infinitas 
EXEMPLO VII, Hl: 
não tem nenhuma 
Substituindo x =O e y = -1, tenta-se determinar a "'""'""'v 
inicial =-1. Obtém-se-1 = C2, o que é obviamente impo1ssi' 
-1) não passa nenhuma da diferencial dada. • 
IR"+! ~ IR!l, é uma 
,X E •• ~ 9 
Tomaremos E 
teorema 
y '2ií sse 
E 
com-
é, num certo em 
contínua. A unicidade resulta do facto 
Y é Hmitada em existe L tal que 
E 
provar-se que se ·!21J e JRn+i ~ 1R", for uma con-
tiínua em tal que existe e é contínua em localmente 
ayem tal 
Pode provar-se que nas do teorema de existência e UH'V~'~"'~v. 
definida em existência foi por este teorema, 
máximo de I = b [, tal que 10 e t Sendo qjJ o 
vHUMUU9 tem-se que o intervalo máximo de I = 
X ~ a+, OU X ~ b-. 
5) do teorema de existência e a 
continuamente das imc1a1s Na este resultado é em 
os valores iniciais são obtidos por leituras que ter pequenos erros. Se não houvesse 
uma pequena numa das con-
EXEMPLO VU:. 112: que os .,.vv•v••n~u dos exç~mi::•ws VII.110 e VII.111 não estão nas 
"v'·""""v''" do teorema de existência e uni.cidade. 
== 13yl2/3 -
teremos de ver se 3 L E IR+ tal que 
:S: -y2I' 
Tomando y2 = O, a anterior fica 
*j~js:LIY1[q Y1 
2/31 = 
:S:LqL~ 
3 
E !21J. 
existe 
qjJ que 
Não existe L, constante, nestas 
A mesma condusilo se obteria 
não é Hrnitada em nenhum 
No 
y 1 está tão de zero 
2 
'!iJ que contenha 
que nem sequer está definida no 
-2y 
Tem-se y' = -~. 
3x 3x 
contínua. Parn y0 =O, não se a unicidade. 
+ =o. 
só é contínua se x 'J'c- O 2 . · 1· . d o = - - so e 1m1ta a se x :t: , 
3x 
.,v~wunm """""u a existência e unicidade de so1mç:ao em com x0 ;;t. O. 
f ~ 
y 
2 
~dx+ 
X 
para a este não se noae1rao obter solu-
= => = 1, 
que numa 
e 
a é definida por = 1 que numa 
Y = l se . o , 
De acordo com ea 
verifica a a inicial e é vv1c1rnm•,~. 
Note que este resultado não contradiz a 
não se à na forma + =O. Em como 
x=O~y=O. t 
x=(y- +e. 
(y + ""y + 2x. 
VII. :U4: que passa em definida num certo intervalo 
que contém x0• Pode 
VII, 115: Y, 
Y""-3X 
+2x 
y+3x 
Existe uma e uma só "V''-'"º"' que passa em -.,~~M"~~· 
tenha x0, desde que y 0 =F 
definida num certo intervalo que con-
e Integral em IR e IRn 
e a 
= + 
Em resumo: 
= +h 
+ 
=0,1,2, ... ,n-1) 
y 
Yo ---------: 
o X 
Eqm1ções 
-------------------------- ·---~-----· 
h 
EXEMPLO vn. 116: Dado o UHJUfü!HQC de valor inicial y' =X+ y, = l, determine um valor 
upAv,"mA''"v da no x = 2, usando o método de Euler com passo h = O. 1. com 
Tomando os valores iniciais x0 = 1, = 1, o passo h = O. l e fórmulas que definem o método 
de constrói~se ru tabela 
k = +OJ = + = + 
o l l 0.2 
1 1.1 1.2 0.23 
2 1.2 1.43 0.263 
3 L3 1.693 0.299 
4 1.4 L992 0.339 
5 1.5 2.332 0.383 
6 1.6 2.715 0.431 
7 1.7 3.146 0.485 
8 1.8 3.631 0.543 
9 1.9 4.174 0.607 
rn 2 4.781 
y' - y = x é linear. 
= +l)+C e 
+ 1)+ = ~3 + 3e = 5.1548455 ... • 
l11t11grn! em IR IRlll 
----· 
h \ 
= + + + + ) 6 
h h ) - + +-
2 
h h ' ) + +- J + + 
2 2 
este 
se 
EXEMPLO Vlt U7: Resolva o de valor método de 
n.Ull>l':l;;'-1:'1..IUClCQJ COm h °"' 0.1. 
Tem-se 
+ com 
h ). + + + 
6 
k 
1 
k 
o 1 1.00000 2.86635 
l 1.1 L21551 3.34125 
2 1.2 1.46421 8 1.8 3.87662 
--
3 L3 1.74958 9 .9 4.47880 
---
4 1.4 2.07547 10 2 5.15484 
5 1.5 2.44616 
Note-se que por este método se ""5. 
sendo o valor exacto = 5.1548455 ... 
Vlt lUI: Considere a diferencial 
= 2x - + , com = 1. 
Determine um valor ~1-"~"'-'"u•·~~ 
Resolva a mesma '<l'-"'"'<'v 
""4.25092. b) 
com passo h = 0.025. 
n.~fH"'-'-'-"-"'"ª· com passo h = 0.025. 
"'5.25926 .• 
n,na é, em 
y, 
= 
à 
<:::::>z' = 
z= • ~ e 5 e F= 
com 
De que F seja 
uma e uma 
EXEMPLO VII. 119: Transforme a ecn:iac<w diferencial 
+ + =1-x 
num sistema de diferenciais de 1.ª ordem e estude a diferencial dada à 
existência e unicidade de '""'"'""'v. 
Neste caso tem-se 
que é continua em l!R4 e 
que existe e é continua em l!R4, 
inicial 
Para 
o l 
o o 
-2x 
à 1 
a 1, mas que por 
n vezes: 
+ + 
vn. 
EXEMPLO VH.121: 
= 2 e determine a 
Então 
IR e IR" 
Determine da 
+ => 
xn-1 
=---+ ---+ 
kn 
diferencial 
=-+ -+ 
k3 
+ 
= 
à existência e unicidade de a~'"''~~,,~" diferencial 
que verifica as iniciais 
= l e = 3. 
2 
X 
y,y', 
2 
X 
que está definida e é contínua em neste 
são sempre 
Como 
=0, 
existe é única. 
2 
=-=> =2lnx+ 
X 
=3=>3= => =2lnx+3=>y'= Inx- + 3x + = 2x ln + x + 
Como 
=> y= 
= l => l = l + => = O => y' = 2x ln x + x => 
1 
lnx--
2 2 
x2 
+-+ 
2 
z x2 x2 
=x lnx--+-+ 
2 2 
= x 2 ln x + 
Como 
= 1 ::::> = 1 ::::> y = x 2 ln x + 1. 
que nunca 
EXEMPLO VII. 122: 
Determine a famma de linhas tais que a derivada do inverso do declive da recta .~,,,15v.uw a cada 
linha num 
Determine a "'''-"""'''v 
Fazendo 
=-1 e =O, 
duma Hnhay = 
=X 
y" 
<:=:> - - = X <=:> 
tem~se = escrever-se 
1 x 2 
<=:>--=-~+ "" X dx+ 
p 2 
ç:>p=y'=~2 __ <=>y= J~2-dx+ 
x 2 -C x 2 -C 
Se e> o então 
2 
=J~--dx+ 
x2 - k2 
1 l 1 
------~dx+ 
k x+k 
1 1x-k1 =-ln -- + 
k x+k 
SeC<O C= então 
2 X 2 f--dx+ 
• x2 + L2 
=-arctg-+ 
L L 
Como 
2 2 
C=-~-=---, 
tem-se 
C>Oq <OeC<Qq >O. 
Pode verificar-se que = que 
e 
escrever-se na forma 
se >O 
se 
= tem-se 
, 2 ' l 
X p - p = X ex q p - -p = X eX, = l > 
X 
que é uma '-YU<U.,<<V linear de 1.ª ordem. o factor un•~j»,•~u•·~ é 
Então 
=e" ~E.=ex+cq 
X 
+ 
<0 
Eq1mções 
-----------------------------=--------------------
Como 
Dado que 
= O, tem-se C =--e, 
ex2 
y' = xe" - ex :::::> y = xe" - ex - ~ + k 
2 
e 
resulta k = - - 1, 
2 
ex2 e 
-1)-~+--l • 
2 2 
= 
Faz-se 
1.ª = 
EXEMPLO VII, 123: Determine a da = 
Faz-se = 
p' = ::::;, J _!_ = J dx + e 
l 1 
<:=>--=x+C<:=>p=-~-<=:> 
p x+C 
=-~1-<=:> y' =-lnlx+Ci+ 
x+C 
+ ln lx + q - \l]}-x-) + 
x+C 
+ x> 
y = -x ln lx + q + Çfp + + = -X ln lx + e\ + X - C ln lx + q + + 
Integral em IR IRn 
Se < obter-se-ia 
y =-xln lx+Cl-x+C ln lx+CI+ + 
Se p "'" O, então 
=O=>y'= =>y= + 
EXEMPLO VII. 124: Determine a 
que verifica 
Faz-se 
Como 
Como 
Dado que 
+ "'l +x, 
=O. 
, 1 1 
+p=l x=>p +-p=-+1 
X X 
d 
= 1 +X => px = X+ - + C =:> p = 
2 
3 
=0 => C=--=> 
2 
X 3 
= l+----~=> 
2 2x 
X C 
=l+-+~. 
2 X 
3 
=x+---lnx+k 
4 2 
5 x 2 3 
=O=>k=--=>y=-+-- lnx-
4 2 12 2 
5 
--x+L 
4 
5 x 2 3 
=O=>L=--=>y=-+--
6 2 12 2 
lnx-
5 5 
--x--. 
4 
semx. 
escrever-se 
= que é uma 
+ =O. 
Comente a à existência e unicidade de so11ucao. 
