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Matemática Básica Aula 4 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
1 
 
 
Aula 8 
Função afim 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre a noção de matemática que lida com sequências de valores de variação 
constante. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
• conhecer a noção de sequência de números reais; 
• conhecer a noção de progressão aritmética; 
• saber determinar os elementos de uma progressão aritmética; 
• conhecer e saber aplicar a fórmula da soma de uma progressão aritmética. 
 
 
 
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Função Afim 
 Uma função afim é uma função do tipo f : � → �, com f(x) = ax + b, onde a, b 
∈ � são constantes pré fixadas. Apesar da simplicidade desta função, ela é bastante 
importante no estudo geral das funções, além de modelar vários problemas práticos. 
 Podemos começar o estudo de uma função afim pela descrição do seu gráfico. A 
representação gráfica no plano cartesiano R2 da função afim coincide com a 
representação de uma reta no plano. Isto é, o conjunto {(x, y) ∈ �2 | y = ax + b} 
marcado no plano R2 forma uma reta. 
 
 
 y = ax + b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Você pode verificar esta afirmação sobre o gráfico da função afim estudando 
algumas equações e representando-as numa folha quadriculada. Ou, pode verificar em 
algum programa matemático como fica o gráfico de alguns exemplos. Um programa 
bom para isto é o GeoGebra. Veja, por exemplo, a figura obtida neste programa para o 
gráfico da função dada por y = −3x + 1. 
 
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 Na análise gráfica da função afim, podemos verificar que os coeficientes a e b 
têm um papel na definição do aspecto do gráfico. A saber, o coeficiente a mede a 
inclinação da reta com relação ao eixo x, enquanto que o coeficiente b marca o ponto 
onde a reta corta o eixo y. 
 
 a > 0 a < 0 a = 0 
 
 
 
 
 
 
 b 
 
 
 
 
 
Observação: O coeficiente a é chamado coeficiente angular e b é chamado coeficiente 
linear. 
 
Atividade 1 
a) Faça uma representação gráfica da função afim dada. Compare o aspecto do gráfico 
com os respectivos valores dos coeficientes. 
1) y = x + 1 2) y = 2x + 1 3) y = – x 4) y = 
2
1
x + 1 
5) y = x – 3 6) y = −2 7) y = x 8) y = 2x 9) y = −x + 1 
b) Nos gráficos obtidos no item anterior, marque, para cada item, a raiz da função, isto 
é, o x tal que f(x) = 0. 
c) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, o gráfico das funções dadas por f(x) 
= 
2
1
x, g(x) = 2x e h(x) = 3x. 
d) Resolva as inequações. Para analisar o sinal de cada expressão polinomial do 1º grau, 
faça um esboço bem simples do gráfico. 
a) 2x − 1 > 0 b) −x + 3 ≤ 0 c) x + 1 < 3 d) 3x − 2 < 5x +1 
e) (x − 1)(2x + 6) < 0 f) x(−3x + 1) ≥ 0 g) (x− 3)(2x + 5)(−5x + 15) >0 
h) 0
12
31
≤
+
−
x
x
 i) 0
)1)(5(
>
+−
x
xx π
 
e) Diga se é verdadeiro ou falso. 
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1) A reta y = 2x tem uma inclinação maior do que a reta y = 3x. 
2) As retas y = 4x, y = 4x − 2 e y = 4x + 15 são paralelas. 
3) As retas y = 2x + 1 e y = −5x − 2 são concorrentes. 
 
 
 Para se determinar a equação de uma função afim, f(x) = ax + b, basta conhecer 
seus valores em dois pontos, y1 = f(x1) e y2 = f(x2). Neste caso, as constantes a e b são 
determinadas pela solução do sistema 



+=
+=
baxy
baxy
22
11 . 
 
Exemplo: A relação entre y e x é uma função afim. Sabendo que y = 1, se x = −1, e y = 
−3, se x = 1, determinar a equação da função. 
 Para resolver esta questão, basta determinar a solução do sistema 



+=−
+−=
ba
ba
3
1
 
Resposta: y = –2x – 1. 
 
