Material de Resistência dos Materiais I (etapa 3)

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Resistência dos Materiais I 
Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 
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CAPÍTULO 05 
 
CISALHAMENTO EM VIGAS 
No capítulo anterior demonstramos as equações que determinam o valor da tensão normal que 
surge na seção transversal de uma viga quando submetida a um carregamento de flexão. 
No estudo das tensões normais em vigas adotamos a hipótese de Bernoulli (as seções planas de 
uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão) e, 
a partir dessa suposição verificamos que o momento fletor produz tensões normais 
 
linearmente 
distribuídas sobre a seção analisada (hipótese de Navier). 
Nesse capítulo, faremos uma demonstração das equações que determinam o valor da tensão 
cisalhante que surgem em uma viga submetida a um carregamento de flexão. 
5.1. Tensão cisalhante em um plano horizontal 
Seja a viga em balanço da Fig. 37 submetida a uma força vertical P. 
 
Fig. 37. Tensão cisalhante em vigas. 
Analisando um elemento de face ABCD da viga, verificamos que o mesmo está submetido a 
esforços normais causados devido à flexão. 
Na seção vertical que passa por AC a tensão normal é determinada por: 
 
I
y.x.P
I
y.MAC
AC
 
Eq. 31.
 
Tensão longitudinal em uma 
viga em balanço. 
Já na seção vertical que passa por BD a tensão normal é determinada por: 
 
I
y).dxx.(P
I
y.MBD
BD
 
Eq. 32.
 
Tensão longitudinal em uma 
viga em balanço. 
As tensões AC e BD geram forças opostas como apresentadas abaixo. 
 
Fig. 38. Análise de tensão cisalhante em vigas. 
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As forças determinadas por AC e BD podem ser calculadas da seguinte maneira: 
BD 
y
y
BD
y
y
BD
y
y
BDBD dA.yI
MdA
I
y.MdAF
111
 
AC 
y
y
AC
y
y
AC
y
y
ACAC dA.yI
MdA
I
y.MdAF
111
 
De acordo com as Eq. 32 e Eq. 31 AC < BD, logo FAC 
 
FBD e, para o equilíbrio horizontal da 
face ABCD da viga, deverá existir uma força horizontal H. Dessa maneira temos a seguinte equação de 
equilíbrio na horizontal: 
H = FBD - FAC .: 
y
y
ACBD
y
y
AC
y
y
BD dA.y
I
)MM(dA.y
I
MdA.y
I
MH
111 
Para valores infinitesimais dx o momento irá variar valores infinitesimais dM. Dessa maneira, 
para o caso demonstrado, a variação do momento (MBD MAC) é igual a dM=Vdx 3. Então: 
 
y
y
y
y
dA.y
I
dx.VdA.y
I
dMH
11
.: dx.
I
Q.VH
 
Eq. 33.
 
Força horizontal na flexão de 
uma viga em balanço. 
A integral 
y
y
dA.y
1
, indicado por Q na Eq. 33, representa o momento estático em relação a LN. 
Vale lembrar que 
y
y
y
y
dA.ydA.y
11
. 
Para determinarmos a tensão cisalhante no plano horizontal basta dividir H área de cisalhamento 
dx.t. 
 
t.I
Q.V
dx.t
H
h
 
Eq. 34.
 
Tensão cisalhante horizontal na 
flexão de uma viga em balanço. 
Onde: 
h= tensão cisalhante no plano horizontal localizado a uma distancia y1 da linha neutra. 
V= força cortante na seção transversal. 
Q= momento estático da área limitada pela distância y1 da linha neutra. 
I = momento de inércia da área total da seção. 
t= largura da seção no ponto onde se deseja determinar . 
Observação: 
- h será máximo no plano que contem a linha neutra. 
- A tenção cisalhante vertical v é igual h. Isso garante o equilíbrio do elemento. 
 
