FGV SP - Curso de Relações Internacionais - Vestibular 2019 - Prova de Matemática

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NOME: 
LOCAL: 
IDENTIDADE: INSCRIÇÃO: 
DATA: 18/11/2018
Assinatura do Candidato: 
SALA: ORDEM: 
GRADE DE CORREÇÃO
GRADUAÇÃO RELAÇÕES INTERNACIONAIS SP | 18/11/2018
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
QUESTÃO 1 
 
 Em um saco, há 16 bolas numeradas de 1 a 16: umas pretas e outras brancas, todas de mesmo tamanho, mas com pesos diferentes. Cada bola preta pesa 
60 g e cada bola branca pesa 48 g. Sabe-se que 25% das bolas do saco são pretas e que as demais, brancas.
 A Determine o peso médio das bolas do saco.
 RESPOSTA 
 
 No saco há 4 bolas pretas e 12 bolas brancas. O peso médio é 15
61
8421064
=
⋅+⋅
g. 
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente.
 25% – Obtenção do nº de bolas brancas e pretas nº p=25%16=4,nº de bolas pretas, nº b = 16 – 4 = 12 bolas brancas.
 50% – Estabelecer a média ponderada, sem calculá-la. peso médio= (4.60+12.48)/16.
 75% – Algum erro de conta, no intervalo pm ≠51com 49≤pm≤52, onde pm = peso médio. 
 100% – Resposta correta pm = 51 g.
GRADUAÇÃO RELAÇÕES INTERNACIONAIS SP | 18/11/2018
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
 C Determine o número de bolas pretas (iguais às outras) que devem ser colocadas no saco para que a porcentagem de bolas pretas no saco aumente para 
80%.
 QUESTÃO 1 (continuação)
 
 B Dos números de 1 a 16, dois são sorteados e as bolas correspondentes são retiradas do saco. Determine a probabilidade de que sejam da mesma cor.
 RESPOSTA 
 
 Np (PP ou BB) %06
5
3
51
11
61
21
51
3
61
4
==⋅+⋅= . 
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente.
 25% – Obtenção de duas pretas ou a obtenção de duas bolas brancas, com a reposição da 1ª bola antes da retirada da 2ª bola.
 P(p)=4/16 . 3/15=1/20 ou P(b)=12/16 . 11/15=11/20.
 50% – Obtenção das duas probabilidades, onde P(p) = saírem 2 bolas pretas, e P(B) = saírem 2 bolas brancas.
 P(p)=1/20 e P(b)=11/20.
 75% – Algum erro de conta, na simplificação das frações, com p = P(p) + P(b), p≠60% e 58%≤p≤62%. 
 100% – Obtenção da resposta correta p = P(p) + P(b) = 60%.
 RESPOSTA 
 
 Suponha que sejam colocadas x bolas pretas no saco. As bolas brancas, que são 12, estarão representando 20% do total de bolas, que é igual a 16+x.Então, 
12=20/100 (16+x) e, portanto, x=44. 
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente.
 25% – Montagem da fração (4+x)/(16+x), onde x = nº de bolas pretas a serem adicionadas.
 50% – Montagem da proporção (4+x)/(16+x)=80%.
 75% – Erro de conta com x≠44 e 42≤x≤46. 
 100% – Obtenção da resposta x = 44.
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
QUESTÃO 2 
 
 Considere o retângulo ABCD de centro O da figura abaixo, com AB = 15 cm e BC =10 cm. 
 A Um ponto P move-se a partir do ponto A sobre o contorno do retângulo, no sentido anti-horário, com velocidade de 1 cm/s. Determine a distância de O ao 
ponto P dois minutos após o início do movimento.
 RESPOSTA 
 
 O perímetro do retângulo é de 50cm. Após 2 minutos, ou seja, 120 segundos, o ponto P deu duas voltas completas no retângulo e percorreu mais 20cm. Isso 
significa que, após esse tempo, o ponto P está no ponto médio do lado BC. 
 A distância do ponto O ao ponto P é de 7,5 cm.
 Resposta: 7,5 cm.
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente.
 25% – Calculou o perímetro do retângulo e/ou a distância de deslocamento do ponto P, mas não avançou ou avançou incorretamente.
 50% – Especificou que, decorridos os dois minutos, o ponto P se localiza no ponto médio do segmento BC, mas não avançou para calcular a distância do ponto 
P ao ponto O.
 75% – Não percebeu que a distância de P a O correspondia a metade do lado maior do retângulo e procurou calcular a distância por meio de outra forma, com 
erro de conta. 
 100% – Calculou corretamente a distância do ponto P ao ponto O (7,5 cm).
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
 QUESTÃO 2 (continuação)
 B Calcule o menor ângulo formado pelas duas diagonais do retângulo.
 Use, se necessário, a relação θθθ 22 sencos2cos −= .
 RESPOSTA 
 
 O ângulo formado pelas diagonais do retângulo é o ângulo BÔC que se vê na figura ao lado. Se P é o ponto 
médio do lado BC, façamos BÔP = PÔC = θ e vamos observar ainda que CÂB = θ .
 Devemos então calcular o cosseno do ângulo θ2 
 A diagonal do retângulo mede: 3150151 22 =+=CA 
 Assim, no triângulo ABC temos, 
31
2
315
51
cos
31
2
315
01
===
===
CA
BA
CA
CB
sen
θ
θ
 
 
 
 
Usando a relação dada no enunciado do problema temos: 
31
5
31
4
31
9
2cos =−=θ 
 Resposta: 
31
5
 