Determine a"'"''""'"'" ~'u"'""''"' da que verifica as c01tlmçoi~s = =-1. 
e) Determine a da que verifica 
+ y, 
que é contínua e tem derivadas em ordem a y e 
desde que :;t:O. 
Fazendo 
escrever-se 
y 
1 
- p2 + p3 = o <:::::> p' - - p = -
y y 
que é uma 
Tomando 
Como 
de Bernoulli. Tem-se 
1 
+ 
y y 
z= =:i>z'= 
' l 1 z +-z=-. 
y y 
e 
=l=>zy=y+C=:>z=l+-<::;> 
e 
=l+-<::;>p= 
y y 
=~y-=? 
y+2 y 
=dx=>y+2 
=-1, então k =-1, a é definida por 
y+2 =x-1. 
-~Y_. 
- y+c' 
=x+k. 
e) Dado que neste caso p = y' =O em x = O, a como de Ber-
não é =O, tem-se para p =O, 
= O = constante 
que verifica as iniciais dadas é = -1, 'li x E IR. 
Esta por estar definida em todo o IR. • 
EXEMPLO VII. 126: 
ser 
Trata-se duma 
variável 
diferencial =l 
de 2.ª 
-------------------------·~qu!lç~es_~--.---··· __ 
A escrever-se 
= l + + ::::} + = + 
<:=}l+ = 
-1) = 
que tem a forma pn~te:ndl1lda desde que se tome k = C-1• Obteríamos o mesmo resultado se 
e tomássemos k = -C-1• 
EXEMPLO VII. 127: Uma de massa m cai sob a da num meio no 
<O, 
a resistência à velocidade. que no instante inicial t = O, o corpo está em 
repouso, determine o espaço até ao instante t. 
Fica a 
+ 
Como o corpo 
=Oe =0, 
que actuamna são mg, 
com k >O, constante característica do meio. 
m =mg-
1 k 
=mgç:;,p +-p=g 
= 
kt m --
=g-+Ce ç:;, 
k 
do repouso, tem-se 
m 
C=-g- e 
k 
kt m m 
-C-em+ 
k k 
kt 
+ m-
em JR e JR" 
EXEMPl,O a uma 
massa move~se num meio no a resistêncfa de atrito é "'°''""""°''' 
dines por unidade de 
à nn,,QftnM, n da velocidade. 
Determine a diferencial do movimento. 
Determine a velocidade e se = l e o movimento for vertical. 
e) Determine a velocidade terminal 
a velocidade tem~se, 2.ª lei de 
Se o movimento é vertical F = g, para = l a será 
ou 
com m = 1, tem~se 
e == 
k 
Então 
::::::> -kt == 
V g 
=> = + => 
e k2 
V 
:::::::> -gl--+ onde + + 
k k2 
e) Hm +C = • 
t-7+= k 
EXEMPLO VII. 129: Um homem salta de 
determine a menor altura h de que o homem deve saltar para que ao solo 
com velocidade menor ou a U cm/s. 
Tem~se um caso do ""'"-"''"" anterior com = e o movimento 
= g - k e a velocidade terminal é 
u= 
k 
que o espaço 
A altura total é h = 
homem inicia o percurso xl' 
u2 
=--m 
g 
Para que o homem 
ou 
k= 
= 
v- 0 --+-ln 
_ J_ vu + 
"1 g 
~ vu u2 
g g u 
h= + 
l Uu u2 
h= +Tu-~+-
2 g g 
é a altura mínima de que o homem deve saltar. + 
T 
é a velocidade com que o 
deve ter~se 
em IR e IR11 
VII. 130: Considere a diferencial 
-y' = x2 e'. 
=e' (x-1) 
é uma "'-HU\,<<V C.M~'i u.vAu =-1 =O. Comente 
face à res:nosm 
vn. 132: Determine uma '-'l~WC\,<<V da linha que verifica a V'!•~~-·~~ diferencial y = gráfico 
passa com ·~u.,.,vuw horizontal. 
VH, 133: Determine uma da Hnha ou Hnhas que passam com tangente 
= + 
z= +g 
resolver-se derivando em ordem a t e fazendo a 
VII, 130: a) o teorema apenas que existe uma e uma só ~V<UV<>V 
VII. 
= l -e2"". e) 
e) + (x-1) lnx. 
y=x+C + 
além da so1ucato indicada existe a "v'"'"~'u 
= b) y = cos x + sen 
(y-x = sen2 ± 
h) =-x + 1-lnx. 
O. 
não há 
j) y = 2 sen - x - 1 - sen x cos x 
VII. 132: y =e"+ e-x. 
vn. 133: y = 1-e", ouy =-1 + t:x . • 
+ '°" + + 
lntegml em IR m.n 
= 
EXEMPLO VII. 134: Comente 
lineares: 
diferenciais 
+2x + y sen x = ln (x + com = =--1. 
- y' + x y = x, com =le =O. 
e) + + =e senx. 
Neste caso os coeficientes são = =-e", 
= ln (x + que é contínuo se x > - L Como as "v''"""'v'~~ iniciais são dadas no 
x =O, nesse existe uma e uma só 
escrever-se na forma considerada no teorema de existência e unicidade: 
+y=l. 
X 
O coeficiente 
X 
x = O em que são dadas as por esse teorema . 
à existência e unicidade de No entanto, observando direc-
tamente = O, donde y = constante. Como se 
v~·~~"""~u concluir que do dado. 
e) Neste caso temos uma 
rema de existência e unicidade apenas 
em 
+ + +···+ + y= 
ou 
+ + + + D+ y= 
=D"+ D11r-I+ +···+ D+ 
y= 
y 
e l11tegrnl em IR IRJ:J 
EXEMPLO VUt 135: nas 
+2x + y sen x = ln (x + 1) =:> = D3 + 2x D2 -e" D + senx, 
com _..,, em que I = 1, 
2 l = D -- D+l, 
X 
com ~ em que I =]O, ouI= O[. 
e) + + =e" sen ::::::> = D3 + 2D2 - 5D + 7, 
com --? • 
EXEMPLO VIL 136: Mostre que, sendo D o A~,,~~,11 ~~ ri"'""""'" se tem: 
(D- + =D2 -16. 
+ * + cFD2 -x2• 
Como é são sse 
Então 
=D + -4 +4 y'- -16 = y. 
para todo o y, então 
+ = D2 -16. 
+ y= + = +x = 
=D +x -X +x = +y+ 
+ + = = 
=D = -y-xy' +xy' = -y 
y= = -x2y. 
+ y:;t + y . • 
e constantes, então é, 
que os 
comutam. 
é uma 
e E tem-se 
as mesmas serem o 
a soma 
por uma constante 
IR. 
+ + n11-2 + ... + D+ 
= + + + + 
+ + + + 
E I, 
e hltegrnl em ]R e ]R" 
·~~~--~~~~--~~~~~~-
.. ~ ' 
y 
são W~'"."'"~''u 
tem uma e uma 
º' ... , 
=O 
éa 
a mesma 
(rn-1) (rn-1) 
E I tal que 
se 
+ + + "' O, 
com 
+ 
+ 
+ 
+ 
+···+ 
+ .. ·+ 
=0 
=0 
(11-l) =o 
=O. 
EXEMPLO VlU37: Considere a eaiílac:ao diferencial linear de coeficientes constantes, 
+ = senx 
Mostre que 
X+ X 
da da 
de ""O. 
= 3e3x ~ = 9e3x =:;> 9e3x ._,.. 4.3e3x + 3e3x = O. 
=O. 
e y2 são Hnearmente "'~'"'-''""~"''""0, basta mostrar que o re~;oe:cuvo Wrons~ 
kiano é não nulo. 
= 1 
ex e3x 1 
= = 3e4x - e4x = 
ex 3e3x 
:t-:0. 
constitui uma base do espaço de da que a sua 
+ sendo c1 e c2 constantes arbitrárias. 
b) Cakulando e que 
X 
da 
{:::;> y = + + x+ x . • 
+ + =O. 
Mostre que 
= =O, x0 E IR. 
Como os coeficientes da ~rn,.n,.n~ 
tência e unicidade há uma e uma só 
identicamente nufa é indefinidamente 
não haver outra nestas ""''"'""'"'" 
e Integral em IR e IR" 
(x - + (x ~- l) y' + y = 1, com x *' l 
Mostre que 
= cos -lj) e = sen 
= l é uma 
l 
= -~sen Jx-1/) => 
x-1 
l 
= --cos Jx- => 
x-l 
Substituindo na 
(x - + (x - l) y' + y = O, 
obtém-se uma identidade. 
cos Jx-lJ) sen Jx-11) 
l 
=--:;<:0 
x-1 ' 
x-1 x-1 · 
= l :::::> =o, 
que substituídos na 
A da 
y=c1 cos lx-1J)+c2 sen Jx-lJ)+l. 
+ ... + + y= 
= 
se tomarmos y = , então 
=O Ç:> 1 Á11 +_ a Ál!l-1 +a A,n-2 + ··· +a A. +a =O . 1 2 n-1 n • 
que 
A o•& 3 
Nesse caso tem-se: 
o que 
1 1 
= 
= j = 1, .. 
516 lntegrnl em IR e IRn 
EXEMPLO VII, 140: Mostre que e", e-x e e2x são Hnearmente mc1epem1en1tes 
diferencial linear de 30ª ordem que admita as dadas como uv•~v.-;vu 
e escreva a dessa 
-1 2 = 
4 
= -1) +l) 
+ =Oº 
desta 
EXEMPLO VII, 141: Determine a ~v"'""''" das 
-2 l = -6e2 x ;:/::.O. 
o 3 
diferenciais: 
=O. -y"- + =O. 
=-1. 
=O~ 
carne~ 
duma 
A tem 
EXEMPLO VH. 1412: Considere a 
+ =O. 
característica. 
Prove que e', x e", x2 e', são Hneannente mdlep,encilentes. 
e) Prove que as consideradas na aHnea anterior são "'""'-''-'Y" da vw~u~'"v diferencial dada 
e escreva a dessa e011ac:ao. 
