EP 10 MF 1 2006 TUTOR Gabarito

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
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1 
Matemática Financeira – EP 10 –Gabarito 
 
1) Uma financeira concede a uma empresa um financiamento no valor 100.000,00 R$ 
a uma taxa de juros nominal de % 30 ao ano.. O prazo da operação é de 24 meses. 
A financeira apresenta as seguintes alternativas de pagamento: 
 a) 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, acontecendo o primeiro 30 dias após 
 o inicio do empréstimo. 
b) 08 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos, acontecendo o primeiro 90 dias 
 após o início do empréstimo; 
c) 20 pagamentos mensais, iguais, com carência de 4 meses; 
 Calcular o valor das prestações para cada proposta de pagamento. 
Solução: 
Em todos os itens, temos séries de pagamento cujo valor na data zero é igual 
a 100.000,00 com 24 meses de duração. A taxa de juros de % 30 ao ano é nominal, 
portanto proporcional ao período de capitalização das séries. Como em cada item esses 
períodos são diferentes, temos então que a taxa efetiva em cada item será diferente. 
a) Nesse item o período de capitalização é mensal , pois os termos são mensais. Como 
1 ano = 12 meses, temos então que a taxa efetiva mensal será dada por 
 % 5,2
12
30
==i . Temos então uma série uniforme modelo básico em que o primeiro 
termo mensal R acontece um mês após o inicio do empréstimo, logo o valor atual da 
série é 100.000,00=P , % 5,2=i ao mês e 24=n meses. 
Sabemos que ( )niFVPRP ; ×= , portanto 
( ) ( )24 %; 5,2 
00,000.10024 %; 5,2 00,000.100
FVP
RFVPR =⇒×= . 
 
 
 
 
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2 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; tem-se que 
( ) 884986,1724 %; 5,2 ≅FVP e portanto 28,591.5
884986,17
00,000.100
≅⇒= RR . 
b) Nesse item o período de capitalização é trimestral e como 1 ano = 4 trimestres, 
então a taxa efetiva trimestral será dada por % 5,7
4
30
==i . Portanto temos uma 
série uniforme modelo básico em que o primeiro termo trimestral R acontece um 
trimestre após o inicio do empréstimo, logo o valor atual da série é 
100.000,00=P , % 5,7=i ao trimestre e 8=n trimestres . 
Sabemos que ( )niFVPRP ; ×= , portanto: 
( ) ( )8 %; 5,7 
00,000.1008 %; 5,7 00,000.100
FVP
RFVPR =⇒×= . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; tem-se que 
( ) 857304,58 %; 5,7 ≅FVP e portanto 70,072.17
857304,5
00,000.100
≅⇒= RR . 
c) Nesse item o período de capitalização é mensal e como 1 ano = 12 meses, então que 
a taxa efetiva mensal será dada por % 5,2
12
30
==i .Nesse caso, tendo em vista a 
carência de 4 meses, temos uma série uniforme de 20 pagamentos mensais modelo 
básico, em que o primeiro pagamento dar-se-á no mês 5. 
O diagrama abaixo, representa a série de pagamentos desse item; 
 00,000.100 =P 4P 
 
 R R R.......... R . .R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7..........23 24 
 
 
 
 
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3 
 
 O valor atual desta série estará referido no mês 4 e será determinado pela capitalização 
do valor inicial 00,000.1000 =P no período 4 (mês 4) considerando a taxa da 
operação. 
Portanto, chamando de 4P este valor , teremos que: 
( ) 29,381.110440,0251 00,000.1004 ≅⇒+= PP , este portanto será o valor que será 
distribuído numa série uniforme de 20=n termos mensais, considerando a taxa efetiva 
de % 5,2=i ao mês, logo: 
( ) ( )20 %; 2,5 
29,381.11020 %; 2,5 29,381.110
FVP
RFVPR =⇒×= . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; tem-se que 
( ) 589162,1520 %; 5,2 ≅FVP e portanto 64,080.7
589162,15
29,381.110
≅⇒= RR . 
Resposta: 





7.080,64 R$ c)
 17.072,70 R$ b)
5.591,28 R$ a)
 
 
 
2) Uma pessoa, precisando comprar seus móveis e não dispondo de recursos, abriu um 
crediário em uma loja, no valor de 3.000,00 R$ . Por esta compra irá pagar 
mensalmente 24 prestações, iguais e sucessivas, realizando o primeiro pagamento 
daqui a 4 meses.. Sabendo-se que a loja pratica uma taxa de juros nominal de % 36 
ao ano, determine o valor das prestações. 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
 
Solução: 
A taxa de juros de % 36 ao ano é nominal, portanto proporcional ao período de 
capitalização da série que é mensal, logo a taxa efetiva mensal da operação será dada 
por % 3
12
36
==i . 
Neste problema, temos uma série de pagamentos uniforme de 24 termos mensais com o 
primeiro pagamento dar-se-á no mês 4, o que equivale a uma carência de 3 meses. Logo 
o valor atual dessa série estará referido no mês 3 e será determinado pela capitalização 
do valor inicial 00,000.30 =P período 3 (mês 3), considerando a taxa efetiva mensal 
da operação. 
 O diagrama abaixo, representa a série de pagamentos desse problema; 
 
 00,000.30 =P 3P 
 
 R R.................R R R 
 
 
 0 2 3 4 5...............28 29 30 (meses) 
Denotando por 3P o valor atual da série, temos que: 
( ) 3.278,18330,031 3.000,003 ≅⇒+= PP , este portanto será o valor que será 
distribuído numa série uniforme de 24=n termos mensais, considerando a taxa efetiva 
de % 3=i ao mês, logo: 
( ) ( )24 %; 3 
29,381.11024 %; 3 3.278,18
FVP
RFVPR =⇒×= . 
 