Fig. 39. v é igual h 
 
 
3
 Relação entre a força cortante e o momento fletor. 
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Exercício Resolvido 18 
A seção transversal de uma viga construída com um perfil retangular, como 
mostrado na figura, está sujeita a uma força cortante V = 20kN. Determine o valor 
da tensão tangencial nos pontos B C e D nessa seção. 
Solução: 
V= 20.000N 
4
33
000450
12
3020
12
m,
,.,bhI
 
t=0,2m 
Determinação de Q 
Em B
 
 QB = 0,1075.0,2.0,075= 0,0016 m3
 
Em C
 
 QC = 0,075.0,2.0,15= 0,0023 m3
 
Em D
 
QD = 0,0375.0,2.0,225= 0,0016 m3
 
Determinação de 
 
kPa,
,.,
,.
t.I
Q.V B
B 5635520000450
0016020000
 
kPa,
,.,
,.
t.I
Q.V B
C 1151120000450
0023020000
 = ( máx na altura da linha neutra) 
kPa,
,.,
,.
t.I
Q.V B
D 5635520000450
0016020000
 
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Exercício Proposto 57 
A viga com seção transversal mostrada na figura está sujeita a um esforço 
cortante V = 15 kN. Determine o valor da tensão de cisalhamento nos 
pontos A e B. 
Resposta: 1,99 MPa e 1,65 MPa 
Exercício Proposto 58 
Para a viga mostrada na figura, determine: a) a tensão tangencial no ponto B da seção transversal a-a; 
b) a tensão tangencial máxima na seção a-a. 
Resposta: 4,41 MPa e 4,85 MPa 
Exercício Proposto 59 
A viga T mostrada na figura abaixo está sujeita ao carregamento indicado. Determine a tensão de 
cisalhamento máxima nesta viga. 
Resposta: 14,7 MPa. 
 
5.2. Vigas Compostas 
A Fig. 40 ilustra três tipos de vigas compostas. A primeira é uma viga-caixão de seção 
transversal quadrada formada por quatro placas de madeira presas por pregos, parafusos ou cola. A 
segunda é uma viga formada por três chapas de aço soldadas e a última é formada por dois perfis U 
reforçada por duas chapas presas por rebites. 
 
Fig. 40. Vigas compostas 
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As tensões na viga composta são calculadas normalmente, supondo que as partes estejam 
rigidamente ligadas, de maneira que ela se comporte como uma viga única. 
O papel da força H (Eq. 34) em uma viga fletida é garantir a colaboração das partes da seção 
separadas por um corte imaginário, evitando o deslizamento relativo dos elementos separados pelo 
corte. No caso das vigas compostas, em que as partes são unidas por pregos, parafusos ou rebites, o 
papel da força H é desempenhado por forças discretas transmitidas pelos elementos de fixação. 
Para resolução de problemas que envolvem vigas compostas geralmente utilizamos o conceito 
de fluxo de cisalhamento (q). Esse fluxo a quantidade de força por unidade de comprimento, ou seja: 
 
I
Q.Vq
dx
dx.
I
Q.V
dx
Hq
 
Eq. 35.
 
Fluxo cisalhante horizontal. 
O valor do momento estático deve ser identificado corretamente para que o fluxo de 
cisalhamento corresponda realmente ao que ocorre na junção que está sendo analisada. Nas seções 
transversais mostradas na figura abaixo, as partes destacadas com hachuras são unidas à viga por 
elementos de fixação. Nos planos do acoplamento, o valor do momento estático Q é calculado 
multiplicando-se a área destacada pela distância y do centróide até a linha neutra (LN) da seção. 
 
Fig. 41. Momento estático em vigas compostas 
Convém observar que o valor de q será resistido por um único elemento de fixação no caso da 
Fig. 41a, por dois elementos nas Fig. 41b e Fig. 41c e por três na Fig. 41d. Em outras palavras, o 
elemento de fixação na Fig. 41a suporta o valor calculado de q, em Fig. 41b e Fig. 41c cada elemento de 
fixação suporta q/2 e na Fig. 41d q/3. 
Exercício Resolvido 19 
A seção t ransversal de um a viga é composta de quat ro 
tábuas coladas conform e m ost ra a figura 7a. Supondo que 
ela esteja subm et ida à força cortante V = 850 kN, 
determinar o fluxo de cisalham ento em B e C que deve ser 
resistido pela cola. 
Solução: 
 
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Determinação do centróidea partir da parte inferior da viga (medidas em cm): 
 
Determinação do momento de inércia em torno da linha neutra 
 
Cálculo dos momentos estáticos das áreas hachuradas 
 
Como existem duas faces de união para prender cada tábua, a cola deve ser suficientemente 
forte para resistir a metade do fluxo de cisalhamento calculados para B-B e C-C . Assim temos 
os fluxos de cisalhamento em B e C: 
 