é a característica. Como ·--· .. ,·-"·- se reconhece  = l é usar-se a regra 
de Ruffini para baixar o grau da vl,,llL"'-1,,''" 
l -5 9 -7 2 
-4 5 -2 
-4 5 -2 o 
-3 2 
-3 2 o 
-2 
l -2 o 
lntegrnl em IR IRn 
Resulta a "''l '"'"''"u escrever-se 
raízes são 
Para provar 
por e" e derivando três vezes (o k, de vezes que l é raiz da 
Dividindo toda a por e" e derivando duas - 1) vezes, tem-se: 
x=O~ 
Dividindo toda a por e" e derivando uma vez, tem-se: 
e) 
em vez 
ser escrita na forma =O, com = 
dadas. Já se provou que por À= 1 ser raiz da carac-
por À = 2 ser raiz da 
= 
= =O. 
=O. 
da dada é 
____________________________ Eq~a~õ!i~----
EXEMPLO VH.143: Determine a 
-3 + =O. -3 + -y= O. 
+2=0<=:> -1 
').} - 3À} + - l = o ~ 
Então a da 
A 
1 elIX cos bx e eax sen bx. 
e k-1, 
EXEMPLO VII, 144: Prove que se a± bisão raízes da -9,-·-y·--
eax cos bx e e"-" sen bx são da 
Prove que eax cos bx e e"x sen bx são linearmente matep1:o:norernles, 
e) Determine a da diferencial 
+ =O. 
diferencial é 
=O, então 
e lntegrni em e mn 
~~~~~~~~~~~~~~· 
Se a ± bi são raízes da =O, então tem o facíor + b2, 
tem o factor (D - + b2• Provemos que este factor anula as dadas. 
+ cos = cos bx - beªx sen bx - aeªx cos + 
sen 
= --abeªx sen bx - b2eªx cos bx + abeªx sen bx + b2eªx cos bx =O. 
+ sen =O. 
Provemos que o Wronski.ano destas fur1çõi~s é não nufo. 
eaxcos bx eaxsen bx 
= be2ax ;t O. 
+ 5 =O ç:, À= 1 ± (a = 1 e b = 
é 
y = c1 ex cos 2x + c2 ex sen 2x = ex 2x + c2 sen 
EXEMPLO VU.145: Determine a das 
+ 28 + =O. 
y(7) + + "'O. 
e) + =O. 
y(6) + + 16 =O. 
+ 28 + -13 =o 
tem a raiz À= 1, o que regra de Ruffini 
VIL dividindo O µv'"",'"um 
+ 13 
por 
é 
y= + + e2x cos 3x + c5 sen 
é 
+ + + cos + + sen 
e) + 16 = o {::::} Jt,2 = ±4i {::::} Â = 
Como é 
e+ 2kn: e+ 2kir) 
-~-+sen , 
n n 
=0, ... ,n-
+ e = 
da diferencial é 
y= + cos ,J2.x + e 4 sen 
+ 
V À= ±2i + cos 2x + + sen 2x. • 
EXEMPI~O Vlt 146: Determine a 
+ + =O, 
sabendo que a 
Se existe a raiz -1 + i, na 
a em factores do "v''""''"''V 
=O, também existe raiz -1 ·- i, 
contém o factor 
+ +l= +1- + l + i). 
por este baixa-se o grau de 
- 4/1} - + 6í\, + 18 = + + l] + 
E 
+9= 
Então as raízes da característica são -1 ± i e À = 3 da 
é 
y = e -x cos x + c2 sen + 
característica admita exclusivamente todas as raízes das 
=O e de -y =O. 
característica +À= O, raízes são O e-1. 
característica í\,2 - l =O, raízes são ±1. 
Então a característica da terá que ter as raízes O e 
características 
Como uma de 6.ª faltam-nos duas que 
""'"'"u1,...,, considerar que a raiz O é característica da v"''~"''uv 
+ -í\,3 =O. 
diferencial é 
y(6)+ =O. 
Neste caso 
k = 1, então 
grau zero, 
z =a, se este 
=e", 
+ =e". 
= X A e" => ""' A e" + X A e" => = 2A e" + X A e". 
z= a, k é a 
yna 
= Ae" 
sut,st1.tmm110, obtém-se: 
realmente 
2A ex + A ex - e" + x A + 2x A e" = e" <:=> 
<:=>2A+xA-3A-3xA+2xA= 1 <=>A=-L 
= -x e". Então y = yh + ou 
+ -X e". 
que seze e, 
z=a+ ~ezx:eax + sen 
e neste caso ternos z = kéa na 
EXEMPLO VH.149: Resolva a equtaçato 
+ = cos 3x. 
').} - 2À + l Ü = 0 ~ À= 1 ± 3i ~ yh =ex COS 3x + c2 sen 
= cos b = 3, = 1 e /3 =O. 
±3i não é então k =O, 
deve verificá~ 
=A cos 3x + B sen 3x ~ =-3A sen 3x + 3B cos 3x :::::;> =-9A cos 3x-- 9B sen 3x. 
-9Acos 3x-9B sen 3x- sen 3x + 3B cos + 1 O cos 3x + B sen = cos 3x <=> 
cos 3x + + sen 3x = cos 3x <=> 
<=> A- 6B = l B + 6A"" O Ç:> A = 113 7 B = -613 7. 
3x ~ 3x. 
é: 
y= 3x+ + 3x~ 3x. • 
são coseno é um seno. 
caso: 
j=O j=O 
= 
r, e z =O, kéa 
EXEMPLO VII. 150: Resolva a 
Como z = O é: raiz então k = 2, 
= Ç:;> = ~ = + + 
j=O 
~ 
ff!= + ::;:;; + ~ 
:=:::> + + + + + = l ~x3 ~ 
= l / 20 
=0 = l / 4 
=> => +x+ + 
=0 =l 
=-1 = 5 / 2 
=:> Y =e,+ + + +x+ + 
caso, k é a z= a± na 
+ y"' e-x COS X. 
O 2.º membro dado é da forma considerada neste caso, com a= -1 e b = L Como -1 ± i, 
não é raiz da então k = O e 
cosx+Bsen :::::> '=e-x[(-A+ cosx- + senx]=> 
cosx+ cosx+ sen x] + e-x cos x + B sen = 
= e -x cos x => -2B +A= 1 A 2A + B = O =>A= 115 A B = -215 => 
=> y= x+ x-2sen 
= a e IR 
j=O 
'A2 - + 1 = O <:::> Â = l e". 
+ + + x3 + 
x2 + x3 + 
+ 
-2 e" + + x3 + + xz e" + + = + xz e"~ 
~ =O, =O, = 1/12 ~ y = + 
caso: 
cos bx + f3 sen bx + sen bx 
j=O j=O 
Neste caso, k é a z= E 
EXEMPLO VII. 153: Resolva a 
+ y =x COS X. 
Tem-se = 1, =O, b= 1, = l ek= 1, 
=x cosx+ + sen 
e !ntegrnl em IR e IR!] 
Derivando e substituindo na obtém-se 
+ + cosx+ + sen X = X CO§ X => 
cos x + x 2 sen 
=0 
+ 
Se 
+ = 2x sen x + x e3x. 
+ 9 = O q À = ±3i => yh = c1 cos 3x + c2 sen 3x. 
+ senx+ + cosx 
+ 
+ sen + + cosx+ + 
Derivando substituindo na obtém-se: 
=O, = "'O, = 1/18 e = -~l/54. 
é 
' 3 1 1 ( 1 1 y = c1 cos + c2 sen x + 4 sen x - 16 cos x + 1s- 54 • • 
+ + ... + + 
•&• 5 e V= 
+ +···+ 
-~- + 
Como temos n a A 
ser =0. 
Então 
com =0 
com =0 
com =0 
(~) - + com 
llt<llF<ll'i<'!l'I e lntegml em IR mn 
---
+ + + 
= 
+···+ 
+···+ 
+ ... + 
=0 
=0 
(n-2) 
(n-1) 
=0 
é 
+ 
+ 
=O, 
=0. 
as 
o 
o 
o 
EXEMPLO VII. 155: Resolva a 
e2x 
+ 
As ""''"'""u"º da 
matriz Wronskiana é 
determinante é o Wronskiano 
e2x [-ex] 1 
5+ex = l 5+ex. 
Então 
da 
-ex 
=--=> 
5 +ex 
1 e-X 
=-ln (5 + 
=--=-----:::::> 
5 + eX se-X+ l 
da 
1 
=--ln 
5 
:::::: UIVI + UzV2 q =-ex ln (5 + 
é 
y=yh+ 9y= + -ex ln(5+ 
+ 
e2x 
--ln + 
5 
e2x 
--ln + 
5 
res~ 
• 
Elem1mtos de e lntegrnl em IR e IRn 
VII. 156: Resolva a 
Neste caso, 
= cos3 x::::;, 
"" -x cos3 x :::> 
+ + 
e-x + = cos3 x + 2e-x y'. 
+ 
+ 
[-x cos3 x] 
cos3 x = . 
X 
-sen2 
sen3 x 
cos = sen x----
3 
= -<!Px cos3 x = x) ( sen3 x) x--3- +<!P senx--3- = 
sen3 x) l x---3- -cosx- 3 -cos2 sen ::::;, 
-cosx-~(-cosx+-3-) 
2 x sen3 x cos3 x) senx--cosx+ ---- + 
3 3 9 
x-
EXEMPLO vn, 157: 
+ x-l)y'-ytgx=O. 
da diferencial 
+ X - l) y' -y X = 2e" COS X. 
duas vezes diferenciáveL Então 
+ tg +tg = + y' tgx-y X. 
= -1) +ytg = +y'tgx+ysec2 x-y'-y x. 
