2 Exercícios Resolvidos sobre von Mises

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Exercícios sobre critério de resistência de von Mises 
 
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x )(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
 
1) Usando o critério de resistência de von Mises investigue se o eixo abaixo está em 
segurança. Dado: MPa100Y =σ 
 
 
 
26
2x m/N10x96,79)025,0(
157000
A
F
=
pi
==σ 
 
J
rT ⋅
=τ 264yx m/N10x06,25
32
)05,0(
025,0x615
=
pi
=τ→ 
 
Critério de von Mises: 
2
Y
2
xy
2
x )(3 σ<τ+σ 
222 100)06,25(3)96,79( <+ 
000.106,277.8 < 
 
Segundo o critério de von Mises o eixo está em segurança. 
 
 
 
2) Sabendo que MPa240Y =σ calcule o valor do momento de torção que inicia o 
escoamento do eixo abaixo. 
 
 
 
J
rT ⋅
=τ T10x2595,3
32
)25(
5,12xT 4
4yx
−
=
pi
=τ→ 
 
2
Y
2
xy )(3 σ<τ 
 
224 240)T10x5259,3(3 =− 
 
57600T10x06243,1x3 27 =− 
 
 mm.N109.425T
10x72918,3
57600T 7
2
=→=
−
 
 
Observação: Usando o critério de Tresca encontra-se o valor do torque que inicia o escoamento: 
 Τ = 368.155 N.mm 
 
Comparação entre os critérios de von Mises e de Tresca: 
 1547,1
155.368
109.425
Tresca
Misesvon
== 
 
Portanto, o valor do momento de torção que inicia o escoamento do eixo segundo o critério de 
von Mises é 15,47% maior que o valor fornecido pelo critério de Tresca. Esta é a diferença 
máxima entre os dois critérios e ocorre na torção pura. 
 
 
3) Sabendo que MPa400Y =σ calcule o valor da força P inicia o escoamento da viga 
abaixo. 
 
 
 
 
A
F
I
yM
Z
+=σ 
 
P50,5xPM −=−= 
30,0x2,0
P5,7
12
3,0x2,0
yP5
3 −
−
=σ
 
 
P125y.P11,111.11 −−=σ 
 
Tensão normal no ponto b: 
 
P251P67,666.1P125)15,0.(P11,111.11b −−=−−=σ 
P67,791.1b −=σ 
 
Para que inicie o escoamento (critério de von Mises): 
 
2622
Y
2
x )10x400()P67,791.1( −=−→σ=σ 
 
Ou: N40,255.223P10x400P67,791.1 6 =→= 
 
 
Observação: Se tirar a força axial (N = 0): 
 
N000.240P10x400P67,666.1 6 =→= 
 
 
 
4) Usando o critério de von Mises investigue se o elemento abaixo está em segurança. 
Dado: MPa320Y =σ 
 
 
 
 
 
 
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x
)(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
 
 
2222222 320)306045(3110x)80(110x50)80(x50110)80(50 <+++−−−−−+−+ 
 
400.102875.47 < 
 
Segundo o critério de von Mises o elemento está em segurança. 
 
 
5) Usando o critério de von Mises calcule o valor da tensão normal σX que inicia o 
escoamento do elemento abaixo. Dado: MPa720Y =σ 
 
 
 
 
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x )(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
 
2222
xx
222
x 207)50400(3120801208012080 =+++⋅−⋅σ−⋅σ−++σ 
 
849.42500.23200 x2x =+σ−σ 
 
0349.19200 x2x =−σ−σ 
 
De onde: MPa3,71eMPa3,271 xx −=σ=σ 
 
6) Usando o critério de von Mises calcule o valor da tensão cisalhante τXY que inicia o 
escoamento do elemento abaixo. Dado: MPa150Y =σ 
 
 
 
 
 
 
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x
)(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
 
2222
xy
222 150)5040(3120801200800120800 =++τ+⋅−⋅−⋅−++ 
500.22)25001600(311200 2xy =++τ+ 
 
7500480011200225003 2xy −−−=τ 
 10003 2xy −=τ 
Portanto, para 0xy =τ o elemento já está escoando. 
 
7) Usando o critério de von Mises calcule o valor da tensão cisalhante τXZ que inicia o 
escoamento do elemento abaixo. 
Dado: MPa150Y =σ 
 
 
 
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x
)(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
 
222
xz
2222 150)500(3120801200800120800 =+τ++⋅−⋅−⋅−++ 
500.22)7500311200 2xz =+τ+ 
 
3
380038003 zx
2
zx =τ→=τ 
 MPa59,35zx =τ 
 
8) Usando o critério de von Mises investigue se o elemento abaixo está em segurança 
quando solicitado pelas tensões indicadas. Dado: MPa320Y =σ 
 
 
 
 
 
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x
)(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
 
 
Observação: “O escoamento ocorre sem variação de volume” (?????) 
Vamos supor que uma barra de aço doce tem tensão de escoamento .MPa400Y =σ 
Aplicando-se F = 80.000 N, tem-se: 
 
 Y
2mm/N400
2010
80000
σ==
⋅
=σ 
 
 
 
 Tensão esférica: 0
V
V
≠
∆
 Tensões desviadoras: 0
V
V
=
∆
 
 
A tensão de cisalhamento é igual a zero em todas as direções do estado de tensão esférico. O 
escoamento é provocado pela tensão cisalhante, portanto, as tensões desviadoras são as 
responsáveis pelo escoamento. Então, podemos afirmar que o escoamento ocorre sem 
variação de volume?