Exercício Proposto 60 
Um a viga é const ruída pela colagem de t rês peças de plást ico com o m ost rado. Se para o 
plástico adm = 800 psi e sabendo que a cola pode resist ir até 250 lb/ in, determ inar o valor 
admissível para a carga distribuída w. 
Resposta: 177 lb/ft 
Exercício Proposto 61 
A viga m ost rada na figura é const ruída com duas 
pranchas de m adeira unidas por duas filas de 
pregos, afastados ent re si por 6 in. Se cada prego 
pode suportar um a força cortante de 500 lb, 
determ ine a m áxim a força cortante V que pode 
atuar nesta viga. 
Resposta: 444 lb 
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CAPÍTULO 06 
 
ESTADO DE TENSÕES 
Durante todo o curso buscamos determinar as tensões normais e cisalhantes correspondentes 
aos mais diversos tipos de solicitações. No quadro a seguir apresentamos o resumo do que foi até então 
demonstrado: 
Quadro 5. Carregamento x Tensão. 
Carregamento Tensão Normal Tensão Cisalhante 
Força Axial (F) 
A
F
m
 
--- 
Torção em eixos (T) --- 
J
c.T
 
Flexão em vigas(M) 
I
c.M
 
--- 
Força Cortante em vigas (V) --- 
t.I
Q.V
 
Relembrando um pouco mais sobre o que foi apresentado durante o curso, no capítulo 01 
demonstramos que um carregamento axial pode gerar tensões cisalhantes em planos não 
perpendiculares ao carregamento axial. Nesse capítulo, estudaremos os efeitos das tensões normais e 
cisalhantes em planos oblíquos; transformação de tensões. 
6.1. Estado geral de tensões 
Desde o estudo da Estática, realizado na disciplina de Mecânica dos Sólidos I, vimos que para 
manter um corpo rígido em equilíbrio seria necessária a existência de carregamentos externos capazes 
de atuar sobre os seis graus de liberdade do elemento. 
Na figura abaixo ilustramos um cubo elementar submetido a um estado geral de tensões. De 
acordo com a figura, para a manutenção do equilíbrio, deveram existir três componentes ( x, y e z) 
normais e três componentes tangenciais ( xy= yx, xz= zx e yz= zy). 
 
Fig. 42. Estado geral de tensões. 
6.2. Estado plano de tensões 
Diferente da figura anteriormente apresentado, na Fig. 43 duas faces do cubo elementar se 
encontram isentas de tensões, ou seja, xz= zx= yz= zy= z= 0. Nessa condição dizemos que o elemento 
está submetido ao estado plano de tensões. 
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Fig. 43. Estado plano de tensões. 
Nos capítulos anteriores estudamos diversas estruturas submetidas ao estado plano de tensões, 
mas, nos limitamos à análise das seções transversais. Por exemplo, no estudo de vigas e eixos 
estudamos apenas as tensões em uma seção transversal. Em alguns casos a tensões principais 
(tensões máximas) encontra-se em seções inclinadas do elemento. 
Para analisarmos as seções inclinadas de um elemento submetido a um estado plano de 
tensões apresentamos a figura abaixo: 
 
Fig. 44. Transformações de tensões. 
Conhecendo as tenções externas ( x, y e xy= yx= ), o equilíbrio nas direções dos eixos x e y
 
do elemento triangular, limitado pela seção inclinada de área A, será estabelecido pelas seguintes 
equações: 
cos.Asen.sen.Asen.sen.cosA.cos.cosA.A'.F yx'x 0 
22 2 sensen.cos.cos.' yx
 
Eq. 36.
 
Tensão normal 
em um plano 
inclinado. 
sen.Asen.cos.Asen.cos.cosA.sen.cosA.A'.F yx'y 0 
)sen.(coscos.sen).(' yx 22
 
Eq. 37.
 
Tensão 
cisalhante em 
um plano 
inclinado.
 
Identidades trigonométricas: 
2
21
2
212
2
2 2222 coscos;cossen;cossencos;sencos.sen
 
Aplicando as identidades trigonométricas acima nas Eq. 36 e Eq. 37, obtemos: 
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22
22
sen.cos.'
yxyx
 
Eq. 38.
 
Tensão normal transformada em um plano inclinado. 
22
2
cos.sen'
yx
 
Eq. 39.
 
Tensão cisalhante transforma em um plano inclinado.
 
As Eq. 38 e Eq. 39 representam as leis de transformação de tensões em um estado plano de tensão. 
Exercício Resolvido 20 
Duas peças de madeira de seção transversal uniforme de 90 x 150 mm são coladas uma a outra em um 
entalhe inclinado. A tensão admissível de cisalhamento da cola é de 483,33 kPa. Determine a maior 
carga axial P que pode ser aplicada sem que as peças se soltem. 
 