Pela Lª da concluúnos que a 1;;1,11l1m,,-<m nom1og,em:a 
escrever na forma =O. Designando por z = 
reduz-se a + tg x) z =O, que é de Lª ordem: 
1 
z' + z tg x = O <=> :_ = -tg x <::::> ln lzl = ln icos xl +ln <::::> lzl = jc cos xj. 
z 
Suponhamos z = C cos x. 
- 1) y = e cos x <=> y' - y = e cos x de Lª 
da 
e 
=>y=-
2 
x-cos + => 
x-cos + 
que são linearmente mdlep1~nd1en1:es, estas formam uma base do espaço de "v'""''J'"" 
das constantes para determinar uma 
---
~fegrnl .. _IR_e_IR_11 
________ . 
Tem-se 
X-COS X 
== 
x+sen 
ex -ex 
=? 
2ex COS X x -sen x sen x -cos 
ex -ex 
e" ] 
COS X== 
X+ COS X ::::;> 2ex COS X x-senx sen x -cos 
==ex =ex 
=? ::::;> y = x-cos + x+cos 
= -sen x + cos x == cos x + sen x P 
x-cos + +2ex sen x. • 
"''l'"'"''"'" diferencial Hnear de 2.ª não uv""'ts~'""'"' 
dessa e a da co1rre:>pc1naen1te 
da --~ .... ~.,.,-.. ~·~, conclui-se que ± i) são as raízes da equa-
+ l = O. Portanto o "~'"º'""'"r é + + 1. 
= +2D+ = Ç::} + + = 
Dado que y = -x cos x é uma desta então derivando e 
cakula-se 
y = -x cos X :=:> = -cos X +X sen X ~ = 2 sen X +X cos X. 
2 sen x + x cos x + x + x sen - 2x cos x = 
Ç::} + sen x - (2 + cos x = 
+ + = + senx-(2 + cos x. + 
EXEMPLO VII. 159: 
admita as cos2 x e sen2 x. Prove que essas ""'m"'"""' 
Determine a da com o 2.º membro 
n01moge11ea é a que obteve na aHnea anterior. 
Para provar a é diferente de 
zero para X 
x 1=2 sen x cos x = sen 2x *O, para 2x * kn. 
sen x cos x 
mc1ep1ende11tes, elas formam uma base do espaço de 
X. 
cosx senx + senx cosx = sen2x ~ =2 
Eliminando as constantes entre estas duas úhimas obtém-se 
Pelo método da 
Então 
A 
das constantes, tem-se 
1 [sen 2x 
= sen 2x sen 2x 
2 [-sen2 
= sen 2x cos2 x 
2 sen2 x = _ sen x =::? v =ln xl 
sen 2x cos x 1 
___ x_= cos x:::;. v =ln xJ 
sen 2x sen 2 
= cos2 x ·ln xl + sen2 x · ln 
x + c2 sen2 x + cos2 x ·ln xl + sen2 x · ln 
é, no·..i•mntn 
cos 2x. 
2x=O. 
e lntegml em IR e mn 
EXEMPLO VIl.160: A diferencial Hnear de coeficientes variáveis da forma 
+ +A + y'+By= 
b, é conhecida por de Euler. Mostre que a de variável de x 
para t, definida por ax + b = e1 a tr:amsfonna numa de coeficientes constantes. 
Resolva método indicado na alínea anterior a 
Pefo teorema da derivada da 
, dy dt dy a dy _1 y =~= -=---=-ae => 
dx dt dx dt ax+b dt 
d2y dy 
<=:>az-+ -+ 
dt2 dt 
que é de coeficientes constantes. 
Neste caso a = 1, b = O, A= 5 e B = faz-se x = et => t = ln x. 
' 
dy dt dy l 
e-'=> e-21 _ dy e-21. y =~~=~~= 
dx dt dx dt X dt dt2 dt 
substituindo: 
-21 dy e -- +5e1 e-1 - +lç:, + = ez' + 1. 
dt dt dt2 dt 
Equações 
----------------------------·-··--··-·· ----·--· -·-
A característica desta é 
').} + -5 = 0 ~À= 1 V À =-5 =? 
A da achar-se 
com 
=le' 
e' 
l [ e-'] +l)=-- (e2'+1) 
6 es' 
+ 
e2' 1 
+---<::::> 
7 5 
EXEMPLO VII. 161: Como se viu em VII.5. l, uma 
+ 
l 
6 
x2 l 
+---. • 7 5 
diferencial de ordem 
transformar-se num sistema de n de l.ª ordem. O .V,,,~,,~~·~ nem sempre é mas 
por vezes é fácil e resolver o sistema só com os métodos das diferenciais escalares. 
Considere o sistema: 
+z=l 
> 
+ = lnx 
x2 
Derivando a l.ª em ordem a x e substituindo na 2.ª, obtenha uma de 2.ª 
do sistema. 
dz dz 
+-=0~-= ::::::;> 
2y 
+-=lnx~ 
dx 2 dx dx dx 2 
Trata-se duma de 
y' 
dxz x2 
l 
dt X dt 
= -x2 lnx. 
dt 
Da l.ª 
então 
substituindo: 
dt 
l t2 
=--t=:>v =-~ 
3 l 6 
1 e3' 
= -te31 ::::::>V 3 2 
+ 
do sistema tem~se 
em IR e IR~ 
+ 
z"" 1-
3 
ln2 x fox 
--+~-
6 9 
dx 
=l-
c2 xln2 xln x x 
+-+--+---- • 
x2 3 9 27 
VII. 162: Determine uma 
+y'-(y+ =O 
=2e =O. 
+ 
Vlt 163: Resolva 
- y = -5 e" COS X 
Usando o método da das constantes. 
Usando o método dos coeficientes indeterminados. 
VH. 164: Resolva a 
+y= 
VH, 165: Resolva a 
+y= 
VII. 166: Resolva a 
+ =O. 
VII. 167: Determine uma diferencial de coeficientes constantes, 
de 2.ª sabendo que 3 -2i é uma raiz da sua característica. Escreva a""""""<'" 
dessa 
VH. 168: Resolva a 
VII. 169: Determine uma diferencial de coeficientes constantes, 
de 4. ª sabendo que i e i - 1 são raízes da sua característica. 
- y = 2 sen x cos x. 
+ = 2 cos 
da 
VII, 173: Considere a 
Cakule 
Calcule para esse a "v'""''" 
VH. 174: Resolva a eq1iaç~lo 
2 
+ + 
a 
= 1, 
+y= 
+ =0, b2 
=O. 
usandoos dois métodos estudados para determinar uma 
VII. 175: Considere um circuito déctri.co RCL como considerado no exercício VII.21, no 
= E0 sen rot, com constante. Determine a carga 
constantes), nos casos: 
Se 
4L-CR2 
---->0 eR:t-0. 
4L2C 
Se CR2 = 4L. 
CR2 -4L 
e) Se a 2 = >O. 
4L2C 
VII. 176: Determine a diferencial 
y= + 
é 
+ + + +y= O. 
-,/\ -J3 
Y=e3sen x 3· 
VII. um: Resolva as 
+ 2yC4l_ -32y =o. 
y" + + y = e" + e -x. 
e) + y = 2 sen x. 
e -2x + 4y e-2x -4y' e-2x = 1. 
e) + =O, Va E IR. 
Í) - 2y' = COS X - X. 
g) y"' - -y= O,y = y' = 1, =O. 
y" - =e" ln X. 
i) y" + + y =-3 e-x. 
j) 6yC5l + + -y' =o. 
VII. 181: Determine uma equtaçato de coeficientes constantes, não homo-
de 2.ª 
y = 3 sen 2x - 2 cos 3x 
e 
y = c1 cos 3x + c2 sen 3x. 
e hlfegrnl em IR 11 IR" 
VII. 182: Determine e f3 de modo que a 
+ + =O 
VII. 162: y = c1cos x + c2 senx + c3 e". 
VII, 163: y = c1 e"+ c2 e-x +e" cos x-2 e" sen x. 
VJI, 165: y = C1 COS X+ C2 sen X+ 2 COS2 X+ sen X ln X+ tg 
VU.166: y= + + + 
vn:. 167: 2x + c2 sen 
VH.168: y = eix. 
vn. 169: + + =O. 
VH.170: y = sen2x 
+ ---
5 
x sen 3x 
VH.171: y=c1 cos3x+c2 sen3x+ . 
3 
VH. 172: 
VII. 173: 
y= + 
vn. 174: y = 
vn. 175: 
y= + 
X b 
-+-sen 
b a 
= -7 e--Zx 
,J3xJ cos --+ c3 sen -- + e-2x. 
2 2 
+ 
cos 
2 l 
=-ef3= 
LC 
+ 
+ 
+ 
sen w t - 2kro cos m t]. 
sen ro t - 2kro cos w 
Equa~ões 
·----··-=-· -··--<-----
e) y = + + sen m t ~ 2km cos t]. 
VH, 176: + + y = e-x. 
VII. 177: y = + C2 e-x + C3 COS X+ C4 sen X. 
VH.178: Y = + 
xz 
+ 
8 
VU.180: 
y= + 
e) y = e l CO§ X + Cz sen X - X cos X. 
y= + 
Y"" 
y= 
y= + 
i) y= + 
j) y= + 
vn. 1s1: 
+-ezx. 
2 
a,/3x) cos--+c3 sen--. 
2 2 
x+2sen + 
x+cosx+ 
3x2 
+-e2x lnx--e2x. 
2 4 
+ = 15 sen 2x. 
+ 
VII. Ul2: a=-4 e {3= 6. + 
n 
H.1. 
.1. 
Este assunto não é 
Já '"'"""·"''" 
termo 
soma. 
a 
e Integral em IR e 
uma 
n=l 
= 
Hm 
n--->= 
se a sucessão 
Tem-se a sucessão das somas 
s = l 
k=l 
a 
k=l 
n 
série e 
=S 
somas 
termos 
sucessão somas 
smao 
. . . ~ =nC~ 
~Hm =limnC==, seC,.,,::O. SeC=O,HmS" =HmO=O. + 
n-)= lll!-)= n-?= n-'>= 
Por vezes, por abuso de usa-se o símbolo da série para representar a 
Neste caso 
ou não 
soma. 
