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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Operações na forma trigonométrica dos números complexos Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/livros/liv009.gif A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de De Moivre. As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma algébrica e efetue os cálculos. Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Todo complexo não-nulo z = a + bi pode ser escrito em função de seu módulo e de seu argumento principal α. FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO cos α = a ⇒ a = cos α sen α = b ⇒ b = sen α z = a + b.i ⇒ z = cos α + sen α . i Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Sejam dados dois números z e w tais que: Vejamos o que acontece quando fazemos z.w: MULTIPLICAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na forma trigonométrica: O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS: O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS: |z.w| = rs = |z|.|w| arg(z.w) = α + β = arg(z) + arg(w) http://www.fotosdahora.com.br/gifs_animados/gifs/16Objetos//lampada_ideia.gif Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Exemplo 1 Observação: O produto de n números complexos z1 z2 ...zn ,pode ser generalizado por: Calcule z1 . z2. Dados os números: Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Determine o produto de z = 2(cos 112 + i sen 112) por w = 3(cos 68 + i sen 68). z.w = 2.3 [cos (112 + 68) + i sen (112 + 68)] z.w = 6 (cos 180 + i sen 180) z.w = 6 (–1 + 0i) z.w = –6 Exemplo 2 Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Qual o produto de x = 4(cos 80 + i sen 80) por y = cos 40 + i sen 40? x.y = 4.1 [cos (80 + 40) + i sen (80 + 40)] x.y = 4 (cos 120 + i sen 120) x.y = 4 3 2 –1 2 + i. x.y = –2 + 23 i Exemplo 3 Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Vejamos o que acontece quando fazemos z/w: DIVISÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Sendo dados dois números z e w tais que: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS: O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS ARGUMENTOS: |z/w| = r/s = |z|/|w| arg(z/w) = α – β = arg(z) – arg(w) Conclusão: na multiplicação de z e w na forma trigonométrica: http://www.fotosdahora.com.br/gifs_animados/gifs/16Objetos//lampada_ideia.gif Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Exemplo 1 Resolução: Calcule z1/z2 e z1.z2.z3. Sejam os números complexos: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos 11 Determine o quociente na divisão de z = 6(cos 20 + i sen 20) por w = 3(cos 65 + i sen 65). z/w = 6/3 [cos (20 – 65) + i sen (20 – 65)] z/w = 2 [(cos (–45) + i sen (– 45)] z/w = 2 (cos 315 + i sen 315) z/w = 2 2 2 2 2 – i. z/w = 2 – 2 i Exemplo 2 Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos POTENCIAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 1ª Fórmula de De Moivre Vamos primeiro lembrar que: Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Deste modo, sendo dado um número z: Para calcularmos zn fazemos: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Conclusão: na potenciação de dois números z e w na forma trigonométrica: O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO: O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE PELO ARGUMENTO: http://www.fotosdahora.com.br/gifs_animados/gifs/16Objetos//lampada_ideia.gif |zk| = rk = |z|k arg(zk) = k.