Solução: 
O elemento encontra-se sob estado uniaxial de tensões com ilustrado abaixo. 
 
Assim, 
0y 103348370210150902
22
2 6
.,).(sen)...(
P
cos.sen'
yx P = 20,30kN 
6.2.1. Circulo de Mohr 
As equações Eq. 38 e Eq. 39 que representam as leis de transformação de um estado plano de 
tensão podem ser representadas graficamente de modo muito conveniente; Circulo de Mohr. 
Transpondo para o primeiro membro da Eq. 38 o termo ( x+ y)/2 elevando, em seguida, ao 
quadrado os dois membros da equação e elevando ao quadrado os dois membros da Eq. 39, somando 
os membros das duas equações vamos ter: 
22
22
22
sen.cos.'
yxyx 
+ 
2
2 22
2
cos.sen'
yx 
2
2
2
2
22
yxyx
'' 
Eq. 40.
 
Dedução do círculo de Mohr.
 
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Fazendo agora, 
2
yx
med
 
e 
2
2
2
yxR
, podemos reescrever a 
Eq. 40 da seguinte forma: 
222 0 R'' med
 
Eq. 41.
 
Equação do círculo de Mohr.
 
A equação Eq. 41 representa a equação de uma circunferência de raio R com centro no ponto de 
abscissa med e ordenada 0 (zero). 
Abaixo encontra-se a representação gráfica da equação Eq. 41. 
 
Fig. 45. Círculo de Mohr. 
Está construção gráfica foi apresentada pela primeira vez pelo engenheiro alemão Otto Mohr, em 
1882, e é chamada de Círculo de Mohr. 
6.2.2. Tensões e planos principais 
Os pontos A e B em que a circunferência intercepta o eixo horizontal (Fig. 45) tem um aspecto 
especial. O ponto A corresponde ao máximo valor da tensão normal (tensão normal principal) de 
 
enquanto o ponto B corresponde ao menor valor dessa tensão. Ao mesmo tempo, os dois pontos 
correspondem a um valor nulo de tensão cisalhante . Nos pontos D e E do círculo de Mohr a tensão 
cisalhante atinge o seu máximo valor (tensão cisalhante principal). 
De acordo com Fig. 45, temos: 
2
2
22
yxyx
médmáx R
 
Eq. 42.
 
Tensão normal máxima.
 
2
2
22
yxyx
médmín R 
Eq. 43.
 
Tensão normal mínima.
 
2
2
2
yx
máx R 
Eq. 44.
 
Tensão cisalhante máxima.
 
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correspondente ao ângulo formado pelo plano principal(onde ocorre máx) e o eixo x (referencial 
para determinação da tensão x). 
yx
tg 22 Eq. 45.
 
Ângulo principal de tensão.
 
Exercício Proposto 62 
Determinar, para cada um dos estados de tensões representados, a tensão normal e a tensão de 
cisalhamento que atuam em um plano paralelo à linha a-a. 
 
Resposta: a)-1,17 MPa e 35,19 MPa; b) 17,86 MPa e 50,3 MPa; c) -64,50 MPa e 7,40 MPa. 
Exercício Proposto 63 
Determinar, para cada um dos estados de tensão abaixo representados: 
a orientação dos planos principais; 
as tensões principais; 
a máxima tensão de cisalhamento; 
a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento; 
atensão normal associada à tensão máxima de cisalhamento. 
Resposta: 
a) 18,52
o 
e 108,52
o
; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42
o 
e 63,57
o
; -2,5 MPa; 
b) 18,4
o 
e 108,4
o
; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6
o 
e 63,4
o
; +82,75 MPa; 
c) -37
o 
e 53
o
; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8
o 
e 98
o
; -100 MPa; 
d) -31
o 
e 59
o
; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14
o 
e 104
o
; -40MPa.) 
Exercício Proposto 64 
Várias forças são aplicadas ao tubo mostrado na figura. Sabendo-se 
que o tubo tem diâmetro, interno e externo, de 40 mm e 48 mm, 
respectivamente, determine as tensões normal e de cisalhamento 
no: 
a) ponto H, com lados paralelos aos eixos x e z; 
b) ponto K, com lados paralelos aos eixos x e y; 
c) os planos principais e as tensões principais relativas ao ponto K e H.