= l 
n=l n 
Consideremos n = teremos 
s3 = l + t + t > l + t; = l + t + ... + t > l + 2 . . ... ; >l+k·t 
Então se a subsucessão não tem limite o mesmo acontece com 
EXEMPLO VUt3: Determine a natureza das séries sucessões: 
a = 
n 
Trata~se duma 
porque --70, 
Uma 
forma 
E 
n ( l )" S =a I~r =11~ 3 ~.L 
n 1 l- 3 I-.l 2' r 3 n--700 
a série é 
de razão r = 2; então 
--7 =, porque 211 --7 = 
Ill--7= 
Se r = 1, então a 
1, a 
A sucessão 
= + r+ 
Então 
É sucessões 
rn = 
n->oo 
o 
Neste caso, 
Em resumo: 
Uma 
r+ r2 + ... + + r" => 
=> (1- r) = (l -
se > l 
ser= l 
se -1<r<1 
ser= -1 
ser< -1 
caso em que tem 
S= =l 
n~)= 1-r 
n=I 
a· 1 
S= 
1-r 
é se re , 1 [. 
no 
n= 1. 
EXEMPLO VHI.4: Estude a natureza das ""1';,ULHJll"" séries e, 
tivas somas: 
a série converge e a soma é 
a série converge e a soma é 
com 
com 
e) 
Il1=Ü 
termo a 1 = 1/4 e razão r =-1/4, em quer E 
ª1 1 S=-=-. 
1-r 5 
1 [, 
11: 
termo a1 = - e razão r = 2h em quer e ]-1, 1[, 
73 
11: 
S= =~ 
1-r 5.72 
e) A série é geométrica com termo a 1 = l e razão r =cosa, em quer e [-1, 1], 
e) 
logo a série converge se cos a E ]-1, 1 [, isto é, cos a :t ±1 Ç::> a ;t: kn: (k e &'.), sendo neste caso 
a soma 
A série é .i;i;e«)m.etrica com 
~ ]-1, 1[. 
s = _ª_1_:::: __ 1 __ 
1-r 1-cos a 
termo a 1 = 1/6 e razão r = 9/s, (verifique), 
= l + 2a + 3a2 + ... + nan-l 
-as = -a - 2a2 - 3a3 - ••• - nan 
n 
(1- = 1 +a+ + ... + an-l - nan =:> 
e 
ll=l ru=I 
+ 
ll=l 
11=! 
é uma então a 
C· 
ll=l 
C· 
11=! 
a e b 
n n 
llll=l n=l 
são duas séries 
+ 
n=l 
Mostre que se 
n=l 
IITl=l 
+ 
EXEMPLO VHI,6: 
Mostre que é ~oinv,~~·o·p,ntP e calcule a soma da série 
~ 2" + 3" 
6" 
Estude a natureza da série 
Trata-se da soma de duas séries ge1Gmtét1:nc11s de razão 1h e 1/z, 
n=l 
com a série 
É a sucessão que tem 
"""'"""' e lntegrnl em IR e IRn 
·~~~~~~~~~~-~~-
VIH.5: que é uma sucessão sse 
> 0, 3 p E l\J: <e. 
EXEMPLO VIH, 7: usando a de sucessão de que 
s -
2n 
"' (i + l + .! + o o o + l + ~1- + o o o + _l_)-(1 + l + .!. + o o o + 1 
2 3 n n+ 1 2n 2 3 
l 1 l l l 1 ::,;--+ ... +- ~ -+ ... +-"" n·-"' -. 
n + l 2n 2n 2n 2n 2 
Então não é sucessão de visto que - sn não é arbitrariamente pequena. 
não é convergente. 
= =0. 
o teorema é 
EXEMPLO VIU.S: Mostre que a série 
apesar de 
"'O. 
1 l l l l 1 1 l 
::::l+-+-+···+->-+-+-+···+-=n·-=~ ~ oo 
~ -J3 ~ - ~ ~ ~ ~ ~ 1'400 • 
estas encontram-se as 
n=I 
se 
mesma sucessão 
EXEMPLO VHI.9: Mostre que 
n=I fl 2 +n 
é uma série de .cn,,u;.;vu, obtenha uma ex1pressa.o finita para a sucessão das somas "ª'"'1.ª"" e calcule 
a soma da série. 
a =-~=-~~=----, 
n n2 + n + n n l 
554 
l 
=1--. 
n+l 
Então a soma dia série é 
+ 
EXEMPLO VIH.to: Mostre que 
IR IR" 
u == -
n n 
+ 
e k = L 
+···+ 
= 1. • 
+l) 
l 
+ 
é uma série de •. i, . .,1.,v .. , obtenha uma ""'',,.."""""" finita para a sucessão das somas ,,~.v·~w e calcule 
a soma da série. 
A A l 1/2 1/2 
=-----::::>A=-::::> -----
+l) n-1 n+l 2 n-1 n+ l' 
a série dada é dle com 
li 2 
k:::: 2. e = ªn +az + ··· + + + 
n-1 
= + + + .. ·+ + 
1 1 112 112 l l 3 
+-----
4 n n+ 
=-+-=-.• 
2 4 4 
---------------·-------------------------·--····-~-~ 
verificamos que no caso 
E 
Os .,,..V'"'v k termos são constantes relativamente a e os k úH:imos termos são termos da 
mesma 
S = Hm = u1 + u2 + · · · + - k · 
11-4"" 
resulta: 
n==l 
Neste caso, a soma da série é 
S = u1 + u2 + · .. + uk - k · 
n-;.= 
Como 
e lntegrnl em IR e IR" 
4 A 
a=-------
n 
= O a série converge. 
A 
-----~A=l 
+3) , 
e k= 2. 
s = ul + u2 - 2 = ul + u2 = n + = i! . 
11-7<>0 
é uma com ma:is de dois factores no deno-
..,v,,..,-,,,., escrever an na forma un -
Ú maior e na que TPW'l1CP<,Pffrn Un+k todos OS '°"'°''V''-"· PYCºF'Tilm 0 menor. 
É o caso também da alínea g). 
e) 
1 
a= =---~-, 
n n2 + 2n - 3 n -1 n + 3 
=U -
n 
1 
com u = -- e k = 4. 
n n-1 
Como ex:iste Hm u n = O a série converge e tem soma 
Como 
n->= 
n-->= 
S = u1 + u2 + u3 + u 4 - 4 = u1 + u2 + u3 + u 4 = 1 + t + t + i. 
= +oo, a série 
n->oo 
n2 
a=------
n n-1 n 
n2 
u =-- e k=l. 
n n-1 
e) 
g) 
Como 
Como existe 
2n+l l l 
n2 
u =- e k=l. 
n n2 
= O, a série converge e tem soma S = u1 = 1. 
A A 1 
--~=----=:>A=-, 
n n+p p 
1/ 
e k=p. u 
n n 
= O a série converge e tem soma 
S=u1 +u2 + 00 ·+ -p· =u1 +u2 + 00 ·+ 
n-Jooo 
a série é de LU,;U,.,,VU com ufi = 
Como existe 
a =--------
" 
Tem-se 
e k = 1. 
A 
1 
A,;;;;:---· 
p-1' 
+ 
1 l 
+-+ .. ·+ 
p 2 
A 
l11tegml em 1R lRJ] 
---
1 
u = --·---------
" -1 
Como existe = O, a série converge e tem soma 
a = 
n 
= ln~n- e k = 1. 
n+l 
EXEMPLO vm:.12: Mostre que 
p-l 1.2 .. 
n n+l 
----=1n---
l 
+-+ 
n3 
n+l n+2 
= 1. 
l 
n 
-1) 
"'l-lim-1-=l. t 
n--toon-1 
termos 
as 
com ;;::: O. 
n=I 
Na se termos não 
teorema 
co 00 00 
= se 
n=l 11=1 n=I 
com :2:0. 
= + + + 
que 
= + com ~O, 
VIII.4 
00 ao 
e 
n=l n=I 
que O::;; ::;; Então: 
00 00 ao 
:::::> e :::::> 
n=I n=I n=I n=l 
Deste e teorema 
e e d, que 
então as são mesma natureza. 
Se =€,então: 
00 00 
a) .e for e não nulo, as e b 
n 
são mesma natureza. 
1'=1 n=l 
00 00 
Se .e= +oo, então se é 
n=l n=l 
00 00 
.e= O, então se convergente, é convergente. 
n=I n=I 
Se .e e não 
< > 
com e = JJ, - e e d = JJ, + e. 
Se-€= então >o, < 
,e = O, então >O, n>p => 
Nestes casos a 
EXEMPLO VIH,13: Estude a natureza das séries de termos 
1 
a =-
n n! 
d = 
+2n+3 
n n3 +4n 
l ' 
e) 
b 
l 
=-
n n3 
2 + (-l)n 
e 
n n3 
1 1 
- ::õ;--, 'v'n eIN 
n! 2n-l 
e a série de termo -- e co1rrvi::~rg1~nt1e, por ser l'ó'""'u" ... 