α = k . arg(z) Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Dado z = 2(cos30 + isen30), obtenha a forma trigonométrica de z3. Resolução: Exemplo 1 Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos 15 Calcule z5 onde z = 2 + 2i3. Logo: Exemplo 2 Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Se z = 2(cos 15 + i sen 15), calcular z6. z6 = 26 [cos (6.15) + i sen (6.15)] z6 = 64 (cos 90 + i sen 90) z6 = 64 (0 + i) z6 = 64i z6 = 64i Exemplo 3 Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Pela fórmula de De Moivre, calcular (1 – i)–9. Vamos escrever z = 1 – i na forma trigonométrica. z = 1 – i ⇒ a = 1 e b = –1 r = |z| = a2 + b2 = (1)2 + (–1)2 = 2 ⇒ arg(z) = α = 315 –2 sen α = b r = –1 2 = 2 2 cos α = a r = 1 2 = 2 Exemplo 4 Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações naforma trigonométrica dos números complexos Pela fórmula de De Moivre, z–9 = (2 )–9[cos (–9.315) + i sen (–9.315)] z–9 = 2.2–5[cos (–2 835) + i sen (–2 835)] 2 z–9 = (cos 45 + i sen 45) 32 z–9 = 2 2 2 2 + i. 2 32 z–9 = 1 32 1 32 + i z = 2(cos 315 + i sen 315) Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z. Se considerarmos: wk = |wk|(cos 0 + isen 0) Então de wkn = z, teremos wk|n[cos(no) + isen (n0)] = |z|(cos + i sen) Se os ângulos são dados em radianos, RADICIAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 2ª Fórmula de De Moivre Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Onde k = 0, 1, ..., (n - 1) Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z 0, a saber, encontradas por meio expressão: wk = |wk|(cos 0 + isen 0) No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que: O módulo de cada uma das raízes é a raiz do módulo; O argumento de cada uma das raízes é o quociente do argumento, escrito na sua forma geral, pelo índice da raiz. Neste caso, devemos atribuir valores para k a fim de obtermos valores particulares para as raízes. Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Calcular as raízes cúbicas de 8. Exemplo 1 Resolução: Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2 Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que: |z| = 8, n=3, = 0. Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de Argand-Gauss. 2 3 -1 -3 Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Observações: 3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( = 0) e o argumento das demais é 120 e 240, pois 360/3 = 120; 4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss um polígono regular de n lados. 2 3 -1 -3 1. Perceba que quando representamos no plano de Argand-Gauss as raízes n-ésimas de z, os afixos destas raízes representarão pontos da circunferência trigonométrica; 2. Perceba ainda que basta achar o argumento da 1ª raiz (para k = 0), as demais posicionam-se a 360/n graus uma da outra; Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Exemplo 2 Determine as raízes cúbicas de . Resolução: Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos EXERCÍCIOS http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para trabalhar operações com números complexos na forma trigonométrica. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos REFERÊNCIAS Sites: http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.html http://www.colegioweb.com.br/numeros-complexos/operacoes-na-forma-trigonometrica.html Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002. Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 06/10/2015 ‹nº› Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos ) sen . i (cos z a + a r = ( ) a a isen z z + = cos ( ) b b isen w w + = cos ( ) ( ) b b a a isen w isen z w z + × + = × cos cos ( ) ( ) b b a a isen isen w z w z + × + × = × cos cos ( ) b a b a a b b a sen sen i isen isen w z w z 2 cos cos cos cos + + + × = × ( ) ( ) i sen sen sen sen w z w z b a a b b a b a cos cos cos cos + + - × = × ( ) ( ) [ ] b a b a + + + × = × isen w z w z cos ÷ ø ö ç è æ + = ÷ ø ö ç è æ + = 3 3 cos 3 6 6 cos 2 2 1 p p p p isen z e isen z [ ] ) ... ( ) ... cos( ... . ... . 