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente.
 25% – Iniciou a resolução, por exemplo identificando o ângulo buscado e calculando a diagonal do retângulo, mas avançou de forma incorreta.
 50% – Identificou o ângulo procurado (2θ), calculou senθ e/ou cosθ e/ou tgθ, mas não avançou / avançou incorretamente.
 75% – Buscou usar a relação oferecida no enunciado ou outra possível, por exemplo tg(2θ), mas apresentou erro simples de conta no processo. 
 100% – Indicou que cos2θ=5/13 ou indicou alguma relação igualmente correta sobre 2θ.
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
 QUESTÃO 2 (continuação)
 C Trace a semirreta OA. A partir de O, trace mais quatro semirretas de forma que o retângulo fique dividido em cinco partes de mesma área. Determine a 
posição do ponto de interseção de cada semirreta com o contorno do retângulo. 
 RESPOSTA 
 A distância de O aos lados AD e BC é 
2
51
 e a distância de O aos lados AB e CD é 
5. A área do retângulo é 150 e, portanto, cada parte deve ter área igual a 30. O 
triângulo OAE tem área igual a 30.
 03
2
5
=
⋅EA
 Daí, AE = 12 e, portanto, EB = 3.
 A soma das áreas dos triângulos OEB e OBF é igual a 30.
 03
2
2/51
2
53
=
⋅
+
⋅ BE
 Daí, EB = 6 e, então, FC = 4.
 A soma das áreas dos triângulos OFC e OCG é igual a 30. 
 03
2
5
2
2/514
=
⋅
+
⋅ GC
 Daí, CG = 6 e, então, GD = 9.
 O triângulo OHA tem área igual a 30.
 03
2
2/51
=
⋅AH
 Daí, HA = 8 e, então, DH = 2.
 Resposta:
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente.
 25% – Apresentou esboço plausível das semirretas ou apontou que cada uma das cinco partes tem área igual a 30.
 50% – Apresentou esboço plausível das semirretas e apontou que cada uma das cinco partes tem área igual a 30, mas não foi capaz de oferecer as posições 
dos pontos de interseção.
 75% – Apresentou esboço plausível das semirretas e apontou que cada uma das cinco partes tem área igual a 30, mas ofereceu apenas parte das posições dos 
pontos de interseção. 
 100% – Respondeu corretamente e completamente a questão.
GRADUAÇÃO RELAÇÕES INTERNACIONAIS SP | 18/11/2018
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
QUESTÃO 3 
 
 Uma prova de certo concurso contém 40 questões objetivas. Para a pontuação, o candidato ganha 5 pontos para cada questão que acerta, perde 2 pontos para 
cada questão que erra e não perde nem ganha nada se não responder.
 A João fez 127 pontos e não respondeu 9 questões. Quantas questões ele acertou?
 RESPOSTA 
 
 Em cada item sejam:
 x= número de questões que o candidato acertou.
 y= número de questões que o candidato errou.
 z= número de questões que o candidato não respondeu.
 
 Temos as equações:
 



=−
=++
pontosedtotalyx
zyx
25
04
 729817
72125
2622
72125
049
=⇒=⇒



=−
=+
⇒



=−
=++
xx
yx
yx
yx
yx
 Resposta: 27.
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente ou não encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
 25% – Considerou o número (31) de acertos na prova ou escreveu a equação: 5.(acertos)– 2.(erros) = 127.
 50% – Montou corretamente o sistema de equações: 5.(acertos) – 2.(erros) = 127(acertos) + (erros) + 9 = 40.
 75% – Cometeu algum erro na resolução do sistema de equações. 
 100% – Resolveu o sistema de equações e chegou à resposta correta: 27 acertos, ou encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
 QUESTÃO 3 (continuação)
 
 B Lucas acertou e errou o mesmo número de questões e fez 51 pontos. Quantas questões ele não respondeu?
 C Marcelo fez 100 pontos. No máximo, quantas questões ele acertou?
 RESPOSTA 
 671
153
042
1525
04
=⇒=⇒



=
=+
⇒



=−
=++
zx
x
zx
yx
zyx
 Resposta: 6.
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente ou não encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
 25% – Escreveu a equação: 5.(acertos) – 2.(erros) = 51.
 50% – Montou o sistema de equações: 5.(acertos) – 2.(erros) = 51(acertos) + (erros) + (não respondidas) = 40 e não soube calcular o número correto de 
questões não respondidas.
 75% – Encontrou o valor (17) de erros e acertos, mas deu a reposta “23” (40 – 17) para o número de questões não respondidas. 
 100% – Encontrou o valor (17) de erros e acertos, e deu a reposta correta: “6” (40 – 2.(17)) para o número de questões não respondidas, ou encontrou a 
resposta correta por tentativa e erro.
 RESPOSTA 
 
7
2081
20817
00125
20822
00125
04 z
xzx
yx
zyx
yx
zyx −
=⇒−=⇒



=−
−=+
⇒



=−
−=+
 Para obter o maior valor de x, o valor de z deve ser o menor número natural que torne o numerador um múltiplo de 7. Esse valor é z=6 e 42
2
62081
=
⋅−
=x
 Resposta: Marcelo acertou, no máximo, 24 questões.
 GRADE DE CORREÇÃO
 0% – Em branco ou nada pertinente ou não encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
 25% – Escreveu a equação: 5.(acertos) – 2.(erros) = 100.
 50% – Montou o sistema de equações: 5.(acertos) – 2.(erros) = 100 (acertos) + (erros) + (não respondidas) = 40 ou chegou à equação: 7.(acertos) = 180 e 
não encontrou a resposta correta.
 75% – Resolveu o sistema e encontrou a equação: 7.(acertos) + 2.(não respondidas) = 180, mas não soube continuar. 
 100% – Resolveu o sistema e encontrou a equação: 7.(acertos) + 2.(não respondidas) = 180 e encontrou a resposta correta: no máximo 24 acertos, ou 
encontrou a resposta correta por tentativa e erro.