2n-l 
de co1mp1an1çào a série dadaconverge. 
duas séries têm a mesma natureza. 
e) Para a< 1, tem-se 
1 1 
-:S;-
n nª 
e como se provou no .,,.,,u11vn.1 
de con1pairac~io 
5n2 +2n+3 
n 
finito e* O, a série dada 
teorema 
e) 
1 
e =- < n n"' 
f) J:=l+n. 
n n2" 
de razão 1/z então critério 
as 
e l11tegrnl em :IR :IR" 
----- -~~~~~--~~-~~~-~~~-~ 
e) 
3 
---::;;-, 
n3 n3 
+ 
l+n 
= 1, 
2" 
que a série converge. + 
= e I = 
II 
k=I 
a mesma natureza. 
notar 
::;; I ::;; 
n 
termo n--a, são por 
Estamos agora em crn1011co<:;s a sua natureza 
-1 
---- sea:t:l 
1-a 
I = x-ª = 
li 
se a= 1 
Tem-se que 
é O, se a > 1, é + oo se < 1 e =oo, 
então o eé 
comas que: 
EXEMPLO VUt14: Estude natureza séries de termos 
a = 
n +2n+3 
de séries é indicado o uso do 2.º critério de .... 01m111,:iiri1 ... ~ 
uma série de com um a tal que, se o limite do 
finito e diferente de zero. Para determinar o a nestas 1.0u.uuJtvu·c:s, 
como é feito nos exercícios ""''"''"'"""· 
sucessão 
a série dada com 
das 
Como no numerador o maior exrmente de n é 1/z e o denominador tem grau 2, esta 1racc210 é da 
ordem de então faz-se 
que é finito e ;t;, O, as séries têm a mesma natureza. Como 
é uma série de Dirichlet com 
O numerador tem grau 1 h e o denominador grau é da ordem de n-3• 
= l 
que é finito e :;t O. Como é uma série de Dirichlet com a> 1, a série dada é co1rrvçirn:1ente. 
n=l n3 
lnn 
e) 
n2 
00 1 
Como é uma série de Dirichkt com 
n=l n2 
uma termos não 
n=l 
Se 3 r < l, que, a certa se tem 
::; r, então 
n=l 
a certa se tem 
a = 
.......!!±L ~ 1, então 
n=I 
uma 
n=! 
vos, que 
3lim ªn+l 
Se 1, então converge. 
l'l=l 
l, ou I+, então 
n=l 
EXEMPLO VllU5: Estude a natureza das séries: 
e) > 
b) 
e) 
Como 
Neste caso 
e3" n + 2 
--~ · --- = lim--- = "° > 1 =:. série 
n--+= e3n+3 + n--+= e3 
n--+oo a 
n 
2 1 ' ' =-< ::::::;> sene 
+ 1)7 7 
n" 
n!k" 
+ 1) 
n--+oo 
n" k 
e 
a 
se k = e, Hm -11±.L = i+ ::::::;> série cll\1er1~erae. 
n--7= a 
n 
1 3 
=-ou-
ª 4 5' 
n 
consoante n é par ou 
que não se 
::;; r, 
a 
n 
VIU.10 
3 r< 1, que, a 
a certa 
±i , a 
f hm-1l±L, 
n--+oo a 
n 
o critério de D' Alembert Mas critério da 
3 1 ' ' com r = - < , a sene converge. t 
5 
E 
uma termos não 
n=I 
certa se tem :S: r, então 
n=I 
se tem ;;::: l, então 
11=1 
como 
integrnl em IR e IR" 
·~~~~~~~~~-
uma termos não 
rn=I 
< 1, então > 1, então 
uma te1mos não 
1, então converge. 
n=I 
1, ou 1+, então 
n=l 
EXEMPLO VH1Jl6: Estude a natureza das séries: 
de 
2 1 1 
e) =--~=-ou-
4 3' 
consoante n é par ou 
que não se o critério de critério da como 
::;; r, E comr = t < 1, 
a série converge. t 
natureza. 
n~o 
sse 
uma a =0. 
EXEMPLO VIH,17: Estude a natureza das séries: 
e Para a = 1, a série diz-se série harmónica alternada. 
e) 
Se a> O, = Hm J_ = O, sendo neste caso - 1-
n--+00 n ª nª 
a série converge. 
Se ::;;o, a série 
a série converge. 
e) =Hm-1-=0 
n--+= 3n + l , 3n+l 3n+ 1 
sendo ª" que a série converge. 
1C 
2 sen-
1. n rc 1. n 2 2n 2 0 , . 
= im--sen-"" im------ = -;t => senedr~·eri~er1te. 
n--+oo n--+oo n + l 2n n--too n + 1 n: 1C n: 
2n 
série sse mas 
n;O 
As séries 
são ""''"'"·"'"4'""""""' convergentes se a > 1, são ri1"'"''°'"'"'114't"'"' para a < O e são sm1p1es]nente 
c011venze:nte:s. para O < a < L 
A é: 
tem-se 
e) 
nn 
sen-
4 
n=l 3n2 +n 
= (- l)"{n2 + 1) + cos(n2 ) 
n=l 
n2 
Comecemos por estudar a série dos '""~m .... .,, reri;i;er1te, a série dada também 
os critérios para séries de termos não o é e, além 
a série dos módulos é 
Como a série de termo 
=lim~5-= O< l, 
n-->= n+2 
1 
~-~<---
3n2 +n - 3n2 +n 
3n2 +n 
e) 
hltegrnl em IR e mn 
----
.,v.,uµ'""''"'"·" com bn = então a série dos módulos é con-
a série dada é absolutamente "'"'"'"'"º"'"'t"' 
1 
~------""<--
3n+l ~ +l 
Como a série de termo 
3n+l 
o 2.º critério de cmno:1rai;ao com bn = 
dos módulos. Como 
então a série 
l 
2 Jn+l 
e 
o seu termo 
nada se concluir à série 
que a série dada é sm1p~es-
00 
!1=0 
o seu tenno não 
n=O 
S= -f+t-t+t-i+t-t-··· 
= o+t+o-t+o+t+o-t+ ... 
f s = 1 +t-t+t+t-t ... , 
00 00 
e 
n=O n=O 
como 
série 
n=O 
o nome 
que 
uma 
resto 
n=O 
+ 
termo 
termo e" é soma os i + j = n. 
00 
e 
n=O n=O 
então a 
soma uma 
= ª1 + + ... + 
cometemos um erro 
=S- = + +··· 
n. 
que S = lim 
razão ou 
+ +···= + 
k < 1, 
k 
se a sucessão 
Logo temos 
a 
então 
ostennos sucessão 
se a sucessão tenno 
k= 
+k+ +···)= 
erro, 
< an+I 
-1-k' 
<e. 
1-k 
1 
1-k 
raiz ou o k< e 
esta sucessão então 
se sucessão 
+ + 
a 
11=0 
erro 
as 
Is-
Há outra causa 
IR e IR11 
k= 
+ 
erro, 
~-<E. 
1-k 
+ 
ao tomarmos S "" 
----•v•=-~~-==~-~-----~----
"U'"'"'"'' a e. Ora o erro que se comete escrevemos 
a 
5x 1 
ter n 
n 
2· 
e n e 
<- e ---<-. 
1-k 2 2· 2 
00 1 
com < 10-2. 
1 1 l 1 
= --- = O < l; como ~- ~ - ,_.v·~~"-'"" tomar k = - . 
a n+l n+l 2 2 
n 
s 
<-<:::;~~~-
0.01 2 1 
--<:::>---<~- <:::> + >400on;::: 5. 
1-k 2 1-t 2 + 200 
Por outro tomando n = 5, 
n e 5 1 
--< - <::::> ---~- < --- <::::> p ;::: 3. 
2· 2 2· 200 
= 3 e n = 5, temos 
l 
- ""l + 0.5 + 0.167 + 0.042 + 0.008 = 1.717 .• 
n! 
e lntegrnl em IR IRn 
EXEMPLO VIH.20: Calcule um valor 
O critério de 
a série converge 
Tomando n = 2, 
1 1 
= =- sen 
[4+(-1)"]2 9' 
l 
ou-, se n par. 
25 
mas como 
critério da raiz. Para determinar n e p ""'"''""""" tomar k == t; 
não é porque não existe Hmite de 
f 1 l 
--< - ~ --< - {::::> 9" > 25 Ç:? n :2': 2. 
1 - k 2 8 . 9" 200 
n e 2 l 
--< - <=> --< - Ç:? p;;:: 3. 
2. 2 2. 200 
tomando p = 3, 
= l 2 1 
2::----,,,-+-=0.113. • 
+(-1)"]2" 32 54 líl.=l 
EXEMPLO VIH.21: Calcule um se toma a soma da série 
> 1), 
a 
EXEMPLO VIH.22: 
:::;t< 1, 
l Is- ~ {:=7 --- < --~ n + l > 100 q n > 99. 
10000 
Devemos tomar com 99 termos. + 
VHI.23: Estude 
7 
n=3 n2 +3n-10 
e) + 1)-
n=l 
e) 
n=l 
VHI.24: Estude 
e) 
n=l 
l 
tg-. 
2n 
= 1 +cu:; n 
e) 
n=l 
1 
--arcsen~. 
n=l n 2 + 3 n 
VIII.25: Estude 
à natureza as 
(t) 
à natureza as 
à natureza as 
Para o cálculo do Hmite de 
séries e, se calcule a soma: 
+ 1) +1)-n 
n=l 
usando o critério de 
= 1 
n=l n 
-~). 
usando o critério de d' Afombert: 
11+21+ + ... 
3 32 
3n 
n=l n! + l 
recorde que uv = evlnu. 
lntegrnl em IR m.ri 
VHI.26: Estude à natureza as usando o critério de 
+ 
e) 
e) + 
+,.. 
11: 
, coma;t:,-. 
2 
1 2k 3k 
b) -+~· +-+··· 
2 22 23 
00 
( l 1 l+-+ 2 
•=' \ n n 
VIII,27: Cakule o limite das sucessões: 
n" 
VIll,28: Mostre que se 
VHl,29: 
n=O 
e) 
00 el/n 
então 
a+b 
--< 
2 
""""'"'"que as séries que se seguem são "'"''"'"''""''"t'>Q usando o critério da 
critério de d' Alembert. 
b) 2-n-(-l)". 
n=l 
b) 
Para o cálculo do Hmite de recorde que uv =e vlnn. 
mas que 
VHI,31: Detennine se são absolutamente ou 
b 
lnn 
a == = 
n n 
n n 
e) 
n 
e == == 
TI 1 +3" +l) 
e) 
2" 
i = e == 
n n n 
VIH.32: Mostre que a série 
+ 
é apesar de ser alternada e o seu termo tender para zero. Por que razão este facto 
não contradiz o critério de Leibniz? 
vm:.33: 
Mostre que a série 
n=2 
Considere 
Mostre que a série a é 
n 
a = 
n n 
e b = 
n n2 
n=l n=] 
ri.=1 
VIU.34: Estude 
a =n~ 
n 
+ i) sen~. 
n2 
à cm1ve:rg(lncm as séries de termo 
b = n 
l 
d =cos~. 