Atividade 2 
1) Encontre a equação da reta que contém os pontos: 
a) (0, 1) e (1, 0); 
b) (−4, −1) e (2, −1); 
c) (0, 1) e (1, 2); 
d) (0, 2) e (1, 3); 
e) (−2, −1) e (−2, 3). 
2) Encontre a equação da reta a partir dos dados fornecidos. 
a) a = 2 e a reta passa por (2, 7); 
b) b = 1 e a reta passa por (1, 0); 
c) a = −3 e y = 3 quando x = 1; 
d) a = 3 e y tem valor 8 no ponto x = −1; 
e) a reta corta o eixo y em −2 e y = 1 se x = 1; 
f) a reta intercepta o eixo x em 5 e (1, 2) pertence à reta; 
g) a reta é paralela ao eixo x e (1, 3) pertence à reta; 
h) b = 2 e y = 2 quando x = 33. 
3) Suponha que custa $15 para fabricar um determinado produto, além de uma despesa 
fixa diária de $400. Se x unidades forem produzidas por dia e y Reais for o custo 
total diário para o fabricante, determine a expressão de y como função de x. 
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4) Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo 
retângulo, de catetos medindo 10m e 20m. Determinar a fórmula da área do galpão 
em função de x dado no desenho (é preciso expressar y em função de x). 
 
 10 m y 
 x 
 20 m 
5) Determine a imagem da função f:[0,5)→R, f(x) = 3x − 1. 
6) Observe o gráfico da f a seguir e determine sua expressão. 
 
 
Taxa de variação 
 
 Um conceito importante na análise entre duas variáveis é o de taxa de variação 
média. Esta idéia é naturalmente usada para se avaliar velocidade média. Por exemplo, 
um carro que fez um percurso de 15 km em 3 h (talvez por causa do trânsito), o fez com 
uma velocidade média de 
3
15
=
∆
∆
t
d
= 5 km/h, 
onde usamos o ∆ como um símbolo para indicar variação. Ou seja, este quociente 
representa que, em média, o carro percorria 5 quilômetros por hora. Observe que esta 
ainda é uma análise pobre, pois não indica exatamente como o carro percorria todo o 
trajeto; de repente, ele ficou preso um longo tempo num determinado sinal, ou num 
momento do percurso entrou numa via expressa e imprimiu uma velocidade maior, de 
40, 60 ou até 80 km/h. Mesmo assim, esta análise pode ser interessante para, por 
exemplo, se decidir que é mais vantagem fazer o percurso de bicicleta (e, as vezes, até a 
pé). 
 
Definição: Se y está em função de x, y = f(x), o quociente 
12
12
12
12 )()(
xx
yy
xx
xfxf
x
y
−
−
=
−
−
=
∆
∆ 
é chamado a taxa de variação média de y com relação a x no intervalo de x1 a x2. 
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Observação: Note o significado dos termos envolvidos. A expressão ∆y = y2 − y1 mede a 
variação de y entre y1 e y2, e analogamente para ∆x. O quociente mede, então, a taxa 
entre estas duas variações. 
 
Exemplo: Seja y = x3 − 2x. A taxa de variação média de y de 0 a 2 é 
.2
2
4
02
)0.20()2.22( 33
==
−
−−−
=
∆
∆
x
y
 
 Ou seja, no intervalo de 0 a 2, para cada variação unitária de x, y varia em 
média 2 unidades. 
 
Exemplo: Suponha que um objeto é largado de uma torre de altura de 125m. Segundo 
as leis de Newton, o movimento do objeto é descrito pela equação 
d = v0t + 1/2gt2 ∴ d = 5t2 ( g ≈ 10 m/s2). 
Então, o objeto atinge o solo em 5 segundos e a distância percorrida a cada 
segundo é 
 t = 0 → d = 0 
 t = 1 → d = 5 
 t = 2 → d = 20 
 t = 3 → d = 45 
 t = 4 → d = 80 
 t = 5 → d = 125 
 Pelos resultados acima vê-se que, de segundo para segundo, a variação da 
distância percorrida aumenta cada vez mais (no 1o segundo: ∆y = 5m; no 2o 
segundo: ∆y = 15m; no 3o segundo: ∆y = 25m; etc.). Intuitivamente, vê-se 
que o objeto cai com uma velocidade cada vez maior. Em função destes 
dados, pode-se ver que a velocidade média, que coincide com a noção de taxa 
variação média entre d e t, é dada por 
vmed = 
05
0125
12
12
−
−
=
−
−
=
∆
∆
tt
dd
t
d
 = 25. 
 