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n isen z z z q q q q q q r r r + + + + + + + = ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ + + ÷ ø ö ç è æ + = 3 6 3 6 cos 3 . 2 2 1 p p p p sen i z z ÷ ø ö ç è æ + = 2 2 cos 6 2 1 p p isen z z ( ) ( ) b + b a + a = isen cos w isen cos z w z ( ) ( ) ( ) ( ) b - b b + b b - b a + a = isen cos . isen cos w isen cos . isen cos z w z ( ) ( ) [ ] ( ) b + b a b - b a + b a + b a = 2 2 sen cos w cos . sen cos . sen . i sen . sen cos . cos z w z ) ( isen ) cos( w z w z b - a + b - a = ( ) ( ) [ ] ° + ° + ° + ° + ° + ° = 150 30 240 150 30 240 2 1 6 3 2 1 isen cos . . z z z ( ) ( ) ï î ï í ì ° + ° = ° + ° = ° + ° = 150 150 2 30 30 240 240 6 3 2 1 isen cos z isen cos z isen cos z ( ) ( ) [ ] isen cos z z ° - ° + ° - ° = 30 240 30 240 1 6 2 1 [ ] sen210 i cos210 6 z z ° + ° = 2 1 ( ) ° + ° = 420 420 12 3 2 1 isen cos z z z ( ) ° + ° = 60 60 12 3 2 1 isen cos z z z L z z z z z z z n × × × × × = ( ) ( ) ( ) L a a a a a a isen z isen z isen z z n + × + × + = cos cos cos ( ) ( ) ( ) L L + + + + + + + = a a a a a a isen z z n n cos ( ) ( ) ( ) a a × + × = n isen n z z n n cos ( ) ° + ° = 30 3 30 3 2 3 3 . isen . cos z ) isen .(cos z ° + ° = 90 90 8 3 i z 8 3 = ) . i ( z 1 0 8 3 + = 4 3 . 4 4 | | = + = z ( ) ° + ° = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = + = 60 60 4 2 3 2 1 4 3 2 2 isen cos i i z ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - = × + × = 2 3 2 1 1024 º 60 5 º 60 5 cos 4 5 5 i isen z i z 3 512 512 5 - = z w w z n k k n = Û = Z k , k , k n e z w n k Î ³ p × ± q = q = 0 2 0 n k e z w n k p q q 2 0 × ± = = ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ × + + ÷ ø ö ç è æ × + × = = i n k sen n k z w z n k n p q p q 2 2 cos 8 0 8 2 2 = + = z 0 8 0 1 8 8 = = = q = = = q z b sen z a cos ( ) 0 0 cos 8 0 sen i z + = = e logo, q ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ × + + ÷ ø ö ç è æ × + × = = i k sen k w k 3 2 0 3 2 0 cos 8 8 3 8 p p [ ] ( ) 2 0 1 2 0 0 cos 8 0 3 0 = × + = + × = Þ = i i sen w k i i i sen w k 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 cos 8 1 3 1 + - = ÷ ÷ ø ö ç ç èæ + - = ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ × = Þ = p p i i i sen w k 3 1 2 3 2 1 2 3 4 3 4 cos 8 2 3 2 - - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ × = Þ = p p ( ) 0 , 2 2 0 0 w w Þ = ( ) 3 , 1 3 1 1 1 - Þ + - = w i w ( ) 3 , 1 3 1 2 2 - - Þ - - = w i w 1 1 1 sen , 0 1 0 cos e 1 1 ) 1 ( 0 | | 2 2 - = - = = = = = - + = Þ - = q q z i z i - 2 3 2 0 p = q Þ p < q £ Como 2 3 2 3 p + p = sen i cos z to tan Por : Portanto 2. ou 1 , 0 3 Como = Þ = k n i sen i cos sen i cos w k - = p + p = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ p + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ p = Þ = 2 2 3 2 3 3 2 3 0 0 ÷ ø ö ç è æ - + - = + = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + = Þ = 2 1 2 3 6 7 sen 6 7 cos 3 2 2 3 sen 3 2 2 3 cos 1 1 i i i w k p p p p p p ÷ ø ö ç è æ - + = + = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + = Þ = 2 1 2 3 6 11 sen 6 11 cos 3 4 2 3 sen 3 4 2 3 cos 2 2 i i i w k p p p p p p . 2 2 1 Ache - 1 10 ÷ ø ö ç è æ + i . 3 1 e 3 sendo Determine - 2 i w i z zw + = + = . de quartas raízes as Determine - 3 i - . 1 de quadradas raízes as Determine - 4 i - 7 e) 14 d) 24 c) 36 b) 48 a) : é c de valor o , 14 ) ( que tais positivos inteiros números são , , Se (Vunesp) - 5 2 i bi a c c b a - + =
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