" n! 
n=2 
b. é absolutamente co1!1v<~rg,ente, mas 
2" + n3 
n! 
VHl.35: Calcule a soma de: 
e l11tegrnl em IR IRKI 
2n + senn 
4n 
j) jn = 1 + 
n 
termos iniciais devem ser considerados para com erro inferior 
a um vafor da soma das séries que se seguem. ainda o menor número de 
casas decimais que cada termo deve ter. 
~ n! 
n=l nº 
VHl.25: 
VI:H.27: 
b) 
b) 
e) 
b) 
b) 
e) 
nn/2 
n=l 
b) O. 
n+l 
n=l 
5n 
e) 
e) 
VU:UO: São 
VIH,35: 1. 
VHI.36: 
ver·ger1tes as séries das alíneas 
,,,.,.e"""''"' a série da alínea 
cmwe:rgçmü~s as séries das alíneas 
b) 
c3 +e 
b) n:e::5,p;::>:3. 
Le) n;;:: 3,p;;:: 3. 
usar 
----·-----------
num xcom 
nesse ou 
>0, EIN: 'v'n E n>p=? 
num 
os 
EXEMPLO VIU.37: Prove que são pv'·"'·"'·'"""-' 
=xn, 
xn 
=-,para 
n 
seO::s;x<l 
= 0, X E l]. 
Para x E [O, l [, há que provar que 
v a> o, 
xe[O,l]. 
el!N: 'ifn > p ::::> jxnj < ô. 
sse 
<8. 
sse o 
lnô 
< Ó <:=> Xn < Ó <:::> Il ln X < ln O <::::> 11 > --
ln X 
lnx <O, parax e[O, 
basta tomar 
Provemos que 
'if 8 >O, 
lnô 
>-~­
- lnx 
E JIN: 'ifn > p =? 
n 
<15. 
em 
Parax E 
outro as 
que 
Hm 
n->= 
emx = 1, 
não ser 
= 
= 1. = 
ou 
sex e [, 
e =O, se x e [l 
X 
=O, "dx. E 
1 
>~ • 
- {j 
sucessão 
se x e [l 
e Integral IR e IRn 
~~~~~~~~·~~~~~· 
=0= VxE l]. 
n_.= 
tem-se 
=1~1, 
n_.= 
que 
dx =O, ou lim J: dx:;t dx. 
n-+oo n-+oo 
n=O 
num I, com sse 
>0, <Ó. 
uma sucessão 
00 
EI e converge, 
11=0 
então 
é uniformemente 
Trata-se duma série de 
n=O 52n 
com a< 25. 
X 
de razão r ==-, 
52 
X 
-E 
52 l[ <=>-25 < < com soma 
será uniforme em I sse 
'\18>0, 
mas este processo não é 
basta-nos tomar 
a" 
52n' 
> O: Vx E I, Vn > p => 
== 
k=O 52k 
a série 
n=O 
~ 25 
1- 25-x 
<Ô. 
são expressas nos teoremas: 
n=O 
I= no 
L 
as tu11tço1~s 
e lntegml em IR e mn 
~~~~~~~~~-
para cada x E ] 
Como 
teorema VIH. 18, 
I= no 
n=O 
em I, então 
n=O 
cakule a soma da série 
= x" 
n=O 52n 
com soma 
25 
= 
têm 
no intervalo I, tem-se 
::::-25 -xJ+c. 
Tomando x = O em ambos os resulta o =~25 ln 25 +e=? e= 25 ln 25 .• 
e calcule a sua soma. 
intervalo que contenha a 
com razão 
l 
r=~~e 
1 +x2 
a série é e a soma é 
Como a série é de termos não a "'"""''~n;;,,, 
A soma existe em IR e é definida por sex;:tO e 
é descontínua emx =O. Como cada termo da série é uma contínua em 
fosse uni.forme num intervalo que contivesse a a soma teria de ser -.,v11uu.ua, 
VHL 18 o que não se verifica. + 
EXEMPLO VIUI.41: Mostre que 
2x + cos 4x_ +~os 6x + .. ·) dx = O. 
1·3 3.5 5.7 
I: 
em IR e IR~ 
Pode fazer-se a 
l 
11------1 < --- = 
- 4n2 -1 
n=l 4n2 -1 
critério de 
VIII.11: 
é emque =l/52nea""O. 
r= 
com 
= 
Por outro como para lx - ai > r, se tem 
1, 
então a x =a± r, se 
e usar o 
< tomar = 
n=O 
ser O, outro 
para lx ~ ai > r, "'""'"'"'"' 
L .. ,~ ... ~~, rm:1:1t:1cand~J, os valores reais de x para os as séries convergem 
em que 
b) 
2"x" 
Ili=] -1)! 
e) 
llll=2 
3"x" 
e) 
11~0 n3 + 2 
l o n+ l 
im-~= 
n->~ n + 2 
< l ::::::> 
é 1. Estudemos a série nos extremos 
do intervalo. Para x = 1, a série é 
e) 
critério de Leibniz. Mas a série módulos 
que é uma série 
a série 
. 1 3n+1 x•+l n3 + 21 
=hm = 
n->oo (n + + 2 3" x" 
com 
n=l 
Hm~=O< 
n3 +2 
Hm----
emx= 1 con-
Para lxl > 1, 
é infinito. 
por compa-
a série 
Embora esta série não da forma considerada é ainda urna série de ""'""""1"' 
de em vez de (x - por isso usar o mesmo método. 
<:::> ~ 1 < 2x ~ 3 < l <:::> 2 < 2x < 4 q 1 < x < 2. 
A série converge absolutamente em ] 1, O raio de é 1 h. Para x = 2, a série 
é por com a série harmónica. Para x = 1, a série é 
XE a série 
l11tegra! em IR mn 
e) 
EXEMPLO VIH.43: Usando o ~~~'"'P'v 
série 
n=O 
·~~~~~~~~~~~~~~~~· 
n--+oo n 
isto é, só converge para x"" 2. • 
= x" 
n=O 52n 
-r, a+ r[ e nesse 
e a somada 
dle acordo com o teorema ante-
e tem 
numa 
a= O, a Mac-Laurin. 
n vezes numa então 
é 
= com t E 
I= a 
Então a XEL 
o 
= senx. 
= 1, 'v'n E IN. 
a fórmula de Mac-Laurin 
n~o n! 
é 
determine o '°"'"""'''tn.rn 
dada nesse intervalo: 
Determinemos o intervalo de 
= lxlHm-1- =O, 'v'x EIR 
•->oo n + 1 
A série construída é ""'"'"''""""1·"' em todo o IR. 
então escrever-se 
= 
a fórmula de 
'""''~'""''"'"'',rn ex, V x E IR. Como 
e' 
=-x" 
' ' n. n->oo 
e' 
= Hm-x" =O, \lx E 
O-+OO n! 
x2 x3 xn 
e"= l+x+-+-+ ··· +-+ ··· \::lx e IR. 
2! 3! n! ' 
""COSX = + = 1; 
=O 
+ =L 
só tem termos de ordem e escreve-se 
Então é válido: 
urn.'-AlLV,, que 0 intervalo de ""'"'~,,·~<'~ 
usando o teorema VII12 l: 
= +nn: / < = M. 
x2 x4 
COS X = 1- - + - - · · · + 
2! 4! 
l 2 3 --=1-x+x -x +···+ 
I+x 
como no caso 
+···, '\lxe l[. 
teorema VIII.18 escrever-se 
as 
x2 x3 x4 
+ xl =X - - + - - - + · · · + 
2 3 4 
x" 
-+ ···, '\lx E 
n 
X3 XS X2n-I 
.. ,.---,=2x+2-+2-+···+2--+ .. ., '\lxe 
3 5 2n- l 
(1 + escrever-se 
I 2 4 6 --=1-x +x -x + 00 ·+ + ·· 'lfx E 
1 +x2 
IR 
Pelo teorema VIII.18 escrever-se 
x3 xs 
x::::x~-+-~···+ 
3 5 
(1 + 
E e 
VIH.45: Mostre que a série 
é uniformemente 
VIDA6: Considere a série 
Determine os valores de x para os 
--+···,'VXE 
2n+l 
n! 
a 
+···, VxE 
Newton. 
soma 
que a série não é uniforraemente ""'"'"'""'"'""' em nenhum intervalo que contenha o zero. 
a série 
l[. 
VUIAJ7: Determine o intervalo de ~A·'"'"vr,,:',ª.:~,,,,..v'•~ e estude a natureza da série nos extremos do inter­
valo de: 
e) 
------·----.. ----------~-
e) 
n=I Il2 - fl 
2" 
VIH.48: converge 
00 2" + n 
~-(x-
n=1 3n 
e calcule a soma da série no extremo do seu intervalo de 
+ 1) 
Mostre que a série 
00 x2n+l 
2:-----
n=O l · 3' 5 · ... ' + l) 
que a sua soma, satisfaz a diferencial 
= 1 
e que verifica 
lntegrnl em IR e IRn 
·-----· -----··-. -·-~--·~-
sh \;:/x eIR cosh E 
e) (1 + = + , 'ifx E 
n=O 
(l + =l+ , 'rfx E 
VUI.53: Obtenha o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 
1 
=2x+~~ 
2+x' 
indicando o maior intervalo aberto no 
de (x - indicando o maior intervalo abe110 no 
VIII.55: Obtenha os desenvolvimentos em série de Mac-Laurin de: 
(1 arcsenx = e) (l + 
VHI.56: Usando o desenvolvimento em série de Mac-Laurin de ex deduza a fórmula de Euler 
eiY = cosy + i seny. 
com erro menor que 0.001. 
vm:.58: Cakule 
---·--~---------- -------------- -- - ---~, 
VIH.59: Usando um desenvolvimento em 
com 3 casas decimais exactas, 
e) ln 2, com em inferior a O, L 
com 3 casas decimais exactas, 
aberto no 
VHIAl6: x > - 1/z; =x+ l. 
vm:.47: l [, ] 1, 
e) [-1, 
VHl.48: 
VIH.49: r= S= 
VIH.50: r = 1; 
v:m.53: 
v:m.54: 
VIH.55: 
arcsen x == x + 
e) 
l 
=l+ 
IR 
=L 
+ 
+ 000
, para lx < 1. 