 
 
 
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Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; tem-se que 
( ) 935542,1624 %; 3 ≅FVP e portanto 14,177935542,16
00,000.3
≅⇒= RR . 
 
Resp.: R$ 177,14 
 
 
3) Qual é a prestação mensal na compra de um carro cujo preço a vista é de R$ 
15.000,00? Considerar o prazo de 24 meses e a taxa de % 25,8 ao quadrimestre. 
Solução: 000150 .=P 
 R R R ......................R 
 
 
 0 1 2 3............................24 (meses) 
Neste problema, a taxa dada é de % 25,8 ao quadrimestre e o período da anuidade é 
mensal, logo a taxa efetiva da operação será a taxa mensal i equivalente a taxa dada . 
Como 1 quadrimestre = 4 meses, então ( ) ( )10825,0141 +=+ i ⇒ ⇒=+ 4 0825,11 i 
02,01020016,1 ≅⇒−= ii ao mês ou % 2=i ao mês. Temos então que: 
( ) ( )24 %; 2 
00,000.1524 %; 2 00,000.15
FVP
RFVPR =⇒×= . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; tem-se que 
( ) 913926,1824 %; 2 ≅FVP e portanto 07,793
913926,18
00,000.15
≅⇒= RR . 
 
Resp.: R$ 793,07 
 
 
 
 
 
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4) No plano de vendas de uma casa consta uma entrada de 20.000,00 R$ mais 60 
prestações mensais de 75,178.1 R$ , juntamente com 10 prestações semestrais de 
06,627.3 R$ . Determine o preço à vista da casa, sabendo-se que a taxa de juros 
nominal da operação é de 20,25 % ao ano. 
Solução: 
Neste problema, temos uma série de pagamentos constituída de 60 pagamentos mensais 
iguais e sucessivos de 1.000,00 intercalados por 10 pagamentos semestrais de 
3.000,00 e queremos determinar o valor desses pagamentos no período zero. 
Denotaremos esse valor por 0P . 
O fluxo abaixo, representa a seqüência de pagamentos desse problema. 
 
 
 0P 
 06,627.3 06,627.3 06,627.3 06,627.3 
 . 
 75,178.1 ............................................................................ 75,178.1 ........... 75,178.1 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 .......... ..12 13 ............... 54 .......................60 (m) 
 
Podemos dividir esses pagamentos em duas séries de pagamentos modelo básico: 
a) A primeira com 60 termos mensais de 75,178.1 e valor atual P′ . 
 P′ 
 
 75,178.1 ............................................... 75,178.1 
 
 
 
 
 0 1 2 3 ......................59 60 (meses) 
O fluxo acima representa os termos dessa série. 
 
 
 
 
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Por outro lado, a taxa de taxa de juros de % 25,20 ao ano é nominal, portanto 
proporcional ao período de capitalização da série que nesse caso é mensal, logo a taxa 
efetiva mensal da operação será dada por % 2,1
12
20,25
==i . Temos então que: 
( )60 %; 2,1 75,178.1 FVPP ×=′ . 
Utilizando a equação ( )
i
niFVP
−+−
=
11
, tem-se que ( ) 934319,3360 %; 2,1 ≅FVP e 
portanto 00,000.4033.934319 75,178.1 ≅′⇒×=′ PP 
b) a segunda com 10 termos semestrais de 06,627.3 e valor atual P ′′ . 
P ′′ 
 
 
 06,627.3 06,627.3 06,627.3 06,627.3 
 
 
 
 
 0 1 2 3.........................10 (semestres) 
 
O fluxo acima representa os termos dessa série. 
Como os termos dessa série são semestrais e a taxa dada é nominal, então nesse caso a 
taxa efetiva semestral será dada por % 2,601
2
20,25
==i . Temos então que: 
( )10 %; 12,60 06,627.3 FVPP ×=′′ . 
Utilizando a equação ( )
i
niFVP
−+−
=
11
, tem-se que ( ) 514110,510 %; 12,60 ≅FVP e 
portanto 00,000.205,514110 06,627.3 ≅′′⇒×=′′ PP . 
Portanto, o valor atual dessa seqüência de pagamentos, isto é, o valor financiado, será 
dado por PPP ′′+′=0 , ou seja, 00,000.60000,000.2000,000.400 =⇒+= PP . 
Como no plano de vendas consta uma entrada de 20.000,00, então o valor a vista da 
casa será de 00,000.8000,000.2000,000.60 =+ . 
Resposta: R$ 80.000,00 
 
 
 
 
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8 
 
5) Uma pessoa abre uma conta depositando 15.000,00 R$ em uma instituição financeira 
que paga 2 % ao mês sobre o saldo credor. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, 
retira R$ 7.000,00. Nos dois meses seguintes faz dois depósitos, o primeiro de 
 1.000,00 R$ e o segundo de R$ 2.000,00. Trinta dias após o último depósito, o 
correntista efetua um saque de R$ 5.000,00. Qual o saldo desta conta, um ano após 
sua abertura? 
Solução: 
Podemos representar este problema através de um diagrama onde as setas para cima 
representam os depósitos e as setas para baixo os saques, esses conjuntos de capitais 
tem que ser equivalentes quando considerada a taxa de 2 % ao mês. 
 
 15.000,00 
 
 2.000,00 
 
 1.000,00 
 
 0 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 (meses) 
 
 5.000,00 
 7.000,00 
 
Chamando de x o saldo no mês 12 e considerando a data 12 como data focal, então 
( ) ( )
( ) ( ) ( )302,100,000.2402,100,000.11202,100,000.15
202,100,000.5502,100,000.7
×+×+×=
=×+×+x
⇒ 
91,297.957,930.1248,228.22 =⇒−= xx 
Resp.: R$ 9.927,91