 Como fica a taxa de variação média de uma funçãoafim? Se y e x estão 
relacionadas por y = ax + b, então 
a
xx
xxa
xx
baxbax
xx
yy
x
y
=
−
−
=
−
+−+
=
−
−
=
∆
∆
12
12
12
12
12
12 )()()( . 
Isto é, 
x
y
∆
∆
 = a. 
 
Neste caso, tem-se que a taxa de variação média de uma função afim é constante e não 
depende do intervalo de variação de x1 a x2 (compare esta observação com a situação do 
exemplo anterior). 
 Com respeito ao comentário acima, vale a seguinte 
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Proposição: A relação de dependência da variável y com relação à variável x é uma 
função afim se, e somente se, a taxa de variação média de y com relação a x em todo 
intervalo é sempre constante. 
 
Observação: Em uma função afim, y = ax + b, o coeficiente a determina a taxa de 
variação da função. 
 
Observação: Vimos na seção passada que, numa relação afim y = ax + b, o coeficiente a 
indica se a função é crescente, decrescente ou constante, dependendo de ser a > 0, a < 0 
ou a = 0, respectivamente. Com a descrição do coeficiente a como a taxa de variação da 
função, vemos agora que o coeficiente a diz mais precisamente com que rapidez y varia 
em função de x. Por exemplo, nas duas funções afins, y = 7x e y = 13x, além de 
sabermos que y varia de modo crescente nas duas equações, sabemos mais ainda: que y 
varia com mais rapidez na segunda. 
 
Aplicação: Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém os 
seguintes dados: 
 em 5 s recolhe 15 litros; 
 em 10 s recolhe 30 litros; 
 em 15 s recolhe 45 litros; 
 em 20 s recolhe 60 litros e etc. 
Calculando a taxa de variação média em cada intervalo de 5 s, por exemplo, 
encontra-se o valor constante 
x
y
∆
∆
 = 3. Assim, o melhor modelo para 
representar o fenômeno descrito é uma função afim. Pelos dados fornecidos, 
temos a = 3 e b = 0 (= f(0)), e encontramos a equação 
y = 3x. 
 
Exemplo: Só para ilustrar, pelo exemplo de queda livre visto acima, tem-se que a taxa 
de variação entre o intervalo de 0 a 1 é 
x
y
∆
∆
 = 
01
05
−
−
= 5, enquanto que a taxa 
de variação no intervalo de 1 a 2 é 
x
y
∆
∆
 = 
12
520
−
−
 
= 15. Como a taxa de 
variação não é constante, a relação entre a distância e o tempo não é uma 
função afim. De fato, já tinha sido visto que a equação da distância em 
relação ao tempo é d = 5t2. 
 
 
Atividade 3 
1) Em um lago, a pressão varia com a profundidade h de acordo com a fórmula p = 
10
1
h + 1, para h ≥ 0 (p em atmosferas e h em metros). 
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a) Construa o gráfico da pressão em função da profundidade. 
b) Qual a taxa de variação da pressão em relação à profundidade? Em que 
unidade é medida? 
c) Se descermos 20 metros a partir de um determinado ponto, de quanto varia a 
pressão? 
2) Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Uma torneira despeja água no 
tanque à razão constante de 5 litros por minuto. 
a) Qual o volume de água no tanque após 10 minutos? 
b) Qual o volume V de água no tanque após t minutos? 
c) Qual a taxa de variação de V em relação a t? Em que unidades é medida? 
3) A massa m do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t de acordo com a 
expressão m = 30 − 4t (m em Kg e t em horas). 
a) Qual a taxa de variação da massa em relação ao tempo? Interprete. 
b) Em quanto tempo o tanque perde 10 kg de oxigênio? 
4) Dada a função y = 5x2, calcule a taxa de variação média de y entre 1 e 4. 
5) Calcule a taxa de variação média de y = ax2 + bx + c entre x1 e x2. 
6) Calcule a taxa de variação média de y = b entre x1 e x2. 
 
	Então, o objeto atinge o solo em 5 segundos e a distância percorrida a cada segundo é