+ <l 
+ooo 
VHI.57: 0.862. 
VIH.58: 1/3 - li 42 + li 1320 - 1 /75600. 
VIII.59: 0.541. 1.6487. e) 1-l/2+1/3-1/4+···+1/10. 
VUl!.60: XE IR. 
e usa-se a 
aderência 84 
376 
área duma 
de linhas 
volumes de sólidos de 
35 
B 
banda de Mõbius 381 
bola 83 
Ck 112 
campo 
central 163 
com fluxo conservativo 163 
com fontes 163 
conservativo 348 
de 
eléctrico 74 
escalar 71 
newtoniano 
poço 163 
solenoidal 162 
348 
349 
3 368 
315 
vectorial 71 
campo de 463 
centro de massa 3 
334 
circunferência 51 
continua 484 
cónicas 50 
aberto 84 
conexo 85 
derivado 84 
desconexo 85 
fechado 84 
limitado 84 
numerável 244 
contínua 
coordenadas 
cartesianas 64 
ciHndricas 66 
esféricas 67 
64 
483 
correntes estacionárias 373 
cosenos directores 1 O l 
Critério 559 
368 
da raiz 565 
da razão 564 
de 
de "'""'"'"'"" 1 º 559 
de corno21raç:ão, 2° 560 
de D' Alembert 564 
de Leibniz 567 
de Weierstrass 584 
do 562 
curva orientada 331 
D 
derivada 
inversa 23 
de ordem n 20 
direccional 13 7 
104 
de 2.ª ordem l 
derivadas 
cruzadas 11 O 
mistas 110 
110 
95 
diferenciabfüdade 116 
132 
diferencial l 149 
diferencial exacta 433 
diferenciável 149 
•AH<UH<<>V suficiente 122 
154 
dinâmica duma !JVIYl.UUl,;QCV 413 
distância 83 
1ve1~ger~c1a 162 
domínio 75 
"""'"'"''"~uwu•~ conexo 3 51 
sm1p11;srr1en1te conexo 348 
58 
envolvente 469 
da continuidade 163 
de 168 
v\,!llav'"' diferencial 393 
de Bernoulli 454 
de ordem n 491 
de variáveis "'"'..-'"n'""" 
exacta 433 
grau 398 
fiOJDO!~eni~a 419 
redutível a 429 
506 
505 
428 
de coeficientes constantes 505 
de coefidentes variáveis 532 
existência e unicidade 506 
529 
linear de 1. ª ordem 
ordem 394 
redutíveis à Lª ordem 
re~;o11!lc210 numérica 487 
método de Euler 488 
método de 490 
491 
existênciae unicidade 491 
unicidade 478 
teoria 461 
eaiil!a(:ao diferencial de derivadas ,,~·~·~·~ 
400 
"'·l''ª""'"''"' diferenciais ordinárias 398 
estacionaridade 185 
exterior dum 83 
extremante 183 
extremos 
com 194 
condicionados 194 
livres 183 
factor inJ-am·~n·><> 
fecho 84 
fluxo 373 
densidade de 373 
forma 
definida 187 
187 
187 
indefinida 187 
semidefinida 187 
448 
fórmula de 
resto 25 
178 
resto 180 
resto de ordem n 26 
resto de Peano 180 
216 
fronteira dum 
auxHiar 103 
circular 10 
classe Ck 112 
con:mm:ta 22 
côncava 32 
condnuanum 
convexa 32 
coordenada 72 
descontinua 14 
de Lª 
de 2.ª 
14 
14 
diferenciável 118 
harmónica 168 
hon!logt§nea 419 
2,35 
35 
83 
14 
indefinidamente diferenciável 21 
inversa 3 
invertível 2, 174 
localmente 
3 
483 
por continuidade 14 
arg eh 10 
arg sh 10 
cosecante 11 
coseno 9 
seno 9 
secante 11 
are cos 8 
are sen 8 
are tg 8 
coseno 5 
seno 5 
""'"'5"''""' 7 
funções coordenadas 72 
ti"'"'"1''3 c harmónicas 168 
funções racionais 216 
216 
433 
gráfico 78 
51 
347 
'"~'>r~~,_';.,,.~w de l folha 59 
vv''""'" de duas folhas 60 
por 260 
por 
misto 263 
261 
261 
""""'"'""'"'"'j-"' 263 
,i;U,ô~~<>~•= 263 
indefinido 250 
inferior 239 
dum campo escalar 334 
dum campo vectorial 342 
UU'ld]9A<U de 374 
interior dum 83 
intervalo máximo de definição 484 
inversa 175 
irrotacional 166 
J 
149 
L 
168 
148 
limites 
iterados 88 
linha 331 
88 
de Jordan 331, 350 
de nível 78 
recti.ficável 
331 
333 
linhas coordenadas 358 
483 
massa 3 
matriz 
derivada 149 
hessiana 
162 
368 
190 
matriz Wronskiana 511 
maximizante 
absoluto 183 
local 183 
máximo 
absoluto 30, 183, 187 
focal 190 
em sentido estrito 30 
em sentido lato 30 
minimizante 
absoluto 183 
focal 183 
mínimo 
191 
3 368 
coordenadas cilíndricas 312 
coordenadas esféricas 324 
coordenadas 310 
tra1msfi:im1aç1ões lineares 308 
nabla 137 
norma 83 
diferencial 
162 
137 
ldlJJl<:ll,;l<:lHU 168 
rotacional 165 
507 
órbitas 461 
461 
vu1;;;1uay<1CV COnSIStente 384 
onentaca10 induzida 383 
mais fina 23 8 
norma 286 
refinar 
55 
363 
3 334 
359 
aderente 84 
de 84 
de estacionaridade 
de :inflexão 32 
de sela 191 
exterior 83 
:fronteiro 83 
interior 83 
isolado 84 
uma 
185 
de mumoJlicklade k 330 
extremidade 330 
330 
462 
473 
+>"'''""'"'ºracionais 216 
imediatas 207 
por 206 
por 208 
por recorrência 211 
aritméticas 545 
recta 55 
222 
recta normal 139 
recta 17 
do 
do 
l 286 
2 286 
regra da cadeia 132 
de Barrow 255 
de Leibnitz 21 
resto de 180 
resto de ordem n 572 
resto de Peano 180 
retrato de fase 461 
rotacional 165 
sela 191 
série 545 
absolutamente ""'""''°"'"'"'''" 568 
alternada 567 
{UH;'<"Y'<>PntP 546 
de Dirichlet 562 
de 553 
de 588 
niu,"'"°''"''" 546 
geométrica 54 7 
harmónica 547 
harmónica alternada 567 
soma 545 
soma 
589 
sucessão das somas 546 
termo 545 
série binomial 596 
série de .jo;,,~,n;{,M 
[JU!.!~Ui:!.HUlam; 582 
uniformemente 584 
- ..... - ... ~-········· -··--·------·-· --·--
série de Mac Laurin 593 
593 
~u1rnpj.es1ne1neconexo 
solenoidal 162 
soma de Darboux 
inferior 238 
'"'"'"'°'",. 238 
435 
soma de Riemann 3 334 
sub-normal 459 
sucessão de 551 
356 
área 368 
bordo 357 
de 373 
fechada 358 
massa 368 
359 
orientável 381 
359 
367 
358 
356 
357 
seccionalmente 358 
cónica 59 
de niíveli 79 
esférica 58 
·---- ---~--·~-~,~~ 
Teorema 
da inversa 174 
de Fubini 315 
de Gauss ou da rinuw·~"~·~'­
de Green 350 
de Schwarz 109 
de Stokes 382 
de Weierstrass l 
do valor médio 
existência e unicidade 483 
fórmula de Mac-Laurin 26 
fórmula de 179 
315 
fundamental do Cálculo 252 
método dos mutmrmc;adcrre~ de 
trabalho 341 
trai1ictó1:ia 329 
de classe C1 330 
fechada 330 
330 
secdonalmente 330 
valor médio 303 
valor 191 
vector 64 
vector elemento de área 3 7 4 
vector fundamental 358 
Wronskiano 511 
195 
Bibliografia 
AGUDO, Dias, Cálculo Diferencial e Integral em IRº, I e II, Escolar Editora, Lisboa, 1972 e 1973. 
APOSTOL, Tom, Calculus, I e II, Blaisdell, Massachusetts, 1969. 
BoYCE, w. E. AND DIPRIMA, R. e., Calculus, John Wiley & Sons, Inc, 1988. 
BRAUN, M., Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag,1979. 
CAMPOS FERREIRA, J ., Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 
1987. 
G!RALDES, E., FERNANDES, V. H., e SANTOS, M. H., Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-
-Hill, Lisboa, 1994. 
KREvszrG, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, Inc, 1988. 
LIVESLEY, R. K., Mathematical Methods for Engineers, John Wiley & Sons, 1989. 
MAGALHÃES, Luís T., Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Editora, Lisboa, 1993. 
MAGALHÃES, Luís T., Integrais Múltiplos, Texto Editora, Lisboa, 1993. 
MARSDEN, J. AND WEINSTEIN, A., Calculus, vol. 1, II e III, Springer-Verlag, 1985. 
SILVA, J. CARVALHO E, Princípios de Análise Matemática Aplicada, McGraw-Hill, Lisboa, 1994. 
TAYLOR, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Massachusetts, 1972. 
	Blank Page